Portale di Meccanica

Abbiamo, per prima cosa, costruito la travatura reticolare su SAP, avete modulo 3m x 3m e perimetro di 45m x 18m.

Successivamente abbiamo assegnato a tutti i nodi delle cerniere interne per impedire il passaggio del momento.

 Come terzo passaggio abbiamo assegnato la sezione in acciaio con profilato tubolare.

Per assegnare le forze su ogni nodo abbiamo calcolato il peso del singolo solaio ed infine il peso totale dei solai che la struttura dovrà sorreggere. Sui nodi di bordo il valore della forza assegnata è pari alla metà in quanto lavorano su metà area di influenza.

Abbiamo scelto un solaio in Latero-cemento di 645 m² per piano:

Carichi permanenti strutturali:

-Soletta: altezza: 4cm, peso specifico 25N/m³:

q_s,s =0.4 m x 25KN/m³ =1KN/m²

-Pignatta in laterizio: dim 20cm x 38cm, peso specifico 8KN/m², interasse 0,5m: q_s,pi =[( 0,38 x 0,2)/0.5] x 8KN/m²=1,2KN/m²

-Travetti.: dim 12x20cm, peso specifico 25KN/m³

q_s,t r= [(0,12 x 0,2) x 0,5]  x 25 KN/m³ = 1,2KN/m²

Il carico strutturale totale: q_s = q_s,tr + q_s,pi + q_s,s  = (1,2 + 1,2 + 1)KN/m² = 3,4KN/m²

Carichi permanenti non strutturali:

-Pavimento in gres porcellanato: spessore 2cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,pa = 0,02m x 20KN/m³ = 0,40KN/m²

-Isolante acustico: spessore 3cm, peso specifico 1KN/m³

q_p,is = 0,03m x 1KN/m³ = 0,03KN/m²

-Allettamento più massetto: spessore 8+4cm, peso specifico 20KN/m³

q_p,ma = 0,12m x 20KN/m³ = 2,4KN/m²

-Intonaco: spessore 2cm, peso specifico 20 KN/m³

q_p,in = 0,02m x 20KN/m³ = 0,4KN/m²

Il carico permanente non strutturale totale a cui aggiungo l'incidenza di impianti e tramezzi:

q_p = q_p,is +q_p,ma+q_p,pa +q_p,im +q_p,in =(0,03+2,4+0,4+1,6+0,4)KN/m²=4,16KN/m²

Carichi accidentali:

-Lla destinazione d'uso è quella di uffici aperti al pubblico (categoria B2), quindi il carico accidentale q_a = 3KN/m²

Peso per m² di ogni piano:

q_u = 10,56 KN/m²

Peso totale di 1 piano:

10,56 KN/m² x 645 m² = 6811,2 KN

Peso dei 7 piani:

6811,2 KN x 7 = 47678,4 KN

Forza su ogni nodo:

47678,4 KN / 112(n nodi) = 425,7 KN

Deformata in 3D e 2D

Dopo aver assegnato la forza su ogni nodo abbiamo avviato l’analisi e successivamente estratto la tabella dei valori su Excel, da cui abbiamo ottenuto il valore massimo dello Sforzo Normale.

Asta testa max

asta compressa max

Il passo successivo sarà quello di dimensionare le aste tese e le aste compresse.

ASTE COMPRESSE

Abbiamo effettuato il dimensionamento delle aste compresse prendendo in esame le più sollecitate.

Prendiamo in considerazione alcuni fattori: lunghezza dell'asta (l); modulo di elasticità (E);  resistenza di design(f_yd)e la tipologia del vincolo (β). Per le aste compresse dobbiamo calcolare il modulo di inerzia minima (Imin), l'area minima (Amin), ed il raggio di inerzia (ρ_min), ed inoltre verificare che la snellezza (λ) non sia superiore a 200. 

ASTE TESE

Per dimensionare le aste tese sono dati necessari soltanto il valore dello sforzo normale e quello della resistenza di progetto, variabile a seconda del tipo di acciaio utilizzato (in questo caso, acciaio S275).

Conoscendo questi due dati, si può ricavare l’area minima necessaria a sopportare quel valore dello sforzo normale:

A_min = N / f_yd    

Anche in questo caso abbiamo preso in considerazione le aste più sollecitate (quelle che riportano il valore positivo dall'analisi su SAP).

Dopo aver calcolato i profilati per tutte le sezioni, utilizzando l procedimento sopra esposto, si procede all'analisi su SAP inserendo le dimensioni corrette.

Gulia Mellano, Jlara Volpi

NOTA: Ho dovuto caricare l'esercitazione in formato jpeg, perché il blog non salva gli avanzamenti del lavoro, ma salva solo una parte dell'esercitazione caricata.

L'esercitazione è stata caricata in .jpeg perchè il blog non salva gli avanzamenti, ma solo una parte dell'esercitazione caricata.

CONSEGNA 2 - graticcio 

Paolo Burattini, Matteo Cavuoti

Abbiamo disegnato la struttura di un graticcio su Rhino di dimensioni 10x20m, con un interaase tra le travi che costituiscuino il graticcio di 1m.

Dopo aver esportato in sap il file dxf, con le dovute attenzioni, abbiamo inserito i vincoli esterni, in corrispondenza dei reali pilastri sottostanti.

Abbiamo caricato la struttura con un peso di 10 kN su metro quadro, che si traduce in 5 kN a metro per tutti i segmenti di trave interne, e 2,5 kN per i segmenti delle travi di bordo.

Otteniamo quindi quanto segue, deformata del graticcio, e i valori del momento su ogni segmento.

La tabella seguente è quella che sap ci fornisce con i valori del momento su ogni segmento di trave.

A seguito la abbiamo esportata su excel trovando il momento maggiore.

CONSEGNA 2 - graticcio 

Paolo Burattini, Matteo Cavuoti

Abbiamo disegnato la struttura di un graticcio su Rhino di dimensioni 10x20m, con un interaase tra le travi che costituiscuino il graticcio di 1m.

Dopo aver esportato in sap il file dxf, con le dovute attenzioni, abbiamo inserito i vincoli esterni, in corrispondenza dei reali pilastri sottostanti.

Abbiamo caricato la struttura con un peso di 10 kN su metro quadro, che si traduce in 5 kN a metro per tutti i segmenti di trave interne, e 2,5 kN per i segmenti delle travi di bordo.

Otteniamo quindi quanto segue, deformata del graticcio, e i valori del momento su ogni segmento.

Quelli di sopra è la tabella che sap ci fornisce con i valori del momento su ogni segmento di trave.

A seguito la abbiamo esportata su excel trovando il momento maggiore.

Considerando il momento maggiore, e riutilizzando le formule che già avevamo utilizzato per il dimensionamento di una trave in calcestruzzo a flessione, dimensioniamo la trave più sollecitata della piastra.

Prima chiacchierata

1.

Il tentativo che faccio oggi è solo lo sforzo intellettuale di spiegare concetti abbastanza complessi a studenti che non hanno ancora nel loro bagaglio culturale rudimenti di  Fisica o i fondamenti della Meccanica delle Strutture. Questa prima lezione e forse anche una parte della successiva è dedicata ad un tema progettuale che è il superamento di una luce. Tema progettuale al quale le morfologie strutturali danno una risposta. In particolare, la lezione è basata sul tentativo di spiegare come le morfologie strutturali affrontano la richiesta progettuale di superare una luce sempre più grande.

2.

Per potere affrontare questo discorso abbiamo bisogno di alcuni concetti di base, alcuni semplici, altri più complessi, che costituiranno gli elementi essenziali per articolare dei ragionamenti di morfologia strutturale.

Quali sono questi elementi essenziali? Anzitutto il concetto di forza, di momento di una forza e di equilibrio statico di un corpo.

Partiamo dal concetto di forza. Bypassando la sua definizione formale, ricorriamo all’immagine della caduta di un corpo pesante come esemplificazione più comune della forza. Se ho in mano una pallina, perché questa cade se apro la mano? E perché non cade se lo tengo stretto? La pallina cade perché quando apro la mano la sua forza peso la spinge verso il centro della terra da cui è attratta (legge di gravitazione universale). Quando invece è stretta in mano, non è che la forza peso non esista ma è annullata dall’azione della mano, che per la pallina costituisce vincolo a che non cada in terra. Questo annullamento della forza peso si chiama equilibrio della statica (statica da “stasi=quiete”) della pallina e sancisce il fatto che l’agire della mano come vincolo annulla l’effetto della forza peso con una forza eguale e contraria.

3.

Questo concetto di “eguale e contrario” si comprende bene quando si ha chiara la natura direzionale della forza. Facciamo un altro esempio, quello di una gara del tiro alla fune. Perché la fune all’inizio sta ferma? Perché ad un certo punto una delle due squadre vince?  La fune sta ferma perché la forza con cui la squadra di destra tira è eguale alla forza con cui la squadra di sinistra tira. Ma una squadra tira da destra verso sinistra e l’altra da sinistra verso destra. Quindi nella direzione della fune ma con due versi differenti. In questa situazione le due forze sono “eguali “ e “contrarie”. Vince la squadra che eserciterà una forza talmente alta da non essere sopportabile dalla squadra avversaria. Nel momento della vittoria sarà evidente quale delle due forze esercitate è la più alta.

4.

Il concetto di momento di una forza. Che succede se al posto della pallina ho un corpo esteso rigido? Esperimento del corpo rigido che ruota fino ad equilibrio. Perché ruota? Perché poi si ferma? Il corpo ruota perché la retta di azione della forza peso non passa per i punto di sospensione e si ferma quando questa situazione si verifica. Quindi ruota solo quando la forza assume una certa posizione e non altre. Ossia quando la forza ha una certa distanza rispetto al punto di sospensione (con distanza misurata perpendicolarmente alla forza). Quindi hanno importanza due grandezze meccaniche: la forza peso ed il suo braccio rispetto al vincolo.

5.

La leva semplice: equilibrio a rotazione o dei momenti. Di questo si era reso conto Archimede di Siracusa che aveva tanto parlato dell’equilibrio statico della leva e di questo nulla aveva capito Aristotele. Secondo esperimento. Perché il corpo ruota? Perché sta fermo?  E perché di nuovo ruota? E perché nuovamente sta fermo? Il corpo non ruota quando la forza a destra e la forza a sinistra stanno tra di loro in ragione proporzionale inversa dei loro bracci. Ovvero, quando il prodotto forza per braccio a destra è uguale al prodotto forza per braccio a sinistra. Anche se i due sono uguali e contrari perché lasciati liberi a loro stessi senza contrasto dell’altro produrrebbero rotazioni di segno opposto (oraria o antioraria). Il momento delle forze è una entità importantissima quando i corpi sono estesi e per evitare che i corpi ruotino bisogna fare in modo che tutti i momenti si annullino a vicenda una volta sommati.

6.

Sperimentare corpi che ruotano per effetto dei momenti è quotidiano. L’esempio del volante di un’automobile che ruota per effetto di due forze eguali ed opposte ci consente di mettere in evidenza che il momento può essere visto come il prodotto di due forze eguali ed opposte per il braccio tra esse. Ognuna di esse produce un momento che è il prodotto della forza per il braccio rispetto al centro di rotazione  e  se le forze hanno verso opposto i due momenti singolarmente prodotti avranno lo stesso segno ed il momento risultante sarà la somma di due momenti dello stesso segno, risultando alla fine essere il prodotto tra la forza per il braccio tra le due forze (preso perpendicolarmente ad esse). Anche in questo esempio registriamo che quando a parità di momento a braccio grande (raggio grande del volante) corrisponde una forza più piccola (sforzo esercitato dalle braccia).

7.

Gli studi di Galileo sulla resistenza delle travi di legno mettono in evidenza come il momento della forza esterna si traduca in un momento flettente interno al corpo producendone la deformazione prima e la rottura ad un certo livello del carico. Soffermiamoci su questo esempio che è estremamente interessante  per  capire quale è il ragionamento per fare un passo concettuale tra forza e momenti esterni e forza e momenti interni alla trave.  Anzitutto mettiamoci nei panni di Galileo ed effettuiamo l’esperimento di caricare la trave in punta con un peso esterno. Cosa sperimenteremo se la trave è bene incastrata?  Anzitutto un incurvamento con annesso spostamento verso il basso che interesserà tutta la trave e poi, se aumenteremo il carico in maniera progressiva, una rottura del materiale nella sezione più lontana rispetto al punto di applicazione del carico stesso. Cosa ne deduciamo? Che la forza esterna è entrata nel materiale inducendo deformazione ed infine rottura.. e che la rottura si è verificata nella sezione della trave più distante dal punto di applicazione della forza, ossia nella sezione rispetto alla quale la forza ha braccio massimo e quindi momento massimo. Quando la forza ed il momento da essa prodotto per effetto del braccio entrano nel materiale vengono chiamati sforzi, in particolare sforzo di Taglio (forza intera) e Momento Flettente (momento interno). Esiste per le travi un altro sforzo interno che si chiama sforzo normale e che produce un accorciamento (o allungamento) della trave con annessa contrazione (o dilatazione) trasversale.  Esso è prodotto da forze esterne che agiscono perpedicolarmente alla sezione.

8.

In genere quando le travi sono disposte a collaborare assieme in una morfologia strutturale a telaio (che è la versione moderna del portale), quelle orizzontali sono prevalentemente inflesse mentre quelle verticali sono compresse. Conviene riflettere ora sul diverso impegno del materiale in una trave compressa ed in una trave inflessa.  In quest’ultima vedremo anche il ruolo dello sforzo di taglio.

Lo sforzo normale può essere di compressione o di trazione, accorcia o allunga l’asse della trave producendo deformazione trasversale di dilatazione o contrazione. In alcuni casi la deformazione trasversale è trascurabile. Non è invece trascurabile l’impegno che tale sforzo interno induce nel materiale, che è impegno diffuso ed uniforme. Una struttura che lavori a sforzo normale è una struttura ottimizzata perché tutto il materiale viene sfruttato allo stesso modo. Le strutture ottimizzate  sono strutture che necessitano di meno materiale per resistere allo sforzo cui sono destinate e questo le rende intrinsecamente più leggere. Le travature reticolari e gli archi sono strutture che lavorano a sforzo normale e quindi intrinsecamente più leggere.

9.

Nella flessione invece l’andamento delle tensioni nel materiale è diverso. La flessione è sperimentalmente compressione in alcune fibre e trazione in altre. Esistono varie teorie che tentano di descrivere l’andamento delle tensioni all’interno del materiale quando la trave è soggetta a flessione e la teoria di riferimento  è quella di Navier, che vede nella sezione inflessa un andamento lineare delle tensioni che vanno da trazione a compressione passando per lo zero nel baricentro della sezione. Osservando questo andamento vediamo che il cuore della sezione non lavora o lavora poco e quindi l’utilizzo del materiale a flessione è poco ottimizzato. Pertanto, a meno di casi particolari, le strutture inflesse sono intrinsecamente più pesanti.  Un’altra non meno importante considerazione possiamo farla sul modo con cui le strutture inflesse traducono il momento flettente interno, ossia con una coppia di forze, una di trazione e l’atra di compressione, con braccio non nullo (il braccio della coppia interna). Maggiore è il braccio, che è legato all’altezza della sezione, maggiore è il momento sopportabile dalla sezione a parità di impegno del materiale. Pertanto nella flessione funzionano bene le sezioni alte.

10.

Vediamo ora che succede alla forza interna di taglio. Ipotizziamo di fare un esperimento con due travi di legno sovrapposte ma non incollate reciprocamente, inflettendo assieme (esempio della mensola). Che succede? Si inflettono entrambe ma non essendo incollate orizzontalmente scivolano le une sulle altre. Per evitare questo scivolamento reciproco vengono incollate e questa magica colla, proprio perché efficace, trasmette una forza che è quella di taglio.. senza la forza di taglio tutte le fibre del materiale tenderebbero a scivolare le une sulle altre per effetto della flessione che tende a farle comportare in un modo differente le une dalle altre favorendo lo scivolamento. Per questo si parla di flessione e taglio.

Senza spiegazioni vi faccio vedere l’andamento delle tensioni da taglio su di una sezione rettangolare insieme a quelle da flessione. Al contrario della flessione, il taglio fa lavorare il cuore della sezione e scarica le fibre più distanti. Quindi il taglio, che tiene assieme le fibre del materiale, lavora nell’anima della sezione.

Dimensionamento di un graticcio in cemento armato

Il graticcio studiato copre un’area di 14x18 m e porta un solo piano adibito a biblioteca. I pilastri che sorreggono la struttura hanno una luce di 18 m, quindi sono stati posizionati lungo i lati corti. Le travi del graticcio sono state disposte con interasse di 1 metro ed hanno tutte la stessa sezione in entrambe le direzioni poiche’ non c’e’ gerarchia. 

Prima di inserire la struttura su SAP sono stati calcolati i carichi incidenti: considerando un solaio in latero cemento si definiscono i carichi qs= 3,05 kN/m², qp= 3,04 kN/m² e si considera un qa= 5 kN/m² per la categoria D2.

Dopo aver importato la struttura su SAP sono stati assegnati i vincoli di incastro nei nodi lungo il lato inferiore del graticcio e per il predimensionamento e’ stata assegnata una sezione 20x70 cm in calcestruzzo C40/50.

E’ stata creata una combinazione di carico in cui i carichi strutturali, sovraccarichi permanenti e accidentali sono stati moltiplicati per i loro coefficienti di sicurezza (qs*1,3+qp*1,5+qa*1,5) ottenendo il carico totale di un piano qu= 16,025 kN/m². Successivamente e’ stato assegnato il carico alle travi suddividendolo in entrambe le direzioni: in questo modo il carico e’ stato moltiplicato per l’area di influenza delle travi centrali, percio’ e’ stato assegnato un carico qu= 8,0125 kN/m alle travi centrali (con area di influenza 0,5 m) e un carico qu= 4,00625 kN/m per le travi di bordo (con area di influenza 0,25 m).

Avviando l’analisi e’ stato possibile avere la deformata della struttura e i risultati dei momenti flettenti.

Dopo averli importati su Excel e’ stato possibile trovare il valore del Momento massimo (di compressione) Mmax= 609,783 kN*m e, sempre attraverso Excel, verificare se la sezione assegnata fosse corretta. Con tale momento e mantenendo una base di 20 cm, l’altezza minima delle travi e’ risultata 75,7 cm quindi e’ stata scelta una altezza di 80 cm.

Avendo quindi modificato la sezione delle travi su SAP, analizzato la deformata e i diagrammi dei momenti, il valore del Momento massimo e’ risultato 636,679 kN*m e la sezione della trave su Excel e’ risultata corretta. 

A questo punto e’ stata verificata la deformabilita’ della struttura, in particolar modo l’abbassamento massimo risultato essere 0,022 cm e che deve essere inferiore a 1/200 della luce (quindi, in questo caso, inferiore a 0,09 m).

La trave piu' sollecitata a momento flettente, e con un maggiore abbassamento, e' quella centrale.

La progettazione di un graticcio prevede il dimensionamento di travi in calcestruzzo senza l’individuazione di una gerarchia. Il graticcio in esame, composto da travi con la stessa geometria, supera una luce di 15 m ed ha ha al di sopra un piano adibito ad uffici aperti al pubblico. 

Come primo passo definisco la geometria del graticcio su Autocad, creando una  griglia 15 m per 10 m, con interasse pari ad 1 m. Per l’esportazione su Sap è importante esplodere gli elementi creati (su un layer diverso dallo 0) e posizionare la griglia in prossimità dell’origine degli assi. 

Fig. 01 - L'immagine seguente mostra la griglia creata su Autocad importata su Sap. 

Definisco la tipologia di solaio in calcestruzzo, riportata nell’immagine seguente.

Fig.02 - Solaio

Questa scelta mi permette di calcolare i carichi strutturali q_s e i sovraccarichi permanenti q_p, agenti sul graticcio utilizzando la combinazione di carico, che include il carico accidentale q_a, legato alla funzione (questi valori sono moltiplicati per i coefficienti di sicurezza).  

La combinazione di carico segue la formula q_u=(q_s γ_s + q_p + γ_p + q_a γ_{a) * i} 

Importando il modello su Sap come prima operazione spezzo le linee che definiscono il graticcio in modo che si possa analizzare il comportamento delle travi considerandole disgiunte dalle altre poste perpendicolarmente. 

Dopo questo ipotizzo il posizionamento dei vincoli esterni (incastri) lungo i due lati corti e assegno la sezione in calcestruzzo, rettangolare e pari a 0,25 x 0,50 m. Successivamente assegno il carico agente distinguendo le travi di bordo da quelle interne: su quelle più esterne considero la metà del carico rispetto a quelle centrali in quanto l’area d’influenza è esattamente la metà rispetto alle travi interne, su cui calcolo il carico lineare moltiplicando q_u per 1m (quindi per quelle esterne farò q_u x 0,50 m). 

Fig. 03 - Griglia con vincoli e assegnazione della sezione 

Fig. 04 - Assegnazione del carico alle travi interne 

Fig. 05 - Assegnazione del carico alle travi esterne 

Assegnato il carico con questa distinzione, avvio l’analisi. Possiamo osservare la configurazione deformata e il diagramma del momento flettente. Il valore massimo del momento flettente lo ottengo come risultato di output delle tabelle generate su Sap e che utilizzo nel foglio di calcolo Excel per verificare se il dimensionamento ipotizzato sia corretto. 

Fig. 06 - Configurazione deformata 

Fig. 07 - Diagrammi del momento flettente 

Fig. 08 - Trave con sollecitazione di momento massimo 

Dalla tabella di Output di Sap possiamo trovare il valore massimo del momento flettente: 

 quindi possiamo utilizzarlo come dato di partenza nel foglio di calcolo Excel, come illustrato nell'immagine seguente (calcestruzzo C50/60) : 

Verificata la sezione analizzo la configurazione deformata ed esamino l’abbassamento massimo della trave centrale, verificando che questo sia minore di 1/200 della luce. 

0.0576 m < (1/200)*15 m = 0.075 m