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Creo un telaio Shear Type in cemento armato con le seguenti caratteristiche:

Interasse:6m

H: 3m

Pilastri: 30X40cm

Ix pilastri per controventi 1.2.3.4; 5.6.7.8; 9.10.11; 12.13.14 pari a 160000cm^4

Ix pilastri per controventi 5.1; 2.5; 9.12; 3.7.10.13; 4.8.11.14 pari a 90000cm^4

Attraverso la tabella Excel posso ricavare le rigidezze dei controventi, il centro delle rigidezze, il centro di massa e le ripartizioni delle forze sismiche sugli assi.

Determino la rigidezza totale (K_T) di tutti i controventi

Tabella sinottica controventi e distanze

Calcolo del centro di massa

Calcolo del centro delle rigidezze

Analisi dei carichi sismici

L’ARCO A TRE CERNIERE

L’esercitazione guidata è suddivisa in punti, organizzati in ordine cronologico, per eseguire la costruzione e l’analisi di tre tipi di Arco a tre cerniere.

Vediamo ora come costruire ed analizzare un arco a tre cerniere :

1| Scegliamo un arco a tutto sesto e vediamo come questa struttura è in equilibrio. Chiameremo ‘L’ la sua luce e ‘f’ la freccia (ossia la distanza dal punto di chiave alla linea di terra (immagine 1).

[!] Definiamo l’arco come una struttura che lavora ‘per forma’ e quindi ‘Ottimizzata’, poiché tende a lavorare solamente a sforzo normale. Così facendo tutte le sezioni lavorano allo stesso stato tensionale e quindi si riesce ad ottenere un’ottimizzazione del materiale stesso.

(immagine 1).

 1.Modello di telaio preso in esame.

2| proviamo adesso a caricare l’arco con un carico ripartito per vedere come si comporta (ricordiamo che è una struttura simmetrica quindi le reazioni che calcoleremo per una parte saranno le stesse dall’altra) (immagine 2).

[!] Si nota come la spinta sia inversamente proporzionale alla freccia, per cui ne deduciamo che più la freccia è piccola, più l’arco è spingente.

2. Reazioni dell’arco con carico ripartito.

3| Vogliamo ora analizzare l’arco in SAP, quindi partendo dal disegno in CAD opportunamente disegnato componendolo da due archi, lo ruotiamo facendo coincidere la sua freccia ‘f’ con l’asse ‘z’ ed infine salviamo in ‘.dxf’ per poi aprirlo in SAP.(immagine 3)

‘File’>’Import’>’Autocad dxf’

Si aprirà una finestra dove dovrà essere fleggata solamente la ‘Z’, all’’ok’ si aprirà un’altra finestra dove alla cove ‘Frames’ nel menù a tendina dobbiamo selezionare il nome del nostro file dxf.

3. Importazione del file dxf.

4| Una volta importata la figura assegnare due cerniere negli appoggi o ‘sezioni di imposta’. (immagine 4)

Poi selezionare a sinistra della ‘sezione di chiave’ e andare su ‘Assign’>’Release Partial Fixity’ e all’apertura della finestra spuntare solamente ‘Start’ in corrispondenza alla voce ‘Moment Mayor 33’ ed infine ‘OK’.

Fare la stessa cosa selezionando a destra della cerniera in chiave, ma spuntando solamente ‘End’ in corrispondenza della stessa voce del passaggio precedente.

4. Cerniere.

5|Selezionare ora tutto l’arco quindi ed assegnare una sezione di cemento armato di dimensioni 0,4cmx0,3cm. Ora riselezionare tutto l’arco e andare sull’icona in alto al centro (raffigurante un quadratino con un flag) ‘Set Display Options’ e all’apertura della finestra fleggare la voce ‘Extrude View’.(immagine 5)

5. Sezione dell’arco.

6| Assegnamo adesso un carico distribuito, ma prima annulliamo il peso stesso della struttura.

Per assegnare il carico distribuito andiamo su ‘Assign’>’Frame Loads’>’Distributed’. Si aprirà una finestra ‘Frame Distributed Loads’ , per prima cosa selezioniamo in ‘Load Pattern Name’ il nostro carico di prima e poi alla voce ‘Direction’ scegliamo ‘Gravity Projected’ ed infine in basso alla voce ‘Load’ assegnamo un carico di ‘10’ KN.(immagine 6)

6. Compilazione dei dati.

7|possiamo adesso avviare il tasto ‘Run’ per verificare i risultati.(immagine 7)

7. Run.

8| Vediamo ora come nei casi di un Arco a Sesto Acuto ed un Arco Ribassato aventi la stessa luce valga la proporzionalità indiretta tra la spinta dell’arco e la sua freccia.

L’arco è un esempio di struttura spingente che reagisce per forma. Ciò gli permette infatti di avere una ottimizzazione delle sollecitazioni, limitando il momento flettente e trasformandolo in sforzo normale, che lavora in maniera omogenea su tutta la sezione; per questo è una struttura adatta a coprire grandi luci.

In questa esercitazione analizzeremo il comportamento di 2 tipi di arco, per capire in che modo varia la spinta della struttura. Imponiamo per ognuno una Luce pari a 6 m e una sezione di 30 cm x 40 cm, variando nei vari casi solamente la freccia f .

Per risolvere una struttura ad arco con il software SAP dobbiamo prima disegnarlo in autocad o rhino e successivamente importarlo in formato .dxf, poiché su SAP è impossibile disegnare linee curve (il programma infatti riconosce l’arco come un insieme di punti).

1| ARCO A TUTTO SESTO

Analizziamo il primo caso, un arco a tutto sesto dove la freccia è pari a metà della luce ( f= L/2 = l)

1. Una volta disegnato l’arco in autocad e ruotato in modo da far coincidere la freccia con l’asse Z, lo importiamo su Sap.

 2. Essendo un modello di arco a tre cerniere, è necessario innanzitutto vincolare con due cerniere esterne i punti di imposta. Selezioniamo i punti e andiamo su Assign/Joint/Restraints.

3. Nella sezione in chiave è necessario selezionare i segmenti della trave, andare su Assign / Frame / Releases/     Partial Fixity e rilasciare il momento una volta a destra e una volta a sinistra, per creare una cerniera interna.

4. Successivamente assegniamo una sezione pari a 30 cm x 40 cm in cemento armato        all’intera struttura, selezionando Assign / Frame /Frame Section. Sul comando display    selezioniamo Extrude View in modo da vedere la sezione omogenea.

5. A questo punto assegniamo un carico distribuito, che deve essere mandato in maniera    uniforme rispetto alla curvatura dell’arco, attraverso il comando gravity projected.  Andiamo a togliere il peso proprio della struttura e applichiamo un carico q pari a 10 KN/m.

6. Attraverso l’analisi possiamo verificare le reazioni vincolari, che sono rispettivamente 30  KN di forza verticale e 15 KN di forza orizzontale, in quanto rappresentano uno la reazione  vincolare al carico verticale, ql = 10 * 3 = 30 KN e una la spinta orizzontale dell’arco  ql²/2f  = 10 * 30²/2 * 3 = 15 KN.

Dal diagramma dei momenti possiamo vedere come esso si annulla in corrispondenza delle imposte e della sezione in chiave.

Per quanto riguarda sforzo normale e taglio avremo in imposta 

N = ql

T = ql/2

mentre nella sezione di chiave

N = ql/2

T = 0

2| ARCO RIBASSATO

Come nel punto precedente, disegniamo la struttura prima in autocad e poi la importiamo su Sap, applicando le stesse caratteristiche vincolari, di sezione e di carico viste per l’arco a tutto sesto.

L’unico parametro che modificheremo sarà la freccia f, che poniamo ( f= L/4 = l/2)

Come ci aspettavamo, la spinta orizzontale dell’arco ql²/2f  è , a parità di luce, il doppio di quella dell’arco a tutto sesto, in quanto la freccia è più piccola della precedente. Quindi possiamo dire l’arco ribassato si comporta più da “arco”, in quanto c’è più attitudine a lavorare a sforzo normale, come vediamo anche dal diagramma del momento, minore rispetto a quello dell’arco a sesto acuto.

Dato che SAP non ha modo di modellare archi è necessario crearne uno da Autocad. Ne disegno uno a tutto sesto, passo alla visualizzazione assonometrica e lo ruoto attorno all’asse x, cosicchè la verticale corrisponda all’asse x. Per una questione di comodità, spezzo l’arco in chiave così da avere già le due parti d’arco separate. Dopo aver cambiato livello (SAP non legge il layer 0) salvo il file in formato dxf.

Nell’importare il file su SAP bisogna, nelle impostazioni di importazione, cambiare NONE in Frames e cambiarlo con Arco (il nome del layer da Cad)

L’arco viene visto come un vasto insieme di punti, che il programma assegna in corrispondenza dei punti angolosi dati dall’approssimazione della forma. Prima cosa da fare è dire al programma che in chiave c’è una cerniera. Seleziono così la metà di sinistra e vado in Assign/Frame/ReleasePartialFixity. Per questa metà d’arco spunto lo Start del Moment 33, per l’altra metà spunterò End

Dopo aver assegnato le cerniere all'imposta dell'arco vado a definirne il materiale (cemento armato) e la sezione (40x30cm)

Fatto ciò assegno un carico distribuito (10KN) che gravi uniformemente sull’intera struttura 

Avvio l'analisi e visualizzo prima le reazioni ai vincoli, poi la deformata, poi il grafico del momento per accertarmi che si annulli in corrispondenza del concio di chiave e all'imposta dell'arco

Stessa procedura va svolta nella verifica di un arco ribassato. Mi aspetto, per costruzione, che le spinte orizzontali siano ben più grandi di quelle riscontrate nell'arco a tutto sesto (si tratta di un arco che spinge molto nelle cerniere di imposta). 
Torno quindi su Autocad, rimodello l'arco assegnando una luce di 6m e lo importo di nuovo su SAP

Mantenendo il carico di 10KN assegno le due cerniere nell'imposta e la cerniera interna in chiave

Dopo aver avviato l'analisi visualizzo la deformata per accertarmi di aver impostato bene la struttura (il grafico dei momenti riportato a sinistra me lo conferma)

Vado infine a controllare quello che dicevo all'inizio, ovvero che, essendo un arco ribassato, la spinta orizzontale sia maggiore di quella dell'arco a tutto sesto a parità di luce

Dato che l'arco è molto ribassato la reazione orizzontale nel vincolo è 3 volte e mezzo quella riscontrata nell'arco a tutto sesto

(eseguito con Giordano Proietti Rocchi)

In questa esercitazione andremo ad analizzare la ripartizione delle forze sismiche in una struttura di un edificio ad un piano. Nella progettazione strutturale non esistono solo le azioni (carichi) verticali, ma anche azioni orizzontali, qualunque sia la loro natura (azioni sismiche, vento, spinte della terra etc.). Le forze sismiche sono forze orizzontali e per far fronte a questo, è necessario dotare l’edificio di controventi; un telaio, se ben pensato in fase progettuale, può resistere oltre che alle azioni  verticali, anche alle azioni orizzontali a cui la struttura è sottoposta, e quindi agire da vero e proprio controvento naturale. Per questo studio adotteremo un impalcato in Cemento armato costituito da telai Shear Type e ne calcoleremo il centro delle masse, il centro delle rigidezze e il suo comportamento quando sottoposto a forza sismica orizzontale.

Vediamo ora come costruire ed analizzare un telaio shear type:

1 | Per prima cosa andiamo a disegnare le rigidezze dei controventi orizzontali e verticali (Kv e Ko) dei singoli telai. Per essere rappresentate useremo come esemplificazione una molla, che meglio raffigura la reazione alle spinte orizzontali di questi controventi, aggiungendo anche gli assi X e Y, dato che ci servirà un punto di origine su cui fare calcoli di natura geometrica.

 Andiamo ora a riempire con gli opportuni dati richiesti tutta la tabella Excel.

Qui è possibile calcolare il ‘centro di massa’, il ‘centro delle rigidezze’ e la ‘ripartizioni delle forze sismiche’

Primo passo, calcolare la rigidezza di ogni singolo telaio. Per fare ciò, necessitiamo del modulo di Young (a seconda del tipo di materiale che utilizziamo), il momento di inerzia (che ovviamente varierà in base alla sezione) di ogni pilastro, e l’altezza.

Per il momento di inerzia, data la forma quadrata del pilastro, useremo la formula b⁴/12 (b*h³/12 con h e b uguali).

Dati:

[modulo di young] – 25000 N/mm²

[altezza pilastri] – 3 m

[momento di inerzia] – 67500 cm⁴ (sezione quadrata di lato 30 cm)

Dato che il nostro telaio è di tipo Shear-Type la struttura orizzontale è infinitamente rigida e quindi indeformabile assialmente mentre i pilastri sono soggetti a flessione. Il telaio perciò subirà, sottoposto a forze orizzontali, solamente spostamenti rigidi orizzontali senza deformarsi, poiché infinitamente rigido. Solamente i pilastri subiranno una deformazione.

La rigidezza traslante (K) quindi sarà calcolata come:
K=12*EI/h^3

2| Il passaggio successivo è quello di scrivere le distanze ‘orizzontali’ e ‘verticali’ dei singoli controventi rispetto all’origine.

3| Suddivideremo poi il nostro impalcato in figure geometriche semplici, per individuarne i centri geometrici degli stessi e quindi del sistema  (‘centro di massa’).

Le cooordinate del centro di massa dell’intera struttura possono essere trovate come sommatoria delle distanze dei singoli centri di massa rispetto agli assi (x o y a seconda di ciò che si vuole calcolare) moltiplicate per le rispettive aree e dividendo il totale per l’area complessiva.

Gmx=∑xG*Ai/Atot

Gmy=∑yG*Ai/Atot

4| Calcoliamo ora le coordinate del ‘centro di rigidezza’, e le distanze di ogni singolo controvento da queste e per trovare le coordinate procederemo allo stesso modo, calcolando a sommatoria del prodotto tra le rigidezze di ogni controvento per le rispettive distanze (verticali o orizzontali in base alla coordinata da trovare) il totale diviso la rigidezza verticale o orizzontale totale. 

Grx=∑Kvi*dvi/Kvtot

Gry=∑Koi*doi/Kotot

Troveremo cosi la rigidezza torsionale totale della struttura.

Kγ = ∑Ki*di²

Individueremo quindi il centro di massa e il centro di rigidezza dell'intero impalcato

5| Scegliamo quindi un tipo di pacchetto per il solaio, in modo da definire i carichi strutturali, permanenti ed accidentali che vi agiscono. Dalla somma dei carichi strutturali, permanenti e accidentali della struttura (qs, qp e qa), calcoleremo i carichi sismici che verrano ripartiti lungo gli assi X e Y per ogni controvento.

MODELLAZIONE SU SAP

Come nelle precedenti esercitazioni, analizzeremo il nostro sistema sul software SAP. Il primo passaggio è quello di ridisegnare l’impalcato, assegnando come vincolo alla base dei pilastri degli incastri.

Procediamo adesso con la definizione della sezione dei pilastri in cemento armato, definendo una sezione di dimensioni 30 cm x 30 cm e delle travi di dimensioni 30 cm x 60 cm.

Riportiamo ora la posizione del centro di massa e del centro di rigidezza con i dati precedentemente trovati con il calcolo del foglio excel. 

[!] per disegnare un punto su SAP, basta cliccare sull’icona che raffigura un punto, in alto a ssinistra dello schermo. Si aprirà una piccola finestra dove possiamo inserire le coordinate del punto rispetto all’origine, una volta inseriti i dati cliccare sull’origine del sistema destroso e chiudere la finestra.

Ora dobbiamo rendere rigida la struttura, quindi andremo a selezionare tutti i nodi (trave/pilastro) ed il centro delle rigidezze. Poi clicchiamo ’Assign’>’Joint’>’Costrains’. Si aprirà una finestra , ‘Assign/Define Costrains’ e a sinistra sul menù a tendina selezionare la voce ‘Diaphragm’. Infine su ‘OK’

Dal momento che stiamo utilizzando un telaio shear type, renderemo indeformabili le travi: per farlo possiamo decidere di aumentare considerevolmente il momento di inerzia, andando su ‘Assign’>’Frame’>’Frame Sections’.

Si aprirà una finestra, ‘Frame Properties’, selezioniamo la nostra sezione delle travi e quindi su ‘Modify/Show Property’, si aprirà un’altra finestra, ‘I/Wide Flange Section’. Cliccare su ‘Set Modifiers’.

Nell’ultima finestra che si apre, ‘Frame Property/Stiffess Modification Factors’, andiamo ad aumentare la voce ‘Moment of Inertia about 2 axis’. Infine su ‘OK’. 

Possiamo adesso assegnare una forza puntuale applicata al centro delle rigidezze, in direzione Y pari alla ‘Forza Sismica Orizzontale’ trovata in precedenza con il foglio excel (132 KN)

Avviamo l’analisi e vediamo come si comporta l’impalcato.  Come previsto, la deformata mostra una traslazione rigida lungo l’asse y dell’impalcato (la rotazione è praticamente irrisoria).

In questa esercitazione andremo a studiare il comportamento di una struttura semplice (1 piano) sottoposta a forze dovute a un sisma. 

Prendiamo in considerazione dei telai Shear Type e individuiamo i controventi orizzontali e verticali, scegliamo la sezione dei pilastri con conseguente modulo di resistenza e momento d'inerzia. Poi al fine di compilare la tabella excel numeriamo i pilastri per individuare quali formeranno ogni controvento.

Passiamo direttamente al foglio excel

Step1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

Per ogni telaio (controvento) inseriamo il numero corrispondente di pilastri che lo compongono, con la loro altezza, il modulo di restistenza e il momento d'inerzia che nel nostro caso sarà sempre lo stesso. troviamo cosi la rigidezza traslante di ogni telaio.

Step 2:Tabella sinottica controventi e distanze

In questa tabella inseriamo le rigidezze traslanti di ogni telaio insieme alla distanza di ogni controvento dall'origine di un sistema di riferimento cartesiano. Nel nostro caso l'origine coincide con la posizione del pilastro 11.

Step 3:Calcolo del centro di massa

Riconduciamo la struttura a delle forme geometriche semplici per semplificare il calcolo delle aree e del loro centro.

Alla fine avremo le coordinate che individuano all'interno della struttura il centro di massa 

Step 4: Calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Analizziamo le rigidezze totali dei controventi orizzontali e verticali fino ad avere le coordinate del centro delle rigidezze tramite il quale possiamo misurare la distanza da ogni controvento e trovare la rigidezza torsionale globale.

Step 5: Analisi dei carichi sismici

Per i carichi strutturali, permanenti e accidentali utilizziamo gli stessi del solaio in laterocemento della seconda esercitazione.

qs= 3,45 Kn/m2   qp=3,3 Kn/m2   qa= 2,00 Kn/m2

Step 6/7: Ripartizione delle forze sismiche lungo x e lungo y

Il prossimo passo è controllare questi dati su SAP

Disegnamo l'impalcato su SAP (compresi centro di rigidezza e di massa) assegnando le sezioni di travi e pilastri, applicando degli incastri a terra. 

Dato che in SAP non è possibile definire un telaio Shear Type, applicheremo alla sezione scelta un momento d'inerzia infinitamente alto.

Applichiamo a tutti i punti un vincolo Diaphragm affinchè la struttura si comporti come un unico oggetto

Applichiamo la forza orizzontale trovata nello step 5

Avviamo l'analisi

Vediamo come il centro delle rigidezze trasli di una quantità trascurabile. Inoltre dato che il centro delle rigidezze non coincide con quello di massa, l'impalcato ruota. Per evitare questo comportamento dovremmo avvicinare il più possibile il centro delle rigidezze al centro di massa

Una volta definita una struttura vado a studiarne il comportamento in seguito a una forza sismica che andrò ad applicare nel centro delle rigidezze. L'impalcato, a un piano, è costruito in cemento armato ed è controventato

Con Ko sono indicati i controventi orizzontali, con Kv i verticali. I pilastri sono alti 2,70m e hanno lati 30x30cm.
Vado a inserire i dati in tabella, analizzando le caratteristiche di ciascun telaio volta per volta

Nella seconda tabella sono riassunte tutte le rigidezze dei vari controventi e sono riportate le relative distanze dal punto di origine (che ho posizionato in basso a sinistra, in corrispondenza del pilastro 10)

Torna utile, per calcolare il centro di massa, suddividere la struttura in aree più semplici (A1,A2 e A3). 

A questo punto è semplice ricavare il centro delle rigidezze con la tabella successiva

Il tutto è stato rappresentato nel disegno sottostante dove con Gtot è indicato il centro di massa, con C il centro delle rigidezze

Per l'analisi delle forze sismiche che intervengono sulla struttura dobbiamo tener conto sia dei carichi permanenti G sia di quelli accidentali Q. Va considerato che essi andranno poi moltiplicati per il coefficiente di contemporaneità che è un fattore che tiene conto della probabilità che determinati eventi si verifichino contemporaneamente. Il peso sismico verrà poi moltiplicato per un coefficiente di intensità sismica che dipenderà dalla zona sismica in cui si realizza l'opera

A questo punto, tramite l'ultima tabella, osserviamo come si distribuiscono le forze sismiche orizzontali lungo x e lungo y. Da tener presente che i pilastri sono incastrati alla base ma sono invece liberi di muoversi all'estremità superiore (seppur tutti collegati dallo stesso solaio)

A questo punto iniziamo la modellazione della struttura su SAP a partire da una griglia semplice con il passo da 1m. Come dicevo prima, i pilastri saranno incastrati alla base

Vengono definite le sezioni di travi e pilastri assegnando il cemento armato come materiale

e la struttura si presenta così

Come si vede dal primo disegno di SAP ho riportato anche il centro di masse e il centro di rigidezza della struttra e, selezionando questi con i nodi di incontro di tutti i pilastri con la trave vado a far sì che SAP riconosca la trave come una shear type. Uso inoltre il comando Diaphragm per far sì che tutti i punti si muovano insieme costituendo una unica struttura

Trascurando il peso proprio, vado ad assegnare una nuova forza sismica che sarà applicata come forza orizzontale in direzione Y di 112KN nel centro delle rigidezze

Avviando l'analisi, questi sono i risultati

I pilastri si deformano a forma di S, come ci si aspettava da una struttura con telaio Shear Type