SdC(b) (LM PA)

Trave Vierendeel

 

Il secondo esercizio sulla trave Vierendel è su doppio incastro ed è composta da 6 telaio shear type, sovrapposti e ruotati, in questo caso la struttura è simile al comportamento ad una trave doppiamente incastrata.

 

La struttura è simmetrica, quindi è necessario dividere la forza centrale in F/2.

Data la simmetria è sufficiente risolvere metà trave per poi ribaltare i risultati.

 

Trovare il taglio nei pilastri tramite l’equilibrio delle forze orizzontali tenendo conto che la forza viene assorbita dai 4 incastri e non più solo da due come l’esercizio precedente.

 

Diagramma taglio

 

È possibile trovare il momento e lo spostamento δdei traversi  tramite  

M= 6EI/l²*δ T= 12 EI/l³*δ  dove   δ= Tl³/12 EI

1.      T=F/4   M=Fl/8  δ=Fl³/48EI

2.      T=3F/4   M=3Fl/8  δ=3Fl³/48EI

3.      T=5F/4   M=5Fl/8  δ=5Fl³/48EI

 

Per determinare  Il momento dei traversi è possibile moltiplicare il taglio per il braccio che è pari ad  l/2.

Diagramma momento

 

Per trovare il momento sui montanti, bisogna scrivere l’equilibrio ai nodi.

 

Diagramma momento sui montanti

 

Per trovare i tagli è necessario sommare la coppia dei momenti agenti sul montante e dividendoli per la luce su cui lavorano (2L)

 

Taglio sui montanti

 

Deformata

 

 

 

 

 

In questo esercizio analizziamo una trave vierendeel, composta da due correnti orizzontali collegati da montanti verticali, nel quale tutti i nodi sono ad incastro.

 

La trave può essere rappresentata come un modello Shear-Type, ovvero uno schema che si basa sul concetto di trave infinitamente rigida, la quale ha una rigidezza flessionale che ne impedisce la deformazione . Mentre i pilastri, collegati con nodi ad incastro, non si si deformano se sottoposti a qualsiasi sforzo assiale.

 

 

                          . 

 

 

Inizio a calcolare i valori del taglio grazie all'equazione di equilibrio alla traslazione analizzando ogni tratto (da 1 a 6) della struttura. 

 

 

 

Posso ora disegnare il diagramma del taglio per gli elementi orizzontali:

 

 

Mentre per trovare il valore del momento agli estremi delle aste orizzontali mi basta moltiplicare il valore del taglio per metà della lunghezza (l/2).

 

 

 

deformata:

 

 

Possiamo notare dal diagramma della deformata, che la curvatura è nulla nel punto di flesso(in mezzeria) e di conseguenza anche il momento sarà nullo.

 

 

Ora mi calcolo momento e taglio delle aste verticali:

Per il momento faccio l'equilibrio alla traslazione:

 

 

alcolo i valori dei tagli, equilibrando ai momenti appena ricavati una coppia di forze:

 

 

 

 

Diagramma del Taglio

              

 

 

 

Diagramma del Momento

 

 

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Abbiamo analizzato un' altro esempio di trave Vierendeel vincolata a entrambi i bordi e ne abbiamo calcolato gli spostamenti ed i diagrammi di taglio e momento sugli elementi orizzontali e verticali. Questa volta l'esercizio risulta semplificato perchè si può sfruttare la simmetria di questo schema strutturale.

 

 

 

Come fatto nell'esercizio precedente calcolo i valori di taglio partendo dall'asta centrale.

 

 

 

 

 

 

Disegno il diagramma del taglio per gli elementi orizzontali:

 

 

 

 

 

Per trovare i valori dei momenti, mi basta anche qui moltiplicare il valore del taglio per metà della

lunghezza (l/2).

 

 

Deformata:

 

 

 

Ora mi calcolo momento e taglio delle aste verticali 

 

Equilibrio dei nodi:

 

 

 

Equilibrio delle aste:

 

 

Diagramma del Taglio

 

 

 

 

Diagramma del Momento

 

 

 

 

 

 

Es. RIPARTIZIONE FORZA SISMICHE

 

Impalcato

L’impalcato di riferimento è interamente in cemento armato costituito da  12 pilastri che organizzano 8 telai, quattro lungo X e quattro lungo Y necessari a sopportare oltre il carico strutturale anche ad assorbire le sollecitazioni orizzontali dovuti al sisma.

 

I pilastri hanno un’altezza di 4 metri.

Sono presenti 4 molle nell’asse X e 4 nell’asse Y e indicano che, il solaio è pensato come rigido nel suo piano. 

• Step 1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

  Si inizia studiando singolarmente i 8 telai in base alla caratteristiche e l numero dei pilastri che li compongono

•  Step 2: tabella sinottica controventi e distanze

Tabella in cui vengono riportate le somme di rigidezza dei telai e le rispettive distanza dei pilastri dall’origine O.

 

• Step 3: calcolo del centro di massa

Per il calcolo del centro di massa dell’intero impalcato è necessario determinare l’area dei singoli rettangoli (area 1,area2,area3) e le distanze dei rispettivi centri di massa.

 

• Step 4: calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Si calcola in centro di rigidezza  che è il punto in cui è applicata la risultante delle forze resistenti.

 

• Step 5: analisi dei carichi sismici 

• Step 6: ripartizione forza sismica lungo X

 

• Traslazione dell’impalcato lungo l’asse x

• Step 7: ripartizione forza sismica lungo Y

 

•  Traslazione dell’impalcato lungo l’asse y

• Centro di massa e centro di rigidezza

 

dato un impalcato di riferimento

con pilasti in acciaio

possiamo individuare 7 telai piani, quattro lungo X e tre lungo Y, composti da due a quattro pilastri ognuno, il cui compito, oltre quello strutturale, è di controventamento per l'intera struttura, cioè sopportare le forze gravanti sul piano X-Y (=orizzontali). 

le molle individuate nella pianta iniziale dell'impalcato stanno a indicare che, se il solaio è pensato rigido nel suo piano, i contronventi sono dotati di una propria elasticità che ci permette di considerarli dei vincoli cedevoli dell'impalcato e quindi di rappresentarli con delle molle con una relativa rigidezza K= (12EI)/h³, in cui I è la sommatria dei momenti di inerzia dei pilastri coinvolti ne telaio di riferimento.

a questo punto, con il foglio exel di calcolo, possiamo iniziare a studiare singolarmente i telai in base alle caratteristiche e al numero dei pilastri che li compongono.

a questo punto possiamo raccogliere i risultati delle rigidezze ottenuti dallo studio dei telai in una tabella sinottica, in cui scriveremo anche i valori delle distanze coordinate dei pilastri dal punto o(0,0), origine degli assi cartesiani. 

il terzo passo di questo algoritmo consiste nel calcolo delle coordinate del centro di massa del nostro impalcato. per fare ciò però bisogna semplificare la pianta a forme basilari, nel nostro caso due rettangoli, dei quali calcoleremo i rispettivi centri.

come si può leggere nell'immagine, le coordinate della prima sezione (da sinistra a destra) sono X=3  Y=18, mentre quelle della seconda sezione  X=9  Y=8, la cui media ponderata in base alle aree delle rispettive sezioni darà come risultato le coordinate del centro di massa dell'intero impalcato.

a questo punto, con le rigidezze orizzontali e verticali totali possiamo calcolare, sempre con il foglio excel, le coordinate del centro delle rigidezze, cioè (in semplici parole) il punto in cui è applicata la risultante delle forze resistenti, e le distanze dei controventi da tale punto.

si nota dai dati ottenuti che le coordinate del centro delle rigidezze coincidono con quelle del centro delle masse ottenuto prima; questo significa che il nostro impalcato è equilibrato e che non subirà rotazione a seguito dell'applicazione di forse orizzontali (come possono essere le forze sismiche)

ora, in base all'area totale dell'impalcato e ai dati dei carichi dati da normativa, otteniamo il valore della forza sismica (forza orizzontale)

sappiamo che questa forza sismica F è ripartita lungo gli assi X e Y, non resta che sapere in che proporzione per ogni telaio atraverso il prodotto tra la rigideza del telaio, la distanza di questo dall'origine e il valore della rotazione dell'impalcato:

asse X

asse Y

 

I controventi

Ogni impalcato è composto da una maglia di telai, tessuti più o meno parallelamente o perpendicolarmente a seconda delle necessità e a discrezione del progettista. In genere il compito principale di un impalcato è quello di sopportare dei pesi, ovvero delle forze verticali che vanno dall'alto verso il basso. Ma si sbaglia se si pensa anche che questo sia il suo unico compito!
Un bravo progettista deve sempre tenere conto di altri tipi di forze, ovvero quelle orizzontali, provocate per esempio dal vento o da eventi sismici. Sapendo ciò egli deve progettare la struttura in modo che resista anche a questo altro tipo di forze, tutt'altro che trascurabili.
Entra così in gioco il tema dei controventi.

Assimilato il concetto alla base dei telai shear-type, possiamo accomunare quello stesso comportamento  a quello svolto dai telai di una struttura in CLS armato. Questi telai costituiscono dei controventi per l’intera struttura e come tali agiscono da vincoli. In particolare questi vincoli si contrappongono alle forze orizzontali ed evitano che la struttura subisca uno spostamento orizzontale o peggio ancora una rotazione.
La natura di questi vincoli è particolare: essi hanno infatti un comportamento elastico, ovvero contrastano le forze esterne parallele al loro asse, permettendo comunque una certa quantità di spostamento.
A questo punto i telai possono essere rappresentati come delle molle, la rigidezza di ognuna di esse rappresenta la rigidezza di ogni telaio.
Per semplificare i calcoli e per convenzione, le forze orizzontali possono essere applicate direttamente al centro di massa come forze concentrate, per questo motivo quando si progetta una struttura, trovato il centro di massa, bisogna ragionare attentamente sulla posizione dei controventi e sulla rigidezza di ognuno di essi; il fine è quello di far coincidere il più possibile il centro di massa con il centro delle rigidezze in modo tale da diminuire o ancora meglio, annullare il braccio della forza orizzontale e quindi il momento provocato da essa. In pratica, in base al posizionamento e alla rigidezza dei telai si può spostare il centro delle rigidezze e avvicinarlo sempre più al centro delle masse. Se si perviene a tale scopo si riesce a limitare la rotazione della struttura.

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Ripartizioni delle forze sismiche

A fronte dei ragionamenti sopra riportati, voglio analizzare un impalcato tipo, sottoposto a forze orizzontali. Decido di analizzare un corpo simmetrico a C.
Disegno l'impalcato stabilendo due luci diverse.

Come si nota in pianta l'impalcato prevede due disposizioni dei pilastri basata sull'orditura dei solai. I pilastri scelti sono a sezione rettangolare, so quindi che offrono due momenti d'inerzia diversi, i seguenti:

Piccola riflessione: per una migliore resistenza alle forze orizzontali converrebbe orientari i pilastri in modo tale da offrire il maggior momento d'inerzia. Nel caso di studio che sto affrontando, la maggior parte dei telai non sono orientati in maniera ottimale, ma è una scelta basata sulla volontà di studiare il caso di una struttura non perfettamente controventata.

Procediamo ora con l'esercizio.
Mi ritrovo perciò un impalcato composto da 14 pilastri che organizzano 9 telai. Posso rappresentare il vincolo elastico comportato da questi controventi, con delle molle.

Per verificare l'efficacia dei controventi occorre analizzare le rigidezze di essi trovando di conseguenza il centro delle rigidezze e ripartire le forze orizzontali. Per effettuare l'analisi e i calcoli necessari utilizzo un foglio excel.
 

Calcolo delle rigidezze traslanti e dei controventi dell'edificio

Come primo passo calcolo le rigidezze traslanti dei controventi, inserendo nel foglio elettronico i seguenti dati:
il modulo di elasticità del Cls E=21000 N/mm²;
il momento d'inerzia di ciascun pilastro (calcolato in precedenza);
l'altezza dei pilastri (320 cm);

Tabella sinottica controventi e distanze

Come secondo passaggio calcolo  le distanze verticali (dv) e orizzontali (do) dei controventi da un punto O, l’origine di un sistema di riferimento da me scelto.

Calcolo del centro di massa

Calcolo ora il centro di massa, il famoso punto G. Per farlo calcolo l'area totale del solaio sostenuto dall'impalcato e trovo i baricentri delle tre parti in cui posso dividere l'area del solaio, come mostrato di seguito:

Inserisco i dati sul foglio elettronico e ottengo le coordinate del centro di massa, così calcolate :

 

Calcolo del centro delle rigidezze e delle rigidezze globali

Tramite la tabella riportata di seguito posso trovare anche le coordinate del centro delle rigidezze C, calcolato tramite le rigidezze delle singole molle; inoltre nella tabella sono indicate le distanze di ogni controvento dal centro delle rigidezze e infine la rigidezza torsionale totale ovvero la sommatoria di ogni rigidezza moltiplicata per la distanza al quadrato dal centro delle rigidezze.

Nella seguente pianta vengono indicate le forze orizzontali, che per convenzione (come detto in precedenza) possono essere applicate come forze puntuali, sul centro di massa.

 

Analisi dei carichi sismici

Ora, ipotizzati dei carichi strutturali e non strutturali che gravano sulla struttura, calcolo la forza sismica orizzontale, inserendo nel foglio excel dei valori regolati dalla normativa:
coefficiente di contemporaneità Ψ
coefficiente di intensità sismica c

La forza orizzontale agente sulla struttura è 124,10 KN

Ripartizione della forza sismica

Queste due tabelle calcolano il momento torcente della struttura, le traslazioni e le rotazioni secondo le due direzioni perpendicolari X e Y

Una trave Vierendeel non è altro che un telaio shear-type ruotato di 90° su un fianco.

Un telaio shear-type è un impalcato con due fondamentali ipotesi:

_La trave è infinitamente resistente a flessione

_I pilastri non si deformano  se sottoposti ad un qualsiasi sforzo normale

Questo tipo di telaio assume come rigidezza totale la somma di tutte le rigidezze dei suoi pilastri.

                                                                                                             F = Kδ * δ -> δ = F / Kδ

In questo caso sono i pilastri ad essere infinitamente resistenti a flessione e le travi non deformabili a sforzo normale.

Possiamo considerare i traversi come delle travi doppiamente incastrate che subiscono un cedimento vincolare verticale uguale a delta
causato da una forza puntuale F, il taglio sarà costante e il momento Lineare, e il punto di flesso corrisponde al punto dove il momento si annulla

                                                    

Lo scopo dell' esercizio è tovare:

1-> Taglio sulle travi;
2-> Momento sulle travi;
3-> Momento sui pilastri;
4-> Taglio sui pilastri;
5-> Valori di δ1, δ2, δ3;

Il valore dello sforzo di Taglio nella trave viene ricavato dall'integrazione della linea elastica:

T = 12EIδ/(L³)

dalla formula del taglio ricaviamo il valore dello spostamento δ

Sfruttando la simmetria della trave, può esserne studiata una sola metà:

  

1-> Taglio sulle travi-> La forza che agisce sulla trave viene ripartita ugualmente sui due traversi, inferiore e superiore:

2-> Momento sulle travi-> Per calcolare il Momento sulle travi moltiplico ogni taglio per il suo braccio (L/2),

        M = T*(L/2)

     

3-> Momento sulli pilastri-> Per calcolare il momento nei pilastri dobiamo studiare il nodo e trovare dei momenti che equilibrino quelli agenti sulle travi:

 

4-> Taglio sulli pilastri-> M = T*b -> T = M/b

                

5-> Valori di δ1, δ2, δ3 -> Dopo aver equilibrato tutto possiamo andare a calcolare i valori degli spostamenti:

T₁ = 12EIδ₁/(L³) -> δ_{1 =} FL³/(48EI)

                                 -> δ_{2 =} FL³/(16EI)

                                 -> δ₃₌ FL³/(48EI)

                              

 

Il metodo delle Forze consente di risolvere strutture iperstatiche come travi o travi continue su più appoggi, riconducendole a strutture isostatiche di riferimento delle quali sono noti spostamenti e rotazioni, e ponendo come incognite le reazioni vincolari iperstatiche in modo da ristabilire la compatibilità cinematica dei vincoli soppressi.

Risoluzione di una Trave su appoggi, 3 volte iperstatica, con il metodo delle forze.

      

Svincolo le cerniere in B, C, D, rendendole cerniere passanti, e applico tre momenti incogniti X1, X2, X3.

Dobbiamo applicare il principio della sovrapposizione per calcolare gli effetti dovuti al carico q e dai momenti applicati X:

              

Dovendo ritornare ad una condizione di iperstaticità,

e riordando i valori delle rotazioni dovute al carico ripartito q (pl³/24EI)e le rotazioni Primarie (XL/3EI) e Secondarie (XL/6EI) dovute ai momenti incogniti applicati,

                                                                                    

poniamo le rotazioni in ogni carrello uguale a zero, scriviamo queindi le EQUAZIONI DI CONGRUENZA per ogni punto (B, C, D)

 

                                                                                           

mettendo a sistema i valori delle rotazioni in B e C (con B = D), ricavo i valori dei momenti applicati.

Ora studiamo le reazioni sulla trave, suddivisa in 4 tratti, dovuti al carico ripartito q:

                                                         

e ai momenti assegnati: X1 e X3

e X2

                                

e ottengo le reazioni, i valori degli sforzi di Taglio e Momento Flettente che il carico e i momenti producono sulla trave iperstatica:

                                             

Verifica su Sap degli sforzi calcolati:

Taglio

Momento

           

 

La TRAVE VIERENDEEL si comporta coma un telaio shear type ribaltato, per cui, presenta pilastri infinitamente rigidi e traversi flessibili. Ne deriva che la forza (F) fa traslare il ritto di una quantità δ, trascinando con sé i traversi che si deformano.

La presenza dei nodi incastro e l’ipotesi di rigidezza flessionale infinita dei pilastri, impone però ai nodi una rotazione nulla. Il traverso si trova nella situazione di una trave doppiamente incastrata  con un sistema che è tre volte iperstatico. Supponendo che uno dei due incastri ceda, avviene una deformazione e quindi una curvatura.

 

Per sapere quanto valgono taglio e momento risolvo la struttura iperstatica con il metodo della linea elastica.

Ottengo quindi i seguenti valori:

 

Dalle equazioni di equilibrio alla traslazione verticale dei pilastri posso risalire agli spostamenti, ai tagli e ai momenti.

 

 

DIAGRAMMA TAGLIO dei TRAVERSI

DIAGRAMMA MOMENTI dei TRAVERSI

 

Più semplicemente si potevano conoscere i valori del taglio e del momento facendo pochi calcoli. Per il taglio bastava sommare tutte le forze agenti sulla trave e successivamente dividerli per due. Per il momento,osservando la deformata si vede dove la curvatura è nulla e quindi anche il momento è nullo. Basta moltiplicare quindi la forza di taglio per il suo braccio l/2 per avere i valori dei momenti.

 

Per conoscere i valori del momento su ogni pilastro, calcolo l’equilibrio in ogni nodo.

Mpilastro=M1+M2(se sono entrembi orario producono un momento nei pilastri antiorario)

Per il taglio nei pilastri applico la seguente regola: 

e quindi ottengo per tutti i pilastri i seguenti valori:

 

DIAGRAMMA TAGLIO dei PILASTRI

 

DIAGRAMMA MOMENTO dei PILASTRI

VERIFICA CON SAP

Disegno la trave vierendeel a sbalzo di L =10 m attravarso la griglia, gli assegno i 2 vincoli di incastro, il peso nullo alla struttura e le forze applicate in z all'incrocio tra travi e pilastri pari a -10 KN m.

Successivamente per poter avere un comportamento simile a quello della trave vierendeel devo assegnare ai pilastri una rigidezza infinita. Su Sap ciò si può ottenere o dando ai pilastri una sezione con modulo di elasticità molto alto oppure assegnandogli una sezione molto grossa. Scelgo la seconda opzione.

Assegno ai traversi una sezione di questo tipo:

e ai RITTI una sezione di questo tipo:

Per ottenere delle sezioni di questo tipo

Faccio partire l'analisi con Run e ottengo:

DEFORMATA

DIAGRAMMA TAGLIO

DIAGRAMMA MOMENTO

 

TRAVE VIERENDEEL DOPPIAMENTE INCASTRATA

DEFORMATA

Essendo una struttura simmetrica ne analizzo solamente la metà.

EQUILIBRIO AI NODI

DIAGRAMMA MOMENTI

Analizzandola con SAP, ottengo i seguenti risultati:

Detto ciò, prendiamo in considerazione un piano "tipo" (simile a quello del progetto su cui sto lavorandocon Federico Restaino nel Lab. 2M, definito dal seguente impalcato (pianta strutturale):

Ipotizziamo che l’impalcato sia in calcestruzzo armato (quindi con modulo elastico E=21000 N/mm²) e sia composto da 18 pilastri aventi sezione rettangolare e dimensioni 30x40 cm. Dato che una sezione rettangolare ha due momenti d’inerzia, uno lungo l’asse x e l’altro lungo l’asse y, i pilastri sono stati disposti in base alla tessitura del solaio.

Ora, essendo i controventi degli elementi con comportamento elastico, possono essere semplificati come delle vere e proprie molle...

Esercitazione Ripartizione Forze Sismiche