Esercitazione

L’obiettivo di questa esercitazione è quello di calcolare come viene ripartita una forza orizzontale, in questo caso quella sismica, su diversi telai che compongono una struttura, applicando il  metodo delle rigidezze.

Prendiamo in considerazione un generico edificio ad un solo piano, la cui struttura è composta da telai piani che, se ben progettati, oltre a trasmettere i carichi verticali alla fondazione possono fungere da controventi per le azioni orizzontali.

In particolare, i telai piani che compongono la struttura sono di tipo Shear-type.

Nel presente impalcato si possono individuare otto telai, quattro paralleli all’asse x e e quattro paralleli all’asse y.

• Telaio 1 verticale: pilastri 1-4
• Telaio 2 verticale: pilastri 2-5-7-10
• Telaio 3 verticale: pilastri 3-6-8-11
• Telaio 4 verticale: pilastri 9-12
• Telaio 1 orizzontale: pilastri 1-2-3
• Telaio 2 orizzontale: pilastri 4-5-6
• Telaio 3 orizzontale: pilastri 7-8-9
• Telaio 4 orizzontale: pilastri 10-11-12

Complessivamente sono presenti due tipologie di pilastro, uno rettangolare di dimensioni 30x40 cm e uno quadrato di dimensioni 30x30 cm. Pertanto otterremo tre momenti di inerzia distinti (bh²/12), due per il pilastro rettangolare, a seconda se viene calcolato rispetto ad x o rispetto ad y, e uno per il pilastro quadrato.

I controventi, che per il solaio rappresentano vincoli cedevoli elasticamente, possono essere schematizzati nel piano dell’impalcato come molle.

STEP 1: tramite la tabella excel, calcoliamo la rigidezza traslante associata a tutti i controventi, inserendo per ognuno di essi l’inerzia dei pilastri che lo compongono. Stiamo parlando di telai Shear type, pertanto, per trovare la rigidezza traslante di un telaio composto da n pilastri utilizziamo la formula:

STEP 2: otteniamo una tabella riassuntiva in cui vengono riportate le rigidezze di tutti i controventi calcolati nel primo step. In più, nella stessa tabella, inseriamo le distanze di ogni controvento da un’origine O arbitraria, che per comodità collochiamo nell’angolo in basso a sinistra dell’impalcato.

STEP 3: a questo punto calcoliamo il centro di massa dell’edificio, che corrisponde al centro delle aree dato che consideriamo l’impalcato con densità di massa uniforme, suddividendo la struttura in tre figure elementari di cui conosciamo il centro in modo intuitivo.

Per farlo utilizziamo la formula derivata da quella per ottenere le coordinate del centro di un sistema di vettori paralleli:

STEP 4: calcoliamo la rigidezza totale orizzontale, data dalla somma delle singole rigidezze dei controventi orizzontali, e la rigidezza totale verticale, data dalla somma delle singole rigidezze dei controventi verticali.

In questo modo sarà possibile calcolare il centro delle rigidezze riadattando la formula precedentemente utilizzata per il centro di massa, e la rigidezza torsionale totale.

Si possono ora posizionare centro di massa e centro delle rigidezze all’interno del sistema di riferimento in cui abbiamo disegnato l’impalcato. Questa operazione ci consente di verificare se l’impalcato subisce una rotazione, infatti, dal momento che la forza orizzontale derivante dal sisma deve essere applicata sul centro di massa, l’unico caso in cui non abbiamo rotazione, ma solo traslazione verticale o orizzontale, è quello in cui centro di massa e centro delle rigidezze coincidono.

 Come evidente dall’immagine i due centri non coincidono, pertanto applicando la forza sismica nel centro di massa una volta lungo X e una volta lungo Y, otteniamo in entrambi i casi traslazione e rotazione.

STEP 5: effettuiamo l’analisi dei carichi sismici per ricavare la forza che agisce nel centro di massa. Ipotizziamo di avere un solaio in latero cemento e calcoliamo il carico totale permanente (G) e accidentale (Q) partendo dal valore dei carichi per unità di superficie [kN/mq], utilizzando le seguenti formule:

G = (q_s + q_u) A_tot      Q = q_a A_tot

In accordo con la normativa tecnica utilizziamo la combinazione sismica per calcolare i pesi sismici:

W = G + ψ_2j · Q   in cui ψ rappresenta il coefficiente di contemporaneità indicato dalla normativa.

F = W c    moltiplicando W, ossia il peso sismico, per un coefficiente di intensità sismica c che tiene conto della sismicità del luogo di progettazione dell’edificio, otteniamo F, la forza sismica da applicare al centro di massa.

STEP 6 e 7: consideriamo l’azione della forza sismica lungo x e poi lungo y e troviamo lo spostamento orizzontale, verticale e la rotazione tramite le seguenti formule:

Per ricavare la forza sui singoli controventi nei due casi di carico utilizziamo:

L'obiettivo dell'esercitazione è capire, utilizzando il metodo delle rigidezze,  come le forze orizzontali si ripartiscano all'interno di un telaio piano.

Il primo passaggio consiste nel disegnare la pianta strutturale dell’edificio preso in considerazione ed individuare i telai.

 

Individuo:

Telaio 1o composto da: Pilastri 1 e 5

Telaio 2o composto da: Pilastri 2 e 6

Telaio 3o composto da: Pilastri 3, 7, 9 e 11

Telaio 4o composto da: Pilastri 4, 8, 10 e 12

Telaio 1v composto da: Pilastri 1, 2, 3 e 4

Telaio 2v composto da: Pilastri 5, 6, 7 e 8

Telaio 3v composto da: Pilastri 9 e 10

Telaio 4v composto da: Pilastri 11 e 12

 

I controventi, che per il solaio rappresentano vincoli cedevoli elasticamente, possono essere schematizzati nel piano dell'impalcato come molle, aventi un’adeguata rigidezza.

Con l’aiuto del file excel calcolo la rigidezza traslante dei controventi.

il modulo di Young che utilizzo è quello proprio del Calcestruzzo armato, vale a dire 21000 MPa; l'inerzia, calcolata in base all'orientamento dei pilastri secondo la formula bh³ /12  è invece 312500 sull'asse y e 112500 sull'asse y.

calcolata a rigidezza traslante possiamo riassumere in una tabella sinottica le rigidezze traslanti e le distanze dei controventi dall'origine.

ll terzo passaggio consiste nel calcolare il centro di massa secondo la formula:

 

 

 

 

Per questa quarta esercitazione vogliamo vedere gli effetti di una forza orizzontale (nello specifico una forza sismica) su di un telaio piano, utilizzando il metodo delle rigidezze e applicnado la forza come F_x e F_y lungo le coordinate x e y .

 

Prendiamo in esame l'impalcato di un solaio appartenente ad un edificio monopiano,  di cui la struttura sia composta da telai piani realizzati in cemento armato. Questo telaio non soltanto permette di scaricare a terra i carichi mediante il flusso di carico verticale, ma anche di sopportare le azioni orizzontali ( che possono,ad esempio, essere causate da vento o sisma), funzionando come veri e propri controventi. Per prima cosa dobbiamo individuare i telai che compongono il nostro impalcato: avremo 4 telai paralleli alla direzione x  e 4 paralleli a y

1v- Pilastri: 1-5-9-12              1o- Pilastri: 1-2-3-4

2v- Pilastri: 2-6-10-13            2o- Pilastri: 5-6-7-8

3v- Pilastri: 3-7-11                 3o- Pilastri: 9-10-11

4v- Pilastri: 4-8                      4o- Pilastri: 12-13

Il controvento può essere definito come un appoggio cedevole elasticamente, in quanto corpo rigido sul proprio piano che si oppone elasticamente ad una forza orizzontale applicata.La capacità del controvento di opporsi (più o meno) a questa forza è la sua rigidezza. Per questo motivo possiamo vedere questi controventi come molle

Per questa esercitazione ipotizziamo che il telaio sia modellato come un telaio di tipo Shear-Type, la cui rigidezza traslante è:

Dobbiamo quindi tenere conto del modulo di elasticità E del materiale ( E c.a.= 21.000 MPa) e dei diversi Momenti di Inerzia legati alla forma della sezione del pilastro

• I_x= (bh³)/12=160.000 cm⁴
• I_y= 90.000 cm⁴

Nello STEP1, calcoliamo la rigidezza traslante associata a tutti i controventi, in base alle altezze H al modulo di elasticità E e ai momenti d'inerzia I, come già anticipato:

Nello STEP2 viene riportata una tabella riassuntiva dei valori delle rigidezze traslanti e delle distanze dei controventi da un polo O, origine di un sistema di riferimento cartesiano da me scelto.

Con lo STEP 3 intendiamo calcolare le coordinate del centro di massa dell'impalcato; per far questo lo suddividiamo in 3 Aree rettangolari i cui centri di massa relativi sono più immediati da individuare. Una volta noti questi, possiamo conoscere le coordinate x ed y di G grazie alla formula (derivata da quella per le coordinate del centro di un sistema di vettori paralleli:

Nello STEP 4 vengono calcolate le rigidezze totali sia verticale che orizzontale, nonché la rigidezza torsionale totale e il centro delle rigidezze come segue:

 

A questo punto possiamo applicare all'impalcato i centri di massa e rigidezza, confrontarne le posizioni relative e applicare una forza (sismica) orizzontale al centro di massa G per valutarne gli effetti cinematici.

Come è possibile immediatamente evincere dall'immagine soprastante, i due centri non coincidono, il che vuol dire che applicando forze in entrambe le direzioni la nostra struttura subirà non solo una traslazione ma anche una rotazione, provocata da un momento di intensità pari a F applicata in G per la distanza tra i due centri (braccio).

Nello STEP 5 analizziamo i carichi gravanti sulla struttura per conoscere l'effetto del carico sismico, tenendo presente che il solaio ipotizzato è in latero-cemento per un ufficio aperto al pubblico ( CAT-B2); l'analisi prevede:

dove: -G= carichi permanenti; - Q= carichi variabili; W= peso sismico; psi= fattore di contemporaneità; c= coeff. intesità sismica; F= forza sismica orizzontale

Infine, negli STEP 6 e 7 passiamo alla valutazione degli effetti cinematici della forza orizzontale, rispettivamente orientata lungo x e lungo y. Come già detto, prevediamo di avere sia traslazioni che rotazioni in entrambi i casi, in quanto i due centri C e G non combaciano.

-Effetti di forze orizzontali lungo x ed y:

Valuteremo le incognite cinematiche come segue:

 

  

Come possiamo vedere dalle tabelle le nostre previsioni erano corrette, ma possiamo vedere anche come i nostri controventi reagiscano bene, grazie alle loro rigidezze, offrendoci valori piuttosto contenuti di v, u e phi.

Studiare il comportamento di una struttura semplice (1 piano) sottoposta a forze orizzontali, in questo caso dovute a un sisma. Analizzare come vengono ripartite queste forze nei controventi e verificare se ben dimensionato il modello. Considerare la struttura composta da telai Shear Type (travi con rigidezza flessionale infinita)

Pilastri 40x30

1_Definire i controventi orizzontali con k_o e i controventi verticali con k_v

2_Inserire nello Step1 (Calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi) del foglio excel i dati relativi ai pilastri dei telai: Modulo E, altezza H, momenti d'inerzia I. Il foglio excel calcolerà la rigidezza traslante di ogni controvento 12EI/h³

3_Step2 (tabella sinottica controventi e distanze-), sono elencate tutte le rigidezze dei telai e le relative distanze dal punto di origine definito, in questo caso coincide con la posizione del pilastro 15.

4_Step3 (calcolo del centro di massa), ricavare il centro di massa suddividendo l'impalcato in due forme geometriche semplici per facilitare il calcolo delle aree e del loro centro.

Si trovano così con la tabella le coordinate del centro totale delle masse, centro di massa dell'impalcato.

5_Step4 (calcolo del centro di rigidezza e delle rigidezze globali), calcolare la rigidezza totale orizzontale e quella verticale dei controventi. Le coordinate del centro di rigidezza sono analoghe come formula a quelle del centro di massa.

Inoltre in questo step si calcola la rigidezza torsionale, calcolando tutte le distanze dei diversi controventi da C, centro delle rigidezze.

6_Trovando il centro di massa e quello delle rigidezze, si puó capire come l'impalcato si muova applicando la forza sismica nel centro di massa G. Visto che C e G non coincidono, la struttura oltre a traslare, ruota. La forza sismica si scompone nelle direzioni orizzontali e verticali, provocando in entrambe i casi una rotazone antioraria dell'impalcato.

7_Step 5 (analisi dei carichi sismici), considerare un solaio in laterocemento nella struttura a telaio Shear Type. Calcolare i carichi agenti sulla struttura, per unità di superficie (qs, qp, qa= uso residenziale) e poi ricavare il carico totale permanente G e il carico totale accidentale Q.

                      

Trovare il peso sismico W che rappresenta la forza peso dell'edificio, introducendo un coefficiente di intensità sismica c, che tiene conto della sismicità del luogo di progettazione dell'edificio. F = W * c

8_Step 6 e 7 (ripartizione forza sismica lungo x e y) trovare come si ripartisce la forza sismica sui controventi e quali sono gli effetti cinematici del telaio. Ricavare lo spostamento orizzontale u e la rotazione φ dovuti alla forza sismica in direzione orizzontale, inoltre lo spostamento verticale v e la rotazione φ dovuti alla forza sismica in direzione verticale.

Una volta determinati questi valori si può ricavare la forza sui singoli controventi, usando due formule:

     Nel caso in cui la forza è parallela all'asse x, le rigidezze orizzontali reagiranno con forze che sono la sovrapposizione degli effetti di traslazione u e rotazione. Mentre le rigidezze verticali avranno forze che reagiscono solo alla rotazione dovuta dalla forza orizzontale.

  Nel caso in cui la forza è parallela all'asse y, le rigidezze verticali reagiranno con forze che sono la sovrapposizione degli effetti di traslazione v e rotazione. Mentre le rigidezze orizzontali avranno forze che reagiscono solo alla rotazione dovuta dalla forza verticale.

Analizzando l'impalcato su SAP:

1_Costruire la struttura, assegnare gli incastri ai pilastri, individuare i due centri (massa e rigidezze), assegnare il vincolo interno DIAPHRAGM affinchè l'impalcato si comporti rigidamente: subendo uno spostamento, la rotazione intorno all'asse verticale z è bloccata.

2_Assegnare sia ai pilastri che alle travi una sezione e un materiale (profilo di cemento armato). Far si che il momento d'inerzia delle travi sia sufficientemente maggiore rispetto a quello dei pilastri, in modo tale che la struttura simuli il comportamento del modello Shear Type.

3_Assegnare al centro di massa la forza sismica in direzione orizzontale. Analizzare la struttura.

4_Verificare il comportamento dell'impalcato, se la rotazione è eccessiva cercare di avvicinare il centro delle rigidezze il più possibile al centro di massa, cambiando le dimensioni dei pilastri per aumentare la loro rigidezza. In questo caso le rotazioni sono trascurabili.

La seguente esercitazione mostra il dimensionamento di una trave a sbalzo di un generico solaio in c.a., in acciaio e in legno.

L'impalcato di riferimento è il seguente:

Troviamo l’area d’influenza maggiore tra le tre travi a sbalzo, esattamente come abbiamo fatto per l’esercitazione precedente, considerando però che non si tratta più di una trave doppiamente appoggiata, ma di una mensola quindi il M_max = Ql²/2 

Una volta dimensionata la sezione della mensola sarà necessario verificare la sua deformabilità controllando che l’abbassamento massimo dell’elemento non sia maggiore di 1/250 della luce. Questo procedimento si effettua allo Stato Limite di Esercizio in quanto ci interessano spostamenti e deformazioni della trave, azioni che possono compromettere l’uso e la funzione dell’edificio. Attraverso il foglio Excel calcoliamo la combinazione frequente allo SLE. 

 l/ v_max > 250   

Solaio incalcestruzzo armato

Il solaio analizzato è in latero cemento armato, con categoria di destinazione d’uso C2, cioè ambienti suscettibili di affollamento come i balconi o ballatoi.  

 

Peso proprio della struttura

q_s = 3,12 KN/m²

Peso portato dalla struttura:

q_p = 3,95 KN/m²

Carico accidentale:

q_a  = 4,00 KN/m²

Calcoliamo il carico totale attraverso una tabella Excel

KN/ m² (3,12 + 3,95 + (4,00 · 1,5)) 5,5 m =54,29 KN/m = q_u

Calcoliamo il momento massimo

M_max =  434,28 KNm

Una volta trovato il valore del momento massimo procediamo scegliendo il tipo di acciaio (nel nostro caso acciaio S450) e di calcestruzzo (C30) determinando i valori delle tensioni caratteristiche di progetto del calcestruzzo f_cd e quella delle barre d’acciaio f_yd attraverso i valori della resistenza dei due materiali:

 f_cd = α_cc f_ck/g_c

f_yd = f_yk/g_m

Definendo ora la base della sezione e noti i valori delle tensioni di progetto calcoliamo l’altezza utile da sommare al copri ferro per ottenere l'altezza minima della sezione anche attraverso b e r.

Andiamo ora a verificare le dimensioni appena definite della sezione (40x60) aggiungendo il peso proprio della trave e ricontrollando l’abbassamento. 

 

Solaio in Legno

Peso proprio della struttura

q_s = 0,27 KN/m²

Peso portato dalla struttura:

q_p = 2,74KN/m²

Carico accidentale:

q_a  = 4,00 KN/m²

E procediamo inserendo il valore caratteristico a flessione del legno che scegliamo in base alla classe di resistenza f_mk, il coefficiente parziale di sicurezza g_M, e il coefficiente diminutivo del valore di resistenza. Attraverso questi valori calcoliamo la tensione di progetto f_d.                

Stabiliamo ora la misura della base, e troviamo attraverso la formula l’altezza minima che dovrà avere la nostra sezione.

Una volta trovata l’altezza minima la sezione ingegnerizzata risulta essere di 60x65 cm.

In questo caso il peso proprio della trave in legno non viene considerato in quanto è un materiale leggero.

 

Solaio in Acciaio

Peso proprio della struttura

q_s = 2,55 KN/m²

Peso portato dalla struttura:

q_p = 3,45 KN/m²

Carico accidentale:

q_a  = 4,00 KN/m²

In base hai carichi calcolati, troviamo il momento massimo e scegliamo il tipo di acciaio: S355. 

Calcoliamo ora il modulo di resistenza a flessione -W_x- che deve essere minore di quello di progetto -W_d- e andiamo a scegliere il profilo della nostra IPE sul sagomario.

Il profilo adottato è un’IPE 500.

Verifichiamo ora che il rapporto tra la luce della trave e l’abbassamento massimo non sia superiore a 250, come prevede la normativa. 

Per calcolare l’abbassamento quindi aggiungo al -q_u- il peso proprio della trave data dal sagomario, calcolato nella combinazione allo SLE -q_e-, definisco il modulo elastico del materiale -E- e il momento d’inerzia -I-.

Il profilo risulta essere verificato.

 

Con questa esercitazione analizziamo la ripartizione di una forza orizzontale (per esempio vento o sisma) su un edifico, possiamo così vedere la reazione di ogni telaio che compone l’impalcato e calcolare il centro di rigidezza.

L’impalcato analizzato è formato da telai piani in cls armato, di cui conosciamo la rigidezza poiché li considero come modelli Shear-type, un modello teorico che ipotizza l’uso di travi infinitamente rigide che non subiscono flessione, in modo da considerare solo il cedimento vincolare δ di ogni pilastro e quindi la rigidezza di questi.

Conosciamo la rigidezza di ogni controvento modello Shear-type che è:

F=kδ

k=12EI₁/hᶟ + 12EI₂/hᶟ

 

Generalizzando la formula da 2 a n pilastri

 

k=12EI/hᶟ ∑ᶰᵢ‗₁ Iᵢ

F= (12EI₁/hᶟ + 12EI₂/hᶟ) δ

 

Dall’analisi dell’impalcato possiamo individuare 8 telai piani (5 verticali e 3 orizzontali).

Telai verticali

Telaio 1v               1-6

Telaio 2v               2-7-11

Telaio 3v               3-8-12

Telaio 4v               4-9

Telaio 5v               5-10

Telai orizzontali

Telaio 1o               1-2-3-4-5

Telaio 2o               6-7-8-9-10

Telaio 3o               11-12

 

Ipotizzo i telai/controventi come vincoli cedevoli elasticamente e rappresentabili nel piano dell’impalcato xy (i telai vivono nei piani xz e yz) come molle di adeguata rigidezza k.

-Ora grazie ad un foglio Excel posso calcolare la rigidezza di ogni singolo controvento, tenendo presente che:

I pilastri sono a sezione rettangolare e misurano 40x40 cm quindi Ix=Iy

 

I = 40cm x 40 cm³/12 = 213333,33 cm⁴

-Trovate le rigidezze traslanti k calcoliamo le loro distanze dal punto d’origine O.

 

-Ora è possibile trovar il centro d’area dell’edificio: G. poiché si tratta di una geometria “complessa”, scompongo la pianta in due rettangoli di cui conosco i rispettivi centri d’area.

G1:                             x1 = 7 ,15m

                                   y1 = 6,5m

G2:                             x2 = 2,6m

                                   Y2 = 8,5m

Per trovare G sappiamo che

                                   xG = (A1 xG1 + A2 xG2 )/Atot     

                                   xG = (20mq  7,15m + 85mq 2,6 )/105mq = 3,45 m                          

                            

                                   yG = (A1 yG1 + A2 yG2 )/Atot     

                                   yG = (20mq  6, 5m + 85mq 8,5m )/105mq = 8,13m          

-Tramite Excel calcoliamo la rigidezza totale orizzontale (somma delle rigidezze di ogni controvento orizzontale), e allo stesso modo le calcoliamo le rigidezze verticali e la rigidezze torsionale globale e il centro delle rigidezze C. Dove:

xC=∑kvᵢ dvᵢ/kvtot

xC=∑koᵢ doᵢ/kotot

kφ=∑kvᵢ dd2vᵢ + ∑koᵢ dd2oᵢ

In questo modo posso vedere quanta è la distanza tra G e C. I due punti devono essere il più vicino possibile; infatti la forza orizzontale agisce direttamente sul centro delle rigidezze C e è necessario diminuire il più possibile il la distanza tra G e C che è il braccio per cui si moltiplica la forza che provoca la rotazione del corpo intorno a G.

Naturalmente per avvicinare i due punti tra loro devo agire sulle singole rigidezze dei telai e quindi sui momenti di inerzia dei pilastri. 

-Da normative è possibile fare un’analisi approssimativa per valutare la forza sismica (Fs).

                       Fs =W c

Dove W rappresenta la forza peso dell’edificio, data dal prodotto tra la massa e l’accelerazione di gravità permanente g. per definire il peso è necessario conoscere i carichi agenti sull’edificio.

Quindi definiti i carichi q_s, q_p e q_a agenti sull'impalcato, trovo il carico totale permanente G tramite la formula:

                                                      G = (q_s +  q_p  ) A_tot

ed il carico totale accidentale Q tramite la formula:

                                                      Q = qa x A_tot

Ora è possibile calcolare il peso sismico W:

                                          W = G + Ψ_2j x Q 

 

Ψ_2j = coefficiente di contemporaneità.

 -Poiché è impossibile sapere in che direzione si applicherà la forza orizzontale ipotizzo che essa agisca nei due casi peggiori, quindi lungo l’asse x (dove reagiscono solo i telai verticali) e lungo l’asse y (dove reagiscono solo gli orizzontali).

La Fs applicata lungo l’asse x comporterà quindi una possibile rotazione e traslazione orizzontale.

La Fs applicata lungo l’asse y comporterà quindi una possibile rotazione e traslazione verticale.

Dove :

lo spostamento orizzontale         u= F/ko_tot

Lo spostamento verticale             v= F/kv_tot

La rotazione                                     φ=M/k φ

E M è il momento torcente dato da Fs per il braccio (distanza C e G).

Determinati i valori dei gradi di libertà è possibile ricavare la forza sui singoli controventi nei due casi di carico.

 

In questa esercitazione andremo a calcolare come si ripartiscono le forze orizzontali (sismiche o causate dal vento) che agiscono su di un impalcato, andando ad analizzare le rigidezze dei suoi controventi, trovandone il centro di massa ed il centro delle rigidezze e calcolando gli spostamenti e la rotazione subiti dall'impalcato stesso.

 

L'impalcato proposto è un telaio in cemento armato assimilabile al comportamento di un telaio shear-type.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Identifichiamo quindi tutti i telai che hanno funzione di controventamento, orizzontalmente e verticalmente:

T1v - pilastri 1-6                                    T1o - pilastri 1-2-3-4-5

T2v - pilastri 2-7                                    T2o - pilastri 6-7-8-9-10

T3v - pilastri 3-8-11-14                           T3o - pilastri 11-12-13

T4v - pilastri 4-9-12-15                           T4o - pilastri 14-15-16

T5v - pilastri 5-10-13-16

 

I controventi possono essere idealmente rappresentati come delle molle in quanto rappresentano dei vincoli cedevoli elasticamente dell'impalcato, piochè permettono uno spostamento elastico.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Avendo inoltre detto che il telaio dell'impalcato è assimilabbile ad un modello shear-type, e sapendo che la rigidezza dei pilastri di tale telaio è k = 12EI / h³, possiamo calcolare la rigidezza k dei controventi come somma delle rigidezze dei pilastri che li compongono:

 

ad esempio:     kv1 = (12E / h³) x (I₁ + I₆)

con E, modulo di Young o modulo elastico = 21000 Mpa

      H, altezza del pilastro = 3,5 m

      I, momento d'inerzia del pilastro a sezione rettangolare = b x h³ / 12 che con dei pilastri 20x40 cm ho che

 

 

       I_y = 26666,67 cm⁴

 

       I_x = 106666,67 cm⁴

 

 

 

Ultilizzando la tabella excel (aggiungendo parti e modificando altre del file scaricabile dal sito) ottengo facilmente i valori delle rigidezze k dei controventi.

Fatto ciò raccolgo in una tabella le rigidezze dei vari controventi e la rispettive distanze da un punto d'origine O, da me posto sul pilastro 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trovo il centro di massa dell'impalcato suddividendolo il due geometrie semplici (due rettangoli) e utilizzo la formula dei centri adattandola per il centro di massa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Una volta trovato il centro di massa trovo il centro delle rigidezze con la stessa formula precedente dei centri ma adattata per il centro delle rigidezze

 

 

 

trovo a questo punto anche la rigidezza totale orizzontale, verticale e torsionale dell'impalcato

 

 

 

 

 

 

 

Vediamo dunque il centro di massa e quello delle rigidezze a confronto

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il fatto che il centro delle rigidezze sia così distante dal centro di massa avrà ripercussioni negative sull'edificio in quanto la forze orizzontali (sia lungo x che lungo y), che agiscono in G, avranno un braccio e dunque provocheranno una rotazione dell'edificio. Sarebbe buona norma riprogettare i controventi in modo da dare maggiore rigidezza nel lato destro e superiore dell'impalcato così da avvicinare il centro delle rigidezze C il più possibile al centro di massa G.

 

Ora andiamo a calcolare il peso dell'impalcato allo SLE, che possiamo identificare come peso sismico W e lo moltiplichiamo per un coefficente c = 0,1, coefficente di intensità sismica che varia a seconda della zona in cui si trova l'impalcato. Così otteniamo la Forza sismica orizzontale.

 

 

 

 

 

La forza sismica quindi la andiamo ad applicare nel centro di massa dell'impalcato prima orizzontalmente (lungo x) e poi verticalmente (lungo y). Avremo quindi che la forza applicata in direzione x comporterà rotazione e traslazione orizzontale dell’impalcato mentre la forza applicata in direzione y comporterà rotazione e traslazione verticale dell’impalcato

Troviamo così lo spostamento orizzontale u = F / k_{o_tot} e lo spostamento verticale v = F / k_{v_tot}

La rotazione φ = M_c / kφ

Dove M_c è il momentro torcente dato dal prodotto tra forsa simica F ed il braccio, ovvero la distanza tra G e C (distanza lungo x e lungo y ovviamente).

 

Possiamo infine ricavarci la forza sui singoli controventi nei due casi di carico.

Quando la forza è applicata in direzione x

la reazione elastica dei controventi orizzontali è pari a F_{o_n} = k_{o_n} (u + φ dd_{o_n})

Mentre nei vericali è F_{v_n} = k_{v_n} φ dd_{v_n}

 

Quando la forza è applicata in direzione y

la reazione elastica dei controventi verticali è pari a F_{v_n} = k_{v_n} (v + φ dd_{v_n})

Mentre negli orizzontali è F_{o_n} = k_{o_n} φ dd_{o_n}

 

 

 In questa esercitazione bisogna calcolare come viene ripartita una forza orizzontale (sisma o vento), sui diversi telai che compongono la struttura, applicando il metodo delle rigidezze.

Si prende in esame una struttura a telaio in cemento armato e si considera il solaio rigido nel suo piano. Questo è costituito da un insieme di travi e pilastri che permette, oltre a trasmettere carichi verticali alle fondazioni, di sopportare le forze orizzontali svolgendo un ruolo di controventi. Questo sistema di controventi è chiamato telaio SHEAR-TYPE, ovvero, un modello teorico che ha travi infinitamente rigide impedendo che le estremità dei pilastri non ruotino.

Si individuano i telai che compongono la struttura:

Telaio 1v          composto da:        Pilastri 1 e 6

Telaio 2v          composto da:        Pilastri 2, 7 e 11

Telaio 3v          composto da:        Pilastri 3, 8 e 12

Telaio 4v          composto da:        Pilastri 4, 9 e 13

Telaio 5v          composto da:        Pilastri 5 e 10

Telaio 1o          composto da:        Pilastri 1, 2, 3, 4 e 5

Telaio 2o          composto da:        Pilastri 6, 7, 8, 9 e 10

Telaio 3o          composto da:        Pilastri 11, 12 e 13

I controventi vengono schematizzati come molle, aventi un’adeguata rigidezza, poichè rappresentano vincoli cedevoli elasticamente.

STEP 1

Per ottenere la rigidezza traslante degli 8 telai in esame ho bisogno dei seguenti dati:

E = Modulo di Young del cls 21000 MPa

H = altezza dei pilastri 3,50 m

I = momento di inerzia: 266.000 cm⁴ per il pilastro con b 0,50 cm e h 0,40 cm e 416.000 cm⁴ per il pilastro con b 0,40 cm e h 0,50 cm

                

Applico la seguente formula:

                                              

            

STEP 2

Si riportano nella tabella le rigidezze appena calcolate e le distanze dei  diversi controventi dall’origine 0.

           

STEP 3

Divido l’impalcato in due figure semplici e trovo il centro di massa e l’area di ognuno di esse.

Si trovano le coordinate del centro di massa tramite la formula:

                                              

          

In realtà questa formula individua il centro d’area dell’impalcato ma poichè la densità dell’impalcato è uniforme il centro d’area e il centro di massa coincidono,  diversamente non utilizzabile.

STEP 4

Possiamo calcolare:

1. Rigidezza totale orizzontale e verticale
2. Coordinate del centro delle rigidezze dell’impalcato
3. Rigidezza torsionale totale

Per la 1 basta sommare tutte le rigidezze traslanti dei controventi orizzontale e poi di quelle verticali.

Per la 2 si utilizza la formula:

                                            

e si posiziona così il centro di massa ed il centro delle rigidezze appena trovato all'interno del sistema di riferimento in cui si è disegnato l'impalcato.

Si applicano nel punto G prima una forza orizzontale e poi una verticale.

Se il punto C e il punto G coinciderebbero, l'impalcato soggetto a queste forze (sisma, vento...) traslerebbe nella stessa direzione della forza esterna e non ruoterebbe.

Questi punti non essendo coincidenti tra loro, l'impalcato non solo trasla nella direzione della forza applicata ma subisce una rotazione dovuta dal momento prodotto dalla forza esterna rispetto al centro delle rigidezze.

           

 

STEP 5

Definiti i carichi q_s, q_p e q_a agenti sull'impalcato, trovo il carico totale permanente G tramite la formula:

                                                      G = ( q_s +  q_p  ) A_tot

ed il carico totale accidentale Q tramite la formula:

                                                      Q = qa x A_tot

Ora è possibile calcolare il peso sismico W:

                                                      W = G + Ψ_2j x Q 

Ψ_2j = coefficiente di contemporaneità, in questo caso 0,3 categoria B uffici.

Il peso sismico W rappresenta la forza peso dell'edificio, data dal prodotto tra la massa dell'edificio e l'acelerazione di gravità. Poichè il sisma ha un accelerazione mediamente più piccola dell'accelerazione di gravità si introduce un coefficiente di intesità sismica c, che varia a seconda del luogo in cui si progetta il nostro edificio, in questo caso 0,100.

                                                      F = W x c

           

 

STEP 6 - 7

Si considera nello STEP 6 una forza sismica che agisce in direzione x provocando una traslazione orizzontale nell'impalcato ed una rotazione rigida.

                                                     u = F / K_{o_tot}

Mentre nello STEP 7 si considera una forza sismica che agisce in direzione y provocando una traslazione verticale nell'impalcato ed una rotazione rigida.

                                                    v = F / K_{v_tot}

rotazione impressa all'impalcato: 

                                                    ϕ = M / K_ϕ

Possiamo ora ricavare la forza sui singoli controventi quando la forza è parallela all'asse x utilizzando le formule :

                                            

Possiamo ora ricavare la forza sui singoli controventi quando la forza è parallela all'asse y utilizzando le formule :

                                          

       

       

 

Step 1:

Dato un impalcato in calcestruzzo armato come in figura con pilastri 400x600, calcolo le ripartizione delle forze orizzontali attraverso il metodo delle rigidezze.

Si identificano nell' impalcato tutti i telaio che fungono da controventi per le forze orizzontali che agiscono sulla struttura, quindi:

v1 - pilastri: 1-4-7-9

v2 - pilastri: 2-5-8-10

v3 - pilastri: 3-6

 

o1 - pilastri: 1-2-3

o2 - pilastri: 4-5-6

o3 - pilastri: 7-8

o4 – pilastri: 9-10

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Il Modulo di Yang è pari a 21000 N/mm² per il calcestruzzo, l' altezza dell' impalcato è 3,00m, successivamente calcolo i due momenti di inerzia negli assi x e y del profilo rettangolare pari a Ix = bh³/12  e Iy = b³h/12 (72000 cm⁴ e 32000 cm⁴). Faccio delle semplificazioni e  considero l’ impalcato come una struttura a telaio Shear-Type con infinita rigidità assiale. Questo ci permette di calcolare la rigidezza traslante K_T di ogni telaio:

k= (12 EI) / h³

Calcolando la somma delle rigidezze dei singoli pilastri, riusciamo a determinare la rigidezza traslante di tutto il telaio, poiché il telaio Shear-Type ha una rigidezza pari a:

K_telaio= (12 E) / h³ x sommatoria dei Momenti di Inerzia

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Step 2:

Si riportano in tabella tutte le rigidezze calcolate prima, con relative distanze tra esse e l’origine degli assi posto in basso a sinistra dell’impalcato:

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Step 3:

Data la difficoltà nel trovare il centro di massa G(Xg;yg) si scompone, come in figura, la struttura in due parti.

Troviamo le coordinate del centro d’area dell’ impalcato facendo il rapporto tra la somma delle aree moltiplicate per le rispettive coordinate dei propri centro d’ area e l’ area totale dell’ impalcato.

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Step 4:

La tabella si divide in due parti:

• Prima calcoliamo le rigidezze totali sia in direzione verticali che orizzontali sommando tutte le rigidezze dei controventamenti nello step 1.
• Poi viene calcolata “Kφ” la rigidezza torsionale che si ricava tramite la sommatoria di tutte le rigidezze ricavate nello step-1 per la loro distanza dal centro delle rigidezze, ricavato nello step-4.

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Step 5:

A questo punto si ricavano i carichi G(kN) e Q(kN), in accordo con le norme tecniche vigenti, dalle seguenti formule:

G = (Qs + Qp) x A_tot

Q = Qa x A_tot

Si distinguono due carichi differenti per il calcolo:

 W(kN)= peso sismico: poiché il carico G rappresenta il carico strutturale e il sovraccarico permanente, mentre il carico Q racchiude tutti i carichi accidentali moltiplicati con un coefficiente di contemporaneità ψ dato da normativa.

W = G + (Q x ψ)

Questo carico W rappresenta il peso sismico e poiché ha un’accelerazione più piccola di quella di gravità, si moltiplica alla forza peso con un coefficiente riduttivo da normativa (c) secondo la sismicità del luogo:

F = W x c 

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Step-6-7:

Si dovrà ora quantificare la ripartizione, per ogni singolo controvento, della forza sismica F lungo l’asse x e lungo quello y. L’impalcato scelto ha il centro di massa non coincidente con il centro delle rigidezze: questo comporta, nel momento che la forza sismica agisce, una traslazione e una rotazione.

Per poter conoscere il valore di questa rotazione, si calcola:

•  Momento Torcente M per l’asse x, moltiplicando la forza sismica F per il suo braccio, ovvero la differenza tra l’ordinata del centro delle rigidezze e quella del centro di massa, e per l’asse y, utilizzando come braccio la differenza tra le ascisse dei due centri.
• Traslazione orizzontale, facendo il rapporto tra F e la rigidezza totale orizzontale;
• Traslazione verticale, facendo il rapporto tra F e la rigidezza totale verticale,
• Le conseguenti Rotazioni, dividendo i rispettivi Momenti Torcenti per la rigidezza torsionale totale “Kφ” (kN/m):

L’obiettivo di questa quinta esercitazione è quello di calcolare come viene ripartita una forza orizzontale, come ad esempio quella sismica o quella del vento, su un telaio che compone una struttura, applicando il metodo delle rigidezze. 

Si prende in considerazione un edificio in calcestruzzo armato ad un solo piano la cui struttura è composta da telai piani. Questi elementi strutturali, oltre a trasmettere i carichi verticali alle fondazioni, possono svolgere il ruolo di controventi poiché sono in grado di sopportare anche le azioni orizzontali.

Nella pianta strutturale si possono individuare 7 telai, 3 paralleli all’asse y e 4 paralleli all’asse x:

1v --> pilastri  1-6-9                             1o --> pilastri  1-2-3-4

2v --> pilastri  2-4-7-10                        2o --> pilastri 4-5

3v --> pilastri 3-5-8                              3o --> pilastri 6-7-8

                                                            4o --> pilastri 9-10

I controventi, essendo vincoli cedevoli elasticamente, possono essere schematizzati nel piano dell'impalcato come molle, aventi ognuno una propria rigidezza.

Ipotizzando che ogni telaio sia modellato come Shear-Type, la rigidezza si calcola come segue:

F = (12EI₁ / h³ + 12EI₂ / h³) d

F = k d

k = (12EI₁ / h³ + 12EI₂ / h³)

E’ possibile dunque calcolare la rigidezza traslante associata ad ogni controvento sommando le rigidezze dei singoli pilastri che lo compongono.

 

E = modulo elastico cls armato = 21000 Mpa                         

I = momento d’inerzia del pilastro che varia a seconda dell’orientamento -->       I_x = bh³ / 12                  I_y = b³h / 12

       

    Sezione del pilastro

    b = 25 cm

    h = 40 cm

    Ix = 133333,33 cm⁴

    Iy = 52083,33 cm⁴  

 

Di seguito sono riportati, in una tabella riassuntiva, i valori delle rigidezze dei controventi e le relative distanze dall’ origine.

A questo punto è necessario calcolare le coordinate del centro di massa. In questo caso quest’ ultimo coincide con il centro d’area perché si ipotizza che la densità di massa sia uniforme su tutto l’impalcato.

Si suddivide l’impalcato in figure elementari e vengono indicati i centri d’area di ognuna di queste figure. A questo punto le coordinate del centro di massa valgono:

xC_m = A₁ xC₁ + A₂ xC₂ / A_tot  = 3,65

yC_y = A₁ yC₂ + A₂ yC₂ / A_tot = 3,15

Ora è possibile calcolare:

• rigidezza totale orizzontale, somma delle rigidezze dei singoli controventi orizzontali;
• rigidezza totale verticale, somma delle rigidezze dei singoli controventi verticali;
• coordinate del centro delle rigidezze;
• rigidezza torsionale totale.

 

Le coordinate del centro di rigidezza valgono:

x_c = k_v1 d_v1 + k_v2 d_v2 + k_v3 d_v3 / k_v,tot = 2,71

y_c = k_o1 d_o1 + k_o2 d_o2 + k_o3 d_o3 + k_o4 d_o4 = 2,03

Ora si possono posizionare il centro di massa ed il centro delle rigidezze all’interno del sistema di riferimento in cui si è disegnato l’impalcato.

 

Come si nota dall’ immagine, i due punti in questo caso non coincidono. Dunque, applicando una forza in direzione orizzontale o verticale nel centro di massa dell’impalcato, oltre alla traslazione si verificherà una rotazione indotta dal momento prodotto dalla forza esterna rispetto al centro delle rigidezze.

Calcolando tutte le distanze dei controventi dal centro delle rigidezze, è possibile ricavare anche il valore della rigidezza torsionale:

k_{j =} k_v1 dd²_v1 + k_v2 dd²_v2 + k_v3 dd²_v3 + k_o1 dd²_o1 + k_o2 dd²_o2 + k_o3 dd²_o3 + k_o4 dd²_o4­ = 87336281211,66

Ora bisogna effettuare l’analisi dei carichi sismici per ricavare la forza sismica che agisce nel centro di massa, considerando i carichi strutturali, permanenti ed accidentali di un solaio in cls armato di una civile abitazione.

 

CARICHI STRUTTURALI

 

• Soletta in cls -->  γ = 25,00 KN/mc

                                       s = 40 mm = 0,04 m

                                       p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq

 

• Travetti -->  γ = 25,00 KN/mc

                              Smedio = 0,12 x 0,2 / 0,50 = 0,048 m

                              p.p. =  25 x 0,048 = 1,20 KN/mq

 

• Pignatte -->  γ = 8,00 KN/mc

                               Smedio = 0,38 x 0,2 / 0,50 = 0,152 m

                               p.p. =  8 x 0,152 = 1,22 KN/mq

 

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 3,42 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm)  à p.p. =0,40 KN/mq
• Massetto di allettamento in cls alleggerito --> γ=20,00 KN/mc

                                                                                    s = 80 mm = 0,08 m

                                                                                    p.p. =  20 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Isolante acustico (s = 30 mm) --> p.p. =0,30 KN/mq
• Massetto in malta di cemento -->  γ = 25,00 KN/mc

                                                                  s = 40 mm = 0,04 m

                                                                 p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq 

• Intonaco (s = 20 mm)  --> γ = 18,00 KN/mc

                                                     s = 20 mm = 0,02 m

                                                     p.p. =18 x 0,02 = 0,36 KN/mq

• Incidenza impianti --> 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1,60 KN/mq

TOTALE CARICHI PERMANENTI = 5,76 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione à 2 KN/mq

 

Vengono calcolati il carico totale permanente G ed il carico totale accidentale Q a partire dal valore dei carichi per unità di superficie [kN/mq].

G = (q_s + q_p) A_tot = 446,15 kN

Q = q_a A_tot = 97,20 kN

In accordo con le norme tecniche per le costruzioni (NTC2008), utilizziamo la combinazione sismica per calcolare i pesi sismici.

W = G + y_2j Q = 475,31 kN                        y_2j = coeff. di contemporaneità indicato dalla norma

Il peso sismico W rappresenta la forza peso dell’edificio, data dal prodotto tra la massa dell’edificio e l’accelerazione di gravità. Dato che il sisma  produce un’accelerazione mediamente più piccola dell’accelerazione di gravità, si introduce un coefficiente di intensità sismica cche tiene conto della sismicità del luogo di progettazione dell’edificio.

F = W c =  47,53 kN

Infine è necessario ripartire la forza sismica sui controventi ed i relativi effetti dinamici sull’ impalcato in termini di traslazione e di rotazione rigida.

Si considerano 2 casi:

1_ Forza sismica agente in direzione x, traslazione orizzontale e rotazione rigida;

2_ Forza sismica agente in direzione y, traslazione verticale e rotazione rigida.

 

Spostamento orizzontale -->  u = F / k_o,tot

Spostamento verticale --> v = F / k_v,tot

Rotazione --> j = M / k_j                           

Determinati i valori dei gradi di libertà è possibile ricavare la forza sui singoli controventi nei due casi di carico.

1 _ F // x

 Controventi orizzontali --> F_{o_n} = k_{o_n} (u + j dd_{o_n})

 Controventi verticali --> F_{v_n} = k_{v_n}  j dd_{v_n}

2_ F // y

Controventi verticali --> F_{v_n} = k_{v_n} (v +  j dd_{v_n})

Controventi orizzontali --> F_{o_n} = k_{o_n}  j dd_{o_n}