La trave reticolare è una struttura caratterizzata da una struttura composta da aste, unite tra loro da cerniere interne che tra loro si trasmettono il momento. Queste aste sono legate in un modulo triangolare, che ripetuto genera una struttura che è caratterizzata da due correnti orizzontali che sono rispettivamente, uno teso e uno compresso.

Con SAP è stato possibile creare una trave reticolare, utilizzando un modello preimpostato, inserendo solo le dimensioni delle varie parti. L’altezza e la lunghezza della campata sono state messe in rapporto 1:2 (rispettivamente 3 e 6m), in modo che l’angolo che si forma tra le aste sia di 45°.

Per fare in modo che il modello di SAP risponda al modello di trave reticolare reale, è necessario trasformare i nodi da incastri a cerniere, andando a togliere un grado di vincolo.

Per capire il comportamento della trave, è necessario sottoporla a dei carichi, che si sceglie di inserire nei nodi in alto, di intensità uguale in ogni nodo.  

Si genera così una struttura simmetrica sia geometricamente che dal punto di vista delle forze.Le reazioni vincolari in una struttura simile si ripartiscono in modo simmetrico, andando a dividersi nelle due cerniere esterne.

Infine è necessario per l’analisi in SAP, stabilire le caratteristiche della sezione della trave: si è scelta perciò una sezione in acciaio tubolare rotonda.

A questo punto è possibile fare l’analisi delle sollecitazioni: guardando i grafici delle varie sollecitazioni è possibile fare alcune considerazioni:

-        I grafici delle sollecitazioni sono simmetrici rispetto all’asse baricentrico della trave;

-        L’unica sollecitazione che avviene all’interno della trave è lo sforzo normale, che si trasmette in modo sia positivo sia negativo sulle aste, rispettando la simmetria precedentemente detta;

-        Le aste dove lo sforzo normale è positivo sono dei tiranti, che vengono allungati, mentre dove lo sforzo normale è negativo si hanno dei puntoni, che vengono compressi;

-        I correnti orizzontali rispettano il modello di trave reticolare, essendo uno teso (inferiore) e uno compresso (superiore);

-        Le aste inclinate interne sono quelle che presentano minore sforzo normale, mentre lungo “il perimetro esterno” lo sforzo normale è molto più concentrato, sia nei tiranti esterni sia lungo i due correnti: tuttavia l’asta più sollecitata è quella centrale del corrente inferiore, in quanto è quella corrispondente al centro di simmetria della trave.

La deformata della trave, coerentemente alle sollecitazioni, si incurva verso il centro, abbassandosi, per permettere l’allungamento delle fibre del corrente teso, che sono massime in corrispondenza dell’asta risulta centrale, mentre risulta accorciata (e quindi presenta fibre compresse) nel corrente superiore. La deformazione avviene verso il basso, coerentemente ai carichi che gli sono stati applicati.

Attraverso l’uso di SAP è stato possibile esportare attraverso una tabella i valori dei vari sforzi assiali, che grazie ad excel sono stati ordinati per capire in modo chiaro quale fossero le aste più sollecitate, e si è potuto avere conferma ulteriore sia di questo sia dei valori nulli di taglio e momento all’interno della trave.

La tabella ha presentato un'analisi delle varie aste, che vengono divisi per intervalli di lunghezza, dimostrando come le varie sollecitazioni restino costanti; inoltre attraverso i segni delle lunghezze è possibile risalire a quali aste si comportino come tiranti (positive) e quali come puntoni (negative). 

Questi dati, vengono confermati dalla tabella sottostante, che invece analizza i risultati delle aste nei nodi, che coincidono con i vincoli. A livello di risultati, l'unica differenza è che nelle aste inclinate, il risultato è diviso per componenti (es. N6sena, N6cosa), però vengono confermati i risultati delle aste orizzontali, che dimostrano come  la reazione del vincolo della cerniera interna coincida con lo sforzo assiale.

Nella risoluzione a mano si è trovato conferma dei risultati ottenuti con SAP. Le reazioni vincolari sono state risolte sfruttando la simmetria della trave, risultando coincidenti con quelle calcolate dal programma. 

L’analisi delle sollecitazioni è stata fatta attraverso l’utilizzo sia del metodo Richter, che attraverso l’equilibrio dei vari nodi:

Con la sezione di Richter si è fatto un taglio nelle prime tre aste (1,4,9), inserendo delle forze incognite che sono gli sforzi normale presenti nelle rispettive aste.

Il primo passaggio è stato il calcolo dell’equilibrio dei momenti nel nodo 2 perché era l’unico dove N1 ed N9 vi convergevano, risultando quindi nulle:

 

N4 x h + 3/2 F x l – F x l/2 =0

N4= ( Fl/2 – 3FL/2) x 1/h  -> N4= (-100 x 6) KNm /3m = -200 KN

Il meno davanti ad N4 significa che la direzione con cui è stato inizialmente ipotizzato non era corretta, ma è diretto in senso opposto.

È stato poi effettuato l’equilibrio a traslazione verticale:

3F/2 – N9senα – F =0

N9senα= (3F/2 –F)= F/2= 50 KN

N9= 50 KN/ senα =70,7 KN

In questo caso il segno positivo, è conferma del fatto che il verso dello sforzo era stato correttamente ipotizzato.

Si è trovata N1 con l’equilibrio a traslazione orizzontale:

N1 – N4 + N9cosα =0

N1= N4- N9cosα= 200 – 50 KN = 150 KN

Si è poi passato allo studio dell’equilibrio delle forze che convergevano nei nodi, in modo di risolvere via via gli sforzi incogniti.

NODO 5

Equilibrio a traslazione orizzontale:

N6cosα + N9cosα – N4=0

N6cosα= N4 – N9 cosα= (200- 50)KN = 150 KN

N6= 150 KN / cosα = 212,1 KN

 

Equilibrio a traslazione verticale: 

N6senα – N9senα – F =0

N6senα= 150 KN

 

NODO 2 

Equilibrio a traslazione verticale:

N9senα + N7senα=0

N7senα= -N9senα= -50 KN

Equilibrio a traslazione orizzontale:

N1 – N2 + N9cosα + N7cosα =0

N2= -N1 - N9cosα - N7cosα= (-150 -50 -50 )KN= -250 KN

NODO 6

Equilibrio a traslazione verticale:

N10 senα + N7senα –F=0

N10senα= - N7senα +F = (-50 + 100) KN= 50 KN

Equilibrio a traslazione orizzontale:

N4 + N7cosα –N10cosα – N5=0

N5= - N4 –N7cosα + N10cosα = (-200 -50 + 50) KN = -200 KN

Infine grazie alla simmetria della trave, senza calcolare ulteriori equilibri ai nodi, è stato possibile andare a scrivere gli sforzi delle restanti aste. In base alla condizione di equilibrio al nodo è stato possibile stabilire anche se gli sforzi erano di trazione o di compressione: quando gli sforzi erano entranti nel nodo di trattava di puntoni, al contrario se lo sforzo era uscente si avevano dei tiranti.

Si è poi ricalcolato lo stesso modello di trave reticolare con SAP, rendendolo più realistico, attraverso l’aumento del numero delle campate, in quanto le travi reticolari sono proprio utilizzate per luci imponenti. Si è così ripetuto il modulo di h=3m e l=6m per 9 campate, lasciando sempre un carico simmetrico e di stessa intensità. 

Attraverso l’analisi di SAP si è potuto constatare come di base il comportamento della trave sia lo stesso, in quanto non sono presenti ne taglio ne momento flettente ma vi è il solo sforzo assiale. Questo è sempre ripartito orizzontalmente in un corrente teso ed uno compresso, ma rispetto al modello di prima, dotato di una luce molto inferiore (18 m), questo che è lungo 54m presenta uno sforzo normale che presenta molte più variazioni di intensità da un’asta all’altra, e non solo sul corrente teso, ma anche su quello compresso crescendo tuttavia come in precedenza verso il centro di simmetria, punto individuato come il più sollecitato. 

 La deformata, tuttavia, avendo una luce maggiore sembra avere un abbassamento molto meno incisivo del modello più corto.

Trave Reticolare 2D

Banalissimo esempio di trave reticolare 2D, operando le sezioni di Ritter, questo mi aiuta a conoscere lo sforzo normale di ogni asta che compone la trave, definendone il ruolo: Tirante (asta sottoposta a trazione) o Puntone (asta sottoposta a compressione).

Su Foglio:

1.       Trovo le reazioni vincolari della struttura, essendo simmetrica suddivido il peso totale (3F) sui due appoggi.

2.       Opero la prima sezione che deve comprendere 3 aste.

3.       Calcolo la prima forza N₁ tramite l'equazione di equilibrio a rotazione nel nodo C poichè qui convergono N₂ ed N₃, quindi l'equazione ha 1 incognita ed è fattibile.

4.       Avendo ipotizzato N₁ con verso uscente e il risultato dell'equazione è negativo, N₁ ha verso entrante, quindi l'asta BD è un puntone.

5.       Calcolo N₃ tramite momento nel nodo B e ottengo che l'asta AC è un tirante.

6.       Calcolo N₂ che essendo inclinata a 45° avrò 2 componenti che conosco tramite trigonometria (modulo x coseno dell'angolo adiacente)( N₂ x cosπ/4 ), posso calcolare indifferentemente tramite equilibrio orizzontale o verticale, e ottengo che l'asta BD è un tirante.

7.       Opero un'altra sezione passante per AB e AC.

8.       Calcolo N₄ tramite equilibrio orizzontale e ottengo che l'asta AB è un puntone.

9.       Opero una terza sezione che comprende le aste BD, CD e CE.

10.   Momento nel nodo D e ottengo che CE è un tirante.

11.   Equilibrio orizzontale e ottengo che CD è un puntone.

12.   Sapendo che la struttura è simmetrica è sufficiente aver calcolato e aver scoperto il ruolo di una metà delle aste.

 

Trave reticolare 2d su SAP 2000:

1.       New Model -> 2D Trusses (Number of Divisions: 3 - Height: 3 - Division Lenght: 6)

2.       Ottengo una trave reticolare simile a quella dell'esercizio su carta; poiché SAP legge i nodi come incastri e non come cerniere bisogna "Rilasciare" il momento: Assign -> Frame -> Relases e spuntare le caselle "Start" e "End" del Momento 33.

3.       Seleziono i 3 punti superiori e applico una forza puntuale di 100 KN: Assign -> Joint Load -> Forces -> + -> F -> su Global Forces Z (asse verticale) immetto il valore (-100).

4.       Per cambiare la sezione delle aste: Assign -> Frame -> Sections -> Add New Property -> Decidere il tipo di sezione e cambiarla a proprio piacimento.

5.       Per visualizzare l'andamento della struttura clicco su "Show Deformed Shape".

6.       Per visualizzare i diagrammi degli sforzi normali clicco su : "Show Forces/Stresses" -> Frame -> Axial Force.

7.       Per salvare le tabelle in Exel: Display -> Show Tables -> Seleziono quello che mi interessa -> Select Load Patterns.

 

 

Trave reticolare 3D

Provo a ricostruire una trave reticolare simile al braccio di una gru:

1.       New Model -> Grid, la mia griglia sarà un modulo di 3x3x3 ripetuto 20 volte.

2.       Costruisco come modulo una piramide controventata alla base.

3.       Copio e incollo il modulo unendo le "punte" delle piramidi.

4.       Applico una forza puntuale sulle "punte" delle piramidi.

5.       "Rilascio" i momenti dei nodi della trave.

6.       Vedo i diagrammi delle forze assiali delle aste.

 

La trave reticolare è composta da un’insieme di aste assemblate in modo tale da comporre dei moduli triangolari, la funzione delle aste diagonali è quella di garantire una certa rigidezza della struttura. Nella parte superiore ed inferiore della trave sono riconoscibili due serie di aste allineate, i correnti superiori hanno un dimetro maggiore mentre quelli inferiori sono più sottili.

Introducendo delle forze esterne agenti sui nodi della trave reticolare potremo verificare, attraverso l’utilizzo del programma Sap 2000 che le aste sono sollecitate da sforzi normali.

FIG.1

                                                                                                                          

 

E’ stata disegnata quindi una  trave reticolare con tre divisori e sono state applicate dei carichi esterni sui tre nodi pari a 10 KN.

FIG.2

Conseguentemente si possono osservare le reazioni vincolari che come si può facilmente verificare sono pari a 15KN su entrambi i vincoli.

FIG.3

Nella deformazione della trave le aste superiori saranno compresse e le inferiori tese, ciò è osservabile facendo riferimento all’immagine della deformata flessionale della trave, visibile in seguito.

FIG.4

Dal diagramma dello sforzo normale e dalle tabelle ottenute si ha un’indicazione grafica e numerica della sollecitazione massima e minima.

FIG.5

FIG.6

Di seguito sono state evidenziate le sollecitazioni normali massime e minime differenziate da colori sia sulla struttura che in tabella.

FIG.7

L’asta maggiormente sottoposta a sforzo normale è quella centrale, seguono le aste superiori, numero 4 e 5, quelle gialle nmero 1, 3, 6, 11 e in fine quelle centrali.

  FIG.8

Trave reticolare 2D, calcoli 

     Trave reticolare 3D

 

 

 

Esercizio copertura reticolare piana

Studio di una copertura reticolare.

Assegnamo alla struttura dei vincoli e impostiamo i nodi interni come cerniere. Assegniamo poi delle forze (proviamo con -10KN ogni nodo,ma data la poca deformazione aumentiamo il carico fino a -40KN).

Dal grafico della deformata e dalla tabella excel vediamo gli sforzi assiali assegniati alle aste. La struttura rettangolare in fondo irrigidisce la struttura tanto da nono farla deformare su quel lato; mentre il lato opposto subisce un'ampia deformazione.

TRAVE RETICOLARE ISOSTATICA BIDIMENSIONALE

Questa esercitazione tratta delle strutture reticolari. In questa prima fase studierò una trave reticolare bidimensionale isostatica, dalle reazioni vincolari alle caratteristiche della sollecitazione attraverso il metodo delle sezioni di Ritter.
La trave che prendo in esame è costituita da tre campate di 6m di base per 3 m di altezza per la lunghezza totale di 18 m. Per semplificare i calcoli utilizziamo la lunghezza L di riferimento con L=3m. Come tutte le travi reticolari gli elementi che la compongono sono collegati tra essi tramite una cerniera interna. Ho applicato poi una cerniera esterna sul punto A mentre un carrello esterno sul punto H. I carichi concentrati vengono applicati sui nodi nei punti B, D e G. In questo caso ho messo tre carichi verticali pari a F diretti verso il basso.

REAZIONI VINCOLARI

La soluzione delle reazioni vincolari è piuttosto veloce se si considera che la trave ha una configurazione geometrica simmetrica ed è caricata simmetricamente. Dunque il carico totale 3F sarà diviso in parti uguali nelle reazioni vincolari pertanto avremo 3/2 L verso l'alto sia in A che in H.

CARATTERISTICHE DELLA SOLLACITAZIONE

Cominciamo con lo studio delle caratteristiche della sollecitazione attraverso il metodo delle sezioni di Ritter sapendo che consideriamo il peso strutturale trascurabile e quindi nullo e che nelle travi reticolari caricate sui nodi le sollecitazione delle aste sono tutte parallele alle direzioni delle aste a cui appartengono e cioè sono normali alla sezione trasversale quindi avremo solo elementi compressi o tesi. inoltre posso analizzare anche solo metà delle aste in quanto, come detto in precedenza, la struttura è simmetrica e simmetricamente caricata pertanto anche le sollecitazioni sono simmetriche.

La prima sezione la eseguiamo sulle aste 1 e 2.

Visto che le forze in giuoco sono solo tre allora possiamo pensare di risolvere facilmente il sistema con il metodo grafico. Infatti le tre rette d'azione creano un triangolo rettangolo in cui due lati formano un angolo di 45 gradi: è un triangolo isoscele e conosciamo un cateto, visto che è la reazione vincolare 3/2 F, sappiamo immediatamente quale è il valore dell'altro cateto. L'ipotenusa la troviamo facilmente in quanto è un cateto moltiplicato per la radice di due.

Possiamo osservare che l'asta 1 è compressa, quindi è un puntone, mentre la 2 è tesa, quindi è un tirante.

Ora faccio una sezione che intersechi le aste 2, 3 e 4.

Questa volta lo schema non è semplice come quello della sezione precedente, la strada più semplice per la soluzione è quella che prevede l'utilizzo di equazioni di equilibrio alla rotazione che annullino di volta in volta una incognita e magari qualche altra forza nota al fine di semplificare i calcoli. Iniziamo con l'equazione dell'equilibrio alla rotazione calcolata nel punto C per trovare la sollecitazione dell'asta 4

-3/2F·2L+F·L-N₄·L=0
N₄=-2L

Il segno negativo di N4 ci informa del fatto che abbiamo sbagliato il verso ipetetico della forza quindi la è entrante anziché uscente.

Per scoprire quale è il valore di N₃ facciamo la rotazione all'equilibrio nel punto A

-F·L+2F·L-N₃·√2L=0
N₃=√2/2·F

 

Rimane una ultima sezione e più precisamente quella che interseca le aste 4, 5, e 6.
 

Come con la sezione precedente per scoprire il valore di N₅ e N₆ utilizziamo le equazioni ni equilibrio alla rotazione.
Iniziamo con l'equazione di equilibrio alla rotazione sul punto D per trovare N₆.

-3/2·3L+F·2L+N₆·L=0
N₆=5/2·F

Ora con l'equazione di equilibrio alla rotazione sul punto A troviamo N₅.

-F·L+2F·L+N₅·√2L=0
N₅=-√2/2·F

Adesso sono note tutte le caratteristiche della sollecitazione e posso disegnare il diagramma nelle normali.

Come è possibile osservere le aste più sollecitate sono quelle ai bordi del sistema e più in specifico sono il puntone diagonale adiacente al vincolo (3/2·F) e il tirante centrale (√2/2·F).

La successiva fase è il controllo della trave reticolare attraverso il software SAP2000. Per rendere confrontabili i risultati devo però attribuire a F un valore in termini fisici. Immagino che la struttura reticolare sia adibita a copertura non praticabile e, ignorando i carichi strutturali della struttura e i sovraccarichi permanenti, applico solo i sovraccarichi accidentali che sono tabellati dalle NTC D.M. 14 gennaio 2008 cioè F=1,2 kN

 

Malgrado il tirante centrale sia il più sollecitato, non necessariamente sarà il tratto con una sezione dimensionalmente più grande. La trave 4 e la corrispondente simmetrica ( ma in generale tutte le travi compresse) devono infatti dare conto del carico di punta ovveroquel caso in cui la sezione resistente rispetto alla lunghezza della trave risulti snella. Nel tal caso anche a parità di superficie resistente, la trave dovrà avere un ingombro maggiore.

A breve la seconda parte che tratterà della trave reticolare bidimensianle sul software SAP2000.

La seconda parte della prima esercitazione prevede l’analisi di una trave reticolare nelle tre dimensioni. Nella prima parte avevamo introdotto come questo sistema strutturale fosse largamente usato nell’ambito dei ponti, per questo si è cercato di riprodurre un modello virtuale che potesse essere ricondotto ad una struttura esistente (almeno nelle intenzioni). La struttura, o meglio l’infrastruttura, selezionata è il Ponte dell’Industria non molto lontano dalla facoltà. (FIG.01)

FIG.01

Originariamente chiamato Ponte San Paolo, dalla vicina Basilica sulla Via Ostiense, oggi il ponte prende il nome dalla vecchia area industriale adiacente. Fu costruito nel 1863 come ponte ferroviario per unire la linea proveniente da Civitavecchia con la Stazione Termini. La struttura originaria era costituita da due arcate in ferro e ghisa appoggiate su quattro piloni centrali in mezzo al fiume; la parte centrale era mobile per permettere il passaggio delle imbarcazioni alberate che transitavano sul fiume. Quando nel 1911 fu costruito l’adiacente ponte ferroviario in muratura, il ponte fu restaurato così come lo vediamo oggi, adibito a traffico veicolare, nonché utilizzato per il passaggio del gasdotto. 

Il ponte è suddiviso in 3 campate due laterali costituite da arcate ed una centrale lineare. Supponendo che ogni campata presa singolarmente rappresenti una struttura isostatica, per l'analisi con SAP2000 è stata selezionata solo quella con l'arcata (FIG.02)

.

FIG.02

La costruzione tridimensionale della trave non è molto diversa da quella bidimensionale; infatti dopo aver disegnato la trave con Rhinoceros e averla importata su SAP2000 anche qui è stato necessario introdurre una cerniera interna in corrispondenza di ogni nodo, trattandosi di una struttura reticolare soggetta a solo sforzo normale(FIG.03).  

FIG.03

In un secondo tempo sono state assegnate delle forze concentrate nei nodi superiori (FIG.04) e grazie al software abbiamo potuto apprezzare la deformata della trave(FIG.05),  l’andamento dello sforzo normale (FIG.06) e i valori nella tabella excel (FIG.07).

FIG.04

FIG.05

FIG.06

FIG.07

Trattandosi però di un ponte, o meglio di una parte di esso, il carico maggiore sarà quello trasmesso dall’impalcato su cui si svolge il transito carrabile, il quale trasmetterà tale carico sotto forma di forze concentrate nei nodi (FIG.08).

FIG.08

Confrontando le due situazioni possiamo notare come l’unica differenza notevole sia nei montanti che diventeranno tutti tiranti a causa della forza  agente sull’estremo inferiore di ognuno di essi, mentre prima le forze venivano completamente assorbite dagli elementi superiori.

 

FIG.09

Due diversi metodi

Questo tipo di semplice trave reticolare può essere assimilata ad una qualsiasi trave appoggiata, come se tra i vincoli esterni vi fosse un unico corpo rigido.

Assegnati i carichi, è immediato determinare le reazioni vincolari, che devono reagire ad un carico complessivo di 3F. Il sistema è simmetrico e caricato simmetricamente, per cui le reazioni saranno equamente distribuite sui vincoli, saranno dirette verso l'alto e pari a 3F/2

La particolarità della trave reticolare, intesa come modello, quindi intendendo che per ciascuna asta sia trascurabile il peso proprio, e che tutte le aste siano incernierate tra loro per non trasmettersi momento, è che ciascuna asta è sottoposta o a compressione o a trazione, è quindi da considerarsi o un puntone o un tirante.

Una volta assegnati i carichi quindi le travi reticolari piane sono di semplice risoluzione secondo due metodi: il metodo dell' equilibrio dei nodi, che accennerò, ed il metodo delle sezioni di Ritter, che è quello che invece approfondirò.

RISOLUZIONE CON IL METODO DELL' EQUILIBRIO DEI NODI

Il metodo dell' equilibrio dei nodi si basa sul concetto che i nodi, nella struttura reticolare, devono essere tutti equilibrati.

Iniziamo quindi con il nodo A. su di esso agiscono certamente la reazione vincolare che conosciamo e le azioni delle due aste ad esso collegate che per convenzione prendiamo uscenti dal nodo, in modo che corrispondano alla reazione di trazione sull'asta che, sempre per convenzione, è positiva.

Un sistema di 3 forze che, per come le abbiamo disegnate, hanno le linee d'azione che si intersecano in un punto, è risolvibile graficamente, a patto che si chiuda il triangolo delle forze. L' unico modo affinchè questo accada, dal momento che conosciamo gli angoli che tra di loro formano le forze (che sono gli stessi che formano le aste), è il seguente:

Queste sono le azioni sul nodo, che corrispondono a sforzi sulle aste che hanno lo stesso modulo ma verso opposto

Per questo motivo possiamo affermare che l' asta 1 è un puntone e l' asta 2 è un tirante.

Si prosegue in maniera analoga per tutti gli altri nodi, tenendo presente che di volta in volta ci si può ritrovare non con triangoli delle forze, ma con poligono delle forze, ma in strutture semplici come questa sono facili da risolvere anche graficamente.

In ogni modo, si può porre anche l' equilibrio e risolvere le equazioni per la traslazione.

Bisogna procedere con ordine però perchè avendo a disposizione solo 2 equazioni, devono esserci solo 2 incognite, per cui gli altri sforzi devono essere sempre determinati nel nodo precedente.

RISOLUZIONE CON IL METODO DELLE SEZIONI DI RITTER

Il metodo delle sezioni di Ritter si basa sul fatto che una parte del sistema reticolare, ottenuta operando una sezione, che tagli al massimo 3 aste deve essere equilibrata.

Anche qui bisogna fare attenzione a come procedere, infatti, se si inizia sezionando le aste 1 e 2 non si riesce immediatamente a determinare gli sforzi sulle due aste. Iniziamo quindi facendo una sezione sulle aste 2, 3 e 4.

Imponendo l'equilibrio a questo pezzetto di sistema, otteniamo il seguente sistema di equazioni.

Ho imposto l' equilibrio alla rotazione in un punto che ho ritenuto conveniente, dal momento che annulla i momenti di 2 sforzi.

Considerando i segni negativi per la compressione e i segni positivi per la trazione ottengo che gli sforzi sono quindi diretti secondo la figura

Ora possiamo ritornare a sezionare le aste 1 e 2, per trovare lo sforzo sull' asta 1, visto che conosciamo la reazione vincolare e lo sforzo sull' asta 2. Anche qui potremmo procedere graficamente, o mediante equazioni di equilibrio.

Ho posto per convenzione N1 con il verso positivo. Scrivo le equazioni di equilibrio (me ne basta una perchè ho una sola incognita da determinare)

Risulta che  l'asta 1 sia compressa.

Procedo con un' ulteriore sezione che taglia le aste 4, 5 e 6 e ho come incognite gli sforzi sull' asta 5 e sull' asta 6

Se imponiamo l'equilibrio è necessario prestare attenzione al punto attorno al quale effettuare l' equilibrio a rotazione, infatti, se si facesse attorno al punto C si eliminerebbero dall' equazione entrambe le incognite, rendendo di fatto l'equazione un' identità. Farlo attorno a qualsiasi altro punto che non sia il punto D lascerebbe 2 incognite nell' equazione, complicandola inutilmente.

CI bastano comunque le sole due equazioni di equilibrio alla traslazione avendo 2 incognite.

La trave reticolare è risolta perchè è simmetrica e caricata simmetricamente rispetto ad un' asse verticale passante per il punto D

I grafici dello sforzo normale sono i seguenti

RISOLUZIONE CON SAP 2000

E' certamente possibile disegnare, sia in SAP che in AutoCAD o in Rhinoceros, la trave che ci interessa, ma essendo una trave particolarmente semplice, possiamo utilizare lo strumento predefinito di SAP.

Clicchiamo su NUOVO (classica icona di windows con il nuovo documento) e dalla finestra che si apre è necessario stabilire le unità di misura (nel nostro caso KN,m,C) e scegliere lo strumento RETICOLARI.
 

Dalla successiva finestra andiamo a scegliere il numero di parti di cui si compone il reticolo (nel nostro caso 3) e le dimensioni del passo. Se vogliamo un angolo di 45° è necessario scegliere 2 di lunghezza e 1 di altezza.

La trave reticolare apparirà sullo schermo, possiamo chiudere la finestra 3D che non ci serve.

Quella che è stata disegnata però non è una trave reticolare intesa come la intendiamo noi, infatti tra le aste sono presenti degli incastri interni, che però noi non vogliamo. E' necessario infatti che i vincoli interni siano tutte cerniere affichè non vi sia trasmissione di momento da un' asta all' altra.

Per apportare questa modifica selezioniamo tutti i nodi interni (in realtà ci basta selezionare tutto poichè la modifica he andremo a fare agirà sui nodi e non sulle aste) e clicchiamo su

ASSEGNA -> FRAME -> RILASCI,RIGIDEZZE PARZIALI

Si apre una finestra di dialogo in cui possiamo andare a selezionare la sollecitazione che non si deve trasferire nè all' inizio nè alla fine dell' asta.
 

Selezioniamo MOMENTO 3-3 tenendo conto del sistema di riferimento locale di SAP, che è quello legato alla singola asta e che ha l'asse 1 sull' asse dell' asta e le altre orientate secondo la regola della mano destra.

Fatto questo passiamo ad assegnare i carichi

Potremmo creare dei casi di carico e poi applicarli, oppure passare all' applicazione dei carichi e definire da lì il nuovo caso di carico, è la stessa cosa.

Selezioniamo i 3 nodi superiori dove vogliamo che agisca il carico e clicchiamo su

ASSEGNA -> CARICHI NODO -> FORZE

Da questa finestra è possibile cliccare sul + per aggiungere un nuovo caso di carico direttamente da qui

Diamo un nome univoco al nuovo caso di carico (l' ho chiamato "carico") e ho assegnato come moltiplicatore del peso proprio (DEAD) il valore 0 in modo da non considerarlo nei calcoli. Fatto questo andiamo a cliccare su Agg. Nuovo Schema Carico e torneremo alla finestra precedente dopo aver cliccato OK

Nel menu a tendina affianco alla + troveremo il caso di carico appena creato.

Ad esso dobbiamo assegnare un valore (ed una direzione) siccome è una forza concentrata diretta verso il basso assegneremo a FORZA GLOBALE Z il valore -100 (KN si intende)

Dopo aver dato l' OK questa è la configurazione della nostra trave

Un passo fondamentale è quello di assegnare una sezione alle aste. Per farlo è necessario selezionarle tutte e poi cliccare su

ASSEGNA -> FRAME -> SEZIONI FRAME

Dalla finestra che si apre diamo un nome alla sezione che stiamo creando (io l' ho chiamata sezione di prova) e poi clicchiamo su AGG. NUOVA PROPRIETA' e si aprirà una finestra dalla quale sarà possibile scegliere il tipo di sezione. Scegliamo il TUBO

si apre una ulteriore finestra nella quale possiamo assegnare un nome alla sezione che stiamo creando, un diametro esterno ed uno spessore della parete, ed un materiale (quello di default è l'acciaio A992Fy50)

Selezoniamo la sezione appena creata e diamo l' OK. su tutte le aste apparirà il nome della sezione che gli abbiamo assegnato

A questo punto il modello è pronto e possiamo andare ad effettuare i calcoli

Clicchiamo su ANALIZZA e vediamo che SAP apre una finestra con tutti i casi di carico creati. a noi interessa solo quello che abbiamo creato noi e quindi mettiamo in NOT RUN gli altri e poi clicchiamo su Esegui ORA

Ci verrà chiesto di salvare il file se non l'abbiamo già fatto e dopo pochi secondi apparirà la configurazione deformata

Ora possiamo andare a vedere tutti i risultati che sono stati ottenuti: per prima cosa la deformata in relazione alla configurazione indeformata. Per una struttura così semplice è poco interessante e per nulla stupefacente
 

Dobbiamo selezionare il caso di carico per il quale vogliamo vedere la deformata e spuntare la voce campitura in modo da vedere che i nodi si sono spostati verticalmente ed orizzontalmente (per la presenza del carrello)

Ovviamente possiamo vedere i grafici delle sollecitazioni, cliccando sull' icona MOSTRA SOLLECITAZIONI / TENSIONI si apre un menu a tendina e scegliamo FRAME/CAVI/TIRANTI

Lasciamo selezionata la forza assiale e clicchiamo su MOSTRA VALORI e poi su OK

Scegliamo il MOMENTO 3-3 per verificare che i valori siano nulli

E' chiaro che l'analisi appena fatta deve portarci a delle considerazioni sulle deformazioni e sugli spostamenti che subisce una struttura così modellata, per cui dobbiamo avere dei numeri a disposizione per verificare che siano accettabili ed eventualmente intervenire.

Esportiamo quindi tutti i dati raccolti in formato Excel o Access cliccando su VISUALIZZA -> MOSTRA TABELLE

Diamo l'OK e appaiono le tabelle. Possiamo salvare quella che ci interessa o tutte quante, ma lo vedremo meglio nella struttura 3D

TRAVE RETICOLARE SPAZIALE

La struttura reticolare nello spazio che intendo analizzare è un anello costituito dalla ripetizione di un modulo costituito da tre campate reticolari a piramide ripetuto attorno ad un centro posto a circa 40 metri di distanza. La struttura è composta da 50 ripetizioni di questo modulo.

Nel disegnare questa struttura occorre prestare grande attenzione alle controventature delle basi delle piramidi che nel modulo adiacente devono essere specchiate.

Dal momento che vorrei che questo anello fosse sostenuto da 5 pilastri (in corrispondenza dei quali posizionerò delle cerniere) per facilitarmi la vita in SAP, creerò in AutoCAD delle aste "segnaposto" che individueranno i nodi su cui inserire le cerniere e che eliminerò appena apposti i vincoli esterni.

Per l' importazione in SAP ho avuto cura di posizionare tutto su un livello diverso dal livello 0 e soprattutto, dal momento che ho fatto largo uso per la modellazione di questa struttura del comando SERIE POLARE, è stato necessario esplodere le serie create in modo da avere ogni asta come elemento separato. Viceversa SAP non leggerà gli elementi non esplosi.

Il salvataggio del file nel formato DXF non comporterà problemi nell' importazione in SAP

Scelto il tipo di file da importare (AutoCAD DXF) in SAP mi si apre la finestrella in cui specificare la direzione dell' asse verso l'alto (lascerò Z di default) e le unità di misura

Mi si apre quindi la finestra in cui devo scegliere cosa importare e da quale livello di AutoCAD. Importerò i telai dal livello "anello reticolare".

L' importazione non ha comportato grossi problemi

ora andrò a selezionare i nodi dai quali pendono delle aste con estremo libero che mi servivano da "segnaposto" e gli assegno i vincoli esterni cliccando su
ASSEGNA -> NODI -> VINCOLI ESTERNI

All' apertura della finestra posso selezionare il vincolo di cerniera e vedrò che vengono inibite le traslazioni sui tre assi del sistema di riferimento locale. Premo OK e procedo a cancellare le aste "segnaposto".

Il prossimo passo è quello di definire i vincoli interni tra le aste. Come visto prima per la trave piana selezionerò tutto (le modifiche avranno efficacia solo sui nodi) e andrò su ASSEGNA -> FRAME -> RILASCI,RIGIDEZZE PARZIALI e nella finestra di dialogo che si apre devo spuntare oltre a MOMENTO 3-3 INIZIO e FINE anche MOMENTO 2 - 2 INIZIO E FINE, perchè altrimenti le cerniere sarebbero delle cerniere cilindiriche.

Vado ora a fissare i carichi sui nodi. Immaginiamo che questa struttura costituisca il sostegno di un edificio ad un piano a forma di corona circolare il cui corpo è di 15 metri ed il raggio è di 40. Su ciascun nodo grava il carico ripartito su un'area che è pari a circa 5 mt x 5 mt ovvero 25 mq il prodotto di quest' area per la somma dei carichi permanenti e dei carichi accidentali mi darà il valore in KN del carico puntuale su ciascun nodo (non sto volutamente considerando il peso proprio della struttura).

Supponiamo che il carico sia di 10 KN/Mq, il carico puntuale sarà 250 KN.

Associare il carico puntuale ai nodi è facile in questo caso perchè tutti i nodi su cui grava il carico sono sul piano superiore, passo quindi alla vista XY e seleziono tutto e poi vi associo un carico come ho fatto nella trave reticolare piana

Il carico è puntuale diretto come z e verso il basso di 250 KN.

Prima di procedere, per evitare problemi nel calcolo, visto che il modello è stato importato da un software esterno, seleziono tutto e saldo i nodi con la tolleranza di default, in modo che se ci sono stati dei problemi di disegno si risolvano. Per farlo vado su EDITA -> EDITA PUNTI -> UNISCI NODI

Ora è fondamentale associare a ciascuna asta una sezione ed un materiale

Vado su ASSEGNA -> FRAME -> SEZIONI FRAME

e aggiungo una nuova proprietà, le do un nome (sezione) e scelgo il tubo. COme diametro darò 30 cm e lo spessore sarà di 2,5 cm. Il materiale è l'acciaio di default.
 

Posso effettuare i calcoli andando su ANALIZZA ed eseguendo solo il caso di carico che ho creato io.

QUesta è la geometria deformata rispetto alla geometria indeformata.

Prima di passare alle tabelle dei dati vediamo i diagrammi

Le più sollecitate in sforzo normale sembrano essere le aste più vicine ai pilastri (ai vincoli)

Facendo i diagrammi dei momenti si rileva che non ve ne sono sulle aste, il che la conferma come una struttura reticolare.

Con la scorciatoia CTRL+T passo alla visualizzazione delle tabelle dei dati.

Uno dei dati che mi interessa di più è valutare se sono tollerabili gli spostamenti verticali massimi dei nodi, dal momento che, se questa trave deve sostenere un corpo di fabbrica, se in alcuni punti essa si imbarca troppo è chiaro che questo avrebbe delle ripercussioni su quanto è sostenuto.

Esporto quindi la tabella JOINT DISPLACEMENT in excel e la riordino in senso crescente poichè è plausibile che gli spostamenti maggiori si avranno in senso negativo
 

vi sono 10 nodi che si spostano di 10 cm ed è questo il massimo spostamento verticale verso il basso. Diciamo che su una struttura dal raggio di 40 metri composta da aste di 5 metri circa può essere accettabile (???), c'è da tenere conto che sto trascurando il peso proprio, che in una struttura di tubolari di 5 metri per 30 centrimetri di diametro, con una parete del tubolare dello spessore di 2 cm di acciaio probabilmente non è trascurabile.

Se volessi migliorare il comportamento di questa struttura, diminuendo lo spostamento di questi nodi potrei aumentare la sezione o lo spessore della parete dei tubolari.

Per ora mi fermo qui, rendo disponibili le tabelle per il download a chi fosse interessato.

FILE EXCEL

RESISTENZA DELLE ASTE ALLA TENSIONE (A SPANNE)

Esportando la tabella ELEMENT STRESSES - FRAMES possiamo vedere tra i valori le tensioni massime per ciascun' asta in diversi punti.

Il valore massimo della tensione riguarda alcuni elementi 243645,64 N/m² . L' acciaio utilizzato da SAP è contrassegnato da un codice, che termina con Y50 che dovrebbe indicare la resistenza del materiale espressa in KSI che è l'unità di misura nel sistema anglosassone.

Un pò di equivalenze, sperando che siano corrette:

Per cui quel tipo di acciaio ha una resistenza di 50 x 6,89 Mpa = 344737,85 KN/m² che è superiore alla tensione massima individuata da SAP.

La tensione massima si riscontra ancora nelle vicinanze dei pilastri