Esercitazione

Lo scopo è il dimensionamento di una mensola in tre tecnologie costruttive: acciaio, legno e calcestruzzo armato.

La mensola presa in analisi si presenta in questo schema strutturale:

Si procede quindi con l'analisi dei carichi e il dimensionamento nei tre diversi casi.

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA MENSOLA IN ACCIAIO CON SOLAIO IN LAMIERA GRECATA

Elementi che compongono il solaio in lamiera grecata:

Getto di calcestruzzo:  spessore 3,5 cm + 7 cm nella lamiera grecata; peso specifico: 25 KN/mc

Lamiera grecata:  altezza 7 cm, spessore 0,088 cm; peso areale: 0,11 KN/ mq

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento: spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

Isolante in poliuretano a bassa densità: spessore 4 cm; peso specifico: 1,8 KN/mc

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Getto di calcestruzzo : 0,035 m x 25 KN/mc = 0,875 KN/mq + [0,07 m x 25 KN/mc] x 0,5 = 0,875 KN/mq per cui in tot. =1,75 KN/mq

Lamiera grecata : 0,11 KN/mq

qs= 0,875 KN/mq + 0,11 KN/mq= 1,86 KN/mq

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Isolante: 0,04 m x 1,8 KN/mc = 0,072 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 0,072 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,92 KN/mq

 Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

Dimensionamento della mensola con tabella Excel

Nella tabella inserisco il dato dimensionale dell'interasse e i valori dei carichi qs, qp e qa: questo mi fornirà il valore del carico qu che, insieme alla lunghezza della luce permette di calcolare il momento massimo (qxl quadro/2). La scelta del materiale (acciaio per carpenterie S275) e quindi l'inserimento del dato della sua tensione di snervamento fyk renderà possibile stabilire la tensione di progetto fyd e  di conseguenza anche il modulo di resistenza a flessione Wx minimo (841,74 cm cubi). Sui profilari, scelgo una IPE 360 con un Wx di 903,6 cm cubi, un momento d'inerzia Ix di 16270 cm alla quarta ed un peso di 0,571 KN/m. Questi dati mi forniranno il carico qe che tiene in considerazione anche il peso del profilo; inserendo il modulo elastico E del materiale, la tabella finalmente calcolerà l'abbassamento massimo e il suo rapporto con la lunghezza, stabilendo (secondo la normativa dev'essere  ≥ 250) che il profilo scelto è valido.

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA MENSOLA IN LEGNO CON SOLAIO IN TRAVETTI E TAVOLATO

Elementi che compongono il solaio in legno:

Travetti in abete rosso: 10 x 20 cm; peso specifico: 4 KN/mc

Tavole in abete rosso: spessore 4 cm; peso specifico : KN/mc

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento:  spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Travetti: interasse di 40 cm (2,5 travetti per mq): (0,02 mc x 4 KN/mc)/mq x 2,5 = 0,2 KN/mq

Tavole: 0,04 m x 4 KN/mc = 0,16 KN/mq

qs= 0,2 KN/mq + 0,16 KN/mq = 0,36 KN/mq

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,85 KN/mq

  Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

Dimensionamento della mensola con tabella Excel

Nella tabella inserisco il dato dimensionale dell'interasse e i valori dei carichi qs, qp e qa: questo mi fornirà il valore del carico qu che, insieme alla lunghezza della luce permette di calcolare il momento massimo (qxl quadro/2). La scelta del materiale (legno di abete rosso) e quindi l'inserimento dei dati della sua tensione di snervamento fmk, e dei coefficienti di sicurezza renderà possibile stabilire la tensione di progetto fdc e  di conseguenza inserendo la misura della base della trave (30 cm da progetto) calcolare la dimensione minima dell'altezza che poi sarà ingegnerizzata (da 60,25 a 65 cm). Inserendo il modulo elastico E del materiale, la tabella finalmente calcolerà prima il momento d'inerzia e il carico dovuto al peso della trave, quindi l'abbassamento massimo e il suo rapporto con la lunghezza, stabilendo (secondo la normativa dev'essere  ≥ 250) che il profilo scelto è valido.

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA MENSOLA IN CLS CON SOLAIO IN TRAVETTI E PIGNATTE

Elementi che compongono il solaio in laterocemento:

Calcestruzzo armato:  spessore  4 cm + 25x10 cm dei travetti (2 per ogni metro); peso specifico: 25 KN/mc

Pignatte: 12x50x25 cm; peso areale con travetti d’interasse 60 cm: 1,05 KN/mq

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento:  spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

Isolante in poliuretano a bassa densità: spessore 4 cm; peso specifico: 1,8 KN/mc

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Calcestruzzo armato : 0,04 m x 25 KN/mc = 1 KN/mq + (0,025 mc x 25 KN/mc)/mq x 2 = 1,25 KN/mq per cui in tot. = 2,25 KN/mq

Pignatte: 1,05 KN/mq

qs=2,25 KN/mq + 1,05 KN/mq = 3,3 KN/mq

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Isolante: 0,04 m x 1,8 KN/mc = 0,072 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 0,072 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,92 KN/mq

  Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

Dimensionamento della trave con tabella Excel

Nella tabella inserisco il dato dimensionale dell'interasse e i valori dei carichi qs, qp e qa: questo mi fornirà il valore del carico qu che, insieme alla lunghezza della luce permette di calcolare il momento massimo (qxl quadro/2). La scelta dei materiali (acciaio per armature B450c e calcestruzzo C30) e quindi l'inserimento dei dati delle loro tensioni di snervamento fyk e fck, renderà possibile stabilire le tensioni di progetto fyd e fcd e di conseguenza inserendo la misura della base della trave (25 cm da progetto) e del copriferro (5 cm da progetto) si potrà calcolare la dimensione minima dell'altezza che poi sarà ingegnerizzata (da 65,05 a 70 cm). La tabella calcolerà il peso della sezione e il carico qe che dipende da esso, e una volta inserito il valore del modulo elastico E anche il momento d'inerzia Ix e quindi l'abbassamento massimo e il suo rapporto con la lunghezza, stabilendo (secondo la normativa dev'essere  ≥ 250) che il profilo scelto è valido.

In questa esercitazione andremo a dimensionare una trave principale di un solaio.

Analizzeremo tre tipologie di solaio: Cemento Armato, Legno e Acciaio.

• Scelgo una tipologia di carpenteria.
• Evidenzio quella che è l’area su cui insiste la porzione di solaio gravante sulla trave principale scelta, quella maggiormente sollecitata.

SOLAIO IN CEMENTO ARMATO

Ho scelto un solaio di interpiano in Latero cemento così composto:

1. Pavimento fluttuante in laterizio, spessore 25mm
2. Strato di ripartizione in calcestruzzo, spessore 35mm
3. Membrana impermeabilizzante (non verrà calcolata)
4. Pannello isolante, spessore 100mm
5. Barriera al vapore (non verrà calcolata)
6. Massetto di pendenza in cls alleggerito con pomice, spessore 40mm
7. Getto di completamento in cls, caldana: spessore 40mm + travetti: spessore 10x15(mm)
8. Solaio in laterocemento, pignatte spessore 40mmx20mm
9. Controsoffitto in intonaco di calce-cemento, spessore 15mm.

Analizzo 1mq della mia sezione (al cui interno avrò 2 file di pignatte e 2 travetti).

Per trovarmi i carichi strutturali (q_s), travetti, cls armato, pignatte, e permanenti (q_p),  intonaco, isolante, pavimento,  massetto, impianti, tramezzi, ecc,  dovrò moltiplicare la quantità di volume (espressa in  m³/m²) per il peso specifico del materiale (espresso in kN/m³), i carichi accidentali sono normati, quindi li vado a prendere sulla normativa in base al tipo di utilizzo del mio edificio.

Carichi Strutturali, q_s.

Caldana: (0,04x1,00x1,00)m³/m² x 25 kN/m³ = 1,00 kN/m²

Travetti: 2x(0,15x0,20x1,00)m³/m2x 25 kN/m³ = 0,75 kN/m²

Pignatte: 2x(0,40x0,20x1,00)m³/m² x 8 kN/m³ = 0,64 kN/m²

Q_s tot = 2,39 kN/m²

Carichi permanenti, q_p.

Pavimentazione: (0,025x1,00x1,00)m³/m² x 17kN/m³ = 0,425 kN/m²

Strato di ripartizione in cls: (0,035x1,00x1,00)m³/m² x 25 kN/m³ = 0,875 kN/m²

Isolante: (1,00x1,00x1,00)m³/m² x 0,5 kN/m³ = 0,5 kN/m²

Massetto di pendenza in cls alleggerito: (0,04x1,00x1,00)m³/m² x 9,5 kN/m³ = 0,38 kN/m²

Controsoffitto: 0,3 kN/m²

Impianti: 0,5 kN/m²

Tramezzi: 1 kN/m²

Q_p tot= 3,98 kN/m²

Per i carichi accidentali ipotizzo il mio solaio facente parte di un edificio ad uso residenziale.

Q_a=2 kN/m²

SOLAIO IN ACCIAIO

• Ho scelto un solaio di interpiano in acciaio così composto:

1. Pavimento in parquet, spessore 20mm
2. Pannello isolante, spessore 50mm
3. Massetto di pendenza in cls alleggerito, spessore 50 mm
4. Lamiera grecata, spessore 200x200mm + soletta 120mm
5. Trave da dimensionare
6. Travetto IPE 140
7. Controsoffitto cartongesso, spessore 15mm

Analizzo 1mq della mia sezione.

Per trovarmi i carichi strutturali (q_s), travetto, soletta, lamiera grecata, e permanenti (q_p),  controsoffitto, isolante, pavimento,  massetto, impianti, tramezzi, ecc,  dovrò moltiplicare la quantità di volume (espressa in  m³/m²) per il peso specifico del materiale (espresso in kN/m³), i carichi accidentali sono normati, quindi li vado a prendere sulla normativa in base al tipo di utilizzo del mio edificio.

Carichi Strutturali q_s:

Lamiera grecata: 0,1 kN/m²

Soletta in cls: (0,12x1,00x1,00)m³/m² x 25 kN/m³ = 3 kN/m²

Travetto IPE 140: 0,12 kN/m²

Q_s tot= 3,22 kN/m²

Carichi permanenti, q_p:

Pavimento in parquet: (0,02x1,00x1,00)m³/m² x 7,06 kN/m³ = 0,14 kN/m²

Isolante:  (0,05x1,00x1,00)m³/m² x 0,5 kN/m³ = 0,025 kN/m²

Massetto di pendenza in cls alleggerito: (0,05x1,00x1,00)m³/m² x 9,5 kN/m³ = 0,475 kN/m²

Controsoffitto in cartongesso: (0,015x1,00x1,00)m³/m² x 13 kN/m³ = 0,19 kN/m²

Impianti: 0,5 kN/m²

Tramezzi: 1 kN/m²

Q_p tot= 2,33 kN/m²

Per i carichi accidentali ipotizzo il mio solaio facente parte di un edificio ad uso residenziale.

Q_a=2 kN/m²

SOLAIO IN LEGNO

• Ho scelto un solaio di interpiano in legno così composto:

1. Pavimento in legno, spessore 2cm
2. Massetto pendenze cls alleggerito, spessore 2cm
3. Listello di distanziamento e fonoassorbente, spessore 5mm (non ne terrò conto nel calcolo)
4. Travetto in legno di castagno, spessore 12cm (interasse tra i travetti 40cm)
5. Pannello isolante, spessore 7cm
6. Controsoffitto in legno, spessore 1cm
7. Trave da dimensionare

Analizzo 1mq della mia sezione.

Per trovarmi i carichi strutturali (q_s), travetto, e permanenti (q_p),  controsoffitto, isolante, pavimento,  massetto, impianti, tramezzi, ecc,  dovrò moltiplicare la quantità di volume (espressa in  m³/m²) per il peso specifico del materiale (espresso in kN/m³), i carichi accidentali sono normati, quindi li vado a prendere sulla normativa in base al tipo di utilizzo del mio edificio.

Carichi Strutturali q_s:

Travetti: 4*(0,12x0,08x1,00)m³/m² x 6 kN/m³ = 0,23 kN/m²

Q_s tot= 0,23 kN/m²

Carichi permanenti, q_p:

Pavimento in legno: (0,02x1,00x1,00)m³/m² x 6 kN/m³ = 0,12 kN/m²

Massetto di pendenza in cls alleggerito: (0,02x1,00x1,00)m³/m² x 9,5 kN/m³ = 0,19 kN/m²

Isolante:  (0,07x1,00x1,00)m³/m² x 0,5 kN/m³ = 0,035 kN/m²

Controsoffitto in legno: (0,01x1,00x1,00)m³/m² x 6 kN/m³ = 0,06 kN/m²

Impianti: 0,5 kN/m²

Tramezzi: 1 kN/m²

Q_p tot= 1,905 kN/m²

Per i carichi accidentali ipotizzo il mio solaio facente parte di un edificio ad uso residenziale.

Q_a=2 kN/m²

• Ora ho tutte le mie stratigrafie, posso inserire i dati ottenuti nella tabella di Excel.
• Le prime colonne della tabella sono uguali in tutte le tecnologie, in quanto dipendono dalla geometria della carpenteria, e non dal materiale della trave. Individuo la trave principale maggiormente sollecitata (luce maggiore). Mi trovo l’area di influenza, che misurata mi darà l’interasse; metto nella tabella i valori q_s, q_p, q_a appena calcolati, inserisco anche la lunghezza della luce. Il foglio mi calcolerà in automatico qu, ovvero il carico totale a metro lineare, devo tenere presente che questo calcolo è la sommatoria dei carichi calcolati, moltiplicati per dei fattori che si trovano sulla normativa in funzione dello stato limite ultimo. La formula che utilizzerò sarà: q_tot[kN/m²] = Qs x γ_G1 + Qp x γ_G2  + Qa x γ_P3. Per trovare il carico agente sulla trave dovrò moltiplicare questo valore per l’area di influenza. La formula mi da il risultato di q_u, ovvero la combinazione di carico per Stato Limite Ultimo disposta dalla normativa, la formula usata nel foglio Excel sarà: q_u [kN/m] = (q_s 1,3 + q_p 1,5 + q_a 1,5 )[Kn/m²] x i[m].
• L’ultimo valore di cui ho bisogno è è il momento massimo agente sulla trave. Prendiamo come esempio il modello di mensola, quindi sappiamo che M_max=(q_u x l²)/2

DIMENSIONAMENTO TRAVI

• Per quanto riguarda il dimensionamento eseguo gli stessi passaggi che ho eseguito nell’esercitazione 2.
• Nel Cls Armato e nell’Acciaio dovrò tenere conto anche del peso proprio della struttura.
• Nell’Acciaio dopo aver trovato il valore W_min per ingegnerizzare la sezione si inserisce il valore del momento di inerzia I_x del profilo, che dovrà essere maggiore rispetto a quello trovato.

ABBASSAMENTO MASSIMO

• Una volta trovati tutti i valori dovrò controllare l’abbassamento massimo, v_max. Devo controllare anche che il rapporto tra la luce della trave e il suo spostamento massimo sia maggiore di 250, come imposto dalla normativa. v_max=(q_e x l⁴)/8E I_x; (l/v_max ) ≥ 250

In questa esercitazione andremo a dimensionare una trave principale di un solaio.

Analizzeremo tre tipologie di solaio: Cemento Armato, Legno e Acciaio.

• Scelgo una tipologia di carpenteria.
• Evidenzio quella che è l’area su cui insiste la porzione di solaio gravante sulla trave principale scelta, quella maggiormente sollecitata.

SOLAIO IN CEMENTO ARMATO

Ho scelto un solaio di interpiano in Latero cemento così composto:

1. Pavimento fluttuante in laterizio, spessore 25mm
2. Strato di ripartizione in calcestruzzo, spessore 35mm
3. Membrana impermeabilizzante (non verrà calcolata)
4. Pannello isolante, spessore 100mm
5. Barriera al vapore (non verrà calcolata)
6. Massetto di pendenza in cls alleggerito con pomice, spessore 40mm
7. Getto di completamento in cls, caldana: spessore 40mm + travetti: spessore 10x15(mm)
8. Solaio in laterocemento, pignatte spessore 40mmx20mm
9. Controsoffitto in intonaco di calce-cemento, spessore 15mm.

Analizzo 1mq della mia sezione (al cui interno avrò 2 file di pignatte e 2 travetti).

Per trovarmi i carichi strutturali (q_s), travetti, cls armato, pignatte, e permanenti (q_p),  intonaco, isolante, pavimento,  massetto, impianti, tramezzi, ecc,  dovrò moltiplicare la quantità di volume (espressa in  m³/m²) per il peso specifico del materiale (espresso in kN/m³), i carichi accidentali sono normati, quindi li vado a prendere sulla normativa in base al tipo di utilizzo del mio edificio.

Carichi Strutturali, q_s.

Caldana: (0,04x1,00x1,00)m³/m² x 25 kN/m³ = 1,00 kN/m²

Travetti: 2x(0,15x0,20x1,00)m³/m2x 25 kN/m³ = 0,75 kN/m²

Pignatte: 2x(0,40x0,20x1,00)m³/m² x 8 kN/m³ = 0,64 kN/m²

Q_{s tot} = 2,39 kN/m²

Carichi permanenti, q_p.

Pavimentazione: (0,025x1,00x1,00)m³/m² x 17kN/m³ = 0,425 kN/m²

Strato di ripartizione in cls: (0,035x1,00x1,00)m³/m² x 25 kN/m³ = 0,875 kN/m²

Isolante: (1,00x1,00x1,00)m³/m² x 0,5 kN/m³ = 0,5 kN/m²

Massetto di pendenza in cls alleggerito: (0,04x1,00x1,00)m³/m² x 9,5 kN/m³ = 0,38 kN/m²

Controsoffitto: 0,3 kN/m²

Impianti: 0,5 kN/m²

Tramezzi: 1 kN/m²

Q_{p tot}= 3,98 kN/m²

Per i carichi accidentali ipotizzo il mio solaio facente parte di un edificio ad uso residenziale.

Q_a=2 kN/m²

SOLAIO IN ACCIAIO

Ho scelto un solaio di interpiano in acciaio così composto:

1. Pavimento in parquet, spessore 20mm
2. Pannello isolante, spessore 50mm
3. Massetto di pendenza in cls alleggerito, spessore 50 mm
4. Lamiera grecata, spessore 200x200mm + soletta 120mm
5. Trave da dimensionare
6. Travetto IPE 140
7. Controsoffitto cartongesso, spessore 15mm

Analizzo 1mq della mia sezione.

Per trovarmi i carichi strutturali (q_s), travetto, soletta, lamiera grecata, e permanenti (q_p),  controsoffitto, isolante, pavimento,  massetto, impianti, tramezzi, ecc,  dovrò moltiplicare la quantità di volume (espressa in  m³/m²) per il peso specifico del materiale (espresso in kN/m³), i carichi accidentali sono normati, quindi li vado a prendere sulla normativa in base al tipo di utilizzo del mio edificio.

Carichi Strutturali q_s:

Lamiera grecata: 0,1 kN/m²

Soletta in cls: (0,12x1,00x1,00)m³/m² x 25 kN/m³ = 3 kN/m²

Travetto IPE 140: 0,12 kN/m²

Q_{s tot}= 3,22 kN/m²

Carichi permanenti, q_p:

Pavimento in parquet: (0,02x1,00x1,00)m³/m² x 7,06 kN/m³ = 0,14 kN/m²

Isolante:  (0,05x1,00x1,00)m³/m² x 0,5 kN/m³ = 0,025 kN/m²

Massetto di pendenza in cls alleggerito: (0,05x1,00x1,00)m³/m² x 9,5 kN/m³ = 0,475 kN/m²

Controsoffitto in cartongesso: (0,015x1,00x1,00)m³/m² x 13 kN/m³ = 0,19 kN/m²

Impianti: 0,5 kN/m²

Tramezzi: 1 kN/m²

Q_{p tot}= 2,33 kN/m²

Per i carichi accidentali ipotizzo il mio solaio facente parte di un edificio ad uso residenziale.

Q_a=2 kN/m²

SOLAIO IN LEGNO

Ho scelto un solaio di interpiano in legno così composto:

1. Pavimento in legno, spessore 2cm
2. Massetto pendenze cls alleggerito, spessore 2cm
3. Listello di distanziamento e fonoassorbente, spessore 5mm (non ne terrò conto nel calcolo)
4. Travetto in legno di castagno, spessore 12cm (interasse tra i travetti 40cm)
5. Pannello isolante, spessore 7cm
6. Controsoffitto in legno, spessore 1cm
7. Trave da dimensionare

Analizzo 1mq della mia sezione.

Per trovarmi i carichi strutturali (q_s), travetto, e permanenti (q_p),  controsoffitto, isolante, pavimento,  massetto, impianti, tramezzi, ecc,  dovrò moltiplicare la quantità di volume (espressa in  m³/m²) per il peso specifico del materiale (espresso in kN/m³), i carichi accidentali sono normati, quindi li vado a prendere sulla normativa in base al tipo di utilizzo del mio edificio.

Carichi Strutturali q_s:

Travetti: 4*(0,12x0,08x1,00)m³/m² x 6 kN/m³ = 0,23 kN/m²

Q_s tot= 0,23 kN/m²

Carichi permanenti, q_p:

Pavimento in legno: (0,02x1,00x1,00)m³/m² x 6 kN/m³ = 0,12 kN/m²

Massetto di pendenza in cls alleggerito: (0,02x1,00x1,00)m³/m² x 9,5 kN/m³ = 0,19 kN/m²

Isolante:  (0,07x1,00x1,00)m³/m² x 0,5 kN/m³ = 0,035 kN/m²

Controsoffitto in legno: (0,01x1,00x1,00)m³/m² x 6 kN/m³ = 0,06 kN/m²

Impianti: 0,5 kN/m²

Tramezzi: 1 kN/m²

Q_{p tot}= 1,905 kN/m²

Per i carichi accidentali ipotizzo il mio solaio facente parte di un edificio ad uso residenziale.

Q_a=2 kN/m²

• Ora ho tutte le mie stratigrafie, posso inserire i dati ottenuti nella tabella di Excel.
• Le prime colonne della tabella sono uguali in tutte le tecnologie, in quanto dipendono dalla geometria della carpenteria, e non dal materiale della trave. Individuo la trave principale maggiormente sollecitata (luce maggiore). Mi trovo l’area di influenza, che misurata mi darà l’interasse; metto nella tabella i valori q_s, q_p, q_a appena calcolati, inserisco anche la lunghezza della luce. Il foglio mi calcolerà in automatico qu, ovvero il carico totale a metro lineare, devo tenere presente che questo calcolo è la sommatoria dei carichi calcolati, moltiplicati per dei fattori che si trovano sulla normativa in funzione dello stato limite ultimo. La formula che utilizzerò sarà: q_tot[kN/m²] = Qs x γ_G1 + Qp x γ_G2  + Qa x γ_P3. Per trovare il carico agente sulla trave dovrò moltiplicare questo valore per l’area di influenza. La formula mi da il risultato di q_u, ovvero la combinazione di carico per Stato Limite Ultimo disposta dalla normativa, la formula usata nel foglio Excel sarà: q_u [kN/m] = (q_s 1,3 + q_p 1,5 + q_a 1,5 )[Kn/m²] x i[m].

• L’ultimo valore di cui ho bisogno è il momento massimo agente sulla trave. Prendiamo come esempio il modello di trave doppiamente appoggiata, quindi sappiamo che M=(q_u x l²)/8

TRAVE IN LEGNO A SEZIONE RETTANGOLARE

• Per dimensionare la trave in legno devo trovare il valore della tensione di progetto, f_d. Per ottenerla dovrò scegliere una tecnologia del legno. Nel mio caso ho scelto un legno lamellare GL28c. f_d= (k_mod f_m,k)/Y_m con: f_m,k= 28 (resistenza caratteristica del legno); k_mod=0,6 (coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale, si trova sulla normativa, e prende in esame la classe di servizio e la durata della struttura, nel mio caso Classe 2 con durata permanente; Y_m=1,45 (coefficiente di sicurezza)

• A questo punto ipotizzo una base della mia sezione (b=20cm) e mi trovo l’altezza minima, che dovrò successivamente ingegnerizzare con i profili disponibili sul mercato. H_min= l √(3/4 x q_u/(b x f_d)).

TRAVE IN ACCIAIO IPE

• Dopo essermi trovato il momento massimo devo inserire il valore di snervamento, f_y,k, derivato dalla classe dell’acciaio scelto. Nel mio caso Fe430/S275, quindi f_y,k=275N(mm²).
• Per trovare la tensione di progetto, f_yd mi serve anche il valore del coefficiente di sicurezza, Y_s, che nel mio caso è 1,05. F_yd=F_yk/Y_s​
• L’ultimo valore che mi serve da trovare è il modulo di resistenza a flessione minimo, valore minimo che la sezione deve avere affinché nessuna fibra del materiale superi la tensione di progetto, W_{x, min} = M_max / f_yd. Trovato questo valore dovrò ingegnerizzarlo con i profilati IPE disponibili sul mercato.

TRAVE IN CLS ARMATO A SEZIONE RETTANGOLARE

• Come si può notare dalla tabella per dimensionare la trave in cls armato ho bisogno di più dati, questo perché è composta da cls e acciaio. Avrò, quindi, bisogno delle resistenze caratteristiche dell’acciaio, f_yk, e del cls, f_ck. Nel mio caso ho scelto f_yk = 450 N/mm² (Classe B450A) e f_ck = 50 (Classe C40/50).
• Ora posso ricavarmi le tensioni di progetto. f_yd = f_yk/Y_s (con Ys=1,15, coefficiente parziale di sicurezza per gli acciai da armatura); F_cd= α_cd x f_cd/Y_c, con α_cd = 0.85, coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata; Y_c=1,5, coefficiente parziale di sicurezza del cls).

• Una volta trovate le tensioni di progetto mi trovo h_u(altezza utile della sezione), con la quale mi trovo H_min (l’altezza minima che andrà poi ingegnerizzata, portando l’altezza minima alla decina immediatamente superiore).h_u=r √ ( M_max/b; h_min = h_u+δ) (δ= 5, distanza tra baricentro dell’armatura e filo del cls teso).
• Il foglio di calcolo prevede anche il calcolo del peso proprio della trave (kN/m³), con peso specifico del cls = 25 kN/m³. Con questo peso posso verificare se la sezione da me scelta è in grado di portare i carchi applicati e il carico dovuto al peso proprio. Nel caso non fosse verificata dovrò scegliere un profilo differente, fino a trovarne uno verificato.

• LEGNO 

M max = (qu * l^2 )/ 8  - Momento massimo sulla trave
Fm,k - resistenza caratteristica a flessione da scegliere tra 24, 28, 32, 36 seguendo la normativa
Kmod - coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale (clima, umidità, durata del carico ecc) 
γm- il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale, tra 1 e 1,50.

E: modulo elastico del materiale

Peso: per il legno non viene considerato

qe: la combinazione dei carichi incidenti sulla struttura (qs + qp+ ψ * qa) * luce + peso 
(ψ: 0,5) 

Hmin della  trave viene 72,32 cm, ingegnerizzando 75 cm. 

I/vmax è minore a 1/250, quindi le travi sono verificate. 

• ACCIAIO 

Fy,k- snervamento caratteristico   (N/mm2)
Fyd- tensione di snervamento - Fyk / 1,05 (snervamento caratteristico diviso coefficiente parziale di sicurezza)
Wx min - resistenza a flessione minimo : Mmax / Fyd

E: modulo elastico del materiale 

Peso: per l'acciaio si trova dal profilario in kg/m e si converte in KN/m

qe: la combinazione dei carichi incidenti sulla struttura (qs + qp+ ψ * qa) * luce + peso 
(ψ: 0,5) 

I/vmax è minore a 1/250, quindi le travi sono verificate.

• CLS ARMATO

Fck- resistenza caratteristica del cls .
Fyk- resistenza caratteristica dell'acciaio per l'armatura  = 450 Mpa
Fyd - la tensione del progetto dell'acciaio = Fyk/  γs ( γs: coefficiente parziale di sicurezza). 
Fcd- la tensione del progetto del cls= acc * Fck/ γc (γc: 1,5, acc: 0,85 coefficiente riduttivo per resistenza di lunga durata). 
qe: la combinazione dei carichi incidenti sulla struttura (qs + qp+ ψ * qa) * luce + peso 
(ψ11: 0,5) 

Peso: per cls è pari 25 kN/m3

E: modulo elastico del materiale 

Hmin della prima trave viene 65,14 ingegnerizzando 70 cm.  

I/vmax è minore a 1/250, quindi le travi sono verificate. 

LEGNO
L'obiettivo è trovare hmin.
M max = (qu * l^2 )/ 8  - Momento massimo sulla trave
Fm,k - resistenza caratteristica a flessione da scegliere tra 24, 28, 32, 36 seguendo la normativa
Kmod - coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale (clima, umidità, durata del carico ecc) media= 0.8
γm- il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale, tra 1 e 1,50.

qu- (1,3*qs + 1,5*qp + 1,5* qa) * interasse

ACCIAIO 

Fy,k- snervamento caratteristico  che varia tra 235- 355- 375 (N/mm2)
Fyd- tensione di snervamento - Fyk / 1,05 (snervamento caratteristico diviso coefficiente parziale di sicurezza)
L'obiettivo è trovare Wx min (resistenza a flessione minimo) - Mmax / Fyd

Scelgo di utilizzare un acciaio con valore di snervamento fy,k = 275 N/mmq e, inserendo i dati nel foglio excel, ottengo un Modulo di Resistenza Wx (Momento max/ Resistenza a flessione di progetto) pari a 625,98 cm3:
 Scelgo quindi di utilizzare un profilo IPE (33 cm x 16 cm) con Wx 713,00 cm3. 

CLS ARMATO
Fck- resistenza caratteristica del cls tra 60 e 70 N/mm2.
Fyk- resistenza caratteristica dell'acciaio per l'armatura  = 450 Mpa
Fyd - la tensione del progetto dell'acciaio = Fyk/  γs ( γs: coefficiente parziale di sicurezza). 
Fcd- la tensione del progetto del cls= acc * Fck/ γc (γc: 1,5, acc: 0,85 coefficiente riduttivo per resistenza di lunga durata). 
L'obiettivo è trovare Hmin (l'altezza minima). 

L'altezza minima (Hmin) è pari a 46,32 cm, ingegnerizzata come 50 cm. 

Nella terza esercitazione viene proposta una nuova carpenteria rispetto alla precedente, dovendo tener conto del fatto che non stiamo più lavorando con una trave doppiamente appoggiata, bensì con una mensola. Per quanto rigurda le fasi inizali non ci sono grandi variazioni, poichè il metodo di individuazione dell'area di influenza della trave maggiormente sollecitata rimane identico, così come la riproposizione degli stessi solai e la loro relativa stratigrafia. I materiali usati sono: per il legno Gl 24c, acciaio Fe 430/S275, calcestruzzo C 25/30 con barre d’acciaio B450A.

LEGNO

ACCIAIO

CEMENTO ARMATO

Prima di iniziare l'analisi è bene ricordare che non ci troviamo in presenza di una trave doppiamente appoggiata, ma di una mensola, quindi dobbiamo considerare che  il momento massimo, in corrispondenza della sezione di incastro varrà:

M_max= q_ul²/ 2

A questo punto posso procedere, attraverso l'aiuto di un foglio Excel, al dimensionamento della sezione della trave per ciascuna delle tre tecnologie e la relativa verifica a deformabilità.

LEGNO

Essendo il legno un materiale leggero, posso trascurare il peso proprio della trave.

ACCIAIO

Ipotizzata la struttura in figura, la trave che mi accingo a dimensionare è quella maggiormente sollecitata, ossia quella evidenziata d’arancione, in quanto interessata dalla maggiore area di influenza - 15 m² (dove 3 m = luce, 5 m = interasse).

TRAVE IN LEGNO

1| Analisi dei carichi

I carichi - strutturali, permanenti e accidentali - che la trave dovrà sopportare sono gli stessi dell'Esercitazione 2.

      q_s = 0,438 kN/m²

      q_p = 2,69 kN/m²

      q_a = 5,00 kN/m²

**Carico totale

A questo punto, tramite il foglio di calcolo – Excel (scaricabile dalla sezione Download del Portale di Meccanica), ricavo il carico totale. Quindi inserisco i valori dell’interasse (5 m), di q_s (0.438 kN/m²), di q_p (2.69 kN/m²) e di q_a (5 kN/m²) e il foglio di calcolo mi fornisce il valore del carico totale q_u, secondo la formula seguente:

      q_u = [(q_s x 1,3) + (q_p x 1,3) + (q_a x 1,5)] x interasse

2| Progetto

Come seconda cosa, servendomi sempre del foglio di calcolo – Excel, inserisco la luce della trave (3 m) e ottengo il momento massimo della stessa – intesa come una mensola, secondo la formula M_max = ql²/2

Poi fornisco i seguenti valori:

• resistenza a flessione caratteristica f_m,k = 24 MPa (dipendente dal tipo di legno, ovvero lamellare GL 24h)
• coefficiente della durata del carico k_mod = 0,8 (fornito dalla normativa)
• coefficiente parziale di sicurezza del materiale γ_m = 1,45 (legno lamellare)

e ottengo la tensione ammissibile f_d [N/mm²], secondo la formula seguente:

      f_d = f_m,k x k_mod / γ_m

Ipotizzo il valore della base b (40 cm) e ricavo l’altezza minima h_min che la trave deve avere, secondo la seguente formula:

      h_min = (interasse x M_max x 1000 / b x f_d) ^ 0,5

Assegno quindi alla sezione una h = 60 cm.

Definisco poi il valore del modulo elastico E = 8000 N/mm², e ottengo il momento d’inerzia I_x, i carichi incidenti q_e, l’abbassamento massimo v_max  e il rapporto tra la luce e l’abbassamento massimo della trave l/v_max, rispettivamente secondo le seguenti formule

      I_x = b x h³ / 12

      q_e = (q_s + q_p + 0.5 x q_a) x i

      v_max = q_e x 10 x (l x 100)⁴ / (8 x E x 100 x I_x)

3| Verifica

A questo punto verifico che il rapporto tra la luce e l’abbassamento massimo della trave sia maggiore o uguale a 250, ossia l/v_max ≥ 250, trascurando il peso proprio della trave a causa della sua leggerezza:

Essendo l/v_max (606.49) > 250 la sezione 40 x 60 cm è verificata.

TRAVE IN ACCIAIO

1| Analisi dei carichi

I carichi - strutturali, permanenti e accidentali - che la trave dovrà sopportare sono gli stessi dell'Esercitazione 2.

      q_s = 2,01 kN/m²

      q_p = 2,84 kN/m²

      q_a = 5,00 kN/m²

**Carico totale

A questo punto, tramite il foglio di calcolo – Excel, ricavo il carico totale. Quindi inserisco i valori dell’interasse (5 m), di q_s (2.01 kN/m²), di q_p (2.84 kN/m²) e di q_a (5 kN/m²) e il foglio di calcolo mi fornisce il valore del carico totale q_u, secondo la formula seguente:

      q_u = [(q_s x 1,3) + (q_p x 1,3) + (q_a x 1,5)] x interasse

2| Progetto

Come seconda cosa, servendomi sempre del foglio di calcolo – Excel, inserisco la luce della trave (3 m) e ottengo il momento massimo della stessa – intesa come una mensola, secondo la formula M_max = ql²/2

Poi fornisco il seguente valore:

• tensione di snervamento f_y,k = 275 MPa (dipendente dal tipo di acciaio, ovvero Fe 430/ S275)

e ottengo il modulo di resistenza elastico minimo W_x,min [cm³], secondo la formula seguente:

      W_x,min = M_max / f_d x 1000

Quindi, sul sagomario, scelgo il profilo IPE 450 con W_x = 1500 cm³, I_x = 33740 cm⁴ e peso = 77.6 kg/m = 0.776 kN/m e ottengo q_e, secondo la seguente formula:

      q_e = (q_s + q_p + 0.5 x q_a) x i + p_trave

Infine definisco il valore del modulo elastico E = 210000 N/mm², e il foglio di calcolo mi fornisce il valore dell’abbassamento massimo v_max e il suo rapporto con la luce l/v_max, rispettivamente secondo le formule seguenti:

      v_max = q_e x 10 x (l x 100)⁴ / (8 x E x 100 x I_x)

3| Verifica

A questo punto verifico che il rapporto tra la luce e l’abbassamento massimo della trave sia maggiore o uguale a 250, ossia l/v_max ≥ 250.

Essendo l/v_max (559.446) > 250 il profilo IPE 450 è verificato.

TRAVE IN CALCESTRUZZO ARMATO

1| Analisi dei carichi

I carichi - strutturali, permanenti e accidentali - che la trave dovrà sopportare sono gli stessi dell'Esercitazione 2.

      q_s = 2,368 kN/m²

      q_p = 2,654 kN/m²

      q_a = 5,00 kN/m²

**Carico totale

A questo punto, tramite il foglio di calcolo – Excel, ricavo il carico totale. Quindi inserisco i valori dell’interasse (5 m), di q_s (2.368 kN/m²), di q_p (2.654 kN/m²) e di q_a (5 kN/m²) e il foglio di calcolo mi fornisce il valore del carico totale q_u, secondo la formula seguente:

      q_u = [(q_s x 1,3) + (q_p x 1,3) + (q_a x 1,5)] x interasse

2| Progetto

Come seconda cosa, servendomi sempre del foglio di calcolo – Excel, inserisco la luce della trave (3 m) e ottengo il momento massimo della stessa – intesa come una mensola, secondo la formula M_max = ql²/2

Poi fornisco il seguente valore:

• tensione di snervamento dell’acciaio f_yk = 450 MPa (dipendente dal tipo di acciaio, ovvero B450C)

e ottengo la tensione di progetto dell’acciaio f_yd [MPa], secondo la formula seguente:

      f_yd = f_yk / γ_s, dove γ_s = 1,15

Mentre, per la tensione di progetto del calcestruzzo (cls) f_cd, fornisco la resistenza caratteristica a compressione R_ck (40 N/mm²) e il foglio Excel me lo calcola, secondo la formula seguente:

      f_cd = 0,85 x R_ck / γ_c, dove γ_c = coefficiente parziale di sicurezza = 1,5 

oltre a calcolarmi β (0.46) e r (2.26).

Ipotizzo il valore della base b (40 cm) e ricavo prima l’altezza utile minima h_u,min, secondo la seguente formula:

      h_u,min = r x (M_max x 1000 / (f_cd x b)) ^ 0,5

e poi l’altezza minima H_min, secondo la formula seguente:

      H_min = h_u,min + Δ, dove Δ = copriferro = 5 cm

Assegno quindi alla sezione una H = 50 cm, e il foglio di calcolo mi fornisce q_e secondo la formula seguente:

      q_e = (q_s + q_p + 0.5 x q_a) x i + p_trave

Infine definisco il valore del modulo elastico E = 21000 N/mm² e ottengo il momento d’inerzia I_x, l’abbassamento massimo v_max e il rapporto tra la luce e l’abbassamento massimo l/v_max, rispettivamente secondo le seguenti formule:

      I_x = b x h³ / 12

      v_max = q_e x 10 x (l x 100)⁴ / (8 x E x 100 x I_x)

3| Verifica

A questo punto, come fatto per la trave in legno e in acciaio, verifico che il rapporto tra la luce e l’abbassamento massimo della trave sia maggiore o uguale a 250, ossia l/v_max ≥ 250.

Essendo l/v_max (1594.73) > 250 la sezione 40 x 50 cm è verificata.

INTRODUZIONE: In questa esercitazione dimensioneremo una trave a sbalzo nelle tre principali tecnologie: legcemento armato e acciaio.

Definita la carpenteria di riferimento, individuo la trave maggiormente sollecitata e l'area di influenza di luce L=2,5 m e interasse I=4,55 m (nel rettangolo rosso).

Prendo in considerazione la stratigrafia dei solai utilizzati per il dimensionamento della trave e i carichi trovati.

1_STRUTTURA IN LEGNO

La parte iniziale del procedimento è la stessa applicata nella seconda esercitazione, quindi i risultati di h min,per il legno e il c.a., e di W min,per l'acciaio, saranno gli stessi.

N.B. Differentemente dalla seconda esercitazione, dove prendavamo in considerazione una trave doppiamente appoggiata, ora consideriamo lo schema statico di una mensola, quindi il valore del momento massimo sarà M=ql^2/2.

ANALISI:

qs:  0,51 KN/m^2

qp:  2,54 KN/m^2

qa:  2 KN/m^2

Il foglio Excell mi fornisce il carico totale a metro lineare (qu) e, inserita la luce, il momento massimo Mmax: ql^2/2.

Assumo:

f m.k.=24               (legno lamellare GL 24c)           [resistenza a flessione caratteristica]

k mod=0,80                                                             [coefficiente di durata del carico]

ym=1,50                                                                  [coefficiente parziale di sicurezza del materiale]

Con questi valori il file Excell può calcolarmi la tensione ammissibile fd=(fmk * k mod)/ym.

PROGETTO:

Ipotizzo la base della trave di 25 cm. Il foglio elettronico svilupperà un valore di H min (altezza minima) che richiederà di essere ingegnerizzata a causa della presenza dei decimali.

Assegno al materiale un modulo elastico E=8000 Mpa.

Ottengo:

1. Ix (momento di inerzia) = (b*h^3)/12

2. qe (carico incidente) dove non vi è inserito il peso proprio della trave poichè si tratta di un materiale leggero, a differenza dell'acciao e del cls armato.

Occore fare la verifica a deformabilità controllando che l'abbassamento massimo del profilo, studiato in rapporto con la luce, non sia tale da deformare la struttura, ostacolandone l'uso. Perciò la verifica viene fatta riferendosi allo stato limite di esercizio (SLE).

v max (abbassamento massimo); L (luce)/v max > 250 (valore valido per i solai in generale)

2_STRUTTURA IN CALCESTRUZZO ARMATO

ANALISI:

qs: 2,12 KN/m^2

qp: 1,9 KN/m^2

qa: 2 KN/m^2

Il file Excell mi da qu (carico totale a metro lineare) e M max (momento massimo)=ql^2/2, inserendo prima la luce.

Assumo:

fyk [tensione di snervamento]= 450 Mpa

fck [valore caratteristico di resistenza cilindrica] = 35 Mpa

Con questi valori posso calcolarmi le tensioni di progetto fyd (acciaio) e fcd (cls).

PROGETTO:

Ipotizzo la base della trave uguale a 25 cm e un copriferro sigma = 5 cm. Il foglio elettronico mi da un'altezza minima (hmin) che poi ingegnerizzerò.

Assumo un modulo elastico del materiale E = 8000 Mpa.

Mi trovo:

Ix = (b*h^3)/12

qe = carico incidente, dove inserisco il peso della trave.

v max = abbassamento massimo

L (luce)/ v max > 250

3_STRUTTURA IN ACCIAIO

ANALISI:

qs: 1,78 KN/m^2

qp: 1,81 KN/m^2

qa: 2 KN/m^2

Il file Excell mi da qu (carico totale a metro lineare) e M max (momento massimo)=ql^2/2, inserendo prima la luce.

Assumo:

fyk = 235  ( tensione di snervamento)

Il foglio elettronico mi calcola fd (tensione di progetto) dell'acciao.

PROGETTO:

W min (modulo di resistenza) = M max/fd

Ingegnerizzo il valore di W min.

Ottengo i seguenti valori dalla tabella dei profili IPE standard:

Ix (Jx nella tabella)  [cm^4]

peso [in Kg/m nella tabella, per convertire il valore in KN/m moltiplico per 10^-2]

qe (carico incidente) dove aggiungo il peso della trave

v max = abbassamento massimo

L (luce)/ v max > 250