Esercitazione

Esercitazioni

Inviato da Andrea.Muglia il Gio, 12/04/2012 - 19:21

Esercitazione 1

Un accenno sulle Travature Reticolari

Le travature reticolari sono strutture composte da un insieme di aste appartenenti allo stesso piano che generano un forma in grado di coprire ampie luci. La generica travatura reticolare è caratterizzata da correnti superiori e correnti inferiori, montanti e diagonali. Inoltre la struttura reticolare prevede nel suo sistema un insieme di cerniere, “nodi”, che sono gli unici punti che ricevono le forze e le ridistribuiscono sulle aste attraverso le azioni di contatto, in questo caso solo attraverso gli sforzi assiali N perché sono gli unici ad agire su questo tipo di strutture. Altra peculiarità è che le aste possono essere tese o compresse a seconda del tipo di forze che agiscono sulla struttura o scariche se queste hanno solamente la funzione di completamento geometrico della struttura.

Travatura reticolare simmetrica

Questo tipo di travatura reticolare presenta un struttura regolare con dei carichi concentrati nei nodi e la sua geometria presenta una simmetria rispetto all’asse centrale, quello passante per il nodo D. Per questo motivo, prima di eseguire l’esercizio, si deduce che al fine di calcolare le azioni di contatto sulla trave, sarà necessario sezionare solamente metà struttura perché questa è simmetrica.

Prima di procedere con il calcolo delle reazioni vincolari, verifico che la struttura sia isostatica attraverso la formula: V = L (gradi di vincolo = gradi di libertà)

I gradi di vincolo a loro volta sono: V = Ve + Vi (Gradi di vincolo = vincoli esterni + vincoli interni)

I vincoli esterni sono 3, 2 per la cerniera (traslazione orizzontale e verticale) e 1 per il carrello (traslazione verticale); quelli interni invece si calcolano con la formula: 2 (n-1)(n numero di aste che la cerniera collega).

Nodi A-H: 2 (2-1)= 2 x 2= 4

Nodi B-G: 2 (3-1)= 4 x 2= 8

Nodi C-D-E: 2 (4-1)= 6 x 3= 18; quindi i gradi di vincolo interni sono: 30 Vi + 3 Ve = V.

Essendo V = L (struttura isostatica); allora L = 33.

Un’ altra formula ancora più rapida per verificare l’isostaticità è: Ve + a = 2n(vincoli esterni + numero di aste = 2 numero dei nodi). In questo caso abbiamo 3+11=2 (7).

A questo punto possiamo calcolare le reazioni vincolari attraverso gli equilibri alle traslazioni orizzontale e verticale. Da questi otteniamo che Ru1= 0 perché non deve equilibrare alcuna forza orizzontale; mentre le reazioni Rv1 e Rv2 equilibrano le tre forze concentrate F quindi saranno pari a: Rv1=Rv2=3/2F.

Ottenuti i valori delle reazioni vincolari si può procedere al calcolo delle azioni di contatto sulla travatura reticolare attraverso due metodi:

1)METODO DELLE SEZIONI DI RITTER

2) METODO DEI NODI

1)con questo metodo si opera una sezione che tagli 3 aste NON CONVERGENTI SULLO STESSO NODO e si determinano le azioni di contatto su ogni asta attraverso gli equilibri alle traslazioni verticali e orizzontali, e l’equilibrio dei momenti rispetto ad un polo scelto;

2)con questo metodo invece si isolano i nodi della struttura e si calcolano le azioni di contatto solo attraverso gli equilibri alle traslazioni verticali e orizzontali.

In entrambi i casi le azioni di contatto, di compressione o di trazione, sono raffigurate con semplici frecce la cui punta può essere uscente dall’asta/nodo o entrante nell’asta/nodo; la differenza tra i due metodi è che nel primo, quello delle sezioni, la freccia uscente dall’asta indica per convenzione la trazione quindi uno sforzo positivo, nel caso opposto indica compressione quindi sforzo negativo; nel metodo dei nodi il ragionamento è lo stesso in quanto le frecce uscenti dai nodi indicano la trazione e quelle entranti la compressione. Scegliendo il metodo delle sezioni di Ritter, analizzo il nodo B e attraverso l’equilibrio dei momenti rispetto al nodo C ricavo lo sforzo assiale

N1= -2F (il meno indica che il verso della freccia precedentemente ipotizzato di trazione, è di compressione quindi lo cambio). Eseguendo invece l’equilibrio dei momenti rispetto al nodo B ottengo lo sforzo assiale N3= 3/2 F (essendo positiva la forza, il verso della freccia ipotizzato è corretto, quindi di trazione). Infine eseguendo l’equilibrio alla traslazione verticale ottengo il valore dello sforzo assiale N2= F/2dato dalla scomposizione dello sforzo N2 nelle sue due componenti orizzontale e verticale.

Avendo già determinato lo sforzo assiale N3, analizzo il nodo A eseguendo l’equilibrio alla traslazione orizzontale. Da questo ricavo il valore dello sforzo assiale N4= -3/2 F, dato dalla scomposizione nelle sue due componenti orizzontale e verticale.

Infine studio l’ultima sezione di Ritter, quella che fa riferimento al nodo D e determino attraverso il momento rispetto al polo D e l’equilibrio alla traslazione verticale, gli ultimi due sforzi assiali N5= 5/2 F e N6= -F/2.

Attraverso il grafico elaborato dal software SAP, è possibile ottenere una conferma su quali siano i carichi conferiti a ciascuna asta e quali di queste siano compresse o tese. Ciò è possibile perché questo software ci permette di disegnare interamente la struttura assegnando alle singole aste i vincoli predisposti (cerniere, carrelli o incastri) nonché i carichi (distribuiti o concentrati) su qualsiasi trave o nodo.

Il compito più grande svolto da SAP è di determinare la deformata qualitativa della struttura in esame che per strutture così semplici è abbastanza palese mentre per altre più complesse no.

Travatura reticolare asimmetrica

Lo scopo di questo esercizio è quello di risolvere una struttura reticolare asimmetrica attraverso il METODO DEI NODI, precedentemente enunciato.

Come per quella simmetrica, anche qui dobbiamo preventivamente verificare l’isostaticità della struttura.

V = L(gradi di vincolo = gradi di libertà)

V = Ve + Vi (Gradi di vincolo = vincoli esterni + vincoli interni)

2 (n-1) (n numero di aste che la cerniera collega)

Nodi A-G: 2 (2-1)= 2 x 2= 4

Nodi B-D-F: 2 (3-1)= 4 x 3= 12

Nodo E: 2 (4-1)= 6 x 1= 6

Nodo C: 2 (5-1)= 8 x 1= 8 quindi i gradi di vincolo interni sono: 30 Vi + 3 Ve = V V=L=33

Ora possiamo procedere al calcolo delle reazioni vincolari attraverso gli equilibri alle traslazioni orizzontale e verticale e all’equilibrio dei momenti rispetto ad un polo prefissato. Dall’equilibrio alla traslazione orizzontale otteniamo che Rub=Rug quindi sappiamo che le due reazioni sono uguali e opposte; dalla traslazione verticale invece troviamo il valore di Rvb= 2F verso l’alto, quindi a bilanciare le due forze concentrate F, infine attraverso l’equilibrio dei momenti rispetto al polo in A stabiliamo il valore di Rub e Rug= 3F.

A questo punto, avendo calcolato tutte le reazioni vincolari, procediamo al calcolo delle azioni di contatto attraverso il METODO DEI NODI. Assegniamo a F il valore di 10KN e a L il valore di 1m. Ricordo che essendo una travatura reticolare, le azioni di contatto che andremo a calcolare saranno tutti sforzi normali N.

Partiamo dal nodo B perché sono note le reazioni vincolari Rub (30KN) e Rvb (20KN) e facciamo gli equilibri alle traslazioni orizzontale e verticale per determinare gli sforzi N1, N2 e N3. Eseguendo i calcoli ci rendiamo subito conto che non è possibile ottenere dei risultati perchè i due equilibri (traslazione orizzontale e verticale) prevedono due sistemi ognuno in due incognite quindi irrisolvibile.

Proviamo quindi con il nodo G, altro nodo dove insiste la reazione vincolare Rug (30KN) e qui notiamo che per l’equilibrio alla traslazione verticale abbiamo solo la componente verticale dello sforzo assiale N10 che non è bilanciata da alcuna forza quindi il suo contributo è 0 sia in direzione orizzontale che verticale, ovvero l’asta è SCARICA (N10= 0). A questo punto possiamo facilmente calcolare lo sforzo N11= 30KN.

Procedendo verso sinistra vi è il nodo F dove abbiamo le due traslazioni, verticale e orizzontale, espresse ognuna con un sistema ad una incognita quindi banalmente risolvibile. Da questo infatti ricaviamo N8= 30KN e N9= 10KN.

Nel nodo E invece, scompongo lo sforzo assiale N7 nelle sue due componenti (orizzontale e verticale) ottenendo il valore di N7= 10KN e di conseguenza sfrutto la sua componente orizzontale pari a 10KN per calcolare lo sforzo assiale N6= -10KN (il meno, come al solito, indica che bisogna cambiare il verso della freccia).

Il nodo D invece presenta nel suo equilibrio un’altra asta scarica, eseguendo infatti gli equilibri alle due traslazioni orizzontale e verticale, si ottengono N1= -10KN e N5= 0.

Infine dal nodo B otteniamo altri due sforzi assiali N2= -20KN e N3= 0 mentre dal nodo C, ultima cerniera rimasta, deduciamo dai calcoli che N4= 0.

Una volta determinati i valori di N su ogni singola asta, ridisegno la struttura su SAP facendo uso della griglia alla quale abbiamo precedentemente assegnato le campate lungo l’asse x (ascissa) e lungo l’asse z (ordinata) e i loro valori in metri. Impongo, fissati gli appoggi della travatura (cerniera e carrello), che ogni asta sia incernierata all’altra ma che venga impedita la trasmissione del momento da un’ asta all’altra. Infine assegno i carichi concentrati sui nodi C ed F e faccio partire l’analisi della deformazione.

Esercizi sugli archi a tre cerniere e vari

Esercizio n°1

In questo esercizio, è stata analizzata una “mensola” alla quale sono sovrapposti due carichi assiali: ql (carico concentrato all’estremo libero) e q (carico distribuito lungo la trave ma solo nel tratto che va dall’incastro fino a l). Come sappiamo i carichi concentrati e distribuiti danno risultati ben diversi che ora vedremo.

Per prima cosa notiamo che i gradi di vincolo e di libertà coincidono: v= l (3=3). Determiniamo quindi le reazioni vincolari che in questo caso sono molto semplici da calcolare in quanto, avendo solo forze assiali, non sono previsti l’equilibrio alla traslazione verticale e ai momenti perchè non gravano forze verticali o momenti concentrati sulla struttura.

Dalle reazioni vincolari infatti otteniamo che dall’equilibrio alla traslazione orizzontale (ΣFx = 0) Rua= 2ql reazione derivante dall’incastro e atta ad equilibrare le due forze mentre dall’equilibrio alla traslazione verticale (ΣFy = 0) Rva= 0 perché non deve equilibrare alcuna forza verticale e così anche (ΣMa = 0) Ma=0.

Analizzando le azioni di contatto sulla trave possiamo quindi dire che l’unica tensione che si sviluppa all’interno della trave è quella Normale ed è N=2ql.

Analizzando la struttura ai “bordi”, notiamo che all’incastro la N= 2ql data dalla sovrapposizione del carico concentrato ql, che dà un grafico di N costante, e del carico distribuito q, che invece dà un grafico di N lineare in quanto varia dalla mezzeria all’incastro. All’estremo libero invece, lo sforzo normale è equilibrato da una sola forza di trazione, il carico concentrato ql, che determina di conseguenza un grafico costante di N su tutta la lunghezza della trave.

Esercizio n°2

L’argomento di questo esercizio è una trave su 3 appoggi con due momenti concentrati sull’appoggio centrale che tuttavia funge da cerniera quindi non permette il passaggio del momento flettente (o “di continuità”) e di conseguenza nemmeno la rotazione relativa, rotazioni uguali a sinistra e a destra della cerniera (φs=φd). Anche per questa struttura, essendo isostatica, v= l.

Dagli equilibri alle traslazioni orizzontali, verticali e di momento, otteniamo che Rua= 0 in quanto non insistono forze assiali sulla struttura; Rva= Rvb e Rvb= Rvd in quanto coppie di forze che controbilanciano i due momenti esterni c. La coppia Rva-Rvb è antioraria per controbilanciare c orario mentre la coppia Rvb-Rvd è oraria perché deve controbilanciare l’altro momento antiorario c. In valore assoluto Rva, Rvb e Rvd hanno tutte lo stesso valore c/l.

Dal grafico del taglio si può notare come vi sia un salto nel punto in cui sono concentrati i due momenti pari proprio a c, il valore del momento. Questo comporta nel grafico del momento un punto angoloso (di spigolo o “cuspide”) che corrisponde ad un cambio di pendenza in quanto punto di incrocio dei due momenti lineari negativi perché tendono le fibre superiori della trave.

Esercizio n°3

Analizziamo ora un arco a 3 cerniere con una forza concentrata F in mezzeria, ovvero sulla cerniera. Prima di svolgere l’esercizio però è necessario fare alcuni ragionamenti di carattere qualitativo che permettono di risolvere più facilmente e velocemente l’equilibrio della struttura.

Come sappiamo, l’arco a tre cerniere è chiamato così perché presenta, oltre quelle alla base, anche una terza cerniera collocata sul tratto orizzontale che ci da 2 reazioni vincolari verticali e 2 orizzontali, tutte uguali e opposte. In questo caso però, essendo il portale simmetrico sia per geometria che per carico, la forza verticale F è equilibrata dalle sole 2 reazioni verticali date dalle 2 cerniere agli appoggi perché le reazioni della cerniera centrale essendo opposte causerebbero solo antisimmetria.

Spesso per le strutture come i portali, può risultare utile analizzare la struttura per porzioni più ridotte come in questo caso dove il portale, essendo simmetrico, è stato diviso a metà rendendo più semplice e rapido il calcolo delle reazioni vincolari. Dal primo corpo infatti troviamo che Rva= F/2, il risultato è giusto in quanto è l’unica reazione verticale che deve equilibrare la forza F/2 mentre dall’equilibrio dei momenti rispetto al polo A ricaviamo che Rub=Rua= Fl/2h. Questo ci fa capire che le reazioni orizzontali non sono nulle come invece si potrebbe pensare non essendoci carichi orizzontali; esse infatti servono ad equilibrare il momento orario generato dalla forza F per il braccio l/2. Allo stesso modo nel secondo corpo troviamo che Rub=Ruc= Fl/2h eRvc= F/2. Trovate le reazioni vincolari, analizziamo le azioni di contatto sul portale. Per fare ciò utilizziamo il metodo qualitativo dei “bordi”. Partendo infatti dalla cerniera in A troviamo che lo sforzo N è costante e di compressione in tutti i tratti ma assume il valore N= F/2 sui tratti verticali e N= Fl/2h sul tratto orizzontale. Anche il taglio presenta un grafico costante nei due tratti verticali pari a T=Fl/2h, positivo nel primo tratto verticale e negativo nel secondo; nel tratto orizzontale invece, vi è un grafico costante del taglio T=F/2, negativo nel primo tratto e positivo nel secondo mentre sulla cerniera, essendoci la forza concentrata F, vi sarà un salto pari alla forza F.

Infine nel grafico dei momenti vi sono andamenti lineari, dovuti ai grafici costanti del taglio, pari a M=Fl/2. I momenti sono tutti negativi in quanto tendono le fibre superiori e vi è un punto angoloso che coincide con la cerniera orizzontale che è dovuto al salto del taglio.

Attraverso il software di calcolo SAP è stato possibile riscontrare gli stessi risultati per le azioni di contatto e la deformata qualitativa. Questo infatti, essendo uno strumento immediato e semplice da utilizzare, spesso è stato utile anche come punto di partenza per risolvere strutture complesse che a mano avrebbero richiesto parecchio tempo. Non è il caso dei portali.

DEFORMATA QUALITATIVA GRAFICO DEL TAGLIO

GRAFICO DELLA NORMALE GRAFICO DEL MOMENTO

Esercizio n°4

Svolto il portale con il carico concentrato in mezzeria, possiamo passare ad un portale più complesso per il quale assegneremo anche dei valori numerici al carico q e alle luci l e h.

q=100KN/m h=10m l=5m

In questo caso può essere utile analizzare il portale in due parti separate e farne l’equilibrio dei momenti rispetto ai poli A e B. Dai due equilibri ricaviamo che Ruc= 250KN e Rvc= 500KN.

A questo punto, una volte determinate Ruc e Rvc, con le equazioni di equilibrio alle traslazioni verticali e orizzontali dei due corpi, posso ricavare velocemente Rva, Rua, Rvb e Ruc.

Dall’equilibrio alla traslazione orizzontale del primo corpo ottengo infatti che:

Rua= 1000-Ruc (250KN)= 750KN mentre dall’equilibrio alla traslazione verticale ottengo che

-Rva= Rvc (500KN) quindi anche Rva=500KN.

Dall’equilibrio alla traslazione orizzontale del secondo corpo ottengo che:

Ruc (250KN)= -Rub quindi Rub= 250KN mentre dall’equilibrio alla traslazione verticale ottengo che –Rvc (500KN)= Rvb quindi anche Rvb= 500KN.

Ultimo step sono le azioni di contatto dalle N,T e M. Dallo sforzo normale otteniamo un valore costante per i tratti ascendenti pari a N= 500KN positivo nel primo tratto e negativo nel secondo, mentre in quello orizzontale lo sforzo normale è costantemente positivo e pari a N= 250KN. Dal grafico del taglio invece otteniamo dei grafici più particolari, nel primo tratto verticale infatti il grafico ha un andamento lineare o “a farfalla”, effetto del carico distribuito che assume in A il valore T= 750KN e al nodo T= 250KN. Sul tratto orizzontale invece l’andamento è costante ed è pari a T=500KN mentre sul secondo tratto verticale il taglio assume un valore negativo pari a T=250KN.

Il momento invece presenta un andamento parabolico positivo (fibre tese sotto) nel primo tratto verticale e il valore massimo lo assume dove il taglio è nullo (perché il momento è la derivata del taglio) mentre al nodo termina con un valore di M= 2500KN che viene ribaltato sul tratto orizzontale dove invece l’andamento è a farfalla. Infine sul secondo tratto verticale vi è un andamento lineare negativo (fibre tese sopra) che mantiene al nodo il valore di M= 2500KN e che rappresenta la continuità tra tratto orizzontale e verticale.

DEFORMATA QUALITATIVA GRAFICO DELLA NORMALE

GRAFICO DEL TAGLIO GRAFICO DEL MOMENTO

Esercizio n°5

Come per il portale con un carico distribuito, analizziamo adesso il portale con due forze concentrate F.

Anche per questa struttura è vantaggioso analizzare le due parti che la compongono separatamente ma solo per le reazioni orizzontali Rua, Rub e Ruc. Infatti per le reazioni verticali Rva e Rvb, non dovendo controbilanciare alcuna forza, è possibile fare il solo equilibrio dei momenti rispetto ad un polo scelto (A in questo caso) e determinare i valori delle singole reazioni. Rva=Rvb= Fh/2l.

Dalla prima parte otteniamo che Rvc (reazione della cerniera interna)= Fh/2l ad equilibrare la reazione Rva. Invece dalla sommatoria dei momenti rispetto al polo C ricaviamo la reazione Rua= -F quindi cambio il verso che è giustamente opposto a quello della forza F. Per il secondo tratto della struttura andrà fatto lo stesso ragionamento della prima parte ricavando l’ultima reazione incognita che è Rub= F.

Dai grafici delle azioni di contatto notiamo che i due tratti verticali sono sollecitati da uno sforzo N= Fh/2l pari alle reazioni vincolari Rva e Rvb. Il primo positivo perché di trazione, il secondo negativo di compressione. Sul tratto orizzontale non vi sono sforzi normali in quanto non vi sono forze che agiscono sull’asse della trave e le due forze F concentrate sono applicate ad h/2 creando così un salto nel grafico del taglio. Rua e Rub generano un grafico di T costante e negativo ma fino ad h/2 dove le forze concentrate F generano il salto. Sul tratto orizzontale invece il taglio è costantemente T= Fl/2h ed è generato dalla coppia Rva e Rvb.

Analizzando invece il grafico dei momenti riscontriamo sui tratti verticali un andamento lineare da 0 ad h/2 che corrisponde ad un grafico costante del taglio, ad h/2 avviene il salto nel taglio quindi un punto di spigolo nel grafico dei momenti che implica un cambio di pendenza della retta che diventa verticale assumendo un valore di M= Fh. Sul tratto orizzontale invece il momento si annulla nella cerniere interna e assume un andamento a farfalla del valore di M=Fh e tendendo le fibre inferiori nel primo tratto e superiori nel secondo.

DEFORMATA QUALITATIVA GRAFICO DEL TAGLIO

GRAFICO DELLA NORMALE GRAFICO DEL MOMENTO

Esercizio n°6

Per terminare lo studio sui portali analizziamo invece un particolare arco a 3 cerniere chiamato “portale zoppo” (ovvero le cui altezze variano nei due tratti verticali).

Per determinare le reazioni vincolari sono stati eseguiti due equilibri ai momenti rispetto ai poli A e C che messi a sistema hanno reso più semplice il calcolo delle reazioni vincolari della cerniera centrale, Rub e Rvb. Una volte determinata Rvb, i corpi sono stati analizzati separatamente e quindi attraverso l’equilibrio alla traslazione verticale è stato possibile determinare i valori delle altre due reazioni Rva e Rvc entrambe di valore Fh/2l. Anche per le reazioni orizzontali i corpi sono stati studiati separatamente infatti dall’equilibrio alla traslazione orizzontale del primo corpo abbiamo ottenuto Rua= 2/3F; mentre dall’equilibrio alla traslazione orizzontale del secondo corpo la reazione Ruc è proprio uguale a Rub, Rub=Ruc= F/3.

Come si nota dal grafico delle azioni di contatto, nella struttura in esame si genera un sforzo Normale costante pari Fh/6l di trazione nel primo tratto e di compressione nel secondo. Sul tratto orizzontale invece il valore di N è negativo perché di compressione e pari a F/3.

Nel grafico del Taglio invece è facilmente distinguibile il salto dovuto alla forza concentrata F applicata ad h/2 che da un T= -2/3F e un T= F/3 mentre sul tratto orizzontale il grafico è costantemente positivo e pari a T= Fh/6l mentre sul secondo tratto verticale è pari a T= F/3.

Nei portali in ultima analisi possiamo quindi dire che gli sforzi Normali verticali diventano di Taglio sui tratti orizzontali e viceversa per la continuità del nodo. Allo stesso modo i momenti assumono gli stessi valori nei nodi perché sono proprio questi i punti dove il momento flettente viene trasferito da un tratto orizzontale ad uno verticale.

Il punto più interessante nel grafico dei Momenti coincide con il punto in cui avviene il salto nel Taglio che causa nel grafico dei momenti un punto angoloso o di cuspide e quindi un cambio di pendenza della retta o meglio di derivata nulla.

DEFORMATA QUALITATIVA GRAFICO DEL TAGLIO

GRAFICO DELLA NORMALE GRAFICO DEL MOMENTO

Esercitazione 2

L’argomento di questa esercitazione è il progetto di una trave dimensionata con il sussidio del foglio elettronico excel da cui ho potuto ricavarne un dimensionamento adeguato. L’edificio scelto è il progetto di Laboratorio 1 di una casa unifamiliare a Fiumicino e ho stabilito di progettare la trave del solaio maggiormente sollecitata nei tre materiali: legno, acciaio e cls.

SOLAIO IN LEGNO

Per questo tipo di solaio i passi da eseguire sono i seguenti:

1)calcolo di tutti i carichi che gravano sulla trave (Qs, Qp e Qa)

2)calcolo delle dimensioni del travetto in legno a partire da un dato ipotizzato, la base e relativa verifica.

3)calcolo delle dimensioni della trave in legno a partire da un dato ipotizzato, la base e relativa verifica.

Progetto della Trave sull’allineamento B2-B3

Progetto dei travetti di interasse 1m e luce 2.2m

Calcolo dei carichi per i travetti

Qs = 0,21 KN/mq Carico Strutturale

Assito in legno (s = 0.035) P = V x g = Volume x Peso specifico = (1m x 1m x 0,035m) calcolato per un’area di 1m x 1m) x 6KN/mc

Qa = 2KN/mq Sovraccarico accidentale per una civile abitazione

Qp = 1,73KN/mq Carico permanente non strutturale

Pavimento in gres porcellanato (s = 0,01)= 20KN/mc = 0,2KN/mq

Massetto (cls con calcarenite) (s =0,03) = 20KN/mc = 0,6KN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05) = 0,6KN/mc = 0,03 KN/mq

Caldana (s= 0,04) = 10KN/mc = 0,4KN/mc

Impianti 0,5KN/mq

Q tot= 0,21+2+1,73= 3,94KN/mq Carico totale al mq

A questo punto inserisco i valori dei 3 carichi nel foglio di calcolo excel e ottengo il valore del carico totale al metro lineare:

3,94KN/mq x 1m = 3,94KN/m

Con il carico al metro lineare e l’interasse, ottengo il momento massimo che per una trave doppiamente appoggiata è pari a ql^2/8; impostate poi la resistenza a snervamento fmk e il suo coefficiente moltiplicativo kmod, ottengo la tensione di progetto fd.

Adotto una base ragionevole pari a 8cm e ottengo l’altezza attraverso la formula:

h = (6 x M x 1000/(bfd ))^0,5

Verifica del travetto

Ottenute le dimensioni del travetto, aggiungo al carico strutturale quello dei travetti

(0,08m x 0,15m x 6KN/mc)/1m = 0,072KN/mq e verifico che dal punto di vista dimensionale la sezione sia corretta.

Q’s = 0,21+0,072= 0,282KN/mq

Momento = ql^2/8= (4,012 x 2,2 x 2,2)/8= 2,427KNm

h’= (6M/bfd )^0,5 = (6 x 2,43 x 1000/8 x 9,66)^0,5= 13.7cm il dimensionamento precedentemente eseguito è corretto Trave GH28 8x15

Progetto della trave di interasse 2,2m e luce 4,075m

Calcolo dei carichi per la trave

Qs = 0,282KN/mq Carico Strutturale

Assito in legno (s = 0.035) P = V x g = Volume x Peso specifico = (1m x 1m x 0,035 m) calcolato per un’area di 1m x 1m) x 6KN/mc -> 0,21 KN/mq

Travetti in legno (0,08m x 0,15m x 6KN/mc)/ 1m = 0,072KN/mq

Qa = 2KN/mq Sovraccarico accidentale per una civile abitazione

Qp = 1,73KN/mq Carico permanente non strutturale

Pavimento in gres porcellanato (s = 0,01)= 20KN/mc = 0,2KN/mq

Massetto (cls con calcarenite) (s =0,03) = 20KN/mc = 0,6KN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05) = 0,6KN/mc = 0,03 KN/mq

Caldana (s= 0,04) = 10KN/mc = 0,4KN/mc

Impianti 0,5KN/mq

Q tot= 0,282+2+1,73= 4.012KN/mq

Come per i travetti, inserisco i valori dei 3 carichi nel foglio di calcolo excel e ottengo il valore del carico totale al metro lineare:

3,94KN/mq x 2,2m = 8,826KN/m

Con il carico al metro lineare e l’interasse, ottengo il momento massimo che per una trave doppiamente appoggiata è pari a ql^2/8; impostate poi la resistenza a snervamento fmk e il suo coefficiente moltiplicativo kmod, ottengo la tensione di progetto fd.

Adotto una base ragionevole pari a 15cm e ottengo l’altezza attraverso la formula:

h = (6 x M x 1000/(bfd ))^0,5

Verifica della trave

Ottenute le dimensioni della trave, aggiungo al carico strutturale quello della trave

(0,15m x 0,30m x 6KN/mc)/2,2m = 0,123KN/mq e verifico che dal punto di vista dimensionale la sezione sia corretta.

Q’s = 0,282+0,123= 0,405KN/mq

Momento = ql^2/8= (9,097 x 4,075 x 4,075)/8= 18,88KNm

h’= (6M/bfd )^0,5 = (6 x 18,88 x 1000/15 x 9,66)^0,5= 27,97cm il dimensionamento precedentemente eseguito è corretto Trave GH28 15x30cm

SOLAIO IN ACCIAIO

Anche per questo tipo di solaio i passi da eseguire sono i seguenti:

1)calcolo di tutti i carichi che gravano sulla trave (Qs, Qp e Qa)

2)calcolo delle dimensioni del travetto in acciaio a partire da un dato ipotizzato, la base e relativa verifica.

3)calcolo delle dimensioni della trave in acciaio a partire da un dato ipotizzato, la base e relativa verifica.

Progetto della Trave sull’allineamento B2-B3

Progetto dei travetti di interasse 1m e luce 2.2m

Qs = 1,65KN/mqCarico Strutturale

Lamiera grecata in acciaio A55/P600 h = 0,055m e s = 0,02 cm

Getto di completamento in cls armato h = 0,045 m

Qa = 2KN/mqSovraccarico accidentale per una civile abitazione

Qp = 1,43KN/m Carico permanente non strutturale

Pavimento in gres porcellanato (s = 0,01)= 20KN/mc = 0,2KN/mq

Massetto (cls con calcarenite) (s =0,03) = 20KN/mc = 0,6KN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05) = 0,6KN/mc = 0,03 KN/mq

Pannello in cartongesso (s= 0,12) = 0,1KN/mq

Impianti 0,5KN/mq

Q tot= 1,65+2+0,2+0,6+0,03+0,1+0,5= 5,08KN/mq

A questo punto inserisco i valori dei 3 carichi nel foglio di calcolo excel e ottengo il valore del carico totale al metro lineare:

3,94KN/mq x 1m = 3,94KN/m

Con il carico al metro lineare e l’interasse, ottengo il momento massimo che per una trave doppiamente appoggiata è pari a ql^2/8.

Impostata la resistenza a snervamento fyk = 235N/mmq, ottengo la tensione di progetto

fd = 204,35N/mmqe il modulo di resistenza a flessione Wx = 15,04cm^3.

Scelgo un Wx = 20,03cm^3 a cui corrisponde una profilato

IPE80 b = 4,6cm h = 8cm P = 0,06KN/m.

Verifica del travetto

Ottenute le dimensioni del travetto, aggiungo al carico strutturale quello del travetto 0,06KN/m/1m = 0,06KN/mq e verifico che dal punto di vista dimensionale la sezione sia corretta.

Q’s = 0,06+1,65=1,71KN/mq

Momento = ql^2/8= (5,14 x 2,2 x 2,2)/8= 3,109KNm

Con il nuovo valore di momento ottengo un modulo di resistenza a flessione

Wx = 15,22cm^3 che è minore del modulo di resistenza scelto Wx = 20,03cm^3 quindi la sezione è verificata.

Progetto della trave di interasse 2,2m e luce 4,075m

Q’s = 1,71KN/mqCarico Strutturale

Lamiera grecata in acciaio A55/P600 h = 0,055m e s = 0,02 cm

Getto di completamento in cls armato h = 0,045 m

Trave IPE80 0,06KN/m2

Qa = 2KN/mqSovraccarico accidentale per una civile abitazione

Qp = 1,43KN/mCarico permanente non strutturale

Pavimento in gres porcellanato (s = 0,01)= 20KN/mc = 0,2KN/mq

Massetto (cls con calcarenite) (s =0,03) = 20KN/mc = 0,6KN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05) = 0,6KN/mc = 0,03 KN/mq

Pannello in cartongesso (s= 0,12) = 0,1KN/mq

Impianti 0,5KN/mq

Q tot= 1,71+2+0,2+0,6+0,03+0,1+0,5= 5,14KN/mq

A questo punto inserisco i valori dei 3 carichi nel foglio di calcolo excel e ottengo il valore del carico totale al metro lineare:

5,14KN/mq x 2,2m = 11,308KN/m.

Con il carico al metro lineare e l’interasse, ottengo il momento massimo che per una trave doppiamente appoggiata è pari a ql^2/8.

Impostata la resistenza a snervamento fyk = 235N/mmq, ottengo la tensione di progetto

fd = 204,35N/mmqe il modulo di resistenza a flessione Wx = 114,86cm^3. Scelgo un

Wx = 146,3cm^3 a cui corrisponde una profilato

IPE180 b = 9,1cm h = 18cm P = 0,188KN/m.

Verifica della trave

Ottenute le dimensioni della trave, aggiungo al carico strutturale quello della trave 0,188KN/m/2,2m = 0,085KN/mq e verifico che dal punto di vista dimensionale la sezione sia corretta.

Q’s = 0,085+1,71=1,795KN/mq

Momento = ql^2/8= (11,495 x 4,075 x 4,075)/8= 23,86KNm

Con il nuovo valore di momento ottengo un modulo di resistenza a flessione Wx = 116,76cm^3 che è minore del modulo di resistenza scelto

Wx = 146,3cm^3 quindi la sezione è verificata.

SOLAIO IN CLS

Per questo tipo di solaio i passi da eseguire sono i seguenti:

1)calcolo di tutti i carichi che gravano sulla trave (Qs, Qp e Qa)

2)calcolo delle dimensioni della trave in cls armato a partire dal solaio e relativa verifica.

Progetto della Trave sull’allineamento B2-B3

Imges impalcato e particolare

Progetto della trave di interasse 2,2m e luce 4,075m

Qs = 2,66KN/mq

Getto di completamento in cls armato h = 0,04 m

Pignatta h = 0,2 m l = 0.4 m

Travetti in acciaio l = 0.1 m

Qp = 1,43KN/mCarico permanente non strutturale

Pavimento in gres porcellanato (s = 0,01)= 20KN/mc = 0,2KN/mq

Massetto (cls con calcarenite) (s =0,03) = 20KN/mc = 0,6KN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05) = 0,6KN/mc = 0,03 KN/mq

Pannello in cartongesso (s= 0,12) = 0,1KN/mq

Impianti 0,5KN/mq

Q tot= 2,66+2+0,2+0,6+0,03+0,1+0,5= 6,09KN/mq

A questo punto inserisco i valori dei 3 carichi nel foglio di calcolo excel e ottengo il valore del carico totale al metro lineare:

6,09KN/mq x 2,2m = 13,398KN/m.

Con il carico al metro lineare e l’interasse, ottengo il momento massimo che per una trave doppiamente appoggiata è pari a ql^2/8.

Impostata la resistenza a snervamento fyk = 235N/mmq e la classe del cls C40/50, ottengo la tensione di progetto dell’acciaio fyd = 391,3N/mmq e del cls fcd = 22,86N/mmq.

Ipotizzata una base ragionevole b = 15cm, ottengo un h utile = 20,28cm dalla formula

h = r(Mx1000/(fcd xb))^0,5. Dall’altezza che mi occorre non è quella utile ma quella della trave che è la somma dell’altezza utile più il copriferro (non resiste alla flessione ma è importantissimo perché ci “avverte” attraverso la fessurazione, del raggiungimento da parte della trave del collasso):

H = h utile + delta. Essendo il copriferro pari a 5cm e avendo ottenuto un H = 25,28cm, adotto un H = 30cm perché comunemente le altezze delle travi hanno valori interi che possono incrementare solo di un valore di 5 in 5cm.

Verifica della trave

Ottenute le dimensioni della trave, aggiungo al carico strutturale quello della trave (0,15m x 0,30m x 25KN/mc)/2,2m = 0,51KN/mq e verifico che dal punto di vista dimensionale la sezione sia corretta.

Q’s = 2,66+0,51= 3,17KN/mq

Momento = ql^2/8= (30,14 x 4,075 x 4,075)/8= 62,56KNm

h’ utile = r(Mx1000/(fcd xb))^0,5 = 2,25 (62,56 x 1000/(22,86 x15) = 21,12cm.

H’ = h utile + delta = 21,12 + 5= 26,12 cm quindi il dimensionamento precedentemente eseguito è corretto. Trave in cls C40/50 15x30cm

Esercitazione 3

Travatura reticolare spaziale

Disegno e analisi su SAP

L’argomento di questa esercitazione è il progetto di una travatura reticolare spaziale, di 4 moduli ripetuti per 6 file adottando un modulo di base di 2x2x2m, disegnata prima su Autocad e poi importata su SAP 2000. Prima di eseguire il disegno della struttura sono state impostate l’unità di misura in metri e le coordinate x,y,z nell’origine, per esportare con più facilità il file su SAP.

Con il comando polilinea disegniamo una trave a C con un’asta diagonale al suo interno, che rappresenta il modulo base da dover replicare per ottenere quello più complesso della travatura reticolare spaziale.

Tenendo premuti shift e la rotella del mouse passiamo alla vista 3D che ci mostra il nostro disegno “schiacciato” lungo la pianta, il piano xy. Volendo riprodurre la struttura in 3D, quindi disporre in verticale il nostro modulo, usiamo il comando ruota 3D e digitiamo l’asse x che corrisponde all’asse di rotazione e poi clicchiamo sull’asse y che corrisponde all’asse da ruotare.

Una volta ruotato il disegno, lo selezioniamo e adottando il comando serie lo riproduciamo 4 volte (righe = 1, colonne = 4, distanza 2m) lungo l’asse x che è l’asse lungo il quale ci interessa eseguire la serie. Quadruplicato il modulo, chiudiamo con una linea l’ultimo perché come detto prima, il modulo base è una C con un linea diagonale.

Adesso disegniamo la stessa struttura in direzione y ricordandoci di non duplicare le aste verticali già disegnate per la prima serie. Con il comando serie quadruplichiamo anche queste aste ottenendo una “parvenza” di travatura reticolare spaziale. Completiamo questa prima fila inserendo anche le diagonali per i correnti superiori e inferiori aiutandoci con il comando orbita (shift e tasto sinistro del mouse).

Ora che la prima fila è completata possiamo replicarla in serie ma dobbiamo ricordarci di cambiare l’UCS collocando l’asse x al posto dell’asse y così da facilitare il lavoro (UCS -> 3p e selezioniamo le direzioni che vogliamo assegnare agli assi x,y,z). Riproduciamo 7 volte la riga dei 4 moduli precedentemente creati con il comando serie (righe = 1, colonne = 7, distanza 2m) perché anche se la nostra struttura è composta da 4 moduli x 6 file è più semplice una volta eseguita la serie rimuovere linee aggiuntive piuttosto che aggiungerle.

Disegnata la struttura, il modello è stato esportato nel formato .dxf per poter esser letto dal software di calcolo SAP.

Una volta importato il modello, sono stati assegnati i vincoli agli estremi della struttura, 4 cerniere che costituiscono gli appoggi (seleziono il nodo -> assign -> joint -> restraints -> translation 1 e 2 che indicano l’impedimento delle traslazioni verticale e orizzontale), mentre per tutti gli altri nodi sono state selezionate le aste e sono state spuntate le caselle che indicano il rilascio dei momenti flettente e torcente quindi sono state inserite cerniere sferiche, perché operiamo in 3D (assign -> frame -> releases/partial fixity -> moment 22, moment 33 start e end che indicano l’inizio e la fine dell’asta).

A questo punto abbiamo definito il materiale di cui sono composte le aste, l’acciaio (define -> materials -> add new material ->acciaio) e dopo averle selezionate lo abbiamo assegnato (assign -> frame -> frame sections -> add new property -> pipe (profilo cavo circolare) -> materiale acciaio).

Infine attraverso la vista 2D dall’alto, piano xy, abbiamo selezionato i nodi ma solo dopo aver scrupolosamente spuntato la casella che rende invisibili le aste per poter assegnare facilmente i carichi che gravano sulla struttura (set display options -> frame/cables/tendons -> frames not in view).

N.B.Non basta semplicemente selezionare i nodi dalla vista xy ma bisognare imporre a SAP che i carichi vengano assegnati sui nodi superiori quindi sempre con i nodi selezionati (view -> set 2D view -> plane xy -> z=2 perché 2 è l’altezza della travatura reticolare spaziale).

Definiamo quindi il carico con il nome di forza concentrata (define -> load patterns -> add new load pattern -> forza concentrata -> dead -> self weight multiplie = 0 perché non vogliamo che nell’analisi venga considerato il peso proprio).

Selezionati i nodi, assegniamo il carico F = -40KN sull’asse z, asse ortogonale alla travatura e negativo perché rivolto verso il basso come una forza gravitazionale (assign -> joint loads -> forces -> load pattern name = forza concentrata -> force global z = -40KN).

Ora che sono stati assegnati anche i carichi possiamo lanciare l’analisi ricordandoci però di limitarla alle sole forze concentrate che abbiamo collocato sulla struttura e non agli altri carichi che compaiono nella tabella (run analysis -> modal e dead -> do not run case -> forza concentrata -> run case -> run now).

Sempre su SAP è possibile ricavare la tabella formato Excel che raffigura gli sforzi assiali che gravano su ogni singola asta (display -> show tables -> analysis results -> element output -> file -> export current table -> to excel).

N.B.= questo è possibile farlo solo dopo aver lanciato l’analisi e aver spuntato il comando che permette di visualizzare gli sforzi assiali sulle aste.

Di questi sforzi prenderemo in considerazione solamente i due valori massimi di trazione e compressione per eseguire il dimensionamento delle aste e farne le opportune verifiche a resistenza, snellezza e stabilità.

Per dimensionare l’asta di una struttura reticolare, si adotta la formula σ= N/A perché si considera semplicemente la tensione derivante dallo sforzo normale N che agisce su un’area A.

Dimensionamento dell’asta tesa e relativa verifica a resistenza.

In questo caso, per dimensionare l’asta tesa, è necessario prima calcolare l’area minima, A min e poi farne la verifica a resistenza. Adottando infatti un acciaio da carpenteria S275 quindi con un fyk = 275MPa (N/mmq), un gm₁=1,05 e tenendo in considerazione lo sforzo normale massimo di trazione ricavato dalla tabella excel di SAP, N = 258,93KN, otteniamo che A min = 258,93KN x 1000 x 1,05/275 N/mmq = 988 mmq = 9,9 cm².

Consultando la tabella dei profili cavi a sezione circolare in acciaio, adottiamo quello la cui area è di poco maggiore al valore ottenuto dal calcolo per stare in sicurezza. Adotto un profilo con un dxs (diametro x spessore)= 88,9 x 4,0 mm A = 10,7 cm² Jx (momento d’inerzia) = 96,3 cm⁴ Wx (modulo di resistenza) = 21,7cm³ ρ (rho, raggio d’inerzia) = 3,0 cm.

A questo punto, dopo aver dimensionato l’asta tesa, ne eseguo la verifica a resistenza perché per l’acciaio teso l’unica verifica veramente significativa è quella a resistenza. Molto semplicemente si calcola la tensione di progetto fd e si verifica che questa sia minore/uguale alla tensione a snervamento dell’acciaio fyk. -> fd ≤fyk

fd = 258,93KN x 1000/10,7cm²x 100 = 241,99 MPa (N/mm²) -> 241,99MPa ≤ 275MPa -> asta verificata a resistenza.

Dimensionamento dell’asta compressa e relative verifiche a resistenza, snellezza e stabilità.

Per dimensionare correttamente l’asta compressa invece, non basta eseguire la verifica a resistenza perché essendo compressa è soggetta al carico di punta o meglio conosciuto come carico critico euleriano che provoca lo sbandamento dell’asta. Per ovviare allo sbandamento dovuto ad un valore elevato del rapporto h/l della trave, si stabilisce come è vincolata la trave e in base a quello si trova il P critico (carico critico).

Quindi oltre alla verifica a resistenza, vanno eseguite altre due verifiche, quella a snellezza e quella a stabilità. Per dimensionare l’asta compressa svolgiamo gli stessi passaggi di quella tesa perché se pur compressa, sempre di acciaio parliamo.

Adottiamo l’acciaio S275 quindi con un fyk = 275MPa (N/mmq), un gm₁=1,05 e teniamo in considerazione lo sforzo normale massimo di compressione ricavato dalla tabella excel di SAP, N = 307,25KN.

Dalla formula σ= N/A otteniamo che A min = 307,25KN x 1000 x 1,05/275 N/mmq = 1117 mmq = 11,17 cm².

Consultando la tabella dei profili cavi a sezione circolare in acciaio, adottiamo quello la cui area è di poco maggiore al valore ottenuto dal calcolo per stare in sicurezza. Adotto un profilo con un dxs (diametro x spessore)= 114,3 x 3,6 mm A = 12,5 cm² Jx (momento d’inerzia) = 192 cm⁴ Wx (modulo di resistenza) = 33,6cm³ ρ (rho, raggio d’inerzia) = 3,92 cm.

Verifica a resistenza

fd ≤fyk

fd = 307,25KN x 1000/12,5cm²x 100 = 245,8 MPa (N/mm²) -> 245,8MPa ≤ 275MPa -> asta verificata a resistenza.

Verifica a snellezza

λ<200

λ= l₀/ρconl₀= βx l e ρ= raggio d’inerzia della sezione in esame

β= numero di semionde visibili per il tipo di vincolo in esame

Nel nostro caso, l’asta della travatura reticolare, va considerata come una trave doppiamente incernierata quindi la β = 1 e di conseguenza l₀= l. Il raggio d’inerzia lo desumiamo dalle tabelle ed è ρ= 3,92 cm. λ = 283 cm x 1 /3,92 cm = 72,2<200 -> asta verificata a snellezza.

Verifica a stabilità

Nd ≤Nbrd dove Nd è lo sforzo assiale che agisce sull’asta in esame mentre Nbrd è la resistenza all’instabilità per l’asta compressa ed è pari a Nbrd = χA fyk/gm₁. A loro volta χ = 1/Φ+(Φ²-⁻λ²)^0,5≤1 ;

⁻λ= (Afyk / Pcritico)^0,5 ;

Φ= 0,5[1+α (⁻λ– 0,2)+ ⁻λ²] e α è un coefficiente chiamato fattore di imperfezione ed è α=0,21

A sua volta, perché l’asta sia verificata,Nbrd<P critico dove P critico = p² E Jmin/l₀².

Eseguendo i calcoli ottengo che:

P critico = (3,14²x 210000N/mm²x 192 cm⁴ x 10000 / 283²cm x 10)/1000 = 496,4KN

⁻λ² = 12,5cm²x 100 x 275MPa/496,4 x 1000 = 0,69

Φ = 0,5[1+0,21(√0,69-0,2)+0,69] = 0,9

χ = 1/ 0,9+(0,9²-0,69²)^0,5 =0,68≤1

Nbrd = (0,68 x 12,5cm²x 100 x 275MPa/1,05)/1000 = 222,62KN

N.B. = il risultato ottenuto non è accettabile perchè Nd deve essere ≤Nbrd mentre invece in questo caso Nd = 307,25KN ≥222,62KN = Nbrd. Quindi bisogna adottare un’area maggiore, quindi un profilo più grande per garantire la verifica a stabilità.

Eseguiamo nuovamente i calcoli:

Consultando la tabella dei profili cavi a sezione circolare in acciaio, adottiamo quello la cui area è superiore al valore adottato precedentemente. Prendiamo quindi un profilo con un dxs (diametro x spessore)= 114,3 x 4,5 mm A = 15,5 cm² Jx (momento d’inerzia) = 234 cm⁴ Wx (modulo di resistenza) = 41cm³ ρ (rho, raggio d’inerzia) = 3,89 cm.

Verifica a resistenza

fd ≤fyk

fd = 307,25KN x 1000/15,5cm²x 100 = 198,225 MPa (N/mm²) -> 198,225MPa ≤ 275MPa -> asta verificata a resistenza.

Verifica a snellezza

λ<200

λ= l₀/ρ con l₀= βxl e ρ= raggio d’inerzia della sezione in esame

β= numero di semionde visibili per il tipo di vincolo in esame

quindi la β = 1 e di conseguenza l₀= l. Il raggio d’inerzia lo desumiamo dalle tabelle ed è

ρ= 3,89 cm. λ = 283 cm x 1 /3,89 cm = 72,75<200 -> asta verificata a snellezza.

Verifica a stabilità

Nd ≤Nbrd

P critico = (3,14²x 210000N/mm²x 234 cm⁴ x 10000 / 283²cm x 10)/1000 = 606,24KN

⁻λ² = 15,5cm²x 100 x 275MPa/604,95 x 1000 = 0,703

Φ = 0,5[1+0,21(√0,7-0,2)+0,7] = 0,9186

χ = 1/ 0,9168+(0,9168²-0,69²)^0,5 =0,769≤1

Nbrd = (0,769x 15,5cm²x 100 x 275MPa/1,05)/1000 = 312,2KN

Adesso anche la verifica a stabilità risulta corretta infatti Nd≤Nbrd ovvero 307,25KN≤312,2KN -> asta verificata a stabilità.

Esercitazione 4

Ripartizione delle forze sismiche (in collaborazione con Beatrice Nanni, Flavia Valdarnini, Sabrina Zhu)

(le travi in grigio corrispondono alle travi portanti, ovvero quelle che portano tutti i carichi gravanti sul solaio)

L'impalcato in esame è una struttura a forma di T composta da 5 telai shear type in direzione verticale e 3 telai shear type in direzione orizzontale. Di questi telai, 5 sono i controventi determinati in base all’orditura del solaio.

La struttura è 2 volte iperstatica quindi per risolvere il sistema è stato necessario definire il solaio come un corpo rigido piano (per il quale vale traslazione orizzontale, verticale e rotazione rigida attorno ad un punto) e introdurre vincoli elastici (molle) che si comportano secondo la legge di Hooke F= K δ. I pilastri sono stati posizionati in modo tale da avere il momento d’inerzia massimo nella direzione del momento flettente derivante dal carico del solaio.

Con il sussidio del foglio di calcolo excel, che permette un riscontro in termini numerici rapido e completo, è stato possibile analizzare lerigidezze dei controventi, il centro di massa, il centro delle rigidezze, l’analisi dei carichi sismici e la ripartizione del sisma lungo l’asse X e Y.

Rigidezze dei controventi

Primo Step

In questa tabella è stata calcolata la rigidezza di ogni singolo controvento attraverso la formula:

K = 12 EJ/H³dove E (modulo di Young, per l’acciaio 210000 MPa; per il cls 21000 MPa), J (momento d’inerzia, in direzione X = bh³/12 ; in direzione Y = hb³/12) e H (altezza del solaio interpiano pari a 4m).

Secondo Step

Stabilite le rigidezze dei controventi sono state calcolate le distanze di questi da un punto fisso chiamato O (origine). Per il telaio verticale 4-9 e il telaio orizzontale 1-2-3 le distanze dall’origine sono pari a 0 in quanto i telai sono collocati sulla retta che congiunge con l’origine O.

Centro di massa

Terzo Step

Una volta stabilite le rigidezze dei telai e le loro distanze dall’origine O, l’impalcato è stato suddiviso in due aree A1= 36,6m² e A2 = 28,38m² delle quali sono stati calcolati i centri di massa. Per determinare i centri di massa è stato preso come punto di riferimento l’origine O e sono state determinate le distanze (x_G1,y_ G1) e le distanze (x_ G2,y_ G2). Infine è stato calcolato il centro di massa dell’intera struttura secondo le sue coordinate

X_G: (A1x_G1)+(A2x_G2)/A1+A2= 6,60m

Y_G: (A1y_G1)+(A2y_G2)/A1+A2= 4,28m

Calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Quarto Step

Determinate tutte le rigidezze dei controventi (vedi Step 1) orizzontali e verticali, è stata calcolata la rigidezza totale traslante verticale e quella totale traslante orizzontale : Kvtot e Kotot. Dalle due rigidezze totali si è ottenuto il centro delle rigidezze in base alla formula:

X_C=(kv1 dv1)+(kv2 dv2)+(kv3 dv3)+(kv4 dv4)+(kv5 dv5)/kvtot = 6,52m

Y_C=(ko1 do1)+(ko2 do2)+(ko3 do3)/kotot = 5,45m

Una volta determinata la posizione del centro delle rigidezze, sono state invece determinate le distanze dei controventi verticali (ddv) e quelli orizzontali (ddo) dal centro delle rigidezze.

Analisi dei carichi sismici

Quinto Step Attraverso questa tabella è stata determinata la forza sismica che corrisponde al prodotto tra la massa dell’edificio per l’accelerazione che il corpo subisce per effetto del trascinamento (dato dalla Normativa in riferimento alla tipologia strutturale): F= ma dove a= cg, c <1 (coeff. di intensità sismica, più è alto maggiore è il sisma) e g (accelerazione gravitazionale).

F= mcg= c(mg)= cPdove P o W (forza peso) = G (sovraccarico tot. permanente (qs+qp)Atot) x Ψ (coefficiente di contemporaneità = 0.80) x Q (sovraccarico accidentale dato dalla destinazioned’uso dell’edificio).

Ripartizione forza sismica lungo X e Y

Sesto e Settimo Step

Con questo step è stata studiata la ridistribuzione della forza sismica sui controventi orizzontali. Prima di stabilire la distribuzione della forza sui controventi, è stato necessario determinare il valore del momento torcente (rotazione dell’impalcato dovuta alla mancata coincidenza tra centro delle masse e centro delle rigidezze): Mt= Fxb dove F (Forza sismica) e b (distanza dal punto C (centro delle rigidezze) al punto G (centro delle masse)). Bisogna fare attenzione però perché essendo la forza sismica ripartita lungo X e Y, il braccio b cambia se si considera il Momento torcente lungo X o lungo Y. Infatti nel caso di X: b= (Y_C - Y_G); nel caso di Y: b= (X_C – X_G). Per determinare invece la traslazione orizzontale dell’impalcato la formula è: Uo= F/kotot mentre per quella verticale si ha: Vo= F/kvtot.

SdC(b) (LM PA)

ESERCITAZIONI

Inviato da Francesco.Leoni il Mar, 10/04/2012 - 19:11

TRAVATURA RETICOLARE SIMMETRICA

Le strutture reticolari sono composte da aste, solitamente metalliche vincolate tra loro da cerniere. Le aste sono soggette a solo sforzo normale e si dividono in puntoni, nel caso la normale sia di compressione, e tiranti se è di trazione. Sono utilizzate soprattutto per le travature che coprono luci considerevoli, per il loro ottimo rapporto tra peso proprio e resistenza.

Seguono alcuni esempi che mettono in luce il comportamento di queste strutture soggette a carichi gravitazionali.

Ci troviamo di fronte ad una struttura doppiamente appoggiata dove l=2m, sottoposta a tre carichi di 20KN concentrati nei nodi B, D, F. Per geometria e anche per i carichi la struttura è simmetrica quindi bastera analizzare solo metà della struttura per risolverla interamente.

1_Verifica di isostaticità

Per prima cosa verifichiamo se la struttura è isostatica. Ricordiamo che una struttura è isostatica se il numero dei gradi di vincolo è uguale al numero dei gradi di libertà.

-Il numero dei gradi di vincolo è dato dalla somma dei vincoli esterni e dei vicoli interni: V = Ve + Vi -Il numero dei gradi di libertà è dato dal numero dei corpi moltiplicato per 3 (traslazione orizzonate, traslazione verticale, Rotazione) : l = n x 3

gradi di vincolo:

La cerniera nel nodo A blocca 2 gradi di libertà, Il carrello nel nodo G blocca 1 grado di libertà: Ve = 3

I gradi di vincolo interni sono dati da 2(n-1), dove n è il numero di aste che arrivano a ciascun nodo. Quindi per ogni nodo:

A-G 2(2-1) = 2 , B-F 2(3-1) = 4 , C-D-E 2(4-1) = 6 ---> Vi = 2+2+4+4+6+6+6 = 30

V = Ve+Vi = 3+30 = 33

gradi di liberà

La trave è composta da 11 aste quindi: l = 11 x 3 = 33

La struttura è isostatica se: V = l --> 33 = 33 VERIFICATO!

2_ Calcolo delle reazioni vincolari

Adesso possiamo procedere con il calcolo delle reazioni vincolari dei nodi A e G.

Come prima considerazione diamo per certo che RuA=0, la reazione orizzontale della cerniera, sia uguale a zero in quanto non esistono nel sistema forze orizzontali da bilanciare.

Imponendo l'equilibrio alla traslazione Verticale Rv=0, troviamo invece i valori di RvA e RvG, alle quali viene ripartito simmetricamente il carico totale di 60 KN che devono bilanciare.

Quindi come nella trave appoggiata: RvA=RvG= Q/2 = 30 KN

3_ Calcolo delle reazioni di contatto.

La struttura è in equilibrio, ma noi vogliamo sapere come si distribuiscono gli sforzi al suo interno. In particolare essendo una travatura reticolare l'unica reazione di contatto agente sarà la Normale. Per determinarla su ogni asta ricorriamo al Metodo delle sezioni di Ritter.

Il metodo di Ritter consiste nel "sezionare" virtualemte la struttura tagliando, per ogni sezione, 3 aste che non convergono allo stesso nodo. In questo modo possiamo imporre per ogni parte, l'equilibrio alla traslazione e alla rotazione uguale a zero.

essendo la struttura simmetrica eseguiremo tre sezioni fino all'asse di simmetria della struttura in modo da sezionare almeno una volta tutte le aste:

Analizziamo singolarmente ogni sezione:

Da ogni asta sezionata parte una freccia che indica lo sforzo Normale, per iniziare ipotizziamo che questi siano di verso uscente, quindi che sia uno sforzo normale di trazione, dopo aver effettuato l'equilibrio assegneremo verso entrante alle aste compresse.

Adesso eseguiamo l'equilibrio di ogni singola sezione considerando che se la struttura è in equilibrio lo sarà anche una sua parte.

Iniziamo da dalla sezione_2 (perchè ho meno forze da prendere in considerazione). Le incognite da espicitare sono ovviamente le Nn nelle equazioni dell'equilibrio alla traslazione verticale ΣFY=0, alla traslazione orizzontale ΣFX=0 e l'equilibro alla rotazione in un qualsiasi polo scelto x, ΣMx=0. si tratta quindi di impostare le equazioni più convenienti ed effettuare qualche sostituzione per le aste inclinate a 45°, dove se l'asta è Nn le sue componenti ortogonali sono (Nn)√2/2.

n.b. (I vari passaggi non verranno svolti passo per passo data per scontata la conoscenza di base al lettore)

sezione_2

ΣMC = 0 --> (-30kN)2L + (20KN)L + (N4)L =0 --> N4 = -40 KN *compressa

ΣFY =0 --> -20KN + 30KN + (N3)√2/2 =0 --> N3 = 10√2 KN *tesa

ΣMB =0 --> (-30KN)L + (N2)L =0 --> N2 = 30 KN *tesa

sezione_1

ΣFX =0 --> 30 KN + (N1)√2/2 =0 --> N1 = -30√2 KN *compressa

sezione_3

ΣMD =0 --> (20KN)2L -(30KN)3L + (N5)L =0 --> N5 = 50 KN *tesa (asta maggiormente sollecitata)

ΣFY =0 --> 30KN -20KN + (N6)√2/2 =0 --> N6 = -10√2 KN *compressa

A questo punto l'esercizio è terminato, per simmetria possiamo dedurre che il resto della struttura si comporterà in maniera speculare a quella analizzata.

Ecco il quadro di tutti gli sforzi normali con i versi corrispondenti (entrante=compresso ; uscente=teso ):

TRAVATURA RETICOLARE ASIMMETRICA

In questo caso ci troviamo sempre di fronte ad una travatura reticolare, ma al contrario della precedente questa non è simmetrica, quindi dovremo risolvere tutta la struttura per poter conoscere gli sforzi agenti su ogni asta. Procediamo per gradi.

1_Verifica di isostaticità

Per verificare l'isosostacità della struttura ricorriamo alla formuna Ve + n°aste = 2(n°nodi) da verificare, dove:

- Ve = 3 sono i vincoli esterni (2 della cerniere nel nodo B e 1 nel carrello nel nodo G)

- n°aste = 11 è il numero delle aste

- 2(n°nodi) = 14 sono il numero dei nodi moltiplicato per 2

3 + 11 = 7 x 2 --> 14 = 14

verificato! la struttira è isostatica.

2_Calcolo delle reazioni vincolari

- Intuivamente deduciamo che la reazione verticale RvB è l'unica che puo bilanciare i carichi concentrati nei nodi C ed E, quini sarà uguale alla loro somma con verso opposto: RvB = 20 KN

- Le reazioni orizzontali RuB e RuG saranno uguali ed opposte e si bilanceranno a vicenda, per trovarne i valori impostiamo un equilibrio alla rotazione nel polo B annullando l'effetto di RuB ed RvB:

ΣMB =0 --> -(10KN)1 -(10KN)2 +(RuG)1 = 0 --> RuG = 30KN

- di conseguenza RuB = 30KN

3_Calcolo delle reazioni di contatto

Per conoscere lo sforzo normale agente su ogni asta in questo esercizio utilizzeremo il metodo dei nodi, che consiste nell'equilibrare singolarmente ogni nodo individuando quali sono le reazioni di contatto con cui il nodo risponde alla sollecitazione proveniente da ogni asta. Procediamo metodicamente all'analisi di ogni nodo impostando le equazioni di equilibri alla traslazione verticale ed orizzontale:

Nodo A

ΣFx =0 --> N1 = 0 [asta scarica]

ΣFy =0 --> N2 = 0 [asta scarica]

Nodo B

ΣFx =0 --> N3 + 30KN + (N4)√2/2 = 0 --> N3 = -10KN [asta scarica]

DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE

L’impalcato preso in esame è uno stralcio dell’ipotesi di progetto per una abitazione a Fiumicino (RM). Il telaio di travi e pilastri è previsto in CLS ma in questa esercitazione lo utilizzeremo come base per dimensionare una trave in diverse tecnologie, Acciaio, Legno e CLS.

La trave che andremo a dimensionare è quella che in questo stralcio di pianta sopporta il carico maggiore, la trave A-B, 2 che ha un area di influenza pari a 28mq con un interasse 4,80m, e una luce di 6,00m.

Per le tre tecnologie procederemo per gradi:

1_Scelta del pacchetto del solaio, individuando i pesi di ogni mareriale in KN/mq

2_Dimensionamento dei travetti tramite foglio excel, determinando qs, qp e qa.

qs = carico strutturale (porzione di solaio strutturale)

qp = carico permanente non strutturale (porzione di solaio non strutturale, impianti e

tramezzi)

qa = carico accidentale (2KN/mq, dipende dalla funzione dell’edificio, in questo caso

una biblioteca)

3_Dimensionamento della trave tramite foglio excel, aggiungendo il peso dei travetti al carico

strutturale qs.

4_Verifica della trave tramite foglio excel, aggiungendo al carico strutturale qs il peso proprio della

trave.

SOLAIO IN ACCIAIO

1_a) Scelta del pacchetto solaio.

1_ b) Peso dei materiali al mq.

Pavimento in gres porcellanato 0,4 KN/mq
Massetto alleggerito Foacem (per impianti) 1,4 KN/mq
Soletta = cls(c25/30)+lamiera (sp8/10) 2,4 KN/mq
Incidenza impianti 0.5 KN/mq
Incidenza tramezzi 1 KN/mq

2_Dimensionamento dei travetti

qs_carico permanete strutturale:

2,4 KN/mq (soletta+lamiera grecata)

- qp carico permanente non strutturale:

3,36 KN/mq = 0,4 KN/mq (pavimento) + 1,4 KN/mq (massetto) + 0,5 KN/mq (impianti) +

1 KN/mq (tramezzi) + 0,06 (controsoffitto)

- qa carico accidentale

2 KN/mq (abitazione)

- Qtot = qs + qp + qa = (2,4 + 3,36 + 2) KN/mq = 7,76 KN/mq

prendiamo come interasse approissimativo dei travetti 1m e calcoliamo il carico totale linearizzato:

- Qtot linearizzato = Qtot x interasse = 7,76 KN/mq x 1m = 7,76 KN/m

- Scelgo la classe di resistenza dell’acciaio --> S275

Adesso disponendedo di tutti i valori necessari posso procedere con il calcolo della dimensione del travetto attraverso un foglio di calcolo exel tenendo conto che:

M, momento massimo della trave è pari a ql²/8 come il modello della trave appoggiata

fD, resistenza a flessione di progetto e pari a fy,K/1,05(coefficiente di sicurezza)

Wx, modulo di resistenza minimo della trave, che ci permettere di scegliere il nostro profilo da tabella.

- Wx = 65,33 cm^3 --> scelgo il travetto in modo che il Wx si maggiore di 65,33 cm^3

IL travetto scelto è un IPE140 S275 Wx= 77,3 cm^3

3_Dimensionamento della trave

Per dimensionare la trave procederemo come per i travetti cambiando la luce e l'interasse, logicamente differente da quello dei travetti e aggiungendo al qs il peso dei travetti, essendo questi parte strutturale del solaio.

qs_carico permanete strutturale:

2,53 KN/mq = 2,4KN/mq (soletta+lamiera grecata) + 0,13 KN/mq (travetti)

- qp carico permanente non strutturale:

3,36 KN/mq = 0,4 KN/mq (pavimento) + 1,4 KN/mq (massetto) + 0,5 KN/mq (impianti) +

1 KN/mq (tramezzi) + 0,06 (controsoffitto)

- qa carico accidentale

2 KN/mq (abitazione)

- Qtot = qs + qp + qa = (2,53 + 3,36 + 2) KN/mq = 7,89 KN/mq

- Qtot linearizzato = Qtot x interasse = 7,89 KN/mq x 4,8m = 37,9 KN/m

- Classe dell'acciaio--> S275

Calcoliamo la trave tramite il foglio excel:

Wx = 650,71 cm^3 --> scelgo il profilo con Wx maggiore di 650,71 cm^3

La trave scelta è un IPE 330 S275 con Wx = 713,0 cm^3

4_Verifica del dimensionamento della trave

Come gia anticipato, per la verifica della trave ci limiteremo ad aggiungere al qs(carico strutturale) il peso proprio della trave ed eseguiremo di nuovo il calcolo con il foglio excel por controllare che il Wx minimo non superi quello del profilo scelto:

-Peso della trave:

49,1 Kg/m = 0,48 KN/ m (peso della trave linearizzato) --> 0,48KN/m x 4,8m = 0,1 KN/mq (peso della trave al mq)

-qs = 2,63 KN/mq

-qp = 3,36 KN/mq

-qa = 2 KN/mq

Calcolo di verifaica:

Wx = 658,96cm^3 (Wx minimo) < Wx = 713,0 cm^3 (Wx della IPE330 S275)

Il Wx minimo è minore di quello del profilo scelto --> La trave è Verificata!

SOLAIO IN LEGNO

1_a) Scelta del pacchetto solaio.

Il solaio preso in considerazione è un solaio rustico in legno massello. Le dimensioni dell'impalcato non si prestano molto a questa tecnologia ma sarà comunque interessante eseguire l'esercizio anche per capire quali sono i litimi del materiale.

1_ b) Peso dei materiali al mq.

-Pavimento in cotto levigato 0,48 KN/mq

-Massetto tradizionale SA300T (per impianti) 1,16 KN/m

-Tavolato 6KN/mc = 6KN/mc x (0.02x1x1) = 0,12 KN/mq

-Incidenza impianti 0.5 KN/mq

-Incidenza tramezzi 0,06 KN/mq

2_Dimensionamento dei travetti

qs_carico permanete strutturale:

0,12 KN/mq (tavolato)

- qp carico permanente non strutturale:

3,14 KN/mq = 0,48 KN/mq (pavimento) + 1,16 KN/mq (massetto) +

0,5 KN/mq (impianti) + 1 KN/mq (tramezzi)

- qa carico accidentale

2 KN/mq (abitazione)

- Qtot = qs + qp + qa = (0,12 + 3,14 + 2) KN/mq = 5.26 KN/mq

interasse da manuale del recupero del restauro di strutture orizzonatali: 0,55m

- Qtot linearizzato = Qtot x interasse = 5.26 KN/mq x 0,55m = 2,89 KN/m

Scelgo per la realizzazione dei travetti il legno lamellare BS14 con classe di resistenza GL28

Andiamo ad eseguire il calcolo con il foglio excel, considerando che:

M, momento massimo della trave è Ql^2/8

fm,k è la resistenza del legno, valore tabellato dato dalle caratteristiche del materiale 28 N/mmq

K,mod, coefficiente correttivo che tiene conto della permanenza del carico e dell'usura della struttura 0,5

ym, coefficiente di sicurezza 1,45

fD , resistenza di progetto data la fm,k*Kmod / ym = 28N/mmq x 0,5 / 1,45 = 9,66 N/mmq

b , è la base del travicello che prendiamo 10 cm

h , è l'altezza del travetto con la quale possiamo dimensionare il nostro elemento

h = 19,91 cm --> il travicello scelto è il BS14 Gl28 10 x 22 cm

3_Dimensionamento della trave

qs_carico permanete strutturale:

peso travicelli --> (0,1x0,22x1)m x 6 KN/mc = 0,13 KN/mq

0,25 KN/mq (tavolato + travicelli)

- qp carico permanente non strutturale:

3,14 KN/mq = 0,48 KN/mq (pavimento) + 1,16 KN/mq (massetto) +

0,5 KN/mq (impianti) + 1 KN/mq (tramezzi)

- qa carico accidentale

2 KN/mq (abitazione)

- Qtot = qs + qp + qa = (0,25 + 3,14 + 2) KN/mq = 5.39 KN/mq

- Qtot linearizzato = Qtot x interasse = 5.39 KN/mq x 4,80m = 25,9 KN/m

-classe di resistenza del legno lamellare GL28

Calcoliamo la sezione della trave con il foglio excel:

h = 49,11 --> la trave scelta è il BS14 Gl28 30 x 55 cm

4_Verifica del dimensionamento della trave

-Peso della trave:

(0,3x0,55x1)m x 6 KN/mc = 0,99 KN/mq

-qs = 1,24 KN/mq

-qp = 3,14 KN/mq

-qa = 2 KN/mq

Calcolo di verifica:

h = 53,43 < 55 (h della trave scelta)

h della sezione trovata aggiungendo il peso proprio della trave non supera quella della sezione scelta, la trave è Verificata!

SOLAIO IN CLS

1_a) Scelta del pacchetto solaio.

Il solaio preso in considerazione è un solaio tradizionale di pignatte e travetti in cemento precompresso, per l'analisi dei carici ci affidiamo ai valori tabellati forniti dal produttore in questo caso EDILTACCONI s.p.a.

1_ b) Peso dei materiali al mq

-Pavimento in gress porcellanato 0,4 KN/mq

-Isolante acustico 0,62 KN/mq

-pacchetto : caldana

pignatte

travetti

getto di completamento 2,8 KN/mq (valore tabellato)

-Intonaco 0,3 KN/mI

-Incidenza impianti 0.5 KN/mq

-Incidenza tramezzi 1 KN/mq

2_Dimensionamento della trave

qs_carico permanete strutturale:

2,8 KN/mq (valore tabellato)

- qp carico permanente non strutturale:

2,82 KN/mq = 0,4 KN/mq (pavimento) + 0,62 KN/mq (isolante) + 0,3 KN/mq (intonaco) +

0,5 KN/mq (impianti) + 1 KN/mq (tramezzi)

- qa carico accidentale

2 KN/mq (abitazione)

- Qtot = qs + qp + qa = (2,8 + 2,82 + 2) KN/mq = 7,62 KN/mq

- Qtot linearizzato = Qtot x interasse = 7,62 KN/mq x 4,8m = 36,5 KN/m

Adesso devo scegliere la classe di resistenza del materiale, nel calcestruzzo sia l'acciao che il cemento svolgono un importante ruolo

strutturale quindi dobbiamo scegliere

-classe di resistenza delle barre d'acciaio B450A fy,k = 450 MPa (utilizzata in zona sismica)

-classe di resistenza del calcestruzzo C40/50 (40=Fck resistenza cilindrica - 50=Rck resistenza cubica)

Effettuiamo il dimensionamento della trave tenendo conto che:

M, è il momento massimo della trave Ql^2/8 dato dal modello della trave appoggiata

fy, è la resistenza delle barre 450 MPa

fy,k è la resistenza diviso il coefficiente di sicurezza dell'accio per armature 450Mpa/ 1,15 = 391,30 N/mmq

Rck è la resistenza cunica del cemento 50 N/mmq

Fcd è la tensione di progetto data Rck/1, 5 (coefficiente di sicurezza)

b è la base della sezione della trave 25cm

delta sono i centimetri di cemento destinati al copriferro che non hanno funzione strutturale

H infine è l'altezza della sezione della trave

H = 34,43 --> scelgo una trave 25x40 cm

4_Verifica del dimensionamento della trave

-Peso della trave:

il foglio excel mi fornisce il peso al metro lineare, dividendolo per l'interasse ottengo il peso al metro cuadro

2,15 KN/m / 4,8m = 0,45 KN/mq

-qs = 3,25 KN/mq

-qp = 2,82 KN/mq

-qa = 2 KN/mq

Calcolo di verifica:

H = 35,29 cm < H = 40 cm (altezza della sezione scelta)

L'altezza della sezione ricalcolata con il peso proprio della trave è minore dell'altezza scelta in precedenza

la trave è Verificata!

STRUTTURA RETICOLARE SPAZIALE

In questa esercitazione ci occuperemo del disegno l’analisi e il dimensionamento di una struttura reticolare spaziale con modulo cubico (2x2x2)m e dimensioni (8x12x2h)m. Disegneremo la nostra struttura utilizzando come base Autocad, importeremo poi il disegno su SAP2000 per eseguirne l’anasisi strutturale e il dimensionamento.

1_disegno della struttura

Apriamo un nuovo file di Autocad e creiamo un nuovo layer che rinomineremo “aste”.

Questa operazione ci permettera di assegnare al layer la funzione Frames su SAP.

Sul layer appena creato iniziamo a disegnare la struttura partendo dall’ origine degli assi (0,0,0) in modo da ritrovare facilmente il disegno una volta importato su SAP.

Il modulo di base della reticolare spaziale sarà un cubo di lato 2m. Disegnamo quindi con il comando “Plilinea” tre lati e una diagonale lasciando appositamente aperto un lato del quadrato.

Utilizzando il comando “Arrey” ripetiamo lungo l’asse X il disegno di base per quattro con distanza 2m in modo da definire i moduli del lato corto della nostra piastra pari a 8m ossia 4 moduli.

Da questa operazione possiamo renderci conto dell’importanza di aver lasciato aperto un lato del quadrato iniziale, così facendo non avremo sovrapposizioni di polilinee nel disegno.

Passiamo ora al disegno in tre dimensioni utilizzando il comando “orbita” (o più facilemente Shift+Rotellina).

Utilizzando il comando “Ruota3d” ruotiamo intorno all’asse X di 90° in modo da avere l’intero disegno sul piano X,Z.

Abbiamo definito lungo l’asse Z altezza della nostra piastra pari 2m ossia un modulo.

Cambiano il sistema di riferimendo UCS sul piano Y,Z disegnamo le aste rimanenti per completare il modulo cubico lasciando aperto questa volta un intera faccia del cubo.

Ancora utilizzando il comando Arrey ripetiamo il disegno per 4 volte lungo X con distanza 2m.

Abbiamo disegnato un intera riga della nostra piastra.

Concludiamo il disegno ancora una volta con il comando “arrey” questa volta lungo Y sempre con distanza 2m ripetendo la riga per 6 volte.

Cancelliamo le linee aste in eccesso con l’accortezza che ogni modulo della piastra sia completo su ogni faccia.

Abbiamo disegnato la nostra piastra reticolare spaziale.

2_definizione della struttura su SAP2000

Per effettuare l'analisi della struttura ci affideremo come gia detto a SAP2000.

Salviamo il file di Autocad con estenzione .dxf 2007 in modo da poterlo importare su SAP.

Apriamo quindi SAP e scegliamo subito come unità di misura KN,m,C°

Una volta importato il file SAP ci chiede se qualche layer corrisponde ad eventuali elementi strutturali, assegneremo al nostro unico layer “Aste” la funzione di frames.

Per poter analizzare il comportamento strutturale della nostra piastra reticolare spaziale dobbiamo prima definirla come modello strutturale in modo che SAP possa riconoscerla.

Procediamo con ordine definendo :

vincoli esterni
vincoli interni
materiale delle aste
sezione delle aste
eventuali carichi (per poter apprezzare la deformata della struttura)

-vincoli esterni

Selezioniamo i 4 vertici inferiori della piastra e assegnamo a questi come vincoli esterni le Cerniere.

-vincoli interni

Esssendo una Reticolare spaziale dobbiamo imporre che agli estremi delle aste siano rilasciati i momenti simulando in questo modo la presenza di una cerniera interna in prossimità dei nodi della struttura.

Selezioniamo tutte le aste e imponiamo il rilascio dei momenti 2,2 e 3,3 in tutti i nodi della struttura.

-materiale delle aste

Per assegnare il materiale alle aste dobbiamo prima definirlo.

Creiamo un nuovo materiale “acciaio” assegnando come tipo di materiale “Steel”.

Una volta definito possiamo assegnarlo alle nostre aste.

-sezione delle aste

Allo stesso modo definiamo prima una sezione, in questo caso “tubolare”, alla quale possiamo assegnare il materiale “acciaio”.

Una volta definita la sezione possiamo assegnarla alle aste.

Una volta terminate queste operazioni la nostra struttura appare in questa maniera con tutte le aste definite con sezione e materiale.

-carichi

Anche i carichi prima di essere assegnati devono essere definiti.

Quindi definiamo un carico gravitazionale di -40kN (segno meno in modo da averla rivolta verso il basso),

che chiameremo “Forza Concentrata”.

Una volata definito il carico dobbiamo assegnarlo alla struttura, ovviamente essendo una struttura reticolare dobbiamo assegnarlo sui nodi superiori. Per selezionarli dobbiamo spegnere momentaneamente le aste attraverso il comando “set display options” --> “frame not in view” e “joints not invisible”.

Selezionando la vista 2D del piano Z,X possiamo facilmente selezionare i nodi superiori della struttura.

Adesso possiamo assegnare ai seguenti nodi il carico “forza concentrata” gia definito in precedenza.

Dalla vista 3d possiamo osservare la distribuzione delle forze concentrate su tutti i nodi superiori della struttura.

La struttura è modellata in maniera corretta affinché SAP possa riconoscerla, quindi procediamo lanciando l’analisi.

3_analisi della struttura

Lanciamo l'analisi ricordando di far analizzare i carichi di default.

SAP ci chiederà di salvare il file, dopo di che sarà subito possibile osservare la deformata della struttura sotto l'azione delle

forze concentrate.

Seguono i diagrammi dello sforzo Normale, rosso se di compressione e giallo se di trazione.

In oltre SAP ci offre le tabelle dove vengono specificati gli sforzi normali agenti su ogni asta, individuiamo l’asta più compressa e quella più tesa, e procediamo con il loro dimensionamento.

4_predimensionamento

Nmax (trazione)= 263,469 KN

Nmax (compressione)= -385,631 KN

-progetto dell’asta tesa

Per prima cosa definiamo la tensione di progetto --> fD = fy / γm

fD = tensione di design

fy = tensione di snervamento = dipende dal tipo di acciano in questo caso scegliamo S275

fy=275 MPa

γm = coefficiente di sicurezza = 1,05

fD = 275 MPA / 1,05 = 261,9 MPa

Definita la tensione di progetto possiamo definire anche l’area della sezione utilizzando la formula

fD = N / A --> A = N / fD

A = area della sezione

N = Sforzo normale massimo di trazione --> 263,469 KN = 263469 N

fD = tensione di progetto --> 261,9 MPA = 261,9 N/mm^2

A = 263469 N / 261,9 N/mm^2 = 1005,99 mm^2 = 10,06 cm^2

Scelgo quindi dalle tabelle una sezione con un area maggiorne di quella calcolata:

IL profilo scelto ha :

diametro 114,3 mm

spessore 3,6 mm

Area della sezione 12,50 cm^2

-progetto dell’asta compressa

Per il progetto dell’asta compressa eseguo lo stesso procedimento dell’asta tesa cambiando N, che questa volta sarà quello di compressione N = 385,631 KN, quindi:

A = 385631 N / 261,9 N/mm^2 = 1472,4 mm^2 = 14,72 cm^2

IL profilo scelto ha :

diametro 139,7 mm

spessore 3,6 mm

Area della sezione 15,40 cm^2

Per il progetto dell'asta compressa ci preoccuperemo di esguire anche la verifica a stabilità o Verifica del carico critico Euleriano.

Dobbiamo quindi verificare che il carico di punta P ,ovvero il nostro sforzo massimo di compressione Nmax

sia inferiore al carico critico euleriano P_crit, per il quale l'asta tenderebbe a sbandare e risulterebbe quindi instabile.

P < P_{crit -->}P_crit= π² x E x Jmin / l0²

dove: E = modulo elastico a compressione

Jmin = momento di inerzia minimo della sezione, in questo caso uguale in tutte e due le direzione in quando

la sezione è circolare.

lo = luce libera di inflessione, ossia la distanza tra due flessi dell'onda di sbandamento, questo valore dipende

dalla lunghezza dell'elemento e da i suoi vincoli esterni, in questo caso due cerniere quindi lo = l ,

l = √2 m = 2,8 m.

P_{crit =}π²x210000 N/mm2 x 357000 mm⁴/ 7840000 mm²= 942,824 KN

385,631 KN< 942,824 KN

asta verificata!

RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE

(Esercitazione svolta in collaborazione con Davide Troiani)

Una struttura deve essere progettata per resistere ai carichi gravitazionali e allo stesso tempo reagire agli effetti di un eventuale carico orizzontale, come ad esempio un sisma o l’ azione del vento.

In una struttura ad occuparsi della spinta delle forze orizzontali sono i controventi. Per analizzare la ripartizione del carico orizzontale sui vari controventi dobbiamo ipotizzare che in un impalcato:

1) Il solaio sia un corpo rigido, non deformabile soggetto a traslazioni e rotazioni.
2) I telai si comportino come corpi elastici che reagiscono alla forza orizzontale con una spinta pari a f= K_t ∙ δ

Prenderemo come esempio il seguente impalcato in cemento armato, composto da 17 pilastri, 6 controventi verticali e 3 orizzontali, e analizzeremo il suo comportamento sotto l’ effetto delle forze sismiche:

- Qtot = qs + qp + qa = (2,4 + 3,36 + 5) KN/mq = 10,76 KN/mq

prendiamo come interasse approissimativo dei travetti 1m e calcoliamo il carico totale linearizzato:

- Qtot linearizzato = Qtot x interasse = 10,76 KN/mq x 1m = 10,76 KN/m