Esercitazione

ESERCITAZIONE 01 
Esercitazione svolta con Francesco Petrelli.
 

Dimensionamento di un telaio in tre tecnologie (cemento armato, acciaio, legno)

La struttura analizzata è una struttura a telaio composta da un sistema di travi e pilastri, prendendo in esame gli elementi orizzontali e verticali più sollecitati (Fig.1) che saranno dimensionati nelle tre tecnologie richieste: cemento armato, acciaio e legno.

Fig.1

ANALISI CARICHI

Il primo step per il predimensionamento è l’analisi dei carichi delle tre tipologie di solaio (solaio in latero-cemento, solaio in lamiera grecata e solaio in legno), secondo quanto stabilito dalla normativa che prevede l’analisi delle tre tipologie di carico (carico strutturale q_s, carico permanente non strutturale q_p, carico accidentale q_a) combinate tramite i coefficienti di sicurezza γ per ottenere il valore del carico ultimo q_u:

q_u=γ₁*q_s + γ₂*q_p +γ₃*q_a

dove i coefficienti di sicurezza γ₁,γ₂ e γ₃ hanno valori rispettivamente pari a 1,3, 1,5 e 1,5.
Il carico accidentale q_a è tabellato nella normativa ed ha un valore variabile a seconda della destinazione d’uso dell’edificio. In questo caso specifico è stato ipotizzato che il telaio studiato appartenga ad un edificio ad uso residenziale, per il quale la normativa prevede un carico accidentale q_a del valore di 2,00 kN/m².

CEMENTO ARMATO

Si considera il solaio in latero-cemento rappresentato nella Fig.2

Fig.2

Nel calcolo del carico strutturale q_s vengono inseriti i carichi dati da:
- pignatte q_pignatte
- soletta in cls q_soletta
- travetti q_travetti

q_pignatte = V_pignatta /m² * γ_laterizio * (1m/interasse) = 0,08 m³/m² * 8 kN/m³ * 1m/0,50m = 1,28 kN/m²

q_soletta = s _soletta * γ_cls = 0,04m * 25 kN/m³ = 1 kN/m²

q_travetti = V_travetti /m² * γ_cls * (1m/interasse) = 0,02 m³/m² * 25 kN/m³ * 1m/0,50m = 1 kN/m²

q_s = q_pignatte + q_soletta + q_travetti = 3,28 kN/m²

Nel calcolo del carico permanente non strutturale q_p vengono inseriti i carichi dati da:
- massetto q_massetto
- sottofondo q_sottofondo
- pavimento q_pavimento
- intonaco q_intonaco
- incidenza dei tramezzi
- incidenza degli impianti

q_massetto = s _massetto * γ_cls = 0,04m * 25 kN/m³ = 1 kN/m²

q_sottofondo = s _sottofondo * γ_cls = 0,02m * 25 kN/m³ = 0,5 kN/m²

q_pavimento = s _pavimento * γ_marmo = 0,02m * 28 kN/m³ = 0,56 kN/m²

q_intonaco = s _intonaco * γ_{malta di calce} = 0,015m * 18 kN/m³ = 0,27 kN/m²

incidenza tramezzi = 1 kN/m²

incidenza impianti = 0,5 kN/m²

q_p = q_massetto + q_sottofondo + q_pavimento + q_intonaco + incidenza tramezzi + incidenza impianti = 3,77 kN/m²

q_u=γ₁*q_s + γ₂*q_p +γ₃*q_a = (3,28 kN/m² * 1,3) + (3,77 kN/m² * 1,5) + (2,00 kN/m² * 1,5) = 77,514 kN/ m²

ACCIAIO

Si considera il solaio in lamiera grecata rappresentato nella Fig.3

Fig.3

Nel calcolo del carico strutturale q_s vengono inseriti i carichi dati da:
- lamiera q_lamiera
- soletta in cls q_soletta
- travetti q_travetti

q_lamiera = 0,1045 kN/m²    (valore tabellato)

q_soletta = s _soletta * γ_cls = (0,065m – 0,055m/2) * 25 kN/m³ = 2,3125 kN/m²

q_travetti = n°_travetti /m² * Peso _travetto/m = (1m/interasse) * Peso _travetto/m = (1m/0,80m) * (0,158 kN/m / 1m) =
           = 0,1975 kN/m²

q_s = q_lamiera+ q_soletta + q_travetti = 2,6145 kN/m²

Nel calcolo del carico permanente non strutturale q_p vengono inseriti i carichi dati da:
- massetto q_massetto
- sottofondo q_sottofondo
- pavimento q_pavimento
- inincidenza dei controsoffitti
- incidenza dei tramezzi
- incidenza degli impianti

q_massetto = s _massetto * γ_cls = 0,04m * 25 kN/m³ = 1 kN/m²

q_sottofondo = s _sottofondo * γ_cls = 0,02m * 25 kN/m³ = 0,5 kN/m²

q_pavimento = s _pavimento * γ_marmo = 0,02m * 28 kN/m³ = 0,56 kN/m²

incidenza controsoffitti = 0,35 kN/m²

incidenza tramezzi = 1 kN/m²

incidenza impianti = 0,5 kN/m²

q_p = q_massetto + q_sottofondo + q_pavimento + incidenza controsoffitti + incidenza tramezzi + incidenza impianti =
= 3,91 kN/m²

q_u=γ₁*q_s + γ₂*q_p +γ₃*q_a = (2,6145 kN/m² * 1,3) + (3,91 kN/m² * 1,5) + (2,00 kN/m² * 1,5) = 73,5839kN/ m²

LEGNO

Si considera il solaio in legno lamellare rappresentato nella Fig.4

Fig.4

Nel calcolo del carico strutturale q_s vengono inseriti i carichi dati da:
- tavolato q_tavolato
- travetti q_travetti

q_tavolato = s _tavolato * γ_abete = 0,04m * 4,5 kN/m³ = 0,18 kN/m²

q_travetti = V_travetti /m² * γ_abete * (1m/interasse) = 0,0288 m³/m² * 4,5 kN/m³ * 1m/0,50m = 0,2592 kN/m²

q_s = q_tavolato + q_travetti = 0,4392 kN/m²

Nel calcolo del carico permanente non strutturale q_p vengono inseriti i carichi dati da:
- massetto q_massetto
- sottofondo q_sottofondo
- pavimento q_pavimento

q_massetto = s _massetto * γ_cls = 0,06m * 25 kN/m³ = 1,5 kN/m²

q_sottofondo = s _sottofondo * γ_cls = 0,02m * 25 kN/m³ = 0,5 kN/m²

q_pavimento = s _pavimento * γ_rovere = 0,018m * 7,5 kN/m³ = 0,135 kN/m²

q_p = q_massetto + q_sottofondo + q_pavimento = 2,135 kN/m²

q_u=γ₁*q_s + γ₂*q_p +γ₃*q_a = (0,4392 kN/m² * 1,3) + (2,135 kN/m² * 1,5) + (2,00 kN/m² * 1,5) =
= 40,6408 kN/ m²

I valori dei carichi strutturale, permanente non strutturale e accidentale e le combinazioni di carico sono stati riportati in un foglio di calcolo excel (fig.5) per valutare i momenti massimi M_max agenti sulle travi di ogni tecnologia.

M_max = q_u*l²/8

Fig.5

DIMENSIONAMENTO TELAI

I valori di M_max trovati sono stati a loro volta inseriti in altri fogli di calcolo per effettuare il predimensionamento delle travi di ogni tecnologia.

TELAIO in CEMENTO ARMATO

Date f_yk e f_ck, calcoliamo le resistenze di progetto dell’acciaio (B450) e del calcestruzzo (C30/37):

f_yd = f_yk/γ_M1 = 450 MPa / 1,15

f_cd = (α_cc* f_ck)/ γ_c = (0,85 * 30) / 1,5

dove γ_M1 e γ_c sono i coefficienti parziali di sicurezza rispettivamente di acciaio e cls, e α_cc il coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata.

Con i valori ottenuti sono stati calcolati i coefficienti β e r, necessari per definire l’altezza utile della sezione della trave:

dove M_max è il valore del momento trovato in precedenza e b è il valore della base della sezione della trave scelta in modo arbitrario.

L’altezza della sezione sarà ottenuta sommando l’altezza del copriferro δ all’altezza utile h_u.

Una volta trovata l’altezza della trave in funzione della base, si può calcolare l’area della sezione e quindi il peso unitario della trave, moltiplicando il valore dell’area della sezione (A_trave = b*h) per il peso specifico del calcestruzzo (γ_cls = 25kN/m³).

Fig. 6

Il predimensionamento della trave, permette di poter dimensionare il pilastro del telaio in un nuovo foglio di calcolo excel.
Conoscendo le dimensioni geometriche della sezione della trave, quindi il suo peso, e la combinazione di carico agente distribuita superficialmente, si può calcolare la forza concentrata che agisce sul pilastro di un singolo piano moltiplicando la somma dei due carichi per l’area di influenza del pilastro (A_inf):

N₁ = (q_u + Peso_trave)*A_inf

Moltiplicando questo valore per il numero di piani n (n=4) si ottiene quindi la forza normale agente sul pilastro.

N_max = N₁*n

Fig.7

Determinato il valore della sollecitazione massima, si può dimensionare il pilastro.

Dati N_max e f_ck, si può calcolare f_cd, quindi l’area minima che dovrà avere il pilastro:

f_cd = (α_cc* f_ck)/ γ_c = (0,85 * 30) / 1,5

A_min = N_max / f_cd

Ipotizzando il pilastro con una sezione quadrata, possiamo definire b_min come la radice quadrata dell'area minima A_min e l’altezza minima h_min come A_min/b. Ingegnerizzando le dimensioni di b_min e h_min appena ottenute si ottengono le dimensioni geometriche di progetto della sezione del pilastro.

Fig.8

Una volta dimensionati le travi e i pilastri del telaio tramite i fogli di calcolo excel, si riportano le sezioni e i carichi su SAP2000.

Qui si disegna un telaio avente le caratteristiche geometriche e i materiali appena definiti e su questo telaio verranno applicate le condizioni di carico calcolate in precedenza, più un carico orizzontale dovuto alla forza del vento.

Facendo l’analisi di questo telaio si ottengono la configurazione deformata (Fig.9) e i diagrammi delle sollecitazioni del momento (Fig.10a - Fig.10b) e dello sforzo normale (Fig.11a - Fig.11b).

Fig.9

Fig.10a

Fig.10b
 

Fig.11a

Fig.11b

Per verificare il dimensionamento del telaio, bisogna riportare nei fogli di calcolo excel costruiti in precedenza i valori massimi del momento e dello sforzo normale ricavati dall’analisi su SAP ed, eventualmente, modificare le dimensioni delle sezioni delle travi (Fig.12) e dei pilastri (Fig.13) calcolate durante il predimensionamento.

Fig.12

Fig.13

Nella Fig.13, le ultime tre celle del foglio di calcolo (q_t, M_t e σ_max) servono per la verifica a presso-flessione del pilastro.

Un pilastro è verificato a presso-flessione se la tensione massima provocata dai carichi è minore della resistenza di progetto:

σ_max < f_cd

La tensione massima è data da:

σ_max = (N_max/A) + (M_t/W_x)

dove N_max è lo sforzo normale massimo agente sul pilastro, A è l’area di design del pilastro, W_x è il modulo di resistenza a flessio e M_t è il momento trasferito sul pilastro dalla trave, che è dato da:

M_t = q_t*(l²/12)

Dove q_t è il carico del solaio linearmente distribuito sulla trave:

q_t = q_u*l

TELAIO in ACCIAIO (S 275)

Dati il M_max e f_yk, si possono definire f_yd e il modulo di resistenza a flessione W_x,min della sezione della trave in acciaio:

f_yd = f_yk/γ_M1 = 275 MPa / 1,05

W_x,min = M_max / f_yd

Conoscendo W_x,min si può scegliere la sezione della trave dal profilario delle sezioni di acciaio (Fig.14), scegliendo un profilo che presenti un valore di W_x > W_x,min
 

Fig.14

Fig.15

Una volta scelta la sezione e definite le caratteristiche geometriche della trave, con lo stesso procedimento utilizzato per il telaio in cemento armato si può calcolare lo sforzo normale massimo agente sul pilastro in acciaio.

Fig.16

Conoscendo N_max, f_yk e f_yd= f_yk/γ_M1, si può definire l’area minima del pilastro di acciaio:

A_min = N_max / f_yd

Dati il modulo di elasticità E, il coefficiente di vincolo β e la lunghezza del pilastro l, si può calcolare la snellezza massima del pilastro λ*, il raggio di inerzia minimo ρ_min e il momento di inerzia minimo I_min:

Conoscendo questi valori, si può scegliere la sezione del pilastro dal profilario delle sezioni di acciaio (Fig.17) tale che l’area del profilo scelto sia maggiore dell’A_min calcolata.

Fig.17

Fig.18

Una volta dimensionati le travi e i pilastri del telai, si riportano le sezioni e i carichi su SAP.

Si disegna un telaio avente le caratteristiche geometriche e i materiali appena definiti e verranno applicate le condizioni di carico, più il carico orizzontale dovuto alla forza del vento.

Facendo l’analisi di questo telaio si ottengono la configurazione deformata (Fig.19) e i diagrammi delle sollecitazioni del momento (Fig.20a - Fig.20b) e dello sforzo normale (Fig.21a - Fig.21b).

Fig.19

Fig.20a

Fig.20b

Fig.21a

Fig.21b

Per verificare il dimensionamento del telaio, si riportano nei fogli di calcolo excel i valori massimi del momento e dello sforzo normale ricavati dall’analisi su SAP ed, eventualmente, si modificano le dimensioni delle sezioni delle travi (Fig.22) e dei pilastri (Fig.23) calcolate durante il predimensionamento.

Fig.22

Fig.23

TELAIO in LEGNO (GL 28h)

Dati il momento massimo M_max, la resistenza f_m,k, coefficiente diminutivo della resistenza del materiale k_mod e il coefficiente parziale di sicurezza γ_m, si può calcolare la geometria della trave.

Fissando una dimensione arbitraria della base b, si trova la dimensione dell’altezza minima della trave:

dove f_d = (k_mod * f_m,k) / γ_m.

Ingegnerizzando il valore di h_min ottenuto si trova il valore di h, quindi l’area della sezione.

Fig.24

Una volta scelta la sezione e definite le caratteristiche geometriche della trave, con lo stesso procedimento utilizzato per i telai in cemento armato e in acciaio si può calcolare lo sforzo normale massimo agente sul pilastro in legno.

Fig.25

Conoscendo N_max, f_m,k, f_d,  k_mod e γ_m, si calcola l’area minima del pilastro:

A_min = N_max / f_d

Dati il modulo di elasticità E, il coefficiente di vincolo β e la lunghezza del pilastro l, si può calcolare la snellezza massima del pilastro λ*, il raggio di inerzia minimo ρ_min:

Si può allora calcolare la base minima della sezione:

Ingegnerizzando il valore ottenuto, si ricava b. Si può allora calcolare l’altezza minima della sezione:

h_min = A_min / b

Ingegnerizzando anche questo valore, si ottiene l’altezza della sezione.

Fig.26

Una volta dimensionati le travi e i pilastri del telai, si riportano le sezioni e i carichi su SAP.

Si disegna un telaio avente le caratteristiche geometriche e i materiali appena definiti e verranno applicate le condizioni di carico, più il carico orizzontale dovuto alla forza del vento.

Facendo l’analisi di questo telaio si ottengono la configurazione deformata (Fig.27) e i diagrammi delle sollecitazioni del momento (Fig.28a - Fig.28b) e dello sforzo normale (Fig.29a - Fig.29b).

Fig.27
Fig.28a

Fig.28b

Fig.29a

Fig.29b

Per verificare il dimensionamento del telaio, si riportano nei fogli di calcolo excel i valori massimi del momento e dello sforzo normale ricavati dall’analisi su SAP ed, eventualmente, si modificano le dimensioni delle sezioni delle travi (Fig.30) e dei pilastri (Fig.31) calcolate durante il predimensionamento.

Fig.30

Fig.31

L'esercitazione è stata svolta in parte insieme a Marta Massacesi.

​

  Esercitazione 1

• Definizione della struttura di un edificio

   

  L'edificio ipotizzato ha una struttura a travi e pilastri di tre piani ed è destinato ad uso residenziale.

  Il perimetro è di 16,60x12,60 con luci di 8m ed interassi di 6m.

  

• Stratigrafie e dimensionamento della sezione di trave e pilastro maggiormente sollecitati.

Per studiare come si comporta questa struttura a seconda della tecnologia utilizzata, si ipotizzano tre differenti predimensionamenti di solai (in acciaio, in legno ed in latero-cemento) e le conseguenti verifiche della sezione di trave portante.

Sommando i carichi (Qsx1,3 + Qpx1,5 + Qax1,5) e moltiplicandoli per l'interasse si ottiene il carico uniformemente distribuito (Qu) sulla trave presa in considerazione e successivamente si calcola il Momento Flettente Massimo che insiste sulla sezione di trave maggiormente sollecitata. Ipotizzando delle condizioni di vincolo appoggio-appoggio il Momento Massimo si calcola tramite la formula: QL^2/8 

Definito il Momento Massimo di progetto, si calcola la resistenza di progetto Fd, definita dalla motiplicazione della resistenza caratteristica del legno per il coefficiente di degrado nel tempo Kmod (=0,60) e diviso per il coefficiente di sicurezza Ym (=1,45).

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale si è procede per il dimensionamento dell’altezza della trave utilizzando la formula flessionale di Navier e scegliendo arbitrariamente la dimensione della base della sezione:

 σmax= Mmax*Wx ⇒ Wx= Jxx / (h/2)

Il passo successivo consiste nell'aggiungere al Qu trovato in precedenza, il peso unitario (Area della sezione di trave per il peso specifico del materiale scelto) della trave appena dimensionata moltiplicato per 1,3 (dalle combinazioni di carico) e verificare la resistenza della trave considerando il nuovo Momento Massimo.

Lo stesso procedimento si effettua per il dimensionamento del pilastro più sollecitato:

La sezione del pilastro sarà quindi di 0,40x0,40.

Successivamente alla definizione di questi dati, essi vengono inseriti all'interno del programma SAP200 dal quale si ricava il diagramma dei momenti relativo alla struttura. 

Sommando i carichi (Qsx1,3 + Qpx1,5 + Qax1,5) e moltiplicandoli per l'interasse si ottiene il carico uniformemente distribuito (Qu) sulla trave presa in considerazione e successivamente si calcola il Momento Flettente Massimo che insiste sulla sezione di trave maggiormente sollecitata. Ipotizzando delle condizioni di vincolo appoggio-appoggio il Momento Massimo si calcola tramite la formula: QL^2/8.

Definito il Momento Massimo di progetto, si calcola la resistenza di progetto Fyd, definita dalla motiplicazione della resistenza caratteristica dell'acciaio scelto (Fyk=355) per il coefficiente di sicurezza (1,05).

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale si è procede per il dimensionamento dell’altezza della trave.

Attraverso la formula di Navier è possibile infatti trovare il Modulo di Resistenza Elastica (W) e di conseguenza scegliere una trave IPE avente modulo W pari o superiore a quello precedentemente ricavato. 

Il passo successivo consiste nell'aggiungere al Qu trovato in precedenza, il peso unitario (Area della sezione di trave per il peso specifico del materiale scelto) della trave appena dimensionata moltiplicato per 1,3 (dalle combinazioni di carico) e verificare la resistenza della trave considerando il nuovo Momento Massimo.

Lo stesso procedimento si effettua per il dimensionamento del pilastro più sollecitato:

Successivamente alla definizione di questi dati, essi vengono inseriti all'interno del programma SAP200 dal quale si ricava il diagramma dei momenti relativo alla struttura. 

Una volta ricavata la resistenza di progetto del materiale si calcola il coefficiente di omogeneizzazione σ della sezione in C.A.

Per poter calcolare la posizione dell’asse neutro della sezione viene usato il teorema dei triangoli simili, mediante la formula:

xc / hu = (σca/Eca) / (σca/Eca + σfd/Efd) ⇒ hu * (σca/Eca) = xc * (σca/Eca + σfd/Efd)

Si procede poi con il dimensionamento dell’altezza della trave, avendo scelto arbitrariamente una dimensione di base.

Il passo successivo consiste nell'aggiungere al Qu trovato in precedenza, il peso unitario (Area della sezione di trave per il peso specifico del materiale scelto) della trave appena dimensionata moltiplicato per 1,3 (dalle combinazioni di carico) e verificare la resistenza della trave considerando il nuovo Momento Massimo.

Lo stesso procedimento si effettua per il dimensionamento del pilastro più sollecitato:

 

Successivamente alla definizione di questi dati, essi vengono inseriti all'interno del programma SAP200 dal quale si ricava il diagramma dei momenti relativo alla struttura. 

 

Questa esercitazione è stata svolta con Eleonora Roberti

Dato un telaio per ogni tecnologia (C.a. ,acciao,legno) andiamo a dimensionare travi e pilastri più sollecitati.

Esercitazione svolta con Marta Macciò.

Lo scopo dell'esercitazione è dimensionare le travi e i pilastri di una struttura scelta da noi, utilizzando differenti tecnologie, attraverso il programma di calcolo Excel, successivimante inserire tali valori sul programma SAP2000 e verificare che le sezioni scelte siano corrette.

Esercitazione svolta in parte con Alessandra Tagliatesta

Scopo di questa esercitazione è il dimensionamento della trave e del pilastro più sollecitati di un telaio, analizzato in tre differenti tecnologie di costruzione: acciaio, legno, cemento armato.

Per fare ciò andremo ad utilizzare il programma di calcolo Excel unito al software di calcolo strutturale SAP2000.  In particolare, il procedimento prevede:

1. analisi dei carichi agenti sulla struttura
2. predimensionamento trave/pilastro più sollecitato su Excel
3. inserimento dei dati in SAP2000
4. verifica tramite Excel

Per l'esercitazione si è scelto di andare a considerare un edificio a telai piani ad uso residenziale di 4 piani. 

• luce: 5m
• interasse: 4m

1) L'analisi dei carichi è data dalla somma dei vari carichi agenti sulla struttura moltiplicati per i loro coefficienti di sicurezza, che incrementano il carico per incertezza:

                                   qtot = qs x 1,3 + qa x 1,5 + qp x 1,5 = kN/m²

• qs rappresenta il carico strutturale, ovvero il carico degli elementi che hanno funzione portante
• qp rappresenta il carico permanente, ovvero il carico degli elementi che gravano sulla struttura ma non svolgono ruolo portante
• qa rappresenta il carico accidentale, legato alla destinazione d'uso dell'edificio e regolati dalla normativa (NTC2008- Norme tecniche per le costruzioni- D. M. 14 Gennaio 2008)

Per ottenere il valore del carico lineare qu, andrò a moltiplicare il carico totale agente per l'interasse:

                                               qu = qtot x i = kN/m

Per effettuare l'analisi dei carichi dobbiamo quindi considerare le stratigrafie dei tre solai presi in considerazione e valutare i carichi agenti

(a) SOLAIO IN ACCIAIO

qs

• travetti: γacciaio x A x incidenza (1m/ interasse)= 78,5 kN/m³ x 0,001321m² x (1/0,08)= 0,13 kN/m²
• lamiera: 10,47 kg/m² x 9,8 m/s²= 0,10 kN/m²
• getto: γca x smedio = 25 kN/m³ x 0,0092= 2,32 kN/m²

tot: 2,55 kN/ m²

qp

• pavimento: 0,4 kN/m²
• massetto: γcls x smedio = 20 x 0,3 m = 0,6 kN/m²
• impianti: 0,1 kN/m²
• tramezzi: 1,6 kN/m²

tot: 2,7 kN/m²

qa

• civile abitazione: 2 kN/m²

(b) SOLAIO IN LEGNO

qs

• travetti: γlegno x A x i = 8 kN/m³ x (0,15 m x 0,10 m) x 1m= 0,015 kN/m²
• assito: 0,21 kN/m²
• caldana: 0,28 kN/m²

tot: 0,61 kN/m²

qp

• isolante: 0,0072 kN/m²
• sottofondo: 0,54 kN/m²
• pavimento: 0,2 kN/m²
• impianti: 0,1 kN/m²
• tramezzi: 1 kN/m²

tot: 1,85 kN/m²

qa

• civile abitazione: 2 kN/m²

(c) SOLAIO IN LATEROCEMENTO

qs

• soletta in c.a.: γca x s = 25 kN/m³ x 0,04 m= 1 kN/m²
• travetti: γca x A x i = 25 kN/m³ x 0,12 m x (1/0,5) = 1,20 kN/m²
• pignatte: γlaterizio  x A x i = 6 kN/m³ x (0,38 x 0,20)m x (1/0,5)= 0,92 kN/m²

tot: 3,21 kN/m²

qp

• pavimento: 0,40 kN/m²
• allettamento e massetto: 2,40 kN/m²
• isolante acustico: 0,03 kN/m²
• intonaco: 0,40 kN/m²
• tramezzi: 1,60 kN/m²

tot: 4,83 kN/m²

qa

• civile abitazione: 2 kN/m²

2) Prima di andare a dimensionare la trave nelle varie tecnologie, assumiamo che:

- il modello di trave in esame viene considerato quello di semplice trave doppiamente appoggiata

- la tensione massima della trave viene posta come tensione di progetto (σmax= fd)

Si va ad individuare la trave più sollecitata e la sua area di influenza.

• interasse: 4m
• area di influenza: 20m²

Una volta effettuata l'analisi dei carichi e conoscendo la luce della trave, andiamo a progettare sul foglio di calcolo la trave a flessione tramite formula del momento per trave doppiamente appoggiata:

                                         Mmax = (qu x l²)/8

Per semplicità di lavoro, si è preferito distinguere le tabelle del foglio di calcolo in bianco, per i risultati, e in azzurro, per i dati in possesso. 

Ora su tre fogli di calcolo distinti per ciascun materiale andiamo a dimensionare la trave.

(a) ACCIAIO

La tensione di progetto fyd si calcola tramite tensione di snervamento dell'acciaio scelto (fyk=450 MPa), diviso per un coefficiente di sicurezza γs pari a 1,05:

                                                        fyd = fyk/γs

Per progettare la sezione in acciaio abbiamo bisogno del modulo di resistenza a flessione Wx:

                                                    Wxmin =  Mmax / fyd

Questo è il valore minimo che la nostra sezione può avere affinché non superi lo snervamento di progetto, per cui mi basterà prendere un profilo che abbia modulo di resistenza superiore a questo valore.

(b) LEGNO

La tensione di progetto fd si calcola moltiplicando la resistenza caratteristica a flessione del legno scelto (fm,k = 24 kN/mm²) per un coefficiente diminutivo kmod che tiene conto della durata del carico o delle condizioni ambientali e poi dividendo per un coefficiente di sicurezza γm = 1,45

                                               fd =  (fm,k  x kmod) / γm

Fissata la base della sezione, si può calcolare l'altezza minima:

                                          hmin= ( Mmax / b) ^ ^0,5 x (6 / fd)^ ^0,5

(c) CEMENTO ARMATO

Essendo questo un materiale composto sia da calcestruzzo che da barre di acciaio, avrò bisogno sia della resistenza caratteristica dell'acciaio (fyk) che di quella del calcestruzzo (fck) per poter quindi ricavare le due tensioni di progetto. Per quella del calcestruzzo occorre conoscere un coefficiente riduttivo pari a αcc=0,85 e un coefficiente di sicurezza γc , più alto di quello dell'acciaio pari a 1,5:

                                           fcd = αcc  x (fck/γc)

Fissata la base della sezione, calcolo quindi l'altezza utile della sezione hu= r x (Mmax/b)^^0,5, da cui ottengo

                                               Hmin = hu + δ,

in cui δ rappresenta la distanza tra baricentro dell'armatura e calcestruzzo teso.

Per la trave in cemento armato tuttavia, non possiamo trascurare il peso proprio della trave. Moltiplicando l'area della trave per il peso specifico del calcestruzzo armato (25 kN/m³), ottengo il peso unitario della trave. Vado a sommare al carico totale trovato in precedenza, il peso unitario moltiplicato per il coefficiente di sicurezza e svolgo nuovamente i calcoli. Nel caso in esame, posso mantenere la sezione scelta in precedenza. 

Per andare a dimensionare i pilastri, dobbiamo calcolare lo sforzo normale massimo Nmax.

Come prima, bisogna andare ad individuare il pilastro più sollecitato e la sua area di influenza. Questo corrisponderà al pilastro al piano terra, perché è quello su cui gravano tutti i carichi dell'edificio. 

• luce: 5m
• interasse: 4m
• area di influenza: 20m²

Il peso delle travi che poggiano sul pilastro più il carico del solaio, moltiplicati per il numero di piani della mia struttura, mi darà lo sforzo normale massimo Nmax:

                                                Nmax = (qtravi+qsolaio) x npiani

(a) ACCIAIO

Calcolando la tensione di progetto fyd, trovo l'area minima della sezione tramite sforzo nomale:

                                               Amin = Nmax / fyd.

Lo step successivo è quello di trovare il massimo valore di snellezza λmax e il raggio di inerzia minimo ρmin, in modo da calcolare l'inerzia minima Imin:

                                                     Imin = A ρmin²

Come per la trave, andrò a scegliere un profilo di acciaio con un valore di inerzia superiore. Una volta scelto il profilo, avrò anche l'Adesign e il Idesign tramite sagomario.

(b) LEGNO

Anche in questo caso posso trovare l'area minima tramite Amin = N/fyd, il massimo valore di snellezza λmax e il raggio di inerzia minima ρmin. Essendo la sezione rettangolare, in questo caso potrò ricavare direttamente la base della sezione

                                                          b = 2 x (3)^^0,5 x ρmin

per poi calcolare l'altezza

                                                                  h = Amin/b.

(c) CEMENTO ARMATO

Il calcolo del pilastro in cemento armato si effettua come quello del legno, quindi tramite calcolo della base della sezione a partire dall'area minima Amin, snellezza λmax e raggio di inerzia ρmin.

3) Una volta dimensionati le travi e i pilastri nelle tre tecnologie posso effettuare una verifica disegnando la struttura in SAP2000 come la si è progettata e applicandovi i carichi utilizzati. Inserirò inoltre il carico del vento e il peso delle travi che agiscono sui pilastri.

(a) ACCIAIO

• trave: IPE300
• pilastro: HEA160

(b) LEGNO

• trave: 30cm x 45cm
• pilastro: 30cm x 20cm

(c) CEMENTO ARMATO

• trave: 30cm x 50cm
• pilastro: 30cm x 30cm

4) A questo punto posso confrontare i risultati ottenuti con SAP2000 con quelli del foglio di calcolo.

(a) ACCIAIO

La trave è verificata, mentre lo sforzo normale risulta maggiore di quello calcolato. La sezione tuttavia rimane invariata in quanto Adesign (IPE300) > Amin.

(b) LEGNO

Il momento risulta maggiore rispetto a quello calcolato con Excel, ma posso mantenere invariata la sezione della trave in quanto hdesign>hmin. Il pilastro invece viene leggermente ingrandito e la nuova sezione risulterà 30cm x 25cm.

(c) CEMENTO ARAMTO

Il momento viene verificato, mentre lo sforzo normale risulta più grande ma mantiene inalterata la sezione.

Nella sezione in calcestruzzo armato, tuttavia, dobbiamo considerare che il pilastro è sottoposto non solo a compressione ma a presso-flessione, per cui occorrerà effettuare anche la verifica a presso-flessione:

                                                                                                                                                                                                   σ = (N / A) + (Mt / Wmax)

                                                         σmax < fcd

In questo caso, la verifica non viene soddisfatta quindi bisognerà comunque modificare la sezione del pilastro e sceglierne uno più grande.

Per questa esercitazione vogliamo dimensionare trave e pilastro maggiormente sollecitati di un telaio generico, che venga realizzato in c.a., acciaio e legno.

1.DEFINIZIONE DELL’IMPALCATO DEL SOLAIO

Il telaio strutturale presenta una maglia regolare di 5,00 m x 5,00 m. La trave centrale e il pilastro centrale sono gli elementi maggiormente sollecitati in quanto risultano essere quelli con la maggiore area di influenza del solaio. Per ogni tecnologia avremo delle stratigrafie e dei carichi agenti differenti, quindi considereremo i tre materiali separatamente.

2.CALCESTRUZZO ARMATO

2.a ANALISI DEI CARICHI

Qs (KN/m^2) = carichi strutturali

• Travetti (12x20 cm) = 25 kN/m^3 x 0,024 m^2 x 1/0,5 m = 1,2 kN/m^2
• Pignatte = 0,076 m^2 x 1/0,5 m x 6 kN/m^3 = 0,92 kN/m^2
• Soletta di completamento = 25 kN/m^3 x 0,04 = 1,00 kN/m^2
• TOT. = 3,12 kN/m^2

Qp (kN/m^2) = carichi permanenti

• Pavimento in grès ceramico (sp. 0,02 m x 20 kN/m^3) = 0,4 kN/m^2
• Isolante termico ( sp. 0,05 m) = 0,05 kN/m^2
• Incidenza dei tramezzi = 1 kN/m^2
• Incidenza degli impianti = 0,5 kN/m2
• TOT. = 1,95 kN/m^2

Qa (kN/m^2) = carico accidentale

• Civile abitazione = 2,00 kN/m^2
• TOT. = 2,00 kN/m^2

Qu =  (1,3qs x 1,5qp x 1,5qa) x 5,00 m =  49,91 kN/m

2.b DIMENSIONAMENTO A FLESSIONE DELLA TRAVE  

Uso lo schema semplice di trave doppiamente appoggiata quindi calcolo il momento come

Mmax = Qu x l^2 / 8 = 155,95 kNm

Poi scelgo quali classi di materiali usare sia per l’acciaio che per il calcestruzzo, che influenzeranno sia le proprietà che la geometria della sezione. Materiali scelti:

• ACCIAIO B450C  ( resistenza caratteristica acciaio fyk=450,00 Mpa)
• CLS C35/45 (resistenza caratteristica cls fck=35,00 Mpa)

Con questi valori posso calcolare le tensioni di progetto del calcestruzzo compresso e dell’acciaio.

Dai valori delle tensioni di progetto definisco hu per poi calcolare Hmin come Hmin= hu + δ

• δ (copriferro)
• hu (altezza utile della sezione)

Ponendo b=30 cm e δ=5 cm ottengo hmin=48,89 cm. Nel calcestruzzo armato si ingegnerizzano le sezione arrotondando per difetto per cui scelgo H=50 cm e verifico la sezione aggiungendo il peso delle travi.

2.c DIMENSIONAMENTO DEL PILASTRO IN CLS ARMATO

Comincio analizzando tutto il carico agente sul pilastro più sollecitato. All’analisi dei carichi effettuata in precedenza aggiungo il peso delle travi che incidono sul pilastro

Ptravi = (Atrave x l x γ) x 2 = (0,165 x 5 x 25 ) x 2 = 41,25 kN

Ora posso stimare il carico del solaio Qsolaio= qu x Ainf = 249,53 kN a cui aggiungo il peso delle travi. Poi moltiplico per il numero dei piani e ottengo il valore di Nmax.

Dal valore di Nmax posso calcolare l’area minima del pilastro facendo A=N/fcd. Successivamente procedo con il calcolo del raggio di inerzia minimo, che per il cls avendo sezione rettangolare ci permette di calcolare la base minima del pilastro. I parametri che inserisco sono:

E = modulo di elasticità

β=parametro legato ai vincoli del pilastro analizzato (in questo caso β=1)

l = lunghezza dell’elemento

Questi parametri ci permettono di calcolare il valore della snellezza e il raggio di inerzia minimo rispettivamente definite come:

λ=3,14 x (E/fyd)^0,5     e       ρmin = β x l / λ

Dopo aver calcolato il raggio di inerzia minimo posso calcolare la base minima della sezione facendo bmin=2x(3)^0,5xρmin. Ora possiamo calcolare anche l’altezza minima facendo la formula inversa hmin=A/bmin. Cosi facendo troviamo dei valori minimi che vanno ingegnerizzati. In questo caso scelgo di utilizzare una sezione 30 cm x 30 cm. 

2.d VERIFICA DELLA TRAVE E DEL PILASTRO IN CALCESTRUZZO ARMATO

Creo il modello del telaio su sap2000 ed oltre ai carichi qs, qp e qa aggiungo alla struttura la forza del vento Fv = 0,7 x i = 0,7 x 5 = 3,5 kN/m, e calcolo il valore delle sollecitazioni, per vedere se quest’ultima forza influisce sulla struttura.

Controllo i valori sia del momento sia dello sforzo normale e verifico attraverso il foglio di calcolo se la sezione della trave e quella del pilastro che ho dimensionato sono sufficienti o dovranno essere incrementate.

verifica trave

verifica pilastro

Però per il calcestruzzo devo procedere anche con la verifica a pressoflessione in quanto siccome i nodi dei pilastri sono incastri c’è una trasmissione dei momenti, che sottopone i pilastri a pressoflessione.

3. ACCIAIO

3.a ANALISI DEI CARICHI

Qs (KN/m^2) = carichi strutturali

• Travi IPE 160 = 78,5 kN/m^3 x 0,002009 m^2 x 1/0,8 m = 0,2 kN/m^2
• Caldana in c.a. = 25kN/m^3 x 0,04 m = 1,00 kN/m^2
• Tavelloni 250x800x60 (7,7 kg a pezzo) = 5 x 7,7 x 10/1000 = 0,39 kN/m^2
• Incidenza cls tra un tavellone e l’altro = 0,11 kN/m^2
• TOT.  1,70 kN/m^2

Qp (kN/m^2) = carichi permanenti

• Massetto sabbia e cemento = 18 kN/m^3 x 0,04 = 0,72
• Pavimento in grès ceramico (sp. 0,02 m x 20 kN/m^3) = 0,4 kN/m^2
• Isolante termico ( sp. 0,05 m) = 0,05 kN/m^2
• Incidenza dei tramezzi = 1 kN/m^2
• Incidenza degli impianti = 0,5 kN/m2
• TOT. 2,67 kN/m^2

Qa (kN/m^2) = carico accidentale

• Civile abitazione = 2,00 kN/m^2
• TOT. = 2,00 kN/m^2

Qu = (1,3qs x 1,5qp x 1,5qa) x 5,00 m =  46,08 kN/m

3.b MOMENTO MASSIMO

Mmax = Qu x l^2 / 8 = 143,98 kNm

3.c DIMENSIONAMENTO A FLESSIONE DELLA TRAVE

Per prima cosa scegliamo l’acciaio che vogliamo utilizzare per dimensionare la nostra trave. Ipotizziamo di usare un acciaio S275 avente tensione di snervamento fyk=275 Mpa e tensione di progetto fyd=261,9 Mpa. Per far si che la trave resista a flessione dobbiamo avere una situazione in cui il modulo di resistenza a flessione di progetto sia maggiore di quello minimo, quindi Wxmin < Wd.

Il modulo di resistenza a flessione minimo è dato da   Wxmin= Mmax/fyd

Nel caso in questione Wxmin = 549,76 cm^3, quindi dal sagomario scegliamo una trave che abbia un W maggiore di quello minimo, ovvero Wd= 557,10 (IPE300)

3.d DIMENSIONAMENTO DEL PILASTRO IN ACCIAIO

Comincio analizzando il carico agente sul pilastro più sollecitato. Per fare ciò calcolo il peso del solaio facendo Qsolaio= qu x Ainf = 230,38 kN, poi lo moltiplico per il numero dei piano e ottengo il valore di Nmax = 938,40 kN

Successivamente mettendo in relazione lo sforzo normale massimo Nmax e la tensione di progetto fyd posso ricavare l’area minima della sezione affinchè il materiale non entri in crisi.

Amin = Nmax/fyd = 35,83 cm^2

Fatta questa operazione, dobbiamo calcolare il raggio di inerzia minimo che ci permetterà di calcolare il momento di inerzia minimo della sezione. Arriviamo alla soluzione attraverso i seguenti parametri:

E = modulo di elasticità

β=parametro legato ai vincoli del pilastro analizzato (in questo caso β=1)

l = lunghezza dell’elemento

Questi parametri ci permettono di calcolare il valore della snellezza e il raggio di inerzia minimo rispettivamente definite come:

λ=3,14 x (E/fyd)^0,5     e       ρmin = β x l / λ

Dopo aver determinato il valore di ρmin posso calcolare il momento di inerzia minimo

Imin = A x ρ^2min

Quest’ultimo valore ci consentirà di scegliere dalle tabelle dei profilati, la sezione avente un valore del momento di inerzia minimo maggiore rispetto a quello ottenuto. Scegliendo il profilo avremo trovato l’Area di Design e il Momento di Inerzia di Design

3.e VERIFICA DELLA TRAVE E DEL PILASTRO IN ACCIAIO

Creo il modello del telaio su sap2000 ed oltre ai carichi qs, qp e qa aggiungo alla struttura la forza del vento Fv = 0,7 x i = 0,7 x 5 = 3,5 kN/m, e calcolo il valore delle sollecitazioni, per vedere se quest’ultima forza influisce sulla struttura.

Controllo i valori sia del momento sia dello sforzo normale e verifico attraverso il foglio di calcolo se la sezione della trave e quella del pilastro che ho dimensionato sono sufficienti o dovranno essere incrementate.

verifica trave

verifica pilastro

La sezione della trave è verifica mentre quella del pilastro scelgo un profilato maggiore prendendo in considerazione non solo il momento di inerzia ma anche il parametro relativo all'area minima, quindi scelgo un HEA180.

4. LEGNO

4.a ANALISI DEI CARICHI

Qs (KN/m^2) = carichi strutturali

• Travetti in legno di pioppo = 5 kN/m^3 x 0,02 m^2 x 1/0,5 m = 0,2 kN/m^2
• Tavolato in legno di pioppo = 5 kN/m^3 x0,03 m = 0,15 kN/m^2
• TOT. 0,35 kN/m^2

Qp (kN/m^2) = carichi permanenti

• Incidenza dei tramezzi = 1 kN/m^2
• Incidenza degli impianti = 0,5 kN/m2
• Isolante in fibra di legno = 0,5 kN/m^3 x 0,05 m = 0,025 kN/m^2
• Massetto in malta di cemento = 21 kN/m^3 x 0,04 m = 0,84 kN/m^2
• Parquet in legno massello di rovere = 7,2 kN/m^3 x 0,03 m = 0,22 kN/m^2
• TOT. 2,58 kN/m^2

Qa (kN/m^2) = carico accidentale

• Civile abitazione = 2,00 kN/m^2
• TOT. = 2,00 kN/m^2

Qu = (1,3qs x 1,5qp x 1,5qa) x 5,00 m =  36,63 kN/m

4.b DIMENSIONAMENTO A FLESSIONE DELLA TRAVE IN LEGNO

Uso lo schema semplice di trave doppiamente appoggiata quindi calcolo il momento come

Mmax = Qu x l^2 / 8 = 114,45 kNm

Uso un legno massiccio con resistenza caratteristica fmk=24 Mpa. Dopo di che calcolo la tensione di progetto che dipende da due fattori:

• Kmod, che tiene conto della durata del carico e delle condizioni climatiche (0,8)
• γm, ovvero il fattore di sicurezza del materiale (1,5)

Quindi calcolo fd=kmod x fmk / γm

Dopo di che scelgo b=30 cm e ricavo hmin come hmin= {[(6 x M_max) / (f_d x b)]}^0,5

Poi ingegnerizzo la sezione

4.c DIMENSIONAMENTO DEL PILASTRO IN LEGNO

Comincio analizzando il carico agente sul pilastro più sollecitato. Per fare ciò calcolo il peso del solaio facendo Qsolaio= qu x Ainf = 230,38 kN, poi lo moltiplico per il numero dei piano e ottengo il valore di Nmax =759,50 kN

Dal valore di Nmax posso calcolare l’area minima del pilastro facendo A=N/fcd. Successivamente procedo con il calcolo del raggio di inerzia minimo, che per il cls avendo sezione rettangolare ci permette di calcolare la base minima del pilastro. I parametri che inserisco sono:

E = modulo di elasticità

β=parametro legato ai vincoli del pilastro analizzato (in questo caso β=1)

l = lunghezza dell’elemento

Questi parametri ci permettono di calcolare il valore della snellezza e il raggio di inerzia minimo rispettivamente definite come:

λ=3,14 x (E/fyd)^0,5     e       ρmin = β x l / λ

Dopo aver calcolato il raggio di inerzia minimo posso calcolare la base minima della sezione facendo bmin=2x(3)^0,5xρmin. Ora possiamo calcolare anche l’altezza minima facendo la formula inversa hmin=A/bmin. Cosi facendo troviamo dei valori minimi che vanno ingegnerizzati. In questo caso scelgo di utilizzare una sezione 30 cm x 25 cm. 

4.d VERIFICA DELLA TRAVE E DEL PILASTRO IN LEGNO

Creo il modello del telaio su sap2000 ed oltre ai carichi qs, qp e qa aggiungo alla struttura la forza del vento Fv = 0,7 x i = 0,7 x 5 = 3,5 kN/m, e calcolo il valore delle sollecitazioni, per vedere se quest’ultima forza

influisce sulla struttura.

Controllo i valori sia del momento sia dello sforzo normale e verifico attraverso il foglio di calcolo se la sezione della trave e quella del pilastro che ho dimensionato sono sufficienti o dovranno essere incrementate.

 verifica Trave

verifica Pilastro

Il progetto proposto ha una destinazione d’uso di tipo residenziale ed è composto da 6 piani con il medesimo schema strutturale.
Considerando come dati di progetto la pianta e la sezione della nostra struttura, progetteremo tre differenti solai da associare al progetto dimensionale di travi e pilastri in tre differenti tecnologie costruttive: calcestruzzo armato, acciaio e legno.

Per prima cosa analizziamo la pianta individuando travi e pilastri evidenziati nel disegno. Per ognuna delle tecnologie costruttive procederemo con l’analisi dei carichi agenti sul solaio, che si dividono in carichi strutturali (q_s), carichi permanenti (q_p) e carichi accidentali (q_a).

SOLAIO IN CLS ARMATO

Dimensionamento travi

E’ stato scelto un solaio in latero cemento. Di seguito è rappresentato graficamente, completo di tutte le sue parti costruttive.

Conoscendo la stratigrafia del solaio, possiamo ricavare il volume e il peso al metro quadro di ciascun componente. 

Carico strutturale q_s:

• Travetti in cls:

Dimensioni: (12 x 20) cm
Peso specifico: 25 KN/m³
Volume: (0,12 x 0,20 x 1) m x 2 = 0,048 m³
Peso al metro quadro: 0,048 m³/m² x 25 KN/m³ = 1,2 KN/m²

• Soletta in cls (Caldana):

Dimensioni: 5 cm
Peso specifico: 25 KN/m³
Volume: (0,05 x 1 x 1) m = 0,05 m³
Peso al metro quadro: 0,05 m³/m² x 25 KN/m³ = 1,25 KN/m²

• Pignatte:

Dimensioni: (20 x 38 x 25) cm
Peso specifico: 9,8 Kg
Peso al metro quadro: 9,8 Kg x 8 1/m² = 0,784 KN/m²

q_s = (1,2+1,25+0,784) KN/ m2 = 3,23 KN/m²

Carico permanente q_p:

• Pavimentazione in parquet:

Spessore: 1 cm
Peso specifico: 7,2 KN/m³
Volume: (0,01 x 1 x 1) m =0,01 m³
Peso al metro quadro: 0,01 m³/m² x 7,2 KN/m³ = 0,072 KN/m²

• Massetto di sottofondo:

Spessore: 3 cm
Peso specifico: 20 KN/m²
Volume: (0,03 x 1 x 1) m = 0,03 m³
Peso al metro quadro: 0,03 m³/m² x 20 KN/m² = 0,6 KN/m²

• Isolante in lana di vetro:

Spessore: 4 cm
Peso specifico: 0,2 KN/m³
Volume: (0,04 x 1 x 1) m = 0,034 m³
Peso al metro quadro: 0,04 m³/m² x 0,2 KN/m² = 0,08 KN/m²

• Intonaco:

Spessore: 1 cm
Peso specifico: 18 KN/m²
Volume: (0,01 x 1 x 1) m = 0,01 m³
Peso al metro quadro: 0,01 m³/m² x 18 KN/m² = 0,18 KN/m²

Il peso va incrementato con due coefficienti, definiti dalla normativa:

• Incidenza impianti: 0,5 KN/m²
• Incidenza tramezzi: 1,0 KN/m²

q_p = (0,072+0,6+0,008+0,18+0,5+1) KN/ m2 = 2,36 KN/m²

Carico accidentale q_a:

Questo valore varia in base alla destinazione d’uso dell’edificio che, in questo caso, è residenziale.

q_a = 2 KN/m²

Avendo inserito nella tabella Excel tutti i valori trovati, possiamo procedere con il calcolo di q_u, il carico allo stato limite ultimo, sommando q_s, q_p e q_a, aumentati ciascuno del loro coefficiente di sicurezza Ɣ_G1, Ɣ_G2, Ɣ_Q1(rispettivamente pari a 1,3 – 1,5 – 1,5). Adesso, per trovare il valore del carico lineare incidente sulla trave, basta moltiplicare il risultato per l’interasse i (nel nostro caso 4 m):

q_u = (Ɣ_G1 x q_s + Ɣ_G2 x q_p + Ɣ_Q1 x q_a) x Interasse = (3,23 x 1,3 + 2,36 x 1,5 + 2 x 1,5) KN/m² x 4 m = 42,46 KN/m

A questo punto possiamo passare al calcolo del momento flettente massimo agente sulla trave. Essendo una trave doppiamente appoggiata, la formula è nota come: M_max = ql²/8

M_max = [42,46 KN/m x (7 m)²]/8 = 263,11 KNm

Ora scegliamo il tipo di calcestruzzo e di acciaio che vogliamo utilizzare per sviluppare il nostro progetto, ricavando la loro tensione di progetto:

Acciaio:

F_yd = f_yk/Ɣ_s

Dove:
F_yk: Tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio, che risulta, da normativa, pari a 450 N/mm² per quanto riguarda gli acciai da armatura.
Ɣ_s: Coefficiente parziale di sicurezza pari a 1,15.

Quindi avremo: F_yd = 450 N/mm² / 1,15 = 391,30 N/mm²

Calcestruzzo:

F_cd = α_cc x (f_ck/Ɣ_c)

Dove:
α_cc: Coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata, pari a 0,85
f_ck: Resistenza caratteristica a compressione del cls, data dal tipo di cls scelto. In questo caso sarà 50 N/mm²
Ɣ_c: Coefficiente parziale di sicurezza pari a 1,5 per il cls.

Quindi avremo: F_cd = 0,85 x (50 N/mm² / 1,5) = 28,33 N/mm²

Definendo arbitrariamente la base della sezione, noti i valori delle tensioni di progetto, calcoliamo h_u, l'altezza utile della sezione, la cui formula risulta essere:

h_u = r √ (M_max/b) = 41,55 cm

Sommando a questo valore, quello dell'altezza del copriferro δ (5 cm), è possibile ottenere h_min:

h_min = h_u + δ = (41,55 + 5) cm = 45,55 cm 

Tale valore viene ingegnerizzato, portano l'altezza alla decima immediatamente superiore al valore minimo ottenuto: 
H = 50 cm

Il foglio di calcolo excel, a questo punto, individua quale sia il peso proprio della trave appena determinata.

Terminata la fase di progetto, si passa alla fase di verifica. Andremo adesso ad aggiungere il peso proprio della trave alla somma dei carichi portati dalla trave stessa, calcoleremo il momento massimo e verificheremo se la sezione scelta sarà adatta anche a queste nuove caratteristiche di carico. 

Peso unitario = 3,13 KN/m viene moltiplicato per Ɣ_G1 = 1,3 ed il nuovo carico diventerà:

q'_u = q_u + (3,13 KN/m x 1,3) = 42,46 KN/m + 4,069 KN/m = 47,02 KN/m

Sostituendo questo nuovo valore per i calcoli successivi, verrà che:

M'_max = [47,02 KN/m x (7 m)²]/8 = 287,99 KNm

h'_u = 43,47 cm

h_min = (43,47 + 5) cm = 47,47 cm   Quindi: H = 50 cm

La sezione scelta è verificata in quanto H' minore di H ingegnerizzato

Gli stessi passaggi vengono seguiti per le altre luci (entrambe di 5 m) e si avranno i seguenti risultati:

Inserimento della struttura in SAP

Verifica

Una volta individuato su SAP il momento flettente massimo della trave maggiormente sollecitata, lo riportiamo sul file di calcolo per verificare che questo sia minore di M_max trovato nei nostri calcoli precedenti. 

Dimensionamento pilastri

Dopo aver individuato i pilastri maggiormente sollecitati, attraverso il file excel, inserisco i dati. Quelli iniziali da cui partire sono, innanzitutto, L₁ e L₂, i due lati dell'area di influenza del pilastro in esame. Ottengo, così, il valore dell'area di influenza (il cui peso è portato dal pilastro). Partendo dal pilastro A, si avrà:

Avendo il valore dell'area della trave, precedentemente calcolata, e del peso specifico del materiale considerato, è possibile ottenere il peso della trave stessa:

Riprendendo i risultati precedenti, individuiamo q_u, sommando q_s, q_p, q_a aumentati ciascuno del loro coefficiente di sicurezza Ɣ_G1, Ɣ_G2, Ɣ_Q1:

q_u = (Ɣ_G1 x q_s + Ɣ_G2 x q_p + Ɣ_Q1 x q_a) = (3,23 x 1,3 + 2,36 x 1,5 + 2 x 1,5) KN/m² = 10,739 KN/m²

Riusciamo, così, ad individuare lo sforzo normale di un solo piano agente sul pilastro:

N = (q_u x A_inf) + P_travi = 10,739 KN/m x 14 m² + 24,375 KN = 174,721 KN

Considerando il nostro edificio costituito da 6 piani, avremo: 

N_max = N x Num_piani = 174,721 KN x 6 = 1048,33 KN

Per i pilastri B, C, D verranno seguiti gli stessi passaggi:

Procediamo ora con il predimensionamento della sezione del pilastro, a partire dalla resistenza caratteristica del cls, trovando la sua tensione di progetto e l'area minima necessaria alla sezione affinchè il materiale non giunga a rottura:

f_ck = 50 MPa
f_cd = 0,85 x (50 MPa / 1,5) = 28,33 MPa
A_min = N_max / f_cd = 1048,33 KN / 28,33 MPa x 10 = 369,99 cm²

Considerando alcuni dati, quali: 
E = modulo elastico in percentile = 21000 MPa
I = altezza del pilastro = 3 m
β = influenza dei vincoli = 1 nel caso del doppio incastro

Si ricavano: 

Valore della snellezza: λ =  π x √(E/f_cd) = π x √ (21000 MPa / 28,33 MPa) = 85,52 

 ρ_min = (β x l) / λ = (1 x 3 m) / 85,52 x 100 = 3,50 cm

Sapendo che per i pilastri in cemento armato ρ_min = √ (1/12) x b , con la formula inversa si può trovare una delle dimensioni della sezione:

b_min = ρ_min x √ 12 = 3,50 cm x 3,46 = 12,15 cm

L'altra dimensione della sezione si ottiene dividendo l'area per la base trovata:

h_min = A_min / b = 369,99 cm²  / 12,15 cm = 30,45 cm

Tali risultati vanno ingegnerizzati, diventando:
b_design = 25 cm
h_design = 45 cm

Per i pilastri B, C, D verranno seguiti gli stessi passaggi:

Inserimento della struttura in SAP

Verifica

Una volta individuato su SAP il momento flettente massimo e lo sforzo normale del pilastro maggiormente sollecitato, lo riportiamo sul file di calcolo, utilizzando la formula di verifica a pressoflessione. Quindi avremo:

W_max = modulo di resistenza a flessione = b_design x h_design² / 6 = (25 cm x 2025 cm² ) / 6 = 8437,50 cm³

Da qui troviamo la Tensione massima (sigma) = (N/A) + (M/W_max) = (836 KN / 1125 cm²) x (10) + (47 KNm / 8437,50 cm³) = 13,00 MPa

Tensione massima < f_cd  ----> verificata.

SOLAIO IN ACCIAIO

Per questo tipo di tecnologia è stato scelto un solaio in lamiera grecata. Di seguito è rappresentato graficamente, completo di tutte le sue parti costruttive.

Dimensionamento travi

Carico strutturale q_s:

• Travetti IPE 200 in acciaio S235:

Area: 28,48 cm² = 0,0028 m²
Peso: 22,4 Kg/m = 0,224 KN/m
Peso al metro quadro: 0,224 KN/m²

• Soletta in cls (Caldana):

Area: 0,07 m²
Peso specifico: 25 KN/m³
Volume: (0,07 x 1 x 1) m = 0,07 m³
Peso al metro quadro: 0,07 m³/m² x 25 KN/m³ = 1,75 KN/m²

q_s = (0,0024 + 1,75) KN/ m2 = 1,97 KN/m²

Carico permanente q_p:

• Pavimentazione in parquet:

Spessore: 1 cm
Peso specifico: 7,2 KN/m³
Volume: (0,01 x 1 x 1) m =0,01 m³
Peso al metro quadro: 0,01 m³/m² x 7,2 KN/m³ = 0,072 KN/m²

• Massetto di sottofondo:

Spessore: 3 cm
Peso specifico: 20 KN/m²
Volume: (0,03 x 1 x 1) m = 0,03 m³
Peso al metro quadro: 0,03 m³/m² x 20 KN/m² = 0,6 KN/m²

• Isolante in lana di vetro:

Spessore: 4 cm
Peso specifico: 0,2 KN/m³
Volume: (0,04 x 1 x 1) m = 0,034 m³
Peso al metro quadro: 0,04 m³/m² x 0,2 KN/m² = 0,08 KN/m²

• Cartongesso: 

Spessore: 1 cm
Peso specifico: 9 KN/m³
Volume: (0,01 x 1 x 1) m = 0,01 m³
Peso al metro quadro: 0,09 KN/m²

• Intonaco:

Spessore: 1 cm
Peso specifico: 18 KN/m²
Volume: (0,01 x 1 x 1) m = 0,01 m³
Peso al metro quadro: 0,01 m³/m² x 18 KN/m² = 0,18 KN/m²

• Incidenza impianti: 0,5 KN/m²
• Incidenza tramezzi: 1,0 KN/m²

q_p = (0,072+0,6+0,008+0,18+0,09+0,5+1) KN/ m2 = 2,45 KN/m²

Carico accidentale q_a:

Questo valore varia in base alla destinazione d’uso dell’edificio che, in questo caso, è residenziale.

q_a = 2 KN/m²

Avendo inserito nella tabella Excel tutti i valori trovati, possiamo procedere con il calcolo di q_u, il carico allo stato limite ultimo, sommando q_s, q_p e q_a, aumentati ciascuno del loro coefficiente di sicurezza Ɣ_G1, Ɣ_G2, Ɣ_Q1(rispettivamente pari a 1,3 – 1,5 – 1,5). Adesso, per trovare il valore del carico lineare incidente sulla trave, basta moltiplicare il risultato per l’interasse i (nel nostro caso 4 m):

q_u = (Ɣ_G1 x q_s + Ɣ_G2 x q_p + Ɣ_Q1 x q_a) x Interasse = (1,97 x 1,3 + 2,45 x 1,5 + 2 x 1,5) KN/m² x 4 m = 36,94 KN/m

A questo punto possiamo passare al calcolo del momento flettente massimo agente sulla trave. Essendo una trave doppiamente appoggiata, la formula è nota come: M_max = ql²/8

M_max = [36,94 KN/m x (7 m)²]/8 = 226,28 KNm

Ora scegliamo il tipo di acciaio che vogliamo utilizzare per sviluppare il nostro progetto, ricavando la sua tensione di progetto:

F_d = f_yk/Ɣ_s

Dove:
F_yk: Tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio, che risulta, da normativa, pari a 235 N/mm² per quanto riguarda l'acciaio scelto.
Ɣ_s: Coefficiente parziale di sicurezza pari a 1,05.

Quindi avremo: F_d = 235 N/mm² / 1,05 = 223,81 N/mm²

Calcolata la tensione di progetto, applichiamo la formula di Navier per ricavare il modulo di resistenza a flessione, per sapere quale sia il valore minimo  che la nostra sezione può avere:

W_x,min = M_max/f_d = 226,28 KNm / 223,81 N/mm² x 1000 = 1011,05 cm³

Avendo utilizzato nei calcoli il valore di resistenza massima a flessione, sceglieremo nel profilario la sezione IPE con un valore W_x subito maggiore di quello da noi trovato. 

In questo caso una trave IPE 400 con W_x = 1156,00 cm³

Gli stessi passaggi vengono seguiti per le altre luci (entrambe di 5 m) e si avranno i seguenti risultati:

acciaio

Inserimento della struttura in SAP

Verifica

Una volta individuato su SAP il momento flettente massimo della trave maggiormente sollecitata, lo riportiamo sul file di calcolo per verificare che questo sia minore di M_max trovato nei nostri calcoli precedenti. 

Dimensionamento pilastri

Ripeto quanto già fatto nel caso del cemento armato, partendo da L₁ e L₂, i due lati dell'area di influenza del pilastro in esame. Ottengo, così, il valore dell'area di influenza (il cui peso è portato dal pilastro). Partendo dal pilastro A, si avrà:

Individuiamo q_u:

q_u = (1,97 x 1,3 + 2,45 x 1,5 + 2 x 1,5) KN/m² = 9,236 KN/m²

Riusciamo, così, ad individuare lo sforzo normale di un solo piano agente sul pilastro:

N = (q_u x A_inf) + P_travi =9,236 KN/m x 14 m² + 4,97 KN = 134,27 KN

Quindi, avremo: 

N_max = N x Num_piani = 134,27 KN x 6 = 805,65 KN

Per i pilastri B, C, D verranno seguiti gli stessi passaggi:

Procediamo ora con il predimensionamento della sezione del pilastro, avendo come dato:

f_yk = tensione di snervamento caratteristica = 235 MPa

Trovando:

f_yd = f_yk / Ɣ_s = 235 MPa / 1,05 = 223,81 MPa
A_min = N_max / f_yd = 805,65 KN / 223,81 MPa x 10 = 35,99 cm²

Considerando: 
E = 21000 MPa
I = 3 m
β = 1 

Si ricavano: 

λ = π x √ (21000 MPa / 223,81 MPa) = 96,23 

 ρ_min = (1 x 3 m) / 96,23 x 100 = 3,117 cm

Attraverso la abella dei profili HEA, ricavo i valori di A_design, I_design e ρ_min maggiori di quelli minimi ottenuti:

Il profilo individuato è un HEA160.

Per i pilastri B, C, D verranno seguiti gli stessi passaggi:

Inserimento della struttura in SAP

Verifica

Una volta individuato su SAP il momento flettente massimo e lo sforzo normale del pilastro maggiormente sollecitato, lo riportiamo sul file di calcolo, utilizzando la formula di verifica a pressoflessione. Quindi avremo:

Tensione massima (sigma) = (N/A) + (M/W_max) = (752 KN / 76,84 cm²) x (10) + (48,7 KNm / 675,10 cm³) = 170,003 MPa

N.B. La sezione dei pilastri risultano verificate a pressoflessione, modificandole rispetto alle ipotesi di progetto iniziali:

SOLAIO IN LEGNO

E’ stato scelto un solaio in legno con pannelli osb. Di seguito è rappresentato graficamente, completo di tutte le sue parti costruttive.

Carico strutturale q_s:

• Pannello OSB:

Spessore: 3 cm
Peso specifico: 6,5 KN/m³
Volume: (0,03 x 1 x 1) m = 0,03 m³
Peso al metro quadro: 0,03 m³/m² x 6,5 KN/m³ = 0,195 KN/m²

• Travetto in legno lamellare di abete:

Dimensioni: (8 x 20) cm
Peso specifico: 5,50 KN/m³
Volume: (0,08 x 0,2 x 1) m = 0,016 m³ --> 0,016 x (1/62,5) = 0,000256 m³
Peso al metro quadro: 0,000256 m³/m² x 5,50 KN/m³ = 0,0014 KN/m²

q_s = (0,195 KN/m² x 2) +0,0014 KN/ m2 = 0,39 KN/m²

Carico permanente q_p:

• Pavimentazione in parquet:

Spessore: 1 cm
Peso specifico: 7,2 KN/m³
Volume: (0,01 x 1 x 1) m =0,01 m³
Peso al metro quadro: 0,01 m³/m² x 7,2 KN/m³ = 0,072 KN/m²

• Massetto di sottofondo:

Spessore: 3 cm
Peso specifico: 20 KN/m²
Volume: (0,03 x 1 x 1) m = 0,03 m³
Peso al metro quadro: 0,03 m³/m² x 20 KN/m² = 0,6 KN/m²

• Isolante in lana di vetro:

Spessore: 4 cm
Peso specifico: 0,2 KN/m³
Volume: (0,04 x 1 x 1) m = 0,034 m³
Peso al metro quadro: 0,04 m³/m² x 0,2 KN/m² = 0,008 KN/m²

• Caldana in cls con rete elettrosaldata:

Spessore: 4 cm
Peso specifico: 25 KN/m²
Volume: (0,04 x 1 x 1) m = 0,04 m³
Peso al metro quadro: 0,04 m³/m² x 25 KN/m² = 1 KN/m²

• Intonaco:

Spessore: 1 cm
Peso specifico: 18 KN/m²
Volume: (0,01 x 1 x 1) m = 0,01 m³
Peso al metro quadro: 0,01 m³/m² x 18 KN/m² = 0,18 KN/m²

Il peso va incrementato con due coefficienti, definiti dalla normativa:

• Incidenza impianti: 0,5 KN/m²
• Incidenza tramezzi: 1,0 KN/m²

q_p = (0,072+0,6+0,008+1+0,18+0,5+1) KN/ m2 = 3,36 KN/m²

Carico accidentale q_a:

Questo valore varia in base alla destinazione d’uso dell’edificio che, in questo caso, è residenziale.

q_a = 2 KN/m²

Avendo inserito nella tabella Excel tutti i valori trovati, possiamo procedere con il calcolo di q_u, il carico allo stato limite ultimo, sommando q_s, q_p e q_a, aumentati ciascuno del loro coefficiente di sicurezza Ɣ_G1, Ɣ_G2, Ɣ_Q1(rispettivamente pari a 1,3 – 1,5 – 1,5). Adesso, per trovare il valore del carico lineare incidente sulla trave, basta moltiplicare il risultato per l’interasse i (nel nostro caso 4 m):

q_u = (Ɣ_G1 x q_s + Ɣ_G2 x q_p + Ɣ_Q1 x q_a) x Interasse = (0,39 x 1,3 + 3,36 x 1,5 + 2 x 1,5) KN/m² x 4 m = 34,19 KN/m

A questo punto possiamo passare al calcolo del momento flettente massimo agente sulla trave. Essendo una trave doppiamente appoggiata, la formula è nota come: M_max = ql²/8

M_max = [34,19 KN/m x (7 m)²]/8 = 209,40 KNm

Procediamo inserendo il valore di f_mk, la resistenza caratteristica a flessione del legno prescelto: nel nostro caso utilizziamo il valore del legno lamellare. 

Lo stesso facciamo per K_mod, il coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale. E' definito dalla normativa e tiene conto dell'effetto della durata del carico e delle condizioni in cui la struttura si andrà ad inserire:

Troviamo, inoltre, il coefficiente parziale di sicurezza del legno lamellare Ɣ_m:

I tre valori, combinati, ci permettono di ricavare la tensione di progetto, secondo la formula:

f_d = (K_mod x f_mk) / Ɣ_m

Definendo arbitrariamente la base della sezione (nel nostro caso 26 cm), calcoliamo h_min, l'altezza minima della sezione, la cui formula risulta essere:

h_min = √ [(6 x M_max x 1000) / (b x f_d)] = 56,96 cm

Tale valore viene ingegnerizzato, portano l'altezza alla decima immediatamente superiore al valore minimo ottenuto: 
H = 60 cm

La trave adottata avrà dimensioni 26 x 60 cm

Gli stessi passaggi vengono seguiti per le altre luci (entrambe di 5 m) e si avranno i seguenti risultati:

Inserimento della struttura in SAP

Verifica

Una volta individuato su SAP il momento flettente massimo della trave maggiormente sollecitata, lo riportiamo sul file di calcolo per verificare che questo sia minore di M_max trovato nei nostri calcoli precedenti. 

Dimensionamento pilastri

Ripeto quanto già fatto nei casi precedenti, partendo da L₁ e L₂, i due lati dell'area di influenza del pilastro in esame. Ottengo, così, il valore dell'area di influenza (il cui peso è portato dal pilastro). Partendo dal pilastro A, si avrà:

Individuiamo q_u:

q_u = (0,39 x 1,3 + 3,36 x 1,5 + 2 x 1,5) KN/m² = 8,54 KN/m²

Riusciamo, così, ad individuare lo sforzo normale di un solo piano agente sul pilastro:

N = (q_u x A_inf) + P_travi =8,54 KN/m x 14 m² + 7,605 KN = 127,263 KN

Quindi, avremo: 

N_max = N x Num_piani = 127,263 KN x 6 = 763,578 KN

Procediamo ora con il predimensionamento della sezione del pilastro, avendo f _mk, k_mod, Ɣ_m :

f_d = (0,80 x 27 MPa) / 1,45 = 14,90 MPa

Considerando alcuni dati, quali: 
E = 8000 MPa
I = 3 m
β = 1 

Si ricavano: 

λ =  π x √(E/f_cd) = π x √ (8000 MPa / 14,90 MPa) = 72,80  

 ρ_min = (1 x 3 m) / 72,80 x 100 = 4,12 cm

Sapendo che per i pilastri in legno ρ_min = √ (1/12) x b , con la formula inversa avremo le dimensioni della sezione:

b_min = 4,12 cm x 3,46 = 14,27 cm

L'altra dimensione della sezione si ottiene dividendo l'area per la base trovata:

h_min = 703,73 cm²  / 14,27 cm = 49,30 cm

Tali risultati vanno ingegnerizzati, diventando:
b_design = 30 cm
h_design = 55 cm

Ultimo dato necessario per arrivare alla tensione massima è il modulo di resistenza a flessione W_max, la quale per sezioni rettangolari è: 

W_max = (b x h²) / 6 = (30 cm x 3025 cm²) / 6 = 15125,00 cm³ 

Per i pilastri B, C, D verranno seguiti gli stessi passaggi:

Inserimento della struttura in SAP

Verifica

Una volta individuato su SAP il momento flettente massimo e lo sforzo normale del pilastro maggiormente sollecitato, lo riportiamo sul file di calcolo, utilizzando la formula di verifica a pressoflessione. Quindi avremo:

W_max = modulo di resistenza a flessione = b_design x h_design² / 6 = (30 cm x 3025 cm² ) / 6 = 15125 cm³

Da qui troviamo la Tensione massima (sigma) = (N/A) + (M/W_max) = (663 KN / 1650 cm²) x (10) + (39,62 KNm / 15125 cm³) = 6,637 MPa

Tensione massima < f_d  ----> verificata.

CONSEGNA IN GRUPPO: Pasqualino - Pellegrini - Rossi