Portale di Meccanica

Lo scopo dell'esercitazione è quello di dimensionare gli elementi appartenenti ad un telaio piano (ovvero composto da travi che collaborano con i pilastri), di cui sono state precedentemente stabile le dimensioni, in tre differenti tecnologie costruttive: acciaio, calcestruzzo armato e legno.

 

TRAVI

Per poter procedere al dimensionamento delle travi che "compongono" la carpenteria é necessario conoscere il carico q gravante sulle stesse. A tal fine l'analisi dei carichi consente di conoscere l'entità della forza agente sull' elemento, costituita dalla combinazione di tre "tipi" di carico:

CARICO STRUTTURALE(qs): peso proprio di tutti gli elementi strutturali

CARICO PERMANENTE(qp): peso proprio di tutti gli elementi non strutturali, compresa l'incidenza a mq dei tramezzi (1kN/mq) e degli impianti (0,5kN/mq)

CARICO ACCIDENTALE(qa): dipende dalla destinazione d'uso dell'edificio e del solaio stesso.

 

Le seguenti tabelle mostrano rispettivamente l'analisi dei carichi per le tre tecnologie:

Prendendo in analisi un mq di solaio sono stati distinti elementi strutturali da elementi non strutturali e il relativo carico è stato calcolando moltiplicando il peso specifico del materiale (espresso in kN/m³) per la quantità di volume (m³/m²) di materiale stesso contenuta in un mq di solaio.

Per quanto riguarda i carichi accidentali invece, essi sono previsti dalla normativa attualmente vigente (NTC 2008-Norme tecniche per le costruzioni-D.N.14 gennaio 2008) nella quale questi vengono distinti in base alla destinazione d'uso dell'edificio.

Il carico totale a mq di solaio è stato calcolato tramite la formula prevista dalla normativa per la combinazione di carico allo stato limite ultimo:

q=gG₁ q_s+gG₂ q_p+ gQ q_a

I valori di g (rispettivamente 1,3 per q_s e 1,5 per q_p e q_a) rappresentano dei coefficienti di sicurezza che, maggiorando il momento, consentono di tener conto dell'aleatorietà dei valori di carico determinati. Il carico di cui sopra comunque, agisce su 1 mq di solaio, mentre per poter determinare le sollecitazioni agenti sugli elementi strutturali è necessario conoscere il carico agente sulla trave espresso in kN/m.

A questo scopo è stato sufficiente moltiplicare il carico di cui sopra per l'interasse relativo all'area di influenza della trave.

CALOCOLO MOMENTO MASSIMO

Lo schema statico del telaio piano è stato approssimato in ambito di pre dimensionamento a quello di una trave doppiamente appoggiata, quindi il nodo trave pilatro non viene visto come un nodo rigido bensì come un vincolo semplice di appoggio.

La sollecitazione massima flessionale massima è stata quindi calcolata come M= ql²/8.

DIMENSIONAMENTO

Il foglio di calcolo successivo a quello sul momento massimo contiene innanzitutto alcuni dati concernenti la resistenza dei tre materiali.

Per quanto riguarda il legno, date una tecnologia e un classe di resistenza ad esse corrisponde un certo valore di resistenza caratteristica a flessione fmk. La tensione di progetto viene calcolata come previsto dalla normativa:

fd=k_mod f_m,k/g_m

kmod è un valore, dipendente dal tipo di materiale scelto, fornito dalla normativa e costituisce un coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale, che tiene in conto l’effetto della durata del carico e delle condizioni di umidità in cui la struttura si troverà ad operare.

gamma_m è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale.

similmente per l' acciaio, una volta scelto il tipo di acciaio si ha tensione di snervamento caratteristica dello stesso che dipende dalla classe di resistenza dello stesso.

Le tensioni di progetto si calcolano con il rapporto tra la tensione caratteristica e un coefficiente di sicurezza pari a 1,05.

F_ed=f_yd/gs

Per quanto concerne il calcestruzzo invece, una volta scelta la classe di resistenza dello stesso si calcola la tensione di esercizio delle barre d'acciaio come sopra, mentre la resistenza di progetto del calcestruzzo si può calcolare a partire dalla resistenza a compressione caratteristica tramite la seguente formula:

F_cd=a_ccf_ck/g_c

In cui αcc che rappresenta il coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata, pari a 0,85; e γC, il coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo, uguale a 1,5.

Una volta stabiliti le caratteristiche geometriche e di resistenza dei materiali si può passare al dimensionamento della sezione.

Nel caso del legno il metodo di progetto utilizzato prevede che solo l'altezza della sezione sia incognita. Quindi fissata la base, l'altezza si calcola semplicemente:

h_min=(M_max/b)^0,5(6/f_d)^0,5

 

Anche il metodo di progetto della sezione in acciaio prevede una sola incognita, ovvero il modulo di resistenza minimo a flessione della sezione, che una volta calcolato consente di scegliere la sezione direttamente dal profilario.

W_min=M_max/f_yd

Trattandosi di una sezione rettangolare, anche per dimensionare la sezione in calcestruzzo bisogna calcolare un altezza (altezza utile) che sommata alla dimensione del coprigiunto darà un'indicazione rispetto l'altezza minima della sezione.

 

CALCOLO SFORZO NORMALE MASSIMO

Il primo passo da compiere per valutare lo sforzo normale agente sul pilastro più sollecitato è il calcolo dell'area d'influenza dello stesso. Il pilastro più sollecitato è uno dei pilastri del piano terra, in particolare quello con l'area di influenza maggiore che è stata calcolata come il prodotto di L1 per L2.

Lo sforzo normale agente su questo pilastro dipende dal carico dovuto al peso proprio delle travi che si poggiamo in testa allo stesso, dal carico del solaio e dal numero di piani dell'edificio.

Il carico dovuto al peso proprio delle travi può vedere calcolato sommando i contributi di ogni trave, ottenuti moltiplicando il loro peso unitario per la L1 e L2.

q_trave=1,3 x p_trave x L

Il carico dovuto al è quello precedentemente calcolato.

A questo punto il carico N di compressione risulta pari a:

N = [q_trave+ q_solaio] x n_piani

 

DIMENSIONAMENTO

Una volta ottenuto il valore massimo dello sforzo normale agente sul pilastro, il metodo di pre dimensionamento adottato mira a calcolare i valori di area e momento di inerzia minimi della sezione.

Quindi il calcolo dell'area consiste nell'eguagliare tensioni massime con resistenza a compressione del materiale

 s_max = f_cd

N/A_min=f_cd 

Per cui l'area minima affinchè non si verifichi lo schiacciamento del materiale risulta essere uguale al rapporto tra sollecitazione e resistenza:

A_min=N/f_cd 

Il momento di inerzia minimo di ottiene invece mettendo in relazione  il valore massimo della tensione agente sulla sezione e il valore critico della tensione dell'elemento. Quest'ultimo un particolare è la tensione associata allo sforzo normale critico, il cosiddetto carico critico euleriano, ultimo valore di carico oltre la quale non è più possibile l'equilibrio e si innesca l'instabilità.

N_critico= p²E I_min /(l β)²

Nell'esercitazione il calcolo del momento di inerzia minimo avviene partendo da tre dati da inserire: il valore del modulo di elasticità E, il valore di β (che tiene conto di come il pilastro è vincolato), e l che è l'altezza del pilastro. Con questi dati è possibile calcolare due importanti parametri: snellezza massima dell'elemento e raggio di inerzia minimo della stesso. Quest'ultimo dato è fondamentale perché nelle sezioni in acciaio consente la scelta del profilo direttamente dal profilario, mentre nel caso di sezioni rettangolari, permette di calcolare la base minima della sezione.

l e r risultano quindi uguali a:

l = p (E/fcd)^0,5

r_min= l₀/l_max che nelle sezioni rettangolari vale r_min=(1/12b)^0.5

Da qui è possibile calcolare la base minima come b=2(3r_min)^0,5

 Calcolata la base, il valore dell'altezza è semplicemente pari al rapporto tra area minima e base minima.

Una volta calcolate le dimensioni della sezione il momento di inerzia minimo della stessa viene fornito dai profilari per le sezioni in acciaio, ed è pari a I=bh³/12 per le sezioni rettangolari.

 

Per poter determinare mediante il programma di calcolo “SAP” i valori massimi di sollecitazione agenti sulla struttura prima di tutto occorre disegnarla, assicurandoci di stare lavorando con il sistema di unità di input idoneo.

Abbiamo copiato a questo punto il file tre volte per poter lavorare sulla stessa struttura modificando solo i materiali assegnati. Per ciò che concerne l’acciaio e il calcestruzzo, i materiali sono preinseriti e abbiamo dovuto unicamente selezionare i profili scelti in fase di calcolo, per l’acciaio, e dimensionare correttamente la sezione per il calcestruzzo armato. Diversamente ci siamo dovute comportare per la struttura in legno non essendo, infatti, tale materiale presente nella libreria installata. Abbiamo quindi creato un nuovo materiale specificando la sua natura ortotropa, il peso specifico e il modulo elastico (questi ultimi due cambiano a seconda del tipo di legno).

Sono stati poi inseriti da comando le densità di carico agenti sulle travi. Non abbiamo invece previsto di sottoporre le strutture all’analisi delle sollecitazioni orizzontali causate dall’azione del vento.

Abbiamo quindi ottenuto i seguenti diagrammi:

 

ACCIAIO

  

Diagramma dei momenti sulla trave

Diagrammi delle sollecitazioni sulla pilastrata

 

CALCESTRUZZO ARMATO

Diagramma dei momenti sulla trave

Diagrammi delle sollecitazioni sulla pilastrata

 

LEGNO

Diagramma dei momenti sulla trave

Diagrammi delle sollecitazioni sulla pilastrata

 

VERIFICA

Una volta terminata l'analisi in SAP della struttura è stata fatta la verifica degli elementi precedentemente progettati ma sostituendo le sollecitazioni di progetto con quelle ottenute dall'analisi.

Il metodo di verifica utilizzato mette a confronto le tensioni agenti sulla sezione più sollecitata con le tensioni ammissibili.

In generale quindi:

s_max ≤ f_cd

Per quanto riguarda la trave, la tensione massima è stata calcolata in funzione della sollecitazione massima agente sulla sezione, quindi come il rapporto tra momento massimo e modulo di resistenza a flessione massimo:

s_max= M_max/W_max

M_max/W_max≤ f_cd

In riferimento al pilastro invece, la tensione massima è fornita dalle due diverse sollecitazioni agenti sullo stesso, ovvero sforzo normale di compressione e momento flettente trasmesso dalla trave al pilastro.

La tensione massima è quindi pari a:

s_max= N/A₊M_max/W_max

Da cui la verifica di una sezione presso-inflessa:

N/A₊M_max/W_max≤ f_cd

 

   L'esercitazione è stata svolta insieme alla collega Luigia D'Auria.

 

Si considera un edificio, con destinazione d’uso di tipo residenziale, composto da una struttura a telaio (ossia da elementi orizzontali, travi, e elementi verticali, pilastri). Dalla pianta di carpenteria si osserva la trave e il pilastro maggiormente sollecitati.

Il telaio verrà analizzato nelle tre tecnologie: CEMENTO ARMATO, ACCIAIO E LEGNO.

CEMENTO ARMATO

TRAVI
Il metodo di progetto utilizzato prevede di imporre che la tensione massima nella trave sia uguale alla tensione di progetto del materiale, definita dalla normativa.

Osservando la trave maggiormente sollecitata, la prima operazione da compiere è di mettere in evidenza la sua area di influenza e misurare il suo interasse.

Si analizzano i diversi carichi agenti sul solaio (kN/mq), al fine di determinare il carico di progetto sulla trave messa in evidenza (espresso come densità di carico lineare, kN/m).
I diversi carichi si suddividono in carichi strutturali (peso proprio di tutti gli elementi strutturali), carichi permanenti (elementi che non svolgono funzione strutturale) e carichi accidentali, (funzione aleatoria e legati alla funzione che svolgerà l’edificio) e sono regolati dalla normativa NTC2008.
Si calcola il peso al mq di ogni elemento tecnologico che compone il solaio
moltiplicando il peso specifico (kN/mc) per la quantità di volume del materiale contenuta in un mq (mc/mq).

 

CARICHI STRUTTURALI Qs

-Soletta               25 kN/mc * 0.04 mc/mq                          1 kN/m²              

-Travetto            25 kN/mc * 0.2 mc/mq                             1 kN/m²

-Pignatta             11 kN/mc * 0.2 mc/mq                            1.76 kN/m²

                                                                                        3.76 kN/m²                                                               

CARICHI PERMANENTI Qp

-Intonaco calcecemento              0.3 kN/mc * 0.015 mc/mq                      0.04 kN/m²

-Allettamento                                  20 kN/mc * 0.02 mc/mq                    0.4 kN/m²

-Massetto                                          18 kN/mc * 0.04 mc/mq                 0.72 kN/m²

-Pavimento in parquet                 7.5 kN/mc * 0.02 mc/mq                        0.15 kN/m²

- incidenza Tramezzi                                                                              1 kN/m²

-incidenza impianti                                                                                 0.5 kN/m²

                                                                                                            2.81 kN/m²                      

CARICHI ACCIDENTALI Qa

-Destinazione d’uso: CIVILE ABITAZIONE (regolato dalla normativa)                                                                                                                                                 2 kN/m²                                                                

La normativa impone che per il calcolo del carico totale a ml sulla trave, si debba moltiplicare i singoli carichi per dei coefficienti moltiplicativi ( COMBINAZIONE DI CARICO) e per l’interasse.

I coefficienti moltiplicativi sono riportati in funzione dello stato limite ultimo (SLU)

Qu= gG₁ q_s+gG₂ q_p+ gQ q_a

Qu= 1,3* Qs + 1,5*Qp + 1,5*Qa                               (kN/m²⁾

QU= Qu * i

 

Si determina il Mmax agente sulla trave considerando per il calcolo il modello della trave appoggiata-appoggiata, il Mmax si trova in mezzeria e si calcola

Mmax= QU x l² / 8

Per il dimensionamento della trave si impone che la tensione massima nella trave sia uguale alla tensione di progetto del materiale. Al fine del calcolo della tensione è necessario scegliere la resistenza caratteristica del materiale. Per il cemento armato, materiale non omogeneo in quanto composto da Acciaio di armatura e calcestruzzo, è necessario definire la resistenza caratteristica del calcestruzzo (f_ck) e dell’acciaio
d’armatura (f_yk).

Dopo aver effettuato questa scelta, si definiscono le tensioni di progetto del calcestruzzo ( f_cd ) e dell’acciaio di armatura ( f_yd )

f_cd = α_cc f_ck / g_c

α_cc coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata = 0,85

g_c coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo = 1,5

f_yd =  f_yk / g_s

g_s coefficiente riduttivo dell’acciaio d’armatura = 1,15

Una volta calcolate le tensioni di progetto si calcolano α e r, tramite i quali sarà possibile calcolare
l’ H_u. Si sceglie poi una base di design per la trave e si determina l’altezza utile della sezione della trave.
L’altezza minima della sezione sarà data dalla somma (regolarizzata) di H _u con lo spessore del copriferro δ
(distanza tra il baricentro del tondino di armatura e il filo del calcestruzzo teso)

Si determina poi il peso Unitario della trave calcolando l’Area della trave per il peso specifico del cls.
La trave, ora dimensionata e con un proprio peso, incide direttamente sul Qtot (il peso unitario _considerevole per le travi in CA_ è moltiplicato per un coefficiente)
Per questo è necessario verificare se la sezione calcolata riesce a sostenere i carichi o se sarà opportuno ridimensionarla.

 

PILASTRI

Dimensionamento di un elemento strutturale verticale soggetto a sforzo normale di compressione, si deve definire un’ AREA DI PROGETTO e un MOMENTO DI INERZIA MINIMO DI PROGETTO, tenendo conto della possibilità della rottura del materiale per schiacciamento e della possibilità che si verifichi il fenomeno di instabilità euleriana (lo sbandamento laterale dell’elemento verticale).

Il pilastro maggiormente sollecitato si trova al piano terra in quanto sostiene tutto carico dei piani superiori.  

Si calcola L’area di influenza del pilastro e al fine di ricavare lo SFORZO NORMALE di compressione N,
si determinano prima
-il carico che grava sul pilastro, dovuto al peso proprio delle travi che poggiano sulla testa del pilastro,
-il carico dovuto al solaio
-per il numero di piani dell’edificio.

Q_trave = 1,3 * Peso Unitario della trave * L della trave nell’area di influenza

N = (Q_trave + Q_solaio) * n° piani

Una volta calcolata la forza agente sul pilastro, è possibile dimensionare la sezione, partendo dalla resistenza del materiale per poi definire l’AREA MINIMA necessaria affinché il materiale non entri in crisi.

F_{cd =}  F_ck αα / g_m                                                                g_{m 1,5}                                αα 0.85

 Amin = N / F_cd

Si determina ora il  RAGGIO MINIMO DI INERZIA MINIMO, parametro da cui si ricava (nel caso di sezioni rettangolari) la B min che deve avere la sezione. Saranno necessari i dati relativi

-E modulo di elasticità
-β(valore legato ai vincoli a cui è soggetto il pilastro)
-L altezza del pilastro
Da cui è possibile ricavare il massimo valore di SNELLEZZA λ max che può avere il pilastro e il MINIMO VALORE DEL RAGGIO DI INERZIA MINIMO r min , per determinare il valore minimo della Base.

λ max = p  E / F_cd                                                        r min = l₀ / λ max                   b= 2  3 r min

L’altra dimensione H verrà trovata dal rapporto dell’Area e la base
h= Amin / b
I valori dovranno poi essere sovradimensionati nell’atto dell’ingegnerizzazione ( Bdesign e Hdesign)

Si ricava infine l’AREA_design e il MOMENTO DI INERZIA_design           I_design = hb³/12

Per il cls sarà necessaria un’ulteriore verifica della sezione, in quanto il nodo tra trave e pilastro è un incastro, trasmette dunque Momento e sottopone in pilastro a presso-flessione. Per fare la verifica a presso-flessione si impone che la tensione massima sia minore della resistenza di progetto:

s_max   F_cd

La tensione può essere calcolata con le due sollecitazioni sul pilastro, ovvero N e M (trasmesso dalla trave)

s_max = N/A + Mt/ Wmax                                          Wmax modulo di resistenza a flessione

 

 

LEGNO

TRAVI
La prima operazione da compiere è di mettere in evidenza la sua area di influenza e misurare il suo interasse.

Si analizzano i diversi carichi agenti sul solaio (kN/mq), al fine di determinare il carico di progetto sulla trave messa in evidenza (espresso come densità di carico lineare, kN/m).

 

CARICHI STRUTTURALI Qs

-Tavolato di base             7.4 kN/mc * 0.03 mc/mq                    0.22 kN/m²        

-Travicello                           7.4 kN/mc * 0.016 mc/mq              0.12 kN/m²

-Caldana Cls                       2.3 kN/mc * 0.04 mc/mq                0.92 kN/m²

- Rete Elettrosaldata      0.053 kN/mc * 1 mc/mq                       0.053 kN/m²

                                                                                             1.31 kN/m²   

 

CARICHI PERMANENTI Qp

-Pavimento in parquet                7.2 kN/mc * 0.015 mc/mq            0.11 kN/m²

-isolamento acustico                  0.05 kN/mc * 0.01 mc/mq           0.5 kN/m²

-Massetto sabbia e cemento      18 kN/mc * 0.04 mc/mq               0.72 kN/m²

- incidenza Tramezzi                                                                  1 kN/m²

-incidenza impianti                                                                      0.5 kN/m²

                                                                                                2.83 kN/m²

CARICHI ACCIDENTALI Qa

-Destinazione d’uso: CIVILE ABITAZIONE (regolato dalla normativa)                                                                                                                                                                                                                   2 kN/m²

COMBINAZIONE DI CARICO

Qu= gG₁ q_s+gG₂ q_p+ gQ q_a

Qu= 1,3* Qs + 1,5*Qp + 1,5*Qa                               (kN/m²⁾

QU= Qu * i

Si determina il Mmax agente sulla trave considerando per il calcolo il modello della trave appoggiata-appoggiata, il Mmax si trova in mezzeria e si calcola

Mmax= QU x l² / 8

Nel dimensionamento di una trave in legno è necessario scegliere il tipo di legno da utilizzare, non riferendosi all’essenza del legno ma alla tecnologia e alla classe di resistenza a flessione, da cui si ricava la tensione di progetto calcolata secondo la norma.  

f_d = k_mod * f_mk /  g_m
 

Si è scelto il legno lamellare G 24 con

f_mk            24 N/mm²          resistenza caratteristica

k_mod        0.7                         coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale, tiene conto dell’effetto della durata del carico e delle condizioni di umidità, e quindi delle condizioni climatiche in cui la struttura si trova ad operare (classe di servizio)

g_m          1.45                       coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale

 

E’ possibile dimensionare la sezione rettangolare scegliendo arbitrariamente una Base di progetto calcolando l’ H_min , valore che andrà poi ingegnerizzato, valore subito superiore compatibile con i profili esistenti sul mercato.

Hmin =  M_max/b  6/ f_d

 

 

PILASTRI

Si calcola L’area di influenza del pilastro e si inserisce l'area della trave precedentemente trovata, e assegnando il peso specifico del materiale (7.2 kN/m³) si calcola il peso delle travi.

Q_trave = 1,3 * Peso Unitario della trave * L della trave nell’area di influenza

N = (Q_trave + Q_solaio) * n° piani

Una volta calcolata la forza agente sul pilastro, è possibile dimensionare la sezione, partendo dalla resistenza a compressione parallela alle fibrature definita da tabellario F_c0k , k _mod  e g_m

per definire la resistenza a compressione del pilastro e  l’Area min. necessaria affinché il materiale non entri in crisi.

F_{c0d =}  F_c0k * k _mod  / g_m                                                                                                                              g_m 1,45 k _mod   0.8

 Amin = N / F_c0k

Si determina ora il  RAGGIO MINIMO DI INERZIA MINIMO, parametro da cui si ricava (nel caso di sezioni rettangolari) la B min che deve avere la sezione. Saranno necessari i dati relativi
-E modulo di elasticità
-β(valore legato ai vincoli a cui è soggetto il pilastro)
-L altezza del pilastro
Da cui è possibile ricavare il massimo valore di SNELLEZZA λ max che può avere il pilastro e il MINIMO VALORE DEL RAGGIO DI INERZIA MINIMO r min , per determinare il valore minimo della Base.

λ max = p  E / F_c0d                                     r min = l₀ / λ max                             b= 2 3 r min

L’altra dimensione H verrà trovata dal rapporto dell’Area e la base
h= Amin / b
I valori dovranno poi essere sovradimensionati nell’atto dell’ingegnerizzazione ( Bdesign e Hdesign)

Si ricava infine l’AREA_design e il MOMENTO DI INERZIA_design          
I_design = hb³/12

Affinché la sezione sia verificata è necessario che Adesign > Amin

 

ACCIAIO

TRAVI
La prima operazione da compiere è di mettere in evidenza la sua area di influenza e misurare il suo interasse.

Si analizzano i diversi carichi agenti sul solaio (kN/mq), al fine di determinare il carico di progetto sulla trave messa in evidenza (espresso come densità di carico lineare, kN/m).

 

CARICHI STRUTTURALI Qs

 

-Trave IPE 100                                  78.5 kN/mc * 0.01 mc/mq                           0.07 kN/m²        

- Lamiera Grecata zincata            9.8 kN/mc * 0.016 mc/mq                          0.16 kN/m²

-Getto di compl. in CA                   25 kN/mc * 0.04 mc/mq                              1 kN/m²

                                                                                                                   1.23 kN/m²                                 

CARICHI PERMANENTI Qp

-Pavimento in gres p.                   20 kN/mc * 0.02 mc/mq                             0.4 kN/m²

-isolamento fibra legno                 1.4  kN/mc * 0.04 mc/mq                          0.56 kN/m²

-Massetto cls                              18 kN/mc * 0.04 mc/mq                            0.72 kN/m²

- Intonaco                                    3.9 kN/mc * 0.02 mc/mq                           0.078 kN/m²

- incidenza Tramezzi                                                                                   1 kN/m²

-incidenza impianti                                                                                      0.5 kN/m²

                                                                                                                3.25 kN/m²                           

CARICHI ACCIDENTALI Qa

-Destinazione d’uso: CIVILE ABITAZIONE (regolato dalla normativa)                                                                                                                                                    2 kN/m²                                                                                                                      

COMBINAZIONE DI CARICO

Qu= gG₁ q_s+gG₂ q_p+ gQ q_a

Qu= 1,3* Qs + 1,5*Qp + 1,5*Qa                               (kN/m²⁾

QU= Qu * i

Si determina il Mmax agente sulla trave considerando per il calcolo il modello della trave appoggiata-appoggiata, il Mmax si trova in mezzeria e si calcola

Mmax= QU x l² / 8

 

Dopo aver calcolato il Mmax è necessario scegliere il tipo di acciaio, andando ad individuare la tensione caratteristica di snervamento f _y,k  che individua la classe di resistenza del materiale.

fy_d = f_yk /  g_s                              Tensione di progetto

f_yk                 275 Mpa             Tensione di snervamento caratteristica

g_s          1.05                         coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale

Per determinare la sezione della trave si deve determinare il modulo di resistenza a flessione minimo

W_{x min} = M_max / fy_d             Modulo di resistenza a flessione

Il valore determinato è il valore minimo che la sezione deve avere affinché nessuna fibra superi la tensione di progetto. Questo valore andrà poi ingegnerizzato ( valore superiore al valore minimo e compatibile con i profili esistenti sul mercato.

 

PILASTRI

Dimensionamento di un elemento strutturale verticale soggetto a sforzo normale di compressione, si deve definire quindi un’ AREA DI PROGETTO  e un MOMENTO DI INERZIA MINIMO DI PROGETTO, tenendo conto della possibilità della rottura del materiale per schiacciamento e della possibilità che si verifichi il fenomeno di instabilità euleriana (lo sbandamento laterale dell’elemento verticale).

Il pilastro maggiormente sollecitato si trova al piano terra in quanto sostiene tutto carico dei piani superiori.  

Si calcola L’area di influenza del pilastro, si inserisce l'area della trave precedentemente trovata, e assegnando il peso specifico del materiale si calcola il peso delle travi.

Q_trave = 1,3 * Peso Unitario della trave * L della trave nell’area di influenza

N = (Q_trave + Q_solaio) * n° piani

 

Una volta calcolata la forza agente sul pilastro, è possibile dimensionare la sezione, definendo

la resistenza a compressione del pilastro e  l’Area min. necessaria affinché il materiale non collassi per schiacciamento-

F_{Yd =}  F_cyk / g_{m                                                                                                                                                   gm} 1,05

 Amin = N / F_yd

Per il controllo del fenomeno dell’instabilità euleriana si determina il  RAGGIO MINIMO DI INERZIA
MIN. r min , SNELLEZZA λ max che può avere il pilastro e il VALORE DI INERZIA MIN. I min

Saranno necessari i dati relativi
-E modulo di elasticità
-β(valore legato ai vincoli a cui è soggetto il pilastro)
-L altezza del pilastro
 

Da cui è possibile ricavare

λ max = p  E / F_c0d                                     r min = l₀ / λ max                          

I_min = A * r min²

Con i valori trovati si deve scegliere dal formulario una sezione di progetto,  facendo attenzione che l’

A_design e I_design siano maggiori di quelli calcolati.

E’ stata scelto un profilo HEA 220

 

 

                              

 

 

 

 

 

1. ANALISI DEI CARICHI

1.1 CARICO DEL SOLAIO

Individuo i valori del peso specifico di ogni materiale (gamma) --> [kN/m3]

Calcolo il peso al mq degli elementi, suddividendo tra carico strutturale (qs) e carico permanente portato (qp)

                  qx [kN/mq] = [(V [m3] / 1 mq) * gamma + ... ] * (1/i)                      

in cui V= volume elemento calcolato rispetto all’interasse (in questo caso 0,5 m) = spessore*interasse*1m; gamma= peso specifico; i= interasse.

 

Calcolo i carichi al metro lineare

                                   Qs [kN/m] = qs*Li

                                   Qp [kN/m] =(qp + incidenza tramezzi + incidenza impianti )*Li

in cui Li= lunghezza dell’area di influenza (indicata in figura); varia a seconda della trave considerata

incidenza tramezzi =  1 kN/mq; incidenza impianti= 0,5 kN/mq

 

Calcolo la combinazione di carico frequente per un edificio di civile abitazione

                                   qu [kN/m] = Qs*gamma qs+Qp*gamma qp+Qk1*gamma qk1+ Qk2*gamma qk2* psi 02 + ...

in cui Qk= (carico accidentale da NTC, per civile abitazione=2kN/mq -->sto considerando il carico di persone come carico accidentale dominante)

 

1. PESO PROPRIO della TRAVE

* da aggiungere dopo averla dimensionata ma prima di dimensionare il pilastro

 

 

2. PREDIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE PRINCIPALE Più SOLLECITATA (trave 2) --> flessione pura

Per fare un predimensionamento della trave in c.a. ho utilizzato la formula per il dimensionamento “a braccio”

Impongo b = 20 cm e ho che h = l/12 = 41,66666        con l = 500 cm

                                 Ingegnerizzo la sezione --> b = 20    h = 42

 

 

3. PREDIMENSIONAMENTO PILASTRO Più SOLLECITATO (pilastro C3) --> presso-flessione         sezione quadrata

Calcolo il peso proprio della trave e lo sommo a qu à ottengo qu’

Calcolo le sollecitazioni all’incastro

                                   Mmax [kN*m] = P1*(a/2) – P2* (b/2)

                                   N max [kN] = qu’ * Li’

In cui Li’= lunghezza di influenza del pilastro C3; a= campata CD/2; b=campata BC/2

 

Calcolo l’inerzia minima

                                   J minima [cm3] = [Ned * (lo)^2] / [(pigreco^2)*Ec*gamma]           =261,71 cm3

In cui Ec [kN/cm2] = modulo elastico = 22000*(fcm/10)^0,3;  fcm=fck+8; fck=30MPa;    gamma=coef. maggiorativo (>1); lo= lunghezza libera di inflessione = L*beta -->con beta= 0,7 (varia a seconda dei vincoli alle estremità)

 

Calcolo l’area minima

                                   A minima [cm2] = Ned/sigma,cd = Nmax/fcd             = 55,78 cm2

 

Calcolo il raggio di inerzia minore minimo

                                   ro min [cm] = radice di [J min / Amin]           =2,166 cm

 

Sapendo che     ro x= ro y   per sezione quadrata (h=b);  e che quindi       ro=h/radice di 12       calcolo il lato della sezione

                                   h= b= ro* radice di 12         =7,5 cm  --> con questo valore il pilastro non risulta verificato a instabilità e inoltre non rispetta il limite sull’area minima imposto dalla NTC...                   quindi scelgo un pilastro 25x25

 

3.1 VERIFICO LA SNELLEZZA DEL PILASTRO

Calcolo il nuovo ro considerando la sezione 25x25

                                   lambda [adim] = lo/ro minore          =117,6    ok perché <=200

 

 

 

4. VERIFICA SU SAP

Dall’analisi su SAP del telaio in cemento armato, come già evidenziato nel caso dell’acciaio, ho riscontrato il primo errore nell’aver dimensionato il pilastro senza tener conto del peso dei solai di tutti i piani e del peso proprio del pilastro stesso. 

Ho notato che il pilastro D subisce una notevole deformazione il che mi porta a pensare di doverlo riprogettare tenendo conto delle reciproche influenze tra N,T ed M.

Inoltre ho notato che il momento massimo del tratto di trave CD, che è risultato effettivamente il più sollecitato, non è in mezzeria ma nell’appoggio C.

Dunque alle analisi con SAP sono emersi errori importanti che prevedrebbero la riprogettazione complessiva del telaio sia per quanto riguarda le travi che per i pilastri. Ho capito l’importanza di utilizzare in parallelo i calcoli a mano (EXCEL) e il programma di analisi strutturale per poter confrontarne i risultati in corso d’opera e prevenire errori (gravi) come quelli che ho riscontrato in questa prima esercitazione.

 

 

 

 

1. ANALISI DEI CARICHI

 

1.1 CARICO DEL SOLAIO

Individuo i valori del peso specifico di ogni materiale (gamma) à [kN/m3]

Calcolo il peso al mq degli elementi, suddividendo tra carico strutturale (qs) e carico permanente portato (qp)

                  qx [kN/mq] = [(V [m3] / 1 mq) * gamma + ... ] * (1/i)                      

in cui V= volume elemento calcolato rispetto all’interasse (in questo caso 0,25m) = spessore*interasse*1m; gamma= peso specifico; i= interasse.

 

Calcolo i carichi al metro lineare

                                   Qs [kN/m] = qs*Li

                                   Qp [kN/m] =(qp + incidenza tramezzi + incidenza impianti )*Li

in cui Li= lunghezza dell’area di influenza (indicata in figura); varia a seconda della trave considerata

incidenza tramezzi =  1 kN/mq; incidenza impianti= 0,5 kN/mq

 

Calcolo la combinazione di carico frequente per un edificio di civile abitazione

                                   qu [kN/m] = Qs*gamma qs+Qp*gamma qp+Qk1*gamma qk1+ Qk2*gamma qk2* psi 02 + ...

in cui Qk= (carico accidentale da NTC, per civile abitazione=2kN/mq àsto considerando il carico di persone come carico accidentale dominante)

1.2 PESO PROPRIO della TRAVE

* da aggiungere dopo averla dimensionata ma prima di dimensionare il pilastro

 

 

2. PREDIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE PRINCIPALE Più SOLLECITATA (trave 2) --> flessione pura

Calcolo delle sollecitazioni in mezzeria

(tralascio in questo momento il contributo del taglio, che però potrebbe contribuire a ridurre la resistenza della trave influenzando il momento!!)

                  Mmax [kN*m] = qu*(L^2)/8

In cui Mmax= momento in mezzeria e L= campata CD

 

Calcolo il modulo di resistenza a flessione

Dalla formula di Navier so che         sigma(y) = (Mx / Ix)* y         --> sigma max= (Mx/Ix)*ymax         --> Ix/ymax = Wx

                 Wx [cm^3] = Mmax/sigma max = Mmax/ fd = b*(h^2)/6

In cui sigma max= fd per imposizione di progetto; fd preso da catalogo= 28 MPa.

Ipotizzo b= 20cm             -->         h [cm] = radice di [(6Wx)/b] =30 cm                arrotondo per eccesso

 

Dal catalogo (es. Rubner) scelgo una trave con Amin = b*h 

                                   scelgo trave 20x32                

 

 

3. PREDIMENSIONAMENTO PILASTRO Più SOLLECITATO (pilastro C3) --> presso-flessione             sezione quadrata

Calcolo il peso proprio della trave e lo sommo a qu à ottengo qu’

Calcolo le sollecitazioni all’incastro

                                   Mmax [kN*m] = P1*(a/2) – P2* (b/2)

                                   N max [kN] = qu’ * Li’

In cui Li’= lunghezza di influenza del pilastro C3; a= campata CD/2; b=campata BC/2

 

Calcolo l’inerzia minima

                                   J minima [cm3] = [Ned * (lo)^2]/[(pigreco^2)*El*gamma]

In cui El [kN/cm2] = modulo elastico = 102 kN/cm2 (da catalogo); gamma = coef. maggiorativo (>1); lo= lunghezza libera di inflessione = L*beta -->con beta= 0,7 (varia a seconda dei vincoli alle estremità)

 

Calcolo l’area minima

                                   A minima [cm2] = Ned/sigma = Nmax/fd

 

Calcolo il raggio di inerzia minore minimo

                                   ro min [cm] = radice di [J min / Amin]

 

Sapendo che        ro x= ro y per sezione quadrata (h=b)              e che quindi           ro=h/radice di 12

...calcolo il lato della sezione

                                   h= b= ro* radice di 12                  arrotondo per eccesso e scelgo la sezione definitiva dal catalogo

Scelgo pilastro 40x40

 

 

3.1 VERIFICO LA SNELLEZZA DEL PILASTRO

Calcolo il nuovo ro considerando la sezione 40x40

                                   lambda [adim] = lo/ro minore          ok se <=200

 

  

 

 

1. ANALISI DEI CARICHI

1.1 CARICO DEL SOLAIO

Individuo i valori del peso specifico di ogni materiale (gamma) à [kN/m3]

 

Calcolo il peso al mq degli elementi, suddividendo tra carico strutturale (qs) e carico permanente portato (qp)

                  qx [kN/mq] = [(V [m3] / 1 mq) * gamma + ... ] * (1/i)                      

in cui V= volume elemento calcolato rispetto all’interasse (in questo caso 0,5 m) = spessore*0,5*1m; gamma= peso specifico; i= interasse.

 

Per il calcolo del cls di completamento ho arrotondato considerando lo spessore pari a 5 cm.

Per il travetto (IPE 140) ho preso dal sagomario il peso in kg/m

                  Peso IPE140 = 12,9 Kg/m *1m                            Volume IPE140 = area*1m =0,001643 [m3]

                  Peso specifico = peso / volume = 12,9 Kg / 0,001643 m3 = 129*10^(-3) [kN] /0,001643 [m3] =78,51 kN/m3

 

Calcolo i carichi al metro lineare

                                   Qs [kN/m] = qs*Li

                                   Qp [kN/m] =(qp + incidenza tramezzi + incidenza impianti )*Li

in cui Li= lunghezza dell’area di influenza (indicata in figura); varia a seconda della trave considerata

incidenza tramezzi =  1 kN/mq; incidenza impianti= 0,5 kN/mq

 

Calcolo la combinazione di carico frequente per un edificio di civile abitazione

                                   qu [kN/m] = Qs*gamma qs+Qp*gamma qp+Qk1*gamma qk1+ Qk2*gamma qk2* psi 02 + ...

in cui Qk= (carico accidentale da NTC, per civile abitazione=2kN/mq àsto considerando il carico di persone come carico accidentale dominante)

 

1.2 PESO PROPRIO della TRAVE

* da aggiungere dopo averla dimensionata ma prima di dimensionare il pilastro

 

2. PREDIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE PRINCIPALE Più SOLLECITATA (trave 2) à flessione pura           S450

 

Calcolo delle sollecitazioni in mezzeria

(tralascio in questo momento il contributo del taglio, che però potrebbe contribuire a ridurre la resistenza della trave influenzando il momento!!)

                  Mmax [kN*m] = qu*(L^2)/8

In cui Mmax= momento in mezzeria e L= campata CD

 

Calcolo il modulo di resistenza a flessione                    (hp. sezione in classe 1: no instabilità flesso-torsionale)

Dalla formula di Navier so che         sigma(y) = (Mx / Ix)* y          à sigma max= (Mx/Ix)*ymax             à Ix/ymax = Wx

                 Wx [cm^3] = Mmax/sigma max = Mmax/ fyd

In cui sigma max= fyd per imposizione di progetto; fyd= resistenza di progetto = fyk/gamma à gamma =1,05 coef. di sicurezza: riduce la resistenza caratteristica del materiale (fyk).

Arrotondo per eccesso e scelgo dal sagomario una trave con Wx >= a quello ottenuto.

                  Scelgo trave          IPE 600 

 

 

3. PREDIMENSIONAMENTO PILASTRO Più SOLLECITATO (pilastro C3) à presso-flessione                               HEA

 

Calcolo il peso proprio della trave e lo sommo a qu à ottengo qu’

 

Calcolo le sollecitazioni all’incastro

                                   Mmax [kN*m] = P1*(a/2) – P2* (b/2)

                                   N max [kN] = qu’ * Li’

In cui Li’= lunghezza di influenza del pilastro C3; a= campata CD/2; b=campata BC/2

 

Calcolo l’area minima

                                   A minima [cm2] = Ned/(fyd*Xo)

In cui Xo= X di primo tentativo <1 à coef. che tiene conto preventivamente della possibile insorgenza di instabilità.

 

Scelgo dal catalogo un profilato con sezione di area >= a quella ottenuta

Scelgo    HEA100

 

 

3.1 VERIFICO LA SNELLEZZA DEL PILASTRO

Ottengo il ro min dai dati nel sagomario                         

ro minore= 2,51 cm

                                   lambda [adim] = lo/ro min = 400*0,7/2,51=111,55                       ok se <=200

in cui lo=L*beta con beta=0,7 (varia a seconda dei vincoli agli estremi)

 

 

4. VERIFICA SU SAP

! Dall’analisi su SAP è evidente come il progetto del pilastro non sia adatto a sostenere il carico che arriva al piano terra, infatti nel predimensionamento ho considerato solo il peso di un solaio invece di moltiplicare il peso qu’ per il numero di piani del telaio E aggiungere inoltre il peso proprio del pilastro!!

Questo stesso errore/incompiutezza è ripetuto per tutti i telai (c.a. e legno); è necessario quindi riprogettare il pilastro tenendo conto dell’aumento dei carichi mano a mano che si scende verso le fondazioni.

Oltre a questo ho notato che il progetto del pilastro e della trave che ho eseguito con EXCEL (che sono quindi il pilastro e la trave dell’ultimo piano) sono da rivedere, essendo le sollecitazioni di SAP leggermente maggiori di quelle ottenute su EXCEL.

 

 

 

 

 

 

 

Lo scopo dell'esercitazione è quello di dimensionare gli elementi appartenenti ad un telaio piano (ovvero composto da travi che collaborano con i pilastri), di cui sono state precedentemente stabile le dimensioni, in tre differenti tecnologie costruttive: acciaio, calcestruzzo armato e legno.

 

TRAVI

Per poter procedere al dimensionamento delle travi che "compongono" la carpenteria é necessario conoscere il carico q gravante sulle stesse. A tal fine l'analisi dei carichi consente di conoscere l'entità della forza agente sull' elemento, costituita dalla combinazione di tre "tipi" di carico:

CARICO STRUTTURALE(qs): peso proprio di tutti gli elementi strutturali

CARICO PERMANENTE(qp): peso proprio di tutti gli elementi non strutturali, compresa l'incidenza a mq dei tramezzi (1kN/mq) e degli impianti (0,5kN/mq)

CARICO ACCIDENTALE(qa): dipende dalla destinazione d'uso dell'edificio e del solaio stesso.

 

Le seguenti tabelle mostrano rispettivamente l'analisi dei carichi per le tre tecnologie:

Prendendo in analisi un mq di solaio sono stati distinti elementi strutturali da elementi non strutturali e il relativo carico è stato calcolando moltiplicando il peso specifico del materiale (espresso in kN/m³) per la quantità di volume (m³/m²) di materiale stesso contenuta in un mq di solaio.

Per quanto riguarda i carichi accidentali invece, essi sono previsti dalla normativa attualmente vigente (NTC 2008-Norme tecniche per le costruzioni-D.N.14 gennaio 2008) nella quale questi vengono distinti in base alla destinazione d'uso dell'edificio.

Il carico totale a mq di solaio è stato calcolato tramite la formula prevista dalla normativa per la combinazione di carico allo stato limite ultimo:

q=gG₁ q_s+gG₂ q_p+ gQ q_a

I valori di g (rispettivamente 1,3 per q_s e 1,5 per q_p e q_a) rappresentano dei coefficienti di sicurezza che, maggiorando il momento, consentono di tener conto dell'aleatorietà dei valori di carico determinati. Il carico di cui sopra comunque, agisce su 1 mq di solaio, mentre per poter determinare le sollecitazioni agenti sugli elementi strutturali è necessario conoscere il carico agente sulla trave espresso in kN/m.

A questo scopo è stato sufficiente moltiplicare il carico di cui sopra per l'interasse relativo all'area di influenza della trave.

CALOCOLO MOMENTO MASSIMO

Lo schema statico del telaio piano è stato approssimato in ambito di pre dimensionamento a quello di una trave doppiamente appoggiata, quindi il nodo trave pilatro non viene visto come un nodo rigido bensì come un vincolo semplice di appoggio.

La sollecitazione massima flessionale massima è stata quindi calcolata come M= ql²/8.

DIMENSIONAMENTO

Il foglio di calcolo successivo a quello sul momento massimo contiene innanzitutto alcuni dati concernenti la resistenza dei tre materiali.

Per quanto riguarda il legno, date una tecnologia e un classe di resistenza ad esse corrisponde un certo valore di resistenza caratteristica a flessione fmk. La tensione di progetto viene calcolata come previsto dalla normativa:

fd=k_mod f_m,k/g_m

kmod è un valore, dipendente dal tipo di materiale scelto, fornito dalla normativa e costituisce un coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale, che tiene in conto l’effetto della durata del carico e delle condizioni di umidità in cui la struttura si troverà ad operare.

gamma_m è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale.

similmente per l' acciaio, una volta scelto il tipo di acciaio si ha tensione di snervamento caratteristica dello stesso che dipende dalla classe di resistenza dello stesso.

Le tensioni di progetto si calcolano con il rapporto tra la tensione caratteristica e un coefficiente di sicurezza pari a 1,05.

F_ed=f_yd/gs

Per quanto concerne il calcestruzzo invece, una volta scelta la classe di resistenza dello stesso si calcola la tensione di esercizio delle barre d'acciaio come sopra, mentre la resistenza di progetto del calcestruzzo si può calcolare a partire dalla resistenza a compressione caratteristica tramite la seguente formula:

F_cd=a_ccf_ck/g_c

In cui αcc che rappresenta il coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata, pari a 0,85; e γC, il coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo, uguale a 1,5.

Una volta stabiliti le caratteristiche geometriche e di resistenza dei materiali si può passare al dimensionamento della sezione.

Nel caso del legno il metodo di progetto utilizzato prevede che solo l'altezza della sezione sia incognita. Quindi fissata la base, l'altezza si calcola semplicemente:

h_min=(M_max/b)^0,5(6/f_d)^0,5

 

Anche il metodo di progetto della sezione in acciaio prevede una sola incognita, ovvero il modulo di resistenza minimo a flessione della sezione, che una volta calcolato consente di scegliere la sezione direttamente dal profilario.

W_min=M_max/f_yd

Trattandosi di una sezione rettangolare, anche per dimensionare la sezione in calcestruzzo bisogna calcolare un altezza (altezza utile) che sommata alla dimensione del coprigiunto darà un'indicazione rispetto l'altezza minima della sezione.

 

CALCOLO SFORZO NORMALE MASSIMO

Il primo passo da compiere per valutare lo sforzo normale agente sul pilastro più sollecitato è il calcolo dell'area d'influenza dello stesso. Il pilastro più sollecitato è uno dei pilastri del piano terra, in particolare quello con l'area di influenza maggiore che è stata calcolata come il prodotto di L1 per L2.

Lo sforzo normale agente su questo pilastro dipende dal carico dovuto al peso proprio delle travi che si poggiamo in testa allo stesso, dal carico del solaio e dal numero di piani dell'edificio.

Il carico dovuto al peso proprio delle travi può vedere calcolato sommando i contributi di ogni trave, ottenuti moltiplicando il loro peso unitario per la L1 e L2.

q_trave=1,3 x p_trave x L

Il carico dovuto al è quello precedentemente calcolato.

A questo punto il carico N di compressione risulta pari a:

N = [q_trave+ q_solaio] x n_piani

 

DIMENSIONAMENTO

Una volta ottenuto il valore massimo dello sforzo normale agente sul pilastro, il metodo di pre dimensionamento adottato mira a calcolare i valori di area e momento di inerzia minimi della sezione.

Quindi il calcolo dell'area consiste nell'eguagliare tensioni massime con resistenza a compressione del materiale

 s_max = f_cd

N/A_min=f_cd 

Per cui l'area minima affinchè non si verifichi lo schiacciamento del materiale risulta essere uguale al rapporto tra sollecitazione e resistenza:

A_min=N/f_cd 

Il momento di inerzia minimo di ottiene invece mettendo in relazione  il valore massimo della tensione agente sulla sezione e il valore critico della tensione dell'elemento. Quest'ultimo un particolare è la tensione associata allo sforzo normale critico, il cosiddetto carico critico euleriano, ultimo valore di carico oltre la quale non è più possibile l'equilibrio e si innesca l'instabilità.

N_critico= p²E I_min /(l β)²

Nell'esercitazione il calcolo del momento di inerzia minimo avviene partendo da tre dati da inserire: il valore del modulo di elasticità E, il valore di β (che tiene conto di come il pilastro è vincolato), e l che è l'altezza del pilastro. Con questi dati è possibile calcolare due importanti parametri: snellezza massima dell'elemento e raggio di inerzia minimo della stesso. Quest'ultimo dato è fondamentale perché nelle sezioni in acciaio consente la scelta del profilo direttamente dal profilario, mentre nel caso di sezioni rettangolari, permette di calcolare la base minima della sezione.

l e r risultano quindi uguali a:

l = p (E/fcd)^0,5

r_min= l₀/l_max che nelle sezioni rettangolari vale r_min=(1/12b)^0.5

Da qui è possibile calcolare la base minima come b=2(3r_min)^0,5

 Calcolata la base, il valore dell'altezza è semplicemente pari al rapporto tra area minima e base minima.

Una volta calcolate le dimensioni della sezione il momento di inerzia minimo della stessa viene fornito dai profilari per le sezioni in acciaio, ed è pari a I=bh³/12 per le sezioni rettangolari.

 

Per poter determinare mediante il programma di calcolo “SAP” i valori massimi di sollecitazione agenti sulla struttura prima di tutto occorre disegnarla, assicurandoci di stare lavorando con il sistema di unità di input idoneo.

Abbiamo copiato a questo punto il file tre volte per poter lavorare sulla stessa struttura modificando solo i materiali assegnati. Per ciò che concerne l’acciaio e il calcestruzzo, i materiali sono preinseriti e abbiamo dovuto unicamente selezionare i profili scelti in fase di calcolo, per l’acciaio, e dimensionare correttamente la sezione per il calcestruzzo armato. Diversamente ci siamo dovute comportare per la struttura in legno non essendo, infatti, tale materiale presente nella libreria installata. Abbiamo quindi creato un nuovo materiale specificando la sua natura ortotropa, il peso specifico e il modulo elastico (questi ultimi due cambiano a seconda del tipo di legno).

Sono stati poi inseriti da comando le densità di carico agenti sulle travi. Non abbiamo invece previsto di sottoporre le strutture all’analisi delle sollecitazioni orizzontali causate dall’azione del vento.

Abbiamo quindi ottenuto i seguenti diagrammi:

 

ACCIAIO

  

Diagramma dei momenti sulla trave

Diagrammi delle sollecitazioni sulla pilastrata

 

CALCESTRUZZO ARMATO

Diagramma dei momenti sulla trave

Diagrammi delle sollecitazioni sulla pilastrata

 

LEGNO

Diagramma dei momenti sulla trave

Diagrammi delle sollecitazioni sulla pilastrata

 

VERIFICA

Una volta terminata l'analisi in SAP della struttura è stata fatta la verifica degli elementi precedentemente progettati ma sostituendo le sollecitazioni di progetto con quelle ottenute dall'analisi.

Il metodo di verifica utilizzato mette a confronto le tensioni agenti sulla sezione più sollecitata con le tensioni ammissibili.

In generale quindi:

s_max ≤ f_cd

Per quanto riguarda la trave, la tensione massima è stata calcolata in funzione della sollecitazione massima agente sulla sezione, quindi come il rapporto tra momento massimo e modulo di resistenza a flessione massimo:

s_max= M_max/W_max

M_max/W_max≤ f_cd

In riferimento al pilastro invece, la tensione massima è fornita dalle due diverse sollecitazioni agenti sullo stesso, ovvero sforzo normale di compressione e momento flettente trasmesso dalla trave al pilastro.

La tensione massima è quindi pari a:

s_max= N/A₊M_max/W_max

Da cui la verifica di una sezione presso-inflessa:

N/A₊M_max/W_max≤ f_cd

 

   L'esercitazione è stata svolta insieme alla collega Carlotta Contiguglia.

Dimensionamento di una struttura a telaio in cemento armato, acciaio e legno.

Per ogni tecnologia si considera la stessa struttura, geometricamente simmetrica e con luci piuttosto ridotte, cosi’ da avere anche un confronto piu’ visibile ed immediato.

Una volta scelte le stratigrafie per i diversi solai, si procede calcolando i carichi strutturali (travetti, getti di completamento), sovraccarichi permanenti (getti di allettamento, pavimenti, intonaco, controsoffitti, incidenze di impianti e tramezzi) ed accindentali (pari a 2 kN da normativa, poiche’ si tratta di una struttura residenziale) di ogni solaio per dimensionare le travi.

 

Struttura in cemento armato.

Per dimensionare la trave maggiormente sollecitata (BC) si fa una verifica a flessione utilizzando il foglio Excel e considerando la trave come doppiamente appoggiata, percio’ il momento massimo sara’ ql²/8 in cui importante e’ il ruolo della luce, oltre che il valore di carico.

Avendo un Mmax= 203,36 kNm e utilizzando un calcestruzzo di classe 25/30 e’ possibile dimensionare la trave 30x55 cm, cosi' da avere una altezza di trave maggiore della base garantendo un migliore momento di inerzia della trave stessa.

Per dimensionare i pilastri si prende di riferimento il pilastro piu’ sollecitato a sforzo normale, ovvero il pilastro con una maggiore area di influenza, e si utilizza il modello di pilastrata poiche’ scendendo verso il piano terra il pilastro dovra’ sopportare uno sforzo di compressione sempre maggiore. Lo sforzo normale di un piano e’ pari a 281,18 kN e per il valore di Nmax al piano terra si deve moltiplicare  lo sforzo normale di un piano per il numero di piani della struttura.

Una volta ottenuto Nmax= 1124,75 kN, scelto il cls di classe 25/30, considerato l’altezza del pilastro di 3,2 e le condizioni di vincolo pari a 2, e’ possibile calcolare le dimensioni minime del pilastro e scegliere una sezione di 25x30 cm.

A questo punto si modella un telaio piano su SAP che si sviluppa dal piano terra (in cui ai pilastri si assegna un vincolo di incastro) all’ultimo piano di copertura, assegnando alla struttura il materiale cemento armato e le relative sezioni. Dopo aver assegnato ad ogni piano i carichi distribuiti e al pilastro esterno di sinistra il carico distribuito del vento si possono analizzare le deformate della struttura e i valori dei momenti e degli sforzi assiali, per verificare se il dimensionamento effettuato e’ corretto.

Partendo dalla trave, si nota che Mmax= 119,49 kNm calcolato in SAP e’ inferiore, percio’ la trave e’ stata sovradimensionata e, utilizzando il foglio excel, si ridimensiona la trave con una sezione di 30x45 cm.

Dopo aver corretto le dimesioni della trave su SAP e aver analizzato nuovamente i momenti, si puo’ dire che la nuova trave e’ corretta poiche’ Mmax e’ 120,29 kN, quindi piu’ grande del momento flettente usato per il dimensionamento.

Gli sforzi di compressione dei pilastri calcolati in SAP sono invece inferiori a quelli di design, ma la sezione va verificata anche a pressoflessione. Si calcolano le tensioni σ=(N/A)+(M/W) dei pilastri B, C e D, ma il loro valore e’ maggiore della tensione di progetto Fcd= 17 Mpa percio’ e’ necessario aumentare le dimensioni dei pilastri. Aumentando l’area del pilastro e il suo modulo di resistenza a flessione si migliorano le prestazioni del pilastro, e optando per 30x30 cm e’ verificata la sezione.

 

Struttura in acciaio

Per dimensionare la trave (BC) e il pilastro maggiormente sollecitati si procede come per il telaio in cemento armato, con l’unica differenza che le caratteristiche geometriche e di resistenza della sezione sono fornite da tabellari di profilati.

Avendo un Mmax= 178,05 kNm e utilizzando un acciaio di classe S275 si ottiene un modulo di resistenza a flessione minimo Wxmin= 679,9 cm³ e si sceglie una trave IPE 330 con Wx= 713,1 cm^{3 _,} poiche’ la resistenza a flessione deve essere necessariamente maggiore.

Per dimensionare i pilastri si prende di riferimento il pilastro piu’ sollecitato a sforzo normale, ovvero il pilastro con una maggiore area di influenza, e si utilizza il modello di pilastrata poiche’ scendendo verso il piano terra il pilastro dovra’ sopportare uno sforzo di compressione sempre maggiore.

Lo sforzo normale di un piano e’ pari a 892,23 kN e per il valore di Nmax al piano terra si deve moltiplicare  lo sforzo normale di un piano per il numero di piani della struttura. Una volta ottenuto Nmax= 1039,25 kN, scelto l’acciaio S275, considerato l’altezza del pilastro di 3,2 e le condizioni di vincolo pari a 2, e’ possibile calcolare le dimensioni minime del pilastro e scegliere il profilo HEA 160.

A questo punto si modella un telaio piano su SAP che si sviluppa dal piano terra (in cui ai pilastri si assegna un vincolo di incastro) all’ultimo piano di copertura, assegnando alla struttura il materiale acciaio e le relative sezioni. Dopo aver assegnato ad ogni piano i carichi distribuiti e al pilastro esterno di sinistra il carico distribuito del vento si possono analizzare le deformate della struttura e i valori dei momenti e degli sforzi assiali, per verificare se il dimensionamento effettuato e’ corretto.

Partendo dalla trave, si nota che Mmax= 112,6 kNm calcolato in SAP e’ inferiore, percio’ la trave e’ stata sovradimensionata e, utilizzando il foglio excel, si ridimensiona la trave scegliendo un profilo IPE 300.

Dopo aver corretto le dimesioni della trave su SAP e aver analizzato nuovamente i momenti, si puo’ dire che la nuova trave e’ corretta poiche’ Mmax e’ piu’ piccolo del momento flettente usato per il dimensionamento.

 

Gli sforzi di compressione dei pilastri calcolati in SAP sono invece inferiori a quelli di design, ma la sezione va verificata anche a pressoflessione. Si calcolano le tensioni σ=(N/A)+(M/W) dei pilastri ma il valore di  e’ maggiore della tensione di progetto Fyd= 261,9  Mpa percio’ e’ necessario aumentare le dimensioni dei pilastri scegliendo un HEA 180.

Struttura in legno.

Per dimensionare la trave maggiormente sollecitata (BC) si fa una verifica a flessione utilizzando il foglio Excel e considerando la trave come doppiamente appoggiata, percio’ il momento massimo sara’ ql²/8 in cui importante e’ il ruolo della luce, oltre che il valore di carico.

Avendo un Mmax= 144,81kNm e utilizzando un legno di abete di classe C24  e’ possibile dimensionare la trave 30x50 cm.

Per dimensionare i pilastri si prende di riferimento il pilastro piu’ sollecitato a sforzo normale, ovvero il pilastro con una maggiore area di influenza, e si utilizza il modello di pilastrata poiche’ scendendo verso il piano terra il pilastro dovra’ sopportare uno sforzo di compressione sempre maggiore.

Lo sforzo normale di un piano e’ pari a 185,54 kN e per il valore di Nmax al piano terra si deve moltiplicare  lo sforzo normale di un piano per il numero di piani della struttura. Una volta ottenuto Nmax= 742,16 kN, scelto illegno di abete classe C24, considerato l’altezza del pilastro di 3,2 e le condizioni di vincolo pari a 2, e’ possibile calcolare le dimensioni minime del pilastro e scegliere una sezione di 30x30 cm.

A questo punto si modella un telaio piano su SAP che si sviluppa dal piano terra (in cui ai pilastri si assegna un vincolo di incastro) all’ultimo piano di copertura, assegnando alla struttura il materiale legno di abete e le relative sezioni. Dopo aver assegnato ad ogni piano i carichi distribuiti e al pilastro esterno di sinistra il carico distribuito del vento si possono analizzare le deformate della struttura e i valori dei momenti e degli sforzi assiali, per verificare se il dimensionamento effettuato e’ corretto.

Partendo dalla trave, si nota che Mmax= 93,32 kNm calcolato in SAP e’ inferiore, percio’ la trave e’ stata sovradimensionata e, utilizzando il foglio excel, si ridimensiona la trave con una sezione di 30x40 cm.

Dopo aver corretto le dimesioni della trave su SAP e aver analizzato nuovamente i momenti, si puo’ dire che la nuova trave e’ corretta poiche’ Mmax e’ piu’ piccolo del momento flettente usato per il dimensionamento.

Gli sforzi di compressione dei pilastri calcolati in SAP sono invece inferiori a quelli di design, ma la sezione va verificata anche a pressoflessione. Si calcolano le tensioni σ=(N/A)+(M/W) dei pilastri e si considerano verificati poiche’  il valore delle tensioni e’ minore della tensione di progetto Fmd= 13,24 Mpa.

Lavoro svolto da Burattini Paolo e Cavuoti Matteo.

TELAIO DI ACCIAIO

 

1)

Disegno il telaio della mia struttura, che avrà una luce massima di 8 m e un'altezza di tre piani.

Scelgo la tecnologia del solaio, composta da travetti in travi di acciaio IPE140, sormontati da una pacchetto composto da una lamiera gregata e da una soletta. Il carico strutturale sarà calcolato dal prodotto tra volume e peso specifico dei materiali del solaio a metro quadro. 2)

                     qs=(V1* γ1 + ... + Vn* γn)*1/i 

Il carico permanente sarà calcolat con lo stesso criterio, considerando la pavimentazione del solaio, isolante, massetto, pavimentazione, a cui saranno aggiunti i carichi di 1kN/m2 per i tramezzi, e di 0,5 kN/m2 per gli impianti.

Il dato del carico accidentale lo leggo sempre nella normativa vigente, e nel nostro caso è pari a 2 kN/m2

Posso trovare il qu, dalla seguente somma

                     qu=(1,3*qs+1,5*qp+1,5*qa)

il peso sarà maggiorato da coefficenti di sicurezza che mi obbligano ad aumentare il valore del mio peso considerato.

3) 

Il peso a metro quadro del solaio, mi serve nel predimensionamento della trave, in quanto questo, moltiplicato per l'interasse di interessa e poi spalmato per la lunghezza della trave mi fornisce il carico distribuito sulla mia trave.

Per cui la prima operazione da fare sarà quella di trovare q, espresso in kN/m. Per calcolare il Momento massimo della trave, che considero come se fosse una trave doppiamente appoggiata, applicherò la formula

                         M=(q*l2)/8 (kN*m)

Una volta trovato M max, per scegliere il profilo più adeguato da utilizzare per predimensionare la mia trave, utilizzerò la formula fd=M/W , dove fd, è la tensione di progetto che io scelgo dal materiale. Nello specifico fd si calcola conoscendo la tensione di snervamento dell’acciaio prescelto,considerando di un coefficiente parziale di sicurezza γs,  pari a 1,05.

                         fd=fk/1,05

In questo modo posso ricavare il modulo di resistenza a flessione

                         W=M/fd

scegliendo un W uguale o maggiore da una tabella di profilati IPE, avrò ottenuto un primo dimensionamento della mia trave.

4)

Il dimensionamento del pilastro parte da ragionamenti simili, in questo caso conosco già il peso del mio solaio e metro quadro, e devo fissare altri valori. Primo tra tutti l'area di influenza del solaio sul pilastro più sollecitato, che per l'appunto sarà quello su cui grava un'area di influenza maggiore. Avendo poi scelto una trave, aggiungo al peso qu, anche il peso lineare della trave scelta, moltiplicato per i metri degli interassi all'interno sempre dell'area di influenza interessata.

Ora, conoscendo anche il numero dei piani, posso calcolare lo sforzo N del pilastro più sollecitato con la seguente formula    

                       Nmax=((qu*Ainf)*qt)*np

Trovato lo sforzo normale, posso trovare una prima area minima con la seguente formula 

                       Amin=Nmax/fd

Tuttavia, l'area di questo pilastro terrebbe conto solo della compressione esercitata sul pilastro, e non della flessione a cui questo viene sottoposto con un carico verticale. Per non ovviare a questo problema, dovrò quindi tenere conto anche del carico critico Euleriano, e di conseguenza non avrò solo un'area minima, ma anche un'altro valore, cioè, quello del momento di inerzia minimo affinché la sezione del pilastro consenta a quest'ultimo di resistere a flessione.

Sapendo che la formula del momento di inerzia minimo è la seguente, posso calcolarlo, sapendo che y è un coefficiente di sicurezza, E il modulo elastico, e l0, la lunghezza libera di inflessione, che conosco conoscenso i vincoli agli estremi del mio pilastro.

                     Jmin > N*l0/γ*π^2*E

Altro valore da tenere in considerazione è il raggio di inerzia minimo che ricavo conoscendo l0 e la snellezza, in quanto la snellezza λ è il raggorto tra la lunghezza libera di inflessione e il raggio di inerzia minimo. E sapendo che la normativa mi impone di porre λ non minore di 200, scrivo:

                     imin > 200/l0

Dalla scelta del momento di inerzia minimo, scelgo nella tabella, il pilastro HEA con le caratteristiche corrispondenti ai tre valori minimi che devo soddisfare.

Il primo pilastro scelto, HEA140, tuttavia non soddisfa uno dei valori richiesti, come si vede nella figura 04.

Si passa alla scelta di un secondo pilastro, HEA200, che apparentemente soddisfa le nostre richieste prestazionali.

5)

Passo alla fase in cui devo verificare se effettivamente gli elementi strutturali predimensionati soddisfano o meno le reali richieste prestazionali.

per la trave utilizzo la formula 

                    σ=Mmax/W 

La trave è verificata se fd, cioè la tensione di progetto è maggiore della tensione trovata 

                    fd>σ

Nel nostro caso la trave è stata sovradimensionata, avendo considerato un momento massimo, quello della trave doppiamente appoggiata, di molto superiore al momento massimo reale trovato su sap, corrispondente al modello di una trave a doppio incastro.

La verifica per il pilastro utilizza invece la seguente formula dovendo tener conto sia dello sforzo normale sia della flessione

                   σ=(Nmax/Ad)+(Mmax/W)

Il pilastro preso in considerazione non soddisfa la verifica, in quanto  σ>>fd

 

Si cambiano quindi i paramenti presi in considerazione per il dimensionamento del pilastro, fino a trovare uno adeguato.