Esercitazione

STRUTTURA RETICOLARE SIMMETRICA - Risoluzione con il metodo delle sezioni di Ritter

 

Nella struttura in analisi le aste, in quanto componenti di una struttura reticolare, saranno sottoposte a soli sforzi normali. Applichiamo il metodo delle sezioni di Ritter per calcolare tali sforzi e stabilire se essi sono di trazione o compressione.

1.      Verifica dell’isostaticità

Dobbiamo accertarci che la struttura sia isostatica, quindi verificare che il numero dei gradi di vincolo (v) della struttura sia pari al numero dei gradi di libertà (l).

 

Da verificare                                                       v = l

 

I gradi di libertàl dipendono dal tipo e dal numero dei vincoli

l = num. aste x gradi di libertà

l = 11 x 3 = 33

I gradi di vincolo v sono pari alla somma dei gradi di vincolo esterni ed interni.

v = v_e + v_i

Gradi di vincolo esterni

I vincoli esterni sono una cerniera (2 gr. di vincolo) ed un carrello (1 gr. di vincolo), perciò

v_e = 2 + 1 = 3

Gradi di vincolo interni

I gradi di vincolo di una cerniera interna sono pari a 2 (n - 1)

con n = numero dei corpi, in questo caso numero di aste concorrenti nella singola cerniera.

 

Perciò considereremo i gradi di vincolo delle diverse cerniere interne raggruppando i nodi per numero di aste in essi concorrenti.

 

n = 2     nodi A, H      2(2 – 1) = 2 gradi di vincolo

n = 3     nodi B, G      2(3 – 1) = 4 gradi di vincolo

n = 4     nodi C, E, D   2(4 – 1) = 6 gradi di vincolo

v_i tot = 30

 

perciò  v = 3 + 30 = 33 = l à La struttura è isostatica.

 

Verifica  con metodo alternativo

Considero v_e + aste = 2 x num. nodi

3 + 11 = 2 x (7)

14 = 14 -> isostaticità verificata

 

2.      Reazioni vincolari

La simmetricità della struttura e dei carichi permette di avere importanti informazioni rispetto alle reazioni vincolari:

-          Le reazioni saranno simmetriche, V_A = V_H;

-          La reazione orizzontale della cerniera (O_A) sarà nulla in quanto il vincolo simmetricamente opposto è un carrello che in quanto tale non può produrre reazione orizzontale;

-          Le reazioni verticali in A ed H si spartiranno equamente il compito di contrastare la somma delle forze applicate esterne. Saranno perciò pari a 3F/2.

 

con F = 20 avremo V_A = V_H = 3F/ 2 = 30 KN

Come illustrato in figura applicando le equazioni di equilibrio otteniamo lo stesso risultato a verifica che le supposizioni precedenti erano corrette.

1.      Azioni di contatto

Per calcolare gli sforzi ai quali le aste sono soggette applichiamo il metodo delle sezioni di Ritter.

Questo metodo opera attraverso dei “tagli” sulla struttura che devono essere operati in modo da coinvolgere una serie di aste che NON concorrono nello stesso nodo.

I tagli servono a mettere in evidenza le forze interne alla struttura.

 

Ipotizziamo i versi delle forze tutti convenzionalmente positivi (aste tutte tese) in modo che se otterremo dei risultati negativi sapremo di dover cambiare il verso ipotizzato delle forze.

 

Operiamo ad esempio il taglio 1:

La porzione di struttura che consideriamo in seguito al taglio deve essere in equilibrio quindi per calcolare i valori di N₁, N₂ ed N₃ applichiamo le equazioni di equilibrio.

 

In caso di l’equilibrio alla rotazione è opportuno scegliere come centro di rotazione di volta in volta, il nodo più “comodo”.

Ad esempio facendo centro nel nodo C otteniamo  un contributo alla rotazione di N₂ ed N₃ nullo in quanto nullo è il loro braccio rispetto al centro di rotazione scelto.

Le forze in grado di far momento sono la reazione vincolare V_A (nota), la forza esterna applicata al nodo B (nota) ed N₁ che a questo punto rimane l’unica incognita.

 

Troviamo N₁= - 40 KN , il risultato è negativo perciò contrariamente a quanto ipotizzato l’asta

BD sarà compressa e soggetta ad uno sforzo pari a 40 KN.

 

Per trovare N₃ consideriamo come centro di rotazione il nodo B così che N₂ abbia braccio nullo.

Otteniamo N₃= 30  KN perciò l’asta AC è tesa.

 

Scomponendo N₂ nelle sue componenti verticale ed orizzontale  possiamo calcolarla considerando l’equilibrio alla traslazione verticale:

Otteniamo N₂= 10√2 KN , l’asta BC è tesa.

Infatti se così non fosse non avremmo equilibrio.

 

Applichiamo il taglio 2:

Analogamente a prima scomponiamo N₄ nelle sue componenti così che grazie all’equilibrio alla traslazione orizzontale riusciamo a calcolare N₄= -30√2 KN. L’asta AB è compressa.

 

Operiamo il taglio 3:

Considerandol’equilibrio dei momenti con centro di rotazione in D calcoliamo N₅,

N₅= 50 KN,l’asta CE è tesa;

 

Tramite l’equilibrio alla traslazione verticale troviamo N₆= -10√2 KN,  CD è compressa.

Era prevedibile che N₆ sarebbe stata di compressione, in quanto mantenendo il verso ipotizzato la componente verticale di N₆ non avrebbe equilibrato la reazione della cerniera perché avrebbero avuto lo stesso verso.

 

Grazie alla simmetricità della struttura e dei carichi possiamo estendere i risultati fin ora trovati alla restante parte della struttura, quella appunto simmetrica.

Abbiamo così calcolato le sollecitazioni che interessano la struttura.

Si noti come tutti i correnti superiori siano compressi mentre quelli inferiori tesi, comportamento tipico di una struttura reticolare appoggiata.

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STRUTTURA RETICOLARE ASIMMETRICA - Risoluzione con il metodo dei nodi

1.       Verifica dell’isostaticità

Da verificare                                                       v = l

 

Gradi di libertàl

l = num. aste x gradi di libertà

l = 11 x 3 = 33

I gradi di vincolo v

v = v_e + v_i

Gradi di vincolo esterni

I vincoli esterni sono una cerniera (2 gr. di vincolo) ed un carrello (1 gr. di vincolo), perciò

v_e = 2 + 1 = 3

Gradi di vincolo interni

n = 2     nodi A, H           2(2 – 1) = 2 gradi di vincolo

n = 3     nodi B, G, D      2(3 – 1) = 4            “

n = 4     nodo E               2(4 – 1) = 6           “

n = 5     nodo C               2(5 – 1) =8            “

        v_i tot = 30

perciò  v = 3 + 30 = 33 = l -> La struttura è isostatica.

 

Verifica  con metodo alternativo

v_e + aste = 2 x num. nodi

3 + 11 = 2 x (7)

14 = 14 -> isostaticità verificata

 

2.       Reazioni vincolari

Non abbiamo informazioni in merito alla simmetricità in quanto essa non è presente nella struttura, ma possiamo comunque fare delle supposizioni:

-          a differenza del caso precedente, la reazione vincolare orizzontale della cerniera in B non sarà nulla in quanto il carrello è posto in modo che la sua reazione sia anch’essa orizzontale.

Non essendoci altre componenti orizzontali O_B ed O_G saranno uguali ed opposte.

-          L’unica forza verticale in grado di opporsi al carico è la reazione verticale della cerniera che quindi sarà presumibilmente pari a 2F con verso opposto a quello dell forze concentrate F.

Con F = 10 avremo V_B= 2F= 20 KN

Applicando le equazioni di equilibrio i valori delle reazioni vincolari e notiamo che le supposizioni precedenti erano corrette.

 

1.       Azioni di contatto

Per calcolare gli sforzi ai quali le aste sono soggette applichiamo il metodo dei nodi.

Se con il metodo delle sezioni di Ritter sfruttavamo l’equilibrio tra le sezioni della struttura e le azioni di contatto, adesso considereremo l’equilibrio ai nodi sfruttando il principio per cui ogni parte della struttura (perciò anche i nodi)  deve essere in equilibrio.

 

Analizziamo quindi l’equilibrio nodo per nodo e ricaviamo i valori dello sforzo normale che interessa le aste.

Abbiamo così calcolato le sollecitazioni che interessano la struttura per cui le aste

AB , AC, CD, GE risultano scariche;

CE è l’unica asta tesa;

Tutte le aste rimanenti sono compresse.

 

Applicando alle forze dei valori numerici abbiamo potuto svolgere un’analisi della struttura anche in SAP:

Analisi dalla quale possiamo riscontrare gli stessi risultati in termini di aste tese, scariche e compresse calcolati manualmente.

 

SAP ci permette anche di vedere la deformata della struttura:

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DIMENSIONAMENTO TRAVE

 

La trave che andiamo a progettare non è una semplice trave doppiamente appoggiata ma presenta anche uno sbalzo. Il valore del momento massimo non sarà quindi pari a ql²/8 (M. max in una trave doppiamente appoggiata) ma avrà un valore differente che bisogna calcolare.

Il momento massimo sarà quello a l/3 della trave con valore M_max = ql²/18

 

ANALISI DEI CARICHI E DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE 

Dobbiamo calcolare:

·         Carico strutturale: dipende dalla tecnologia della struttura

·         Carico accidentale: legato alla funzione.

o   Per civile abitazione (applicabile anche ad alberghi) 2KN/ mq

·         Carico permanente: dipende dagli strati che costituiscono il solaio, perciò legati alla tecnologia ma anche da elementi quali tramezzi, impianti ed intonaci applicabili alle tre tecnologie analizzate.

Considero:

o   Tramezzi 1 KN/ mq

o   Impianti 0.5 KN/mq

o   Intonaco 0.3 KN/mq

LEGNO

Carico Strutturale qs

Trave, Travetti, Tavolato =  1 KN/mq 

Ipotesi di carico del solaio ligneo per luci di dimensioni standard, supposto per il calcolo della sezione della trave.

 

Sovraccarichi permanenti qp

Pavimentazione in pietra compatta - Dati dal catalogo della ditta CITYTILE’S, prodotto COMPACT 

Spessore:      22 mm -> 0.022 m Peso al mq:  51 Kg/mq -> 0.51 KN/mq Peso al mc:   23.18 KN/mc

Massetto in malta di calce e cemento - Dati da circolare Ministeriale del 04/07/96 n.156

Spessore: 0.05 m

Peso al mq: 0.95 KN/mq

Peso al mc:        19 KN/mc

	Peso specifico (KN/mc)	Spessore (m)	Peso al mq (KN/mq)
Massetto	19	0.05	0,95
Pavimentazione	23,18	0.022	0.51

 

	Tramezzi	Impianti	Pavimentazione	Massetto	Totale
Sovraccarichi permanenti qp	1 KN/mq	0,5 KN/mq	0,51 KN/mq	0,95 KN/mq	2,96 KN/mq

 

Totale Carichi qs + qp + qa       1 KN/mq + 2,96 KN/mq + 2 KN/mq  =  5,96 KN/mq 

Carico a metro lineare q             5,96 KN/mq x interasse 4 m =  23, 84 KN/m

Calcolo del Momento massimo agente

Per una trave su due appoggi con sbalzo considero M = q x l²/18

nel caso specifico (23,84 KN/m x 8 m) / 18 =  84,8 KN x m

Ipotesi sezione della trave

Faccio riferimento ai dati reali forniti dalla ditta TECSOL produttrice di strutture in legno:

Trave in legno lamellare EUROLAM

Spessore lamelle:  40 mm

Legno: Abete Rosso

Peso specifico: 500 Kg/mc

Considerando la classe di resistenza GIL24h, inserisco fm = 24 (resistenza a trazione durante la flessione).

Il valore della tensione di progetto f_D sarà dato da

f_D= fm x K_mod/γm

Dove ym è il coefficiente di sicurezza per il legno sancito dalla normativa vigente mentre Kmod è un coefficiente moltiplicativo assegnato in funzione alla durata del carico, tiene conto che con il tempo la struttura peggiora le sue prestazioni.

Imposto una sezione di base 20 ed ottengo dal file Excel l’altezza minima indicata per la sezione, 37,82 cm.

In accordo alle dimensioni standard prodotte dall’azienda scelgo una trave di sezione 20 x 44 cm.

Calcolo dei carichi effettivi degli elementi strutturali

Trave

Area della sezione:  0,20 x 0,44 = 0,088 mq

Volume per 1 m di trave: 0,088 mq x 1 m = 0,088 mc

Peso di 1 m di trave: 0,088 mc x 500 Kg/mc =  44 kg /m à 0,44 KN/m

Porzione di trave in 1 mq : 1/interasse = 1/ 2m = 0,5 m

Peso al mq:1/ 2m x 0,44 KN/m = 0,22 KN/mq

Travetti

Interasse: 0,5 m

Luce: 4 m

Carico a metro lineare q:  5,96 KN/mq x interasse 0,5 m =  2, 98 KN/m

Sezione da tabelle TECSOL :  10 x 24 cm

Volume del travetto:  (0,10 x 0,24) mq  x  4 m =  0, 096 mc

Peso specifico:  0,096 mc x 500 Kg/mc = 48 Kg à 0,48 KN

Travetti in un 1 mq:  1/interasse = 1/ 1 m

Peso al mq:1/ 1m x 0,32 KN/m = 0,48 KN/mq

Tavolato

Spessore: 0,03 m

Peso specifico:  500 Kg/mc

Peso al mq: 0,03 m x 500 Kg/mc = 25 Kg/mq -> 0,25 KN/mq

 

Peso totale effettivo della struttura qs

(0,22 +  0,48 +  0,25) KN/ mq  =  0, 95 KN/ mq

Verifica della trave

Inserisco il qs effettivo  nel foglio di calcolo, l’altezza della trave ,calcolato il carico effettivo della struttura, è di 37,66 inferiore rispetto a quello calcolato in precedenza perciò la sezione di 20 x 44 rimane valida.

Verifica dei travetti

Per la verifica del travetto supposto in precedenza considero il qs effettivo a meno del carico della trave

(0,22 +  0,48 +  0,25) KN/ mq  =  0, 73 KN/ mq

ed un momento M = q x l²/8, in quanto esso si comporta come una trave doppiamente appoggiata.

Dalla tabella di calcolo ottengo un altezza del travetto inferiore ai 24 cm ipotizzati in precedenza, la sezione 10 x 24 risulta verificata.

ACCIAIO

Carico Strutturale qs

Soletta in cls

Lamiera grecata

Travetti    

2 KN/mq       Ipotesi di carico del solaio in acciaio per luci di dimensioni standard, supposto per il calcolo della sezione della trave.

                       

Suppongo di usare lo stesso tipo di pavimentazione e massetto considerati nel dimensionamento della struttura in legno,  considero stavolta anche un controsoffitto

Controsoffitto

Spessore: 0,015 m

Peso al mq: 0,3 KN/mq

Peso al mc: 20 KN/mc

 

Sovraccarichi permanenti qp

Tramezzi	Impianti	Pavimentazione	Massetto	Controsoffitto	Totale
1 KN/mq	0,5 KN/mq	0,51 KN/mq	0,95 KN/mq	0,3 KN/mq	3,26 KN/mq

Totale Carichi qs + qp + qa       2KN/mq + 3,26 KN/mq + 2 KN/mq=  7,26 KN/mq

Carico a metro lineare q = (qs+qp+qa) x i = 7,26 KN/mq x interasse 4 m =  29,04 KN/m

Calcolo del Momento massimo agente

  per una trave doppiamente appoggiata con sbalzo M = ql²/18

  nel caso specifico (27,04 KN/m x 8 m) / 18 =  103,25 KN x m                     

Tensione di progetto fD

f_D =fy,k/1,15= 235 (N/mmq) /1,15 = 204,35 N/mmq

Modulo di resistenza W_x = M/ fD

W_x = (103,25 KN x m / 204,35 N/mmq) x 1000 = 505,28 cm³

Trovato W_x, modulo di resistenza a flessione della  trave . Consulto i valori tabellati per profilati metallici IPE alla ricerca di un W_x, che approssimi per eccesso quello appena calcolato.

Nonostante il profilato 300 abbia un W_x maggiore di quello calcolato in precedenza scelgo un profilato IPE 330 con W_x = 713,1 cm³, per aver un margine di sicurezza superiore.

Calcolo dei carichi effettivi degli elementi strutturali

Trave 

Porzione di trave in un 1 mq:  1/interasse = 1/ 4m = 0,25 m

Peso della trave (da tabella):  49,1 Kg/m -> 0,49 KN/m

Peso al mq:1/ 4m x 0,49 KN/m = 0,12 KN/mq

Travetti

Interasse: 1 m

Luce: 4 m

Carico a metro lineare q = (qs+qp+qa) x i

7,89 KN/mq x 1 m =  7,89 KN/m

Modulo di resistenza W_x = M/ fD

W_x = (7,26 KN x m / 204,35 N/mmq) x 1000 = 71,06 cm³

Come nel caso del legno per i travetti ho considerato M = ql²/8.

Dai valori nella tabella sopra, scelgo per i travetti il profilato IPE 140   con W_x = 77,32 cm³

e peso = 0,13 KN/m

Peso specifico travetti al mq              1/ 1m x 0,13 KN/m = 0,13 KN/mq

Soletta con lamiera grecata e getto di completamento in cls

Consideriamo la lamiera A75/p570

Peso totale della soletta al mq (da valori tabellati*)         2,50 KN/mq

*“Solai con lamiera grecata” estratto da Luca Strata,  Prontuario dell'Ingegnere

Peso totale effettivo della struttura qs

(0,12 + 0,13 + 2,50) KN/mq = 2,75 KN/mq

Verifica della trave

 

Ottengo un W_x = 557,48 cm³ , inferiore a quello del profilato IPE 330 ipotizzato per la trave,  che risulta perciò verificato.

Verifica dei travetti

Per la verifica del travetto non considero il peso proprio della trave

(0,12 + 0,13 + 2,50) KN/mq = 2,63 KN/mq

Dalla tabella di calcolo ottengo un W_x = 77, 22 cm³ valore appena inferiore a quello del profilato IPE 140 scelto. In questo caso quindi sarebbe stato più opportuno scegliere il profilato IPE 160 con W_x = 108,7 cm³.

Nell’ipotesi di adottare il profilato IPE 160 per i travetti avremmo un incremento del peso dei travetti stessi.

Avremmo quindi:

Peso dei travetti al mq: 1/ 1m x 0,16 KN/m = 0,16 KN/mq

Peso totale effettivo della struttura qs:  (0,12 + 0,16 + 2,50) KN/mq = 2,78 KN/mq

Di conseguenza per la sezione un W_x = 559, 57 cm³ < W_x IPE 330

La trave con profilato IPE 330 resisterebbe quindi anche ad un maggior peso da parte dei travetti.

 

CEMENTO ARMATO

Carico Strutturale qs

Soletta collaborante

Pignatte

Travetti

Trave

3  KN/mq       Ipotesi di carico del solaio in acciaio per luci di dimensioni standard,  supposto per il calcolo   della  sezione della trave.                          

Sovraccarichi permanenti qp

Tramezzi	Impianti	Pavimentazione	Massetto	Intonaco	Totale
1 KN/mq	0,5 KN/mq	0,51 KN/mq	0,95 KN/mq	0,3 KN/mq	3,26 KN/mq

Totale Carichi qs + qp + qa       3KN/mq + 3,26 KN/mq + 2 KN/mq=  8,26 KN/mq

Carico a metro lineare q = (qs+qp+qa) x i = 8,26 KN/mq x interasse 4 m =  33, 04 KN/m

Calcolo del Momento massimo agente

  per una trave su due appoggi con sbalzo M = q x l^2/18

  nel caso specifico (33,04 KN/m x 8 m) / 18 =  117,48 KN x m

 

Tensioni di progetto di acciaio e calcestruzzo

L’acciaio impiegato come armatura nel cls appartiene alle classi B450A o B450C. Per entrambe il valore massimo della tensione è fy = 450 Mpa ed il valore di rottura è fissato a 540 Mpa ma i due tipi si differenziano in quanto il secondo presenta un allungamento a rottura maggiore ( ε =7 % per B450C mentre  ε = 3 % per B450A) . In zona sismica deve essere obbligatoriamente impiegato l’acciaio B450C in quanto duttile e di conseguenza più affidabile.

Per il progetto della trave scelgo un acciaio B450C (fy = 450 Mpa e limite d rottura a 540 Mpa).

Per calcolare il valore di progetto della tensione per l’acciaio di armatura dovrò dividere il valore della tensione massima fy per un coefficiente di sicurezza y_m = 1,15 ( differente dal  y_m = 1,05 impiegato per l’acciaio da carpenteria).

Ottengo quindi fd_f = fy/ y_m = (450 N/mm²) / 1,15 = 391,30 N/mm²

                                              

Per il calcestruzzo scelgo un calcestruzzo ordinariodi classe C40/50 con fck = 40 N/mm²

Il valore di progetto della tensione per il calcestruzzo sarà pari al valore di resistenza cilinfìdrica fck  diviso il coefficiente di sicurezza y_m = 1,75.

Ottengo quindi fd_c = fck/ y_m = (40 N/mm²) / 1,15 = 22,86 N/mm²

Dimensionamento della sezione

L’altezza della sezione H è la somma dell’altezza utile (hu),  con la distanza (δ)  tra il centro dell’armatura ed il lembo inferiore della sezione. L’altezza utile hu indica la distanza tra il lembo compresso della sezione in c.a. e l'armatura tesa. Consideriamo una sezione di base b = 25 cm con δ = 5 cm e calcoliamo l’altezza  utile hu. hu = r √(M/ fD_c x b) = 32,29 cm con r = 2,25 Troviamo l’altezza totale della sezione H = hu + δ = 32,29 cm + 5 cm = 37, 29 cm

Considero una sezione di 25 cm x 45 cm.

Una volta dimensionata la sezione della trave possiamo calcolarne il carico strutturale effettivo sostituendolo al qs standard di 3 KN considerato in principio.

Calcolo dei carichi effettivi degli elementi strutturali

Trave

Area della sezione:  (0,25 x 0,45) m = 0,11 mq

Peso: 2,81 KN/m

Porzione di trave in un 1 mq:  1/interasse = 1/ 4m

Peso specifico in 1 mq: 1/ 4m x 0,11 KN/m = 0,028 KN/mq

Pignatte

Dati da Sarda Laterizi spa.

Area pignatta: (0,16 x 0,38) m = 0,06 mq

In un mq di solaio ci sono 8 pignatte.

Peso al mq: 8 x (8,3 Kg) = 66,4 Kg = 0,66  KN/mq

 

Travetti

Area del travetto: 0,10 x 0,16 = 0,016 mq

Volume del travetto:  (0,10 x 0,16) mq  x 1m =  0, 016 mc

Peso specifico del cls 25 KN/mc

Peso specifico dei travetti in 1m : 0,016 mc x 25 KN/mc  = 0,4  KN/m

Travetti in un 1 mq:  1/0,48 m

Peso specifico in 1 mq:  1/ 0,48 m x 0,4 KN/m = 0,83 KN/mq

 

Soletta

Spessore della soletta 0,04 m

Peso al mq  0,04 m x 25 KN/mc = 1 KN/mq

 

Peso totale effettivo della struttura qs

(0,028+  0,66 +  0,4 + 1) KN/ mq  =  2 KN/ mq

Inserisco il qs trovato nel foglio di calcolo: l’altezza della trave, calcolato il carico effettivo della struttura, è di 35,27 cm perciò la sezione di 25 x 45 cm ipotizzata in precedentemente rimane valida.

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PROGETTO DELLE ASTE DI UNA TRAVATURA RETICOLARE SPAZIALE IN ACCIAIO

Disegniamo in Autocad la travatura reticolare tridimensionale per poi esportarla in SAP ed effettuarne l’analisi.

Disegno della struttura – Autocad

Il layer 0 di Autocad non viene riconosciuto da SAP perciò innanzitutto creiamo un nuovo layer su cui disegneremo la struttura.

La strutture reticolare che andremo ad analizzare ha matrice cubica,  dobbiamo immaginarla come una composizione di 6 x 4  cubi di cui le aste costituiscono gli spigoli e le diagonali di ciascuna faccia.

1. Partiamo dal disegno in piano del singolo modulo a “C” che ci permetterà di disegnare l’intera struttura. È importante creare tale matrice in modo che copiandola non ci siano aste sovrapposte che ne impedirebbero in seguito l’analisi. La struttura ha un modulo quadrato di lato 2 di conseguenza la lunghezza della aste oblique sarà 2√2.

2.  Replichiamo la matrice con il comando copia in serie (array) e chiudiamo l’ultima campata in modo da ottenere un prospetto di 4 moduli.

3.  Passiamo alla visualizzazione 3D e ribaltiamo il modulo lineare ottenuto sul piano z-x

4.  Ricopiamo il modulo a C lungo l’asse y ed aggiungiamo le diagonali alla base inferiore e superiore della seconda fila di “cubi”,  con copia in serie completiamo la seconda campata.

5.  Ottenuta questa nuova matrice la copiamo ancora una volta con Array, facendone 6 copie. Il comando Array crea la copia lungo l’asse x perciò sarà necessario prima della copia cambiare l’ucs.

6.  Chiudiamo l’ultima campata, selezioniamo l’intera struttura e tramite il comando esplodi esplodiamo eventuali blocchi o polilinee che impedirebbero la lettura in SAP

7.   Salviamo il file in .dxf nella versione di autocad 2000 per evitare problemi di incompatibilità.

Analisi della struttura – SAP 2000

Con Autocad abbiamo disegnato il modello 3D della struttura, in SAP aggiungeremo le informazioni relative a materiale, carichi e vincoli.

1. Importiamo il file .dxf creato in Autocad:  come Import Information  selezionare l’unità di misura  e gli assi di riferimento in uso; nella finestra DXF Import selezionare dal menù a tendina alla voce frames il layer su cui abbiamo disegnato la struttura.
2. Assegniamo i vincoli esterni alla struttura: 4 cerniere nei quattro angoli dove ipotizziamo essere degli appoggi;

3.  Definiamo il materiale –acciaio- e la sezione degli elementi –tubolare (pipe);

4.  Assegniamo i vincoli interni: in una struttura reticolare le aste sono connesse tra loro da cerniere interne, perciò selezioniamo tutte le aste e rilasciamo i momenti alle estremità (nella direzione 22 e 33 perché stiamo lavorando con un modello tridimensionale);

5.   Definiamo e successivamente assegniamo i carichi sui nodi. In questo caso avremo per ciascun nodo superiore una forza concentrata gravitazionale di 40 KN.

 

6.  Prima di lanciare l’analisi spuntiamo l’opzione che ci permette di visualizzare una numerazione delle  aste in modo da renderle riconoscibili nell’analisi successiva;

7.  Lanciamo l’analisi.

8.  Apriamo le tabelle relative all’analisi:

la tabella ci mostra i risultati per ogni singola asta. Per ciascuna sono presenti 3 valori, SAP mostra infatti il valore delle sollecitazioni alle due estremità e nel punto medio ( ad esempio per un’asta di 2 metri avremo in tabella i valori a 0 estremo iniziale, 1 mezzeria, 2 estremo finale)

Come previsto i contributi di taglio V e momento M sono nulli, mentre compaiono i valori dello sforzo normale N.

Per il progetto delle aste dobbiamo individuare i valori massimo di N per le aste tese e per quelle compresse, differenziando tra queste le aste rette (lunghezza 2 m) e le aste diagonali (lunghezza 2√2 m).

Per una più rapida (e comoda) lettura della tabella la esportiamo in Excel in modo da poter ordinare i valori in ordine crescente.

La lunghezza delle aste si riconosce dalla seconda colonna (STATION) in cui, come già detto sopra, vengono mostrati i valori alle estremità ed in mezzeria. Avremo che le aste con station 0-1-2 saranno quelle rette di 2 m, mentre le aste 0-1,41-2,83 saranno quelle diagonali.

Ricordando la convenzione per cui uno sforzo normale di trazione ha segno positivo mentre uno di compressione ha segno negativo, individuiamo i valori massimo necessari al progetto delle aste.

Trovato il valore massimo di N possiamo proseguire con il progetto e la verifica della sezione.

Progetto e verifica delle aste

La struttura reticolare in acciaio è formata da una serie di aste che sono soggette a solo sforzo normale, come risulta anche dall’analisi in SAP.

Tenendo conto che la struttura  è  in acciaio dobbiamo ricordare che,  nonostante per questo materiale il valore di resistenza a  trazione sia uguale a quello a compressione,  gli elementi tesi e quelli compressi non si comportano allo stesso modo.

Le aste della struttura sono elementi snelli, ovvero elementi in cui risulta elevato il rapporto h/l,  tra l’altezza dell’elemento h e la sua larghezza l. In quanto snelle le aste soggette a compressione possono essere interessate dal fenomeno di instabilità euleriana.

L’instabilità euleriana è il fenomeno fisico che tiene conto che un elemento eccessivamente snello soggetto ad un carico di punta può sbandare.

Per la verifica dell’asta bisogna quindi calcolare il valore del carico critico euleriano P_crit, quindi considerando P il valore massimo dello sforzo normale,  

se  P ≥ P_crit l’asta risulterà instabile;

se  P ≤ P_crit l’asta risulterà stabile.

Il carico critico euleriano è

P_crit = π² x E x J_min / l₀²

Con E = modulo elastico a compressione  del  materiale considerato

J_min = momento d’inerzia minore della sezione

l₀ = lunghezza libera di inflessione

Tiene conto delle caratteristiche del materiale (E) e della sezione (J_min) ma anche della qualità dei  vincoli che agiscono sull’elemento in analisi.

L’asta di una travatura reticolare ha come vincolo le due cerniere interne poste alle sue estremità, queste fanno si che il momento agli estremi dell’asta sia nullo, perciò l’asta si comporta come nel caso

in cui l₀ = l

Essendo la lunghezza libera di inflessione strettamente legata alla lunghezza l dell’asta, le aste di diversa lunghezza avranno quindi un diverso P_crit , andranno perciò progettate e verificate separatamente.

Come abbiamo già visto le aste della nostra struttura reticolare sono di due lunghezze, la minore relativa alle aste verticali ed orizzontali, la maggiore relativa alle aste oblique.

Per questo nelle tabelle generate da SAP dovremmo individuare:

-  N massimo di compressione per le aste minori;

-  N massimo di compressione per le aste maggiori;

-  N massimo per le aste tese.

Per quanto riguarda le aste tese la differenza di lunghezza tra le aste è indifferente, in quanto la lunghezza della trave non ne influenza il progetto. Per queste aste dovremmo effettuare la verifica a rigidezza del materiale.

La sezione delle aste  viene scelta in base allo sforzo N massimo che agisce su essa perciò una volta calcolata l’area della sezione A = N/fD approssimeremo questo valore per eccesso scegliendo tra i profili tabellati.  Eseguiremo quindi la verifica all’instabilità per i puntoni soggetti a N maggiore e la verifica a rigidezza per il tirante più sollecitato.

Per la verifica a rigidezza (tiranti), affinché l’asta sia verificata la tensione σ dovrà essere minore del valore della tensione di progetto fD

σ = N/A ≤ fD

N = sforzo normale massimo calcolato dall’analisi

A = sezione scelta

fD = fyk/γ = tensione di progetto, calcolata come il rapporto tra fyk – tensione di snervamento per la classe di resistenza scelta – e  γ, coefficiente di sicurezza per l’acciaio da carpenteria (pari a 1,05).

Asta tesa

L’asta tesa maggiormente sollecitata (asta 128) è soggetta ad uno sforzo normale di 258,934 KN.

Consideriamo le classi di resistenza per l’acciaio da carpenteria Fe 360 S235, Fe 430 S275, Fe 510 S355 e definiamo la sezione del tirante per ciascuna delle tre classi.

La sezione A = N/ fD perciò calcoliamo fD= fyk/y con y =1,05 ed fyk che varia a seconda della classe di resistenza:

Nella colonna A minima è riportato il valore dell’area minima della sezione, mentre in A l’area delle sezioni desunta dai valori tabellati per tubolari che approssimano per eccesso il valore dell’area minima calcolato.

Calcoliamo il valore della tensione σ = N/A inserendo come A i valori delle sezioni scelte. Per tutte e tre le classi di resistenza i tiranti risultano come previsto verificati in quanto σ  ≤ fD.

Asta compressa lineare (2 m)

Progetto

L’asta compressa maggiormente sollecitata,  tra quelle più corte (asta 103) è soggetta ad uno sforzo normale di 296,771 KN ( in tabella il valore è negativo in quanto di compressione).

Come per il tirante, consideriamo le classi di resistenza dell’acciaio Fe 360 S235, Fe 430 S275, Fe 510 S355 e quindi considerando il valore fD calcolato in precedenza troveremo l’area minima della sezione come A = N/ fD

 in A sono riportate le aree per le sezioni scelte dai valori tabellati per tubi in acciaio a sezione circolare

Verifica all’instabilità

Dobbiamo calcolare il carico critico euleriano P_crit = π² x E x J_min / l₀²

Conosciamo la lunghezza libera di inflessione in quanto la nostra situazione ricade nel caso in cui l₀ = l per cui avremo l₀ = 2 m = 2000 mm;

Il momento d’inerzia minore della sezione J_min si desume dai valori tabellati;

Il  modulo elastico E  dipende dalla classe di resistenza del materiale scelta.

Continuiamo con un’analisi in parallelo per  tre classi di resistenza, per cui:

Per Fe 360 S235, E = 190000N/mmq;

Per Fe 430 S275, E = 200000N/mmq;

Per Fe 510 S355 E,  = 210000N/mmq

Per il calcolo del P critico impiego una tabella excel:

Avendo scelto di convertire le lunghezze nell’ordine dei mm ottengo Pcrit in N

[(N/mmq x mm4) / mmq ] = [N]

con un ulteriore conversione riporto il valore in KN in modo da poterlo confrontare con il valore di P.

Affinchè le aste siano verificate dobbiamo avere che P ≤ P_crit

Essendo P = 296,771 KN le aste progettate sono tutte e 3 stabili.

 

Asta compressa diagonale (2√2 m)

Progetto

L’asta compressa maggiormente sollecitata,  tra quelle più lunghe (asta 255) è soggetta ad uno sforzo normale di 307,254 KN ( in tabella il valore è negativo in quanto di compressione).

La diversa lunghezza dell’asta non influenza il calcolo della sezione, perciò rimangono validi i valori calcolati sopra per l’asta compressa più corta.

Verifica all’instabilità

La lunghezza maggiore implica invece una variazione del carico critico euleriano, dove la lunghezza gioca una ruolo principale, perciò con l = 2,82 m avremo l₀= 2820 mm e di conseguenza:

 

Affinchè le aste siano verificate dobbiamo avere che P ≤ P_crit

Essendo P = 307,254 KN, l’asta progettata con classe di resistenza maggiore risulta instabile in quanto

307,254 KN >  228,86 KN.

Dall’analisi in parallelo delle stesse asse progettate con diversa classe di resistenza si nota quanto la dimensione della sezione influisca in termini di instabilità: dalla fase di progetto è evidente che impiegando una classe di resistenza maggiore si ottiene un’asta di sezione minore, di conseguenza si avrà un J minore e questa stessa asta sarà soggetta ad un carico critico euleriano molto inferiore rispetto alle altre. L’asta  risulterà, tra quelle analizzate, potenzialmente la meno stabile.

Infatti se per l’asta di lunghezza 2 m anche quella con classe di resistenza massima risultava verificata, aumentando la lunghezza a 2,82 m vediamo che questa stessa asta risulta instabile.

Per la classe di resistenza Fe 510 S355 sarà opportuno impiegare una sezione maggiore.

Neanche la sezione subito successiva risulta verificata, perciò affinchè l’asta risulti stabile dovremmo adottare la medesima sezione già scelta per la classe di resistenza Fe 430 S275, ovviamente seppure la sezione è la stessa il valore di P crit cambia in quanto per le due classi di resistenza varia E.

Otteniamo con questa nuova sezione P crit = 499,9 perciò P < Pcrit, l’asta è verificata.

 

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RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE

Il telaio oggetto dell’esercitazione  presenta 8 controventi, rispettivamente 4 verticali e 4 orizzontali.

Ipotizziamo una struttura in c.a. con pilastri di sezione rettangolare di (30x 40) cm.

Ix = bh³/12 = 90000 cm⁴

Iy = hb³/12 = 160000 cm⁴

 

La disposizione dei pilastri in pianta non è casuale, ma tiene  conto del carico verticale proveniente dal solaio.

Le travi che portano il solaio saranno soggette ad un inflessione maggiore rispetto alle altre, perciò i pilastri di sezione rettangolare, come quelli ipotizzati, vengono disposti in modo che il momento di Inerzia maggiore della sezione agisca nella direzione più sollecitata.

In caso di pilastri d’angolo (come il pilastro 11), in cui confluiscono cioè due travi, la direzione più sollecitata sarà quella della trave più lunga che (nell’esempio trave 12-11), in quanto tale, subirà un’inflessione maggiore rispetto alla trave più corta (11-10).

STEP 1 - calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

Tutti i controventi sono ipotizzati Shear-type, la loro rigidezza sarà perciò pari a:

Kt= 12 x E x  J_tot /h³

Con

E = modulo di Young,  per il c.a. E = 21000 N/mmq

h = altezza del telaio, scegliamo h = 3,20 m

J_tot = momento di inerzia totale, pari cioè alla somma dei momenti di inerzia dei singoli pilastri.

Bisogna infatti tenere conto che in un singolo telaio possiamo avere pilastri con diversi momenti d’inerzia. 

Come conseguenza della disposizione dei pilastri in pianta (che come abbiamo visto tiene conto dei carichi verticali), in un singolo telaio si possono avere pilastri disposti in maniera diversa, quindi data la sezione rettangolare dei pilastri, una volta che il telaio sarà soggetto alla forza sismica orizzontale, i momenti di inerzia reagenti saranno differenti.

 

Ad esempio nel telaio 2-11-10-9 l’inflessione dei pilastri 2-11 avverrà intorno all’asse parallelo al lato maggiore. Perciò il J reagente sarà quello intorno a tale asse pari a Jx= b x h3 /12 = (40 x (30)3 ) cm/12 = 90000 cm4 L’inflessione dei pilastri 10-9 avverà invece intorno all’asse parallelo al lato minore della sezione, con Jx = b x h3 /12 = (30 x (40)3 ) cm/12 = 160000 cm4

Inserendo nel foglio excel i dati relativi a ciascun telaio, ne calcoliamo la rigidezza:

khjhlhlhjlh

Step 2: tabella sinottica controventi e distanze

La tabella riporta le rigidezze di ogni singolo telaio e le relative distanze calcolate dal punto O, origine del sistema di riferimento impiegato.

Step 3: calcolo del centro di massa

Calcoliamo le coordinate X_G,Y_G del centro di massa.

Il nostri impalcato è un’area a T che possiamo agevolmente suddividere in due aree rettangolari di cui conosciamo le coordinate dei  centri di massa (X_G1,Y_G1 ; X_G2,Y_G2)

Inseriamo tali coordinate nel file excel e otteniamo la posizione del centro di massa G dell’impalcato.

Note le coordinate dei centri di massa delle aree minori,  X_G,Y_G vengono calcolate in questo modo:

X_G =( A₁ x X_G1+ A₂ x X_G2) / (A₁+ A₂)

Y_G  =( A₁ x Y_G1+ A₂ x Y_G2) / (A₁+ A₂)

Come si vede dalla tabella otteniamo           X_G = 10,5 m                 Y_G  = 10,76 m

Step 4: calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Sommando le rigidezze dei singoli telai riportate nella tabella allo step 2 otteniamo le rigidezze totali

K_x tot =  rigidezza totale orizzontale 

K_y tot = rigidezza totale verticale

Possiamo quindi calcolare le coordinate del centro delle rigidezze C, ovvero del centro di rotazione situato sull’asse delle rigidezze. Sotto l’azione della forza sismica, se essa non agisce lungo l’asse delle rigidezze, l’impalcato tenderà a ruotare intorno a C.

X_c = (K_y1 x d_y1 + Ky2 x d_y2+ K_y3 x d_y3 + K_y4 x d_y4 )/ (K_x tot)

Y_c = (K_x1 x d_x1 + Kx2 x d_x2+ K_y3 x d_x3 + K_y4 x d_x4 )/ (K_y tot)

I telai dovranno perciò contrastare anche la rotazione, per questo sviluppano una rigidezza torsionale.

La rigidezza torsionale totale, note le distanze dei telai (dd_xn , dd_yn) da C , può essere calcolata come

K_ϕ= Ʃ_i k_i dd_i²

Step 5: analisi dei carichi sismici

La forza sismica è una forza d’inerzia dovuta allo scuotimento del suolo.

In quanto tale essa è il prodotto di una massa per una accelerazione:

F = m x a

Dove la massa m è la massa della struttura ed  a è l’accelerazione di trascinamento proveniente dal basso (dal suolo).  a è l’accelerazione massima che acquista la struttura quando il terreno è scosso; in una struttura molto rigida la a della struttura sarà pari a quella del suolo mentre in una struttura flessibile la a sarà solo una porzione di quella del suolo.

Dalla normativa a viene considerata come una frazione dell’accelerazione gravitazionale g per cui

a = c x g con c < 1 coeff. di instabilità sismica

Possiamo quindi notare che

F = m x a = m x c x g = c x (m x g)

Dove (m x g) è proprio il peso W della struttura, perciò avremo

F = c x W

Per calcolare il peso della struttura dobbiamo considerare il peso strutturale (q_s) , i sovraccarichi permanenti  (q_p) ed i sovraccarichi accidentali (q_a).

Determiniamo il carico totale permanente G come

G = (q_s + q_p) x Area _tot dell’impalcato

Ed il carico totale accidentale Q come

Q = (q_a) x Area _tot dell’impalcato

Il peso W della struttura sarà perciò pari a

W = G + y Q

con Q diminuito di un coeff. di partecipazione y.

Trovato W, possiamo finalmente calcolare la forza sismica  F = c x W , il cui valore è riportato in tabella.

 

Step 6 e Step 7: ripartizione forza sismica lungo due direzioni ortogonali

La direzione del sisma non è prevedibile perciò simuliamo e verifichiamo la struttura in due direzioni ortogonali, come richiesto dalla normativa.

Abbiamo calcolato il valore delle rigidezze traslanti dei telai (Step 1-2) che si oppongono alla traslazione dell’impalcato, ed il valore della rigidezze torsionali (Step 4) che si oppongono alla rotazione dell’impalcato.

Come accennato sopra, l’impalcato soggetto alla forza sismica può essere oggetto non solo di una traslazione ma anche di una rotazione.

La rotazione può verificarsi se i controventi non hanno tutte le stesse rigidezze o se la forza non agisce lungo l’asse delle rigidezze.

La forza sismica si considera applicata lungo l’asse del centro di massa G, perciò se G non è allineato con il centro delle rigidezze C  (come nella maggior parte dei casi) si creerà un momento torcente M:

M = F x b

Dove b sarà il braccio della forza ovvero la differenza delle coordinate dei due punti G, come punto di applicazione della forza sismica F e C come centro di rotazione in quanto centro delle rigidezze.

Vedremo infatti che nel nostro caso si verifica una rotazione dell’impalcato se la forza sismica è applicata lungo x, mentre per  F lungo y non si ha rotazione in quanto C e G sono allineati e perciò il braccio della forza risulta nullo.

Nelle tabelle seguenti sono stati calcolati il valore del momento torcente M, della traslazione u verticale o orizzontale e della rotazione ϕ.

 

 

La traslazione u₀ si calcola come u₀ = F/ K_{0 tot}

La rotazione ϕ₀ sarà uguale a  ϕ₀ = M/ K_{ϕ tot}

Inoltre viene calcolato come la forza sismica si ripartisce nei singoli controventi.

Ognuno dei controventi orizzontali avrà una reazione pari a

R_i^O= K_i^O x (u_i+ ϕd_i^O) 

Ognuno dei controventi verticali avrà una reazione pari a

R_i^v= K_i^v x (u_i+ ϕd_i^v)

 

RIPARTIZIONI DELLE FORZE SISMICHE

 

La struttura asimmetrica presenta 7 controventi, 4 lungo l’asse y e 3 lungo l’asse x; essendo una struttura iperstatica potremmo calcolarlo attraverso il metodo delle forze, ma avendo più di tre controventi le equazioni di vincolo non ci bastano più…e quindi utilizziamo il metodo delle ripartizioni delle forze sismiche (verticali e/o orizzontali).

Nel modello vediamo delle molle, in corrispondenza dei controventi, che nascono per effetto delle deformazioni e sono delle forze elastiche : F= Kδ dove K è la rigidezza della molla...Ipotizziamo di utilizzare come materiale il Cls armato che ha come modulo di Young = 21000,00 N/mmq.

 Il calcolo dei momenti di inerzia dei pilastri cambierà in base alla sua disposizione sul controvento preso in esame…

Impalcato preso in esame con disposizione dei pilastri e le relative distanze dal centro di origine degli assi "O"

 Step 1 : calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio 

CONTROVENTO 1-5-9

CONTROVENTO 2-6-10

CONTROVENTO 3-7-11

CONTROVENTO

CONTROVENTO 1-2-3-4

CONTROVENTO 5-6-7-8

CONTROVENTO 9-10-11

 

inseriamo tutte le rigidezze traslanti totali di ogni controtelaio, calcolati in precedenza (step 1),ed inseriamo la distanze dei controventi dal centro di origine degli assi “O”

 

 

Dividiamo l’impalcato in due rettangoli e calcoliamo le rispettive aree (A1, A2) ed i loro centri geometrici...

inseriamo i dati precedentemente trovati e ricaviamo così oltre all’area dell’impalcato anche i centri di massa…

 

automaticamente abbiamo le coordinate il centro delle rigidezze x_c ed y_c ricavate dal rapporto tra, la somma dei prodotti delle rigidezze traslanti  con le rispettive distanze dall’origine, e la rigidezza totale....

 

Ipotizziamo i sovraccarichi per una struttura in cls armato (qs, qp, qa), destinata all’uso di una biblioteca…

 

 

Reticolare spaziale (06/05/12)

iniziamo col  disegnare le aste di lunghezza 2m, digitando come punto iniziale 0,0,0 

con il comando polilinea disegno delle aste aperta in modo tale che poi utilizzando il comando array non si sovrappongano gli elementi uguali

 

selezioniamo l’elemento disegnato e con il comando array, impostando i valori della serie rettangolare con 1 riga e 4 colonne poste ad una distanza di 2m, avremo la prima serie di elementi e poi chiudiamo la serie con un’asta verticale

 

vado sulla finestra a tendina “view”, poi su “3D view” e digito il comando “ruota 3D” per ruotare la figura in verticale, indicando l’asse x come asse di rotazione e ruoto di 90°

cambio l’UCS così da disegnare le altre aste sul piano yz, poi utilizzo nuovamente il comando array e chiudo l’ultimo elemento con una polilinea

 

utilizzo ancora una volta il comando array per duplicarmi il modulo sull'asse x, lungo l’asse y andando a impostare 1 riga e 6colonne, otterremo così la struttura reticolare spaziale. in fine salviamo il file in Dxf....

 

Nell’importazione del file Dxf di autocad, dopo aver assegnato la giusta unità di misura, dobbiamo assegnare le aste solo al Layer “Frame”.

Così ci aprirà il file ed avremo la struttura in SAP 2000....

 

Adesso ruotando la struttura con il comando “ruota 3d” selezioniamo i 4 vertici di base della struttura dove andremo ad assegnargli i vincoli. Quindi poi andiamo su Assign -> Joints -> Restrains e selezioniamo il carrello….

 

Ora selezioniamo tutta la struttura e gli assegniamo Assign -> Frame -> Releases/Partial Fixity e Impongo che i momenti siano nulli alla fine e all’ inizio delle aste…

 

Dobbiamo definire il materiale della struttura e la sua sezione, quindi andiamo su Define -> Materials -> Add New Material scelgo l’ acciaio...

 

per la sezione vado su Define -> Section Properties -> Frame Sections -> Add New Propery-> Pipe e definisco le dimensioni della sezione

 

Successivamente creiamo il carico che graverà sulla struttura lo chiamo “carico conc” e impongo che il peso proprio della struttura sia “0”… quindi  Define -> Load Patterns ->Add New Load Pattern…

 

Adesso dalla vista 3d passiamo a quella 2d precisamente su “set xy view” e selezioniamo “set display option (Ctrl+E)” e ci apparirà una finestra con varie opzioni… dobbiamo levare l’opzione di invisibilità sotto la colonna Joint, mentre sotto la colonna Frames/Cables/Tendons  spunto la voce Frames Not in View .Ora andiamo su View -> Set 2D view e scrivo 2 alla voce z….mi riposiziono con la vista “xy” e Seleziono i nodi e uso i comandi Assign -> Joint Loads -> Forces, seleziono il carico creato precendemente "carico conc" e alla voce Force GlobalZ gli do un valore di -40 KN…

 

Ritorno sulla vista in 3d e faccio partire l’analisi selezionando il tasto ”Run Analysis” solo per il “carico conc” senza considerare i carichi nominati DEAD e MODAL…

Avremo i risultati di:

 Deformazione della struttura

 

Le forze assiali

 

Le reazioni delle forze.

Dimensionamento Trave con foglio Excel (26/04/12)

Qs: peso proprio del solaio

Tipi di solaio presi in esame

Solaio in acciaio: = 2,00 KN/mq

Solaio in legno: = 2,00 KN/mq

Solaio in cls: = 2,50 KN/mq

(I valori indicativi trovati facendo una media dei dati forniti dalle case produttrici)

Qp: sovraccarico permanente           (Stessa tecnologia per i tre tipi di solaio)                            

1. Pavimento: 20 KN/mc x 0,02 m = 0,40 KN/mq
2. Massetto: 14 KN/mc x 0,05 m = 0,70 KN/mq
3. Soletta armata: 25 KN/mc x 0,04 m = 1 KN/mq

Incidenza tramezzi: 1,5 KN/mq

Incidenza impianti: 0,5 KN/mq

Totale Qp = 4,1 KN/mq

Qa: sovraccarico accidentale            Civile abitazione = 2 KN/mq

Solaio in Latero-Cemento:

• Qp: Intonaco sull’intradosso: 19 KN/mc x 0,01 m = 0,19 KN/mq
• Qs: altezza: 16+4; interasse nervature 60 cm; larghezza nervature: 12 cm

Solaio laterocemento avente travetti posti ad interasse 60 costituiti da traliccio elettrosaldato inseriti in cotto e confezionato in calcestruzzo; ciò consente di alleggerire il solaio con il riempimento in cls. Acciaio utilizzato classe B 450 C ad alta duttilità con fy = 450 MPa o N/mm² ed un Cls di classe C 32/40 con resistenza cubica Rck = 32 N/mm ² e Resistenza cilindrica a compressione fck = 40 N/mm ²

Trave b*h = 30 x 30 cm

Totale Qp :  4,1 KN/mq + 0,19 KN/mq = 4,29 KN/mq

TotaleQs:  2,50 KN/mq

Dimensionamento trave:

Dalla verifica ottengo una trave in cls armato di 30 x 25 cm.

Solaio in Acciaio:

Scelgo un acciaio di classe Fe 360/S235 con Resistenza di snervamento di 235 MPa ed una resistenza a rottura di 360 MPa

• Qp: Controsoffitto in cartongesso:  8Kg/mc (0,08 KN/mc) x 0,0125 m = 0,1 KN/mq
• Qs: Soletta in cls altezza 65 mm, Lamiera grecata altezza 0.55 mm

Ipotesi di travi adottate:

Trave principale: IPE 300, peso 42,20 Kg/m con una luce di 5m ottengo un peso complessivo di 211 Kg/mq cioè 2,11 KN/mq

Travetto IPE 180; peso 18,80 Kg/m per interasse di 3 m ottengo un peso complessivo di 56,4 Kg/mq cioè 0,56 KN/mq

Totale Qs: 2,11 KN/mq + 0,56 KN/mq = 2,67 KN/mq

Totale Qp :  4,1 KN/mq + 0,1 KN/mq = 4,19 KN/mq

Dimensionamento trave:

Dalla verifica ottengo il Modulo di resistenza, Wx, di 406,48 cm³ quindi utilizzerò una trave IPE 270.

                                                                                                                              

Solaio in Legno:

Scelgo una tipologia di legno lamellare con caratteristiche di resistenza GL24 (BS11), resistenza a flessione fk = 24 MPa, resistenza a trazione ft = 16,5 MPa e Modulo di elasticità E = 11600 MPa

• Qp = 4,1 KN/mq
• Qs = Tavolato: 0,035 m x 1 x 1 x 6 KN/m = 0,21 KN/mq

Ipotesi di travi adottate:

Trave principale: 0,20 m x 0,30 cm x 6 KN/m x 5 = 1,8 KN/mq

Travetti con un’interasse di 60 cm : 0,10 m x 0,10 m x 1 x (6 KN/m : 0,60 m) =  0,1 KN/mq

Totale Qs:  0,21 KN/mq + 1,8 KN/mq + 0,1 KN/mq = 2,11 KN/mq

Dimensionamento trave:

Dalla verifica ottengo la dimensione della trave principale di 20 x 40 cm e dei travetti di 10 x 20 cm

 

.Travatura reticolare asimmetrica (metodo dei nodi)

 

1 ) verifica di isostaticità ( il grado di vincolo deve essere uguale al grado di libertà) L=V

L= n° aste x 3      11 x 3 = 33           V= V_i +V_e              V_e= vincoli esterni = 2+1 = 3

V_i = vincoli interni = 2(n-1)                                “n” indica il numero di aste che presenta il nodo

A–G= 2                 2(2-1)=2

B–D–E= 3             2(3-1)=4

(C= 5                     2(5-1)=8

F= 4                       2(4-1)=6

                                                       (2x2)+(4x3)+8+6=30                         V= 30+3=33 Struttura isostatica

2) Calcolo delle reazioni vincolari:

∑ Fy=0 Ya-10 Kn -10Kn=0  Ya= 20Kn

∑ Mb=0 (-10 x 1)+(-10 x 2)+ (Xg x 1)=0  Xg=30Kn

∑ Fx=0  Xa+Xg=0  Xa=-30Kn

 

3) risoluzione del problema con il metoro dei nodi, calcolando il valore dello sforzo assiale attraverso la regola del parallelogramma equilibrando le forze orizzontali  e verticali

Nodo A  

∑ Fy=0  N₁=0 ; ∑ Fx=0  N₄=0 (entrambe scariche)

Nodo B 

 

∑ Fy=0  20Kn+N2√2/2=0   N₂=20√2 Kn; ∑ Fx=0  (-30Kn+N₂ x √2/2) N3=-10Kn

Nodo D

∑ Fy=0  N₅=0 (asta scarica);  ∑ Fx=0  N₃+N₈=0    N₈= 10Kn

Nodo C

∑ Fy=0 -10Kn+N₂√2/2+ N₆ √2/2=0   N₆=-10√2Kn;  ∑ Fx=0   N₇+N₂√2/2- N₆ √2/2=0  N₇=-30Kn

Nodo E

∑ Fy=0  N9+10Kn=0  N9=-10Kn;  ∑ Fx=0   N₇+N₁₀=0   N₁₀= -30kN

Nodo G

∑ Fy=0; ∑ Fx=0  +30Kn+N₁₀+N₁₁√2/2 =0  N₁₁=0 (asta scarica)

 

 L'esercitazione prevede il dimensionamento di una trave in tre diversi casi di materiale da costruzione: Acciaio, legno e calcestruzzo armato. Il telaio preso in considerazione, rappresenta un caso tipico nei progetti di edifici di edilizia residenziale.

In questo caso la trave maggiormente sollecitata è l'asta CD

 

_PROGETTO IN ACCIAIO

Ipotizzo un solaio in lamiera grecata, tenendo in considerazione che la lamiera grecata non raggiunge luci di una certa lunghezza, aggiungo quindi alla struttura primaria, una trave di ripartizione.

 

-Dimensionamento trave secondaria: luce:5m, interasse:2.5m, acciaio Fe235

 

Analisi dei carichi:

Qp (Azzioni permanenti non strutturali)

-Massetto (spessore 0.1m)  16.0 Kn/m³ *0.10 m = 1.6 Kn/m²

-Pavimento in pietra_______________________= 0.7 Kn/m²

-Intonaco_______________________________ = 0.3 Kn/m² 

-Impianti + divisori________________________ = 1.15 Kn/m²

-TOT________________________________ Qp = 4.10 Kn/m² 

 

Qs (Azioni permanenti, strutturali)

-Solaio in lamiera grecata A SS P600+soletta c.l.s(spessore 10cm)__ 1.90 Kn/m²

-TOT_________________________________Qs = 1.90 Kn/m²

 

Qa (Carichi accidentali)

-Categoria A____________________________Qa =  2.00 Kn/m² 

q = (Qp+Qs+Qa) * interasse = (4.1+1.90+2.00)Kn/m²  * 3m =  24.00 Kn/m

Dal modulo elettronico di excel ottengo Wx=335 cm³

Quindi scelgo dal sagomario un Ipe 270 con Wx=428.87 cm³

A questo punto aggiungo il peso del travetto al ml a q 

Qs+p.proprio trave* 1m= 1.90 Kn/m² + 0.36 Kn/m² = 2.26 Kn/m²

  

-Dimensionamento trave principale: Luce:6.00 m, Interasse: 2.5m, Acciaio Fe235

Procedo con il dimensionamento della trave principale mantenendo il valore dei carichi di solaio aggiungendo al valore Qs il peso proprio della trave secondaria

Qs+p.proprio trave = 2.26 Kn/m²

Con il foglio elettronico mi calcolo im modulo di resistenza minimo Wx

Ottengo un WX=420 cm³ 

Scelgo dal sagomario un Ipe 300 con Wx=557 cm³

Avendo scelto un Wx molto piu alto di quello di progetto, non procedo alla verifica aggiungendo il peso proprio della nuova trave, in quanto sarà di certo verificato

 

_PROGETTO IN LEGNO

 

Analisi dei carichi:

 

Qp (Azzioni permanenti non strutturali)

-Tavolato (spessore 0.04 m) 0.4 Kn/m³ *0.04 m___________= 0.16 Kn/m²

-Massetto cementizio (spessore 0.05 m) 18.00 Kn/m³ *0.05m = 0.9 Kn/m²

-Allettamento (spessore 1 cm)_________________________ = 0.16 Kn/m² 

-Pavimento in mattonelle di cemento____________________ = 0.18 Kn/m²

-Impianti + Divisori___________________________= 1.5 Kn/m²

 

-TOT________________________________ Qp = 2.9 Kn/m² 

 

Qa (Carichi accidentali)

-Categoria A____________________________Qa =  2.00 Kn/m²  

-Dimensionamento trave secondaria: luce:5m, interasse:1m 

Inserendo i valore nel foglio di calcolo Excel, imposto una base della trave di 18 cm

Ottengo un hmin= 23.96 cm

Dalla tabella scelgo una sezione di 18x28 cm a favore di sicurezza

Aggiungo al calcolo il peso proprio della trave e faccio il calcolo di verifica con il foglio elettronico

Qs = 7.00 Kn/m³ * 0.045 m² =0.31 Kn/m 

 

Ho un valore di hmin = 24.71 cm inferiore a quello di progetto quindi la sezione 18x28 cm è verificata

-Dimensionamento trave principale: Luce:6.00 m, Interasse: 2.5m

Per l'analisi dei carichi, aggiungo al carico Qs il peso proprio delle travi secondarie

Nuovamente con il foglio elettronico inserisco i dati prendendo questa volta una base di 30cm

ottengo un hmin = 51.36 cm

come fattore di sicurezza prendo una sezione 30x52 cm

e aggiungo il peso della trave al mq a q e faccio la verifica con la medesima procedura

Dai dati del foglio elettronico di Excel risulta che la trave non è verificata quindi scego una trave piu grande : 40x60 cm procedo nuovamente con la verifica con la verifica

In questo caso la sezione risulta verificata

 

_PROGETTO IN C.l.s armato

 

-Dimensionamento trave principale: Luce:6.00 m, interasse:5.00m

acciaio B450C cls C40/50 

 

 

Analisi dei carichi:

 

Qp (Azzioni permanenti non strutturali)

 

-Pavimento_________________________________= 0.10 Kn/m²

-Isolante (spessore 0.01 m) 7.00 Kn/m³ *0.01m____ = 0.07 Kn/m²

-Intonaco (spessore 0.015 m) 10.00 Kn/m³ *0.015m = 0.15 Kn/m²  

-Impianti + Divisori___________________________= 1.5 Kn/m²

-TOT________________________________ Qp = 2.6 Kn/m² 

 

 

Qa (Carichi accidentali)

-Categoria A____________________________Qa =  2.00 Kn/m² 

 

Qs (Azioni permanenti, strutturali)

-Pacchetto solaio H.20 cm___________________ 2.66 Kn/m²

Inserisco i dati nel foglio Excel scegliendo una base di 25 cm

ottengo un'altezza di 36.17 cm, come fattore di sicurezza scelgo una sezione piu grande di 42cm

aggiungo cosi il peso proprio della trave al foglio di calcolo in modo da ottenere la verifica

 

La trave risulta verificata in quanto l'Hmin di verifica è minore dell'H di progetto

 

 

Esercitazione trave reticolare 2d metodo delle sezioni di Ritter

 

Nel modello di travatura reticolare le aste sono soggette solo a sforzo normale e non a taglio o momento. Per calcolare il valore di questo sforzo normale possiamo utilizzare il metodo delle sezioni di Ritter.

Prendendo in considerazione la travatura rappresentata nella figura ( AB = 2*sqrt2 m ; AC = 4 m )la prima cose che bisogna fare è verificare l'isostaticità di tale struttura, per fare ciò ci sono 2 metodi

1) l=V ; Dove l = gradi di libertà  e V= Ve+Vi = vincoli esterni + vincoli interni

l= n_astre*3 = 11*3 = 33

Ve= carrello + cerniera = 2+1 = 3; Vi = 2*(n-1). n= numero di corpi che la cerniera collega

A,H = 2*(2-1) = 2 ; B,G = 2*(3-1) = 4 ; C,D,E = 2*(4-1) = 6 ; Vi = 30 --> V = 30+3 = 33 = l Verificato

2) Ve + a = 2n ;  dove a= aste e n = nodi --> 3+11= 2*7 ;  14=14 Verificato

Calcoliamo ora le reazioni vincolari del carrello e della cerniera tenendo a mente la simmetria della struttura. facendo l'equilibrio a traslazione verticale otteniamo Va+Vb=3F --> per simmetria Va=Vb= 3/2F

Il metodo delle sezioni di Ritter prevede di effettuare dei tagli virtuali che dividono in due la struttura sezionando le aste evitando che tre di esse non convergano nello stesso nodo.

s1)

 

Scomponiamo N1 nelle sue componoenti verticale ed orizzontale entrambe = N1*(sqrt 2)/2

Facciamo subito l'equiibrio a rotazione con centro in B e otteniamo quindi che 30*2- 2*N2= 0 --> N2 = 30 KN

Facendo l'equilibrio a traslazione verticale otteniamo N1*(sqrt 2)/2 = N2 --> N1 = 30*sqrt 2 KN

L'asta AB risulta compressa

L'asta AC risulta tesa

 

 

 

 

s2)

Scomponiamo N3 nelle sue componoenti verticale ed orizzontale entrambe = N3*(sqrt 2)/2

Facciamo subito l'equiibrio a rotazione con centro in C e otteniamo quindi che

30*4- 20*2- N4*2= 0 --> N4 = 40 KN

Facendo l'equilibrio a traslazione verticale otteniamo 30-20-N3*(sqrt 2)/2 = 0 --> N3 = 10*sqrt 2 KN

L'asta BC risulta tesa

L'asta BD risulta compressa

 

s3)

Scomponiamo N5 nelle sue componoenti verticale ed orizzontale entrambe = N5*(sqrt 2)/2

Facciamo subito l'equiibrio a rotazione con centro in D e otteniamo quindi che

30*6- 20*4- N6*2= 0 --> N6 = 50 KN

Facendo l'equilibrio a traslazione verticale otteniamo 30-20-N5*(sqrt 2)/2 = 0 --> N5 = 10*sqrt 2 KN

L'asta CD risulta compressa; L'asta CE risulta tesa

Per simmetria della struttura possiamo cosiderare i valori delle azioni dicontatto validi anche per il pezzo di trave speculare non calcolato.

 

Esercitazione trave reticolare 2d metodo dei nodi

Un ulteriore metodo per ricavre lo sforzo normale in una trave reticoare isostatica è quello dei nodi. Si considera la struttura in equilibrio se ognuno dei suoi nodi è in equilibrio, poniamo quindi l'equilibrio a traslazione in ognuno dei nodi .

 

Prendiamo in considerazione il modello di trave riportato nell'immagine dove AB = AC = 1 m

Come illustrato nel precedente esempio verifichiamo l'isostaticità della struttura. l= 11*3 = 33 = V = 30+3 =33--> l=V

Calcoliamo le reazioni vincolari: eq traslazione verticcale --> Ya=2F; eq a rotazione Xh=3F; eq traslazione orizzonale Xh=Xa=3F.

nodo B)

Non essendoci forze esterne agenti dall'equilibrio a traslazione ricaviamo:

N1 = N2 = 0

da cui : asta AB scarica; asta BD scarica

 

nodo A)

Scomponiamo N3 nelle sue componoenti verticale ed orizzontale entrambe = N3*(sqrt 2)/2

Da Eq. Fy ricaviamo N3 = 2F*sqrt2

e Da Eq. Fx ricaviamo N4 =F

da cui : asta AC compressa; asta AD compressa

 

nodo C)

Da Eq. Fy ricaviamo N6 = 0

e Da Eq. Fx ricaviamo N5 = N4 = F

da cui : asta EC compressa; asta CD scarica

 

nodo D)

Scomponiamo N7 nelle sue componoenti verticale ed orizzontale entrambe = N7*(sqrt 2)/2

Da Eq. Fy ricaviamo N7 = F*sqrt2

e Da Eq. Fx ricaviamo N8 = 3F

da cui : asta DG compressa; asta DE tesa

 

 

 

nodo E)

Scomponiamo N10 nelle sue componoenti verticale ed orizzontale entrambe = N10*(sqrt 2)/2

Da Eq. Fy ricaviamo N9 = F

e Da Eq. Fx ricaviamo N10 = 0

da cui : asta EG compressa; asta EH scarica

 

nodo G)

 

 

Da Eq. Fy ricaviamo N9 = F

e Da Eq. Fx ricaviamo N8 = N11 = 3F

da cui : asta GH compressa

 

 

nodo H)

 Da Eq. Fx ricaviamo  N11 = 3F

 

riportato di seguito il diagramma dello sforzo normale fatto in Sap.

 

 

Dimensionamento Travi Legno, Acciaio e Cls

 

Nel corso del laboratorio di progettazione 2m con il professore Cordeschi stiamo sviluppando un hotel 4 stelle superiore alle spalle della metro Garbatella. Ho quindi deciso di prendere in considerazione come schema di impalcato la distribuzione “ camere e corridoio a ballatoio ” che stiamo sviluppando come prima ipotesi progettuale nel gruppo ( Cardone, Dad Khan, Forlani ). Lo schema che è riportato nell’immagine a financo si riferisce ad un una porzione del piano tipo. Il dimensionamento sarà eseguito sulla trave e sul travetto evidenziato. L’impalcato presenta un interasse di 4 metri e una luce di 6 metri con sbalzo di 2 metri. L’area di influenza della trave è quindi 4m * 8m = 32mq mentre del travetto in legno ed acciaio è 1m * 4m = 4 mq e del travetto in Cls di 0.5*4 = 2mq. ( Tutti i pesi specifici sono stati presi da http://www.sanzioniamministrative.it/collegamenti/Testi/Tabelle/Tab_Pesi_Spec.htm  ).

DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN LEGNO.

Travetti:

Come prima cosa progettiamo i carichi che questo solaio dovrà sopportare facendo riferimento ad un pacchetto tipo di solaio. Facciamo riferimento alle tre categorie di carico note calcolate in una porzione di solaio di 1 mq:

carico strutturale, qs (travi, travetti e tavolato )

sovraccarichi permanente, qp ( isolante acustico, massetto, parquest )

sovraccarichi accidentali qa ( dettati dalla funzione, nel caso specifico; luogo mediamente affollato ).

CALCO CARICHI:

qs:

Tavolato il legno:

   Perso specifico legno Noce = 800 kg/mc

   Volume tavolato in 1 mq =  0,045 * 1,00 * 1,00 = 0,045 mc

   Peso tavolato 1 mq = 800 * 0.045 = 36 kg/mq = 0.36 KN/mq

qp:

Isolante acustico : fonoroll pb peso mq = 4 kg/mq  = 0.04 KN/mq

Massetto in cemento:

   Massa volumica = 2000 kg/mc

   Volume del massetto 1mq = 0.08 * 1 * 1 = 0.08 mc

   Peso massetto 1 mq = 2000 * 0.08 = 160 kg/mq  =  1.6 KN /mq

Parquet in mogano:

        Peso specifico mogano 800 kg/mc

        Volume parquet 1mq =0.015 * 1 * 1= 0.015 mc

        Peso parquet 1mq = 0.015 * 800 = 12 kg/mq  =0.12 KN/mq

Incidenza impianti = 0.5 KN/ mq

Incidenza tramezzi = 1 KN / mq

qa = 2 KN/mq ( luogo mediamente affollato )

SOMMA DEI CARICHI TOTALI

(qs+qp+qa)*interasse = ( 0.36+3.26+2 ) * 1 = 5.62 * 1 = 5.62 KN/m

Una volta calcolato il carico inseriamo i valori all’interno del foglio elettronico che ne calcola momento massimo, seguendo la formula q*l^2/8 di una trave appoggiata appoggiata . inserendo poi i dati relativi alla classe del legno ( nel caso GL24H con fm,k di 24 N/mmq) e il kmod legato alla durata del materiale che per il legno lamellare è circa 0.7. inserendo cosi una base da 12 cm otteniamo un’altezza minima di 22,02, scelgo da una lista di travetti in commercio dall’azienda Canducci dei profili 12X24.

Verifica sommando anche il peso proprio dei travetti:

      Peso specifico legno lamellare = 450 kg/mc

      Volume travetto 1mq = 0.12 * 0.24 *1 = 0.0288 mc

      Peso travetto 1mq = 0.0288 * 450 = 12.96 kg/mq =0.13 KN/mq

Carico totale (5.62+0.13)*1 = 5.75 KN/m

L’altezza minima viene di 22.28 < 24 la sezione è verificata.

Trave:

Avendo già calcolato tutti i carichi al mq il dimensionamento della trave appare abbastanza immediato.  Dato che le uniche cose che varino rispetto al procedimento inziale sono: l’interasse e il carico strutturale al quale va sommato in contributo dei travetti trovati .

SOMMA DEI CARICHI TOTALI:

(qs+qp+qa)*interasse = ( 0.49+3.26+2 ) * 4 = 23 KN/m

Momento massimo:

lo schema strutturale non risponde alla formula q*l^2/8 cioè una trave appoggiata appogiata ma vi è uno sbalzo di 2 metri, per calcolare rapidamente il momento massimo utilizzo il programma SAP2000 in cui disegno la struttura e assegno i carichi progettati. Una volta trovato il momento massimo agente sulla trave (81.46 KN*m)) lo inserisco manualmente nel foglio elettronico.

Selgo un legno della medesima casa produttrice dei travetti e di classe GL36H e inserendo una base di 20 cm trovo che l’altezza minima è di 37.50 scelgo dei profilati quindi da 20X40.

 

Verifica sommando il peso proprio della trave:

                Peso specifico legno lamellare = 450 kg/mc

                Volume trave  = 0.20 * 0.40 * 8 = 0.64 mc

                Peso trave = 0.64 * 450 =  288 kg

                Peso trave distribuito = 288 / 8*4 = 9 kg/mq  =0.09 KN/mq   

Carico totale ( (0.49+0.09)+3.26+2 ) * 4 = 23,36 KN/m

Mi ricalcolo il momento massimo in SAP2000 (82.73 KN*m))

L’altezza minima viene di 37.79cm < 40cm la sezione è verificata.

 

DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN ACCIAIO.

Facendo sempre riferimento all’impalcato precedente calcoliamo i carichi derivanti da un solaio in lamiera grecata mostrato nel disegno. Ed eseguiamo il dimensionamento similmente a come fatto per il legno

Travetti:

CALCOLO CARICHI:

qs:

Lamiera grecata: tipo HI-BOND A55/P600; spessore 0.7 mm;

   Peso =  9.16 kg/mq = 0.092 KN/mq

Soletta spessore Htot = 12 cm

    Peso =  240 kg/mq = 2.4 KN/mq

 

qp:

Rete elettrosaldata Φ 6 / 20 cm

    Peso specifico acciaio = 78.50 KN/mc

    Volume 10 Φ 6 al mq = (п r^2 * 1)*10 = 0. 0011304 mc

    Peso rete al mq = 0.0011304 * 78.50  = 0.0887 KN/mq

Isolante acustico : fonoroll pb peso mq = 3 kg/mq = 0.03 KN/mq

Sottofondo in malta :

   Peso specifico = 1900 kg/mc

   Volume  1mq = 0.06 * 1 * 1 = 0.06 mc

   Peso malta 1 mq = 1900 * 0.06 = 114 kg/mq   =  1.14 KN /mq

Pavimento in marmo:

        Peso specifico marmo 2694 kg/mc

        Volume marmo 1mq =0.02 * 1 * 1= 0.02 mc

        Peso marmo 1mq = 0.02 * 2694 = 53.88 kg/mq  = 0.54 KN/mq

Controsoffitto in lastre di gesso tipo Knauf:

        Spessore di rivestimento = 2.7 cm

        Peso controsoffitto = 30 kg/mq

        Peso sovraccarichi controsoffitto ( lampade isolanti etc.. )= 40 kg/mq

        Peso totale controsoffitto = 70 kg/mq = 0.7 KN/mq

Incidenza impianti = 0.5 KN/ mq

Incidenza tramezzi = 1 KN / mq

qa = 2 KN/mq ( luogo mediamente affollato )

SOMMA DEI CARICHI TOTALI

(qs+qp+qa)*interasse = ( 2,492+3,9987+2 ) * 1 = 8,4907 KN/m

Inserendo tutti i dati nel foglio elettronico e selezionando un ferro Fe430S275 otteniamo un Wx = 64.84 cmc dalla tabella seleziono quindi delle ipe con Wx = 77.3 cmc e dimensioni 14 x 7.3 cm

Verifica sommando anche il peso proprio dei travetti:

      Peso travetto 1m = 12.9 kg/m ( tabellato )

      Peso travetto 1mq = 12.9/1=  12.9 kg/mq = 0.13 KN/mq

Carico totale ((2.492+0.13) +3,9987+2)*1 = 8,6207 KN/m

Il Wx risultante è di 65,83 < 77.3  la sezione è quindi verificata

 

Trave:

SOMMA DEI CARICHI TOTALI:

(qs+qp+qa)*interasse = ( 2.622+3,9987+2) * 4 = 34,4828  KN/m

Momento massimo:

Similmente a come prima fatto per il legno calcoliamo il momento massimo utilizzo il programma SAP2000 in cui disegno la struttura e assegno i carichi progettati.

Una volta trovato il momento massimo agente sulla trave (122.13 KN*m) lo inserisco manualmente nel foglio elettronico.

Mantenendo sempre un ferro Fe430S275 otteniamo un Wx = 466.31 cmc. Dalle tabelle presenti in rete selezioniamo una ipe con Wx = 557  e dimensioni 30 x 15 cm

Verifica sommando il peso proprio della trave:

      Peso trave 1m = 42.2 kg/m ( tabellato )

      Peso trave 1mq = 42.2/4 ( interasse )=  10.55 kg/mq = 0.1 KN/mq

Carico totale ( (2.622+0.1)+ 3.9987+2) * 4 = 34.8828 KN/m

Mi ricalcolo il momento massimo in SAP2000 (123.54 KN*m)

Il Wx risultante è di 471.70< 557 cmc. La sezione è dunque verificata.

 

DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN CEMENTO ARMATO

Facendo sempre riferimento sempre allo stesso impalcato precedente calcoliamo i carichi derivanti da un solaio in latero cemento mostrato nel disegno. Ed eseguiamo il dimensionamento similmente a come fatto per il legno

Travetto:

CALCOLO CARICHI:

qs:

consideriamo inizialmente il carico strutturale nullo

qp:

Massetto in cemento:

   Massa volumica = 2000 kg/mc

   Volume del massetto 1mq = 0.04 * 1 * 1 = 0.04 mc

   Peso massetto 1 mq = 2000 * 0.04 = 80 kg/mq   =  0.8 KN /mq

Isolante acustico : fonoroll pb peso mq = 3 kg/mq = 0.03 KN/mq

Sottofondo in malta :

   Peso specifico = 1900 kg/mc

   Volume  1mq = 0.06 * 1 * 1 = 0.06 mc

   Peso malta 1 mq = 1900 * 0.06 = 114 kg/mq   =  1.14 KN /mq

Pavimento in granito :

   Peso specifico = 2500 kg/mc

   Volume  1mq = 0.02 * 1 * 1 = 0.02 mc

   Peso malta 1 mq = 2500 * 0.02 = 50 kg/mq   =  0.5  KN /mq

Intonaco:

Peso al mq per centimetro di spessore ( tabellato  )= 16 kg/mq = 0.16 KN/mq

Incidenza impianti = 0.5 KN/ mq

Incidenza tramezzi = 1 KN / mq

qa = 2 KN/mq ( luogo mediamente affollato )

SOMMA DEI CARICHI TOTALI

(qs+qp+qa)*interasse = ( 0+4.13+2 ) * 0.5 = 3.065 KN/m

Inserendo tutti i dati nel foglio elettronico e selezionando un ferro Fe360S235 e un cemento di classe di resistenza C32/40 selezionando una sezione di base 12 cm ricaviamo un’altezza utile 9.50 cm con copri ferro di 4cm.

Selezioniamo dalla casa produttrice dei pacchetti di solaio con interasse 50 cm travetti da 12 cm con altezza da 16 ( 12+4 ) cm.

Verifica sommando anche il peso proprio dei travetti:

Peso del pacchetto strutturale selezionato = 2.15 KN/mq ( tabellato )

Carico totale (2.15+4.13+2)*0.5 = 4.14 KN/m

Inserisco il valere nel foglio elettronico e ne ricavo un altezza di 15.04 cm < di 16 cm.

Il travetto risulta verificato.

 

Trave:

SOMMA DEI CARICHI TOTALI:

(qs+qp+qa)*interasse = (2.15+4.13+2)* 4 = 33.12 KN/m

Momento massimo:

Similmente a come prima fatto per il legno calcoliamo il momento massimo utilizzo il programma SAP2000 in cui disegno la struttura e assegno i carichi progettati.

Una volta trovato il momento massimo agente sulla trave (117.3 KN*m) lo inserisco manualmente nel foglio elettronico.

selezionando un ferro Fe360S235 e un cemento di classe di resistenza C32/40 selezionando una sezione di base 20 cm ricaviamo un’altezza utile 32.18 con copri ferro di 5cm Htot = 37.18. Seleziono quindi una trave da 20x40 cm.

Verifica sommando il peso proprio della trave:

   Peso specifico = 2500 kg/mc

   Volume   = 0.2 * 0.4 * 8 = 0.64 mc

   Peso trave 1 mq = (2500 * 0.64)/32  = 50 kg/mq   è  0.5  KN /mq

Carico totale ( (2.15+0.5)+ 4.13+2) * 4 = 35.12  KN/m

Mi ricalcolo il momento massimo in SAP2000 (124.38 KN*m)

Mantenendo tutti i parametri uguali ottengo un’altezza minima utile di 33.12cm e quindi altezza totale di 38.13<40 cm.

La trave è quindi verificata.

 

 

TRAVATURA RETICOLARE 3D

Dopo aver svolto l’esercitazione sulle travature tridimensionali in aula abbiamo rielaborato la struttura lavorando sulla specchiatura di alcune aste. Il modulo base e l’intera struttura sono riportate nell’immagine.

Quindi una volta disegnata una struttura reticolare tridimensionale in autocad la salvo nel formato .dxf ( preferibilmente 2000 in quanto può dare problemi con le versioni successive ).

A questo punto importo il file .dxf in sap 2000 e come prima cosa assegno i vincoli esterni ( 4 cerniere hai spigoli della struttura ). 

Definisco il carico concentrato con moltiplicatore di peso proprio uguale a zero.

 Assegno il carico concentrato di 100KN ai nodi superiori. Per selezionare solo i nodi superiori mi sono messo nel piano xy e ho controllato di essere alla quota giusta tramite il comando “set 2d veiw…” poi tramite il comando “set display options” disattiviamo la voce “invisible” in joints e attiviamo “ frames not in view ” in frames. A questo punto sono visibili solo i nodi della faccia superiore, li seleziono tutti e assegno la forza.

Come tutte le travature reticolari si prevede che all’attacco di due o più aste ci sia una cerniera quindi seleziono tutte le aste e rilascio i momenti ad inizio e fine trave.

Eseguo l’analisi facendo attenzione a selezionare solo la forza definita

Per visualizzare i valori di sforzo normale lungo ogni singola asta clicco su “ display ” “ show tables ” e seleziono solo “ element output ”.  per esportare il file in excel clicco su “ file ” Export current table” e poi excel.

Quello che vogliamo ottenere è un file excel in cui ci siano tre informazioni principali, il numero dell’asta, lo sforzo normale agente e la lunghezza dell’asta.

Sap per ogni asta effettua più sezioni in cui calcola lo sforzo normale, essendo lo sforzo costante e sapendo che l’ultima sezione che sap effettua rappresenta anche la lunghezza totale dell’asta possiamo ordinare la tabella excel in base alle sezioni e sapendo che nello schema proposto ci sono solo due tipi di aste e cioè quelle lunghe 2m e quelle diagonali lunghe 2.8 m possiamo copiare in un nuovo file excel la tabella con i dati relativi solo alle sezioni effettuate a 2m e 2.8 m. In questo modo ottengo un file con le tre informazioni principali in cui ogni asta compare una sola volta.

Dimensioniamo per prima cosa le aste tese considerando lo sforzo normale massimo di trazione poi dimensiono le aste compresse considerando lo sforzo normale massimo di compressione relativo alle aste lunghe 2.8 m e quelle lunghe 2m in modo da poterle verificare a instabilità euleriana separatamente.

Per trovare lo sforzo normale massimo di trazione funzione di excel che permette di trovare massimi e minimi di una serie di valori.

Una vota trovati i valori procediamo al dimensionamento dei tubolari con la formula σ=N/A quindi A=N/σ. In fase di progetto consideriamo σ = fd cioè fyk/γ. Scelgo il tipo di acciaio Fe360S235 e γ=1.15. Otteniamo delle aree di 32.9 cmq, per le aste tese per le compresse lunghe 2.8m 54,9 cmq e per le compresse lunghe 2m 48,3 cmq.Una volta calcolate le aree troviamo selezioniamo i tubolari da una lista trovata in rete e cioè per le aste tese un’area di 33,6cmq per le compresse lunghe 2,8m 55,1 cmq e per le aste compresse lunghe 2m 52.8cmq.

Calcoliamo poi il peso critico per quelle compresse per la verifica ad instabilità euleriana tramite la formula P=(π^2*E*Jmin)/L0^2. L0=L*k dove k dipende dalle condizioni di vincolo e L è la lunghezza dell’asta. Nel caso specifico k=1 perché sono presenti due cerniere alle estremità.

Quindi: per le aste lunghe 2.8m abbiamo Pc=((3.14)^2*21000(KN/cmq)*8464(cm^4))/(280cm)^2=21906 KN

per le aste lunghe 2m abbiamo Pc=((3.14)^2*21000(KN/cmq)*4696(cm^4))/(200cm)^2=24307 KN

 

confronto il peso critico con lo sforzo normale agente:

1123.01 KN << 21906 KN

986.654 KN << 24307 KN

Entrambe le aste vengono largamente verificate ad instabilità euleriana.

Ho poi provato nel foglio excel a aumentare la classe di resistenza dell’acciaio prima ho provato con un ferro Fe430S275 e poi Fe510S355. Ho notato che all’aumentare della classe di resistenza diminuisce l’area della sezione e quindi diminuisce il momento di inerzia e di conseguenza diminuisce il valore del carico critico euleriano.

Le sezioni sono comunque sempre verificate.

 

Circuiti chiusi

 

Consideriamo un circuito chiuso di travi di lunghezza l e forze F applicate a l/4 come mostarto in figura .

 

Con le sole equazioni di equilibrio a traslazione e rotazione questa struttura non è risolvibile in quanto in qualunue punto noi decidiamo di tagliare la struttura ci sono sempre sei incognite e solo tre equazioni. La struttura è quindi 3 volte iperstatica. La situazione cambia notevolmente se inseriamo tre cerniere interne come mostrato in figura

Conosciamo ora tre incognite interne e dunque la struttura è isostatica.

per risolvere la struttura consideriamo i tratti che vanno da cerniera a cerniera e li poniamo in equilibrio.

 

 

 

 

 

 

Tratto AB: 

Xa=Xb

Ya=Yb

Xa*l/2 = Ya*l/2

 

 

 

 

Tratto CB:

Xb+Xc-F=0

Yb=Yc

-Xb*l-Yb*l/2+Fl/4=0

 

 

 

 

 

Tratto AC:

Xc+Xa-F=0

Ya=Yc

-Xc*l/2+Yc*l+Fl/4=0

 

 

dai tre sistemi ricaviamo:

Yb=Yc=Ya=Xa=Xb=F/6 e Xc=5/6F

Dopo aver calcolato a mano i diagrammi delle sollecitazioni abbiamo effettuato la verifica in Sap2000 con una F= 50 KN.

M)                                                                         T)                                                                     

N)

Prima Esercitazione

Dimensionamento trave( svolto con Chiara Di Battista)

L’impalcato che abbiamo scelto  è frutto di un primo ragionamento sulla struttura del nostro albergo (Prof. Cordeschi). Il sistema distributivo delle stanze prevede un corridoio di 2,40 m di larghezza e le stanze di 4 metri di interasse in larghezza e 6 m in profondità. Abbiamo scelto di dimensionare la trave 2-7 che copre una luce di 6,00 m e un interasse di 4,00 m. La sua area d’influenza è quindi pari a 6,00 x 4,00 = 24,00 mq.

Per il dimensionamento corretto della trave è necessario calcolare Qs, Qp e Qa dove Qs (carico strutturale) indica il carico proprio della struttura; Qp (carico permanente) indica tutti quegli elementi non strutturali ma che permangono durante la vita della struttura e Qa indica il valore del carico accidentale legato all’uso che si farà di quell’ambiente.

Trattandosi di stanze di un albergo abbiamo deciso di utilizzare come valore di carico accidentale quello relativo  ai locali ad uso civile: 2,00 KN/Mq.

Ciascuno carico a mq è frutto della somma dei pesi (calcolati a mq) degli elementi che lo costituiscono:

P= V x γ / A  dove V è il volume dell’elemento, γ è il peso specifico del materiale e A è l’area in questo caso relativa ad 1 mq di struttura.

Struttura in legno

a)Dimensionamento del travetto (interasse 1m, luce 4m):

Partiamo con il dimensionamento del travetto prendendo come carico strutturale iniziale quello del    tavolato.

Qs:

-Tavolato:  

spessore :  0,045 m

peso specifico: 700 Kg/mc

Volume: 0,045 x 1 x 1 = 0,045 mc

Peso: 0,045 x 700 = 31,5 Kg    0,315 Kn

Peso a mq:  0,315 Kn/1 mq

Qp:

-Isolante acustico  (Acustic system 7):(vedi a:http://www.termoisolanti.com/prodotti/isolanti-acustici/sistemi-fonoisol...)

Spessore: 0,007 m

Peso a mq:  3 Kg/mq   0,03 kn/mq   (fornito dalla casa produttrice)

-Massetto in cls:

Spessore:  0,08 m

Peso specifico: 2000Kg/mc

Volume: 0,08 x 1 x 1 =0,08 mc

Peso: 0,08 x 2000 = 160 Kg   1,6 KN

Peso a mq: 1,6 kn/mq

-Parquet in ciliegio:

Spessore: 0,02 m

Peso specifico: 850 Kg/mc

Volume: 0,02 x 1 x 1= 0,02 mc

Peso: 0,02 x 850= 17 Kg    0,17 KN

Peso a mq: 0,17 KN/mq

-Incidenza impianti:

Peso a mq: 0,5 KN/mq

-Incidenza tramezzi:

Peso a mq: 1 Kn/mq

Qp tot: 0,03+1,6+0,17+0,5+1= 3,3 KN/mq

Qa:

-Civile abitazione:    2 KN/mq

Inseriamo i dati nella tabella excel.

La formula presente nella tabella Excel relativa al momento è ql^2/8, che in  questo caso è valida poichè si tratta di una trave doppiamente appoggiata.

Ad esempio se si fosse trattata di una trave  a sbalzo, l'espressione sarebbe stata ql^2/2.

Dalla tabella possiamo leggere che con i carichi inseriti e assumendo una base per il travetto di 0,12m l’altezza deve essere non inferiore a 0,2201 m.

Abbiamo cosi scelto un travetto della casa produttrice Canducci  GL24H  120x240 mm.  (http://www.mmk-canducci.it/)

Dove la classe di resistenza GL24H indica una resistenza  a flessione di 24N/mmq e dove Kmod è il coefficente moltiplicativo in funzione della durata del carico.

Normalmente K mod è compreso tra 0,5 e 1. In questo caso prendiamo un Kmod ipotetico di 0,7 e lo inseriamo nella tabella excel.

Il passo successivo è stato quello di calcolare il peso a mq del travetto scelto e di inserirlo all’interno dei Qs nella nostra tabella excel.

Peso specifico: 550 Kg/mc

Volume: 0,12 x 0,24 x 1= 0,029 mc

Peso: 0,029 x 550= 15,95 Kg      0,1595 KN   

Peso a mq:  P x 1/ interasse     0,1595 x (1/1)= 0,1595 KN/mq

Qs tot:   Tavolato più travetti    0,315 + 0,159 =0,474 KNmq

Inserendo il peso del travetto dalla tabella ci compare che assumendo di nuovo una base di 0,12 m  l’altezza risulta essere di 0,2232 m. Il travetto da noi scelto era di 0,12 x 0,24 m. La sezione è quindi verificata.

 

b) Dimensionamento trave (luce 6 m, interasse 4m)

A questo punto possiamo inserire nella tabella la luce e l’interasse relativi alla trave (mantenendo gli stessi carichi).

Ne risulterà, assumendo come base 0,24 m, un’altezza di 0,4101 m.

Abbiamo proceduto con la scelta di una trave che soddisfacesse le misure richieste.

La trave scelta è una GL32H 240 x 440 mm.

Calcolo il peso della trave:

Volume: 0,24 x 0,44 x 1= 0,1056 mc

Peso specifico: 550 Kg

Peso: 0,1056 x 550= 50,08 Kg     0,5808 KN

Peso a mq:  px1/i=0,5808 x 1/4= 0,1452 KN/mq   dove:i=4 m = interasse trave

A questo punto possiamo sommare il peso della trave agli altri valori in Qs:

Qstot: 0,474 + 0,1452 = 0,619 KN/mq

Abbiamo inserito il nuovo valore del carico strutturale all’interno della tabella excel e ciò che ne risulta è una trave di 24 x 41,52 cm,    trave con dimensioni minori rispetto a quella scelta da noi.

La scelta della trave è quindi verificata.

Struttura in acciaio

a) Dimensionamento del travetto (interasse 1m, luce 4m):

Partiamo con il dimensionamento del travetto prendendo come carico strutturale iniziale quello del    tavolato.

Qs:

- Lamiera grecata più getto in cls:

Spessore: 0,1 m   tipo: A55/P600 

 

Come tabellato il peso a mq è 1,90 KN/mq

Qp:

-Isolante acustico  (Acustic system 7):

Spessore : 0,007 m

Peso a mq:  3 Kg/mq   0,03 kn/mq   (fornito dalla casa produttrice)

-Massetto in cls:

Spessore:  0,08 m

Peso specifico: 2000Kg/mc

Volume: 0,08 x 1 x 1 =0,08 mc

Peso: 0,08 x 2000 = 160 Kg   1,6 KN

Peso a mq: 1,6 kn/mq

-Parquet in ciliegio:

Spessore: 0,02 m

Peso specifico: 850 Kg/mc

Volume: 0,02 x 1 x 1= 0,02 mc

Peso: 0,02 x 850= 17 Kg    0,17 KN

Peso a mq: 0,17 KN/mq

-Incidenza impianti:

Peso a mq: 0,5 KN/mq

-Incidenza tramezzi:

Peso a mq: 1 Kn/mq

Qp tot: 0,03+1,6+0,17+0,5+1= 3,3 KN/mq

 

Qa:

-Civile abitazione:    2 KN/mq

Inseriamo i dati nella tabella excel

 

Scelgo un profilo IPE 140 con Wx= 77,3 cm^3  h=140 mm b= 73mm  Area= 16,4 cmq

Peso specifico: 7800 kg/mc

Volume: 0,00164 x 1  =0,00164 mc

Peso: 0,00164 x 7800= 12,79 Kg    0,1279 KN

Peso mq: 0,1279x 1/1= 0,1279 KN/mq

Qstot: carico soletta più carico travetto   0,1279+1,9=2,027 KN/mq

A questo punto abbiamo inserito nella tabella il nuovo Qs comprendente anche il peso dei travetti.

Ne risulta una trave con Wx pari a 71,71 cm^3, valore inferiore a quello proprio del travetto da noi scelto.

Il travetto è quindi verificato.

b) Dimensionamento trave

A questo punto possiamo inserire nella tabella la luce e l’interasse relativi alla trave (mantenendo gli stessi carichi).

Abbiamo scelto una trave IPE 330 con Wx= 713cm^3  A=62,6 cmq

Peso specifico: 7800 Kg/mc

Volume: 0,00626 x 1= 0,00626 mc

Peso: 0,00626 x 7800 = 48,8 Kg    0,488 KN

Peso mq: 0,488 x 1/4 = 0,122 KN/mq

Abbiamo sommato il peso a Qs  e aggiunto il nuovo valore alla tabella

Qs tot= 2,027 + 0,122 =2,149 KN/mq

Una volta inserito il peso della trave il nuovo Wx richiesto è di 656,15 cm^3, valore inferiore a quello relativo alla trave da noi scelta. Anche questa sezione è verificata.

 

Struttura in cemento armato

 

Qs:

-Pignatte:

Volume: 0,16 x 0,5 x 1= 0,08 mc

Peso specifico: 600 Kg/mc

Peso: 0,08 x 600= 48 Kg    0,48 KN

Peso mq: 0,48 KN/mq

-Travetti: 

Volume: 0,1 x 0,16 x 1 = 0,016 mc

Peso specifico: 2500 Kg/mc

Peso: 0,016 x 2500 = 40 Kg    0,4 KN

Peso mq: 0,4 KN/mq

-Soletta:

Volume: 0,04 x 1 x 1= 0,04 mc

Peso specifico: 2500 Kg/mc

Peso: 0,04 x 2500= 100 Kg    1 KN

Peso mq: 1 KN/mq

Qs tot: 0,48 + 0,4 + 1 = 1,88 KN/mq

Qp:

-Massetto in cls:

Spessore: 0,04 m

Peso specific0: 2000 Kg/mc

Volume: 0,04 x 1 x 1= 0,04 mc

Peso: 0,04 x 2000 = 80 Kg    0.8 KN

Peso mq: 0,8 KN/mq

-Isolante acustico  (Acustic system 7):

Spessore : 0,007 m

Peso a mq:  3 Kg/mq   0,03 kn/mq   (fornito dalla casa produttrice)

-Allettamento in cls:

Spessore:  0,03 m

Peso specifico: 2000 Kg/mc

Volume: 0,03 x 1 x 1 =0,03 mc

Peso: 0,03 x 2000 = 60 Kg   0,6 KN

Peso a mq: 0,6 kn/mq

-Parquet in ciliegio:

Spessore: 0,02 m

Peso specifico: 850 Kg/mc

Volume: 0,02 x 1 x 1= 0,02 mc

Peso: 0,02 x 850= 17 Kg    0,17 KN

Peso a mq: 0,17 KN/mq

-Intonaco:

Spessore: 0,01 m

Peso specifico: 1200 Kg/mc

Volume: 0,01 x 1 x 1= 0,01 mc

Peso: 0,01 x 1200= 12 Kg    0,12 KN

Peso a mq: 0,12 KN/mq

-Incidenza impianti:

Peso a mq: 0,5 KN/mq

-Incidenza tramezzi:

Peso a mq: 1 Kn/mq

Qp tot: 0,8+0,03+0,6+0,17+1+0,5+ 0,12= 3,22 KN/mq

Qa:

-Civile abitazione:    2 KN/mq

Inseriamo i dati nella tabella excel

Dalla tabella si ricava che, data una base di 25 cm, l’altezza minima deve essere di 38,68cm. Prendiamo una trave  25x45 con classe di resistenza C40/50 (e acciaio B450C per zona sismica).

Aggiungiamo ai carici strutturali a mq il peso a mq della trave P: 2,42 x 1/interasse = 0,605 KN/mq

Qs tot= 1.88 + 0,605= 2,48 KN/mq

Inserendo il nuovo dato nella tabella si ricava che l'altezza necessaria è pari a 40,08 cm, inferiore all’altezza della trave scelta. La nostra sezione è quindi verificata.

 

Seconda Esercitazione:

Travatura reticolare 3D

Per eseguire questa esercitazione abbiamo utilizzato Autocad e Sap 2000.

In Autocad ho disegnato la travatura reticolare composta da 4x6 moduli cubici(2x2)collegati da aste inclinate  nella stessa direzione.

Ho successivamente importato il 3D in Sap.

Per prima cosa assegno le cerniere interne a tutto il corpo e applico i 4 vincoli (cerniere) alle estremità della base

 

Ho in seguito definito il materiale e la sezione scegliendo una sezione tubolare in acciaio.

Definisco quindi un carico che chiamo “concentrato” di 40 KN verso il basso sull’asse Z e lo assegno ad ogni nodo della superficie superiore.

Dopo aver numerato le aste lascio analizzare la mia struttura dal sistema ottenendo così il diagramma dello sforzo normale.

Esporto i dati nella tabella excel prendendo in considerazione solo quelli relativi alla lunghezza totale delle aste dritte (2m) e inclinate (2,8m) essendo i dati relativi a sezioni eseguite in differenti punti della lunghezza totale.

Procedo riordinandomi i valori dello sforzo normale in ordine decrescente. Riesco così ad individuare immediatamente i valori massimi di trazione e di compressione.

Progetto e verifica a compressione per l’asta di 2 m

 

L’asta sottoposta a maggior sforzo di compressione è l’asta n. 189 con sforzo normale pari a 296,438 Kn.

So che σ=N/A ≤ Fd.  Per il progetto dell’asta ponendo  σ= Fd=N/A  ne risulta che, per trovare l’area della sezione, devo applicare la formula A=N/Fd dove Fd indica il valore di design che si calcola attraverso il rapporto tra Fy (valore della tensione di snervamento dell’acciaio) e γ (coefficiente di sicurezza che corrisponde a 1,05). Scelgo un acciaio FE 510 S 355 che ha un Fy di 3550 Kg/cmq

Fd=3550/1,05=3380,96 Kg/cmq = 33,8096 Kn/cmq.

A= 296,438/33,8096= 8,8 cmq

Cerco sulla tabella dei profilati tubolari in acciaio (tratta dal sito www.oppo.it) la sezione subito maggiore che è quella di 9,650 cmq

Per eseguire la verifica della sezione scelta dovrà risultarmi una σ<Fd

σ= 296,438 Kn/9,65 cmq = 30,72 Kn/cmq    Essendo 30,72 Kn/cmq< 33,8096Kn/cmq la sezione è verificata.

E’ ora necessario verificare che la sezione sia stata opportunamente dimensionata per evitare sbandamenti (instabilità Euleriana) e che resista quindi al carico critico Euleriano.

La formula per calcolare il peso critico è ^2 x E x Jmin)/lo^2 dove E è modulo di elasticità che per l’acciaio è 210000 N/mmq, Jmin è il momento d’inerzia della sezione scelta e lo è la lunghezza libera di inflessione che si calcola moltiplicando la lunghezza dell’asta per un coefficiente relativo ai tipi di vincoli applicati all’asta (nel nostro caso il coeff. è 1 trattandosi di un’asta doppiamente incernierata.

P crit= (3,14^2 x 210000 N/mm^2 x 87,90 cm^4)/ 40000 cm= 455014,35 N = 455,01435 KN

Essendo il peso critico maggiore dello sforzo normale, 455,01435 > 296,438, l’asta progettata non andrà in instabilità euleriana.

Progetto e verifica a compressione per l’asta di 2,8 m

L’asta sottoposta a maggior sforzo di compressione è l’asta numero 7 con sforzo normale pari a 307,351 KN.

σ=N/A ≤ Fd    Per il progetto dell’asta ponendo  σ= Fd=N/A  ne risulta che, per trovare l’area della sezione, devo applicare la formula A=N/Fd.

A=307,351Kn/ (338096 Kn/mq)= 9,091 Cmq

Scelgo una trave tubolare a sezione circolare con sezione metallica pari a 10,70 cmq.

Per eseguire la verifica della sezione scelta dovrà risultarmi una σ<Fd

σ= 307,351 Kn/10,7 cmq= 28,73 Kn/cmq       28,52 < 33,80 quindi la sezione è verificata.

Ora verificherò che anche questa  sezione sia stata opportunamente dimensionata e che quindi non sia a rischio sbandamenti.

Ricordo che la formula per calcolare il peso critico è (π^2 x E x Jmin)/lo^2 e sostituisco i miei valori.

(9.86 x (210000 N/mm^2) x96,30cm^2)/78400cm = 254335,18N= 254,335Kn

Il peso critico risulta inferiore al nostro sforzo normale, la sezione non è quindi verificata.

Prendo una sezione più grande. La verifica a compressione non è necessaria perché essendo la sezione maggiore della precedente, verificata a compressione, sarà sicuramente verificata anch’essa.

Scelgo una sezione con A=13,90cmq e Jmin=211cm^4

Passo di nuovo a verificare che non sia sottoposta ad inabilità euleriana.

Peso critico= 9,86 x( 210000 N/mm^2) x 211 cm^4/78400cm= 557266,072 N= 557,267Kn

Questa volta il Peso critico è maggiore del nostro sforzo normale; La sezione è quindi verificata anche per l’instabilità euleriana.

Ora procedo con il progetto e verifica a trazione.

Per il progetto e verifica  a trazione mi basterà progettare e verificare l'asta con lo sforzo a trazione maggiore dal momento che in questo caso non devo verificare le sezioni anche per il peso critico euleriano.

Inoltre avendo già progettato le aste per la compressione, mi basterà verificare che queste sezioni siano resistenti anche per lo sforzo di trazione.

In questo caso lo sforzo maggiore è sull'asta lunga 2,8m ed è pari a:256,572KN.

Dal precedente dimensionamento sul'asta di 2,8 metri avevamo un tubolare con: A=13,90cmq

Per cui per la verifica dovrò avere la σ=N/A ≤ Fd

σ = 256,572 Kn /13,90 cmq= 18,45 Kn/cmq < 33,88 Kn/cmq (che è il mio Fd)

La sezione è quindi verificata a trazione.

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Per svolgere l’esercitazione di dimensionamento di travi ho preso in considerazione la prima ipotesi di struttura che sto elaborando con il mio gruppo di laboratorio 2M (Forlani, Cardone, Dad Khan) per il progetto di un albergo a Garbatella. In particolare ho scelto come modello di impalcato da analizzare una porzione di piano tipo dell’edificio-albergo che comprende lo schema distributivo camera-ballatoio.

La struttura raffigurata nel disegno sottostante è caratterizzata da un interasse di 4 metri e una luce di 6 metri, con uno sbalzo (ballatoio) di 2 metri. La trave e il travetto di cui eseguirò il dimensionamento nelle tre tecnologie sono quelli evidenziati con il colore. L' area di influenza della trave è di 4,00m x 8,00m= 32 mq mentre l'area di influenza del travetto in legno e acciaio è 1,00m x 4,00= 4,00 mq, in calcestruzzo: 0,50m x 4,00m= 2mq. (Tutti i pesi specifici dei materiali sono stati presi da http://www.sanzioniamministrative.it/collegamenti/Testi/Tabelle/Tab_Pesi_Spec.htm )

.

DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN LEGNO

 

-)TRAVETTI:

In primo luogo immagino che l’impalcato sopra descritto sia realizzato in legno, dunque rappresento di seguito un’ipotetica soluzione di pacchetto di solaio in legno. Subito dopo comincio a ragionare sui carichi che un solaio così realizzato deve sostenere. In base alle tre categorie in cui sono suddivisi i carichi annovero (per una porzione di solaio di 1mq) in:

-CARICHI STRUTTURALI (qs) le travi, i travetti, e il tavolato;

-SOVRACCARICHI PERMANENTI (qp) isolante acustico, massetto, parquet;

-SOVRACCARICHI ACCIDENTALI (qa) legati alla funzione dell’edificio, nel mio caso per l’albergo, considero il valore stabilito per un edificio mediamente affollato (2 KN/mq).

Calcolo ora nello specifico i carichi:              

-CARICHI STRUTTURALI (qs): tavolato in legno di noce, peso specifico: 700 kg/mc

                                           volume tavolato (per 1 mq): 0,05 m x 1,00 m x 1,00 m= 0,05 mc

                                           peso tavolato (per 1 mq): 700 x 0,05= 35 kg/mq= 0,35 KN/mq

 

-CARICHI PERMANENTI (qp): isolante acustico ACUSTIC SYSTEM 7, peso al mq (tabellato),  

                                             spessore  7 mm, peso: 3 kg/mq= 0,03 KN/mq

                                             massetto in cemento, massa volumica: 2000 kg/mc

                                             volume massetto (per 1 mq): 0,07m  x 1 m x 1 m= 0,07 mc

                                             peso massetto (per 1 mq): 2000 x 0,07=140 kg/mq=1,4 KN/mq

                                           

                                           

                                            parquet in ciliegio, peso specifico: 850 kg/mc

                                            volume parquet (per 1 mq): 0,02m x 1m x 1m= 0,02 mc

                                            peso parquet (per 1 mq): 0,02 x 850= 17 kg/mq= 0,17 KN/mq

                                           

                                            incidenza impianti: 0,5 KN/mq

                                            incidenza tramezzi: 1 KN/mq

 

-CARICHI ACCIDENTALI (qa): 2 KN/mq (edificio per civile abitazione)

 

-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse

                     ( 0,35 + 3,1 + 2 ) x 1= 5,45 KN/m

 

A questo punto inserisco i dati relativi ai carichi calcolati nel foglio elettronico fornito a lezione, viene quindi calcolato il momento massimo per una trave appoggiata appoggiata mediante la formula q*l^2/8. Scelgo poi la classe di resistenza del legno, ad esempio GL24H, con fm,k=24 N/mmq e inserisco il kmod (coefficiente legato alla durata del materiale) che per il legno lamellare vale 0,7.

Inserisco infine un valore per la base della sezione di 12 cm, ottengo un valore di altezza minima di 21,69 cm. Scelgo quindi un profilato, da una tabella di prodotti fornita da un’azienda produttrice trovata in rete (Kaufmann-Canducci), di 12 x 22 cm.

Verifico il progetto del travetto aggiungendo ai carichi strutturali precedentemente calcolati anche il peso del travetto progettato:

peso specifico legno lamellare: 450 kg/mc

volume travetto (per 1 mq): 0,12m  x 0,22m  x 1,00 m= 0,0264 mc

peso travetto (per 1 mq): 450 x 0,0264= 11,88 kg/mq= 0,

12 KN/mq

CARICO TOTALE: ( (0,35 + 12) + 3,1 + 2 ) x 1= 5,57 KN/m

Inserisco il nuovo valore di carico totale nel foglio elettronico, e ottengo un valore di altezza minima di 21,93 cm < 22 cm inferiore a quello della sezione progettata, che risulta quindi verificata.

-)TRAVE:

Dopo aver calcolato i carichi al mq nel progetto del travetto, il procedimento per il progetto della trave risulta analogo e velocizzato. Devo però ricordare che i carichi sono gli stessi eccetto il carico strutturale a cui devo aggiungere il contributo del travetto progettato, e l’interasse è ora quello della trave, 4 metri.

-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse

                             (O,47 + 3,1 + 2 ) x 4= 22,28 KN/m

Devo ora calcolare il momento massimo agente sulla trave. Stavolta non si tratta di una trave appoggiata appoggiata come nel travetto, ma di una trave appoggiata appoggiata con uno sbalzo di 2 metri (ballatoio). Per desumere rapidamente il momento massimo disegno il mio modello in SAP2000, assegnandogli il carico che ho calcolato. Trovato quindi il momento massimo lo inserisco nel foglio elettronico.

Scelgo la classe di resistenza del legno, stavolta GL36H sempre consultando i dati forniti dall’azienda produttrice, e inserisco un valore per la base della sezione di 20 cm. Ottengo quindi un valore di altezza minima della trave di 36,91 cm, scelgo dunque un profilato di 20 cm x 40 cm.

Verifico il progetto della trave aggiungendo ai carichi strutturali precedentemente calcolati anche il peso della trave progettata:

peso specifico legno lamellare: 450 kg/mc

volume trave: 0,20m  x 0,40m  x 8,00 m= 0,64 mc

peso trave: 450 x 0,64= 288 kg

peso distribuito della trave: 288/(8 x 4)= 9 kg/mq= 0,09 KN/mq

CARICO TOTALE: ((O,47 + 0,09) + 3,1 + 2 ) x 4= 22,64 KN/m

Avendo calcolato il nuovo carico totale comprensivo del contributo della trave progettata, mi ricalcolo il momento massimo modificando il modello già disegnato in SAP2000, e inserisco il valore trovato nel foglio elettronico.

Ottengo un valore di altezza minima di 37,20 cm < 40 cm, inferiore a quello della sezione progettata, che risulta quindi verificata.

 

DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN ACCIAIO

Prendo in considerazione lo stesso impalcato immaginando stavolta di realizzarne la struttura in acciaio. Ipotizzo che il solaio sia in lamiera grecata.

 

DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN ACCIAIO

Prendo in considerazione lo stesso impalcato immaginando stavolta di realizzarne la struttura in acciaio. Ipotizzo che il solaio sia in lamiera grecata.

-)TRAVETTI:      

-CARICHI STRUTTURALI (qs): lamiera grecata tipo HI-BOND A55/P600, spessore: 0,7 mm

                                              peso: 9,16 kg/mq= 0,092 KN/mq

                                          

                                              soletta, spessore (Htot): 12cm

                                              peso: 240 kg/mq= 2,4 KN/mq  

                                      

 

-CARICHI PERMANENTI (qp): rete elettrosaldata ф6/20 cm, peso specifico acciaio: 78,50 KN/mc

                                            Volume 10 ф6 (per 1 mq): (πr^2*1)*10= 0,0011304 mc

                                            Peso rete (per 1 mq): 78,50 x 0,0011304= 0,0887 KN/mq

                                            

                                            isolante acustico ACUSTIC SYSTEM 7, peso al mq (tabellato)            

                                            3 kg/mq= 0,03 KN/mq

                                     

                                            Sottofondo in malta, peso specifico: 1900 kg/mc

                                            Volume sottofondo (per 1 mq): 0,06m  x 1 m x 1 m= 0,06 mc

                                            peso sottofondo (per 1 mq): 1900 x 0,06=114 kg/mq=1,14 KN/mq

                                           

                                            pavimento in marmo, peso specifico 2694 kg/mc

                                            volume lastra di marmo (per 1 mq): 0,02m x 1m x 1m= 0,02 mc

                                            peso pavimento (per 1 mq): 0,02 x 2694= 53,88 kg/mq= 0,54 KN/mq

                                           

                                            controsoffitto in lastre di gesso tipo KNAUF,spessore di rivestimento:2,7cm

                                            peso controsoffitto: 30 Kg/mq

                                            peso sovraccarichi controsoffitto (materiali isolanti, lampade, plafoniere,                        

                                            impianti in genere…): 40 Kg/mq  

                                            peso totale controsoffitto: 70 kg/mq= 0,7 KN/mq

                                           

                                            incidenza impianti: 0,5 KN/mq

                                            incidenza tramezzi: 1 KN/mq

 

-CARICHI ACCIDENTALI (qa): 2 KN/mq (edificio per civile abitazione)

 

-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse

                     ( 2,492 + 3,9987 + 2 ) x 1= 8,4907 KN/m

Inserisco a questo punto i valori dei carichi calcolati nel foglio elettronico. Scelgo la classe di resistenza del ferro FE430S275 e ottengo un valore di Wx=64,84 cm^3. Dalla tabella trovata in rete, il profilo con valore di Wx immediatamente superiore risulta avere una sezione di 14 x 7,3 cm, con un Wx=77,3 cm^3.

 

Verifico il progetto del travetto aggiungendo ai carichi strutturali precedentemente calcolati anche il peso del travetto progettato:

peso travetto (per 1 m): 12,9 kg/m (dalla tabella di riferimento trovata in rete)

peso travetto (per 1 mq): 12,9/1= 12,9 kg/mq= 0,13 KN/mq

CARICO TOTALE: ( (2,492 + 0,13) + 3,9987 + 2 ) x 1= 8,6207 KN/m

Inserisco il nuovo valore del carico strutturale (aumentato del contributo del travetto) nel foglio elettronico e ottengo un nuovo valore di Wx= 65,83 cm^3 < 77,3.

La sezione è dunque verificata.

-)TRAVE:

Anche in questo caso, dopo aver calcolato i carichi al mq nel progetto del travetto, procedo al progetto della trave principale. Aggiungo ai carichi strutturali il contributo dato dal travetto appena progettato, e considero che l’interasse è stavolta quello della trave, ovvero 4 metri.

-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse

                             (2,622 + 3,9987 + 2 ) x 4= 34,4828 KN/m

 

Calcolo ora il momento massimo agente sulla trave. Inserisco il mio modello di trave appoggiata appoggiata con sbalzo in SAP e ottengo il valore del momento massimo= 122,13 KN*m. Lo inserisco nel foglio elettronico.

Mantenendo la classe di resistenza del ferro FE430S275 ottengo un valore di Wx minimo= 466,31 cm^3. Dalla tabella che ho preso come riferimento seleziono una sezione di dimensioni 30cm x 15cm e Wx= 557 cm^3.

Verifico ora il progetto della trave aggiungendo ai carichi strutturali il peso proprio della trave:

peso trave (per 1 m): 42,2 kg/m (tabellato)

peso trave (per 1 mq): 42,2/4= 10,55 kg/mq=0,1KN/mq

CARICO TOTALE: ((2,622 + 0,1) + 3,9987 + 2 ) x 4= 34,8828 KN/m

Calcolo nuovamente in SAP il momento massimo agente sulla trave avendo modificato il carico. Il momento massimo risulta essere di 123,54 KN*m.

Inserisco il nuovo valore del momento nel foglio elettronico e ottengo un valore di Wx minimo= 471,70 < 557 cm^3.

La sezione risulta dunque verificata.

 

DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN CEMENTO ARMATO

Infine prendo in considerazione ancora lo stesso impalcato immaginando stavolta di realizzarne la struttura in cemento armato. Analizzo quindi un solaio in latero cemento come mostrato nel disegno sottostante. 

-)TRAVETTI:

Considero inizialmente il carico strutturale qs=0

Calcolo ora i carichi permanenti:

-CARICHI PERMANENTI (qp): massetto in cemento, massa volumica: 2000 kg/mc

                                            volume massetto (per 1 mq): 0,04m  x 1 m x 1 m= 0,04 mc

                                            peso massetto (per 1 mq): 2000 x 0,04=80 kg/mq=0,8 KN/mq

                               

                                            isolante acustico ACUSTIC SYSTEM 7, peso al mq (tabellato), spessore                                        

                                            7 mm, peso: 3 kg/mq= 0,03 KN/mq

 

                                            Sottofondo in malta, peso specifico: 1900 kg/mc

                                            Volume sottofondo (per 1 mq): 0,06m  x 1 m x 1 m= 0,06 mc

                                            peso sottofondo (per 1 mq): 1900 x 0,06=114 kg/mq=1,14 KN/mq

                                

                                            pavimento in granito, peso specifico 2500 kg/mc

                                            volume lastra di marmo (per 1 mq): 0,02m x 1m x 1m= 0,02 mc

                                            peso pavimento (per 1 mq): 0,02 x 2500= 50kg/mq= 0,5 KN/mq

 

                                            intonaco, sp. 1 cm, peso al mq per cm di spessore: 16 kg/mq= 0,16 KN/mq

                                           

                                            incidenza impianti: 0,5 KN/mq

                                            incidenza tramezzi: 1 KN/mq

 

-CARICHI ACCIDENTALI (qa): 2 KN/mq (edificio per civile abitazione)

 

-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse

                     ( 0 + 4,13 + 2 ) x 0,5= 3,065 KN/m

Inserisco a questo punto i valori dei carichi calcolati nel foglio elettronico. Scelgo la classe di resistenza del ferro: FE360S235 e del cemento: C32/40. Seleziono una sezione del travetto di base 12 cm e ottengo dal foglio elettronico un valore minimo di altezza utile di 9,50 cm con copriferro di 4 cm.

Seleziono da una tabella trovata in rete di una casa produttrice, un pacchetto di solaio in calcestruzzo con interasse 50 cm, travetti da 12 cm di larghezza e altezza 16 cm (12cm + 4cm).

Verifico il progetto del travetto considerando il suo peso proprio come carico strutturale:

peso del pacchetto strutturale del solaio selezionato: 2,15 KN/mq (tabellato)

CARICO TOTALE: (2,15 + 4,13 + 2) x 0,5= 4,14 KN/m

Inserisco il valore nel foglio elettronico e ottengo un'altezza minima totale di 15,04 cm < 16 cm.

La sezione risulta dunque verificata.

 

-)TRAVE:

Anche in questo caso, dopo aver calcolato i carichi al mq nel progetto del travetto, procedo al progetto della trave principale. Aggiungo ai carichi strutturali il contributo dato dal travetto appena progettato, e considero che l’interasse è stavolta quello della trave, ovvero 4 metri.

-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse

                             (2,15 + 4,13 + 2) x 4= 33,12 KN/m

Calcolo ora il momento massimo agente sulla trave. Inserisco il mio modello di trave appoggiata appoggiata con sbalzo in SAP e ottengo il valore del momento massimo= 117,3 KN*m.

Scelgo la classe di resistenza del ferro: FE360S235 e del cemento: C32/40. Considero una sezione di base 20 cm e ricavo un valore di altezza utile minimo di 32,18 cm, considerando 5 cm di copriferro: 37,18 cm. Seleziono quindi una sezione di dimensioni 20 x 40 cm.

 

Verifico il progetto della trave aggiungendo ai carichi strutturali il suo peso proprio:

peso specifico cemento: 2500 kg/mc

volume: 0,2 x 0,4 x 8= 0,64 mc

peso trave per 1 mq: (2500 x 0,64)/32= 50 kg/mq= 0,5 KN/mq

CARICO TOTALE: ((2,15 + 0,5) + 4,13 + 2) x 4= 35,12 KN/m

Calcolo nuovamente in SAP il momento massimo agente sulla trave avendo modificato il carico. Il momento massimo risulta essere di 124,38 KN*m.

Inserisco il nuovo valore del momento nel foglio elettronico ottengo un valore minimo di altezza utile di 33,13 cm, altezza totale : 33,13 cm + 5 cm= 38,13 cm < 40 cm.

La trave è quindi verificata.

 

ESERCITAZIONE TRAVATURA RETICOLARE TRIDIMENSIONALE

 

Dopo aver svolto l’esercitazione sulla travatura reticolare tridimensionale in aula, ho provato a rifarne una rielaborando la struttura. Il modulo base e l’intera struttura sono rappresentati nelle immagini sottostanti.

Quindi una volta disegnata la struttura reticolare tridimensionale in autocad la salvo in formato .dxf (possibilmente 2000 perché può dare problemi con le versioni successive).

Importo quindi il file .dxf appena disegnato in SAP2000 e in primo luogo assegno i vincoli esterni, cioè le quattro cerniere agli angoli.

Definisco quindi il carico concentrato, ponendo il moltiplicatore di peso proprio uguale a zero.

Assegno il carico concentrato solamente ai nodi superiori, di valore 100 KN. Per selezionare solo i nodi superiori imposto la vista sul piano xy e controllo di essere alla quota giusta tramite il comando “set 2d view”. Con il comando “set display options” disattivo la voce “invisible” sotto “joints” e attivo la voce “frames not in view” sotto “frames”. Ho reso così visibili solo i nodi superiori della struttura e posso selezionarli per assegnare la forza concentrata.   

Trattandosi di una travatura reticolare le aste sono collegate tra loro da cerniere interne, quindi seleziono tutte le aste e rilascio i momenti all’inizio e alla fine.

Eseguo quindi l’analisi.

Mi serve visualizzare i valori dello sforzo normale per le singole aste, quindi clicco su “display”, “show tables”, spunto la voce “element output” sotto “analysis results”. Per esportare il file con i valori dello sforzo normale delle aste in excel seleziono “file”, “export current table”, “to excel”.

Per eseguire il dimensionamento delle aste mi occorre ottenere un file excel che mi comunichi le tre informazioni principali: numero dell’asta, lunghezza, e sforzo normale agente su essa.

So che Sap per ogni asta effettua più sezioni, essendo lo sforzo normale costante, e dato che l’ultima sezione corrisponde alla lunghezza dell’asta, posso ordinare la tabella excel in base alle sezione. Sapendo che nello schema strutturale da me disegnato ho precisamente due tipi di aste: di lunghezza 2 metri e di lunghezza 2,8 metri (aste diagonali), posso copiare su un nuovo file excel la tabella solamente con i dati relativi alle sezioni effettuate rispettivamente a 2 metri e a 2,8 metri.

Così facendo ottengo un file excel in cui ogni asta compare una sola volta con le tre informazioni principali: numero asta, lunghezza e sforzo normale agente.

Dimensiono in primo luogo le aste tese considerando lo sforzo normale massimo di trazione, e poi dimensiono le aste compresse considerando lo sforzo normale massimo di compressione relativo sia alle aste lunghe 2,8 metri e sia alle aste lunghe 2 metri, in modo da poterle verificare separatamente poi a instabilità euleriana.

Per trovare lo sforzo normale massimo di trazione utilizzo la funzione di excel che permette di trovare massimi e minimi di una serie di valori.

Una volta trovati i valori procedo al dimensionamento dei tubolari attraverso la formula: σ= N/A, quindi A =N/σ. In fase di progetto considero σ= Fyd= Fy/γ.

Scelgo il tipo di acciaio, Fe360s235, e considero γ=1,15.

 

Otteniamo per le aste tese un valore minimo di area di 32,9 cm^2, per le aste compresse lunghe 2,8 metri area minima di 54,9 cm^2 e per le aste compresse lunghe 2 metri area minima di 48,3 cm^2.

Una volta trovate le aree seleziono i tubolari da una tabella trovata in rete.

Per le aste tese seleziono tubolari di area 33,6 cm^2, per le aste compresse lunghe 2,8 metri scelgo tubolari di area 55,1 cm^2 e per le aste compresse lunghe 2 metri scelgo tubolari di area 52,8 cm^2.

Per le aste compresse calcoliamo poi il peso critico per la verifica a instabilità euleriana tramite la formula:

Pcritico= (π^2*E*Jmin)/l0^2

     l0= k*l, dove k dipende dalle condizioni di vincolo e l è la lunghezza effettiva dell’asta. Nel mio caso K=1 perché ho due cerniere alle estremità delle aste.

Quindi calcolo il peso critico per le aste lunghe 2,8 metri:

Pcritico= (3,14)^2*21000(KN/cm^2)*8464(cm^4))/(280cm)^2= 21906 KN

Confronto il valore con lo sforzo normale massimo di compressione agente=1123,01KN<<21906 KN

 

Calcolo poi il peso critico per le aste lunghe 2 metri:

Pcritico= (3,14)^2*21000(KN/cm^2)*4696(cm^4))/(200cm)^2= 24307 KN

Confronto il valore con lo sforzo normale massimo di compressione agente=986,654KN<<24307 KN

Entrambe le aste sono largamente verificate a instabilità euleriana.

Ho poi provato nel foglio excel ad aumentare la classe di resistenza dell’acciaio. Ho inserito prima un ferro FE430S275 e poi un ferro FE510S355. Ho notato che all’aumentare della classe di resistenza, diminuisce l’area della sezione, diminuisce il momento d’inerzia e di conseguenza diminuisce il valore del carico critico euleriano.

Le sezioni sono ugualmente verificate.

Per svolgere l’esercitazione di dimensionamento di travi ho preso in considerazione la prima ipotesi di struttura che sto elaborando con il mio gruppo di laboratorio 2M (Forlani, Cardone, Dad Khan) per il progetto di un albergo a Garbatella. In particolare ho scelto come modello di impalcato da analizzare una porzione di piano tipo dell’edificio-albergo che comprende lo schema distributivo camera-ballatoio.

La struttura raffigurata nel disegno sottostante è caratterizzata da un interasse di 4 metri e una luce di 6 metri, con uno sbalzo (ballatoio) di 2 metri. La trave e il travetto di cui eseguirò il dimensionamento nelle tre tecnologie sono quelli evidenziati con il colore. L' area di influenza della trave è di 4,00m x 8,00m= 32 mq mentre l'area di influenza del travetto in legno e acciaio è 1,00m x 4,00= 4,00 mq, in calcestruzzo: 0,50m x 4,00m= 2mq. (Tutti i pesi specifici dei materiali sono stati presi da http://www.sanzioniamministrative.it/collegamenti/Testi/Tabelle/Tab_Pesi_Spec.htm )

.

DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN LEGNO

 

-)TRAVETTI:

In primo luogo immagino che l’impalcato sopra descritto sia realizzato in legno, dunque rappresento di seguito un’ipotetica soluzione di pacchetto di solaio in legno. Subito dopo comincio a ragionare sui carichi che un solaio così realizzato deve sostenere. In base alle tre categorie in cui sono suddivisi i carichi annovero (per una porzione di solaio di 1mq) in:

-CARICHI STRUTTURALI (qs) le travi, i travetti, e il tavolato;

-SOVRACCARICHI PERMANENTI (qp) isolante acustico, massetto, parquet;

-SOVRACCARICHI ACCIDENTALI (qa) legati alla funzione dell’edificio, nel mio caso per l’albergo, considero il valore stabilito per un edificio mediamente affollato (2 KN/mq).

Calcolo ora nello specifico i carichi:              

-CARICHI STRUTTURALI (qs): tavolato in legno di noce, peso specifico: 700 kg/mc

                                           volume tavolato (per 1 mq): 0,05 m x 1,00 m x 1,00 m= 0,05 mc

                                           peso tavolato (per 1 mq): 700 x 0,05= 35 kg/mq= 0,35 KN/mq

 

-CARICHI PERMANENTI (qp): isolante acustico ACUSTIC SYSTEM 7, peso al mq (tabellato),  

                                             spessore  7 mm, peso: 3 kg/mq= 0,03 KN/mq

                                             massetto in cemento, massa volumica: 2000 kg/mc

                                             volume massetto (per 1 mq): 0,07m  x 1 m x 1 m= 0,07 mc

                                             peso massetto (per 1 mq): 2000 x 0,07=140 kg/mq=1,4 KN/mq

                                           

                                           

                                            parquet in ciliegio, peso specifico: 850 kg/mc

                                            volume parquet (per 1 mq): 0,02m x 1m x 1m= 0,02 mc

                                            peso parquet (per 1 mq): 0,02 x 850= 17 kg/mq= 0,17 KN/mq

                                           

                                            incidenza impianti: 0,5 KN/mq

                                            incidenza tramezzi: 1 KN/mq

 

-CARICHI ACCIDENTALI (qa): 2 KN/mq (edificio per civile abitazione)

 

-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse

                     ( 0,35 + 3,1 + 2 ) x 1= 5,45 KN/m

 

A questo punto inserisco i dati relativi ai carichi calcolati nel foglio elettronico fornito a lezione, viene quindi calcolato il momento massimo per una trave appoggiata appoggiata mediante la formula q*l^2/8. Scelgo poi la classe di resistenza del legno, ad esempio GL24H, con fm,k=24 N/mmq e inserisco il kmod (coefficiente legato alla durata del materiale) che per il legno lamellare vale 0,7.

Inserisco infine un valore per la base della sezione di 12 cm, ottengo un valore di altezza minima di 21,69 cm. Scelgo quindi un profilato, da una tabella di prodotti fornita da un’azienda produttrice trovata in rete (Kaufmann-Canducci), di 12 x 22 cm.

Verifico il progetto del travetto aggiungendo ai carichi strutturali precedentemente calcolati anche il peso del travetto progettato:

peso specifico legno lamellare: 450 kg/mc

volume travetto (per 1 mq): 0,12m  x 0,22m  x 1,00 m= 0,0264 mc

peso travetto (per 1 mq): 450 x 0,0264= 11,88 kg/mq= 0,

12 KN/mq

CARICO TOTALE: ( (0,35 + 12) + 3,1 + 2 ) x 1= 5,57 KN/m

Inserisco il nuovo valore di carico totale nel foglio elettronico, e ottengo un valore di altezza minima di 21,93 cm < 22 cm inferiore a quello della sezione progettata, che risulta quindi verificata.

-)TRAVE:

Dopo aver calcolato i carichi al mq nel progetto del travetto, il procedimento per il progetto della trave risulta analogo e velocizzato. Devo però ricordare che i carichi sono gli stessi eccetto il carico strutturale a cui devo aggiungere il contributo del travetto progettato, e l’interasse è ora quello della trave, 4 metri.

-CARICO TOTALE: (qs + qp + qa) x interasse

                             (O,47 + 3,1 + 2 ) x 4= 22,28 KN/m

Devo ora calcolare il momento massimo agente sulla trave. Stavolta non si tratta di una trave appoggiata appoggiata come nel travetto, ma di una trave appoggiata appoggiata con uno sbalzo di 2 metri (ballatoio). Per desumere rapidamente il momento massimo disegno il mio modello in SAP2000, assegnandogli il carico che ho calcolato. Trovato quindi il momento massimo lo inserisco nel foglio elettronico.

Scelgo la classe di resistenza del legno, stavolta GL36H sempre consultando i dati forniti dall’azienda produttrice, e inserisco un valore per la base della sezione di 20 cm. Ottengo quindi un valore di altezza minima della trave di 36,91 cm, scelgo dunque un profilato di 20 cm x 40 cm.

Verifico il progetto della trave aggiungendo ai carichi strutturali precedentemente calcolati anche il peso della trave progettata:

peso specifico legno lamellare: 450 kg/mc

volume trave: 0,20m  x 0,40m  x 8,00 m= 0,64 mc

peso trave: 450 x 0,64= 288 kg

peso distribuito della trave: 288/(8 x 4)= 9 kg/mq= 0,09 KN/mq

CARICO TOTALE: ((O,47 + 0,09) + 3,1 + 2 ) x 4= 22,64 KN/m

Avendo calcolato il nuovo carico totale comprensivo del contributo della trave progettata, mi ricalcolo il momento massimo modificando il modello già disegnato in SAP2000, e inserisco il valore trovato nel foglio elettronico.

Ottengo un valore di altezza minima di 37,20 cm < 40 cm, inferiore a quello della sezione progettata, che risulta quindi verificata.

 

DIMENSIONAMENTO SOLAIO IN ACCIAIO

Prendo in considerazione lo stesso impalcato immaginando stavolta di realizzarne la struttura in acciaio. Ipotizzo che il solaio sia in lamiera grecata.

 

ESERCITAZIONI CORSO DI MECCANICA STRUTTURALE | FRANCESCO SCILLA