Esercitazione

Creo un telaio Shear Type in cemento armato con le seguenti caratteristiche:

Interasse:6m

H: 3m

Pilastri: 30X40cm

Ix pilastri per controventi 1.2.3.4; 5.6.7.8; 9.10.11; 12.13.14 pari a 160000cm^4

Ix pilastri per controventi 5.1; 2.5; 9.12; 3.7.10.13; 4.8.11.14 pari a 90000cm^4

Attraverso la tabella Excel posso ricavare le rigidezze dei controventi, il centro delle rigidezze, il centro di massa e le ripartizioni delle forze sismiche sugli assi.

Determino la rigidezza totale (K_T) di tutti i controventi

Tabella sinottica controventi e distanze

Calcolo del centro di massa

Calcolo del centro delle rigidezze

Analisi dei carichi sismici

L’arco è un esempio di struttura spingente che reagisce per forma. Ciò gli permette infatti di avere una ottimizzazione delle sollecitazioni, limitando il momento flettente e trasformandolo in sforzo normale, che lavora in maniera omogenea su tutta la sezione; per questo è una struttura adatta a coprire grandi luci.

In questa esercitazione analizzeremo il comportamento di 2 tipi di arco, per capire in che modo varia la spinta della struttura. Imponiamo per ognuno una Luce pari a 6 m e una sezione di 30 cm x 40 cm, variando nei vari casi solamente la freccia f .

Per risolvere una struttura ad arco con il software SAP dobbiamo prima disegnarlo in autocad o rhino e successivamente importarlo in formato .dxf, poiché su SAP è impossibile disegnare linee curve (il programma infatti riconosce l’arco come un insieme di punti).

1| ARCO A TUTTO SESTO

Analizziamo il primo caso, un arco a tutto sesto dove la freccia è pari a metà della luce ( f= L/2 = l)

1. Una volta disegnato l’arco in autocad e ruotato in modo da far coincidere la freccia con l’asse Z, lo importiamo su Sap.

 2. Essendo un modello di arco a tre cerniere, è necessario innanzitutto vincolare con due cerniere esterne i punti di imposta. Selezioniamo i punti e andiamo su Assign/Joint/Restraints.

 

3. Nella sezione in chiave è necessario selezionare i segmenti della trave, andare su Assign / Frame / Releases/     Partial Fixity e rilasciare il momento una volta a destra e una volta a sinistra, per creare una cerniera interna.

4. Successivamente assegniamo una sezione pari a 30 cm x 40 cm in cemento armato        all’intera struttura, selezionando Assign / Frame /Frame Section. Sul comando display    selezioniamo Extrude View in modo da vedere la sezione omogenea.

5. A questo punto assegniamo un carico distribuito, che deve essere mandato in maniera    uniforme rispetto alla curvatura dell’arco, attraverso il comando gravity projected.  Andiamo a togliere il peso proprio della struttura e applichiamo un carico q pari a 10 KN/m.

6. Attraverso l’analisi possiamo verificare le reazioni vincolari, che sono rispettivamente 30  KN di forza verticale e 15 KN di forza orizzontale, in quanto rappresentano uno la reazione  vincolare al carico verticale, ql = 10 * 3 = 30 KN e una la spinta orizzontale dell’arco  ql²/2f  = 10 * 30²/2 * 3 = 15 KN.

Dal diagramma dei momenti possiamo vedere come esso si annulla in corrispondenza delle imposte e della sezione in chiave.

Per quanto riguarda sforzo normale e taglio avremo in imposta 

N = ql

T = ql/2

mentre nella sezione di chiave

N = ql/2

T = 0

2| ARCO RIBASSATO

Come nel punto precedente, disegniamo la struttura prima in autocad e poi la importiamo su Sap, applicando le stesse caratteristiche vincolari, di sezione e di carico viste per l’arco a tutto sesto.

L’unico parametro che modificheremo sarà la freccia f, che poniamo ( f= L/4 = l/2)

Come ci aspettavamo, la spinta orizzontale dell’arco ql²/2f  è , a parità di luce, il doppio di quella dell’arco a tutto sesto, in quanto la freccia è più piccola della precedente. Quindi possiamo dire l’arco ribassato si comporta più da “arco”, in quanto c’è più attitudine a lavorare a sforzo normale, come vediamo anche dal diagramma del momento, minore rispetto a quello dell’arco a sesto acuto.

Dato che SAP non ha modo di modellare archi è necessario crearne uno da Autocad. Ne disegno uno a tutto sesto, passo alla visualizzazione assonometrica e lo ruoto attorno all’asse x, cosicchè la verticale corrisponda all’asse x. Per una questione di comodità, spezzo l’arco in chiave così da avere già le due parti d’arco separate. Dopo aver cambiato livello (SAP non legge il layer 0) salvo il file in formato dxf.

Nell’importare il file su SAP bisogna, nelle impostazioni di importazione, cambiare NONE in Frames e cambiarlo con Arco (il nome del layer da Cad)

L’arco viene visto come un vasto insieme di punti, che il programma assegna in corrispondenza dei punti angolosi dati dall’approssimazione della forma. Prima cosa da fare è dire al programma che in chiave c’è una cerniera. Seleziono così la metà di sinistra e vado in Assign/Frame/ReleasePartialFixity. Per questa metà d’arco spunto lo Start del Moment 33, per l’altra metà spunterò End

Dopo aver assegnato le cerniere all'imposta dell'arco vado a definirne il materiale (cemento armato) e la sezione (40x30cm)

Fatto ciò assegno un carico distribuito (10KN) che gravi uniformemente sull’intera struttura 

Avvio l'analisi e visualizzo prima le reazioni ai vincoli, poi la deformata, poi il grafico del momento per accertarmi che si annulli in corrispondenza del concio di chiave e all'imposta dell'arco

 

Stessa procedura va svolta nella verifica di un arco ribassato. Mi aspetto, per costruzione, che le spinte orizzontali siano ben più grandi di quelle riscontrate nell'arco a tutto sesto (si tratta di un arco che spinge molto nelle cerniere di imposta). 
Torno quindi su Autocad, rimodello l'arco assegnando una luce di 6m e lo importo di nuovo su SAP

Mantenendo il carico di 10KN assegno le due cerniere nell'imposta e la cerniera interna in chiave

Dopo aver avviato l'analisi visualizzo la deformata per accertarmi di aver impostato bene la struttura (il grafico dei momenti riportato a sinistra me lo conferma)

Vado infine a controllare quello che dicevo all'inizio, ovvero che, essendo un arco ribassato, la spinta orizzontale sia maggiore di quella dell'arco a tutto sesto a parità di luce

Dato che l'arco è molto ribassato la reazione orizzontale nel vincolo è 3 volte e mezzo quella riscontrata nell'arco a tutto sesto

(eseguito con Giordano Proietti Rocchi)

In questa esercitazione andremo ad analizzare la ripartizione delle forze sismiche in una struttura di un edificio ad un piano. Nella progettazione strutturale non esistono solo le azioni (carichi) verticali, ma anche azioni orizzontali, qualunque sia la loro natura (azioni sismiche, vento, spinte della terra etc.). Le forze sismiche sono forze orizzontali e per far fronte a questo, è necessario dotare l’edificio di controventi; un telaio, se ben pensato in fase progettuale, può resistere oltre che alle azioni  verticali, anche alle azioni orizzontali a cui la struttura è sottoposta, e quindi agire da vero e proprio controvento naturale. Per questo studio adotteremo un impalcato in Cemento armato costituito da telai Shear Type e ne calcoleremo il centro delle masse, il centro delle rigidezze e il suo comportamento quando sottoposto a forza sismica orizzontale.

Vediamo ora come costruire ed analizzare un telaio shear type:

1 | Per prima cosa andiamo a disegnare le rigidezze dei controventi orizzontali e verticali (Kv e Ko) dei singoli telai. Per essere rappresentate useremo come esemplificazione una molla, che meglio raffigura la reazione alle spinte orizzontali di questi controventi, aggiungendo anche gli assi X e Y, dato che ci servirà un punto di origine su cui fare calcoli di natura geometrica.

 Andiamo ora a riempire con gli opportuni dati richiesti tutta la tabella Excel.

Qui è possibile calcolare il ‘centro di massa’, il ‘centro delle rigidezze’ e la ‘ripartizioni delle forze sismiche’

Primo passo, calcolare la rigidezza di ogni singolo telaio. Per fare ciò, necessitiamo del modulo di Young (a seconda del tipo di materiale che utilizziamo), il momento di inerzia (che ovviamente varierà in base alla sezione) di ogni pilastro, e l’altezza.

Per il momento di inerzia, data la forma quadrata del pilastro, useremo la formula b⁴/12 (b*h³/12 con h e b uguali).

Dati:

[modulo di young] – 25000 N/mm²

[altezza pilastri] – 3 m

[momento di inerzia] – 67500 cm⁴ (sezione quadrata di lato 30 cm)

Dato che il nostro telaio è di tipo Shear-Type la struttura orizzontale è infinitamente rigida e quindi indeformabile assialmente mentre i pilastri sono soggetti a flessione. Il telaio perciò subirà, sottoposto a forze orizzontali, solamente spostamenti rigidi orizzontali senza deformarsi, poiché infinitamente rigido. Solamente i pilastri subiranno una deformazione.

La rigidezza traslante (K) quindi sarà calcolata come:
K=12*EI/h^3

2| Il passaggio successivo è quello di scrivere le distanze ‘orizzontali’ e ‘verticali’ dei singoli controventi rispetto all’origine.

3| Suddivideremo poi il nostro impalcato in figure geometriche semplici, per individuarne i centri geometrici degli stessi e quindi del sistema  (‘centro di massa’).

Le cooordinate del centro di massa dell’intera struttura possono essere trovate come sommatoria delle distanze dei singoli centri di massa rispetto agli assi (x o y a seconda di ciò che si vuole calcolare) moltiplicate per le rispettive aree e dividendo il totale per l’area complessiva.

Gmx=∑xG*Ai/Atot

Gmy=∑yG*Ai/Atot

4| Calcoliamo ora le coordinate del ‘centro di rigidezza’, e le distanze di ogni singolo controvento da queste e per trovare le coordinate procederemo allo stesso modo, calcolando a sommatoria del prodotto tra le rigidezze di ogni controvento per le rispettive distanze (verticali o orizzontali in base alla coordinata da trovare) il totale diviso la rigidezza verticale o orizzontale totale. 

 

Grx=∑Kvi*dvi/Kvtot

Gry=∑Koi*doi/Kotot

Troveremo cosi la rigidezza torsionale totale della struttura.

Kγ = ∑Ki*di²

Individueremo quindi il centro di massa e il centro di rigidezza dell'intero impalcato

5| Scegliamo quindi un tipo di pacchetto per il solaio, in modo da definire i carichi strutturali, permanenti ed accidentali che vi agiscono. Dalla somma dei carichi strutturali, permanenti e accidentali della struttura (qs, qp e qa), calcoleremo i carichi sismici che verrano ripartiti lungo gli assi X e Y per ogni controvento.

MODELLAZIONE SU SAP

Come nelle precedenti esercitazioni, analizzeremo il nostro sistema sul software SAP. Il primo passaggio è quello di ridisegnare l’impalcato, assegnando come vincolo alla base dei pilastri degli incastri.

Procediamo adesso con la definizione della sezione dei pilastri in cemento armato, definendo una sezione di dimensioni 30 cm x 30 cm e delle travi di dimensioni 30 cm x 60 cm.

Riportiamo ora la posizione del centro di massa e del centro di rigidezza con i dati precedentemente trovati con il calcolo del foglio excel. 

[!] per disegnare un punto su SAP, basta cliccare sull’icona che raffigura un punto, in alto a ssinistra dello schermo. Si aprirà una piccola finestra dove possiamo inserire le coordinate del punto rispetto all’origine, una volta inseriti i dati cliccare sull’origine del sistema destroso e chiudere la finestra.

Ora dobbiamo rendere rigida la struttura, quindi andremo a selezionare tutti i nodi (trave/pilastro) ed il centro delle rigidezze. Poi clicchiamo ’Assign’>’Joint’>’Costrains’. Si aprirà una finestra , ‘Assign/Define Costrains’ e a sinistra sul menù a tendina selezionare la voce ‘Diaphragm’. Infine su ‘OK’

 

Dal momento che stiamo utilizzando un telaio shear type, renderemo indeformabili le travi: per farlo possiamo decidere di aumentare considerevolmente il momento di inerzia, andando su ‘Assign’>’Frame’>’Frame Sections’.

Si aprirà una finestra, ‘Frame Properties’, selezioniamo la nostra sezione delle travi e quindi su ‘Modify/Show Property’, si aprirà un’altra finestra, ‘I/Wide Flange Section’. Cliccare su ‘Set Modifiers’.

Nell’ultima finestra che si apre, ‘Frame Property/Stiffess Modification Factors’, andiamo ad aumentare la voce ‘Moment of Inertia about 2 axis’. Infine su ‘OK’. 

Possiamo adesso assegnare una forza puntuale applicata al centro delle rigidezze, in direzione Y pari alla ‘Forza Sismica Orizzontale’ trovata in precedenza con il foglio excel (132 KN)

 

Avviamo l’analisi e vediamo come si comporta l’impalcato.  Come previsto, la deformata mostra una traslazione rigida lungo l’asse y dell’impalcato (la rotazione è praticamente irrisoria).

In questa esercitazione andremo a studiare il comportamento di una struttura semplice (1 piano) sottoposta a forze dovute a un sisma. 

Prendiamo in considerazione dei telai Shear Type e individuiamo i controventi orizzontali e verticali, scegliamo la sezione dei pilastri con conseguente modulo di resistenza e momento d'inerzia. Poi al fine di compilare la tabella excel numeriamo i pilastri per individuare quali formeranno ogni controvento.

Passiamo direttamente al foglio excel

Step1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

Per ogni telaio (controvento) inseriamo il numero corrispondente di pilastri che lo compongono, con la loro altezza, il modulo di restistenza e il momento d'inerzia che nel nostro caso sarà sempre lo stesso. troviamo cosi la rigidezza traslante di ogni telaio.

Step 2:Tabella sinottica controventi e distanze

In questa tabella inseriamo le rigidezze traslanti di ogni telaio insieme alla distanza di ogni controvento dall'origine di un sistema di riferimento cartesiano. Nel nostro caso l'origine coincide con la posizione del pilastro 11.

Step 3:Calcolo del centro di massa

Riconduciamo la struttura a delle forme geometriche semplici per semplificare il calcolo delle aree e del loro centro.

Alla fine avremo le coordinate che individuano all'interno della struttura il centro di massa 

Step 4: Calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Analizziamo le rigidezze totali dei controventi orizzontali e verticali fino ad avere le coordinate del centro delle rigidezze tramite il quale possiamo misurare la distanza da ogni controvento e trovare la rigidezza torsionale globale.

Step 5: Analisi dei carichi sismici

Per i carichi strutturali, permanenti e accidentali utilizziamo gli stessi del solaio in laterocemento della seconda esercitazione.

qs= 3,45 Kn/m2   qp=3,3 Kn/m2   qa= 2,00 Kn/m2

Step 6/7: Ripartizione delle forze sismiche lungo x e lungo y

Il prossimo passo è controllare questi dati su SAP

Disegnamo l'impalcato su SAP (compresi centro di rigidezza e di massa) assegnando le sezioni di travi e pilastri, applicando degli incastri a terra. 

Dato che in SAP non è possibile definire un telaio Shear Type, applicheremo alla sezione scelta un momento d'inerzia infinitamente alto.

Applichiamo a tutti i punti un vincolo Diaphragm affinchè la struttura si comporti come un unico oggetto

Applichiamo la forza orizzontale trovata nello step 5

Avviamo l'analisi

Vediamo come il centro delle rigidezze trasli di una quantità trascurabile. Inoltre dato che il centro delle rigidezze non coincide con quello di massa, l'impalcato ruota. Per evitare questo comportamento dovremmo avvicinare il più possibile il centro delle rigidezze al centro di massa

Una volta definita una struttura vado a studiarne il comportamento in seguito a una forza sismica che andrò ad applicare nel centro delle rigidezze. L'impalcato, a un piano, è costruito in cemento armato ed è controventato

Con Ko sono indicati i controventi orizzontali, con Kv i verticali. I pilastri sono alti 2,70m e hanno lati 30x30cm.
Vado a inserire i dati in tabella, analizzando le caratteristiche di ciascun telaio volta per volta

Nella seconda tabella sono riassunte tutte le rigidezze dei vari controventi e sono riportate le relative distanze dal punto di origine (che ho posizionato in basso a sinistra, in corrispondenza del pilastro 10)

Torna utile, per calcolare il centro di massa, suddividere la struttura in aree più semplici (A1,A2 e A3). 

A questo punto è semplice ricavare il centro delle rigidezze con la tabella successiva

Il tutto è stato rappresentato nel disegno sottostante dove con Gtot è indicato il centro di massa, con C il centro delle rigidezze

Per l'analisi delle forze sismiche che intervengono sulla struttura dobbiamo tener conto sia dei carichi permanenti G sia di quelli accidentali Q. Va considerato che essi andranno poi moltiplicati per il coefficiente di contemporaneità che è un fattore che tiene conto della probabilità che determinati eventi si verifichino contemporaneamente. Il peso sismico verrà poi moltiplicato per un coefficiente di intensità sismica che dipenderà dalla zona sismica in cui si realizza l'opera

A questo punto, tramite l'ultima tabella, osserviamo come si distribuiscono le forze sismiche orizzontali lungo x e lungo y. Da tener presente che i pilastri sono incastrati alla base ma sono invece liberi di muoversi all'estremità superiore (seppur tutti collegati dallo stesso solaio)

A questo punto iniziamo la modellazione della struttura su SAP a partire da una griglia semplice con il passo da 1m. Come dicevo prima, i pilastri saranno incastrati alla base

Vengono definite le sezioni di travi e pilastri assegnando il cemento armato come materiale

e la struttura si presenta così

Come si vede dal primo disegno di SAP ho riportato anche il centro di masse e il centro di rigidezza della struttra e, selezionando questi con i nodi di incontro di tutti i pilastri con la trave vado a far sì che SAP riconosca la trave come una shear type. Uso inoltre il comando Diaphragm per far sì che tutti i punti si muovano insieme costituendo una unica struttura

Trascurando il peso proprio, vado ad assegnare una nuova forza sismica che sarà applicata come forza orizzontale in direzione Y di 112KN nel centro delle rigidezze

Avviando l'analisi, questi sono i risultati

I pilastri si deformano a forma di S, come ci si aspettava da una struttura con telaio Shear Type

 

CENTRO DELLE RIGIDEZZE E RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE (eseguito con Lorenzo Piras)

L’esercitazione guidata è suddivisa in punti, organizzati in ordine cronologico, per eseguire la costruzione e l’analisi un telaio shear type individuandone il centro delle masse, il centro delle rigidezze e il comportamento dello stesso sottoposto a forza sismica.

Vediamo ora come costruire ed analizzare un telaio shear type:

1| Scegliere un telaio composto da travi e pilastri in modo da prenderlo come modello di riferimento (immagine 1).

 1.Modello di telai preso in esame.

 

2|  Lo stesso verrà esaminato in pianta e dopo essere stato quotato adiamo a selezionare quelli che chiameremo da adesso in poi ‘controventi’ o ‘telai’ (ossia,  delle file di pilastri e travi)(immagine 2), andando in fine a disegnare delle ‘molle’, segno che ci ricorda che i nostri telai hanno funzione di assorbire le spinte orizzontali.

2.Quotatura.

 

3| Andiamo ora a riempire con gli opportuni dati richiesti tutta la tabella Excel.

4| E’ possibile calcolare il ‘centro di massa’, il ‘centro delle rigidezze’ e la ‘ripartizioni delle forze sismiche’ (immagine 3).

Dati:

[modulo di young] – 25000

[altezza pilastri] – 3m

[momento di inerzia] – 67500 cm⁴ (inerzia di una sezione quadrata di lato 30cm)

Dato che il nostro telaio è di tipo Shear-Type la struttura orizzontale è infinitamente rigida e quindi indeformabile assialmente mentre i pilastri sono soggetti a flessione. Il telaio perciò subirà, sottoposto a forze orizzontali, solamente spostamenti rigidi orizzontali senza deformarsi,poiché infinitamente rigido. Solamente i pilastri subiranno una deformazione.

[!] si suddivideranno ora i telai nelle tabelle, secondo un ordine da sx a dx dall’alto verso il basso.

3. Compilazione dei dati .

5| Il passaggio successivo è quello di scrivere le distanze ‘orizzontali’ e ‘verticali’ dei singoli controventi rispetto all’origine (immagine 4)

 

4. Compilazione dei dati.

6|Inoltre suddivideremo il nostro impalcato in figure geometriche semplici, per individuarne i centri geometrici degli stessi e del sistema  (‘centro di massa’) (immagine 5)

5.Suddivisione delle aree e individuazione dei centri di massa.

7| Calcoliamo ora le coordinate del ‘centro di rigidezza’, e le distanze di ogni singolo controvento da queste e per trovare le coordinate procederemo allo stesso modo, calcolando a sommatoria del prodotto tra le rigidezze di ogni controvento per le rispettive distanze (verticali o orizzontali in base alla coordinata da trovare) il totale diviso la rigidezza verticale o orizzontale totale.(immagine 6)

Ed infine troviamo la rigidezza torsionale totale dell’impalcato.

 

6. Compilazione dei dati.

8|Scegliere quindi un tipo di pacchetto per un solaio, in modo da definire i carichi permanenti ed accidentali che ci serviranno per proseguire con l’esercizio (immagine 7) ed in automatico si compileranno le ultime due tabelle che ci ripartiscono il carico sismico su tutto l’impalcato.

7. Compilazione dei dati.

9| Come nelle precedenti esercitazioni, analizzeremo il nostro sistema su SAP. Il primo passaggio è quello di ridisegnare l’impalcato, assegnando come vincolo alla base dei pilastri degli incastri (immagine 8).

8. Assegnazione degli incastri.

10| Procediamo adesso con la definizione della sezione dei pilastri in cemento armato, definendo una sezione di dimensioni 30cmx30cm e delle travi di dimensioni 30cmx60cm. (dimensioni bxh)(immagine 9)

9. Definizione delle sezioni di pilastri e travi.

11| Andiamo ora a disegnare il centro di massa e il centro di rigidezza con i dati precedentemente trovati con il calcolo del foglio excell.  (immagine 10).

[!] per disegnare un punto su SAP, basta cliccare sull’icona che raffigura un punto, in alto a sx dello schermo. Si aprirà una piccola finestra dove possiamo inserire le coordinate del punto rispetto all’origine, una volta inseriti i dati cliccare sull’origine del sistema destrorso e chiudere la finestra.

10. Centro di rigidezza e centro di massa.

12| Ora dobbiamo rendere rigida la struttura, quindi andremo a selezionare tutti i nodi (trave/pilastro) ed il centro delle rigidezze. Poi ’Assign’>’Joint’>’Costrains’. Si aprirà una finestra , ‘Assign/Define Costrains’ e a sinistra sul menù a tendina selezionare la voce ‘Diaphragm’. Infine su ‘OK’.(immagine 11).

11. Diaphragm.

13| Dobbiamo rendere indeformabili le travi ( visto che stiamo utilizzando un telaio shear type), per farlo possiamo aumentare il momento di inerzia, andando su ‘Assign’>’Frame’>’Frame Sections’

Si aprirà una finestra, ‘Frame Properties’, selezioniamo la nostra sezione delle travi e quindi su ‘Modify/Show Property’, si aprirà un’altra finestra, ‘I/Wide Flange Section’. Cliccare su ‘Set Modifiers’.

Nell’ultima finestra che si apre, ‘Frame Property/Stiffess Modification Factors’, andiamo ad aumentare la voce ‘Moment of Inertia about 2 axis’ e la voce 'Moment of Inertia about 3 axis'. Infine su ‘OK’. (immagine 12).

12. Aumento del momento di Inerziadelle travi.

 

14| Possiamo adesso assegnare una forza applicata al centro delle rigidezze, in direzione Y pari alla ‘Forza Sismica Orizzontale’ trovata in precedenza con il foglio excel (immagine 13)

13.Assegnazione della forza sismica.

15| Possiamo ora avviare il tasto ‘Run’ e notiamo come il telaio trasli solamente senza ruotare (immagine 14).

14.Assegnazione della forza sismica.

ESERCITAZIONE 6_ ANALISI DI UN ARCO A TRE CERNIERE

L’arco è una struttura spingente, caratterizzata da una forma particolare che gli permette di avere una ottimizzazione delle sollecitazioni, limitando il momento flettente, trasformandolo in sforzo normale.L’arco a tre cerniere è un sistema isostatico, che è tale per la posizione delle cerniere nello spazio: una nella sezione di chiave, e due nella sezione d’imposta.

 

L’arco è una struttura simmetrica, perciò essendo caricato di una forza pari al suo solo peso proprio, il suo meccanismo sarà il seguente:

Dovendo risolvere un arco sottoposto ad un carico ripartito esterno q, l’equilibrio sarà il seguente:

      

È necessario fare l’equilibrio del 1° corpo intorno ad A:

-ql²/2 – df +cl =0

Momento del 2° corpo intorno a C:

ql²/2 + df +cl =0

Mettendo le due equazioni a sistema:   

-ql²/2 – df +cl =0

ql²/2 + df +cl =0

------------------------

             2cl=0 -> c=0

Per la simmetria della struttura, è chiaro che non ci possano essere forze asimmetriche sull’asse stesso della simmetria. A questo punto si può ricavare il valore della spinta:

-ql²/2 – df = 0

H = -ql²/2f

Dalla formula della spinta, si può notare come questa sia inversamente proporzionale alla freccia dell’arco: infatti più questa è di lunghezza inferiore, maggiore è la spinta dell’arco stesso.

È quindi necessario un confronto tra diversi tipi di arco: arco a tutto sesto, arco ribassato, arco parabolico.

1.ANALISI DI ARCO A TUTTO SESTO

 

Arco caratterizzato geometricamente dalla coincidenza delle lunghezze del raggio, della freccia, e della luce.

L = R = F

Le sollecitazioni che avvengono nell’arco si verificano in una sezione che la la stessa direzione del raggio. In questo caso, le sollecitazioni vengono espresse non più con coordinate lineari, ma angolari (α è l’angolo al centro). N, T, M sono espresse in funzione di alfa:

-N è perpendicolare alla sezione;

- T è parallelo alla sezione;

- N e T hanno componenti sia orizzontali che verticali, che servono per le equazioni di equilibrio;

- il carico distribuito q, agisce solo sulla proiezione della parte della circonferenza che viene considerata

Equilibrio a traslazione orizzontale:

ql²/2f +Nsena – Tcosa =0

Equilibrio a traslazione verticale:

ql + Ncosa + Tsena – qR (1- cosa) =0

Equilibrio dei momenti:

ql²/2f * Rsenα – ql * R(1-cosa) + [qR²(1- cosa)²]/2 – qR²/2 * sena + M(a) = 0

Sapendo che f = L = R:

M(a) = qR² (1- cosa) – [qR²(1- cosa)²]/2 - qR²/2 * sena

M(a) = qR² [(1- cosa) - (1- cosa)²/2 – sena/2]

Questa funzione può essere analizzata in chiave, per avere conferma che la il momento sia nullo.

M (90°) = qR² (1-0) - qR²/2 (1-0)² - qR²/2 *1 =0

M (90°) = qR² - qR²/2 - qR²/2 = 0

Le equazioni di equilibrio orizzontale e verticale vengono messe a sistema, in modo che per sostituzione, si possano ricavare i valori di N e T:

1.qR²/2f +Nsena – Tcosa =0

2.qR + Ncosa + Tsena – qR (1- cosa) =0

 

1.N = Tcosa/sena –qR/2sena

2.qRcosa + Tcosa*cosa/ sena – qRcosa/2sena + Tsena =0

 

1.N = Tcosa/sena –qR/2sena

2.T(cos²a/sena + sena) = qRcosa/2sena -qRcosa

 

1.N = Tcosa/sena –qR/2sena

2.T(1/sena) = qRcosa/2sena –qRcosa -> T= qRcosa*sena/2sena –qRcosa*sena

 

1.N = [qRcosa/2 (1-2sena)]*cosa/sena –qR/2sena

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

 

1.N =  qRcos²a/2sena (1-2sena) –qR/2sena

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

 

1.N =  qR/2sena [cos²a(1-2sena)-1]

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

 

1.N =  -qR/2sena *sena[ sena + 2cos²a]

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

 

1.N =  -qR/2[ sena + 2cos²a]

2.T= qRcosa/2 (1-2sena)

Vengono analizzate queste due equazioni nelle sezioni di imposta e di chiave:

N(0°) = -qR/2 * [0 + 2*1] = -qR = -qL forza entrante nell’arco

T (0°) = qR*1/2 (1-2*0) = qR/2 spinta dell’arco (= qR²/2R)

N(90°) = -qR/2 [ 1 +2* 0 ]= -qR/2  spinta dell’arco entrante nella sezione

T(90°) = qR*0/2(0-2*1) = 0 l’arco è una struttura simmetrica: nella sezione di chiave (asse di simmetria) non possono esserci forze non simmetriche.

Si decide di studiare l’arco anche su SAP. Questo viene disegnato in precedenza su AUTOCAD, ruotato e posto in posizione 3D, e viene salvato in un formato compatibile con SAP (dxf 2004).

Per determinare il modello di arco a tre cerniere è necessario andare a mettere due cerniere esterne nei punti di imposta, mentre in chiave è necessario selezionare i segmenti della trave, e rilasciare il momento a destra e a sinistra, per creare una cerniera interna.

Successivamente è necessario stabilire la sezione della trave, che nel caso dell’arco è rettangolare e misura 0,3*0,2m.

A questo punto si può selezionare il carico distribuito, che deve essere mandato in maniera uniforme rispetto alla curvatura dell’arco, attraverso il comando “GRAVITY PROJECTED”.

A questo punto è possibile fare l’analisi che da i seguenti risultati:

-le reazioni vincolari sono rispettivamente 30 di forza verticale e 15 di forza orizzontale, in quanto rappresentano uno la reazione vincolare al carico verticale, qR = 10 * 3 = 30 KN e una la spinta orizzontale dell’arco H= qR/2 = 10* 30/2 =15 KN.

-le reazioni risultano essere anche simmetriche rispetto alle due cerniere, in quanto la struttura dell’arco risulta essere completamente simmetrica;

- dal grafico del momento si evince come questo sia nullo sia nelle imposte che in chiave.

2.ANALISI DI ARCO PARABOLICO

L’arco parabolico è un arco dal comportamento funicolare, ovvero non presenta momento flettente ma solo sforzo normale, una volta in cui viene caricato con un carico uniforme.

Questo è caratterizzato dalla forma di una parabola, che viene definita da un insieme di coordinate x,y, perciò in questo caso, a differenza che nell’arco a tutto sesto, nell’analisi le coordinate non sono angolari, ma possono essere utilizzate coordinate lineari.

Per analizzare l’arco, è necessario comprendere l’equazione della parabola, quindi sarà necessario capire le coordinate dei punti in cui passa, e da queste, andare a determinare l’equazione:

A (0;0), B (l;f) , C (2l;0)

Sostituendo questi punti all’equazione generica della famiglia di parabole con asse parallelo all’asse y

 (f(x)= y= ax² + bx +c):

f (0;0) ->  0= a*0 + b*0 + c  -> c =0

f(l;f) -> f= al² + bl -> a= -f/l²

f(2l;0) -> 0= 4al² + 2bl -> b= -2al =2f/l

Ne deduciamo che l’equazione è y(x)= -fx²/l² + 2fx/l

Per l’analisi delle sollecitazioni si prende una sezione, tagliando la parabola in un punto (x; -fx²/l² + 2fx/l) e facendo passare per esso una sezione perpendicolare alla curva stessa. La tangente alla curva invece, individua sull’asse x un angolo ß, che è lo stesso che formano N e T all’altezza della sezione, e che serve per ricavare le componenti orizzontali e verticali.

 

Anche in questo caso si ricorre alle equazioni di equilibrio;

Equazione di equilibrio a traslazione orizzontale:

ql²/2f + Ncosß – Tsinß=0

Equazione di equilibrio a traslazione verticale:

ql – qx + Nsinß + Tcosß=0

Equazione equilibro momenti:

-qlx + ql²/2f * y + qx²/2 + M(x)=0

-qlx - qx²/2 + qlx + qx²/2 + M(x) =0

M(x) =0     il momento è nullo per ogni x della parabola.

Vengono messe a sistema adesso le equazioni di equilibrio a traslazione sia orizzontale che verticale:

1.ql²/2f + Ncosß – Tsinß=0

2.ql – qx + Nsinß + Tcosß=0

 

1.N=TsinB/cosß –ql²/2f cosß -> N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) + (Ttgß –ql²/2f cosß)*sinß + Tcosß=0

 

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) –ql²/2f*tgß +  T tgß*sinß + Tcosß =0

 

1. N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) –ql²/2f*tgß +  T tgß*sinß + Tcosß =0

Sappiamo che tgß= dy/dx = -2fx/l² + 2f/l :

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) –ql²/2f*(-2fx/l² + 2f/l) + Tsin²ß/cosß + Tcosß =0

 

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.q(l-x) + qx – ql + T(sin²ß+cos²ß/cosß) =0

 

1.N=tgß –ql²/2f cosß

2.ql - qx+ qx – ql + T(1/cosß) =0 -> T(1/cosß) =0 -> T=0

Il taglio proprio come il momento è nullo su tutti I punti dell’arco parabolico: l’unica sollecitazione presente è lo sforzo normale, di conseguenza in tutte le sezioni dell’arco, la forza sarà sempre perpendicolare alla sezione stessa.

L’angolo ß dipende dall’ascissa del punto che viene preso sull’arco parabolico e cambia in conseguenza ad esso: nella sezione di imposta ß=0 -> cosß =1

N(0°)=-ql²/2f SPINTA DELL’ARCO.

 

Anche questa volta su SAP viene importato un file in formato dxf, di una parabola dotata di l= 3m e f= 2,425 m.

Questo viene dotato dei vincoli di cerniere esterne e interna come in precedenza.

Successivamente viene dotato di una sezione uguale a quella assegnata per l’arco a tutto sesto 0,3*0,2 m e viene caricato con un carico uniforme secondo la curvatura pari a 10 kN/m.

Infine dall’analisi effettuata si possono stabilire delle conclusioni:

-le reazioni vincolari ancora una volta sono congruenti in base ai dati di partenza con le formule precedentemente enunciate

Reazione verticale: ql = 10* 3 = 30 kN

Reazione orizzontale ql²/2f = 10* 9/ 2*2,425 = 18,55 kN

-Essendo questo arco parabolico, dotato di una freccia minore rispetto all’arco a tutto sesto precedentemente analizzato, è possibile osservare come il valore della spinta dell’arco aumenta, in quanto è inversamente proporzionale alla freccia.

Per risolvere una struttura ad arco con SAP dobbiamo utilizzare un programma come autocad o rhino poiché su SAP è impossibile disegnare linee curve (il programma infatti riconosce l’arco come un insieme di punti).

1. ARCO A TUTTO SESTO

Una volta disegnato l’arco su autocad e ruotato con autocad 3d lo importiamo in SAP (salvato in .dxf) 

L'arco è semi circolare (di raggio 6m), la freccia è di 3 m.

 

Per prima cosa mettiamo i vincoli di appoggio agli estremi (assign-joint-restrains) 

 

Dopodichè bisogna inserire una cerniera interna al concio di chiave

Assegniamo quindi la sezione all’arco (cemento 0,4x0,3)

A questo punto assegniamo un carico distributo da 10 kN (assign-frame loads-distribuited) , in direzione gravity projected (cosi il carico è distribuito lungo la lunghezza dei 6m della proiezione a terra dell'arco e non della sua effettiva lunghezza)

Avviamo quindi l'analisi

Le reazioni vincolari  sono verificate:

- reazione vincolare al carico verticale --> qR = 10 x 3 =30 kN 

-spinta orizzontale dell’arco --> qR/2 = 10 x 30/2 15 kN

2. ARCO RIBASSATO

A questo punto importiamo da CAD l'arco ribassato, di luce 3m 

  

Come sopra assegnamo la sezione, i carichi (due cerniera alle imposte e togliamo il momento al conchio di chiave , per simulare una cerniera interna) e mettiamo un carico distribuito , sempre di 10 kN.

A questo punto avviamo l'analisi

Reazioni vincolari:

- reazione vincolare al carico verticale --> qL= 10 x 3 =30 kN 

-spinta orizzontale dell'arco --> qL^2/2F = 10 x 9 / 2 x 2,05 = 21 kN