SdC(b) (LM PA)

Affrontiamo il tema della rigidezza torsionale analizzando un sistema tridimensionale, nel quale la perpendicolarità degli elementi presuppone flessione per un piano e inevitabilmente torsione per l’altro.

La struttura tridimensionale è stata modellata sulla base di una 3D Grid. Le travi e i pilastri hanno la stessa lunghezza, ossia 3 m e i 3 elementi rappresentano un corpo unico, caratterizzato da 6 gradi di libertà trovandoci nello spazio tridimensionale. I tre incastri dunque vincolano 3 spostamenti e 3 rotazioni ciascuno, rendendo la struttura 12 volte iperstatica.

È possibile semplificare il sistema sostituendo la trave a sbalzo soggetta ad un carico distribuito con il momento che agisce direttamente sul nodo, ossia il valore del momento flettente sviluppato in corrispondenza dell’incastro dalla trave a sbalzo appena sostituita.

Gli elementi strutturali, come già anticipato, in queste condizioni di vincolo e di carico si comportano in maniera differente: il momento applicato nel nodo genera flessione sulla trave e sul pilastro appartenenti al piano yz, mentre torce la trave che corre lungo l’asse x.

Queste considerazioni qualitative vengono confermate dalla deformata e dai grafici delle sollecitazioni.

• deformata

•  Taglio

• Momento flettente

• Torsione

Il contributo della trave perpendicolare e della relativa torsione risiede nell’aumentare la rigidezza rotazionale del nodo, in quanto la sua rigidezza torsionale si somma alle due rigidezze flessionali della trave e del pilastro appartenenti al piano xy. Di conseguenza, il Momento agente viene ripartito nelle tre aste in proporzione alla loro rigidezza.

Per quantificare questo contributo sono state assegnate diverse sezioni con la stessa area (170 cm²) alla trave sottoposta a torsione e sono stati raffrontati i dati forniti dal software relativi alla rotazione del punto d’intersezione attorno all’asse della trave stessa.

• sezioni adottate:

• tabella relativa ai valori della rotazione:

Nonostante l’area della sezione e il materiale di cui è composta siano costanti, le varie prove hanno dato diversi esiti. Questo perché, come abbiamo più volte sottolineato, a differenti sezioni corrispondono diverse rigidezze torsionali.

 In particolare, le sezioni aperte (la T o la L) sono quelle che comportano le rotazioni maggiori, dal momento che, pur avendo una buona resistenza flessionale (a cui consegue un minore abbassamento, qui non tabellato, del giunto), si comportano in maniera meno performante nei confronti della torsione.

Le tensioni tangenziali (τ) incrementano il loro valore con l’aumentare della distanza dall’asse di torsione; analogamente le tensioni normali, nel caso della flessione, sono massime nei lembi superiori e minime o nulle quando la distanza è vicina allo zero.

Il profilo che ha la miglior resistenza torsionale e, quindi, presenta la rotazione minore, è quello cilindrico, in quanto l’acciaio è distribuito ad una distanza media dall’asse di torsione maggiore rispetto a quella delle altre sezioni.

La scatolare quadrata presenta le tensioni più alte in corrispondenza dei vertici, quella rettangolare in corrispondenza dei lati corti. Invece, il tubolare consente di distribuire uniformemente le tensioni tangenziali su tutta la sua area, ammesso che l’asse di torsione coincida con il centro delle sue sezioni e che il materiale venga sfruttato in maniera più uniforme.

Il modo in cui l’area di materiale è distribuita attorno all’asse di torsione è rappresentata numericamente dal momento d’inerzia polare (Ip), che è inversamente proporzionale alla tensione τ.

Un impalcato è infinitamente rigido nel suo piano, ma se sottoposto a forze orizzontali, quali sisma e vento, può subire spostamenti. L’esercitazione vuole farci analizzare come tale impalcato reagisce tramite l’azione dei controventi.

I controventi  vengono rappresentati come molle, dato il loro comportamento elastico che ci permette di considerarli vincoli cedevoli. Ogni molla reagisce alle forze esterne in proporzione alla propria rigidezza che varia a seconda  della sezione e dal numero di pilastri presenti su quel telaio.

Ipotizziamo un impalcato in calcestruzzo armato con pilastri 30x40 cm e altezza 3,20 m diversamente orientati a seconda dell’orditura del solaio. Esso è composto da 10 telai ognuno collegato ad una molla, dove Kv sono i telai verticali e Ko quelli orizzontali.

Stabilito il materiale con il relativo modulo di Young (E=21000 N/mm), la sezione dei pilastri con il loro momento d’inerzia in base all’orientamento, e conoscendo la distanza delle molle dal punto d’origine dell’impalcato, possiamo compilare il foglio di calcolo.

1 CALCOLO DELLE RIGIDEZZE TRASLANTI DEI CONTROVENTI DELL’EDIFICIO

Si prendono in esame uno per volta i telai relativi ad ogni controvento per determinarne la rigidezza , ovvero la forza con la quale si oppongono alla traslazione lungo l’asse

2 TABELLA SINOTTICA CONTROVENTI E DISTANZE

3 CALCOLO DEL CENTRO DELLE MASSE

In strutture non propriamente simmetriche la ricerca del centro delle masse non è intuitiva.

Si semplifica l’impalcato in forme semplici, nel nostro caso 3 aree di cui è facile trovare il baricentro, conoscendo le coordinate di ciascun baricentro e l’area delle forme semplici possiamo trovare il centro dell’intero impalcato

4 CALCOLO DEL CENTRO DI RIGIDEZZE E DELLA RIGIDEZZA GLOBALE

Il centro delle rigidezze (C) è il punto dove viene applicata la risultante delle rigidezze traslanti dei controventi sia lungo l’asse x che lungo l’asse y.

Per trovarlo si sommano le rigidezze verticali K_v-tote quelle orizzontali K_o-tot, e le coordinate saranno:

Trovato il centro di rigidezza ci calcoliamo la distanza di ogni telaio da questo puto (dd), e di conseguenza ci troviamo la rigidezza complessiva a rotazione delle molle

5 ANALISI DEI CARICHI SISMICI

Definiamo la forza sismica applicata nel centro delle masse, come prodotto tra la massa dell’impalcato (W) e il coefficiente di intensità sismica (c)

6 RIPARTIZIONE DELLA  FORZA SISMICA LUNGO L’ASSE X

Il centro delle masse (dove agisce la forza sismica) non coincide con il centro della rigidezza (dove agisce la risultante delle rigidezze del nostro sistema di forze) quindi si genera una traslazione ed una rotazione dell’impalcato.

Troviamo il momento torcente

Traslazione orizzontale

Rotazione

Ora possiamo quantificare come la forza si ripartisce nei controventi

Analogamente per l'asse y

In conclusione i telai con una rigidezza maggiore assorbono una maggiore forza sismica.

Con la seguente esercitazione si vuole analizzare come un IMPALCATO STRUTTURALE, considerato come un CORPO INFINITAMENTE RIGIDIO alle azioni che agiscono lungo il suo piano, si comporti sotto l’effetto di FORZE ESTERNE ORIZZONTALI come ad esempio in questo caso il SISMA; il suo comportamento dipende:

- dai CONTROVENTI considerati VINCOLI ELASTICI CEDEVOLI, assimilabili a molle che reagiscono alle forze agenti lungo il loro stesso piano in proporzione della loro rigidezza;

- dalla distanza tra il CENTRO DELLE MASSE, baricentro geometrico dell’impalcato, e il CENTRO DELLE RIGIDEZZE, dato dalla risultante di tutte le rigidezze.

Questi due aspetti determinano infatti la RIGIDEZZA TRASLANTE K_δ e di conseguenza la TRASLAZIONE δ lungo la direzione della FORZA AGENTE e la RIGIDEZZA ROTAZIONALE Kφe di conseguenza la ROTAZIONE φintorno al CENTRO DELLE RIGIDEZZE.

Si è scelto di analizzare il seguente impalcato:

Esso è costituito da diversi telai indicati con delle molle K_V per quelli VERTICALI e K_O per quelli ORIZZONTALI.

Ciascun telaio e formato da PILASTRI in CALCESTRUZZO (E=21000 N/mm²) 20x40cm di base e alti 3,2m i cui MOMENTI D’INERZIA I_x = (B x H³)/12 e I_y = (H x B³)/12 sono rappresentati in figura:

STEP 1

Una volta noto il MODULO DI YOUNG (E), l’ALTEZZA DEL PILASTRO, i MOMENTI D’INERZIA (facendo attenzione di utilizzare quello reagente, ad esempio se analizziamo un telaio verticale cioè reagente lungo y dovremmo usare I_x) possiamo calcolare la RIGIDEZZA TRASLANTE K_δ del telaio dato dalla somma delle rigidezze di ciascun pilastro ovvero:

K = 12EI/h³                       K_δ= ∑ K_i

STEP 2

Possiamo ora raccogliere ciascuna rigidezza traslante e la rispettiva distanza dal centro O in una tabella.

STEP 3

Dobbiamo ora individuare il CENTRO DELLE MASSE, per farlo è consigliabile suddividere la pianta in aree geometriche semplici come ad esempio RETTANGOLI di cui siamo in grado di determinare il BARICENTRO; otteniamo così le coordinate del baricentro di ogni area, ora ci rimane di ottenere le coordinate del centro delle masse attraverso una MEDIA PONDERATA poiché nel nostro caso la superficie totale è stata divisa in 3 aree più piccole abbiamo:

x_{_G}= [(x₁* A₁) + (x₂* A₂) + (x₃* A₃)] / A_tot                    

y_{_G}= [(y₁* A₁) + (y₂* A₂) + (y₃* A₃)] / A_tot

STEP 4

Si passa ora alla determinazione del CENTRO DELLE RIGIDEZZE (C).

Per prima cosa dobbiamo sommare tutte le rigidezze verticali e poi quelle orizzontali; dopodiché dobbiamo fare una media ponderata dove abbiamo:

x_C = (∑_i K_iv * d_iv) / K_{v_tot}                       y_C = (∑_i K_io * d_io) / K_{o_tot}

Ora che il centro delle rigidezze è noto possiamo calcolare la distanza di ogni telaio da C; non rimane ora che calcolare la RIGIDEZZA ROTAZIONALE Kφche è data dalla sommatoria dei prodotti delle rigidezze traslanti di ciascun telaio per la distanza al quadrato di ognuno di essi rispetto a C.

Kφ = ∑_i K_i * dd_i²

STEP 5

Dobbiamo ora eseguire l’analisi dei carichi (allo stato limite di esercizio poiché non si tiene conto di γ), per farlo dobbiamo ottenere il CARICO TOTALE PERMANTE G (somma del carico strutturale e quello permanente, moltiplicata per l’area dell’impalcato) ed il CARICO TOTALE ACCIDENTALE Q (prodotto del carico accidentale per l’area); successivamente ci possiamo ricavare i PESI SISMICI W dalla seguente formula:

W = G + (Q * y)               dove y indica il COEFFICIENTE DI CONTEMPORANEITA’.

L’ultima forza da ricavare è la FORZA SISMICA ORIZZONTALE F data dal rapporto tra i pesi sismici e il COEFFICIENTE DI INTENSITA’ SISMICA c (dipende dalla zona sismica).

STEP 6-7

Arriviamo infine a quantificare la ripartizione della FORZA SISMICA ORIZZONTALE Flungo l’asse x e lungo l’asse y per ognuno dei controventi.

Poiché il nostro centro delle masse (dove si applica la forza sismica) non coincide con il centro delle rigidezze il sisma genera sia una TRASLAZIONE δ (una volta u_{_x} lungo l’assex e una voltau_{_y} lungo l’asse y in base alla direzione del sisma) ed unaROTAZIONE φ (anche questa diversa in base alla direzione del sisma).

Dobbiamo quindi calcolare il MOMENTO TORCENTE M, per l’asse x abbiamo M = F *(Y_{_c} – Y_{_G}) mentre per l’asse y abbiamo M = F *(X_{_c} – X_{_G}).

Successivamente possiamo ricavarci la TRASLAZIONE ORIZZONTALE u_{_x} = F / K_{o_tot} , TRASLAZIONE VERTICALE u_{_Y} = F / K_{V_tot} e la ROTAZIONE φ una volta per il sisma in direzione x e una volta per quello in direzione y (φ = M / Kφ facendo attenzione nell’utilizzare il rispettivo momento torcente).

In conclusione possiamo conoscere la ripartizione della forza sismica sia quando agisce lungo x sia quando agisce lungo y per ciascun controvento.

ASSE X:

        F_oi = K_oi (u_{_x} + dd_oi * φ)

        F_vi = K_vi (dd_vi * φ)

ASSE Y:

        F_oi = K_oi (dd_oi * φ)

        F_vi = K_vi (u_{_y}  + dd_vi * φ)