Esercitazione

 

 

ESERCITAZIONE SULLA LINEA ELASTICA_26-03-2013

 

Dal momento che il sistema è iperstatico per poterlo risolvere ricorriamo al metodo d’integrazione della linea elastica, il quale ci permette di individuare quella che è la nostra incognita principale, ovvero lo spostamento verticale massimo (v_s) della deformata (meglio sottolineare che per la trave si adotta il modello di Eulero-Bernoulli).

 

• Avendo chiaro l’obiettivo, possiamo analizzare le 8 equazioni fondamentali (3 di EQUILIBRIO, 3 della DEFORMAZIONE e 2 COSTITUTIVE): queste non vengono usate tutte contemporaneamente, ma solitamente sono divise in 2 gruppi a seconda del fatto che si stia investigando su uno spostamento assiale (e quindi sullo sforzo normale) o su uno spostamento trasversale (e di conseguenza sugli sforzi di taglio e momento flettente).

 

• Per questo motivo possiamo concentrarci solo sul secondo e su “sole” 5 equazioni, ossia quelle dello spostamento verticale v, della rotazione della sezione di trave j, del momento flettente M, del taglio T e della curvatura c.

• Il  metodo analitico della linea elastica non può prescindere dall’analisi delle condizioni al bordo: per poter risolvere l’equazione dello spostamento verticale v_s necessitiamo di 4 equazioni con risultato noto poiché l’equazione suddetta presenta 4 incognite, ovvero le costanti di integrazione C₁, C₂, C₃ e C₄ (“accumulate” durante le diverse integrazioni che ci hanno condotto alla determinazione dell’equazione stessa).

• Nel nostro caso specifico abbiamo per s=0 (nell’estremo sinistro, in prossimità dell’incastro) spostamento verticale e rotazione della sezione della trave nulle (v₍₀₎ = 0 e j₍₀₎= 0). Sostituendo sia v che jcon le rispettive equazioni, derivate sempre dall’integrazione dell’equazione della linea elastica per lo spostamento verticale a cui facciamo riferimento (q₂ = d⁴v/ds⁴) si constata che c₃ e c₄ hanno valore nullo.

 

• Per s=l (estremo destro, coincidente col carrello) abbiamo, invece, che lo spostamento verticale è sempre nullo, mentre stavolta la rotazione della sezione è diversa da 0, ma ignota. Necessitiamo, quindi, di un’ulteriore equazione nota e prendiamo in considerazione quella del momento che in prossimità della cerniera del carrello deve essere uguale a 0.

• Le due equazioni relative al bordo l, messe a sistema, ci permettono di calcolare le costanti c1 e c2 che al momento sono le ultime due incognite rimaste.

• In realtà, oltre alle 4 costanti C che abbiamo calcolato, c’è un ulteriore dato incognito, senza il quale non è possibile calcolare l’abbassamento verticale: si tratta del valore da assegnare alla variabile s all’interno dell’equazione dello spostamento verticale. Sappiamo che all’abbassamento verticale massimo corrisponde un valore nullo della derivata della funzione che approssima la deformata della trave. È sufficiente, quindi, derivare la funzione v_(s) e trovare i valori di s per i quali la derivata si annulla.

• Risolvendo questa equazione di terzo grado (ricordarsi di mettere in evidenza la s per trovare la prima soluzione e avere un’equazione di secondo grado) otteniamo 3 valori di s per i quali la derivata è nulla, ma solo 2 sono da prendere in considerazione (in quanto uno si riferisce ad un valore di s maggiore di l): s = 0, relativo all’incastro, e s =(15 - (33)^1/2)/16=0,578.

(NB: per semplificare il calcolo l è stato posto =1)

• Finalmente siamo in grado di calcolare lo spostamento verticale. Sostituiamo il valore di s = 0,578 e delle costanti C all’interno dell’equazione di v_(s):

• Il risultato è in funzione di q/EI. Per avere un risultato esclusivamente numerico basta assegnare un valore al carico q, scegliere il materiale per avere un modulo elastico E e la sezione della trave per avere il momento d’inerzia I.

• L’ultimo passo consistenel diagrammare il Taglio e il Momento. Per il primo possiamo dire che l’andamento è lineare e abbiamo un taglio negativo massimo in prossimità dell’incastro e uno positivo massimo nel vincolo destro; l’intersezione con l’asse della trave corrisponde a s=5/8 L. Il momento, di conseguenza, avrà andamento parabolico, con un massimo positivo nell’incastro, curvatura verso il basso e valore zero nel carrello; ad s=5/8 L corrisponde un momento negativo massimo.

 

ESERCITAZIONE SULLE TRAVATURE RETICOLARI ISOSTATICHE _22-03-2013

 

• Per semplificare il lavoro di modellazione usiamo programmi come AUTOCAD o RHINOCEROS in questa fase preliminare, sfruttando la compatibilità di cui godono con SAP. Il reticolo che andiamo a costruire ovviamente deve essere composto da soli triangoli, in quanto questa costituisce una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la definizione di una travatura reticolare ISOSTATICA. Dopo aver modellato il reticolo di lunghezza 3L, larghezza 2L e altezza L, ci assicuriamo attraverso il comando “esplodi” che tutte le aste siano singoli elementi di lunghezza L. Se così non fosse l’analisi potrebbe dare risultati che non corrispondono alla realtà. In ultima istanza, dopo aver spostato tutto su un layer diverso da quello di default (che SAP non legge), salviamo il file nel formato DXF.

 

• Apriamo un file nuovo di SAP e, mediante il comando FILE -> IMPORT -> AUTOCAD.DXF FILE, importiamo il file precedente, ricordando sempre di fare attenzione alle unità di misura consone (kN, m, °C). Dopo aver selezionato l’intero reticolo usiamo EDIT -> EDIT POINT  -> MERGE JOINTS  ->  MERGE TOLERANCE  ->  0,01per  impostare un errore nella giunzione delle aste di 1 cm, tollerabile ai fini del calcolo che andremo a fare.

 

• Successivamente impostiamo i vincoli attraverso il comando ASSIGN  -> JOINT RESTRAINTS, facendo attenzione che siano almeno 3 per vincolare i gradi di libertà della struttura isostatica.

 

• A questo punto è necessario fornire al programma i dati relativi al materiale e alla sezione delle aste. Questo ci consente di effettuare la verifica per l’acciaio e di avere tutte quelle informazioni legate alla scelta del materiale, come il valore del modulo elastico E. Dopo aver selezionato tutte le aste, clicchiamo su DEFINE  -> MATERIALSe scegliamo “A992Fy50”.

 

• Impostato il materiale, passiamo a definire la sezione della trave mediante il comando DEFINE  -> SECTION PROPERTIES  -> FRAME SECTIONS: nel caso dell’acciaio occorre scegliere un profilo (nel nostro caso tubolare “pipe”) e assegnargli delle misure.

• Definita la sezione, è importante assegnare tale sezione appena delineata alle aste disegnate: ASSIGN   -> FRAME  -> FRAME SECTIONS.

 

• A questo punto non resta che assegnare il carico: selezioniamo i 12 nodi posti ad altezza L e attraverso il comando ASSIGN   -> JOINT LOADS  -> FORCES impostiamo un carico puntuale su ognuno di essi di -40 KN (il valore tiene conto dell’area di incidenza e il segno negativo serve a dargli la direzione verso il basso). È importante in questo tipo di esercizi impostare l’analisi in modo da trascurare il peso proprio dell’elemento asta, andando ad aggiungere ai “load patterns” uno che abbia lo 0 alla voce “self weight multiplier”.

• L’ultimo passaggio prima dell’analisi consiste nell’assegnare in tutti i nodi il RILASCIO DEL MOMENTO, ovvero imporre che il momento sia nullo all’inizio e alla fine del vincolo, in virtù della presenza della cerniera: ASSIGN   -> FRAME  -> RELEASES  -> MOMENT 33 (MAJOR) -> START 0 – END 0.

• Ora siamo in grado di avviare l’analisi (escludendo quella MODALE). Il primo risultato che il programma elabora è la deformata della nostra travatura, mentre è possibile investigare sugli sforzi normali (unici presenti in una travatura reticolare) cliccando su SHOW FORCES/STRESSES  -> FRAME/CABLES  -> AXIAL FORCE o sulle reazioni vincolari cliccando su SHOW FORCES/STRESSES  -> JOINTS.

 

• Infine, possiamo chiedere al programma di elaborare delle tabelle mediante il comando DISPLAY   -> SHOW TABLES:“joint reactions” per i valori delle reazioni vincolari ed “element forces – frames” per i valori dello sforzo normale. Nel caso delle travature reticolari la tabella ci consente di individuare immediatamente i tiranti e i puntoni, in quanto i primi hanno valore di N > 0, mentre i secondi hanno N < 0.

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Comunemente, in meccanica, quando ci si riferisce ad una struttura in cui il numero delle equazioni di equilibrio fornite dalla statica risulta essere minore del numero delle incognite, si parla di “problema iperstatico”. In realtà il problema riguarda solo il calcolo della struttura, la quale sicuramente ha un comportamento migliore se iperstatica. Non per altro le costruzioni che ci circondano, nella maggior parte dei casi, hanno strutture iperstatiche (mi vengono subito in mente telai in c.a., ad esempio).

In questo esercizio si vuole risolvere una trave iperstatica soggetta ad un carico q₂ con l’obiettivo di conoscere in quale sezione si ha l’abbassamento massimo e quanto vale quest’ultimo.

La risoluzione avviene attraverso l’utilizzo dell’equazione della linea elastica, la quale “risolve” il problema iperstatico tenendo conto delle caratteristiche meccaniche del materiale, le caratteristiche geometriche della sezione (area, inerzia), tutte legate alla deformabilità della trave.

Il problema iperstatico presenta 8 incognite (forze interne, spostamenti, deformazioni). Considerando le incognite che dipendono solo dallo spostamento possiamo combinare le varie equazioni che derivano dal modello di trave di Bernoulli, ottenendo:

EQUAZIONI DI BILANCIO

dT/ds + q₂= 0     (a)

dM/ds + T               →     T= - dM/ds       (b)

Sostituendo (b) in (a) si ottiene:

(d/ds) (- dM/ds) + q₂= 0       →      -d²M/ds² + q₂= 0     (c)

 

EQUAZIONI DI CONGRUENZA

χ = dφ/ds = (d/ds) (dv/ds) = d²v/ds²

 

LEGAME COSTITUTIVO

M = EI χ = EI (d²v/ds²)                  (d)

 

Sostituendo (d) in (c) si ottiene:

(d²/ds²) EI (d²v/ds²) =       →       d⁴v/ds⁴ = q₂/EI

Si è ottenuto un’equazione differenziale lineare del quarto ordine della linea elastica che mette in relazione i carichi agenti su di una trave (noto) con gli spostamenti da essi prodotti (incognite del problema). La funzione incognita dell’abbassamento v(s) si ottiene integrando 4 volte:

d³v/ds³ = (q₂/EI) s + C₁               →   T                Taglio

d²v/ds² = (q₂/EI) s²/2 + C₁s + C₂          →  M            Momento

dv/ds = (q₂/EI) s³/6 + C₁ s²/2   + C₂ s + C₃    →  φ             Rotazione

v (s) = (q₂/EI) s⁴/24 + C₁ s³/6 + C₂s²/2 + C₃ s + C₄   →             Spostamento

SCHEMA DI CALCOLO

La trave in esame presenta un incastro al primo estremo ed un carrello al secondo estremo, per cui le condizioni al bordo sono:

V(0) = 0    →   C₄=0

φ(0) = 0    →   C₃=0

V(l) = 0

(- q₂/EI) l⁴/24 + C₁ l³/6 + C₂l²/2 = 0              →  C₂= (q₂/EI) l²/12 - C₁ l/3

M(l) = 0

(- q₂/EI) l²/2 + C₁ l +(q₂/EI) l²/12 - C₁ l/3 = 0      →  C₁= 5q₂l/8EI

Sostituisco il valore trovato della costante C₁ nell’equazione con incognita la costante C₂:

C₂= (q₂/EI) l²/12 – (5q₂l/8EI) l/3                    →  C₂= -q₂l²/ 8EI

Trovate le 4 costanti di integrazione posso conoscere in quale sezione della trave si ha l’abbassamento massimo e quanto vale. Per conoscere la sezione faccio una considerazione e cioè in corrispondenza della rotazione nulla si trova l’abbassamento massimo in quanto v’(s) = φ.

Per cui pongo l’equazione della rotazione prima definita uguale a zero e sostituisco alle costanti di integrazione i valori trovati ottenendo:

φ = dv/ds = (- q₂/EI) s³/6 + (5q₂l/8EI) s²/2 – (q₂l²/8EI) s

L’equazione di terzo grado in s mi darà 3 sezioni della trave in cui la rotazione sarà nulla. Mi aspetto di trovare una sezione in corrispondenza dell’incastro, una sezione in cui trovo vmax  e un punto esterno alla trave.

Trovata la sezione “s” in cui c’è il massimo abbassamento, trovo quanto questo vale. Conoscendo lo spostamento v(s), incognita del problema iperstatico, riesco ad ottenere le reazioni vincolari e tutte le caratteristiche di sollecitazione sezione per sezione.

In allegato c’è la risoluzione analitica dell’esercizio in esame.

 

A questo punto verifico i risultati ottenuti, utilizzando il programma di calcolo SAP2000.

Disegno la struttura, spezzandola già in corrispondenza della sezione in cui mi aspetto di trovare il massimo abbassamento in modo tale da leggerne facilmente il valore. Applico i vincoli all’estremità e carico la struttura con un carico q₂= 10 kN/m. Definisco, infine, la sezione ed avvio l’analisi.

DEFORMATA

DIAGRAMMA MOMENTO

DIAGRAMMA TAGLIO

I valori di taglio e momento così come l’abbassamento sono pressoché uguali. Le piccole differenze sono dovute probabilmente alle approssimazioni che ho utilizzato durante il calcolo.

Superare grandi luci è una sfida che mette, da secoli, in contrapposizione specialisti (architetti, ingegneri, etc) e natura: è l’idea che vuole liberarsi dalle regole fisiche-matematiche che governano il mondo in cui essa deve diventare materia. Il progettista oggi, nel tentativo di realizzare strutture di grande luce, ha a disposizione vari modelli. In questo blog si analizzerà la travatura reticolare che si basa su un' intuizione strutturale che fa dividere le grandi strutture inflesse in una serie di piccoli elementi tesi o compressi.

Di seguito si propone di risolvere una travatura reticolare utilizzando il metodo della sezione di Ritter.

SCHEMA DI CALCOLO

Osservazioni:

-          La trave reticolare è isostatica in quanto si comporta come un corpo rigido nel piano in cui i 3 gradi di libertà sono contrastati, esternamente, da un carrello ed una cerniera.

-          Una trave reticolare per essere considerata tale deve essere composta da nodi e da aste sollecitate solo a sforzo normale dove, idealmente, le forze esterne agiscono direttamente sui nodi.

-          La sezione di Ritter può interessare al massimo 3 aste della trave reticolare le quali non concorrono nello stesso nodo. La sezione, inoltre, divide la trave reticolare in due parti le quali vengono considerate come corpi rigidi.

Inizio numerando i nodi e trovando, poi, le reazioni vincolari.

Trovo lo sforzo normale Nab utilizzando un’equazione di traslazione verticale. Per cui:

Nab + 9/2 F = 0           →      Nab = -9/2 F  (puntone)

Lo sforzo normale, ipotizzato di trazione, è invece di compressione e quindi l’asta è un puntone.

Dopo aver trovato le reazioni vincolari  ed Nab effettuo il taglio virtuale della trave cioè la sezione di Ritter ed analizzo la parte su cui incidono meno forze per rendere i calcoli più veloci. La sezione determina tre incognite e si hanno a disposizione tre equazioni per cui il problema ammette soluzione. In particolare si utilizzeranno equazioni di equilibrio a rotazione e traslazione. In una prima ipotesi le forze vengono considerate sempre di trazione.

Sezione  1

Equilibrio a rotazione intorno al polo “c”

-Nbdl + F l – 9/2 F l = 0  →  Nbd = - 7 rad2 /2 F  (puntone)

Equilibrio a rotazione intorno al polo “b”

Nacl = 0  →   Nac = 0  (asta scarica)

Per trovare Nbc scompongo la forza nelle sue due componenti (verticale ed orizzontale) ed impongo l’equilibrio alla traslazione verticale. Per cui:

- rad2 /2  Nbc– F + 9/2 F = 0   →    Nbc = 7/2 F(tirante)

Noto il valore delle forze delle aste in esame effettuerò altre sezioni sulle aste il cui valore dello sforzo normale è sconosciuto.

Sezione  2

Equilibrio a rotazione intorno al polo “d”

Nce  l + F l – 9/2 F l = 0     →    Nce = 7/2 F  (tirante)

Equazione di equilibrio alla traslazione verticale

Ncd+ 9/2 F – F = 0      →        Ncd = - 7/2 F  (puntone)

Sezione  3

Equilibrio a rotazione intorno al polo “e”

- Ndfl + 3F l – 9/2 F (2 l) = 0  → Ndf = -6F  (puntone)

Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale

(considero la componente orizzontale di Nde)

rad2 /2 Nde – 6F + 7/2 F = 0  →  Nde = 5 rad2 /2 F  (tirante)

Sezione  4

Equilibrio a rotazione intorno al polo “ f ”

Neg l + 3F l – 9F l = 0   →   Neg= 6F   (tirante)

Equilibrio alla traslazione verticale

Nef– 2F + 9/2 F = 0  →   Nef = -5/2 F   (puntone)

Sezione  5

Equilibrio a rotazione intorno al polo “ g ”

- Nfhl + 6F l – 9/2F 3l = 0 → Nfh = -15/2 F   (puntone)

Equilibrio alla traslazione orizzontale

rad2 /2 Nfg– 15/2F + 6F=0 → Nfg = 3 rad 2 /2 F   (tirante)

Sezione  6

Equilibrio a rotazione intorno al polo  “ h ”

Ngi l + 6F l – 9/2F (3l) = 0  →  Ngi = 15/2 F   (tirante)

Equilibrio alla traslazione verticale

Ngh– 3F + 9/2F=0  →  Ngh = - 3/2 F   (puntone)

Sezione  7

Equilibrio a rotazione in “ i ”

- Nhm l + 10F l – 18F l = 0  →  Nhm = -8 F   (puntone)

Equilibrio traslazione orizzontale

rad2 /2 Nhi - 8F + 15/2 F = 0  →  Nhi = rad2 /2 F   (tirante)

 

Il valore dello sforzo normale Nmi è pari alla forza esterna agente sul nodo “m”. Per cui:

Nmi = - F   (puntone)

 

La struttura è simmetrica e simmetricamente caricata per cui i valori dello sforzo normale delle aste trovati valgono pure per la restante parte della trave reticolare. Di seguito vengono proposti tutti gli sforzi delle aste.

DEFORMATA

DIAGRAMMA SFORZO NORMALE

Dal diagramma si può notare come le aste del corrente superiore e le aste verticali siano compresse mentre quelle del corrente inferiore e quelle oblique siano tese.

 

TRAVATURA RETICOLARE 3D

SAP 2000

In questo esercizio si risolverà una trave reticolare nello spazio tramite l’utilizzo del programma SAP 2000.

La prima operazione è quella di importare lo schema di trave, precedentemente disegnata in AutoCAD:         

1.      File – Import – AutoCAD.dxf file

Fatto questo nell’analisi decido di trascurare il peso proprio della trave in modo da non avere né taglio né momento. Per cui:

2.     Define – Load patterns – Self weight multiplier = 0

Successivamente bisogna assegnare i vincoli. Siccome ci troviamo nello spazio la travatura reticolare presenta 6 gradi di libertà, per cui per renderla isostatica utilizzo 3 cerniere esterne stando attento che questi non siano allineati altrimenti renderebbero la struttura labile.

Una volta selezionati i punti in cui inserire i vincoli si procede in questo modo:

3.     Assign – Joint – Restraints – cerniera

Assegnati i vincoli esterni bisogna assegnare il rilascio ai nodi della trave reticolare cioè si impone che i nodi non reagiscano a momento.

4.     Assign – Frame – Releases – Moment (3,3) start = 0 , end = 0

A questo punto è possibile definire il carico che, come nel caso della trave reticolare 2d, deve agire sui nodi. Per cui si selezionano i nodi superiori e procedo assegnando una forza concentrata di 20 Kn per ogni nodo:

5.     Assign – Joint loads – Forces – lungo asse z – 20 kN

Non resta, infine, che definire materiale e sezione delle aste. Si ipotizzerà una struttura con aste in acciaio con un modulo di Young E = 210000 N/mm² e con una sezione circolare cava con un diametro esterno di 10 cm ed uno spessore di 0,05 cm. Per cui:

6.     Define – Materials – Add new material – Steel

7.     Define – Section properties – Frame sections – New properties – Pipe

 

Ultimo passaggio consiste nell’avviare l’analisi ed esportare le tabelle con i risultati.

 

8.     F5 per avviare l’analisi

DEFORMATA

DIAGRAMMA SFROZO NORMALE

Il fatto che non tutte le aste concorrano a contrastare le forze esterne e che ci siano alcune particolarmente sollecitate fa pensare che queste siano state disposte in un modo errato. Probabilmente rendendo la travatura simmetrica nello spazio questa avrebbe un comportamento migliore.

9.     Display – Show tables – Analysis results – Export all tables to excel

Al blog viene allegato un file excel contenente delle tabelle che mostrano le tensioni che si generano in ogni singola asta.