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Questa esercitazione è incentrata sullo studio delle rigidezze di un impalcato ad un piano. 

Innanzitutto, definiamo la pianta dell’ impalcato, in Cemento Armato. Il calcestruzzo prescelto è di classe di resistenza C25/30. 

Passaggio successivo sarà la schematizzazione dell impalcato con le “Molle” Kon Kvn, le quali indicano la rigidezza di un telaio, il quale per sua conformazione è considerabile un controvento. 

Definiamo subito come la sezione dei pilastri scelti sia 0,4 x 0,4, per meglio studiare il comportamento della struttura. In fase successiva, dopo una prima analisi, verrà chiarito quale direzione della sezione dovrà essere maggiorata per contrastare la rotazione e/o traslazione del telaio.

L’altezza dell’impalcato totale è data a 4,2 m di cui 0,70 m di travi e 3,50 m di pilastro. Le travi, con sezione di 0,3 x 0,7, mirano a sintetizzare il modello di telaio Shear Type: questo modello è caratterizzato dall’avere Trave e pilastri con una grande differenza di Modulo di Inerzia, assumendo inoltre che la trave sia infinitamente rigida a flessione. 

 

Iniziamo ad inserire i dati.
Modulo inerzia del pilastro: b*h^3/12= 0,4 x 0,4 x 0,4 x 0,4 /12 =  213333 cm^4
Modulo elasticità CA: nonostante la normativa suggerisce di utilizzare il semplice modulo di elasticità del Calcestruzzo, che è 31475,81 N/mm^2, utilizzeremo il valore di SAP così da poter controllare i risultati in maniera più accurata. Adotteremo E= 24855,57 N/mm^2.

Utilizziamo questi dati per tutti i telai della nostra struttura.

Calcoliamo poi le distanze dei telai rispetto all’origine 0.
Inseriamo poi la distanza rispetto al punto O di origine degli assi. 

Troveremo cosi le distanze dei controventi dal centro delle rigidezze, e la relativa rigidezza torsionale totale. 

Nello Step5 inseriremo dunque i carichi permanenti di natura strutturali - 2,50 Kn/mq- i carichi permanenti-  3,0 Kn/Mq- e i carichi accidentali- 3,0 kn/mq.

A questo punto avremmo ottenuto tutti le forze a cui ogni controvento/telaio sarà soggetto. 

Il passo successivo è la modellazione in SAP del telaio precedentemente studiato. 

Definiamo i vincoli a terra.

Definiamo le sezioni delle travature.

 

 

Definiamo le sezioni dei pilastri.

 

Definiamo il centro delle rigidezze, utilizzando i dati ottenuti dalla tabella excell. Il centro si trova a coordinata X 6,51  e coordinata Y 4,91.

Definiamo l’impalcato rigido del “solaio”: selezionando tutti i Joints dell’impalcato Assign> Joints> Constrain. A questo punto dal menu a tendina selezioniamo DIAPHRAM, che conferisce all’intera aria selezionata rigidezza tale da non avere dilatazioni né accorciamenti, ma solo traslazioni. 

Ultimo passaggio di definizione dell’impalcatura è la caratteristica dello Shear Type: Travi infinitamente rigide a flessione. per fare ciò, selezioniamo le travi > Define>property material ed inseriamo un elevato numero di ZERI nello spazio ”momento di inerzia 2 e 3”. Così facendo il modello sarà affine a quello teorico dello Shear Type. 

A questo punto nel centro di rigidezza della struttura faremo agire la foza sismica orizzontale, precedentemente ricavata dalla tabella excell e con un valore di 126,40 Kn.

L’analisi avviata darà i seguenti risultati. 

Come visibile e prevedibile, il centro delle rigidezze non avrà nessun spostamento. 

 

 

 

Legno

Prendo in considerazione gli stessi carichi dell’esercitazione precedente, ed eseguo l’analisi dei carichi per la mensola , cercando di inserire quei valori che permettono di ottenere  l/v > 250

Calcestruzzo armato

Considerando uno sbalzo di 4 m, riesco ad ottenere un giusto rapporto tra l e v , pari a 539,93, che tiene di gran lunga in sicurezza la struttura.

Il modulo di resistenza è pari a 448,53 cm^3.

La sezione che sceglierò in base al modulo di resistenza, sarà una IPE 300.

Acciaio

Considerando uno sbalzo di 4 m, riesco ad ottenere un giusto rapporto tra l e v , pari a 539,93, che tiene di gran lunga in sicurezza la struttura.

Il modulo di resistenza è pari a 448,53 cm^3.

La sezione che sceglierò in base al modulo di resistenza, sarà una IPE 300.

Legno

Prendo in considerazione gli stessi carichi dell’esercitazione precedente, ed eseguo l’analisi dei carichi per la mensola , cercando di inserire quei valori che permettono di ottenere  l/v > 250

Calcestruzzo armato

Considerando uno sbalzo di 4 m, riesco ad ottenere un giusto rapporto tra l e v , pari a 539,93, che tiene di gran lunga in sicurezza la struttura.

Il modulo di resistenza è pari a 448,53 cm^3.

La sezione che sceglierò in base al modulo di resistenza, sarà una IPE 300.

Acciaio

Considerando uno sbalzo di 4 m, riesco ad ottenere un giusto rapporto tra l e v , pari a 539,93, che tiene di gran lunga in sicurezza la struttura.

Il modulo di resistenza è pari a 448,53 cm^3.

La sezione che sceglierò in base al modulo di resistenza, sarà una IPE 300.

Analizziamo il comportamento di un impalcato sollecitato da forze esterne orizzontali e il comportamento dei controventi nel rispondere a tali sollecitazioni.

I controventi vengono rappresentati come delle molle, in quanto rappresentano dei vincoli elastici, cioè in grado di rispondere alle forze esterne subendo una deformazione reversibile.

La capacità di queste molle di rispondere alle forze esterne sarà strettamente collegata alla loro rigidezza k e alla loro distanza dal centro delle rigidezze, unico punto in cui la risultante delle forze esterne applicate avrà momento pari a zero e dunque rotazione nulla.

Dunque una volta determinate le caratteristiche dimensionali e tipologiche dell’ impalcato e il materiale dei suoi elementi, attraverso un file excel si calcolerà il centro delle rigidezze.

Scelgliamo di analizzare il seguente impalcato in calcestruzzo:

fig.1

L’impalcato ha i seguenti controventi:

fig.2

Dove:

d₂V= 9,00 mt

d₃V= 14,00 mt

d₄V= 19,00 mt

d₂O= 5,00 mt

d₃​O= 14,00 mt

Si tratta di un TELAIO SHEAR TYPE, infinitamente rigido, con rigidezza pari a 

K_t = 12 EI / h³

H PILASTRI: 4,00 m

PILASTRI IN CEMENTO ARMATO -> MODULO DI YOUNG : E= 21000 Nmm

SEZIONE PILASTRI:  30 x 50 cm

A seconda dell’ orditura del telaio avremo i pilastri orientati in 2 diversi modi e di conseguenza con diversi MOMENTI DI INERZIA.

 PILASTRI 7-8-9-10                PILASTRI 1-2-3-4-5-6

fig.3

Prima di procedere con i calcoli su excel definiamo i telai, rispettivamente al piano cui appartengono. Si faccia riferimento alla fig.2 .

TELAIO VERTICALE_piano Y-Z                                         TELAIO ORIZZONTALE_piano X-Z     TELAIO 1 : PILASTRI 1-5                                                        TELAIO 5 : PILASTRI 1-2-3-4

TELAIO 2 : PILASTRI 2-6                                                        TELAIO 6 : PILASTRI 5-6-7-8

TELAIO 3 : PILASTRI 9-7-3                                                    TELAIO 7 : PILASTRI 9-10

TELAIO 4 : PILASTRI 10-8-4                                                  

STEP 1 Calcolo delle RIGIDEZZE TRASLANTI dei controventi dell’edificio.

Inseriamo nelle celle i dati relativi al nostro progetto. La rigidezza traslante dei controventi presi in analisi è data dalla somma delle rigidezze di ciascun pilastro.

STEP 2     Tabella sinottica dei controventi e delle loro distanze dell’origine

Ci permette di raccogliere dati sulle rigidezze traslanti prima ottenute e sulle loro distanze rispetto al centro 0, le quali dipendono dagli interassi e dalle luci tra i pilastri. 

STEP 3 Calcolo del CENTRO DELLE MASSE:

Al fine di determinare il baricentro della struttura, occore suddividere la stessa in aree:

Dove XG e Y_G sono le coordinate del punto G, centro di massa della struttura.

A1 tot = 95 mq

A2 tot = 45 mq

A tot   = 95 + 45 = 140 mq

STEP 4  Calcolo del CENTRO DI RIGIDEZZE e delle RIGIDEZZE GLOBALI:

Calcolando la rigidezza totale delle molle, quindi la capacità dei controventi di contrastare le forze agenti in direzione perpendicolare al telaio, troviamo la rigidezza totale orizzontale e la rigidezza totale verticale. Le sommiamo rispettivamente e facciamo la media ponderata.

Il centro delle rigidezze lo troviamo calcolando, per ogni molla, il prodotto della sua rigidezza per la sua distanza dal punto 0, origine degli assi. Sommiamo rispettivamente i prodotti ottenuti e li dividiamo per la rigidezza globale, dato ora noto.

Avremo  X_CDR e  Y_CDR, coordinate del centro di rigidezza globale.

La RIGIDEZZA TORSIONALE TOTALE K  è data dalla sommatoria dei prodotti delle rigidezze traslanti di ciascun telaio per la distanza al quadrato di ognuno di essi rispetto a C, centro delle rigidezze.

STEP 5 Analisi dei carichi sismici:

Consideriamo il carico del solaio in c.a. analizzato nella precedente esercitazione. Moltiplichiamo il suo valore per il coefficiente di contemporaneità, al fine di trovare i pesi sismici. I pesi sismici vengono moltiplicati inoltre per il coefficiente di intensità sismica. In questo modo potremmo risalire al valore della forza sismica agente sui telai. Occorre chiarire che tale valore rimane aleatorio, per questo motivo il coefficiente di intensità sismica si presenta elevato.

STEP 6 e 7: Ripartizione della forza sismica lungo X e Y

La forza sismica si ripartisce nelle due direzioni. Sappiamo che sio verificherà una rotazione in quanto il centro delle rigidezze e il centro delle masse non coincidono. Il momento torcente è dal tal calcolo Forzaxbraccio, dove il braccio è paari alla differenza tra le rispettive coordinate del centro delle masse e del centro delle rigidezze.

Troviamo la traslazione orizzontale Ux dividendo la forza simica per la resistenza globale orizzontale e la traslazione verticale Uy dividendo la forza sismica per la resistenza globale verticale.

Calcoliamo la rotazione dividendo il momento torcente (su X o su y) per la rigidezza torsionale totale Kφ.

Per capire quanta forza sismica si ripartisce su ciascuna molla, occorre moltiplicare la rigidezza della molla, per la somma tra lo spostamento (u) ed il prodotto tra rotazione φ e distanza dal centro delle rigidezze.

La reazione di ciascuna molla viene calcolata semplicemente moltiplicando la resistenza della molla cui si è interessati conoscere la reazione, per la traslazione che ad essa è perpendicolare (u oppure v).

Verifichiamo che l' analisi effettuata risponda correttamente se inserita in SAP. 

Vincoliamo la struttura al terreno meidante incastro:

Selezionando tutti i nodi dell' impalcato, applicando Diaphram, conferiamo una rigidezza tale al telaio, da avere solo traslazioni.

Assegnamo la sezione ai pilastri, considerando l' orientamento degli stessi come da progetto:

Con lo stesso metodo, assegnamo la sezione alle travi, impostando un momento d' inerzia tale che venga simulato il modello di telaio shear type, infinitamente rigido:

Applichiamo la Forza sul centro di rigidezza e analizziamo:

La struttura trasla, ma non ruota.

In questa esercitazione verifichiamo, sulle tipologie di solai già analizzati nella seconda esercitazione, l’altezza della trave nel caso di uno sbalzo.

Rispetto all’esercitazione precedente di una trave doppiamente appoggiata, nel caso della trave incastrata e con un estremo libero, una mensola, il momento flettente M è uguale a ql²/2 .

Inoltre verificheremo l’altezza di trave calcolata in base alla resistenza a flessione in base alla sua deformabilità.

I parametri che inseriremo saranno:

H_d , l’altezza ingegnerizzata, arrotonda al valore di altezza trovata con il calcolo al maggiore e più vicino multiplo di 5.

Di nuovo la verifica aggiungendo il peso proprio della trave al carico q_s.

Il momento di inerzia I_x = b * h³ / 12

Lo spostamento v =  q l⁴ / 8 E I_x

La verifica alla deformabilità richiede che il rapporto tra lo spostamento e la luce sia  l / v_max > 250 , ossia l’entità dello spostamento all’estremo libero sia minore di 1/250 della lunghezza dello sbalzo.

I carichi considerati sono ripresi dall’analisi della seconda esercitazione.

SOLAIO CON TECNOLOGIA IN CALCESTRUZZO ARMATO

SOLAIO CON TECNOLOGIA IN ACCIAIO

SOLAIO CON TECNOLOGIA IN LEGNO

In conclusione vediamo come a causa della grande deformabilità delle mensole l’altezza della trave debba essere incrementata in tutti gli esempi visti.