Esercitazione

Con quest’esercitazione vogliamo studiare il comportamento di un impalcato quando esso è sollecitato da forze esterne di tipo orizzontale e di come i suoi controventi, progettati per questa struttura, rispondano a quest’ultime. La rappresentazione grafica, «l’avatar» dei controventi si configura come una molla, tesa alla più immediata fruizione del comportamento dei controventi, elastico reversibile. L’obiettivo, una volta calcolata la rigidezza delle molle, è quello di calcolare il centro di tutte le rigidezze dei controventi, luogo dei punti in cui le forze esterne applicate avranno un momento pari a zero, con conseguente rotazione rigida nulla di tutto l’impalcato.

Dunque, una volta effettuato il dimensionamento e la scelta della tipologia costruttiva (in questo caso abbiamo preferito una tecnologia in c.l.s. armato), attraverso uno strumento di calcolo elettronico, un foglio excel, riusciremo ad inserire tutti i dati e ad ottenere i risultati cercati: CALCOLO DEL CENTRO DELLE RIGIDEZZE. 

Pianta dell’impalcato in c.l.s. armato-Sezione impalcato

Rappresentazione «avatar» delle rigidezze K dell’impalcato in esame:

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano, assi X-Y, e calcoliamo la distanza di ogni singolo controvento dall’origine degli assi, siano essi disposti in senso verticale (dv) sia in senso orizzontale (do):

dv1: 0 cm

dv2: 6 cm

dv3: 12 cm

dv4: 18 cm

dv5: 24 cm

dv6: 30 cm

do1: 0 cm

do2: 6 cm

do3: 12 cm

Sezione dei pilastri = 30x30 cm

Altezza dei pilastri in c.l.s. armato: H = 400 cm

Modulo di Young (E) = 21000 N/mm

È importante, a questo punto, nominare numericamente ogni pilastro così da poter definire ogni telaio, rispetto al numero dei pilastri che lo compongono sia nella direzione x che nella direzione y:

Telaio:                    n° pilastri:

    1                          1-6-12

    2                          2-7-13

    3                          3-8-14

    4                            9-15

    5                         4-10-16

    6                         5-11-17

    7                       1-2-3-4-5

    8                    6-7-8-9-10-11

    9                12-13-14-15-16-17

Iniziamo ora a compilare la tabella excel:

STEP1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio: data dalla somma delle rigidezze di ciascun pilastro che compone ciascun telaio.

STEP2: Tabella sinottica dei controventi e delle loro distanze dell’origine.

• STEP3: CALCOLO DEL CENTRO DI MASSA: dopo aver suddiviso la pianta dell’impalcato in macro aree, geometricamente riconducibili a figure semplici, come rettangoli o quadrati, si procede alla determinazione del baricentro:

• STEP4: calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali: sommo tutte le rigidezze dei controventi, prima nella direzione orizzontale e poi in quella verticale. A questo punto posso determinare il centro delle rigidezze, rispetto alla sua coordinata x e y, facendo il rapporto tra la sommatoria del prodotto, di ogni singola rigidezza per il proprio braccio, per la rigidezza totale, sia verticale sia orizzontale. Il passo successivo sarà quello di calcolare la rigidezza torsionale (K): la sommatoria dei prodotti delle rigidezze di ciascun telaio per la distanza al quadrato di ognuno di essi rispetto a C = (x,y).

• STEP5: ANALISI DEI CARICHI SISMICI: Individuo il carico Q del solaio (somma di qs+qp+qa) e lo moltiplico per il coefficiente di contemporaneità (y), ottenendo così i pesi sismici. Successivamente moltiplico tale valore per il coefficiente d’intensità sismica (c), ottenendo così il valore della forza sismica orizzontale.

• STEP6/7: Ripartizione della forza sismica lungo X e Y: adesso posso capire come la forza sismica potrebbe ripartirsi lungo le due direzioni dell’impalcato. Il foglio excel, così concepito, mi permette di trovare direttamente la traslazione orizzontale e quella verticale e conseguentemente la rotazione dell’impalcato. È ora possibile, dunque, individuare come ogni forza sismica si ripartisce per ciascun telaio, ricavandone infine le reazioni di contrasto che ogni impalcato esercita al fine di contrastare la suddetta forza sismica orizzontale. 

Per avere una successiva verifica dei calcoli appena studiati, possiamo ora disegnare su Sap2000 la struttura dell’impalcato analizzata, così da verificarne la corrispondenza dei valori e visualizzare la deformazione messa in atto dall’azione del sisma orizzontale. 

Importiamo il modello dell’impalcato, disegnato su rhinoceros, in ambiente Sap2000, ricordandosi di prestare attenzione alla coerenza delle unità di misura. 

Assegniamo i vincoli esterni di tipo incastro alla base di ogni pilastro. 

Assegnami ai pilastri una sezione in cemento armato 0,3 x 0,3 m.

Assegniamo alle travi una sezione in cemento armato 0,3 x 0,7 m. Modifichiamo le proprietà della sezione della trave con l’obiettivo di renderla infinitamente rigida, tipicamente Shear-Type. A tal fine aumentiamo spropositatamente i valori del momento d’inerzia in asse 2 (y) e 3 (x).  

Definiamo l’impalcato rigido del “solaio”: selezioniamo tutti i nodi dell’impalcato, compreso il centro delle rigidezze. Assegna>nodi>vincoli interni>tipo di vincolo>Diaphragm che conferisce all’intera aria selezionata rigidezza tale da non avere dilatazioni né accorciamenti, ma solo traslazioni.

Definiamo lo schema di carico della forza sismica orizzontale: Definisci>schemi di carico>agg. Nuovo schema carico>peso proprio moltiplicat. = 0 à OK.

Selezioniamo il centro delle rigidezze e assegniamoli lo schema di carico appena definito nella direzione y, con valore 230,40 KN.

Lanciamo l’analisi e verifichiamone gli spostamenti.  

Con essa prendiamo coscienza del fatto che l’unico spostamento rigido di cui tener conto è quello in asse y, nella direzione della forza sismica orizzontale. La rotazione rigida risulta quasi nulla e, perciò, trascurabile.

Roma 4-06-2014                                                                           T.R.

In collaborazione con Alessandro Petroni

In riferimento allo schema strutturale di carpenteria di sopra verifichiamo che l'abbassamento della trave che sostiene lo sbalzo del solaio rientri nel rapporto: abbassamento<luce dello sbalzo/250. Nelle diverse tecnologie già studiate di Legno Lamellare, Acciaio, Cemento Armato.

Il foglio excell realizzato per la verifica richiede l'inserimento dei seguenti dati: interasse tra le travi portanti, luce dello sbalzo, carico strutturale, carico portato, carico accidentale. E la definizione dell'altezza ingegnerizzata della trave, il foglio excell a questo punto calcola il peso proprio della trave e lo somma ai carichi di sopra.

Il rapporto abbassamento<luce dello sbalzo/250 è verificato.

Il foglio excell realizzato per la verifica richiede l'inserimento dei seguenti dati: interasse tra le travi portanti, luce dello sbalzo, carico strutturale, carico portato, carico accidentale. E la definizione dell'altezza ingegnerizzata della trave, il foglio excell a questo punto calcola il peso proprio della trave e lo somma ai carichi di sopra.

Il rapporto abbassamento<luce dello sbalzo/250 è verificato.

Il foglio excell realizzato per la verifica richiede l'inserimento dei seguenti dati: interasse tra le travi portanti, luce dello sbalzo, carico strutturale, carico portato, carico accidentale. E la definizione dell'altezza ingegnerizzata della trave, il foglio excell a questo punto calcola il peso proprio della trave e lo somma ai carichi di sopra.

Il rapporto abbassamento<luce dello sbalzo/250 è verificato.

Andiamo a calcolare il centro delle rigidezze di un impalcato in cemento armato avente 5 telai verticali e 3 orizzontali.
Tale tipo di studio ci porterà a capire meglio il funzionamento di telai non solo sottoposti ad azioni verticali.  Infatti, un telaio, se ben pensato in fase progettuale, può resistere anche alle azioni orizzontali a cui la struttura è sottoposta, quindi agire da vero e proprio controvento.

Disegniamo ora le rigidezze (Kv e Ko) dei singoli telai. Per essere rappresentate useremo un avatar, una molla, che meglio raffigura la reazione alle spinte orizzontali di questi controventi.
Aggiungiamo anche gli assi X e Y, dato che ci servirà un punto di origine su cui fare calcoli di natura geometrica.

Procediamo ora su Excel.
Tramite questo algoritmo è possibile calcolare centro di massa, centro delle rigidezze e ripartizioni delle forze sismiche.
Primo passo, calcolare la rigidezza di ogni singolo controvento. Per fare ciò, necessitiamo modulo di Young (a seconda del materiale), momento di inerzia (che ovviamente varierà in caso vari la sezione) di ogni pilastro, e altezza.
Per il momento di inerzia, data la forma quadrata del pilastro, useremo la formula b^4/12 (b*h^3/12 con h e b uguali).
Dato che il nostro telaio è di tipo Shear-Type la struttura orizzontale è infinitamente rigida e quindi indeformabile assialmente mentre i pilastri sono soggetti a flessione. La trave perciò si muoverà con atto di moto rigido. Dato l’incastro dei pilastri a terra quindi, gli unici spostamenti saranno nella testa del pilastro, e uguali per tutti i pilastri che compongono il singolo telaio. La rigidezza traslante (K) quindi sarà calcolata come:
K=12*E*Itot/h^3

Telai verticali:

Telai orizzontali:

Elenchiamo ora le distanze orizzontali e verticali dei singoli controventi rispetto all’origine:

Suddividiamo ora l’impalcato in figure geometriche semplici di cui possiamo trovare i centri di massa:

Possiamo ora trovare il centro di massa dell’intera struttura. Le coordinate di tale centro possono essere trovate come sommatoria delle distanze dei singoli centri di massa rispetto agli assi (y o x a seconda di ciò che si vuole calcolare) moltiplicate per le rispettive aree e dividendo il totale per l’area complessiva.
Gmx=∑xG*Ai/Atot
Gmy=∑yG*Ai/Atot

Calcoliamo ora le coordinate del centro di rigidezza, e le distanze di ogni singolo controvento da queste.
Per trovare le coordinate procederemo allo stesso modo, calcolando cioè la sommatoria del prodotto fra le rigidezze di ogni controvento per le rispettive distanze (verticali o orizzontali a seconda della coordinata da trovare) il totale diviso la rigidezza verticale o orizzontale totale.
Grx=∑Kvi*dvi/Kvtot
Gry=∑Koi*doi/Kotot

Infine troviamo la rigidezza torsionale totale:

Dalla somma dei carichi strutturali, permanenti e accidentali della struttura (qs, qp e qa), calcoliamo i carichi sismici e ripartiamoli lungo gli assi X e Y per ogni controvento.

Ripartizione forza sismica lungo X:

Ripartizione forza sismica lungo Y:

Procediamo ora importando l’impalcato su SAP e incastriamo tutti i pilastri a terra:

Assegniamo ad ogni pilastro la sua sezione/materiale (assign/frame/frame section), utilizzando la nostra sezione 30x30 in Concrete.

Stesso procedimento con le travi, ma di sezione 30x60:

Disegniamo ora il centro delle rigidezze precedentemente calcolato:

Rendiamo rigida la struttura, comprensiva del centro di rigidezze, in modo tale da far spostare tutto insieme, anche se il punto è esterno.
Per fare ciò selezioniamo tutti i nodi trave/pilastro e il centro delle rigidezze, andiamo su Assign/Joint/Constraint e selezioniamo Diaphragm.

Dato che come abbiamo detto, stiamo usando un telaio Shear-Type, dobbiamo rendere indeformabili le travi. Per farlo possiamo andare su Frame Property e inserire un momento di inerzia molto alto.

Selezioniamo ora il centro delle rigidezze e applichiamo la forza sismica lungo l’asse X del valore calcolato con l’algoritmo di Excel.

Andiamo a calcolare la deformazione:

Possiamo notare come il centro delle rigidezze non venga sottoposto a rotazione ma solo a traslazione:

Andiamo infine a calcolare rispettivamente il momento 2-2 e il momento 3-3 della struttura.