Esercitazione

In questa esercitazione sono stati dimensionati la trave ed il pilastro maggiormente sollecitati all'interno di un telaio piano in tre diversi materiali: acciaio, legno e cemento armato.

ACCIAIO:

Partendo da un solaio costituito da
1) pavimento in parquet:               Spessore 2,5 cm           Peso Specifico 7 KN/mc
2) massetto:                               Spessore 3 cm           Peso Specifico 24 KN/mc
3) isolante:                                 Spessore 4 cm           Peso Specifico 0,5 KN/mc
4) getto di CLS armato:               Spessore 5 cm              Peso Specifico 25 KN/mc
5) lamiera grecata:                      Spessore 7 mm            Peso Specifico 0,08 KN/mq         Altezza 6 cm    
6) travetto IPE 100                                                        Peso Specifico 0,081 KN/mq

sapendo, oltretutto, che gli impianti gravano sulla struttura con un peso di 0,1KN/mq e i tramezzi incidono sulla struttura con un peso di 0,4 KN/mq (valori ricavati dalla normativa), e che si tratta di un edificio ad uso residenziale, posso calcolare la combinazione di carico del solaio che grava sulla struttura

qa = 2KN/mq (uso residenziale)

qp = pavimento + massetto + isolante + impianti + tramezzi =
     = (0,025*7) + (0,03*24) + (0,04*0,5) + 0,1 + 0,4 = 1,415 KN/mq approssimato a 1,5 KN/mq

qs = getto CLS + lamiera grecata + IPE100  =(0,05*25) + (0,06*25/2) + (0,007*0,08) + 0,081 = 1,956 KN/mq approssimato a 2 KN/mq

Dopo aver calcolato i tre carichi del solaio, ho calcolato la combinazione di carico utilizzando i coefficienti di sicurezza.

qu  =  qs*gs + qp*gp + qa*ga = 2*1,3 + 1,5*1,5 + 2*1,5 = 7,85 KN/mq

Tenendo in considerazione le luci e gli interassi del telaio, ho calcolato la trave più sollecitata (Mmax), che in questo caso ha un interasse di 4m ed una luce di 7m.
Per calcolare il momento massimo della trave doppiamente appoggiata moltiplico la combinazione di carico per il suo interasse in modo tale da avere un carico linearmente distribuito sulla luce della trave

q= qu*i = 7,85 KN/mq*4m = 31,4KN/m

Mmax=ql^2/8 = 31,4*(7)^2/8 = 192,325 KN*m

Adesso posso procedere con il predimensionamento della trave in acciaio conoscendo il Mmax della trave e scegliendo il materiale

fyk = 235 MPa    resistenza caratteristica dell'acciaio a rottura

fyd = fyk/1,15 = 204,3MPa

così posso calcolare il modulo di resistenza plastico da confrontare col profilario delle travi IPE

Wx = Mmax/fyd = 192,325 KN*m/204,3MPa = 94,11cmc

confrontando questo valore con il profilario ho scelto di utilizzare un profilo IPE160.

Dopo aver dimensionato la trave procedo con il predimensionamento del pilastro più sollecitato.
Lo sforzo normale che grava sul pilastro dipende dalla somma del peso del solaio per la sua area di influenza più il peso di ciascuna trave per la sua luce

peso del solaio = qu = 7,85 KN/mc             area di influenza = 24mq

peso di una trave in acciaio = 0,158 KN/m     luce trave A = 6m    luce trave B = 4m

N = qu*Ainf + Ptrave*l(A) + Ptrave*l(B) = 189,98 KN

Considerando che l'edificio in questione è costituito da 7 piani, il pilastro presenterà uno sforzo normale pari a

Nmax = N*7piani = 1329,86 KN

Ora posso predimensionare il pilastro conoscendo la sua Normale massima ed il materiale di cui è composto

Amin = Nmax/fyd = 65,08 cmq

confrontando questo valore con il profilario delle travi HEA, ho scelto di utilizzare un profilo HEA240

Dopo aver effettuato il predimensionamento della struttura ho costruito il telaio piano su SAP2000 e, dopo aver inserito i carichi linearmente distribuiti (qu*i) e il materiale della sezione, ho verificato il momento della trave più sollecitata

Mmax di SAP = 122,5 KN*m

Ora posso inserire il momento trovato su SAP nel calcolo Excel e trovare così il Wxplastico con cui verifico la sezione: la sezione risultante nel profilario è una IPE120, quindi la sezione precedentemente dimensionata (IPE160) è corretta.

Ora inserisco la forza del vento, cioè un carico linearmente distribuito lungo l'asse z, che produce nei pilastri una flessione da aggiungere allo sforzo di compressione della struttura

Fv = 0,7*i

la flessione ricavata nei pilastri è dunque Mmax = 82,76 KN*m

Ora procedo eseguendo la verifica a pressoflessione dei pilastri secondo:

s = Nmax/A + Mmax/Wx <  fyd

riportando questi valori sul foglio di calcolo la tensione di progetto risulta maggiore di fyd, pertanto la sezione non è verificata, quindi scelgo una sezione maggiore dal profilario per cui la tensione di progetto sia minore di fyd.

CEMENTO ARMATO:

il solaio in latero-cemento è costituito da:

1) pavimento in gres porcellanato:             Spessore 2 cm              Peso Specifico 0,4 KN/mc
2) massetto in CLS:                                 Spessore 4 cm              Peso Specifico 24 KN/mc
3) isolante in fibra di legno:                       Spessore 4 cm              Peso Specifico 0,5 KN/mc

4) soletta in cemento armato:                    Spessore 4 cm             Peso Specifico 25 KN/mc
5) pignatta:                                Dimensioni 40*25*16 cmc            Peso Specifico 12 KN/mc        
6) intonaco:                                              Spessore 2 cm            Peso Specifico 0,3 KN/mc

tenendo in considerazione che l'edificio è ad uso residenziale, e che l'influenza di impianti e tramezzi è rispettivamente di 0,1 KN/mq e 0,4 KN/mq, posso calcolare i carichi

qa = 2KN/mq

qp = pavimento + massetto + isolante + intonaci + impianti + tramezzi =
   = (0,02*0,4) + (0,04*24) + (0,04*0,5) + (0,02*0,3) + 0,1 + 0,4 = 1,494 KN/mq approssimato a 1,5  KN/mq

qs = pignatta + soletta in CA =
   = (0,4*0,25*0,16)*2*12 + (0,04*25) + (0,1*0,16)*2*25 = 2,184 KN/mq approssimato a 2,2 KN/mq

procedo con la combinazione di carico utilizzando i coefficienti di sicurezza

qu = qs*1,3 + qp*1,5 + qa*1,5 = 8,11 KN/mq

tenendo in considerazione l'interasse e la luce della trave più sollecitata a flessione posso calcolare il suo Mmax

q = qu*i = 8,11KN/mq*5m = 40,55 KN/m

Mmax = q*l^2/8 = 40,55*(6)^2/8 = 182,475 KN*m

Dopo aver calcolato il Mmax, scelgo il materiale e procedo con il predimensionamento della trave

fyk = 450MPa    resistenza caratteristica delle barre d'acciaio

fyd = fyk/1,15 = 391,3 MPa

Rck = 50Mpa     resistenza caratteristica del CLS a compressione

fcd = Rck*0,85/1,5 = 28,33 MPa

per effettuare il predimensionamento della trave in cemento armato devo, inoltre, imporre una dimensione della base e del copriferro necessari al calcolo dell'altezza utile minima della sezione

base ipotesi = 30cm   copriferro = 5cm

hu = (Mmax/(b*fcd))^0.5*r

con r = (1/(0,5*(1-α/3)*α))^0,5    e α = fcd/(fcd+fyd/n)   dove n = 15 è il coefficiente di omogeneizzazione 

quindi hu = 31,58cm e, con l'aggiunta del copriferro, l'altezza minima della sezione è pari a 36,58cm.
A questo punto procedo ingegnerizzando la sezione che avrà, quindi, b = 30cm e h = 30cm

ora posso calcolare lo sforzo Normale del pilastro più sollecitato sommando il peso del solaio per la sua area di influenza con il peso delle travi per le loro dimensioni

N = qu*Ainf + l(A)*Atrave*g + l(b)*Atrave*g = 8,11*25 + 5*0,12*25 + 5*0,12*25 = 232,75 KN

considerando che l'edificio in questione è costituito da 6 piani, e che il pilastro più sollecitato è quello al piano terra, lo sforzo Normale massimo è pari a Nmax =  1396,5 KN

Per predimensionare il pilastro, conoscendo Nmax e il materiale, devo calcolare il ρmin per poter arrivare al valore della base minima e, così, dimensionare la sezione

Amin = Nmax/fcd = 492,88cmq

ρmin = l*β/λ     con λ = (π^2*E/fcd)^0,5

bmin = ρmin*(12)^0,5 = 24,31cm

hmin = Amin/bmin = 20,27cm

a questo punto ingegnerizzo la sezione e scelgo un pilastro a sezione quadrata di lato 30cm.

Dopo aver effettuato il predimensionamento della struttura ho costruito il telaio piano su SAP2000 e, dopo aver inserito i carichi linearmente distribuiti (qu*i) e il materiale della sezione, ho verificato il momento della trave più sollecitata

Mmax di SAP = 110,09 KN*m

Ora posso inserire il momento trovato su SAP nel calcolo Excel e ricavare così l'altezza utile della sezione della trave: essendo l'altezza utile ricavata minore dell'altezza utile precedentemente calcolata, posso dedurre che la sezione è verificata.

Ora inserisco la forza del vento, cioè un carico linearmente distribuito lungo l'asse z, che produce nei pilastri una flessione da aggiungere allo sforzo di compressione della struttura

Fv = 0,7*i

la flessione ricavata nei pilastri è dunque Mmax = 37,02 KN*m

Ora procedo eseguendo la verifica a pressoflessione dei pilastri secondo:

s = Nmax/A + Mmax/Wx <  fcd

dove Wx = 1/6*b*h^2

riportando questi valori sul foglio di calcolo la tensione di progetto risulta minore di fcd, pertanto la sezione risulta verificata.

LEGNO:

il solaio in legno  è costituito da:

1) pavimento in parquet:              Spessore 1 cm              Peso Specifico 7 KN/mc
2) massetto:                                  Spessore 2 cm           Peso Specifico 24 KN/mc
3) isolante:                                   Spessore 4 cm            Peso Specifico 0,5 KN/mc
4) soletta di CLS:                         Spessore 4 cm            Peso Specifico 24 KN/mc

5) pannello in legno:                Spessore 3 cm                  Peso Specifico 4,5 KN/mc    

6) travetto in legno:                 Dimensioni 15*25cmq         Peso Specifico 3,8 KN/mc

considerando che è il solaio di un edificio ad uso residenziale e che i tramezzi e gli impianti incidono rispettivamente sulla struttura con un carico di 0,4 e 0,1 KN/mq, posso procedere calcolando la combinazione di carico

qa = 2KN/mq

qp = pavimento + massetto + isolante + soletta in CLS + tramezzi + impianti
     = (0,01*7) + (0,02*24) + (0,04*0,5) + (0,04*24) + 0,4 + 0,1 = 2,03 KN/mq approssimato a 2,1 KN/mq

qs = pannello in legno + travetti in legno =
    = (0,03*4,5) + (0,15*0,25)*3,8 = 0,2775 KN/mq approssimato a 0,3KN/mq

qu = qs*1,3 + qp*1,5 + qa*1,5 = 6,54 KN/mq

considerando l'interasse e la luce del telaio piano posso ora calcolare il Mmax della trave più sollecitata

q = qu*i = 6,54 KN/mq*4m = 26,16 KN/m

Mmax = q*l^2/8 = 26,16*(6)^2/8 = 117,72 KN*m

dopo aver calcolato il Mmax e dopo aver scelto il materiale, calcolo il modulo di resistenza plastico da cui mi ricavo l'h minima della sezione da ingegnerizzare

fmk = 24 MPa      resistenza caratteristica del legno

fmd = fmk*0,8/1,45 = 13,24 MPa

Wx = Mmax/fmd = (1/6)*b*h^2 = 8890,31 cmc

ipotizzo che la base sia b = 30 cm per cui h = (6*Wx/b)^0,5 = 42,16 cm

stabilisco quindi che la mia sezione ha dimensioni b = 30 cm e h =  45 cm

ora procedo con il calcolo dello sforzo Normale del pilastro maggiormente sollecitato che è pari al peso del solaio per l'area di influenza più il peso delle travi per le loro dimensioni

N = qu*Ainf + l(A)*Atrave*g + l(B)*Atrave*g = 6,54*22 + 4*0,135*6 + 5,5*0,135*6 = 151,57 KN

dato che l'edificio è costituito da 4 piani, lo sforzo Normale max è pari a 606,3 KN

conoscendo il valore di Nmax e di fmd, cioè la resistenza di progetto del materiale, posso calcolare l'area minima della sezione e, imponendo la base, calcolarmi l'altezza

Amin = Nmax/fmd = 457,93 cmq     base ipotesi = 30 cm  dunque hmin = Amin/b = 15,26 cm

ora posso ingegnerizzare la sezione e decido quindi che il pilastro avrà sezione quadrata di lato 30 cm

Dopo aver effettuato il predimensionamento della struttura ho costruito il telaio piano su SAP2000 e, dopo aver inserito i carichi linearmente distribuiti (qu*i) e il materiale della sezione, ho verificato il momento della trave più sollecitata

Mmax di SAP = 76,2 KN*m

Ora posso inserire il momento trovato su SAP nel calcolo Excel e ricavare così l'altezza utile della sezione della trave: essendo l'altezza utile ricavata minore dell'altezza utile precedentemente calcolata, posso dedurre che la sezione è verificata.

Ora inserisco la forza del vento, cioè un carico linearmente distribuito lungo l'asse z, che produce nei pilastri una flessione da aggiungere allo sforzo di compressione della struttura

Fv = 0,7*i

la flessione ricavata nei pilastri è dunque Mmax = 25,8 KN*m

Ora procedo eseguendo la verifica a pressoflessione dei pilastri secondo:

s = Nmax/A + Mmax/Wx <  fmd

dove Wx = 1/6*b*h^2

riportando questi valori sul foglio di calcolo la tensione di progetto risulta minore di fmd, pertanto la sezione risulta verificata.

In collaborazione con Giulia Peria ,Paolo La Manna.

TELAIO CALCESTRUZZO ARMATO

DIMENSIONAMENTO TRAVI CALCESTRUZZO ARMATO

Stratigrafia solaio:

Intonaco (2cm)

Solaio in laterocemento

Isolante acustico (6cm)

Massetto (4cm)

Pavimentazione in gres porcellanato (2cm)

CALCOLO DEL CARICO LIMITE ULTIMO

q_u = (1,3 x q_s + 1,5 x q_p + 1,5 x q_a) x i

i = 4m (vedi pianta strutturale)

Calcolo del carico strutturale:

q_s = (V_costola + V_soletta)  x g_calcestruzzo + V_laterizio  x g_laterizio

q_s = [(0,05m x 0,5m x 1m) x 2 + (0,2m x 0,1m x 1m) x 2] x 12 kN/m³ +  [(0,4m x 0,2m x 1m) x 2] x 25 kN/m³ = 3,058 kn/m²

Calcolo del carico permanente:

P_solaio (per 1m²) = P_intonaco + P_isolante + P_massetto + P_pavimento + P_impianti + P_tramezzi

P_intonaco = (0,01m x 1m x 1m) x 18 kn/m³ = 0,18 kn/m²

P_isolante = (0,06m x 1m x 1m) x 0,5 kn/m³ = 0,02 kn/m²

P_massetto = (0,04m x 1m x 1m) x 18 kn/m³ = 1,08 kn/m²

P_pavimento = (0,02m x 1m x 1m) x 23 kn/m³ = 0,46 kn/m²

P_impianti = 0,5 kn/m²

P_tramezzi = 0,6 kn/m²

q_p = 2,84 kN/m²

Individuazione del carico accidentale:

q_a = 2 kN/m² (uso residenziale)

Calcolo del carico limite ultimo:

q_u = (1,3 x q_s + 1,5 x q_p + 1,5 x q_a) x i

q_u = (1,3 x 3,058 kN/m² + 1,5 x 2,84 kN/m² + 1,5 x 2 kN/m²) x 4m = 12,7354 kN/m² x 4m = 44,9416 kN/m

CALCOLO DEL MOMENTO MASSIMO

M_max = q_u x l² / 8

l : 6m (vedi pianta strutturale)

M_max = [44,9416 kN/m x (6m)²] / 8 = 202,2372 kNm

CALCOLO DELLA TENSIONE DI PROGETTO (CALCESTRUZZO E ARMATURA)

f_yd = f_yk / 1,15

f_yk = 450N/mm²

f_yd = 450N/mm² /1,15 = 391,3043N/mm²

f_cd = 0,85 x f_yk / 1,5

f_ck = 60N/mm²

f_cd = 0,85 x 450N/mm² /1,5 = 34N/mm²

CALCOLO DELL’ALTEZZ DELLA SEZIONE DELLA TRAVE

h_{min sez. trave} = h_u + δ

Calcolo dell’altezza utile:

h_u = r x (M_max / (f_cd x b_{sez. trave}))^1/2

r = (2 / (β x (1 – β / 3)))^1/2

β = f_cd / (f_cd + f_yd / 15)

β = 34N/mm² / (34N/mm² + 391,3043N/mm² / 15) = 0,565847

r = (2 / (0,565847 x (1 – 0,565847 / 3)))^1/2 = 2,087143

b_{sez. trave} = 30cm (scelta progettuale)

h_u = 2,087143 x (202,2372 kNm x 1000 / (34N/mm² x 30cm))^1/2 = 29,38886cm

Calcolo dell’altezza minima della sezione della trave:

δ : 5cm (dimensione standard copriferro)

h_{min sez. trave} = 29,38886cm + 5cm = 34,38886cm

h_{sez. trave} = 40cm

Definita l’altezza minima si possono dunque conoscere le dimensioni della sezione rettangolare della trave in calcestruzzo armato, rispettivamente 30cm e 40cm.

ANALISI DEI CARICHI CON PESO PROPRIO DELLA TRAVE

trave_principale = A_{sez. trave} x g_{mater. trave}

A_{sez. trave} = b_{sez. trave} x h_{sez. trave}

A_{sez. trave} = 30cm x 40cm = 1200cm² = 0,12m²

trave_principale = 0,12m2 x 25kN/m3 = 3kN/m

q_{s def.} = q_s + trave_principale

q_{s def.} = 3,058kN/m + 3kN/m = 6,058knN/m

VERIFICA CON PESO PROPRIO

L’intero procedimento viene ripetuto considerando il nuovo carico strutturale individuato.

h_{min sez. trave def.} = 34,11029cm + 5cm = 39,11029cm

h_{sez. trave} = 40cm

L’altezza della sezione della trave precedentemente individuata risulta adeguata anche considerando il peso proprio della trave stessa. La trave avrà quindi una sezione di 30cm x 40cm.

DIMENSIONAMENTO PILASTRI CALCESTRUZZO ARMATO

Calcolo dell’area di influenza del pilastro maggiormente sollecitato

a = 4m (vedi pianta strutturale)

b = 6m  (vedi pianta strutturale)

A_{infl. pilastro} = a x b

A_{infl. pilastro} = 4m x 6m = 24m²

Calcolo del peso delle travi presenti nell’area di influenza

Calcolo dell’area della sezione della trave precedentemente dimensionata:

A_{sez. trave} = b_{sez. trave} x h_{sez. trave}

b_{sez. trave} = 30cm (vedi “dimensionamento travi”)

h_{sez. trave} = 40cm (vedi “dimensionamento travi”)

A_{sez. trave} = 30cm x 40cm = 1200 cm² = 0,12m²

Individuazione del peso specifico del materiale della trave:

g_{mater. trave} = 25kN/m³ (calcestruzzo armato)

Calcolo del carico a metro lineare esercitato delle travi:

trave_principale = trave_secondaria = A_{sez. Trave} x g_{mater. trave}

trave_principale = trave_secondaria = 0,12m² x 25kN/m³ = 3kN/m

Calcolo del carico esercitato dalle travi nel’area di influenza del pilastro maggiormente sollecitato:

q_travi = 1,3 x a x trave_secondaria + 1,3 x b x trave_principale

q_travi = 1,3 x 4m x 3kN/m + 1,3 x 6m x 3kN/m = 39kN

Calcolo del peso della porzione di solaio presente nell’area di influenza

q_solaio = (1,3 x q_s + 1,5 x q_p + 1,5 x q_a) x A_{infl. pilastro}

q_s = 3,058kN/m² (vedi “dimensionamento travi”)

q_p = 2,84kN/m² (vedi “dimensionamento travi”)

q_a = 2kN/m² (vedi “dimensionamento travi”)

q_solaio = (1,3 x 3,058kN/m² + 1,5 x 2,84kN/m² + 1,5 x 2kN/m²) x 24m² = 269,6496kN

CALCOLO DELLO SFORZO NORMALE AGENTE SUL PILASTRO

N = (q_travi + q_solaio) x n°_piani

n°_piani = 2 (vedi sezione strutturale)

N = (39kN + 296,6496kN) x n°_piani = 617,2992kN

CALCOLO TENSIONE DI PROGETTO

f_ck = 45 MPa

f_cd = 0,85 x f_ck / 1,5

f_cd = 0,85 x 45MPa / 1,5 = 25,5 MPa

CALCOLO DELL’AREA MINIMA DELLA SEZIONE DEL PILASTRO

Calcolo dell’area minima della sezione del pilastro maggiormente sollecitato:

Amin = N / f_cd

Amin = 617,2992kN x 10 / 25,5MPa = 242,08cm²

CALCOLO DEL VALORE MINIMO DEL RAGGIO D’INERZIA MINIMO

ρ_min = b x l / λ

l = 3m (vedi sezione strutturale)

Individuazione del valore del coefficiente b:

b = 1 (trave doppiamente appoggiata)

Calcolo della snellezza massima:

λ = p x (E / f_cd)^1/2

E = 21000MPa

λ = p x (21000MPa / 25,5MPa)^1/2 = 90,15491948

ρ_min = 1 x 3m x 100 / 90,15491948 = 3,327605cm

CALCOLO DELLA BASE E DELL’ALTEZZA DELLA SEZIONE DEL PILASTRO

b_min = (12)^1/2 x ρ_min

b_{min sez. pilastro} = (12)^1/2 x 3,327605 = 11,5cm

b_{sez. pilastro} = 15cm

h_min = A_min / b_min

h_{min sez. pilastro} = 242,08cm² / 11,5cm = 6,916518cm

h_{sez. pilastro} = 15cm

A_design = b_{sez. pilastro} x h_{sez. pilastro}

A_design = 15cm² x 15cm² = 225cm²

CALCOLO DEL MOMENTO D’INERZIA MINIMO

I_design = b³ x h / 12

I_design = (15cm)³ x 15cm / 12 = 4218cm⁴

CALCOLO DELLA TENSIONE MASSIMA

ρ_max = N / A_design + M_t / W_x

Calcolo del momento trasmesso dalla trave al pilastro (in questo caso qxl²/12):

M_t = q_u x b² / 12

q_u = 44,9416 kN/m (vedi “dimensionamento travi”)

b = 6m (vedi pianta strutturale)

M_t = 44,9416 kN/m x (6m)² / 12 = 134,8248 kNxm

Calcolo del modulo di resistenza a flessione (sezione rettangolare, bxh/6):

W_max = b_{sez. pilastro} x h_{sez. pilastro}² / 6

W_max = 15cm x (15cm)² / 6 = 562,5cm⁴

ρ_max = (617,2992kN / 225cm²) x 10 + (134,8248 kNxm / 562,5cm⁴) x 1000 = 267,1241MPa

VERIFICA: LA TENSIONE MASSIMA DEVE ESSERE MINORE DELLA TENSIONE DI PROGETTO

ρ_max < f_cd ?

No! Poiché:

267,1 MPa > 25,5 MPa

La tensione massima è in questo caso maggiore della tensione di progetto precedentemente individuata. Per soddisfare la condizione posta bisogna quindi variare le dimensioni della sezione del pilastro.

h_{sez. pilastro} = 15cm + 10cm = 25cm

b_{sez. pilastro} = 15cm + 10cm = 25cm

ρ_max < f_cd ?

No! Poiché:

61,6 MPa > 25,5 MPa

Aumentando ulteriormente le dimensioni:

h_{sez. pilastro} = 15cm + 20cm = 35cm

b_{sez. pilastro} = 15cm + 20cm = 35cm

Ripetendo il procedimento con queste due dimensioni si ricava che:

ρ_max < f_cd poiché 23,9 MPa < 25,5 MPa

Le nuove dimensioni soddisfano le condizioni poste. Il pilastro avrà quindi una sezione di 35 cm x 35cm.

TELAIO LEGNO

DIMENSIONAMENTO TRAVI LEGNO

Stratigrafia solaio:

Pannello gessofibra (1,2cm)

Lana di vetro (10cm)

Legno di abete copertura su travetti (2,4cm)

Legno da costruzione (20cm)

OSB (2cm)

Isolante acustico (3cm)

Massetto (4cm)

Pavimentazione in gres porcellanato (2cm)

CALCOLO DEL CARICO LIMITE ULTIMO

q_u = (1,3 x q_s + 1,5 x q_p + 1,5 x q_a) x i

i = 4m (vedi pianta strutturale)

Calcolo del carico strutturale:

q_s = V_abete  x g_abete + V_OBS x g_OBS + V_{legno costr.}  x g_{legno costr.}

q_s = (0,018m x 1m x 1m) x 6 kN/m³ + (0,02m x 1m x 1m) x 5,5 kN/m³ + [(0,2m x 0,04m x 1m) x 2] x 6 kN/m³ = 0,35 kN/m²

Calcolo del carico permanente:

P_solaio (per 1m²) = P_gessofibra + P_{lana di vetro} + P_isolante + P_massetto + P_pavimento + P_impianti + P_tramezzi

P_gessofibra = 0,15 kN/m²   (http://www.fermacell.it/lastre_gessofibra_1331.php)

P_{lana di vetro} = (0,1m x 1m x 1m) x 1 kN/m³ = 0,1 kN/m²   (http://www.sigmundcarlo.net/CA/II/B13.pdf)

P_isolante = 0,07 kg/m² (http://www.fonoisolamento.it/37/flypagepbvv2tpl/shopproduct_details/412)

P_massetto = (0,04m x 1m x 1m) x 18 kn/m³ = 1,08 kn/m²

P_pavimento = (0,02m x 1m x 1m) x 23 kn/m³ = 0,46 kn/m²

P_impianti = 0,5 kn/m²

P_tramezzi = 0,6 kn/m²

q_p = 2,96 kN/m²

Individuazione del carico accidentale:

q_a = 2 kN/m² (uso residenziale)

Calcolo del carico limite ultimo:

q_u = (1,3 x q_s + 1,5 x q_p + 1,5 x q_a) x i

q_u = (1,3 x 3,058 kN/m² + 1,5 x 2,84 kN/m² + 1,5 x 2 kN/m²) x 4m = 12,7354 kN/m² x 4m = 31,58 kN/m

CALCOLO DEL MOMENTO MASSIMO

M_max = q_u x l² / 8

l : 6m (vedi pianta strutturale)

M_max = [31,58kN/m x (6m)²] / 8 = 142,11kNxm

CALCOLO DELLA TENSIONE DI PROGETTO

f_d = k_mod x f_mk / γ_m

f_mk = 28Kn/mm²

k_mod = 0,70 (EN 14080: legno lamellare, classe di durata del carico “lunga”, classe di servizio “2”)

γ_m = 1,45 (legno lamellare incollato)

f_d = 0,7 x 28kNxm / 1,45 = 13,51N/mm²

CALCOLO DELL’ALTEZZ DELLA SEZIONE DELLA TRAVE

h_{min sez. trave} = (6 x M_max / b_{sez. trave} x f_d)^1/2

b_{sez. trave} = 30cm (scelta progettuale)

h_{min sez. trave} = (6 x 28kNxm x 1000 / 30cm  x 13,51N/mm²)^1/2 = 45,85464

h_{sez. trave} = 50cm

Definita l’altezza minima si può dunque conoscere la sezione rettangolare della trave in legno lamellare, in questo caso di 30cm x 50cm.

DIMENSIONAMENTO PILASTRI legno

Calcolo dell’area di influenza del pilastro maggiormente sollecitato

a = 4m (vedi pianta strutturale)

b = 6m  (vedi pianta strutturale)

A_{infl. pilastro} = a x b

A_{infl. pilastro} = 4m x 6m = 24m²

Calcolo del peso delle travi presenti nell’area di influenza

Calcolo dell’area della sezione della trave precedentemente dimensionata:

A_{sez. trave} = b_{sez. trave} x h_{sez. trave}

b_{sez. trave} = 30cm (vedi “dimensionamento travi”)

h_{sez. trave} = 50cm (vedi “dimensionamento travi”)

A_{sez. trave} = 30cm x 50cm = 1500 cm² = 0,15m²

Individuazione del peso specifico del materiale della trave:

g_{mater. trave} = 6kN/m³ (legno lamellare incollato)

Calcolo del carico a metro lineare esercitato delle travi:

trave_principale = trave_secondaria = A_{sez. Trave} x g_{mater. trave}

trave_principale = trave_secondaria = 0,15m² x 6kN/m³ = 0,9kN/m

Calcolo del carico esercitato dalle travi nel’area di influenza del pilastro maggiormente sollecitato:

q_travi = 1,3 x a x trave_secondaria + 1,3 x b x trave_principale

q_travi = 1,3 x 4m x 0,9kN/m + 1,3 x 6m x 0,9kN/m = 11,7kN

Calcolo del peso della porzione di solaio presente nell’area di influenza

q_solaio = (1,3 x q_s + 1,5 x q_p + 1,5 x q_a) x A_{infl. pilastro}

q_s = 0,35kN/m² (vedi “dimensionamento travi”)

q_p = 2,96kN/m² (vedi “dimensionamento travi”)

q_a = 2kN/m² (vedi “dimensionamento travi”)

q_solaio = (1,3 x 0,35kN/m² + 1,5 x 2,96kN/m² + 1,5 x 2kN/m²) x 24m² = 189,48kN

CALCOLO DELLO SFORZO NORMALE AGENTE SUL PILASTRO

N = (q_travi + q_solaio) x n°_piani

n°_piani = 2 (vedi sezione strutturale)

N = (39kN + 189,48kN) x n°_piani = 402,36kN

CALCOLO TENSIONE DI PROGETTO

f_c0d = k_mod x f_c0k / γ_m

f_c0k = 26,5Kn/mm² (UNI EN 1194: legno lamellare GL28h)

k_mod = 0,70 (EN 14080: legno lamellare, classe di durata del carico “lunga”, classe di servizio “2”)

γ_m = 1,45 (legno lamellare)

f_c0d = 0,7 x 26,5kNxm / 1,45 = 12,7931N/mm²

CALCOLO DELL’AREA  MINIMA DELLA SEZIONE DEL PILASTRO

Calcolo dell’area minima della sezione del pilastro maggiormente sollecitato:

Amin = N / f_cd

Amin = 402,36kN x 10 / 26,5MPa = 314,5132cm²

CALCOLO DEL VALORE MINIMO DEL RAGGIO D’INERZIA MINIMO

ρ_min = b x l / λ

l = 3m (vedi sezione strutturale)

Individuazione del valore del coefficiente b:

b = 1 (trave doppiamente appoggiata)

Calcolo della snellezza massima:

λ = p x (E / f_c0d)^1/2

E = 10200MPa (UNI EN 1194: legno lamellare GL28h)

λ = p x (10200MPa / 12,7931MPa)^1/2 = 88,70784

ρ_min = 1 x 3m x 100 / 88,70784 = 3,381888cm

CALCOLO DELLA BASE E DELL’ALTEZZA DELLA SEZIONE DEL PILASTRO

b_min = (12)^1/2 x ρ_min

b_{min sez. pilastro} = (12)^1/2 x 3,381888cm = 11,715

b_{sez. pilastro} = 20cm

h_min = A_min / b_min

h_{min sez. pilastro} = 314,5132cm² / 20cm = 15,726cm

h_{sez. pilastro} = 20cm

A_design = b_{sez. pilastro} x h_{sez. pilastro}

A_design = 20cm² x 20cm² = 400cm²

CALCOLO DEL MOMENTO D’INERZIA MINIMO

I_design = b³ x h / 12

I_design = (20cm)³ x 20cm / 12 = 13333,3cm⁴

Il pilastro in legno lamellare avrà quindi sezione 20cm x 20cm.

TELAIO ACCIAIO

DIMENSIONAMENTO TRAVI ACCIAIO

Stratigrafia solaio:

Pannello gessofibra (1,2)

IPE 160

Lamiera grecata (5cm)

Soletta in cls (5cm)

Isolante acustico (6cm)

Massetto (4cm)

Pavimentazione in gres porcellanato (2cm)

CALCOLO DEL CARICO LIMITE ULTIMO

q_u = (1,3 x q_s + 1,5 x q_p + 1,5 x q_a) x i

i = 4m (vedi pianta strutturale)

Calcolo del carico strutturale:

q_s = V_soletta x g_calcestruzzo + V_lamiera  x g_acciaio  + V_IPE160  x g_acciaio

q_s = (0,08m x 1m x 1m) x 25 kN/m³ + (0,001m x 1m x 1m) x 78,5 kN/m³ + [(0,00201m² x 1m) x 2] x 78,5 kN/m³ = 2,388 kn/m²

Calcolo del carico permanente:

P_solaio (per 1m²) = P_gessofibra + P_isolante + P_massetto + P_pavimento + P_impianti + P_tramezzi

P_gessofibra = 0,15 kN/m²

P_isolante = (0,06m x 1m x 1m) x 0,5 kn/m³ = 0,02 kn/m²

P_massetto = (0,04m x 1m x 1m) x 18 kn/m³ = 1,08 kn/m²

P_pavimento = (0,02m x 1m x 1m) x 23 kn/m³ = 0,46 kn/m²

P_impianti = 0,5 kn/m²

P_tramezzi = 0,6 kn/m²

q_p = 2,81 kN/m²

Individuazione del carico accidentale:

q_a = 2 kN/m² (uso residenziale)

Calcolo del carico limite ultimo:

q_u = (1,3 x q_s + 1,5 x q_p + 1,5 x q_a) x i

q_u = (1,3 x 2,388 kN/m² + 1,5 x 2,81 kN/m² + 1,5 x 2 kN/m²) x 4m = 10,3194 kN/m² x 4m = 41,2776 kN/m

CALCOLO DEL MOMENTO MASSIMO

M_max = q_u x l² / 8

l : 6m (vedi pianta strutturale)

M_max = [41,2776 kN/m x (6m)²] / 8 = 185,7492 kNm

CALCOLO DELLA TENSIONE DI PROGETTO

f_d = f_y,k / γ_m

f_d = f_yk / 1,05

f_yk = 275N/mm²

f_d = 275N/mm² / 1,05 = 261,9047N/mm²

CALCOLO IL MODULO DI RESISTENZA A FLESSIONE DELLA SEZIONE DELLA TRAVE

W_x,min = M_max / f_d = 709,22cm³

W_{x sez. trave} = 713cm³

Ci si riferisce al sagomario IPE per la scelta della trave con W_x  immediatamente superiore a W_x,min (709,22cm³), in questo caso una IPE 330.

DIMENSIONAMENTO PILASTRI ACCIAIO

Calcolo dell’area di influenza del pilastro maggiormente sollecitato

a = 4m (vedi pianta strutturale)

b = 6m  (vedi pianta strutturale)

A_{infl. pilastro} = a x b

A_{infl. pilastro} = 4m x 6m = 24m²

Calcolo del peso delle travi presenti nell’area di influenza

Calcolo dell’area della sezione della trave precedentemente dimensionata:

A_{sez. trave} = 0,006261m²

Individuazione del peso specifico del materiale della trave:

g_{mater. trave} = 78,50kN/m³ (acciaio)

Calcolo del carico a metro lineare esercitato delle travi:

trave_principale = trave_secondaria = A_{sez. Trave} x g_{mater. trave}

trave_principale = trave_secondaria = 0,006261m² x 78,50kN/m³ = 0,4915kN/m

Calcolo del carico esercitato dalle travi nel’area di influenza del pilastro maggiormente sollecitato:

q_travi = 1,3 x a x trave_secondaria + 1,3 x b x trave_principale

q_travi = 1,3 x 4m x 0,4915kN/m + 1,3 x 6m x 0,4915kN/m = 6,3893 kN

Calcolo del peso della porzione di solaio presente nell’area di influenza

q_solaio = (1,3 x q_s + 1,5 x q_p + 1,5 x q_a) x A_{infl. pilastro}

q_s = 2,388kN/m² (vedi “dimensionamento travi”)

q_p = 2,81kN/m² (vedi “dimensionamento travi”)

q_a = 2kN/m² (vedi “dimensionamento travi”)

q_solaio = (1,3 x 2,388kN/m² + 1,5 x 2,81kN/m² + 1,5 x 2kN/m²) x 24m² = 247,6656kN

CALCOLO DELLO SFORZO NORMALE AGENTE SUL PILASTRO

N = (q_travi + q_solaio) x n°_piani

n°_piani = 2 (vedi sezione strutturale)

N = (6,3893kN + 247,6656kN) x n°_piani = 508,1099kN

CALCOLO TENSIONE DI PROGETTO

f_yk = 275 MPa

f_yd = f_yk / 1,05

f_yd = 275MPa / 1,05 = 261,9048 MPa

CALCOLO DELL’AREA MINIMA DELLA SEZIONE DEL PILASTRO

Calcolo dell’area minima della sezione del pilastro maggiormente sollecitato:

Amin = N / f_yd

Amin = 508,1099kN x 10 / 261,9048MPa = 19,40056cm²

CALCOLO DEL VALORE MINIMO DEL RAGGIO D’INERZIA MINIMO

ρ_min = b x l / λ

l = 3m (vedi sezione strutturale)

Individuazione del valore del coefficiente b:

b = 1 (trave doppiamente appoggiata)

Calcolo della snellezza massima:

λ = p x (E / f_yd)^1/2

E = 210000MPa

λ = p x (210000MPa / 261,9048MPa)^1/2 = 88,95858

ρ_min = 1 x 3m x 100 / 88,95858 = 3,372356cm

CALCOLO DEL MOMENTO D’INERZIA MINIMO

I_min = A_min x ρ_min²  

I_min = 19,40056cm²  x (3,372356cm)²  = 220,6384cm⁴

Una volta individuato il valore minimo del momento di inerzia minimo posso conoscere i seguenti valori consultato il sagomario.

A_design = 25,34cm²

I_design = 230,9cm⁴

ρ_{min design} = 3,02cm

λ = b x l / ρ_{min design}

λ = 1 x 3m x 100 / 3,02cm = 99,33775 (< 200, ok)

Grazie ai dati trovati è possibile individuare sul sagomario il profilo adeguato, in questo caso una HEA 120.

Lo scopo dell'esercitazione è progettare e verificare la trave più sollecitata, soggetta a flessione e il pilastro più sollecitato, soggetto a sforzo normale, del telaio, utilizzando sezioni in legno, acciaio e c.a.

                                                                              TELAIO:TRAVE PIU’ SOLLECITATA                                                                                                                                                                                                                                               TELAIO: PILASTRO PIU’ SOLLECITATO

PREDIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE PIU' SOLLECITATA

La trave evidenziata in figura è la più sollecitata dell'impalcato ed ha un'area di influenza di 4,00m x 5,00m = 20,00m²

TABELLA MOMENTI MASSIMI PER LE TRAVI PIU’ SOLLECITATE

1.     Legno

Come prima operazione calcoliamo i carichi permanenti strutturali(trascurando il peso proprio della trave), permanenti non strutturali ed accidentali

Carichi permanenti strutturali:

-Travetto in legno: (8x18)cm, peso specifico 5,5KN/m³, interasse 70,5cm

q_s,tr = (0,18m x 0,08m)/m² x 5,5KN/m³ = 0,08KN/m²

-Soletta in Fibrogesso: spessore 3 cm, peso specifico 11,5KN/m³

q_s,f = 0,03m x 11,5KN/m³ = 0,35KN/m²

Moltiplico per 2 avendo 2 solette: 0,35 x 2= 0,69 KN/m³

Il carico strutturale totale:

q_s = q_s,tr + q_s,f = (0,08+0,69)KN/m²  = 0,8KN/m²

Carichi permanenti non strutturali:

-Massetto di allettamento in malta di cemento: spessore 10cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,ma = 0,1m x 20KN/m³ = 2KN/m²

-Pavimento in gres porcellanato: spessore 2cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,pa = 0,02m x 20KN/m³ = 0,40KN/m²

Il carico permanente non strutturale totale a cui aggiungo l'incidenza di impianti, tramezzi e controsoffitto:

q_p = q_p,ma + q_p,pa + q_p,im  + q_p,tr  + q_p,c   = (2+0,40+0,1+1,6+0,06)KN/m²  = 4,16KN/m²

Carichi accidentali:

-Ipotizziamo che la destinazione d'uso sia quella di civile abitazione, quindi il carico accidentale q_a = 2KN/m²

• Inserendo tutti i dati ricavati nel foglio di calcolo excel ricaviamo il carico

     q_u = 41,12KN/m agente sulla trave.

Introducendo come valore la luce di 5m otteniamo il valore del M_max = 128,5KN*m        

Scelgliamo la tipologia di legno C24, inserisco il valore caratteristico di resistenza f_m,K=24N/mm², il coefficiente diminutivo K_mod=0,6 (dipende dalla classe d’uso della trave, è un coefficiente correttivo dei valori di resistenza del materiale considerando l'aggravio delle condizioni esterne d'esercizio come particolari condizioni di carico e umidità) e il coefficiente parziale di sicurezza γ_m=1,45 in modo che il foglio di calcolo mi restituisca la tensione di progetto f_d=9,9310345N/mm² tramite la formula: f_md = k_mod x f_mk /γ_m = 13,24 N/mm²

Come passo successivo scegliamo la base della trave b=30cm e ricavo l'altezza minima h_min=50,87cm tramite la formula H_min = √6 M_max / fmd x b

Ingegnerizzando la sezione ricavata scegliamo una trave 30x55cm.

Calcoliamo il peso proprio della trave e lo aggiungiamo al carico permanente strutturale q_s: 

q_s,trave = (0,30m x 0,55m )/m² x 6KN/m³ = 0.99KN/m²

quindi

q_s  + q_s,trave = (0,8+0.99)KN/m²= 1,79KN/m²

inserendo il nuovo q_s verifico che il nuovo h_min=53,96cm<h=55cm  

VERIFICATA

TABELLA CALCOLO DEL PREDIMENZIONAMENTO DELLA SEZIONE DELLA TRAVE IN LEGNO

1. Acciaio

Come prima operazione calcoliamo i carichi permanenti strutturali(trascurando il peso proprio della trave), permanenti non strutturali ed accidentali.

Carichi permanenti strutturali:

-Lamiera grecata: altezza 5,5 cm, spessore 8mm

q_s,la = 0,11 KN/m²

-Soletta in cls.a.: altezza: 0,65+0,55 peso specifico 25KN/m³

q_s,ca = [(0,65+0,55)/2] x 25 KN/m³ = 2,32KN/m²

Il carico strutturale totale:

q_s = q_s,la + q_s,ca  = (0,11+2,32)KN/m² = 2,42KN/m²

Carichi permanenti non strutturali:

-Massetto di allettamento in malta di cemento: spessore 10cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,ma = 0,1m x 20KN/m³ = 2KN/m²

-Pavimento in gres porcellanato: spessore 2cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,pa = 0,02m x 20KN/m³ = 0,40KN/m²

Il carico permanente non strutturale totale a cui aggiungo l'incidenza di impianti, tramezzi e controsoffitto:

q_p = q_p,ma + q_p,pa + q_p,im  + q_p,tr  + q_p,c   = (2+0,40+0,1+1,6+0,06)KN/m²  = 4,16KN/m²

Carichi accidentali:

-Ipotizziamo che la destinazione d'uso sia quella di civile abitazione, quindi il carico accidentale q_a = 2KN/m²

Inserendo tutti i dati ricavati nel foglio di calcolo excel ricavo il carico

q_u = 49,544KN/m agente sulla trave.

Introducendo come valore la luce di 5m otteniamo il valore del momento massimo

M_max = 154,825KN*m         

Scelgo la tipologia di acciaio S275, inserisco il suo valore di tensione di snervamento f_y,K=275MPa, si trova così la tensione di progetto 

f_d = f_yk /γ_s = 275/1,15 = 261,9 N/mm ²

dove γ_s = 1,15 coefficiente parziale di sicurezza dell'acciaio.

Ricavare dal foglio di calcolo il modulo di resistenza a flessione minimo rispetto all'asse x.

W_x,min = M_max / f_d = 591,15 cm³

Considerando W_x,min troviamo nella tabella dei profilati metallici un profilato con W_x > W_x,min

IPE 330 con W_x = 713,1 cm³

Calcolo il peso proprio della trave e lo aggiungo al carico permanente strutturale q_s:

q_s,trave = (0,006261m² )/m² x 78,5KN/m³ = 0, 49KN/m²

quindi

q_s  + q_s,trave = (2,42+0,49)KN/m²=2.9KN/m²

 inserendo il nuovo q_s verifico che il nuovo W_x,min=620,93cm³<W_x=713,1cm³ 

VERIFICATA

TABELLA CALCOLO DEL PREDIMENZIONAMENTO DELLA SEZIONE DELLA TRAVE IN ACCIAIO

1. Calcestruzzo armato

Come prima operazione calcolo i carichi permanenti strutturali(trascurando il peso proprio della trave), permanenti non strutturali ed accidentali

Carichi permanenti strutturali:

-Soletta: altezza: 4cm, peso specifico 25N/m³:

q_s,s =0.4 m x 25KN/m³ =1KN/m²

-Pignatta in laterizio: dim 20cm x 38cm, peso specifico 8KN/m², interasse 0,5m: q_s,pi =[( 0,38 x 0,2)/0.5] x 8KN/m²=1,2KN/m²

-Travetti.: dim 12x20cm, peso specifico 25KN/m³

q_s,t r= [(0,12 x 0,2) x 0,5]  x 25 KN/m³ = 1,2KN/m²

Il carico strutturale totale: q_s = q_s,tr + q_s,pi + q_s,s  = (1,2 + 1,2 + 1)KN/m² = 3,4KN/m²

Carichi permanenti non strutturali:

-Pavimento in gres porcellanato: spessore 2cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,pa = 0,02m x 20KN/m³ = 0,40KN/m²

-Isolante acustico: spessore 3cm, peso specifico 1KN/m³

q_p,is = 0,03m x 1KN/m³ = 0,03KN/m²

-Allettamento più massetto: spessore 8+4cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,ma = 0,12m x 20KN/m³ = 2,4KN/m²

-Intonaco: spessore 2cm, peso specifico 20 KN/m³

q_p,in = 0,02m x 20KN/m³ = 0,4KN/m²

Il carico permanente non strutturale totale a cui aggiungo l'incidenza di impianti e tramezzi:

q_p = q_p,is +q_p,ma+q_p,pa +q_p,im +q_p,in =(0,03+2,4+0,4+1,6+0,4)KN/m²=4,16KN/m²

Carichi accidentali:

-Ipotizziamo che la destinazione d'uso sia quella di civile abitazione, quindi il carico accidentale q_a = 2KN/m²

Inserendo tutti i dati ricavati nel foglio di calcolo excel ricavo il carico q_u = 58,66KN/m agente sulla trave.

Introducendo come valore la luce di 5m otteniamo il valore del M_max = 183,3125KN*m      

Scelgliamo la tipologia di cemento C25/30 con resistenza caratteristica f_cK=25MPa, quindi ricavo la resistenza di progetto f_cd=19,83MPa calcolata mediante la formula: f_cd = α_cc f_ck /γ_c = 14,16 N/mm2 servendosi del coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata α_cc = 0,85 e del coefficiente parziale di sicurezza del calcestruzzo γ_c = 1,5.

La scelta dell’acciaio è condizionata dalla normativa, in questo caso viene scelto il B450C con 450 MPa di limite di snervamento. Inserendo questi dati nelle caselle apposite si trova il valore f_yd. La tensione di progetto dell'acciaio f_yd = f_yk /γ_s = 450/1,15 = 391,3 N/mm 2  con il coefficiente parziale di sicurezza dell’acciaio γ_s = 1,15.

Il passaggio successivo è la scelta di una dimensione per la base della sezione b=30cm che, insieme a resistenza di progetto f_cd e parametri β e r serve per trovare l'altezza utile h_u=52,69cm che addizionata al coprifilo δ=4cm determina l'altezza minima H_min=56,69cm.

Una volta ricavata l'altezza minima andiamo ad ingegnerizzare la sezione e scegliamo un'altezza di design H_design=60cm. 

Aggiungiamo ora  il peso della trave, prima trascurato, al carico totale che diventa q_u=63,16KN/m in modo da ricavare di nuovo H_min=58,68cm e se quest'ultima dimensione è inferiore a H_design la struttura è verificata.

H_min=58,68cm< H_design=60cm  

VERIFICATA

TABELLA CALCOLO DEL PREDIMENZIONAMENTO DELLA SEZIONE DELLA TRAVE IN CEMENTO ARMATO

PREDIMENSIONAMENTO DEL PILASTRO PIU' SOLLECITATO

Per quel che concerne il predimensionamento del pilastri nei vari materiali i valori dei carichi rimangono invariati. Per calcolare lo Sforzo Normale su di essi è stata applicata la formula per calcolare lo Sforzo Normale su ogni piano:

N_{1 piano}=(A_inf x q_u) + peso_travi

Il peso delle travi era stato precedentemente calcolato nel foglio Excel sulle travi. 

L’area di influenza è pari a l_a x l_b= 4 x 4,5=18m²

Per calcolare lo Sforzo Normale sul pilastro più sollecitato abbiamo moltiplicato lo Sforzo Normale per ogni piano per il numero di piani.

Cls: N_max=906,66 KN

Acciaio: N_max=681,25 KN

Legno: N_max=548,57 KN

TABELLA SFORZI NORMALI PER I PILASTRI PIU’ SOLLECITATI

TABELLA PREDIMENZIONAMENTO PILASTRO IN ACCIAIO

TABELLA PREDIMENZIONAMENTO PILASTRO IN  LEGNO

TABELLA PREDIMENZIONAMENTO PILASTRO IN CLS

Dopo aver effettuato i calcoli su Excel abbiamo ricostruito i vari telai per ogni materiale in Sap e abbiamo controllato che i dati scelti fossero verificati.

STUDIO DELLA STRUTTURA IN ACCIAIO SU SAP

STUDIO DELLA STRUTTURA IN LEGNO SU SAP

STUDIO DELLA STRUTTURA IN CLS SU SAP

Nel caso dell’acciaio abbiamo riscontrato che il valore dello sforzo normale per il pilastro non era verificato. Allora abbiamo riportato il valore trovato in Sap nel foglio Excel e abbiamo scelto un profilato HEA 160, nonostante il profilato scelto in precedenza (HEA 140) avesse comunque un’area superiore all’area minima calcolata con il nuovo valore trovato su Sap.

Nel caso del pilastro in legno, abbiamo riscontrato che il valore dello sforzo normale per il pilastro non era verificato e allora abbiamo riportato il valore trovato da sap su excel ricalcolandoci la dimensione del pilastro in legno ma anche in questo caso abbiamo visto che nonostante l'aumento dello sforzo normale, il pilastro è comunque verificato per le dimensioni scelte in precedenza.

Stud.sse Jlaria Volpi e Giulia Mellano

Lo scopo dell'esercitazione è progettare e verificare la trave più sollecitata, soggetta a flessione e il pilastro più sollecitato, soggetto a sforzo normale, del telaio utilizzando sezioni in legno, acciaio e c.a.

La trave evidenziata in figura è la più sollecitata dell'impalcato ed ha un'area di influenza di 4,00m x 5,00m = 20,00m²

Il pilastro evidenziato in figura è il più sollecitato dell'impalcato.

1.     Legno

Come prima operazione calcoliamo i carichi permanenti strutturali(trascurando il peso proprio della trave), permanenti non strutturali ed accidentali.

Carichi permanenti strutturali:

-Travetto in legno: (8x18)cm, peso specifico 5,5KN/m³, interasse 70,5cm

q_s,tr = (0,18m x 0,08m)/m² x 5,5KN/m³ = 0,08KN/m²

-Soletta in Fibrogesso: spessore 3 cm, peso specifico 11,5KN/m³

q_s,f = 0,03m x 11,5KN/m³ = 0,35KN/m²

Moltiplico per 2 avendo 2 solette: 0,35 x 2= 0,69 KN/m³

Il carico strutturale totale:

q_s = q_s,tr + q_s,f = (0,08+0,69)KN/m²  = 0,8KN/m²

Carichi permanenti non strutturali:

-Massetto di allettamento in malta di cemento: spessore 10cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,ma = 0,1m x 20KN/m³ = 2KN/m²

-Pavimento in gres porcellanato: spessore 2cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,pa = 0,02m x 20KN/m³ = 0,40KN/m²

Il carico permanente non strutturale totale a cui aggiungo l'incidenza di impianti, tramezzi e controsoffitto:

q_p = q_p,ma + q_p,pa + q_p,im  + q_p,tr  + q_p,c   = (2+0,40+0,1+1,6+0,06)KN/m²  = 4,16KN/m²

Carichi accidentali:

-Ipotizziamo che la destinazione d'uso sia quella di civile abitazione, quindi il carico accidentale q_a = 2KN/m²

• Inserendo tutti i dati ricavati nel foglio di calcolo excel ricaviamo il carico

     q_u = 41,12KN/m agente sulla trave.

Introducendo come valore la luce di 5m otteniamo il valore del M_max = 128,5KN*m        

Scelgliamo la tipologia di legno C24, inserisco il valore caratteristico di resistenza f_m,K=24N/mm², il coefficiente diminutivo K_mod=0,6 (dipende dalla classe d’uso della trave, è un coefficiente correttivo dei valori di resistenza del materiale considerando l'aggravio delle condizioni esterne d'esercizio come particolari condizioni di carico e umidità) e il coefficiente parziale di sicurezza γ_m=1,45 in modo che il foglio di calcolo mi restituisca la tensione di progetto f_d=9,9310345N/mm² tramite la formula: f_md = k_mod x f_mk /γ_m = 13,24 N/mm²

Come passo successivo scegliamo la base della trave b=30cm e ricavo l'altezza minima h_min=50,87cm tramite la formula H_min = √6 M_max / fmd x b

Ingegnerizzando la sezione ricavata scegliamo una trave 30x55cm.

Calcoliamo il peso proprio della trave e lo aggiungiamo al carico permanente strutturale q_s: 

q_s,trave = (0,30m x 0,55m )/m² x 6KN/m³ = 0.99KN/m²

quindi

q_s  + q_s,trave = (0,8+0.99)KN/m²= 1,79KN/m²

inserendo il nuovo q_s verifico che il nuovo h_min=53,96cm<h=55cm  

VERIFICATA

1. Acciaio

Come prima operazione calcoliamo i carichi permanenti strutturali(trascurando il peso proprio della trave), permanenti non strutturali ed accidentali.

Carichi permanenti strutturali:

-Lamiera grecata: altezza 5,5 cm, spessore 8mm

q_s,la = 0,11 KN/m²

-Soletta in cls.a.: altezza: 0,65+0,55 peso specifico 25KN/m³

q_s,ca = [(0,65+0,55)/2] x 25 KN/m³ = 2,32KN/m²

Il carico strutturale totale:

q_s = q_s,la + q_s,ca  = (0,11+2,32)KN/m² = 2,42KN/m²

Carichi permanenti non strutturali:

-Massetto di allettamento in malta di cemento: spessore 10cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,ma = 0,1m x 20KN/m³ = 2KN/m²

-Pavimento in gres porcellanato: spessore 2cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,pa = 0,02m x 20KN/m³ = 0,40KN/m²

Il carico permanente non strutturale totale a cui aggiungo l'incidenza di impianti, tramezzi e controsoffitto:

q_p = q_p,ma + q_p,pa + q_p,im  + q_p,tr  + q_p,c   = (2+0,40+0,1+1,6+0,06)KN/m²  = 4,16KN/m²

Carichi accidentali:

-Ipotizziamo che la destinazione d'uso sia quella di civile abitazione, quindi il carico accidentale q_a = 2KN/m²

Inserendo tutti i dati ricavati nel foglio di calcolo excel ricavo il carico

q_u = 49,544KN/m agente sulla trave.

Introducendo come valore la luce di 5m otteniamo il valore del momento massimo

M_max = 154,825KN*m         

Scelgo la tipologia di acciaio S275, inserisco il suo valore di tensione di snervamento f_y,K=275MPa, si trova così la tensione di progetto 

f_d = f_yk /γ_s = 275/1,15 = 261,9 N/mm ²

dove γ_s = 1,15 coefficiente parziale di sicurezza dell'acciaio.

Ricavare dal foglio di calcolo il modulo di resistenza a flessione minimo rispetto all'asse x.

W_x,min = M_max / f_d = 591,15 cm³

Considerando W_x,min troviamo nella tabella dei profilati metallici un profilato con W_x > W_x,min

IPE 330 con W_x = 713,1 cm³

Calcolo il peso proprio della trave e lo aggiungo al carico permanente strutturale q_s:

q_s,trave = (0,006261m² )/m² x 78,5KN/m³ = 0, 49KN/m²

quindi

q_s  + q_s,trave = (2,42+0,49)KN/m²=2.9KN/m²

 inserendo il nuovo q_s verifico che il nuovo W_x,min=620,93cm³<W_x=713,1cm³ 

VERIFICATA

3. Calcestruzzo armato

Come prima operazione calcolo i carichi permanenti strutturali(trascurando il peso proprio della trave), permanenti non strutturali ed accidentali

Carichi permanenti strutturali:

-Soletta: altezza: 4cm, peso specifico 25N/m³:

q_s,s =0.4 m x 25KN/m³ =1KN/m²

-Pignatta in laterizio: dim 20cm x 38cm, peso specifico 8KN/m², interasse 0,5m: q_s,pi =[( 0,38 x 0,2)/0.5] x 8KN/m²=1,2KN/m²

-Travetti.: dim 12x20cm, peso specifico 25KN/m³

q_s,t r= [(0,12 x 0,2) x 0,5]  x 25 KN/m³ = 1,2KN/m²

Il carico strutturale totale: q_s = q_s,tr + q_s,pi + q_s,s  = (1,2 + 1,2 + 1)KN/m² = 3,4KN/m²

Carichi permanenti non strutturali:

-Pavimento in gres porcellanato: spessore 2cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,pa = 0,02m x 20KN/m³ = 0,40KN/m²

-Isolante acustico: spessore 3cm, peso specifico 1KN/m³

q_p,is = 0,03m x 1KN/m³ = 0,03KN/m²

-Allettamento più massetto: spessore 8+4cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,ma = 0,12m x 20KN/m³ = 2,4KN/m²

-Intonaco: spessore 2cm, peso specifico 20 KN/m³

q_p,in = 0,02m x 20KN/m³ = 0,4KN/m²

Il carico permanente non strutturale totale a cui aggiungo l'incidenza di impianti e tramezzi:

q_p = q_p,is +q_p,ma+q_p,pa +q_p,im +q_p,in =(0,03+2,4+0,4+1,6+0,4)KN/m²=4,16KN/m²

Carichi accidentali:

-Ipotizziamo che la destinazione d'uso sia quella di civile abitazione, quindi il carico accidentale q_a = 2KN/m²

Inserendo tutti i dati ricavati nel foglio di calcolo excel ricavo il carico q_u = 58,66KN/m agente sulla trave.

Introducendo come valore la luce di 5m otteniamo il valore del M_max = 183,3125KN*m      

Scelgliamo la tipologia di cemento C25/30 con resistenza caratteristica f_cK=25MPa, quindi ricavo la resistenza di progetto f_cd=19,83MPa calcolata mediante la formula: f_cd = α_cc f_ck /γ_c = 14,16 N/mm2 servendosi del coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata α_cc = 0,85 e del coefficiente parziale di sicurezza del calcestruzzo γ_c = 1,5.

La scelta dell’acciaio è condizionata dalla normativa, in questo caso viene scelto il B450C con 450 MPa di limite di snervamento. Inserendo questi dati nelle caselle apposite si trova il valore f_yd. La tensione di progetto dell'acciaio f_yd = f_yk /γ_s = 450/1,15 = 391,3 N/mm 2  con il coefficiente parziale di sicurezza dell’acciaio γ_s = 1,15.

Il passaggio successivo è la scelta di una dimensione per la base della sezione b=30cm che, insieme a resistenza di progetto f_cd e parametri β e r serve per trovare l'altezza utile h_u=52,69cm che addizionata al coprifilo δ=4cm determina l'altezza minima H_min=56,69cm.

Una volta ricavata l'altezza minima andiamo ad ingegnerizzare la sezione e scegliamo un'altezza di design H_design=60cm. 

Aggiungiamo ora  il peso della trave, prima trascurato, al carico totale che diventa q_u=63,16KN/m in modo da ricavare di nuovo H_min=58,68cm e se quest'ultima dimensione è inferiore a H_design la struttura è verificata.

H_min=58,68cm< H_design=60cm  

VERIFICATA

TABELLA MOMENTI MASSIMI PER LE TRAVI PIU’ SOLLECITATE

Per quel che concerne il predimensionamento del pilastri nei vari materiali i valori dei carichi rimangono invariati. Per calcolare lo Sforzo Normale su di essi è stata applicata la formula per calcolare lo Sforzo Normale su ogni piano:

N_{1 piano}=(A_inf x q_u) + peso_travi

Il peso delle travi era stato precedentemente calcolato nel foglio Excel sulle travi. 

L’area di influenza è pari a l_a x l_b= 4 x 4,5=18m²

Per calcolare lo Sforzo Normale sul pilastro più sollecitato abbiamo moltiplicato lo Sforzo Normale per ogni piano per il numero di piani.

Cls: N_max=906,66 KN

Acciaio: N_max=681,25 KN

Legno: N_max=548,57 KN

TABELLA SFORZI NORMALI PER I PILASTRI PIU’ SOLLECITATI

TABELLA PREDIMENZIONAMENTO PILASTRO IN CLS

TABELLA PREDIMENZIONAMENTO PILASTRO IN ACCIAIO

TABELLA PREDIMENZIONAMENTO PILASTRO IN  LEGNO

Dopo aver effettuato i calcoli su Excel abbiamo ricostruito i vari telai per ogni materiale in Sap e abbiamo controllato che i dati scelti fossero verificati.

STUDIO DELLA STRUTTURA IN ACCIAIO SU SAP

STUDIO DELLA STRUTTURA IN LEGNO

STUDIO DELLA STRUTTURA IN CLS

Nel caso dell’acciaio abbiamo riscontrato che il valore dello sforzo normale per il pilastro non era verificato. Allora abbiamo riportato il valore trovato in Sap nel foglio Excel e abbiamo scelto un profilato HEA 160, nonostante il profilato scelto in precedenza (HEA 140) avesse comunque un’area superiore all’area minima calcolata con il nuovo valore trovato su Sap.

Nel caso del pilastro in legno, abbiamo riscontrato che il valore dello sforzo normale per il pilastro non era verificato. Allora abbiamo riportato il valore trovato in Sap nel foglio Excel ricalcolandoci la dimensione del pilastro in legno, ma anche in questo caso abbiamo visto che nonostante l'aumento dello sforzo normale, il pilastro è comunque verificato per le dimensioni scelte in precedenza.

Stud.sse: Giulia Mellano e Jlaria Volpi

L'esercitazione prevede il dimensionamento della trave più sollecitata nelle differenti tipologie: acciaio, cemento armato e legno. Nel seguente schema di carpenteria la trave più sollecitata risulta quella comresa tra i pilastri B2 e B3.

Luce della trave- 5 m

Interasse- 5 m

Area di influenza- 25 mq

Come prima cosa dobbiamo determinare tutti i carichi agenti sul solaio:

- Qs- carico strutturale, dovuto al peso propsio di tutti gli elementi strutturali.

- Qp-carico permanente, è il carico dovuto al peso proprio di tutti gli elementi che  gravano sul solaio e che non hanno funzione strutturale.

- Qa- carico accidentale, carico definito dalla normativa, che dipende dalla destinazione dìuso dell'edificio.

Una volta determinati i diversi tipi di carico, li vado a moltiplicare per dei coefficienti presi dalla normativa, quindi:

                Qtot= 1,3 x Qs+ 1,5 x Qp + 1,5 x Qa = KN/m^2

Per poter ricavare il carico che agisce direttamente sulla trave moltiplico il Qtot per l'interasse, ricavando così un Qu.

Essendo una trave doppiamente appoggiata il nostro Mmax= (Qu x l^2)/8

A questo punto vado a ricavare tutti i valori necessari per le diverse tipologie.

SOLAIO IN ACCIAIO:

Carico strutturale (Qs)

- Soletta: S=100mm  ý=1500 Kg/mc

     pp: 0,1x1,5 =1,5 KN/mq

- Lamiera grecata: S=1,5mm    ý=7860 Kg/mc

   pp: 0,015x7,860= 0,119 KN/mq

  Qs= 1,6179 KN/mq

Sovraccarico Permanente (Qp)

- Pavimentazione: S=0,02m  ý=0,40 KN/mq

    pp: 0,02x0,4=0,008 KN/mq

- Massetto: S=0,4 m   ý=2100Kg/mc

   pp: 0,04x21=0,84 KN/mq

- Isolante Lana di roccia:  S=0,02m  ý=30 Kg/mc

     pp: 0,02x0,3=0,006KN/mq

- Controsoffitto:  S=0,01 m   ý= 1325 Kg/mc

     pp: 0,01x13,25=0,1325KN/mq

- Incidenza impianti= 0,5 KN/mq

- Incidenza tranmezzi= 1,00 KN/mq

Qp= 2,486 KN/mq

Sovraccarico accidentale (Qa)

Qa= 2KN/mq

Qu= 1,3 x Qs+ 1,5 x Qp + 1,5 x Qa =44,161 KN/mq

Il processo è stato eseguito utilizzando un foglio excell dal quale è stato possibile calcolare il valore del Mmax agente sulla trave e il Wxmin della sezione con il quale è stato scelto un profilato, in questo caso una IPE 330. Nella seconda riga excell aggiungo al valore di Qs il peso della trave IPE 330 diviso per l'interasse, quindi:

Qs: (1,6179+0,49)/ i= 1,7159 KN/mq

Utilizzando SAP abbiamo poi verificato che Mmax dato dal programma fosse veramente inferiore, nel mio caso ho ottenuto un valore di:

Mmax = 53 KN*m

che, rispetto al momento utilizzata in excell risulta verificata.

PILASTRO 

Il dimensionamento è stato eseguito anche per il pilastro più sollecitato, trovato lo sforzo normale, sono stati calcolati tutti i parametri necessari a definire la sezione, ho ricavato il momento di inerzia minimo ed ho cercato sul profilario una sezione con I>Imin. In base a questi dati è stato scelto un profilo HEB 240.

SOLAIO IN CALCESTRUZZO ARMATO

Sovraccarico strutturale (Qs)

- Soletta : S= 40mm    ý= 25,00 KN/mc

   pp: 25x0,04=1 KN/mq

- Travetti : S=20 mm     ý= 25,00 KN/mc

  pp: (0,16x0,1x1)x 25KN/mc= 0,4 x 2= =,8 KN/mq

- Pignatte: ý=8,00 Kg

  pp: 2x8= 16Kg = 0,16KN 

Qs= 1,96 KN/mq

Sovraccarico Permanente (Qp)

- Piastrelle: S=0,01m  ý=0,2 KN/mq

  pp: 0,01x0,2= 0,002 KN/mq

- Malta: S=0,02 m    ý=20 KN/mq

  pp: 0,02x20= 0,4 KN/mq

- Massetto: S= 0,06m   ý=25,00 KN/mc

    pp:25x0,06= 1,5 KN/mq

-Intonaco: S=0,02 m    ý=16 KN/mc

     pp: 0,02x16= 0,32 KN/mq

Incidenza tramezzi= 1,00 KN/mq

Incidenza impianti= 0,5 KN/mq

Qp= 3,762 KN/mq

Sovraccarico accidentale (Qa)

Qa= 2 KN/mq

Qu= 1,3 x Qs+ 1,5 x Qp + 1,5 x Qa =55,955 KN/mq

Anche per la tipologia in calcestruzzo armato è stato calcolato Mmax, che, ancora una volta è stato trovato considerando la trave doppiamente appoggiata quindi:

Mmax= q x l ^2 /8

Una volta inserita la resistenza caratteristica dell'armatura (fyk= 450 N/mmq) e, la resistenza caratteristica a complessione del CLS (fck= 25 N/mmq), ho ricavato l'altezza della mia trave ipotizzando una base di partenza di 40 cm, quindi H > Hmin. Ho scelto una sezione con B=40 cm ed H= 55 cm.

Il Mmax agente sulla trave ricavato dal modello SAP è di 25 KN* m e quindi è verificato per la mia sezione.

PILASTRO

Per dimensionare il pilastro più sollecitato in CLS sono sempre partita dallo sforzo normale ed ho calcolato i vari parametri, la scelta della sezione ha tenuto conto del fatto che ð < fcd, tenendo conto di  questa condizione posso verificare la sezione scelta che in questo caso è:

b= 30 cm      h= 50 cm.

SOLAIO IN LEGNO

Sovraccarico Strutturale (Qs)

- Travetto in abete: S= 16x8 cm    ý= 450 Kg/mc

     pp:0,128x4,5= 0,576 x 2= 1,152 KN/mq

Qs= 1,152 KN/mq

Sovraccarico Permanente (Qp)

- OSB: S=0,03 m    ý= 650 Kg/mc

   pp: 0,03x6,5=0,195 x 2= 0,39 KN/mq

- Isolante: S=16 cm    ý= 15 Kg/mc

    pp: 0,15x0,16= 0,024 KN/mq

Incidenza impianti= 0,5 KN/mq

Incidenza impianti= 1 KN/mq

Qp= 1,914 KN/mq

Sovraccarico accidentale (Qa)

Qa= 2 KN/mq

Qu= 1,3 x Qs+ 1,5 x Qp + 1,5 x Qa =36,843 KN/mq

Scelta la tipologia del legno posso ricavare alcuni valori caratteristici del materiale.

Imposto una base della trave b = 35 cm e tramite Hmin = √6 x Mmax / fmd x b ricavo il valore dell’altezza minima che dovrà avere la trave.
Quindi H > Hmin      Hmin = 24,48 cm
H = 50 cm

Dalla figura precedente si puù vedere il valore di Mmax agente sulle trave ricavato da SAP.

PILASTRO

Per quanto riguarda il dimensionamento del pilastro più sollecitato abbiamo  calcolato lo sforzo Normale su ogni piano,

N.1 piano = (A inf x Qu) + Peso Travi
formula in cui il Peso delle Travi è pari a = (A trave x La + A trave x Lb) x γ

Successivamente abbiamo moltiplicato lo sforzo Normale per ogni piano x il numero di piano ed ottenuto Nmax= 1784,81 KN

In un ulteriore foglio excel si è inserito come dato di partenza proprio lo sforzo Normale max per andare a ricavare le dimensioni della base e dell’altezza del pilastro in legno. In questo caso b = 35 cm e h = 50 cm 

Per ogni tipologia costruttiva è stato analizzato lo sforzo assiale agente sui pilastri attraverso SAP, per verificarne la correttezza delle diverse sezioni scelte.

Elaborato svolto in coppia: Mariucci Serena-Taiariol Beatrice

Con questa esercitazione vedremo come una forza orizzontale (ad esempio vento o sisma) si ripartiasce su un edificio, per eseguire questa analisi utilizzeremo il metodo delle rigidezze per vedere le reazioni del nostro impalcato.

L'oggetto in analisi è un edificio ad un piano con una struttura i cemento armato composta da 7 telai (3 orizzontali e 4 verticali)

Telai orizzontali    

Telaio 1o: 1-2

Telaio 2o: 3-4-5-6

Telaio 3o: 7-8-9-10

Telai vertical

Telaio 1v: 3-7

Telaio 2v: 1-4-8

Telaio 3v: 2-5-9

Telaio 4v: 6-10

Di questi telai analizzeremo le rigidezze considerandoli come modelli shear-type, un modello teorico che descrive un telaio con tutti nodi ad incastro e travi infinitamente rigide a flessione, questo ci permette di concentrarci solo sul cedimento vincolare dei pilastri (i controventi della struttura) e quindi sulla loro rigidezza.

Vediamo che la rigidezza dei telai dunque è direttamente proporzionale al modulo di Young E, al momento di inerzia I e inversamente proporzionale all'altezza h del pilastro. Per conoscere la rigidezza del nostro telaio basterà dunque sommare le rigidezze dei singoli controventi disposti sul rispettivo asse in analisi

kᵢ=12EI₁/hᶟ

k_tot=∑ᶰᵢ‗₁ kᵢ

Detto ciò visualizzo l'impalcato come un corpo rigido dotato di massa omogenea, controventato da vincoli cedevoli elasticamente rappresentabili sul piano xy come molle di adeguata rigidezza k

Prima di utilizzare il foglio excell per calcolare sistematicamente le rigidezze dei telai definisco che:

H= altezza = 3,4 m

E= Modulo di Young = 21000 N/mm²

Pilastri a sezione quadrata 30cmx30cm con un momento di inerzia unico

I= Momento d’Inerzia = b⁴/12 = 67 500 cm⁴

Una volta ricavate le rigidezze dei diversi telai riportiamo le distanze degli stessi da un punto d' origine (da noi scelto) chiamato O.

Una volta impostato questo sistema di riferimento passiamo a calcolare il centro di massa e il centro di rigidezza della struttura. Questi due punti possono essere entrambi ricavati utilizzando l'equazione per ottenere il centro di un sistema di vettori paralleli.

Per quanto riguarda il centro di massa esso coinciderà con il centro dell'area poichè abbiamo impotizzato che la densità della massa sia uniforme su tutto l'impalcato. per ricavarlo scomponiamo il corpo del nostro edificio in due figure geometriche distinte.

G1: x1= 7,5m

       y1= 8m

G2: x2= 6m

       y2= 3m

Dunque  

x_G = (Σ_i=1-nAixXGi)/ A_tot  

y_G = (Σ_i=1-nAixyGi)/ A_tot       

Per calcolare il centro delle rigidezze utilizzeremo (come introdotto precedentemente) la medesima equazione:

x_C = (Σ_i=1-nKvi x Dvi) / K_{v_tot}

y_C = (Σ_i=1-nKoi x Doi) / K_{o_tot}

Trovati i due centri noto che non coincidono, questo significa che il nostro impalcato sarà soggetto, oltre che a traslanzione, anche a rotazione, questo perchè la forza orizzontale applicata al centro della massa farà ruotare l'impalcato con perno nel centro delle rigidezze, creando un momento con braccio pari alla distanza dei due centri, questo ci dice che la configurazione ottimale per una struttura è quella in cui coincidono i due centri.

Dunque bisogna calcolare anche il valore della rigidezza torsionale K_Φ che non è altro che la sommatoria delle rigidezze dei telai moltiplicati per la rispettiva distanza (braccio) dal centro delle rigidezze

K_Φ =Σ_i=1->nK_vi x dd²_vi  +  K_o x dd²_oi

Seguendo la normativa è possibile ricavare (approssimativamente) la forza sismica che potrebbe agire sul nostro edificio. Per fare questo ho bisogno di ricavarmi la forza peso dell'edificio W, dato dalla somma del carico permanente G e del carico accidentale Q moltiplicato per un coefficente di contemporaneità  ψ,  nel nostro caso ipotizzando un ambiente ad uso commerciale il nostro edificio apparterrà alla categoria D con un coefficente ψ = 0,6

W = G + Q x ψ

La forza peso dell'edificio infine dovrà essere calcolata per un coefficente di intensità sismica c che dipende dal luogo del progetto.

F= W x c

Ricavata la forza passo a verificare la sua influenza sulla nostra struttura nei versi dei controventi da noi analizzati.

Dove :

lo spostamento orizzontale         u= F/ko_tot

Lo spostamento verticale            v= F/kv_tot

La rotazione                                     φ=M/kφ

Determinati i valori dei gradi di libertà è possibile concludere ricavando la forza sui singoli controventi nei due casi di carico.

Forza sismicalungo l’asse x

reazione controventi orizontali     F_{o_n}= k_{o_n} (u+Φ x dd_{o_n})

reazione controventi verticali        F_{v_n}=k_{v_n} x Φ x dd_{v_n}

Forza sismicalungo l’asse y

reazione controventi orizontali     F_{o_n}=k_{o_n} x Φ x dd_{o_n}

reazione controventi verticali        F_{v_n}=k_{v_n}(v+ Φ x dd_{v_n})

Quando un corpo è soggetto a forze orizzontali invece che a forze verticali, le parti della struttura che sono maggiormente interessate dal fenomeno sono gli elementi verticali (pilastri)

Nella seguente spiegazione verrà mostrato il comportamento di una struttura a telaio “shear type” soggetto a forza orizzontali.

Il telaio “shear  Type” è una tipologia di struttura che considera le travi come elementi rigidi e i pilastri come elementi deformabili

Quando un corpo è soggetto a una forza orizzontale, questo cerca di opporsi al momento secondo le legge della dinamica. La capacità che ha un corpo di opporsi alla deformazione elastica provocata da una forza applicata viene chiamata rigidezza.

F = K δ

La rigidezza dipende dalle condizioni di vincolo.

Nella prima figura i pilastri hanno un incastro alla base e una cerniera terminale. Nella seconda figura invece i pilastri sono doppiamente incastrati

La seconda figura è tipica dei telai in cemento armato. I telaio in acciaio o in legno per avere questa situazione hanno bisogno di particolare accorgimenti nei nodi trave pilastro che sono più complicati.

Per via della duttilità di acciaio e legno, in genere le strutture presentano spesso un setto in cemento armato che ha una rigidezza molto più grande rispetto ai pilastri e il modello utilizzato per le travi è quello mostrato nella prima figura.

Per capire il movimento di una struttura soggetta a sforzo orizzontale è necessario sapere la posizione nel piano del Centro delle Rigidezze e del Centro della Masse. Nel modello di calcolo che viene utilizzato, e considerando il solaio come un elemento rigido, si considera come se la massa di tutto il piano fosse concentrata nel baricentro. Le forze orizzontali allo stesso modo vengono applicate nel baricentro. La resistenze al movimento della struttura possono essere considerate come applicate nel centro delle rigidezze. Se il centro delle rigidezze coincide il corpo si sposterà in maniera rigida e avrà esclusivamente movimenti di traslazione.

Nel caso i due centri non coincidessero, si genererebbe un’eccentricità che produrrebbe delle rotazioni della struttura

L’obiettivo progettuale delle strutture deve essere quello di far coincidere i due centri, o nel caso si fosse impossibilitati, di ridurre il più possibile la distanza tra centro di massa e centro di rigidezza.

Prendiamo in considerazione un telaio in cemento armato.

È stato utilizzato un foglio di calcolo che  individua il baricentro del piano del solaio e le rigidezze del telaio delle direzioni di x e y

Questo caso la struttura è abbastanza semplice e avendo utilizzato il pilastri quadrati ogni pilastro da la stessa rigidezza sia nella direzione x che nella direzione y.

Nel caso in cui la struttura fosse più complessa per via della presenza di doppie altezze o di dimensioni differenti dei pilastri rispetto alle direzioni x e y, la posizione del baricentro e del centro delle rigidezze può cambiare notevolmente. L a variazione del baricentro può essere determinata anche in presenza di asimmetrie in altezza della struttura. 

Per evitare queste forti variazioni di posizione si può agire in due modi.

Se non si vuole cambiare la geometria del solaio è necessario cercare di spostare il centro delle rigidezze il più vicino possibile al baricentro, ingrandendo i pilastri che si trovano vicini al baricentro; oppure inserire un setto. Il setto è un elemento molto più rigido rispetto a un pilastro perché, per via della geometria, ha un momento di inerzia molto più grande. Il momento di inerzia è la capacità di un corpo a resistere a una rotazione. Per una sezione rettangolare il momento di inerzia risulta essere            L’altezza scala con una dimensione al cubo. Aumentare anche di poco l’altezza di una sezione fa aumentare di molto il momento di Inerzia e quindi la sua capacità a ruotare di meno.

Lo spostamento diminuisce se la rigidezza aumenta.

δ  = F / K

Ecco perché la presenza di un setto influisce molto sul movimento della struttura.

L’altra possibilità è quello fare dei giunti nella struttura. Il giunto non è altro che una divisione della struttura. La divisione permette di dividere la struttura in geometrie più semplici così da non dover prendere particolari provvedimenti per quanto riguarda le rigidezze del telaio.

Per figure geometriche semplici come il rettangolo il baricentro è già determinato è conosciuto. Nel Nostro caso di studio non abbiamo una figura geometrica base perciò è necessario suddividere l’area in superfici più piccole con geometrie di cui si conosce la posizione del baricentro. La posizione del baricentro della struttura è una media ponderata del rapporto tra il prodotto della massa di ogni area per la distanza da un punto di riferimento O e la massa totale. 

Nel nostro caso di studio, considerando che la tipologia di solaio non varia, è possibile considerare la posizione del baricentro in base all’area di ogni suddivisione; maggiore è l’area e maggiore sarà la massa.

Per trovare il centro delle rigidezza è necessario studiare il comportamento di ogni telaio “shear type”.

Consideriamo i telai sia nella direzione x che nella direzione y. Il centro delle rigidezze è la media ponderata tra il rapporto del prodotto di ogni rigidezza di telaio per la distanza da un punti di riferimento O e la rigidezza totale.

Telaio 1o         pilastri 1 - 2 - 3
Telaio 2o         pilastri 4 - 5 - 6
Telaio 3o         pilastri 7 - 8
Telaio 4o         pilastri 9 – 10

Telaio 1v         pilastri 1 – 4 – 7 – 9
Telaio 2v         pilastri 2 – 5 – 8 – 10
Telaio 3v         pilastri 3 – 6

Di sotto sono mostrate i due telai che si presentano in verticale o in orizzontale

Come primo passo si va a determinare la rigidezza di ogni telaio.
Nel foglio di calcolo è necessario inserire come informazioni base, la rigidezza di ogni pilastri e il momento di inerzia.
Il calcestruzzo utilizzato è un C25/30 con un modulo Elastico E= 21000 Mpa e dimensioni dei pilastri 30x30 cm.
La rigidezza di ogni telaio è ottenuta sommando le rigidezze di ogni pilastro.

Successivamente si segnano le distanze delle rigidezza da un punto di riferimento O in verticale e in orizzontale.

Si determina la posizione del baricentro

Si determinano la rigidezza traslazionale e rotazionale totale della struttura

Il centro delle masse e il centro delle rigidezze non coincidono. Oltre alla traslazione rigida della struttura è presente una rotazione rigida. Sono distanti  di 20 centimetri lungo x e venti centimetri lungo y

si effettua l’analisi dei carichi sismici per ricavare la forza sismica che agisce nel centro di massa. ( per i valori di carico strutturale, permanente e accidentale vedi  http://design.rootiers.it/strutture/node/1740)

In accordo con le norme tecniche per le costruzioni N.T.C. 2008, utilizziamo la combinazione sismica per calcolare i pesi sismici.