blog di Valeria.Miloro

Per questa esercitazione abbiamo dimensionato un graticcio di travi inflesse partendo da un modello idealizzato di piastra, effettuando un infittimento delle travi. La piastra presenta un comportamento, fuori dal piano medio, soggetto prevalentemente a momento flettente M.

Momenti intorno a x e y.

Tagli che equilibrano la forza F.

Il graticcio è un oggetto tridimensioanle rappresentato da un modello bidimensionale dove i momenti abitano su due piani diversi per questo nell'equilibrio rotazionale si sommano i momenti Mx e My separatamente.

Rotazione e curvatura intorno a X

Rotazione e curvatura intorno a Y

GEOMETRIA

Abbiamo scelto una piastra di dimensioni 30 x 30 m con appoggi ogni 10 metri in modo da avere 4 appoggi per lato. a questo abbiamo diffrerenziato i pilastri per sezioni:

PILASTRI ANGOLARI: 100 x100 cm:

PILASTRI DI BORDO: 120 x 60 cm 

come prima cosa, avendo dimensionato sezioni rettangolari per i pilastri di bordo si dovrà tener conto dell’orientamentamento e quindi del valore del momento di inerzia che inciderà sulla rigidezza. Si è provveduto a ruotare i pilastri perimetrali posti lungo l’asse Y ( sistema globale ) andando a ruotare di 90° gli assi locali degli elementi. In questo modo il momento d’inerzia aumenta in quanto la base e l’altezza sono invertite e di conseguenza maggiore sarà la rigidezza.

Una volta assegnate le sezioni ai pilastri definiamo la sezione della piastra con shell-thick e imposto un’altezza di 100 cm. Per simulare il comportamento di un sistema discreto definisco un materiale C50/60 fittizio ponendo il coefficiente di poisson pari a 0 in quanto sappiamo che nel graticcio le deformazioni laterali delle travi sono trascurabili rispetto alle deformazioni principali.

Sistema continuo; Sistema discontinuo

ASSEGNAZIONE DEI CARICHI

Dopo aver discretizzato l’area suddivido i nodi dell piastra per l’assegnazione dei carichi verticali:

NODI CENTRALI

NODI PERIMETRALI

NODI ANGOLARI

L’edificio ipotizzato ha una struttura che regge 4 piani. Ogni piano occupa una superficie di 900 mq. Devo calcolare il carico di stato ultimo qu facendo l’analisi dei carichi del solaio. Scelgo un solaio in acciaio con qu di 12,45 KN/m2 . Per ogni nodo viene considerata l’area di influenza, dove per i perimetrali l’area di influenza è la metà e per gli angolari è 1/4 mentre per quelli centrali è massima.

P solaio= n x qu x A = 4 x 12,45 KN/m2 x 900 m2 = 44820 KN 

Nodi totali - nodi perimetrali - nodi angolari = Nodi centrali = 3600

Fc= 44820 KN / 3600 = 12,45 KN

Fp= 12,45 KN / 2 = 6,22 KN

Fa= 6,22 KN / 2= 3,11 KN

Assegno le forze ai nodi e mando l’analisi con il carico definito allo SLU e con il fattore moltiplicativo a 1 per considerare il peso proprio della struttura. Dai diagrammi del momento flettente i valori di m 1-1 e m 2-2 sono gli stessi valori, in quanto il sistema è simmetrico. Prendiamo il valore massimo in corrispondenza di un pilastro per dimensionare l’altezza della piastra.

DISEGNO RETICOLO GRATICCIO

Per dimensionare l’altezza delle travi del graticcio abbiamo calcolato il momento di inerzia di una porzione di piastra considerando l’interasse delle travi quindi in base a quante travi posiziono lungo i lati. Le travi dovranno avere lo stesso lo stesso momento di inerzia della porzione di piastra ma con base un base diversa e l’altezza mi dovrà garantire lo stesso valore di I e quindi l’incognita è h3.

h = (12 Ix / b) 1/3

La sezione della trave da assegnare nel modello di SAP è 40 cm x 190 cm. A questo punto modello il reticolo di travi inflesse andando a definire le sezioni ottenute. Per simulare un nodo rigido interno separo le travi modellate in modo che non siano continue.

Vado ad assegnare le forze concentrate in corrispondenza dei nodi centrali, perimetrali e angolari considerando le relative aree di influenza.

Fc= 44820 m2 / 144 = 311,25 KN

Fp= 155,63 KN

Fa= 77,81 KN

Definisco un nuovo carico Q con fattore moltiplicativo pari ad 1 sempre per considerare il peso effettivo della struttura e mando l’analisi per effettura la verifica di resistenza degli elementi e verificare allo SLE gli abbassamenti.

VERIFICA DI RESISTENZA TRAVI

Confrontando i valori dei momenti, in corrispondenza del nodo rigido tra trave e appoggio notiamo che sono molto simili.

Mmax (trave) = 11343,30KNm

Mmax (pilastro) = 11935,94 KNm

Diagrammi dei momenti M3 travi e pilastri

Per evitare che le travi si deformino troppo possiamo aumentare la rigidezza torsionale della trave di bordo, in questo modo, parte del momento flettente che arriva al nodo sarà assorbito dalla trave di bordo irrigidita aumentando la base. Assegnata la nuova sezione alla trave di bordo di 100 x 190 cm rimandiamo l’analisi per verificare i momenti sulle travi del graticcio. Dato che i contributi dei momenti delle travi, che appoggiano sulla trave di bordo e sugli appoggi scaricheranno sui pilastri, quest’ultimi risulteranno molto sollecitati. Dimensiono la sezione dei pilastri con il momento massimo 11351,11 KNm.

la sezione da assegnare ai pilastri è 60 x 190 cm. A questo punto per dimensionare la sezione della trave del graticcio rimando l’analisi prendendo il nuovo valore del momento massimo uguale 11247,83 KNm.

L’altezza minima risulta essere 219,78 cm quindi posso prendere una sezione di 40 cm x 230 cm e la assegno su SAP. Rimandando nuovamente l’analisi, il valore del momento massimo risulta 11562,35 KNm.

La sezione 40 x 230 cm risulta soddisfatta per la verifica a resistenza.

VERIFICA A PRESSOFLESSIONE PILASTRI

A questo punto abbiamo verificato la sezione dei pilastri soggetti a pressoflessione con il valore del momento ottenuto dopo aver assegnato la sezione della trave di bordo. Possiamo notare dal diagramma dello sforzo normale che il graticcio si comporta come una serie di portali.

Diagrammi Sforzo normale

 Dalla verifica risulta non verificata la sezione 60 x 190 cm e quindi andremo ad aumentare la sezione ottenendo dei piccoli setti.

VERIFICA DEFORMABILITA'

Devo verificare di quanto si abbassi e per essere soddisfatta l’abbassamento maggiore non deve superare un 1/200 della distanza maggiore tra gli appoggi. Per verificare la deformabilità devo assegnare il carico allo stato limite d’esercizio. Prendo lo spostamento maggiore e verifico che sia minore di L/200, dove L è la distanza massima. Dalla deformata risulta che il valore massimo di abbassamento è di 2,6 cm che soddisfa la verifica di deformabilità.

L’esercitazione prevede il dimensionamento e la verifica di una struttura in cls armato composta da tre travi Vierendeel incastrate su tre setti. La trave Vierendeel è costituita da due correnti, superiore e inferiore e da una serie di montanti verticali. Il modello che approssima bene la trave Vierendeel è il telaio Shear-Type ruotato di 90°, caratterizzato da traversi infinitamente rigidi flessionalmente e montanti infinitamente rigidi sia assialmente che flessionalmente.

GEOMETRIA

Abbiamo considerato una struttura composta da tre travi Vierendeel aggettanti. Le travi sono caratterizzate da campiture di 3 m di larghezza per 3 m di altezza, tutte aggettanti di 18 m. I tre setti, invece, hanno una dimensione di 6x9x0,4 m.

ANALISI DEI CARICHI

Abbiamo scelto un solaio in cls armato e abbiamo effettuato l’analisi dei carichi per ricavare il valore delle forze concentrate che agiscono su ogni pilastro. Abbiamo calcolato sia le combinazione allo SLU che allo SLE. La combinazione allo SLE è necessaria per la verifica degli abbassamenti.

• q_s = 3,50 KN/m²

• q_p = 3,00 KN/m²

• q_a = 2,00 KN/m²

• q_u= q_s x 1,3 + q_p x 1,5+ q_a x 1,5 = 12,05 KN/m²

• q_e= 3,50 KN/m² x 1+ 3,00 KN/m² x 0,7+ 2.00 KN/m² x 0,7 = 7,00 KN/m²

Successivamente abbiamo calcolato l’area di influenza dei singoli pilastri e trovate le forze concentrate agenti su di essi.

Pilastri perimetrali: 3,00 x 2,50 m = 7,5 m²

Pilastri centrali: 3,00 x 5,00 m = 15 m²

Pilastri angolari: 1,5 x 2,5 = 3,75 m²

F centrale: 12,05 KN/m² x 15,00 m² = 180,75 KN

F perimetrale: 12,05 KN/m² x 7,5 m² = 90,37 KN

F angolare: 12,05 KN/m² x 3,75 m² = 45,2 KN

MODELLAZIONE SAP

Per prima cosa abbiamo modellato i setti tramite lo strumento “Poly Area” e successivamente abbiamo discretizzato le superfici in porzioni più piccole. Questa operazione ci permette di modellare il setto in modo verosimile e facilita il programma nel calcolo strutturale. Successivamente abbiamo assegnato i vincoli esterni alla base del setto considerati come incastri. Nel passaggio successivo abbiamo modellato le travi Vierendeel e abbiamo vincolato le travi e il setto attraverso un incastro. Per assegnare le sezioni in SAP abbiamo utilizzato le tabelle excel per pridimensionare le travi a flessione e i pilastri a presso-flessione utilizzando i valori massimi del momento e della normale ottenuti dal calcolo delle sollecitazioni. Abbiamo suddiviso gli elementi in base alla loro area di influenza. Per le travi centrali risulta una sezione di 40x100 cm, per le travi perimetrali una sezione 40x70 cm, per i pilastri centrali e perimetrali una sezione di 40x100 cm. Successivamente abbiamo assegnato le sezioni in SAP utilizzando un calcestruzzo di classe C40/50.

Per assegnare la sezione al setto, invece, abbiamo usato lo strumento “Area Section” scegliendo la tipologia “Shell” e, per tenere conto anche del taglio, abbiamo selezionato “Shell Thick” e assegnato uno spessore di 40 cm e un calcestruzzo di classe C40/50.

Successivamente abbiamo assegnato i carichi concentrati ai nodi pari a F = 180,70 KN per i pilastri centrali, una forza pari a F = 90,37 KN per i pilastri perimetrali e una forza pari a F = 45,2 KN per i pilastri angolari.

Infine abbiamo fatto partire l’analisi allo SLU e abbiamo estrapolato i diagrammi della Normale, del Taglio e del Momento.

VERIFICA

Trovate le sollecitazioni massime sia nei pilastri che nelle travi, abbiamo utilizzato le tabelle excel per verificare le sezioni assegnate, per i pilastri abbiamo effettuato la verifica a pressoflessione mentre per le travi abbiamo effettuato la verifica a flessione. Dalla verifica risulta non verificata la sezione 40 x 70 cm delle travi perimetrali. Andando a cambiare le dimensioni della sezione con 40 x 90 cm la verifica risulta soddisfatta. I pilastri, invece, risultano in grande eccentricità con le relative sezioni soddisfatte.

VERIFICA DEGLI ABBASSAMENTI

Devo verificare di quanto si abbassi la trave e per essere soddisfatta l’abbassamento maggiore non deve superare un 1/200 della distanza maggiore tra gli appoggi. Per verificare la deformabilità devo assegnare il carico allo stato limite di esercizio ed esportare gli abbassamenti. Prendo lo spostamento maggiore e verifico che sia minore di L/200, dove L è la distanza massima. Risulta che il valore massimo di abbassamento è di 0,02 m che soddisfa la verifica di deformabilità in quanto L/200= 18 m/200 = 0,09 m.

RIPARTIZIONE DI FORZE ORIZZONTALI AGENTI SU UNA STRUTTURA IN CLS

Per questa esercitazione è stato considerato un edificio in cls armato, precedentemente dimensionato e modellato su SAP, come un insieme di telai ''shear type'' con le relative rigidezze traslanti. Essendo un telaio di elementi verticali e orizzontali tra loro collegati da nodi rigidi, questi potranno avere doppia funzione se disposti adeguatamente; resistere al peso della costruzione e di resistere alle forze orizzontali, in questo caso si è considerata l'azione sismica. Per la ripartizione delle forze orizzontali è stato necessario applicare un diaphragm ad ogni piano, cioè un vincolo interno, che colleghi le teste dei pilastri ad un unico corpo rigido piano, l'impalcato. In questo modo si impone a tutti i punti del piano di ruotare attorno all’asse Z nel centro delle rigidezze C, e di non inflettersi fuori dal piano.

L'edificio è definito dal seguente impalcato:

I solai sono orditi come indicato in figura ed i pilastri hanno le seguenti sezioni con diversi momenti d'inerzia e conseguenti rigidezze:

• CALCOLO DELLE RIGIDEZZE DEI CONTROVENTI

Nella figura si possono individuare nove telai, cinque paralleli all’asse Y e quattro paralleli all’asse X :

Il solaio è ipotizzabile rigido nel suo piano, mentre i controventi sono cedevoli elasticamente e rappresentabili come molle. Nelle tabelle del foglio excel inseriamo il valore dei momenti d’inerzia per calcolare la rigidezza traslante con cui ogni telaio si oppone alle forze orizzontali.

• CALCOLO DEL CENTRO DI MASSA

Nel caso di un impalcato rigido con densità di massa uniforme su tutto l'impalcato il centro di massa coincide con il centro d'area. Calcoliamo il centro di massa dell'impalcato in quanto sarà il punto di applicazione della forza sismica.

• CALCOLO DEL CENTRO DELLE RIGIDEZZE

Trovate le rigidezze traslanti dei controventi verticali e orizzontali, si inseriscono nella tabella sinottica con le relative distanze dal centro di rotazione O. Il calcolo del centro delle rigidezze dipende dalle rigidezze globali dei controventi verticali Kv, tot e orizzontali Ko, tot tote dalle distanze rispetto ad O.

Il centro delle rigidezze C non coincide con il centro di massa G ma risultano avere stessa ordinata Y; quest’operazione ci consente di verificare se l’impalcato subisce una rotazione o sola traslazione. Considerando C come il centro di rotazione di tutti i punti dell'impalcato rigido attorno all'asse Z, la forza sismica Fs esterna applicata a G lungo Y, NON passa per il centro delle rigidezze e quindi avrà luogo una rotazione e una traslazione verticale. La forza sismica Fs applicata lungo X, PASSA per il centro e quindi ci sarà sola traslazione orizzontale.

• CALCOLO DELLA RIGIDEZZA TORSIONALE

Oltre a calcolare le coordinate del centro di rigidezza, ricaviamo anche il valore della rigidezza torsionale, calcolando tutte le distanze dei diversi controventi dal nuovo centro di rotazione C per trovare la rigidezza torsionale e in seguito calcolare la rotazione dell'impalcato.

• CALCOLO DEI CARICHI ORIZZONTALI

Per la ripartizione delle forze orizzontali, manca ora solo il carico orizzontale, essendo questo ipotizzabile come una forza sismica, si ricava tale carico dalla formula:

F s = W edificio • c

Vengono inseriti nella tabella i valori dei carichi che definiscono il tipo di solaio e calcoliamo la forza peso dell'edificio, uguale alla massa dell'edificio per l'accelerazione.

Insieme all’utilizzo dei coefficienti di contemporaneità e di intensità sisimica si ricava la forza sismica orizzontale da applicare sul centro di massa.

W edificio = P = Mg ( Forza Peso dell'edificio in KN )

P = QS + QP + 0,8 • QA ( 0,8 corrisponde al valore del coefficiente di contemporaneità)

QS = npiani • A tot • qs

Qp = npiani • A tot • qp

Qa= npiani • A tot • qa

Introduciamo un coefficiente di intesità sismica c per tenere conto della sismicità del luogo di progettazione dell’edificio.

• RIPARTIZIONE DELLE FORZE ORIZZONTALI

Si dovrà ora quantificare la ripartizione della forza sismica FS sui controventi con le relative reazioni elastiche, e gli effetti cinematici sull’impalcato in termini di traslazione e di rotazione rigida:

Quando la forza è parallela all’asse X, le reazioni elastiche dei controventi verticali e orizzontali sono uguali a:

Ri, v = ki, v ( delta,v • ddi, v ) = ki, v ( delta,v • 0 ) = 0

Ri, o = ki, o ( delta,o + phi • ddi, o ) = ki, o • delta,o

Quando la forza è parallela all’asse Y, le reazioni elastiche dei controventi verticali e orizzontali sono uguali a:

Ri, v = ki, v ( delta,v + phi • ddi, v )

Ri, o = ki, o ( phi • ddi, v )

La forza ripartita lungo X, controbilanciata dalle reazioni dei controventi orizzontali, è uguale alla traslazione orizzontale per la rigidezza traslante del controvento e non genera rotazione perché l'asse passa per il centro delle rigidezze dove si annulla il Momento Torcente avendo braccio nullo.

La forza ripartita lungo Y, controbilanciata dalle reazioni dei controventi verticali, genera una traslazione verticale e una rotazione attorno al centro delle rigidezza.

Fx = k,o • delta,o

Fy = k,v • delta,v

• ASSEGNAZIONE CARICHI ORIZZONTALI

Fi = FS • hi / ∑ hi

Fi corrisponde al valore della forza sismica da applicare nel centro di massa di ciascun piano. Fi risulta direttamente proporzionale alla quota, gli ultimi piani subiscnono maggiormente l’azione sismica, ed è per questo che la distribuzione della forza sismica ha un andamento triangolare.

• VERIFICA A PRESSOFLESSIONE DEI PILASTRI

Dopo aver mandato l'analisi con il carico SLU e la forza sismica F lungo Y, ricaviamo le nuove sollecitazioni di progetto che verranno inserite nella tabella excel ai fini della verifica a pressoflessione dei pilastri.

Dalla verifica risultano non verificate le sezioni 30 x 30 cm di due pilastri angolari dell'ultimo piano che ricevono maggiore flessione. Andando a cambiare le dimensioni della sezione con 40 x 40 cm la verifica risulta soddisfatta.

Sovrapposizione degli effetti: Traslazione orizzotale e rotazione, Piano XY

Sovrapposizione degli effetti: Traslazione orizzontale e rotazione, Piano ZY

• MODELLAZIONE DEL TELAIO

Per la modellazione dell’edificio è stato utilizzato direttamente il software di SAP2000 andando, in seguito al predimensionamento delle sezioni, ad assegnare le informazioni relative al materiale, alle sezioni degli elementi e ai carichi verticali ed orizzontali. Innanzitutto è stata disegnata la struttura del primo livello e poi replicata in altezza fino ad ottenere l’altezza prestabilita dell’edificio. Essendo un telaio di elementi verticali e orizzontali tra loro collegati da nodi rigidi, assegno un vincolo interno (Assign/Joint/Constraint/Diaphragm) e ai pilastri del piano terra il vincolo di incastro esterno al terreno. Assengnando il diaphragm, si impone a tutti i punti un’unica rotazione attorno all’asse z, in modo da ottenere un impalcato rigido.

Per facilitare l’assegnazione delle sezioni ottenute dal predimensionamento degli elementi verticali e orizzontali, si creano dei gruppi di selezione per le travi e i pilastri.

• PREDIMESIONAMENTO DELLE TRAVI 

Procedo con individuare le aree di influenza delle travi e misurarne l’interasse.

Scelto il solaio in laterocemento dell’impalcato ne considero un metro quadro di normativa per calcolarne il peso. Per definire la combinazione di carico allo stato limite ultimo SLU devo tener conto dei coefficienti di sicurezza.

• q_s = 3,50 KN/m²

• q_p = 3,00 KN/m²

• q_a = 2,00 KN/m²

• q_u = q_s x 1,3 + q_p x 1,5+ q_a x 1,5 = 12,05 KN/m²

Calcolato il carico del solaio, espresso come densità di carico superficiale in [KN/m² ], lo moltiplico per l’interasse trovando il carico lineare incidente sulle travi q_trave [KN/m].

q _trave = q_solaio x l

Per vedere quali siano le travi più sollecitate, considero il valore più grande del momento M_max sulle travi soggette a flessione  . Il momento massimo si calcola con il carico q_trave per la luce della trave. Per una trave doppiamente appoggiata il M_max è ql²/ 8 .

Per determinare l’altezza utile h_u , ovvero la distanza tra il lembo superiore del cls compresso e il baricentro delle armature tese, ho bisogno di alcuni dati e di fissare la misura della base. La formula di progetto è h_{u =} r x √ (M_max/ b ). I dati di cui ho bisogno sono le resistenze caratteristiche dell’acciaio e del cls per ricavare le tensioni di progetto relative al materiale e i moduli elastici da cui ricavo il coefficiente di omogenizzazione. Impongo che la tensione di progetto del cls sia uguale alla tensione massima nella trave, per poterla dimensionare e trovare l’altezza ingegnerizzata H_ing .

Scelgo un acciao di armatura S450C e un cls C28/35.

• f_yd = f _yk / 1,15

• f_cd = ( f_ck / 1,5 ) x 0,85

• r = √( 2 / ( f_cd ( 1 - beta / 3 ) beta ) ) 

• beta = f_cd / ( f_cd  + (  f_yd / n ) )

• n = Ef / Ec =  15       Coefficiente di omogenizzazione 

Trovate le tensioni di progetto posso determinare l’altezza utile h_u e, sommandola al copriferro, calcolare l’altezza minima che deve avere la sezione per non inflettersi.

• Hmin = h_u + delta

Per verificare se la sezione ingegnerizzata sia in grado di tenere il peso proprio e i carichi, aggiungo al carico totale del solaio il peso unitario della trave ( Peso specifico del cls moltiplicato all’area della sezione ) e lo motiplico per il 1,3. Considerando il peso proprio della trave, la sezione H_ing risulta comunque maggiore dell’altezza minima e la verifica è soddisfatta.

• PREDIMESIONAMENTO DELLE TRAVI A SBALZO

Il procedimento di progetto è uguale al precedente, calcolato il carico lineare posso determinare il momento massimo flettente per la formula dell’altezza utile h_u .

Una volta verificata la sezione ingegnerizzata, che deve essere maggiore della h_u, devo verificare che la trave non si abbassi troppo. La verifica degli abbassamenti si effettua allo stato limite d’esercizio e bisogna verificare che l’abbassamento massimo v_max sia maggiore di un certo limite di deformabilità di 1/250 della luce della mensola. Il valore dell’abbassamento si può calcolare con l’equazione della linea elastica che tiene in considerazione il momento flettente della mensola M_max = ql²/ 2, il modulo elastico della trave E_cls e momento d’inerzia I_x = b x h³ / 12 per sezioni rettangolari.  

• PREDIMESIONAMENTO DEI PILASTRI

Si è proceduto individuando l’area di influenza di ciascun pilastro. Il pilastri maggiormente sollecitati sicuramente saranno quelli al piano terra, poiché su questi verrano trasmessi tutti i carichi dei piani superiori.

L’area di influenza ha come dimensioni L_p e L_s e varia in base alla posizione dei pilastri se posti centralmente, perimetralmente o angolarmente. Calcolata l’area osservo che quelli più sollecitati saranno i pilastri centrali, quelli con l’area di influenza maggiore e quindi con sforzo normale maggiore. Per determinare lo sforzo normale di compressione N, vado a considerare sia il peso delle travi sia il peso del solaio relativo all’area di influenza. Il peso delle travi, gravante nell’area di influenza dei pilastri, si ricava sommando i contributi di ogni trave e moltiplicando per 1,3.

• q_trave = ( trave_p + trave_s ) x 1,3                                               [ KN/m ]

Il carico dovuto al solaio si ricava dalla combinazione allo stato limite ultimo del carico strutturale, di quello permanente e di quello accidentale, il tutto moltiplicato per l’area di influenza per ottenere una forza concentrata.

• q_solaio = ( q_s x 1,3 + q_p x 1,5+ q_a x 1,5 ) x A                            [ KN/m₂] x [ m₂ ] = [ KN ]​

A questo punto posso calcolare la forza di compressione sommando il q_trave e il q_solaio e moltiplicando per il numero dei piani. Una volta ricavato lo sforzo di compressione sui pilastri posso dimensionare la sezione uguagliando la tensione massima nella trave alla resistenza di progetto del materiale e ottenere l’area minima che deve avere la sezione per evitare la rottura.

• f_cd = sigma _max                      sigma _max = N / A

• f_cd = N / A

• A _min = N / f_cd​

Per elementi strutturali in cls armato le sezioni dei pilastri sono rettangolari e la formula della base minima è 2√3 x p_min ovvero in funzione della snellezza del pilastro. Per trovare il raggio minimo di inerzia devo prima deteminare la snellezza e la luce libera di inflessione che tiene conto dei vincoli a cui è soggetto il pilastro .

• lamba = π √ (E / f _cd )                     l₀ = l x beta

• p_min = √ (l₀ / lamba )

Trovato il raggio di inerzia calcolo la base minima b_min e la sovradimensiono nell’ingegnerizzazione. Per dimensionare l'altezza minima della sezione h_min ,divido la base ingegnerizzata per l’area precedentemente calcolata nel dimensionamento a resistenza. L'altezza ingegnerizzata descrive la sezione rettangolare del pilastro in cls armato, da cui si ricava l’area di progetto Adesign.

• h_min= b / A _min

Si è scelto di adottare sezioni di lato non inferiore a 30 cm e dunque di area non inferiore a 900 cm² . Le sezioni dimensionate sono 50 x 30 cm, 40 x 30 cm e 30 x 30 cm rispettivamente per i pilastri del piano terra, primo piano e piano secondo. Per la verifica della sezione poiché nel cemento armato il nodo rigido tra trave e pilastro trasmette momento, il pilastro deve resistere a pressoflessione.

•ANALISI DEL TELAIO DIMESIONATO IN SAP

Per la verifica a pressoflessione dei pilastri è stato necessario introdurre il telaio su SAP per ricalcolare correttamente le sollecitazioni della struttura. Dopo aver effettuato il predimesionamento degli elementi strutturali sui fogli di calcolo di excel, ne è stata effettuata l'assegnazione delle sezioni sul modello di SAP precedentemente creato.

Come prima cosa, avendo dimensionato sezioni rettangolari, per i pilastri si dovrà tener conto dell'orientamentamento e quindi del valore del momento di inerzia che inciderà sulla rigidezza traslante del telaio. Si è provveduto a ruotare i pilastri perimetrali posti lungo l'asse Y ( sistema globale ) andando a ruotare di 90° gli assi locali degli elementi. In questo modo il momento d’inerzia aumenta in quanto la base e l'altezza sono invertite e di conseguenza maggiore sarà la rigidezza.

• SOLLECITAZIONI MASSIME

Definisco il valore dei carichi lineari, ottenuti dai fogli excel, e li assegno alle travi che trasmetteranno momento ai pilastri. Alle perimetrali è stato aggiunto il contributo del tompagno. Il carico della tamponatura esterna in laterizio forato è stato calcolato prima al metro quadro e moltiplcato poi per l'interpiano netto ovvero l'altezza del pilastro. Nell'analisi delle sollecitazioni considero anche le forze orizzontali del vento lungo la direzione X e Y . L'azione del vento agisce sulle tamponature dei piani e da queste viene trasmesso ai pilastri sottoforma di carico distribuito linearmente lungo l'altezza.

Per ricavare le sollecitazioni massime e verificare le sezioni dimensionate, seleziono i pilastri in base ai gruppi mandando l'analisi con COMBO_Y e COMBO_X per valutare quale sia la condizione più gravosa. Dall'analisi i valori di COMBO_X risultano simili alla combinazione SLU per questo si è scelto di considerare solo l'azione del vento agente sul sopravento maggiore.

• VERIFICA DEI PILASTRI A PRESSOFLESSIONE

Dopo aver mandato l'analisi con i carichi verticali e orizzontali, ricavo le nuove sollecitazioni di progetto che andrò ad inserire nella tabella excel ai fini dell'assegnazione dei pilastri nelle tabelle della piccola, moderata e grande eccentricità. Per suddividere i pilastri nelle tre eccentricità è stata fatta una tassonomia in base al piano e sono stati individuati i pilastri in pianta per distiguerli in base all'orientamento ( per i pilastri ruotati è stato condiserato M attorno all'asse locale 2). Sono stati quindi inseriti i pilastri nel file excel di verifica della pressoflessione. In base al rapporto tra N e M si ricava il valore dell'eccentricità e si confronta il valore ottenuto con h/6 e h/2 .

I pilastri del piano terra risultano tutti in piccola eccentricità, quelli del primo piano rientrano sia nella moderata che nella piccola mentre quelli dell'ultimo piano ricevendo una sforzo di compressione minore avranno l'eccentricità più grande. Una volta classificati in base all'eccentricità, per verificare il pilastro a pressoflessione si deve imporre che la tensione massima sia minore della resistenza di progetto.

• sigma_max ≤ f_cd

La tensione massima può essere calcolata in funzione dello sforzo normale di compressione e il momento.

• sigma_max = N / A + M / W_max

Dalla verifica risultano non verificate le sezioni 30 x 30 cm di quattro pilastri dell'ultimo piano. Cambiando le dimensioni della sezione con 40 x 40 cm la verifica risulta soddisfatta.

• DISEGNO GEOMETRICO 

Imposto la griglia come base per disegnare il modulo della reticolare. Il modulo avrà dimensioni 3x3x3 m e sarà controventato dalle diagonali. La reticolare ha 14 moduli lungo Y e 6 lungo X.

• [ File/ new model / only grid ]

• [ Draw frame ]

Seleziono tutte le diagonali e creo un gruppo ‘‘diagonali’’ per facilitare l’analisi della struttura in diverse parti perché le diagonali avendo una lughezza maggiore e quindi un diverso raggio d’inerzia, andranno dimensionate separatamente.

• [ Define / group / add new group ]

• [ Assign / assign to group ]

Imposto la vista 2D sul piano X-Y con Z=0, seleziono tutta la struttura e inserisco le cerniere interne, interrompendo la continuità del momento tra le aste connesse, le aste reticolari sono elementi strutturali soggetti solo a sforzo assiale. Dal comando release / partial fixity spunto ‘‘start’’ e ‘‘end’’ sul momento in direzione 2-2 e 3-3. Una volta rilasciati i momenti, definisco il materiale dal comando ‘‘define materials’’ scelgo l’acciaio S355 secondo le NTC2008. A questo punto importo un’ipotetica sezione tubolare cavo da sagomario ( D244,5x5,4 mm) e l’assegno a tutte le aste, da modificare successivamente dopo aver effettuato il dimesionamento.

• [ Assign / frame / release-partial fixity ]

• [ Define / section properties / frame section / import new property / steel / pipe ]

• [ Assign / frame / frame section ]

Dal disegno della pianta realizzata su CAD individuo i punti di appoggio della reticolare ai setti. Una volta individuati applico i vincoli esterni mettendomi sulla vista X-Y con Z=0.

• [ Assign / joint / restraints ]

• ASSEGNAZIONE DEI CARICHI

L’edificio ipotizzato ha una struttura reticolare spaziale che regge 4 piani sospesi. Ogni piano occupa una superficie di 756 mq (ogni cubo della reticolare ha un’area di 6 mq).

Devo calcolare il carico di stato ultimo qu facendo l’analisi dei carichi del solaio tipo. Scelgo un solaio in acciaio.

• Destinazione d’uso : Uffici qa = 2,00 KN/m2

• qs = qlamiera+ qc.a=2,00 KN/m2

• qp = qgres+ qmassetto+ qisolante+ qimpianti+ qtramezzi+ qcontrosoffitto= 4,57 KN/m2

• qu = 2,00 KN/m2x 1,3 +4,57 KN/m2x 1,5+ 2,00 KN/m2x 1,5 = 12,45 KN/m2

Per ogni pilastro viene considerata l’area di influenza, dove per i perimetrali l’area di influenza è la metà e per gli angolari è 1/4 mentre per quelli centrali è massima ovvero 36 mq. L’area di influenza dei restanti pilastri e dei setti la trovo da ‘‘properties’’ selezionando la polilinea. Ogni pilastro è agganciato alla reticolare da tiranti in acciaio che si ancorano ai nodi della reticolare. 

• Pn,centrali = n x qu x An,centrali = 4 x 12,45 KN/m2 x 36 m2 = 1792,8 KN
• Pn,perimetrali = Pnodi centrali / 2 = 896,4 KN
• Pn,angolari = Pnodi perimetrali / 2 = 448,2 KN 
• Pn1,setti = (n x qu x An1,setti ) / 4= 1008,45 KN (4 nodi sul setto) 
• Pn2,setti = (n x qu x An1,setti ) / 3= 896,4 KN (3 nodi sul setto)
• Pn = (n x qu x An1,setti )= 1344,6 KN 

Definisco il carico P trovato da applicare ai nodi come forza concentrata con moltiplicatore di peso proprio pari a 0. A questo punto, dalla vista 2D sul piano X-Y con Z=3, seleziono i nodi superiori della reticolare presenti nella vista.

• [ Define/ load patter / add new load pattern ]

• [ Assign / joint loads / forces ] 

• SOLLECITAZIONI

Una volta applicati i vincoli interni, la sezione, i vincoli esterni e i carichi, posso far partire l’analisi con il comando run analysis e avvio solo il load pattern P (carichi concentrati) non considerando il peso proprio della reticolare. Visualizzo la deformata e i grafici degli sforzi assiali (controllo dal grafico dei momenti che questi siano nulli sulle aste).

• DIMENSIONAMENTO ASTE COMPRESSE E TESE

Per il dimensionamento dei profili esporto le tabelle da SAP selezionando solo il carico P assegnato ai nodi. Prima di esportare in Excel posso modificare le station dal comando ‘‘output station’’ impostando come numero minimo di station il valore 1, in quanto ,se progettata bene, la reticolare avrà sforzi assiali costanti per l’intera lunghezza dell’asta. Esportate le tabelle, è necessario riordinarle ulteriormente:

- Ordino la colonna station in ordine crescente ed elimino ciò che non mi serve.

- Ordino i valori dello sforzo Nd dal più piccolo al più grande in modo da separare le aste compresse da quelle tese.

• [ Ctrl + T / analysis results / frame output ]

• [ Assign / frame / output station ] 

Per semplificare l’assegnazione dei profili dimensionati alle aste posso fare un’approssimazione dividendo in macrogruppi le aste tese e compresse sia per le diagonali D che per le aste O/V scegliendo la sezione più sollecitata. 

• ASSEGNAZIONE PESO PROPRIO DELLA RETICOLARE

Per considerare il peso proprio della reticolare devo assegnare i profili dimensionati alle aste. Considero una media delle sezioni. Definisco la nuova sezione su SAP e l’assegno a tutte le aste. La sezione da assegnare è 323,9 x 5,9 mm.

• [ Define / section properties / frame section / add new property / steel / pipe ]

• [ Assign / frame / frame section ] 

Assegnate le sezioni, avvio l’analisi con il peso proprio DEAD. La struttura è in equilibro statico se la somma delle reazione vincolari verticali (cerniere assegnate) e dei carichi verticali, in questo caso il peso proprio, è nulla. Quindi dal comando ’’joints reactions’’ esporto su Excel le reazioni vincolari e sommando le F3 (asse locale verticale) ottengo il valore del peso proprio.

A questo punto creo un nuovo load pattern Pp con moltiplicatore di peso proprio uguale a 0 e lo aggiungo. Lo devo assegnare ai nodi centrali, perimentrali e angolari in quanto hanno aree di influenza diverse. Imposto la vista X-Y con Z=3 e seleziono i nodi.

n.centrali = 65

n.perimetrali = 36/2 = 18

n.angolari = 1

n.tot = 84

Pn.centrali = Pp / ntot = 1339,942 /84 = 15,95 KN/m2

Pn.perimetrali = Pn,centrali / 2 = 7,97 KN/m2

Pn.angolari = Pn,perimetrali / 2 = 3,98 KN/m2

• COMBINAZIONE DI CARICO Pp - P

Assegnati il peso proprio Pp e il P ai nodi definisco una combinazione di carico per verificare quanto incide il peso proprio sulla struttura.

Mando l’analisi con la combinazione e verifico sulle tabelle esportate nuovamente su Excel se gli sforzi assiali non sono troppo distanti dai valori iniziali. All’incirca l’aumento è del 10 %.

• VERIFICA DI DEFORMABILITA’

Devo verificare di quanto si abbassi la reticolare e per essere soddisfatta, l’abbassamento maggiore non deve superare un 1/200 della distanza maggiore tra gli appoggi. Per verificare la deformabilità devo assegnare il carico allo stato limite di esercizio ed esportare gli abbassamenti. Prendo lo spostamento maggiore e verifico che sia minore di L/200, dove L è la distanza massima. Mi creo il carico d’esercizio, lo distribuisco ai nodi in base alla loro area di influenza e mando l’analisi. 

• [ Define/ load patter / add new load pattern ]

• [ Assign / joint loads / forces ]

qe = qs x 1 + qp x 0,7 + qa x 0,7 = 6,6 KN/m2

qe = 2,00 KN/m2 x 1 + 4,57 KN/m2 x 0,7+ 2,00 KN/m2 x 0,7 = 6,60 KN/m2

Dalle tabelle risulta che il valore massimo di abbassamento è di 3,6 cm che soddisfa la verifica di deformabilità in quanto L/200= 23000 cm/200= 11,5 cm.