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ESERCITAZIONE 4 - METODO DELLE FORZE

Il metodo delle forze consente di risolvere strutture iperstatiche riconducendole a sistemi isostatici equivalenti.  

la struttura analizzata viene ricondotta ad una struttura isostatica di riferimento, rispettando però la condizione dicompatibilità cinematica ovvero la congruenza degli spostamenti e delle rotazioni in ciascuna delle strutture isostatiche di rifermento.

STRUTTURA IPERSTATICA DI PARTENZA

Analizzando la struttura abbiamo 3 gradi di libertà e 6 gradi di vincolo

Ci sono quindi 3 incognite iperstatiche, quindi impostiamo una struttura isostatica equivalente in cui per ciascun grado di iperstaticità corrisponda una reazione vincolare in modo da avere una struttura corrispondente a quella iperstatica.

STRUTTURA ISOSTATICA DI RIFERIMENTO

Sostituiamo quindi le 3 cerniere esterne delle campate centrali con delle cerniere interne permettendo la rotazione a destra e a sinistra di ciascuna cerniera.

Inoltre per il principio di simmetria sappiamo che X₁ = X₃ quindi utilizzeremo come incognite solo X₁ eX₂.

    EEQUAZIONI DI COMPATIBILITA’ CINEMATICA

Individuate le reazioni incognite, dobbiamo scrivere le equazioni di compatibilità cinematica capaci di ripristinare il vincolo iperstatico, soppresso attraverso la trasformazione dello stesso in reazione vincolare.

∆φ_B = 0 à  φ_Bs = φ_Bd  à  φ_Bs - φ_Bd = 0

∆φ_C = 0 à  φ_Cs = φ_Cd  à  φ_Cs - φ_Cd  = 0

∆φ_D = 0 à  φ_Ds = φ_Dd  à  φ_Ds - φ_Dd=0

Per il principio di simmetria

φ_Ds  = - φ_Bd

φ_Dd  = - φ_Bs

        RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

sostituiamo nelle equazioni di compatibilità cinematica i rispettivi valori dati dalle rotazioni in ciascuna cerniera.

Mettiamo a sistema e otteniamo i valori di X₁  e X₂ 

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZZIONE DEGLI EFFETTI

Definite le incognite delle reazioni vincolari x₁ e x₂ applichiamo il principio di sovrapposizione degli effetti, semplificando la struttura isostatica di riferimento mediante due strutture: una dipendente dal carico q e l’altra dipendente dalle reazioni vincolari x. 

Scomponiamo la struttura in 4 travi doppiamente appoggiate, studiando le reazioni vincolari dovute al carico q e ai momenti x₁ e x₂   e in ognuna delle 4 travi

A questo punto è possibile sovrapporre gli effetti dei due sistemi e avere lo schema delle reazioni vincolari della nostra struttura di partenza.

REAZIONI VINCOLARI

Ora è possibile disegnare il grafico del Taglio e del Momento Flettente

Un graticcio di travi è definibile tale quando non vi è una gerarchia strutturale tra le travi; non essendoci travi primarie e secondarie le travi avranno tutte la stessa sezione, così come i momenti di inerzia saranno simili nelle due direzioni.

Sfrutteremo questo esercizio per analizzare il problema della TORSIONE, generata proprio dalla stretta collaborazione tra le travi che compongono il graticcio.

Svolgiamo questo esercizio con la SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI, analizzando la trave AC e la trave BD separatamente.

1) ANALISI DELLE DEFORMATE DOVUTE ALLO SPOSTAMENTO δ

Tale spostamento lo vedo come un cedimento vincolare che "separa in due ogni singola trave"

2) ANALISI DEGLI EFFETTI DOVUTI ALLA ROTAZIONE φ

La rotazione φ_y diventa TORSIONE per l'altra asta; si attivano quindi i M_t che si oppongono alla torsione.

3) STUDIO DEI TAGLI

Scrivo l'equazione:

4) STUDIO DEI MOMENTI

Scrivo l'equazione:

E quindi:

ESERCIZIO 1:

In questa prima esercitazione studieremo il comportamento torsionale di una struttura iperstatica in tre dimensioni, per poi verificarla tramite SAP2000.

Si tratta dunque di un telaio composto da tre aste vincolate ad incastro e da un'asta a sbalzosulla quale è applicato un carico distribuito q (10KN). Inoltre la struttura è 12 volte iperstatica (in 3d un incastro conta 6 gradi di vincolo) considerando 18 gdv e 6 gdl.

Lo sbalzo è di per sè isostatico quindi studiando i diagrammi delle sollecitazini, possiamo vedere come effetivamente esso sul nodo e possiamo sostituire la mensola con un momento (ricordiamo che consideriamo il pilastro assialmente indeformabile, possiamo perciò escludere l'azione dello sforzo normale).

Questo momento provoca una rotazione delle tre aste, creando due reazioni differenti: le due aste complanari reafiranno tramite la rigidezza flessionale e l'asta "perpendicolare" con la rigidezza torsionale. A questo punto possiamo risolvere l'iperstaticità delle struttura grazie al metodo della linea elastica:

riportiamo i momenti ricavati dall'eq. della inea elastica:

Equilibrio alla rotazione:

Mi ricavo la rigidezza (dove Ra è la somma delle rigidezze):

I momenti:

Ora l'obbiettivo è di capire in che modo la geometria delle sezioni ed il loro materiale influiscono sulla resistenza a torsione. Per fare ciò, prendiamo in esame quattro sezioni, due in acciaio (ipe, prof. scatolare) e due in cls (rettangolare e circolare), e confronteremo le loro restistenze (per facilitare la valutazione, le sezioni dello stesso manteriale hanno anche la stessa area).

Inizieremo mostrando i valori dei calcoli a mano per poi verificarli con SAP.

NB: oltre che con SAP possiamo verificare i risultati sommando i tre momenti, il risultato dovrà essere uguale a ql^2/2 (5KNm). Facendo ciò ho capito che le sezioni meno resistenti a torsione "obbligano" le aste inflesse a prendersi maggiore carico, tutto questo per un equilibrio più precario.

Esercizio 2:

In questo esercizio analizzeremo il comportamento di una struttura a graticcio di travi, ossia n intreccio di travi identiche ed ortogonali fra loro che, senza alcuna gerarchia collaborano per resistere ai carichi. Questo tipo di struttura può distinguersi tramite due particolarità: le travi essendo uguali devono avere tutte lo stesso momento d'inerzia e sopratutto devono avere il nodo ad incastro per trasmettere anche il momento.

Nel nostro caso studieremo la reazione di un graticcio semplice composto da due aste perpendicolari. Una di queste aste, essendo incastrata ad un terzo della sua lunghezza, provochera una rotazione che a sua volta genererà una torsione, tensione caratteristica di queste strutture.

Ogni corpo può traslare e ruotare in tre dimensioni, può dunque avere dodici gradi di libertà. Analizzando il nodo, sappiamo che non può ne traslare lungo x che lungo y dato che consideriamo le aste assialmente indeformabili, inoltre sappiamo che il nodo subisce una sola rotazione lungo l'asse y.

Le nostre variabili sono dunque due, lo spostamento lungo z e la rotazione lungo y.

Di seguito riportiamo gli "schemi noti" che torneranno utili per le varie equazioni di equilibrio:

A questo punto possiamo risolvere il problema grazie al metodo della sovrapposizione degli effetti:

Azione dovute all'abbassamento:

Azioni dovute alla rotazione del nodo:

I due equilibri (traslazione verticale e rotazione)

Ora possiamo sclegliere sezioni e materiali per confrontare i risultati.

DIMENSIONAMENTO TRAVE IN LEGNO

Ci è stato richiesto di fare un progetto di massima di una trave soggetta a momento flettente massimo.      L'esercizio è stato svolto per tre tipologie costruttive diverse: solaio in legno, solaio in acciaio e solaio in latero-cemento.                                                                                                                                                                     

Andiamo ad individuare quella che è all’interno della struttura la trave maggiormente sollecitata

Andiamo ad analizzare  il solaio in legno e quelli che sono i carichi strutturali permanenti ed accidentali.

Per il progetto di una trave stabiliamo i materiali con i loro pesi specifici, e i carichi a cui è soggetta la trave 

Il solaio in legno è composto da:

·         pavimento in cotto con peso specifico 18 Kn/m3

·         sottofondo composto da malta di calce con peso specifico 18 KN/m3

·         caldana di malta cementizia con peso specifico  25 KN/m3

·         assito in legno di conifera con peso specifico di 4 KN/m3

·         travetti in legno lamellare di conifera 10x20 con peso specifico di 5,3 KN/m3

La porzione di solaio presa in considerazione per svolgere i calcoli è di un metro quadrato

CARICHI STRUTTURALI

travetti in legno (10x20 cm)= (0,1m*0,2m*1m)*5,3 KN/m3 = 0,106 KN/m     

i travetti hanno un interasse di 0,50 m, se dividiamo il  risultato per l’interasse ci viene fornito il peso di tutti i travetti 0,106/0,5 = 0.212 KN/mq

assito in legno (s=4 cm) = (0,04m*1m*1m)*4 KN/m3 = 0,16 KN/mq

caldana (s=4 cm) = (0,04m*1m*1m)*25 KN/m3 = 1 KN/mq

QS = 1 + 0,16 + 0,212 = 1,372 KN/mq

CARICHI PERMANENTI

sottofondo (s=3 cm)= (0,03m*1m*1m)*18 KN/m3 = 0,54 kN/mq

impianti = vengono calcolati circa 0,5 KN/mq

tramezzi = vengono calcolati circa 1 KN/mq

pavimento (s=2 cm) = (0,02m*1m*1m)*18 KN/m3 = 0,36 KN/mq

QP = 0,54 + 0,5 + 1 + 0,36 = 2,40 KN/mq

CARICHI ACCIDENTALI

QA = per abitazione 2 KN/mq

Inseriamo i dati richiesti nel foglio di calcolo

Il foglio ci restituisce una trave alta 38,12 cm, e per approssimazione scegliamo una sezione di 30x40 cm

La trave deve sostenere anche il proprio peso, quindi procediamo con la verifica aggiungendo al carico strutturale il peso della trave, che al metro lineare è di (0,3m*0,4m*1m)*5 KN/m3 = 0,60 kN/m

nel foglio di calcolo il qs viene moltiplicato per l'interasse (area di influenza) mentre il peso della trave principale non agisce su tutta quest'area, ma solo su se stessa. Quindi dividiamo il risultato per l'area di influenza (4m).

trave in legno (30x40cm) = 0,60 KN/m / 4 m = 0,15 KN/mq

QS = 1,372 KN/mq + 0,15 KN/mq = 1,522 KN/mq

L'altezza è aumentata a 38,61 cm, nettamente inferiore alla nostra sezione scelta, quindi la trave è verificata

In questa esercitazione analizzeremo un impalcato strutturale soggetto a spinte orizzontali (vento,sisma,ecc...). Se consideriamo una struttura compasta da soli travi e pilastri, oltre a resistere ai carichi verticali, se diposta correttamente può sopprtare anche i carichi orizzontali e quindi può agire da controvento.

Esaminiamo un impalcato tipo in cls armato, composto da 14 pilastri di sezione rettangolare 30x40 cm (2 momenti d'inerzia differenti uno lungo l'asse x e lungo l'asse y)

quindi:

E= 21000 N/mm²

I_x=bh³/12 = 90000,00 cm⁴ (pilastri A1,A2,B1,B2)

I_Y=hb³/12 = 160000,00 cm⁴ (pilastri C1,C2,C3,C4,C5,D1,D2,D3,D4,D5)

dato che i controventihanno un comportamento elastico, posso rappresentarli con delle molle.

1) Calcolo delle regidezze traslanti dei controventi dell'edificio

in queste tabelle riportiamo i valori del modulo elastico, l'altezza dei pilastri e i valori dei momenti d'inerzia.

2) Tabella sinottica controventi e distanze

sono riportate li distanze orizzontali e verticali dall'origine O

3) Calcolo del centro di massa

Per calcolare il centro di massa ho diviso la struttura in 2 aree, una di 168 m² e l'altra di 60 m². Successivamente ho inserito le distanze dei loro baricentri dall'origine O in manieta le da ricavarci le coordinate dell'impalcato.

4) Calcolo del centro delle rigidezze e delle rigidezze globali.

Nella tabella sono riportate le coordinate del centro delle rigidezze, le distanze di ogni controvento dal centro delle rigidezze e la rigidezza torsionale che si ottine attraverso la sommatoria di ogni rigidezza moltiplicata per la distanza al quadrato dal centro delle rididezze.

5) Analisi dei carichi sismici

6-7) Ripartizione della forza sismica lungo x e y

le 2 tabelle riportano i valori del momento torcente della struttura, le traslazioni e le rotazioni lungo x e y.