Esercitazione

L'argomento della prima esercitazione riguarda la TRAVE RETICOLARE, una struttura composta da aste in acciaio, la cui origine scaturisce dalla necessità di creare strutture sempre più leggere che superassero luci sempre più grandi. Proprio per questo motivo le travature reticolari ebbero una diffusione amplissima per la realizzazione dei ponti.

L'ingegnere inglese Alfred Henry Neville fu il primo che brevettò il ponte a travatura reticolare nel 1838, il primo ponte realizzato con questo sistema sembra essere quello sul canale principale nel parco reale di  Racconigi, costruito su commissione di Carlo Alberto.

Più che un ponte, quello di Neville sembra essere un paradigma statico di ferro e ghisa, Neville sfruttava a pieno il principio statico della forma triangolare e la direzione assiale delle forze lungo le aste per ridurre ai minimi termini le dimensioni della struttura.¹

Per la prima esercitazione, attraverso l'uso del programma SAP2000, sono state analizzate le forze interne generate dalle forze concentrate agenti  sui nodi della trave reticolare presa ad oggetto.

Nella FIG.02 osserviamo una struttura reticolare simmetrica con 5 divisori che compongono il corrente inferiore, di lunghezza pari a 6 m ed elementi diagonali inclinati di 45°.

FIG.02

Il vantaggio delle struttre reticolari, come è stato già accennato, sta nel fatto che i suoi elementi sono soggetti solo a forze interne di tipo assiale lungo la direzione dell'asta; per tal motivo è necessario intordurre delle cerniere interne nei nodi, in modo tale che non si generino dei momenti interni( FIG.03).

FIG.03

Nel momento in cui vengono applicate delle forze concentrate nei nodi del corrente superiore pari a 100 KN ( FIG.04 ), nei vincoli si generano le reazioni vincolari pari a 100KN x 5 nodi = 500 KN :2 componenti verticali = 250 KN (FIG.05)

 FIG.04

FIG.05

SAP ci permette di apprezzare la deformata (FIG.06) e calcola i valori dello sforzo normale su ogni singola asta, individuando con il segno negativo (e con il colore rosso) le aste compresse, ossia i puntoni; e con il segno positivo ( e con il colore blu) le aste tese, ossia i tiranti. (FIG.07)

FIG.06

FIG.07

Il diagramma dello sforzo Normale ci trasmette numerose informazioni; prima fra tutte ci mostra come ad una struttura simmetrica corrispondaa un diagramma delle forze SIMMETRICO. Inoltre ci permette di apprezzare quale siano le aste più sollecitate, possiamo notare infatti come i valori dello sforzo normale aumentino dall'esterno verso il centro nei correnti e come diminuscano invece nelle diagonali.

Attraverso l'esportazione dei singoli valori relativi ad ogni asta in una tabella excel, possiamo avere una visione quantitativa più dettagliata.  Ad ogni asta sarà assegnato un numero dal programma che ci permetterà di distinguerla dalle altre  e associarla ai valori ecxel (FIG.08 e FIG.09); confermando quanto detto precedentemente osservando il diagramma dello sforzo normale.

FIG.08

FIG.09

Sulla stessa tabella della FIG.09 abbiamo messo in evidenza come effettivamente momento e taglio siano nulli (FIG.10).

FIG.10

¹ Tratto da: La cultura architettonica nell'età della restaurazione  a cura di Giuliana Ricci, Giovanna D'Amia

LA TRAVE RETICOLARE

STRUTTURA RETICOLARE IN 2D - SAP

Voglio verificare la struttura reticolare calcolata precedentemente a mano.

1- File --> New Model --> 2D Trusses

                                        - Number of division (numero delle aste di base) --> 3

                                        - Height (altezza) --> 3 (nell'esercizio precedente era L)

                                        - Division Lenght (lunghezza delle aste di base) --> 6 (nell'esercizio a mano era 2L)

Si aprirà quindi questa trave reticolare:

2- Bisogna inserire nei nodi delle cerniere interne in modo tale che il momento ai nodi sia nullo.

- Selezionare le aste

- Assign --> Frame --> Releases/ Partial Fixity

                                 - Spuntare Momento 33 (Major) sia Start che End (in modo tale da imporre che il

                                   momento all'inizio e alla fine di ogni asta sia nullo).

3- Selezionare i nodi sui quali vanno inseriti i carichi puntuali (F)

- Assign --> Joint Loads --> Forces

- Load Pattern name [+] --> Rinominare Es. F

                                         - Self Weight Multiplier --> 0 (non si sta prendendo in considerazione il peso proprio

                                           della struttura).

                                          - Add New Load Pattern

- Load Pattern Name --> F

- Force Global Z (asse verticale) --> -100 (inserendo il -, si sta dicendo che il carico verticale è rivolto verso il basso)

Si avrà quindi questa situazione:

4- Ora bisogna quindi inserire i materiali

- Selezionare tutto

- Assign --> Frame --> Frame Sections --> Add New Property

                                                                - Frame Section Type (materiale) --> Steel (acciaio)

                                                                - Add a steel section --> Pipe (Tubolare)

                                                                - Section Name (nome della sezione) --> Es. Tubolare

5- Avviare l'analisi --> Run/ Do not Run Case per Dead e Modal, di cui non si vuole fare l'analisi

                                   --> Run Now --> Salvare il File

6- Vedere il diagramma degli sforzi assiali

- Show Forces/Stresses --> Frame/Cables/Tendons

                                            - Case --> Combo Name --> F

                                            - Component --> Axial Force 

                                            - Options --> Show Values on Diagram (per mostrare i valori sul diagramma)

7- E' possibile assegnare un nome alle aste in modo tale da poter associare l'asta al frame della tabella Excel.

- Set Display Options 

8- Esportare la tabella in Excel

- File --> Export --> SAP2000 Excel Spreadsheet.xsl File

STRUTTURA RETICOLARE IN 3D - SAP

Dopo la realizzazione di una struttura reticolare in 2D su SAP, sono passata alla realizzazione di una struttura reticolare in 3D.

1- Aprire un Nuovo File --> Grid Only: Number of Grid Lines

                                           - X direction 11

                                           - Y direction 11

                                           - Z direction 2

Si aprirà quindi una griglia che ci aiuterà a disegnare la struttura reticolare.

2- Utilizzare lo strumento Draw Frame e disegnare le aste, aiutandosi con le griglie. Dopo aver disegnato un primo modulo, copiare CTRL-C e incollare CTRL-V fino a riempire la griglia.

3- Per sicurezza, dopo aver riempito la griglia, selezionare tutto --> Edit --> Edit Points --> Merge Joints. Questo passaggio serve a riunire i nodi che durante il copia-incolla possono essersi spostati.

4- Inserire i vincoli selezionando i nodi --> assign --> Joint (vincolo) --> Restraints

5- Ripetere i punti della trave reticolare 2D per inserire le cerniere interne, mettere i carichi e inserire il materiale.

6- Avviare l'analisi dei carichi

7- Si può quindi procedere alla visione del diagramma degli sforzi normali. (Se si procede nella visione dei diagrammi del taglio e del momento ci si accorgerà che sono nulli).

Esportiamo quindi la tabella in Excel

Struttura in Cemento Armato.

Dimensioni: Altezza dei Pilastri h=4m; dimensioni degli stessi: 30X50

Primo  Passo: calcoliamo le rigidezze traslanti dei controventi della struttura

Si analizzi la seguente struttura e si ricavino la deformata, i diagrammi delle sollecitazioni e le reazioni vincolari, nell’ipotesi di rigidezza assiale delle aste incastrate.

La struttura è complessivamente 12 volte iperstatica, perché l’incastro 3D ha 6 gradi di vincolo e la mensola 3d ha 6 gradi di libertà, quindi: 18 – 6 = 12 volte iperstatica.

Per prima cosa possiamo semplificare la struttura adottando un sistema equivalente, per farlo bisogna sostituire la mensola e il suo carico distribuito con il momento concentrato M al nodo pari a ql2/2 (ovvero pari all’azione del carico distribuito); questo momento che ruota intorno all’asse y genererà una flessione nella trave e nel pilastro posti nel piano xz e di conseguenza una torsione nella trave che giace nel piano yz.

Conoscendo la deformata possiamo ricavare il valore dei momenti flettenti e di quello torsionale in funzione della ROTAZIONE φa grazie agli schemi notevoli e fare così l’equilibrio alla rotazione nel nodo.

Possiamo indicare come rigidezza nel nodo A

ASSEGNAZIONE DEI PROFILI E VERIFICA IN SAP:

la rigidezza torsionale varia anche in funzione della geometria della sezione.

Lo dimostriamo confrontando quattro profili diversi da applicare alla trave CD sopra analizzata. Utilizzo 4 sezioni differenti.

aventi a due a due stesso materiale e stessa area: 2 in cls e 2 in acciaio. Ciò che cambia è solo la geometria della sezione, e quindi la rigidezza torsionale. (Assegno i valori L=3 m e q=10 kN/m, perciò il momento applicato al nodo A ha valore M = 15 kN*m)

Comincio analizzando in SAP il comportamento generico della struttura. Disegno la struttura, assegno dei vincoli di incastro agli estremi liberi delle aste, assegno il momento attorno a y provocato dalla mensola, ed imposto l’indeformabilità assiale delle aste AB e AC. Ottengo i seguenti risultati:

Le diverse sezioni scelte hanno la stessa area e un momento d’inerzia simile, ma hanno diversa rigidezza torsionale.

·         Sezione RETTANGOLARE in CALCESTRUZZO ARMATO

·         Sezione CIRCOLARE PIENA in CALCESTRUZZO ARMATO

·         Sezione DOPPIA T in ACCIAIO

·         Sezione QUADRATA CAVA in ACCIAIO

·         Sezione TUBOLARE in ACCIAIO

Proprietà dei materiali:

Dopo aver avviato l'analisi per ogni sezione scelta, si sono riportati tutti i valori in una tabella riassuntiva

Si può quindi notare che nel caso in analisi, a parità di sollecitazione e di area, le sezioni piene resistono alla torsione

meglio di quelle sottili, e tra quelle sottili le sezioni chiuse risultano essere più efficienti delle sezioni aperte.

In particolare, tra quelle confrontate a sezione piena più resistente risulta essere quella circolare, mentre quella

assolutamente meno resistente a torsione è il profilo aperto HEB.

RISOLUZIONE DI UNA TRAVE VIERENDEEL MEDIANTE IL METODO DELLE RIGIDEZZE

Possiamo definire la RIGIDEZZA (K) il rapporto tra la FORZA (F) necessaria per imprimere uno spostamento e lo SPOSTAMENTO (δ).

F = k x δ

L’oggetto di questa esercitazione è la risoluzione di due travi di Vierendeel

Dal punto di vista statico, il modello teorico della trave di Vierendeel si presenta come un telaio “SHEAR TYPE”

rovesciato. Nel telaio shear type la TRAVE presenta un’elevatissima RIGIDEZZA FLESSIONALE (infinita nel modello

ideale), mentre i PILASTRI sono ipotizzati INFINITAMENTE RIGIDI ASSIALMENTE (perché altrimenti la trave sarebbe

soggetta ad una rotazione rigida) pur consentendo le altre deformazioni. Pertanto, l’unico movimento che la trave può

compiere è la TRASLAZIONE ORIZZONTALE.

Una trave Vierendeel è una somma di telai Shear Type

La trave virendell  viene utilizzata perché il suo particolare comportamento permette di spezzare il diagramma del momento in ogni campata e ridurre i valori delle reazioni agli incastri.

Iniziamo con l’analizzare il modello shear type. Il portale ha una trave composta da un corpo rigido indeformabile, se applichiamo una forza F la trave non potendo ne deformarsi ne ruotare, è soggetta alla sola traslazione orizzontale  , che dipende dalla rigidezza dei pilastri.

La struttura si deforma come una trave doppiamente incastrata sottoposta a cedimento vincolare elastico sull'incastro.

Nonostante non ci siano carichi esterni, a causa del cedimento vincolare la trave si incurva. Dall’equazione della linea

elastica si ricavano i valori di rotazione, spostamento, momento flettente e taglio della trave.

TRAVE DI VIERENDEEL A MENSOLA

Dopo le considerazioni sopra riportate, posso dedurre che la deformazione della trave di Vierendeel a mensola sarà la seguente:

PILASTRI

In questo caso chiamo pilastri gli elementi orizzontali e travi gli elementi verticali.

Poiché i pilastri hanno la stessa rigidezza, le forze si ripartiranno in egual misura tra di essi.

Pertanto Il diagramma del taglio è il seguente:

Per ottenere il momento flettente moltiplichiamo il taglio per la metà della luce

TRAVI

Attraverso l’equilibrio ai nodi posso calcolarmi taglio, momento e sforzo assiale degli elementi verticali.

Il diagramma dei MOMENTI nelle travi è il seguente:

Ottenuti i valori dei momenti, ci ricaviamo quelli del taglio facendo l'equilibrio alla rotazione dei pilastri, sommiamo i momenti e dividiamo per la luce del pilatro

Il diagramma del TAGLIO nelle travi è il seguente:

SFORZO ASSIALE

Utilizzando l’equilibrio dei nodi, mi trovo lo sforzo assiale. Comincio dal CORRENTE SUPERIORE.

CORRENTE INFERIORE. Nel corrente inferiore i risultati saranno uguali ma opposti. Cioè i valori si ripeteranno nelle

aste del corrente inferiore, ma avranno verso opposto

diagramma degli SFORZI ASSIALI

Verifica dei risultati con SAP 2000

Verifico con SAP 2000 i risultati ottenuti dal calcolo manuale.

Dobbiamo però assegnare un materiale qualsiasi ed un profilo qualsiasi alle travi, mentre per i pilastri che devono essere INFINITAMENTE RIGIDI possiamo agire sulla sezione (cambiando così il momento d’inerzia) oppure sul materiale (cambiando il modulo elastico). In questo caso si è scelto di assegnare direttamente un modulo elastico “estremamente elevato” ed abbiamo ottenuto così i seguenti diagrammi e deformata.

Mando l’analisi e ottengo i seguenti risultati:

DEFORMATA

MOMENTO

TAGLIO

SFORZO ASSIALE

TRAVE DI VIERENDEEL DOPPIAMENTE INCASTRATA

A seguito delle considerazioni iniziali, posso facilmente ipotizzare che la struttura si deformerà nel seguente modo:

La struttura presenta SIMMETRIA geometrica e di carico. Nella trave D la forza esterna si ripartirà in ugual misura tra l’asta CD e l’asta DE (sia nel corrente superiore che in quello inferiore)

La forza si ripartisce in egual misura trai pilastri SOLO perché essi hanno tutti le stesse rigidezze.

Avrò 4 forze di F/4. Ora posso calcolarmi il taglio in tutti i pilastri.

TAGLIO: in una struttura con simmetria di CARICO e GEOMETRICA verrà specchiato e ribaltato (cioè i valori hanno segno opposto ma di ugual valore assoluto)

DIAGRAMMA DEL TAGLIO:

DIAGRAMMA DEL MOMENTO:

TRAVI: Tramite l’equilibrio ai nodi mi trovo TAGLIO e MOMENTO delle ASTE VERTICALI

Ora posso disegnare il diagramma di TAGLIO e MOMENTO delle aste verticali (sempre seguendo le considerazioni fatte

precedentemente sui diagrammi di M e T in caso di simmetria geometrica e di carico):

DIAGRAMMA MOMENTO (travi):

DIAGRAMMA TAGLIO (travi):

Graticcio di Travi

Un graticcio, al contrario di una gerarchia, è un modello composto da un sistema di travi ortogonali che collaborano tra loro reciprocamente.

Un parametro importante in un graticcio è la rigidezza torsionale (GJp/l) poichè la flessione in una direzione provoca inevitabilmente la torsione nella sua corrispettiva ortogonale.
Il termine Ip si riferisce al momento d'inerzia polare che varia a secondo della sezione presa in esame.

Mt = (GIp/l)ϕ

Il nodo ha 6 gradi di libertà: 3 traslazioni lungo i tre assi e 3 rotazioni intorno ai tre assi
In questo caso specifico avremo un abbassamento delle due travi che provocherà una rotazione nelle sezioni della trave AB che a sua volta provocherà una torsione della trave CD

Andiamo ad analizzare i due abbassamenti:

AB:

La forza F produce un abbassamento ᵟ della trave, conoscendo già i valori della rigidezza di una trave doppiamente appoggiata potremo ricavare gli sforzi di Taglio e Momento:

TAGLIO:  T= (12EJ/l³) ϭ              Ta= (324EJ/l³) ϭ               Tb= (81EJ/2l³) ϭ

MOMENTO: M= (6EJ/l²) ϭ              Ma= (54EJ/l²) ϭ               Mb= (27EJ/2l²) ϭ

BC:

Anche il nodo dell'asta CD, sotto il carico della forza F si abbassa senza ruotare:

TAGLIO:  T= (12EJ/l³) ϭ              Tc= (96EJ/l³) ϭ               Td= (96EJ/l³) ϭ

MOMENTO: M= (6EJ/l²) ϭ              Mc= (24EJ/l²) ϭ               Md= (24EJ/l²) ϭ

Ora andiamo ad analizzare la rotazione della sezione della trave AB:


Possiamo inserire i classici schemi notevoli già ricavati dalla questione della rigidezza flessionale per ricavare i momenti della trave:

 

MOMENTO: M= (4EJ/l) ϕ                 M= (2EJ/l) ϕ               

                  M1= (6EJ/l) ϕ               M2=Ma= (12EJ/l) ϕ

                  M3=Mb= (6EJ/l) ϕ         M4= (3EJ/l) ϕ

TAGLIO:     Ta= (54EJ/l²) ϭ             Tb= (27EJ/2l²) ϕLa rotazione della trave AB provoca una torsione della trave CD:

Il valore del momento torcente sarà:  (2GJp/l) ϕ

Conoscendo tutti i contributi degli sforzi di Taglio e Momento che agiscono sul nodo potremmo scrivere le due equazioni di equilibrio:

traslazione verticale:   ΣFz = 0     F= Taϭ- Taϕ+ Tcϭ+ Tbϭ+ Tbϕ+ Tdϭ          F= (1113EJ/2l³)ϭ- (81EJ/2l²)ϕ

equilibrio dei momenti:  ΣMy = 0     0=- Maϭ- Mbϭ + M2ϕ+ M3ϕ+ Mtϕ + Mtϕ          ϭ/2= ϕ[(38+8α)/81]

Sostituiamo ϭ/2 all'interno della prima equazione per trovare l'incognita rotazionale ϕ:

ϕ = Fl² / [EJ((1231/6)+(1484/27)α)]