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Graticcio di Travi

Un graticcio, al contrario di una gerarchia, è un modello composto da un sistema di travi ortogonali che collaborano tra loro reciprocamente.

Un parametro importante in un graticcio è la rigidezza torsionale (GJp/l) poichè la flessione in una direzione provoca inevitabilmente la torsione nella sua corrispettiva ortogonale.
Il termine Ip si riferisce al momento d'inerzia polare che varia a secondo della sezione presa in esame.

Mt = (GIp/l)ϕ

Il nodo ha 6 gradi di libertà: 3 traslazioni lungo i tre assi e 3 rotazioni intorno ai tre assi
In questo caso specifico avremo un abbassamento delle due travi che provocherà una rotazione nelle sezioni della trave AB che a sua volta provocherà una torsione della trave CD

Andiamo ad analizzare i due abbassamenti:

AB:

La forza F produce un abbassamento ᵟ della trave, conoscendo già i valori della rigidezza di una trave doppiamente appoggiata potremo ricavare gli sforzi di Taglio e Momento:

TAGLIO:  T= (12EJ/l³) ϭ              Ta= (324EJ/l³) ϭ               Tb= (81EJ/2l³) ϭ

MOMENTO: M= (6EJ/l²) ϭ              Ma= (54EJ/l²) ϭ               Mb= (27EJ/2l²) ϭ

BC:

Anche il nodo dell'asta CD, sotto il carico della forza F si abbassa senza ruotare:

TAGLIO:  T= (12EJ/l³) ϭ              Tc= (96EJ/l³) ϭ               Td= (96EJ/l³) ϭ

MOMENTO: M= (6EJ/l²) ϭ              Mc= (24EJ/l²) ϭ               Md= (24EJ/l²) ϭ

Ora andiamo ad analizzare la rotazione della sezione della trave AB:


Possiamo inserire i classici schemi notevoli già ricavati dalla questione della rigidezza flessionale per ricavare i momenti della trave:

 

MOMENTO: M= (4EJ/l) ϕ                 M= (2EJ/l) ϕ               

                  M1= (6EJ/l) ϕ               M2=Ma= (12EJ/l) ϕ

                  M3=Mb= (6EJ/l) ϕ         M4= (3EJ/l) ϕ

TAGLIO:     Ta= (54EJ/l²) ϭ             Tb= (27EJ/2l²) ϕLa rotazione della trave AB provoca una torsione della trave CD:

Il valore del momento torcente sarà:  (2GJp/l) ϕ

Conoscendo tutti i contributi degli sforzi di Taglio e Momento che agiscono sul nodo potremmo scrivere le due equazioni di equilibrio:

traslazione verticale:   ΣFz = 0     F= Taϭ- Taϕ+ Tcϭ+ Tbϭ+ Tbϕ+ Tdϭ          F= (1113EJ/2l³)ϭ- (81EJ/2l²)ϕ

equilibrio dei momenti:  ΣMy = 0     0=- Maϭ- Mbϭ + M2ϕ+ M3ϕ+ Mtϕ + Mtϕ          ϭ/2= ϕ[(38+8α)/81]

Sostituiamo ϭ/2 all'interno della prima equazione per trovare l'incognita rotazionale ϕ:

ϕ = Fl² / [EJ((1231/6)+(1484/27)α)]

ESERCITAZIONE 4 - METODO DELLE FORZE

Il metodo delle forze consente di risolvere strutture iperstatiche riconducendole a sistemi isostatici equivalenti.  

la struttura analizzata viene ricondotta ad una struttura isostatica di riferimento, rispettando però la condizione dicompatibilità cinematica ovvero la congruenza degli spostamenti e delle rotazioni in ciascuna delle strutture isostatiche di rifermento.

STRUTTURA IPERSTATICA DI PARTENZA

Analizzando la struttura abbiamo 3 gradi di libertà e 6 gradi di vincolo

Ci sono quindi 3 incognite iperstatiche, quindi impostiamo una struttura isostatica equivalente in cui per ciascun grado di iperstaticità corrisponda una reazione vincolare in modo da avere una struttura corrispondente a quella iperstatica.

STRUTTURA ISOSTATICA DI RIFERIMENTO

Sostituiamo quindi le 3 cerniere esterne delle campate centrali con delle cerniere interne permettendo la rotazione a destra e a sinistra di ciascuna cerniera.

Inoltre per il principio di simmetria sappiamo che X₁ = X₃ quindi utilizzeremo come incognite solo X₁ eX₂.

    EEQUAZIONI DI COMPATIBILITA’ CINEMATICA

Individuate le reazioni incognite, dobbiamo scrivere le equazioni di compatibilità cinematica capaci di ripristinare il vincolo iperstatico, soppresso attraverso la trasformazione dello stesso in reazione vincolare.

∆φ_B = 0 à  φ_Bs = φ_Bd  à  φ_Bs - φ_Bd = 0

∆φ_C = 0 à  φ_Cs = φ_Cd  à  φ_Cs - φ_Cd  = 0

∆φ_D = 0 à  φ_Ds = φ_Dd  à  φ_Ds - φ_Dd=0

Per il principio di simmetria

φ_Ds  = - φ_Bd

φ_Dd  = - φ_Bs

        RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

sostituiamo nelle equazioni di compatibilità cinematica i rispettivi valori dati dalle rotazioni in ciascuna cerniera.

Mettiamo a sistema e otteniamo i valori di X₁  e X₂ 

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZZIONE DEGLI EFFETTI

Definite le incognite delle reazioni vincolari x₁ e x₂ applichiamo il principio di sovrapposizione degli effetti, semplificando la struttura isostatica di riferimento mediante due strutture: una dipendente dal carico q e l’altra dipendente dalle reazioni vincolari x. 

Scomponiamo la struttura in 4 travi doppiamente appoggiate, studiando le reazioni vincolari dovute al carico q e ai momenti x₁ e x₂   e in ognuna delle 4 travi

A questo punto è possibile sovrapporre gli effetti dei due sistemi e avere lo schema delle reazioni vincolari della nostra struttura di partenza.

REAZIONI VINCOLARI

Ora è possibile disegnare il grafico del Taglio e del Momento Flettente