Esercitazione

Esercitazione sulla Trave Reticolare Piana

Inviato da letizia.gagliardi il Gio, 04/04/2013 - 21:45

LA TRAVE RETICOLARE

Le strutture reticolari sono strutture che hanno il vantaggio di essere leggere e utilizzabili per grandi luci. Sono costituite da aste, che possono essere tese (tiranti) oppure compresse (puntoni) collegate tra loro tramite cerniere interne, i nodi. La struttura presenta un corrente superiore, uno inferiore, aste diagonali e montanti verticali. E' composta da una serie di trinagoli e risulta isostatica in quanto i gradi di libertà sono uguali ai gradi di vincolo. Per calcolare il grado di vincolo di ogni asta utilizzo la seguente formula:2(n – 1) dove n = numero di aste che confluiscono nel nodo.

Solitamente nelle strutture reticolari il corrente superiore è teso, quello inferiore compresso e i montanti quasi sempre compressi. Dopo aver trovato le reazioni vincolari, due sono i metodi per analizzare una struttura reticolare:

METODO DEI NODI e METODO DELLE SEZIONI DI RITTER

Per quanto riguarda il METODO DEI NODI è fodamentale capire l'ordine con cui si decide di risolvere la struttura. Generalmente si sceglie il nodo con 2 aste e 1 forza applicata e di seguito si risolvono gli altri nodi. E' necessario fare l'equilibrio al nodo considerando anche il contributo orizzantale o verticale dato dalla scomposizione delle aste inclinate.

esempio

Per quanto riguarda invece il METODO DELLE SEZIONI DI RITTER si sceglie di dividere via via la struttura con una sezione di ritter appunto, ovvero tagliando 3 aste convergenti nello stesso nodo. In tal modo avremo 3 equazioni in 3 incognite che saranno gli sforzi normali delle aste tagliate. La regola consiste nello scrivere le equazioni di equilibrio a rotazione, cambiando ogni volta il polo. Inizialmente nell'equazione di equilibrio del momento viene scelto il punto di incontro di 2 delle 3 aste in modo da avere una sola forza incognita. Successivamente sposto il polo e trovo la seconda incognita e infine per la terza posso applicare l'equazione alla traslazione verticale o orizzontale nel nodo. Qualora il risultato delle incognite sia positivo allora l'asta sarà un tirante, negativo sarà un puntone.

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

esercizio trave reticolare piana su sap.pdf

LINEA ELASTICA

Inviato da francesca.marino il Gio, 04/04/2013 - 21:41

L'esercitazione ci richiede di risolvere una struttura iperstatica con il metodo della linea elastica e verificare i dati ottenuti con Sap.

Calcolare il valore dell'abbassamento massimo V ed il punto in cui si trova sulla seguente trave iperstatica.

Abbiamo a nostra disposizione 8 equazioni con 8 incognite, tra cui equazioni di bilancio, equazioni delle deformate, e legame costitutivo elastico.

$\left\{\begin{matrix}N'+q_{1}=0 & & \\ T'+q_{2}=0 & & \\ M'+T=0 & & \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}\varepsilon=u' & & \\ \varphi =v' & & \\ \chi =\varphi ' & & \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}N=EA\varepsilon & & \\ M=EI\chi & & \end{matrix}\right.$

considerando solo l'abbassamento V possiamo combinare le varie equazioni:

$\frac{dT}{ds}+q_{2}=0$ $T=-\frac{dM}{ds}$

$\frac{d}{ds}\left ( -\frac{dM}{ds} \right )+q_{2}=0$ $-\frac{d^{2}M}{ds^{2}}+q_{2}=0$ $\frac{d^{2}M}{ds^{2}}=q_{2}$

$\chi =\frac{d\varphi }{ds}$ $\varphi =\frac{dv}{ds}$

$\chi =\frac{d}{ds}\left ( \frac{dv}{ds} \right )=\frac{d^{2}v}{ds^{2}}$ $M=EI\chi =EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}$

$\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left ( EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}} \right )=q_{2}$

consideriamo EI=costante

$EI\frac{d^{4}v}{ds^{4}}=q_{2}$ $\frac{d^{4}v}{ds^{4}}=\frac{q_{2}}{EI}$ EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

Per trovare il valore di V(s) integriamo 4 volte l'equazione ottenuta

$\frac{d^{3}v}{ds^{3}}=\frac{q_{2}}{EI}s+C_{1}$

$\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{2}}{2}+C_{1}s+C_{2}$

$\frac{dv}{ds}=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{3}}{6}+C_{1}\frac{s^{2}}{2}+C_{2}s+C_{3}$

$v\left ( s \right )=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{4}}{24}+C_{1}\frac{s^{3}}{6}+C_{2}\frac{s^{2}}{2}+C_{3}s+C_{4}$

Si ottengono cosi quattro costanti che dipendono dai vincoli, andando ad applicare le condizioni ai bordi possiamo trovarci il valore di ognuna.

Nell'incastro s=0 abbiamo ABBASSAMENTO e ROTAZIONE nulli

v(0)=0 sostituendo nell'equazione v(s) otteniamo

$C_{4}=0$

$\varphi \left ( 0 \right )=0$ $\varphi$ è la derivata prima dell'abbassamento, sostituendo in dv/ds otteniamo

$C_{3}=0$

Nel carrello S=l non c'è ABBASSAMENTO ed ha MOMENTO nullo

v(l)=0 sostituendo in v(s)

$v\left ( l \right )=-\frac{ql^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+C_{2}\frac{l^{2}}{2}=0$

il carico diventa negativo per la convenzione dei segni

$M\left ( l \right )=0$ $M=\frac{d^{2}v}{ds^{2}}$

$M\left (l \right )=-\frac{ql^{2}}{2EI}+C_{1}l+C_{2}=0$

$C_{2}=\frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-C_{1}l$ sostituendo nel'abbassamento v(l)

$-\frac{q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+\left ( \frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-C_{1}l \right )\frac{l^{2}}{2}=0$

$-\frac{q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+ \frac{q_{2}l^{4}}{4EI}-C_{1} \frac{l^{3}}{2}=0$

$-\frac{q_{2}l^{4}+6q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}-3C_{1}l^{3}}{6}=0$

$\frac{5q_{2}l^{4}}{24EI}-\frac{C_{1}l^{3}}{3}=0$

$C_{1}=\frac{5q_{2}l^{4}}{24EI}*\frac{3}{l^{3}}=\frac{5}{8}\frac{q_{2}l}{EI}$

$C_{2}=\frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-\left ( \frac{5q_{2}l}{8EI} \right )l=\frac{4q_{2}l^{2}-5q_{2}l^{2}}{8EI}=-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI}$

Trovate le costanti possiamo trovare l'abbassamento massimo richiesto dal problema. Siccome la rotazione è la derivata dello spostamento, in corrispondenza della rotazione nulla abbiamo l'abbassamento massimo

$\varphi =\frac{dv}{ds}=-\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+C_{1}\frac{s^{2}}{2}+_{2}s+C_{3}$

$\varphi =-\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+\frac{5q_{2}ls^{2}}{16EI}-\frac{q_{2}l^{2}s}{8EI}=0$

$\varphi =s\left ( -\frac{q_{2}s^{2}}{6EI}+\frac{5q_{2}ls}{16EI}-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI} \right )$

Affinchè la rotazione sia nulla avremo

$s=0$

$s=\left ( \frac{5q_{2}l^{2}}{16EI}\pm \sqrt{\frac{25q_{2}^{2}l^{2}}{256E^{2}I^{2}}-4\frac{q{_{2}}^{2}l^{2}}{48E^{2}I^{2}}} \right )*\frac{3EI}{q_{2}}$

$S=0,57$

$v\left ( 0,57 \right )=\frac{q_{2}\left ( 0,57 \right )^{4}}{24EI}+\frac{5q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{3}}{48EI}-\frac{q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{2}}{16EI}=-\frac{0,25q_{2}l^{2}}{48EI}$

$l=1\rightarrow v\left ( 0,57 \right )=-0,00536\frac{q_{2}}{EI}$

Considerando il valore di v(s) possiamo determinare il momento ed il taglio per ogni sezione $M=EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=-\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8}$

$M\left ( 0 \right )=-\frac{q_{2}l^{2}}{8}$ $M\left ( l \right )=-\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8}$

Il momento è nullo nei punti

$s_{1}=0$

$s_{2}=\frac{l}{4}$

$T=-M\left ( s \right )=q_{2}s-\frac{5q_{2}l}{8}$

$T\left ( 0 \right )=-\frac{5q_{2}l}{8}$ $T\left ( l \right )=q_{2}l-\frac{5q_{2}l}{8}=\frac{3}{8}q_{2}l$

Il taglio è nullo nel punti

$T\left ( \frac{5}{8}l \right )=0$

RISOLUZIONE IN SAP

Apriamo un nuovo file di tipo grid, con unità di misura kn, m, C, e GRIGLIA x=2 , Y= 1, Z=1 e spaziatura 1. Disegnare la struttura sulla griglia e posizionare un punto a 0.57, dato che dal calcolo a mano abbiamo visto che l’abbassamento massimo avviene in questo punto della struttura.

L'analisi è stata fatta su due sezioni differenti, una rettangolare in acciaio cavo di dimensoni 40x30x2, e l'altra in cemento armato.

I risultati della sezioni in acciaio

DEFORMATA

REAZIONI VINCOLARI

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

I risultati della sezioni in cemento

DEFORMATA

REAZIONI VINCOLARI

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

In allegato ci saranno le tabelle dei risultati per entrambe le sezioni.

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Esercitazione

ACCIAIO.pdf

CA.pdf

ESERCITAZIONE 2 - Linea Elastica

Inviato da lavinia.sabatini il Gio, 04/04/2013 - 21:08

Nella progettazione delle opere di architettura è importante saper valutare spostamenti e deformazioni, in modo da poterne verificare, oltre che la resistenza, anche la funzionalità.

Abbiamo una trave iperstatica, così definita perchè il numero dei vincoli è maggiore dei gradi di libertà, e ne vogliamo determinare il massimo spostamento, nel punto C. La mia ultima incognita è quindi v_(s), e la calcolo attraverso il metodo dell'integrazione della linea elastica, una curva che rappresenta la forma assunta dall’asse della trave a deformazione avvenuta.

1) DIMOSTRO COME ARRIVO ALL'EQUAZIONE DELLO SPOSTAMENTO VERTICALE DELLA LINEA ELASTICA

2) ESPLICITO RICORDANDOMI: CHE EI = costante, DELLA CONVENZIONE POSITIVA DEI SEGNI, E CHE q₂ = costante

3) PER TROVARE v_(s) DEVO INTEGRARE 4 VOLTE

1° integrazione

2° integrazione

3° integrazione

4° integrazione

4) INSERISCO I VINCOLI

INCASTRO

CARRELLO

So che nel carrello il MOMENTO è NULLO!

Le mie due equazioni sono quindi:

5) PER TROVARE v_(s) SOSTITUISCO I VALORI c₁, c₂, c₃, c₄ CHE HO TROVATO

6) VOGLIAMO ORA DETERMINARE LA LUNGHEZZA s DOVE v_(s) È MASSIMO

Nei punti di MASSIMO o di MINIMO ha la retta tangente alla curva parallela all'asse x. Azzero quindi la derivata per trovare s.

7) DETERMINO LE REAZIONI VINCOLARI E GLI SFORZI M e T

M lo posso calcolare attraverso:

1) STUDIO IL MOMENTO AGLI ESTREMI

2) PER SAPERE DOVE M è max DEVO AZZERARE LA DERIVATA

sostituisco nella funzione-momento

3) TROVO IL SECONDO PUNTO DOVE SI ANNULLA IL MOMENTO

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

4) PER TROVARE IL TAGLIO LA SUA RELAZIONE COL MOMENTO

5) ESSENDO LINEARE STUDIO LA FUNZIONE SOLO AGLI ESTREMI

(so già infatti che si annulla dove M = max, a 5/8 L)

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

6) LE REAZIONI VINCOLARI SONO PROPRIO

8) CONFRONTO CON SAP2000

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Esercitazione

sap iperstatica.pdf

Esercitazione sulla Trave Reticolare 3d

Inviato da letizia.gagliardi il Gio, 04/04/2013 - 20:06

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Esercitazione

esercizio sulla trave reticolare su sap.pdf

tabella.jpg

Esercitazione sulla Linea Elastica

Inviato da letizia.gagliardi il Gio, 04/04/2013 - 19:53

ESERCITAZIONE SULL'EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

Quando ci troviamo di fronte ad una struttura iperstatica, ovvero il numero dei gradi di libertà è inferiore al numero dei gradi di vincolo (nl<nv), non è facile determinare nè le reazioni vincolari nè le azioni di contatto poichè le incognite sono superiori al numero di equazioni di bilancio. Si ricorre quindi a metodi come quello degli spostamenti o equazione della linea elastica.

Partendo da tutte le equazioni del modello di trave di Bernoulli, le distinguiamo in 3 gruppi:

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO (mostrano il legame tra carichi esterni e sollecitazioni)

EQUAZIONI DI CONGRUENZA (mostrano il legame tra deformazioni e spostamenti)

LEGAME COSTITUTIVO (mostrano il legame tra deformazioni e sollecitazioni)

Ci concentriamo successivamente sul problema flessionale, distinguendolo da quello assiale e di conseguenza ci occuperemo solo delle seguenti grandezze e relative equazioni:

φ, ν, χ, M, T

Nel metodo della linea elastica le incognite sono le funzioni spostamento e rotazione della trave e gli strumenti risolutivi sono equazioni differenziali dove bisogna effettuare successive operazioni di integrazione. La diffcicoltà è nel riconoscere le condizioni al bordo.

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Esercitazione

esercizio linea elastica su sap.pdf

es_linea elastica

Inviato da francesca.sarinelli il Gio, 04/04/2013 - 19:13

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Esercitazione 1 LINEA ELASTICA e Esercitazione 2 TRAVE RETICOLARE

Inviato da alice.vianello il Gio, 04/04/2013 - 19:02

Ammetto di essere rimasta schiacciata da SAP più volte stile porta girevole nascondiglio segreto e che dopo aver realizzato che un bel "RIMETTA A POSTO LA CANDELA!" non bastava a ribaltare la situazione, con un po' di esercizi sembra che stiamo riuscendo ad andare abbastanza d'accordo.

Ad ogni modo allego le 2 esercitazioni sull'equazione della linea elastica e sul calcolo della travatura reticolare.

Alice