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La trave Vierendeel, dall'ingegnere che la brevettò, è una trave senza diagonali, composta da due correnti paralleli deformabili e montanti assialmente rigidi ortogonali ad essi. I nodi interni della trave devono essere in grado di trasmettere momenti flettenti (cosa che nelle travature reticolari non avviene, essendo essi delle cerniere).

Infatti la maglia triangolare è nel suo insieme indeformabile anche se sono ammesse rotazioni nei nodi, mentre quella rettangolare non lo è e quindi l'indeformabilità viene garantita con giunzioni in grado di impedire la rotazione reciproca tra le aste.

In questo esercizio NON possiamo sfruttare la simmetria, anche se i ragionamenti e il procedimento saranno del tutto analoghi all'esercizio precedente.

1) DISTRIBUZIONE DEL TAGLIO

Le forze applicate si trasformano in taglio sulle travi, iniziamo dalla 6 procendendo verso sinistra:

Abbiamo quindi un diagramma del TAGLIO con andamento costante, come il precedente esercizio, ma che trova il suo massimo valore a 3F (nettamente superiore ai 3/4 F dell'esercizio con la trave 4 volte incastrata).

2) DISTRIBUZIONE DEL MOMENTO SUGLI ELEMENTI ORIZZONTALI

Anche in questo caso determiniamo il MOMENTO moltiplicando il taglio per metà della luce.

3) DISTRIBUZIONE DEL MOMENTO SUGLI ELEMENTI VERTICALI

Attraverso l'equilibrio dei NODI determiniamo il MOMENTO sui corpi rigidi:

4) DISTRIBUZIONE DEL TAGLIO NEGLI ELEMENTI VERTICALI

Per determinare il TAGLIO sommiamo i momenti agenti sull'elemento e dividiamo per la sua luce. Il momento infatti dimensionalmente è una forza per una lunghezza, mentre il taglio una forza.

Possiamo quindi ora disegnare il diagramma:

5) DEFORMATA E ABBASSAMENTO

La deformata, seguendo la conformazione del telaio SHEAR TYPE, avrà questa conformazione:

Lo spostamento δ dipende dal TAGLIO che sollecita l'asta (si prendono in considerazione i correnti superiore ed inferiore partendo dall'asta direttamente incastrata con l'esterno del sistema); sappiamo infatti che:

e quindi, svolgendo i calcoli, troveremo che:

Questo vuol dire che l'ELEMENTO 1 (il primo sulla sinistra) subisce una deformazione 6 volte MAGGIORE di quella dell'ELEMENTO 6 (l'ulitmo a destra).

Per questa esercitazione è stata chiesta la modellazione di una travatura reticolare in SAP2000 importando un modello effettuato con un software di disegno come Autocad o come Rhinoceros.

Per travatura reticolare si intende una struttura formata da soli triangoli che hanno come caratteristica quella di reagire solo a sforzo normale. Questa inoltre è condizione necessaria per la definizione di una travatura reticolare isostatica.

Questa trave, quando è fatta in autocad, deve essere composta da tutte linee singole su un layer diverso dal layer 0. La grandezza della travatura è: 3L di lunghezza, 2L di larghezza e L di altezza. Salviamo nel formato DXF.

Entriamo in SAP  e importiamo il file dopo aver creato un nuovo progetto. Sciegliamo l’importazione da file di Autocad.dxf. Le unità di misura saranno (KN, m, °C). Selezioniamo l’intero reticolo e andiamo su EDIT àEDIT POINT àMERGE JOINTS à MERGE TOLERANCE e impostiamo 0,01che ci permette di tollerare un errore nella giunzione delle aste fino ad 1cm, valore tollerabile ai fini dei calcoli.

Impostiamo quindi i vincoli che dovranno essere almeno 3 per vincolare i gradi della struttura isostatica, facendo attenzione che si trovino tutti sfalzati rispetto agli altri.

Si imposta quindi il materiale che ci permette di dare un valore al modulo elastico E. DEFINE àMATERIALSe scegliamo “A992Fy50”. Questo materiale è quello corrispondente all’acciaio con una E=200000

Possiamo quindi definire la sezione delle aste scegliendo delle aste tubolari cave tramite il comando DEFINE àSECTION PROPERTIES àFRAME SECTIONS. Definita la sezione la dobbiamo quindi assegnare alle aste percio le selezioniamo tutte e andiamo su ASSIGN àFRAME àFRAME SECTIONS.

Selezionando i 12 nodi superiori dobbiamo quindi assegnare una forza che grava sulla travatura. Impostiamo una forza puntuale negativa (ossia che va verso il basso) di 40KN. Una per ogni nodo:ASSIGN àJOINT LOADS àFORCES

Bisogna ovviamente ricordarsi di togliere il peso proprio della struttura dal calcolo assegnando in “load patterns” il valore 0 in “self weight multiplier”.

Essendo tutte queste aste legate da una cerniera interna si dovrà quindi imporre la mancanza di momento all’inzio e alla fine delle aste impostando il “rilascio del momento” tramite: ASSIGN àFRAME àRELEASES àMOMENT 33 (MAJOR) àSTART 0 – END 0.

Siamo quindi in grado ora di avviare l’analisi e di vedere i grafici e le tabelle inerenti alla struttura. Nel caso delle travature reticolari la tabella ci consente di individuare immediatamente i tiranti e i puntoni, in quanto i primi hanno valore di N > 0, mentre i secondi hanno N < 0.

In allgato lascio il file pdf con la lista delle forze agenti su ogni asta.

Si vuole, nella seguente esercitazione, analizzare come un impalcato reagisce a forze orizzontali tramite l'azione dei controventi.

IMPALCATO DI RIFERIMENTO - piano tipo in c.a. -

L'impalcato presenta due diverse orditure di solaio. Abbiamo pilastri di forma rettangolare, le cui dimentsioni sono le seguenti :

I controventi presentano un'elasticità che ci permette di considerarli cedevoli. Possono dunque essere semplificati con delle molle.

Verifichiamo l'efficacia dei controventi analizzando le loro rigidezze. Per farlo, occorre trovare il centro delle rigidezze e ripartire le forze orizzontali. Analizziamo il calcolo utilizzando un foglio excel.

STEP 1 : Calcolo delle rigidezze traslanti e dei controventi dell'edificio

Inserendo i seguenti dati nella tabella :

• modulo di elasticità del Cls E=21000 N/mm²;
• momento d'inerzia di ciascun pilastro ;
• altezza dei pilastri (320 cm);

possiamo calcolare qual'è la rigidezza che i vari telai oppongono alla translazione lungo i loro assi.

STEP 2 : Tabella sinottica controventi e distanze

Vengono riportate le distanze verticali e orizzontali dei telai dal punto di origine O

STEP 3 : Calcolo del centro di massa

Semplificando l'impalcato in forme semplici (rettangoli) , mi calcolo facilmente l'area di ogni rettangolo e calcolo il centro di massa facendo la somma delle cordinate lungo gli assi x e y, per l'area di ogni rettangolo suddiviso, diviso l'area totale.

STEP 4 : Calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Il centro delle rigidezze è il centro del sistema di forze considerate, in cui viene applicata la risultante delle rigidezze traslanti dei controventi lungo l’asse x ed y. Nella tabella vengono indicate le distanze di ogni telaio dal centro di rigidezza e la rigidezza torsionale Kϕ, che è la rigidezza a rotazione di tutte le molle.      

STEP 5 : Analisi dei carichi sismici

Vieni ora definita la forza sismica, applicata nel centro di massa. La somma del carico permanente totale e del carico totale accidentale , moltiplicata per il coefficiente di contemporaneità, ci dà il valore dei pesi sismici che divisi per il coefficiente di intensità sismica, ci danno il valore della forza sismica orizzontale.

STEP 6 - 7 : Ripartizione della forza sismica lungo x e y

Possiamo ora analizzare come si ripartisce la forza sismica lungo gli assi x e y per ognuno dei controventi; trovando il momento torcente , moltiplicando la forza sismica per il suo braccio. Calcoliamo poi la traslazione orizzontale, dividendo la forza F per la rigidezza traslante orizzontale, e la traslazione verticale, dividendo la forza F  per la rigidezza traslante verticale, e le rotazioni, dividendo i momenti torcenti, lungo x e y, per la rigidezza rotazionale.

Ripartizione della forza lungo l'asse x

Ripartizione della forza lungo l'asse y

La trave Vierendeel, dall'ingegnere che la brevettò, è una trave senza diagonali, composta da due correnti paralleli deformabili e montanti assialmente rigidi ortogonali ad essi. I nodi interni della trave devono essere in grado di trasmettere momenti flettenti (cosa che nelle travature reticolari non avviene, essendo essi delle cerniere).

Infatti la maglia triangolare è nel suo insieme indeformabile anche se sono ammesse rotazioni nei nodi, mentre quella rettangolare non lo è e quindi l'indeformabilità viene garantita con giunzioni in grado di impedire la rotazione reciproca tra le aste.

Studiamo il comportamento di questa trave sfruttando la sua simmetria: geometrica, dei carichi, dei vincoli e delle rigidezze.

1) DETERMINAZIONE DEL TAGLIO NEGLI ELEMENTI ORIZZONTALI

Partiamo dall'elemento centrale (3) e procediamo verso sinistra (1):

2) DISTRIBUZIONE DELLO SFORZO DI TAGLIO SUI CORRENTI:

3) DISTRIBUZIONE DEL MOMENTO SUGLI ELEMENTI ORIZZONTALI

Per la determinazione del momento mi servo di questa semplice regola :

                                                                         M₀ = T * H/2      _{con H = L nel nostro caso}

4) DETERMINAZIONE DEL MOMENTO NEI CORPI RIGIDI

Anche in questo caso la determinazione del momento è molto semplice, in quanto basta ribaltare i momenti che arrivano al nodo:

- NODO 1

SAP

La struttura è composta da telai in c.a. con pilastri di dimensioni 30x40 cm. Le campate sono variabili da 6m a 12m. Con questo esercizio andremo a verificare le azioni dell'impalcato soggetto a forze sismiche. Le molle rappresentano i vincoli cedevoli.