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Ripartizione delle forze sismiche

 

Consideriamo un impalcato sottoposto a forze orizzontali, quali il sisma o l'azione del vento. In tal caso, nello schema meccanico i controventi giocano un ruolo essenziale e vengono associati ,per il loro comportamento elastico, a delle molle con una data rigidezza (k).

 

 

L'impalcato è caratterizzato da undici appoggi di sezione uguale (0,5x0,5m ) e altezza h=3m ed, essendo in calcestruzzo, ha modulo di Young E=21000 N/mm².

 

 

Calcolo dunque il momento d'Inezia IX, Iy:

 

In seguito, posso calcolare la rigidezza k. Trattandosi di un telaio infinitamente rigido, considero la formula:

 

 

STEP 1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

Inserisco i valori dei momenti di inerzia e delle rigidezze nel foglio exel per ciascun telaio.

 

Step 2: tabella sinottica controventi e distanze

inserisco i valori delle distanze di ciascuna molla dall'origine del sistema di riferimento (pilastro 3)

 

Step 3: calcolo del centro di massa

 

 

 

Step 4: calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

 

Step 5: analisi dei carichi sismici

 

Step 6: ripartizione forza sismica lungo X

 

Step 7: ripartizione forza sismica lungo Y

Nell’analisi meccanica di una struttura travi-pilastri, il più delle volte, o almeno per me,  si pone particolare attenzione alle sollecitazioni dovute a momento, taglio e sforzo normale. Nell’esercizio seguente si vuole capire, invece, in quale misura la torsione influisce nel comportamento di sistema della struttura stessa.

SCHEMA DI CALCOLO                                                                                             DEFORMATA

Lo sbalzo soggetto al carico distribuito è stato sostituito con il corrispondente valore del momento flettente applicato nel nodo, il quale ruota provocando nell’asta 3 una torsione. Le aste 1 e 2 hanno lo stesso comportamento che è riconducibile allo schema notevole già esaminato nei blog in precedenza.

Il problema presenta un’incognita (rotazione “ϕ” del nodo) che sarà trovata scrivendo l’equilibrio contro la rotazione del nodo:

 

ql²/2 = ϕ ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJT/l3)

 

L’esercizio sarà svolto utilizzando il programma SAP2000 dal quale otterremo i valori delle caratteristiche di sollecitazione delle aste considerando, in un primo momento, che queste siano di calcestruzzo ed abbiano una sezione circolare. Successivamente si cambierà di volta in volta sezione e materiale all’asta 3.

L’obiettivo è quello di capire se e quanto, al variare della rigidezza torsionale dell’asta 3, i valori delle sollecitazioni nelle aste 1 e 2 cambiano.

Si ricorda che per una generica sezione il momento torsionale vale:

MT = (G*JT/l) ϑ(l) dove:

G = modulo di elasticità tangenziale (dipende dal materiale)

                         Calcestruzzo:      Gcls = 10⁷KN/m²

                         Acciaio:               Gsteel = 8*10⁷KN/m²

JT = momento di inerzia polare (dipende dalla sezione)

ϑ(l) = angolo unitario di rotazione

(G*JT/l) rappresenta la RIGIDEZZA TORSIONALE delle generica asta di lunghezza "l".

 

Di seguito vengono esaminate le diverse sezioni. Per ognuna sarà riportato il valore del momento e del taglio massimo nelle aste 1 e 2.

1

     

      MATERIALE: calcestruzzo

      SEZIONE: circolare piena   →   Jt = Ip = πR⁴/2 = π (0,36)⁴/2 = 0,026 m⁴

     

 

Deformata                                  Taglio=3,36 Kn                       Momento = -6,78 Kn m

2

MATERIALE: calcestruzzo

SEZIONE: rettangolare   →   Jt = c2 ab³ = (0,281) 0,67 * (0.15)³ = 6,3 e-4 m⁴

Il valore di c2 è tabellato e viene definito dal rapporto di forma della sezione e cioè altezza/base.In questo caso a/b = 0.67/0.15 = 4,444 →c2 = 0,281

 

 

Deformata                                Taglio= 3,56Kn                          Momento = -7,19 Kn m

3

MATERIALE: acciaio

SEZIONE: rettangolare   →   Jt = c2 ab³ = (0,281) 0,67 * (0.15)³ = 0,026 m⁴

In questo caso a/b = 0.67/0.15 = 4,444 →c2 = 0,281

 

 

Deformata                                  Taglio= 2,81Kn                        Momento= -5,69 Knm

4

      MATERIALE: acciaio

      SEZIONE: quadrata cava   →   Jt = 4 Ω² t / lm = 4 * (0,038 m²)²  (0,01) / (0,78 m) = 7,4 e-5 m⁴

 

 

Deformata                                 Taglio= 3,58 Kn                            Momento = -7,25 Kn m

5

     

      MATERIALE: acciaio

      SEZIONE: doppio T   →   Jt = ΣJTi = 2,13 e-7 + 5,55 e-8 + 2,13 e-7 = 4,81 e-7 m⁴

 

 

Deformata                                 Taglio= 3,71 Kn                           Momento = -7,49 Kn m

6

      MATERIALE: calcestruzzo

      SEZIONE: quadrata piena   →   Jt = c2 ab³ = (0,14) 0,20 * (0,20)³ = 2,2 e-4 m⁴

      a/b = 0.20/0.20 = 1 →c2 = 0,14

 

 

Deformata                                 Taglio= 3,66 Kn                                Momento = -7,39 Kn m

7

     

      MATERIALE: acciao

      SEZIONE: quadrata piena   →   Jt = c2 ab³ = (0,14) 0,20 * (0,20)³ = 2,2 e-4 m⁴

      a/b = 0.20/0.20 = 1 →c2 = 0,14

 

Deformata                                  Taglio= 3,34Kn                       Momento = -6,75 Kn m

 

Nella tabella che segue viene stilata “una classifica” delle sezioni esaminate in base alla rigidezza torsionale.

Si può notare che:

Le sezioni in acciaio offrono una maggiore resistenza torsionale rispetto a quelle in calcestruzzo in quanto queste ultime hanno un modulo di elasticità tangenziale 8 volte superiore a quello in cls.

Le sezioni piene, grazie ad un maggiore valore di JT, offrono maggiore rigidezza torsionale rispetto alle sezioni cave.

Le sezioni chiuse resistono meglio a torsione rispetto alle sezioni aperte.

Il modello di graticcio è un modello fisico-matematico che ci consente, attraverso un linguaggio matematico, di comprendere comportamenti fisici attraverso un lavoro di astrazione. Il graticcio è una buona soluzione utilizzata per coprire luci ampie. E' formato da travi poste generalmente ortogonalmente le une con le altre. Non vi sono perciò travi principali o secondarie ma tutte lavorano sullo stesso piano.

Propongo qui la risoluzione di un problema per capire come si comporta il graticcio.

Il nodo in 3D ha 6 gradi di libertà, ma per semplificazioni le variabili si riducono a due: infatti non sussistono le variabili di traslazione verticale e orizzontale ma solo la traslazione sull'asse z, questo perché per ipotesi le aste non si possono né allungare né accorciare. Alla traslazione sull'asse z si somma quindi la rotazione.

Le variabili incognite sono quindi:

Analizzo ora le due cause su entrambe le aste:

Nel procedimento sopra illustrato sono analizzati i contributi degli sforzi a Taglio e a Momento Flettente ed è risolta l'equazione di bilancio per i Momenti. Ottengo però un parametro che dipende da l'altra variabile incognita. Come in un sistema, vado quindi a sostituire il valore trovate nell'espressione in alto e trovo:

Questa teorizzazione sarà oggetto di verifica della prossima esercitazione. Impostando la scelta del materiale e delle sezioni delle aste, sarò in grado di valutare numericamente il comportamento del graticcio, verificando con il programma SAP 2000 i risultati così ottenuti.

 

 

In questa esercitazione, analizzeremo il comportamento di un impalcato strutturale soggetto a spinte orizzontali (ad esempio il vento o il sisma).

L’insieme di travi e pilastri, non solo riescono a resistere alle forze verticali ma se disposti correttamente nello spazio, possono anche fungere da controvento. I telai agiscono dunque come vincoli elastici, reagendo alle forze orizzontali lungo il loro stesso piano e proporzionalmente alla oro rigidezza, queste caratteristiche ci permettono di rappresentarli come vere e proprie molle!

 

A questo punto, consideriamo un impalcato in calcestruzzo armato (E=21000 N/mmq) composto da quattro  telai lungo X e quattro lungo Y, sorretti da dodici pilastri, questi ultimi avendo una dimensione di 30x40 cm e due momenti d’inerzia, uno lungo X e uno lungo Y.

 

Ora riportiamo lo stesso impalcato con rappresentate le molle e le loro distanze dall’origine.

 

Passiamo al foglio Excel grazie al quale ci ricaveremo i valori di reazione alle forze sismiche:

 

STEP 1: CALCOLO DELLE RIGIDEZZE TRASLANTIDEI CONTROVENTI DELL’EDIFICIO.

 

In queste tabelle inseriamo i valori di modulo elastico, dell’altezza dei pilastri e dei momenti d’inerzia dei pilastri (prendendo ovviamente quelli lungo l’asse del telaio studiato) per ricavarci la rigidezza traslante di ciascun telaio.

 

 

STEP 2: TABELLA SINOTTICA CONTROVENTI E DISTANZE.

 

Qui riportiamo le distanze verticali e orizzontali dei controventi dall’origine O.

 

 

STEP 3: CALCOLO DEL CENTRO DI MASSA.

 

Come prima cosa dividiamo la struttura in tre aree per poi inserire i valori delle distanze dei loro baricentri dall’origine in modo da ricavarci le coordinate del baricentro dell’intero impalcato.

Xg = (A1 x  Xg1 + A2 x Xg2 + A3 x Xg3) / (A1 + A2 + A3)

Yg = (A1 x  Yg1 + A2 x Yg2 + A3 x Yg3) / (A1 + A2 + A3)

 

STEP 4: CALCOLO DEL CENTRO DELLE RIGIDEZZE E DELLE RIGIDEZZE GLOBALI.

 

In questa tabella vengono riportate le coordinate del centro delle rigidezze, punto intorno al quale ruota la struttura in caso di momento.  Considerando invece che il centro di massa è il punto nel quale vengono applicate le forze, la distanza tra i due punte risulta essere il braccio, di conseguenza più questi due punti si avvicinano e meno sarà importante il valore del momento!

 

Questa tabella ci permette inoltre di ricavarci la rigidezza torsionale totale (somma delle rigidezze di ogni telaio, moltiplicato per la loro distanza dal centro delle rigidezze.)

 

 

 

 

STEP 5: ANALISI DEI CARICHI SISMICI.

 

 

 

STEP 6-7: RIPARTIZIONE DELLA FORZA SISMICA LUNGO X E Y.

Queste ultime due tabelle ci riportano i valori del momento torcente della struttura, le traslazioni,  e le rotazioni lungo X  Y.

Si procede alla compilazione del foglio Excel fornitoci, scegliendo di analizzare il seguente impalcato costituito da un telaio in c.a..

La maglia strutturale è regolata sul modulo di 4.50 m; nell'ultima campata viene raddoppiata la luce e conseguentemente invertita l'orditura del solaio in virtù di ragioni spaziali e progettuali

Vediamo così che la ripartizione sui due assi della forza sismica tra i controventi avviene proporzionalmente alla rigidezza di quest'ultimi: