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Risoluzione di una trave reticolare piana

Metodo delle sezioni di Ritter

Si ricercano I valori della normale a cui sono soggette le aste, tese o compresse, della struttura qui disegnata:

Essendo il sistema isostatico, si possono immediatamente  trovare le reazioni vincolari del carrello e della cerniera esterni.

Si procede quindi a ricercare le azioni di contatto delle aste interne con il metodo di Ritter. Tale metodo divide la struttura in due parti, sezionando tre aste per volta, analizzando le azioni di contatto che si liberano in conseguenza al distacco effettuato. 

Taglio 1

Eql. alla rotazione

M(A)= FL + N1L – (9/2)FL = 0

=> N1 = (7/2)F

Eql. delle forze verticali

sinN9– F + (9/2)F = 0

=> sinN9= -(7/2)F = cos N9

=> N9= (7/2) √2F

Eql. delle forze orizzontali

N17+ (7/2)F – (7/2)F = 0

=> N17= 0

 

Taglio 2

Eql. alla rotazione

M(a) = N25L – (9/2)FL + (7/2)FL = 0

=> N25= (9/2)F – (7/2)F = F

 

Taglio 3

Eql. delle forze verticali

- (9/2)F + 2F + sinN10= 0

=> sinN10= (9/2)F – 2F = (5/2)F  = cos N10

=> N10= (5/2)F √2

Eql. alla rotazione

M(C)= FL + F 2L – (9/2)F 2L + N2L = 0

=> N2= (9/2)F – 3F = (3/2)F

 

Taglio 4

Eql. delle forze verticali

sinN11+ 3F – (9/2)F = 0

=> sinN11= (3/2)F

=> N11= (3/2)F √2

Eql. alla rotazione

M(E)= N3L + 3F 2L – (9/2)F 3L = 0

=> N3= (15/2)F

Eql. delle forze orizzontali

N19+ (3/2)F – (15/2)F = 0

=> N19= 6F

 

Taglio 5

Eql. delle forze verticali

SinN12 + 4F – (9/2)F = 0

=> SinN12 = F/2

=> N12 = (√2/2)F

Eql. alla rotazione

M(G)= 4F 2L – (9/2)F 4L + N4L = 0

=> N4= 10F

Eql. delle forze orizzontali

N20 – 10F + F/2 = 0

=> N20 = (19/2)F

 

Per simmetria, le aste a queste simmetriche saranno soggette agli stessi valori delle azioni di contatto.

 

Trovati tali valori si può procedure all’individuazione delle aste tese e di quelle compresse:

Si può infine procedere a verificare l’esercizio modellando la struttura in SAP2000.

Vengono impostati, per semplicità di verifica rispetto ai calcoli manuali, una L = 1m e un carico applicator sui nodi di F = 10 KN

N.B. Trattandosi di una struttura reticolare in cui tutte le aste sono collegate da cerniere interne, si deve effettuare il rilascio del vincolo alla rotazione a tutte le aste.

Inoltre, dato che per il modello utilizzato consideriamo la struttura caricata solo di forze puntuali in corrispondenza dei nodi, dobbiamo eliminare dall’analisi il contributo del peso proprio della struttura, che costituirebbe per questa un carico distribuito sulle aste.

Si può quindi lanciare l'analisi dello sforzo normale (a destra una vista della deformata):

Si controllano i risultati ottenuti con quelli di calcolo a cui si sostituiscano i parametri con i carichi e le dimensioni stabilite.

Per verifica si controlli anche che le sollecitazioni di taglio e momento flettente siano nulle.

In allegato a questo post troverete un file PDF che potrebbe risultare utile specialmente ai ragazzi del Solar Decathlon 2014. Si fa riferimento al sistema costruttivo Platform Frame utilizzato nella competizione Solar Decathlon 2012, descrivendo tutti i passaggi necessari a generare un modello ad elementi finiti utilizzando il software SAP2000. Buon lavoro!

ESERCIZIO 1: TRAVE VIRENDEEL A SBALZO

SCHEMA INIZIALE:

Per risolvere la trave Virendeel, essa può essere trattata come un telaio Shear-Type sdraiato orizzontalmente;

quindi supponiamo che:

- i pilastri siano infinitamente rigidi,

- i ritti siano deformabili

- per effetto delle forze esterne i pilastri traslano, senza deformarsi, di una quantità δ

DEFORMATA:

OSSERVAZIONI:

Conoscendo il valore dello spostamento trasversale  δ è possibile determinare il valore delle caratteristiche di sollecitazione e delle rigidezze dei traversi.

FONDAMENTALE:

Avvalendoci dello schema noto riguardante la trave doppiamente incastrata, risolto in classe con le equazioni della linea elastica, possiamo risolvere la trave Virendeel.

                                                                                                    SCHEMA NOTO

                                                                               

RISOLUZIONE:

1-TAGLIO NELLE TRAVI

N.B: per ogni incognita spostamento avremo un’equazione alla traslazione verticale.

A.      F= 2T

T= 12EIδ/L³

F= (24EI/L³)×δ

δ= FL³/24EI

T= (12EI/L³)×(FL³/24EI)= F/2

B.      F + F/2 + F/2= 2T

F + F/2 + F/2= (24EI/L³)×δ

2F= (24EI/L³)×δ

F= (12EI/L³)×δ

δ= FL³/12EI

T= (12EI/L³)×(FL³/12EI)= F

C.     F + F + F= 2T

F + F + F= (24EI/L³)×δ

3F= (24EI/L³)×δ

F= (8EI/L³)×δ

δ= FL³/8EI

T= (12EI/L³)×(FL³/8EI)= 3/2F

D.     F + 3/2F + 3/2F= 2T

F + 3/2F + 3/2F= (24EI/L³)×δ

4F= (24EI/L³)×δ

F= (6EI/L³)×δ

δ= FL³/6EI

T= (12EI/L³)×(FL³/6EI)= 2F

E.     F + 2F + 2F= 2T

F + 2F + 2F= (24EI/L³)×δ

5F= (24EI/L³)×δ

F= 24EI/5L³)×δ

δ= 5FL³/24EI

T= (12EI/L³)×(5FL³/24EI)= 5/2F

F.     F + 5/2F + 5/2F= 2T

F + 5/2F + 5/2F= (24EI/L³)×δ

6F= (24EI/L³)×δ

F= 4EI/L³)×δ

δ= FL³/4EI

T= (12EI/L³)×(FL³/4EI)= 3F

2-MOMENTO NELLE TRAVI

N.B: per calcolare il momento basta moltiplicare la forza di taglio complessiva agente su quella parte di trave per il suo braccio L/2.

A.      (F/2)×(L/2)= FL/4

B.      F × L/2= FL/2

C.      3/2F × L/2= 3/4 FL

D.      2F × L/2= FL

E.      5/2F × L/2= 5/4 FL

F.      3F × L/2= 3/2 FL

3-MOMENTO NEI RITTI

N.B: Nella trave Virendeel vale  ancora M=EIχ , ma χ=0 e EI=∞, ma M è ancora un numero Reale.

Facendo l'equilibrio ai nodi ci accorgiamo che, questi, non sono in equilibrio; perciò, per garantire l'equilibrio complessivo della struttura, anche sui ritti insisterà un momento che sarà semplicemente calcolato effettuando, appunto, l'equilibrio al nodo.

A.      ribaltando il momento per continuità= FL/4

B.      (FL/4) + (FL/2)= 3/4 FL

C.      (FL/2) + (3/4FL)= 5/4 FL

D.      (3/4FL) + (FL)= 7/4 FL

E.      (FL) + (5/4FL)= 9/4 FL

F.      (5/4FL) + (3/2FL)= 11/4 FL

4-TAGLIO NEI RITTI

N.B: per determinare il valore del Taglio, prodotto dalla presenza del momento derivante dall'equilibrio al nodo, sommerò i valori dei momenti all'estremità e li dividerò per il braccio; (m1+m2)/L.

A.      [(FL/4)+(FL/4)]/2L= F/4

B.      [(3/4FL)+(3/4FL)]/2L= 3/4F

C.      [(5/4FL)+(5/4FL)]/2L= 5/4F

D.      [(7/4FL)+(7/4FL)]/2L= 7/4F

E.      [(9/4FL)+(9/4FL)]/2L= 9/4F

F.      [(11/4FL)+(11/4FL)]/2L= 11/4F

5-SFORZO NORMALE 

N.B: per determinare il valore dello Sforzo Normale, basta ribaltare il valore del taglio presente nei ritti sulle travi e il valore del taglio presente nelle travi sui ritti tenendo conto delle forze esterne "F" applicate sui nodi.

6-DIAGRAMMI

ESERCIZIO 2: TRAVE VIRENDEEL DOPPIAMENTE INCASTRATA

OSSERVAZIONI:

Questo secondo esercizio risulta essere molto simile a quello svolto precedentemente; in questo caso però abbiamo una trave Virendeel doppiamente incastrata su entrambe la estremità. Un dato molto importante, che facilita il procedimento risolutivo dell'esercizio, è la simmetria della struttura e dei carichi esterni. Possiamo quindi analizzare solamente la metà di sinistra.

Ovviamente fanno fede tutte le considerazioni fatte nell'esercizio n.1 perciò lo svolgimento di questo sarà molto più immediato

SCHEMA INIZIALE:

DEFORMATA:

RISOLUZIONE:

1-TAGLIO NELLE TRAVI

A.      F= 4T

T= 12EIδ/L³

F= (48EI/L³)×δ

δ= FL³/48EI

T= (12EI/L³)×(FL³/48EI)= F/4

B.      F + F/4 + F/4= 2T

F + F/4 + F/4= (24EI/L³)×δ

3/2F= (24EI/L³)×δ

F= (16EI/L³)×δ

δ= FL³/16EI

T= (12EI/L³)×(FL³/16EI)= 3/4 F

C.     F + 3/4 F + 3/4 F= 2T

 F + 3/4 F + 3/4 F= (24EI/L³)×δ

5/2F= (24EI/L³)×δ

F= (48EI/5L³)×δ

δ= 5FL³/48EI

T= (12EI/L³)×(5FL³/48EI)= 5/4 F

2-MOMENTO NELLE TRAVI

A.      (F/4)×(L/2)= FL/8

B.      (3/4 F)×(L/2)= 3/8 FL

C.      (5/4 F)×(L/2)= 5/8 FL

3-MOMENTO NEI RITTI

N.B: il momento nel ritto "A" è nullo per la considerazione di simmetria fatta all'inizio

A.      NULLO

B.      (FL/8) + (3FL/8)= 1/2 FL

C.      (3FL/8) + (5FL/8)=  FL

4-TAGLIO NEI RITTI

A.      NULLO

B.      [(1/2FL)+(1/2FL)]/2L= 1/2F

C.      [(FL)+(FL)]/2L= F

5-DIAGRAMMI

6-VERIFICA IN SAP

Qui sotto sono state riportate una serie di scatti fatti durante la risoluzione di una trave Virendeel doppiamente incastrata. F=10Kn, L(trave)=3m, L(ritto)=6m.

Ivalori ed i grafici delle sollecitazioni corrispondono perfettamente all'esercizio svolto a mano fatto salva qualche piccola divergenza dovuta a questioni di arrotondamento decimale!!!!

Padiglione della Fiera di Rimini - GMP Architekten

Dopo aver iniziato a trattare la torsione nel precedente post, vediamo in questo caso quali sono le implicazioni di tale tensione su un sistema più complesso, quale il graticcio. Gli impalcati a graticcio sono costituiti da un numero variabile di travi longitudinali, fra loro affiancate e collegate puntualmente da elementi irrigidenti trasversali, detti traversi. Le travi principali, poste ad interasse i, ed i traversi, posti ad interasse j, formano una maglia generalmente rettangolare pari a ixj. Dal punto di vista del comportamento strutturale, gli impalcati a graticcio hanno una minore rigidezza torsionale rispetto a quelli a cassone e rispetto le travi reticolari spaziali, ma sono sicuramente un giusto compromesso tra i sistemi a telaio ordinari e strutture più ardite, senza trascurare l'oggettiva e significativa istanza estetica di tali sistemi: è esemplificativa in merito la copertura dei padiglioni della Fiera di Rimini (vd. foto).

In questa esercitazione proveremo a risolvere manualmente uno stralcio dell'impalcato, verificando in seguito la bontà del procedimento eseguito tramite SAP2000. Lo schema in questione è il seguente:

 

Per la deformata e i valori di taglio e momento, ci riferiamo agli ormai celebri schemi notevoli della trave doppiamente incastrata:

In questo caso abbiamo però una complicazione. Le due travi del graticcio si intersecano ad 1/3 della trave AC, permettendo così alla forza applicata nel nodo di generare una rotazione ϕy. Il risultato della deformata nella trave AC sarà quindi uguale alla somma dell'abbassamento δ e della rotazione ϕy, mentre sulla trave BD agirà esclusivamente l'abbassamento, in virtù della curvatura χ=0 in corrispondenza del punto di applicazione della forza:
 

 
Ai fini dello svolgimento dell'esercizio sarà quindi opportuno separare l'azione dei due diversi effetti, per poi sovrapporli alla fine. Iniziamo dall'abbassamento δ sulla trave AC:

Passiamo ora all'abbassamento δ sulla trave BD:

Nel caso della trave BD, i momenti flettenti si annullano l'uno con l'altro e verranno quindi ignorati nella successiva equazione di equilibrio alla rotazione. Lasciamo agire ora solo la rotazione ϕy sulla trave AC, riferendoci agli schemi notevoli della rotazione su una trave doppiamente incastrata:

 

 

Come già spiegato in precedenza, la trave BD è esente da sollecitazioni rotazionali, ma sappiamo anche che la flessione sull'asse x provoca inevitabilmente la torsione sull'asse perpendicolare, su cui giace la trave in questione:

 

La trave reagirà quindi alla sollecitazione con un momento torcente di verso opposto alla rotazione ϕy.

Dopo aver esaminato tutti gli effetti separatamente, possiamo ora sovrapporli tra di loro, scrivendo prima l'equazione di equilibrio alla traslazione verticale e poi quella di equilibrio alla rotazione:

 

Abbiamo quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite. Per non affrontare tutto il calcolo a mano si è scelto di adottare il software Mathematica 8, tramite il quale ricavare i valori delle incognite ϕy e δ:

Quindi:

                                          δ = 2Fl³/1113EI                                       ϕy = 9Fl²/742 (3EI+4I_t )

Non ci rimane che portare il nostro semplice graticcio su SAP2000, per vedere come varia l'abbassamento e la rotazione del nodo a cui è applicata la forza, in funzione della rigidezza del sistema intero, che ricordiamo essere la somma della rigidezza flessionale e della rigidezza torsionale. Iniziamo disegnando l'impalcato con delle sezioni generiche, e verificando la congruenza della deformata e dei diagrammi delle sollecitazioni:

Deformata:

Taglio:

Momento:

Lasciando sempre fissa la sezione della trave AC (IPE500), variamo la sezione della BD e riportiamo i valori dell'abbassamento e della rotazione del nodo d'intersezione su un'apposita tabella. Come sezioni di prova adotteremo una IPE500, una scatolare e una tubolare:

 

 

 

 

Come già dimostrato nella precedente esercitazione, i profili chiusi (ed in particolare i profili tubolari) offrono una maggiore rigidezza torsionale, che, inevitabilmente, comporta anche un minore abbassamento del nodo d'intersezione delle travi.

Tutte le strutture mostrate e studiate fin ora, sono casi di strutture a due dimensioni e che come tali, tengono soprattutto conto delle tre sollecitazioni più evidenti a cui sono sottoposti travi e pilastri: sforzo normale, taglio, momento.
Le strutture non vivono però in uno spazio bidimensionale, ne sono semplici sistemi composti da trave appoggiata su due pilastri. Avendo quindi l’esigenza di cominciare ad affrontare strutture più aderenti alla realtà, dobbiamo trasferirci nello spazio tridimensionale e, per iniziare, analizzare una struttura semplice sviluppata sui tre assi x,y,z.
Poco tempo fa si è già affrontato in generale, il comportamento sistemico della struttura che compone un intero edificio. Ora facciamo uno zoom su questa struttura, per capire e studiare cosa succede a quelle parti di struttura immediatamente più vicine ad uno sbalzo.
Lo sbalzo è una questione che va affrontata su più fronti. Inizialmente va capito come esso influisce sull’equilibrio dell’intero edificio, di modo che non avvenga un ribaltamento; in seguito, una volta dimensionata la trave che va a sbalzo, si deve comprendere in che modo viene influenzato il dimensionamento delle parti di struttura su cui agisce il momento esercitato dalla trave a sbalzo.
Con questo pretesto, nel seguente esercizio, si prende finalmente in considerazione una sollecitazione che non è evidente in uno spazio bidimensionale, si sta parlando della torsione, vero tema di questo post.
La torsione è una sollecitazione causata da un momento attorno all’asse della trave. Vediamo nell’esempio come tale  sollecitazione può nascere.

Esercizio 1: torsione_sbalzo

 

Prima di iniziare l'analisi della struttura, posso semplificare il sistema, sostituendo la mensola con un momento in corrispondenza del nodo. Posso porre poi la condizione che, assumendo il pilastro indeformabile assialmente, non ci sia sforzo normale.

Il momento nato dalla presenza dello sbalzo, richiede alla struttura adiacente la capacità di contrastarlo e di non ribaltarsi. Quindi è richiesta alle aste una certa rigidezza per contrastare la rotazione a cui sono sottoposte. Le aste AB e AC sviluppano quindi una rigidezza flessionale, mentre l'asta AD sviluppa una rigidezza torsionale.

 

Per prima cosa trovo i valori dei momenti che nascono nelle due aste e che le portano a ruotare. Ciò è possibile mettendo come ipotesi che il nodo A ceda anaelasticamente a rotazione, questo mi permette di risolvere la struttura iperstatica tramite l'ormai consolidato metodo della linea elastica. Di seguito la formula per trovare il momento:

L'equazione di equilibrio dei momenti riulta la seguente (tra parentesi le rigidezze di ogni singola asta):
 

Mi ricavo la formula per trovare la rotazione, in cui Ra è la somma delle rigidezze e quindi la rigidezza complessiva della struttura:

Ora ho la formula per trovare i tre momenti che si oppongono all'azione ribaltante della mensola:
 
Scelto il valore del carico distribuito q=10KN, passo ora ad analizzare il comportamento della struttura a seconda del materiale e della sezione che scelgo per le travi, ponendo particolare attenzione al comportamento della trave AD soggetta a torsione.

Con l'aiuto di Sap2000 inizio l'analisi; per prima cosa scelgo un profilo a doppio T in acciaio e mi ricavo i valori necessari ai calcoli dei momenti:

E=1,999x10⁸ KN/m²
I= 5,554x10^-5 m⁴
G_s= 80x10⁶ KN/m²
I_t=Σ_i=1 I_ti I_ti=c_2ixa_ixb_i³  c₂=a/b=0,333
I_t(ala)=22,47x10^-8 m⁴
I_t(anima)=5,66x10^-8 m⁴
I_t=50,6x10^-8 m⁴   

Trovati i valori di ql² e di R_a posso calcolare il valore della rotazione:

ϕ_a=20/22213,49= 9^.10^-4

Sostituiti i valori nelle formule dei momenti, ottengo questi risultati:
M₁= M₂= 9,994 KNm          M₃=0,012 KNm

Verifico la deformata e i risultati su sap:

I risultati corrispondono. Si nota che il contributo della trave AD a contrastare il momento ribaltante della mensola, è quasi nullo.
Provo a cambiare la sezione proprio dell'asta AD, con l'intento di aumentare la sua rigidezza.
Adotto questa volta un profilo scatolare:

Calcolo il momento d'inerzia torsionale: I_ti= 4Ω²xt/l_m= 9497,4x10^-8 cm⁴

ϕ_a= 20/24732,64= 8^.10^-4

Ottengo questi risultati per i momento e noto che il contributo dell'asta AD è aumentato, perciò, un profilo scatolare è più indicato per situazioni soggette a torsione:

M₁= M₂= 8,97 KNm          M₃=2,04 KNm

Verifico su Sap2000 deformata, momento e torsione.

 

Risulta interessante come ultimo passo, vedere se e come cambiano i valori adottando una struttura in calcestruzzo armato.
Adotto in questo caso una sezione rettangolare:

E=24,86x10⁶ KN/m²

I= 3,76x10^-3 m⁴

G_cls= 10⁷ KN/m²

Calcolo il momento d'inerzia torsionale:

I_t=c₂xaxb³  c₂=a/b=0,291 (tabellato)

I_t=6,58x10^-4 m⁴

ϕ_a= 20/208870= 9,5^.10^-4

Ottengo questi risultati:
M₁= M₂= 8,95 KNm          M₃=2,09 KNm

Insomma riscontro una netta somiglianza di comportamento con la struttura precedente, utilizzando però una sezione molto più alta di prima.

 

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Esercizio 2: torsione_graticcio

Un graticcio è un intreccio di travi principali ortogonali fra loro, che collaborano per portare i pesi. Si tratta dunque di una struttura priva di una gerarchia di elementi che ripartiscono i pesi man mano, ma di una serie di elementi tutti identici. Infatti, un graticcio di travi è distinguibile da una struttura classica attraverso due metodi: l’analisi del momento d’inerzia delle travi, è identico per ciascuna trave essendo esse tutte uguali fra loro in un graticcio; studiando la natura del nodo che unisce le varie travi, nel caso del graticcio un nodo incastro, dato che deve trasmettere il momento (per una struttura classica invece il nodo deve trasmettere solo taglio).
La rigidezza torsionale è un parametro che assume notevole importanza nel graticcio, dal momento che, nella maggior parte dei casi, ad una flessione in una direzione, corrisponde una torsione nell’altra. A questo punto è di notevole importanza la conformazione e il materiale della sezione dell’elemento strutturale, poiché nella formula della rigidezza della struttura, compare il Momento d’inerzia torsionale, diverso a seconda della sezione in esame.
Per capire di cosa stiamo parlando, analizziamo un graticcio semplice, composto da due travi perpendicolari fra loro, una a e l’altra a . Sul nodo facciamo agire una forza concentrata.

 

                          

A una prima analisi il nodo possiede 6 gradi di libertà, posso ipotizzare però che le aste siano indeformabili assialmente, quindi che le traslazione lungo gli assi x e y siano impediti. So anche di non avere una rotazione attorno all’asse z, ne attorno all’asse x. Rimangono quindi due gradi di libertà δ e ϕ_y che posso facilmente trovare attraverso l’equazioni di equilibrio alla traslazione verticale e alla rotazione.

Attraverso la sovrapposizione degli effetti studio gli effetti di δ e ϕ_y sulle 2 aste e trovo l’equilibrio alla traslazione e alla rotazione. Per prima cosa analizzo lo spostamento δ sull'asta AC, facendo riferimento ai valori dello schema strutturale della trave doppiamente incastrata:

 

Analizzo l'abbassamento sull'asta BD:

Si nota che i momenti flettenti che agiscono sulle due parti di trave, si annullano a vicenda e quindi non andranno a sommarsi nell'equazione dell'equilibrio alla rotazione.

Adesso analizzo l'effetto della rotazione ϕ_y sull'asta AC, generata dalla forza concentrata agente a un terzo dell'asta:

Questa rotazione, provoca sull'asta ortogonale BD una torsione a cui si opporà un momento torcente:

Posso ora sovrapporre gli effetti, arrivando a questi due schemi e alle relative equazioni di equilibrio, rispettivamente alla traslazione e alla rotazione:

 

Dall'equazione dei momenti ricavo δ in funzione di ϕ_y:

in cui  

Sostituisco δ/l nell'equazione dell'equilibrio alla traslazione e ricavo ϕ_y:

 

A questo punto posso decidere un materiale e una sezione da dare alle travi del graticcio. Per comodità di calcoli utilizzo la stesso profilo IPE utilizzato nell'esercitazione precedente.

E=1,999x10⁸ KN/m²

I= 5,554x10^-5 m⁴

G_s= 80x10⁶ KN/m²

I_t=50,6x10^-8 m⁴

Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo questi risultati:

Posso ricavare ora il valore dei momenti agenti sulla struttura:

Verifico deformata e i valori ottenuti su Sap2000.

Ripeto la stessa analisi utilizzando il profilo in cls dell'esercitazione precedente:

 

E=24,86x10⁶ KN/m²

I= 3,76x10^-3 m⁴

G_cls= 10⁷ KN/m²
I_t=6,58x10^-4 m⁴

Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo questi risultati:

Valore dei momenti:

Verifico su Sap

La struttura tridimensionale è stata modellata sulla base di una 3D Grid, le travi e i pilastri hanno la stessa lunghezza (3m). i 3 elementi rappresentano un corpo unico, tre volte incastrato.

È possibile semplificare il sistema sostituendo la trave a sbalzo con il carico distribuito con un momento che agisce direttamente sul nodo dove lo sbalzo era fissato, avente il valore del momento flettente sviluppato in corrispondenza dell’incastro dalla trave a sbalzo appena sostituita.

Gli elementi strutturali, in queste condizioni di vincolo e di carico si comportano in maniera differente: il momento applicato genera una flessione sulla trave e il pilastro appartenenti al suo stesso piano, mentre la trave ortogonale è sottoposta a torsione.

Questo è confermato dalla deformata e dai grafici delle sollecitazioni, per ipotesi trascuriamo gli abbassamenti, definendo gli elementi strutturali come indeformabili assialmente.

Deformata

 

Taglio

 

Momento flettente

 

Torsione

Il suo comportamento ha effetto su quello degli altri 2 elementi strutturali, in quanto la sua rigidezza torsionale contra la rotazione del punto d’incontro delle travi e del pilastro, e di conseguenza anche la curvatura e il momento flettente.

Per verificare questa differenza sono state applicate diverse sezioni con la stessa area (170cm^2)alla trave sottoposta a torsione, confrontando i dati forniti dal software riguardo la rotazione del punto d’intersezione attorno all’asse della trave stessa.

Nonostante l’area della sezione e il materiale di cui è composta siano costanti le differenti prove hanno dato diversi esiti. Questo perché esse sono caratterizzate da un diversa rigidezza torsionale. In particolare le sezioni aperte (la T o la L) sono quelle che presentano le rotazioni maggiori pur avendo una buona resistenza flessionale (a cui consegue un minore abbassamento del giunto 4, quì non tabellato in quanto gli elementi strutturali sono per definizione indeformabili assialmente. Questa input non è stato fornito a SAP, che mostra anche l'abbassamento del punto in questione per via della compressione che subisce il pilastro, come si può vedere nel disegno della deformata).

Le tensioni tangenziali (τ)crescono di entità all’aumentare della distanza dall’asse di torsione (parallelamente al comportamento delle tensioni normali nel caso della flessione, che sono massime nei lembi superiori e inferiori delle sezioni). Il profilo che ha la miglior resistenza torsionale, e quindi che presenta la minor rotazione, è quello cilindrico, in quanto l’acciaio è distribuito a una distanza media dall’asse di torsione maggiore rispetto a quella delle altre sezioni.

La scatolare quadrata presenta le tensioni più alte in corrispondenza dei vertici, quella rettangolare in corrispondenza dei lati corti e invece il tubolare permette di distribuire uniformemente le tensioni tangenziali su tutta la sua area, ammesso che l’asse di torsione coincida con il centro delle sue sezioni, e il materiale viene sfruttato in maniera più uniforme.

Il modo in cui l’area di materiale è distribuita attorno all’asse di torsione è rappresentata numericamente dal momento d’inerzia polare, che è inversamente proporzionale alla tensione τ.

RISOLUZIONE DI UN GRATICCIO SEMPLICE MEDIANTE IL METODO DELLE RIGIDEZZE

Possiamo parlare di graticcio quando vi è collaborazione tra due sistemi ortogonali di travi che non presentano strutture gerarchiche: ogni elemento strutturale (in ognuna delle 2 direzioni di orditura) ha la stessa valenza, e per questo le sezioni delle travi sono analoghe.

Un parametro che assume notevole importanza nel graticcio è la rigidezza torsionale, dal momento che avendo flessione in una direzione, inevitabilmente avremo torsione nell’altra. Nella rigidezza torsionale gioca un ruolo fondamentale il Momento d’inerzia Polare (Ip), un parametro legato alla geometria della sezione.

In questo esercizio si analizza un graticcio semplice, comparando i valori delle rotazioni indotte da una forza concentrata ottenuti associando diverse sezioni alla trave soggetta a torsione(al contrario di quanto si constata normalmente in strutture di questo tipo). Va ricordato, infatti, che la rotazione è indirettamente proporzionale alla rigidezza torsionale.

Il nodo ha 6 gradi di libertà: esso può traslare lungo i 3 assi x, y e z, inoltre può ruotare attorno agli stessi. In questo caso specifico la condizione di carico non genera traslazioni lungo x e lungo y, così come non vi sono rotazioni in x e in z, date le proporzioni dello schema strutturale.

Le incognite, dunque, sono soltanto due, ossia lo spostamento Delta(z) e la rotazione Fi(y).

Analizziamo le deformate delle due travi separatamente:

Sulla trave BD la forza F agisce esattamente al centro, quindi la deformata è simmetrica e in quel punto abbiamo uno spostamento δ, ma nessuna rotazione della sezione essendo un punto di tangenza orizzontale. Sulla trave AC, invece, F agisce ad un terzo della lunghezza e, sebbene il punto trasli della stessa quantità lungo z, stavolta non ci troviamo nel punto a tangenza orizzontale della deformata, quindi avremo anche una rotazione della sezione intorno all’asse y.

Per questo motivo separiamo idealmente le due incognite, facendole agire separatamente e sovrapponendo poi i loro effetti.

Analizziamo innanzitutto le due deformate prodotte dalla spostamento δ:

- deformazione dovuta solo allo spostamento δper la trave AC:

come detto in precedenza il punto soggetto alla forza F deve abbassarsi senza ruotare. Conoscendo già i valori della rigidezza in una trave doppiamente incastrata possiamo quantificare gli sforzi di Taglio e Momento flettente, concentrandoci in particolare su quelli che agiscono sul nodo:

Anche nell’asta BD soggetta alla sola traslazione il nodo si abbassa senza ruotare, quindi analogamente a quanto fatto in precedenza procediamo rapidamente al calcolo degli sforzi di Taglio e Momento Flettente, i quali per via della simmetria dello schema stavolta saranno identici:

(questi due momenti oltre ad elidersi perché uguali in valore assoluto e opposti nel verso, si riferiscono ad una rotazione attorno all’asse x, quindi non verranno presi in considerazione nell’equazione di equilibrio dei momenti)       

A questo punto analizziamo le deformate provocate dalla sola rotazione Fi(y):

-   deformazione dovuta solo alla rotazione Fi(y) per la trave AC:

la rotazione imposta al nodo prova un’inflessione nella trave AC e il punto stesso ruota intorno all’asse y. Anche in questo caso, come in precedenza, ci affidiamo a schemi notevoli dal momento che abbiamo già affrontato la questione della rigidezza flessionale e conosciamo i valori dei momenti agli estremi in una trave doppiamente incastrata:

La flessione della trave AC intorno all’asse y corrisponde inevitabilmente alla torsione di quella BD:

deformazione dovuta solo alla rotazione Fi(y) per la trave BD (TORSIONE):

il Momento Torcente agente sulla trave genera due momenti reagenti di verso opposto, cosa non trascurabile per determinare poi il segno di questi due contributi nell’equazione di equilibrio dei momenti:

A questo punto conosciamo tutti i contributi degli sforzi di Taglio e Momento Flettente agenti sul nodo e generati sia dalla traslazione Delta(z) che dalla rotazione Fi(y). Possiamo, quindi, scrivere le due equazioni di equlibrio:

 

VERIFICA DEL GRATICCIO SU SAP

Lo scopo di questo esercizio è di constatare le variazioni di abbassamenti e rotazioni del punto d’incontro delle 2 travi doppiamente incastrate al variare della luce e della sezione assegnate alla trave la cui rigidezza torsionale influenza il comportamento del sistema.

 

Questi sono i rispettivi diagrammi di Taglio, Momento flettente e Momento torcente.

Alla trave con luce costante è stata associata una sezione in acciaio di tipo scatolare, con spessori ridotti in modo da consentire abbassamenti sensibili che mettessero in evidenza il contributo dell’altra trave.

A quest’ultima  state messe a confronto 3 sezioni in 2 condizioni di luce distinte.

La prima è una sezione scatolare in acciaio.

 

La seconda è una sezione rettangolare con la base molto minore dell’altezza.

La terza e ultima è una sezione tubolare.

Le stesse sezioni sono state applicate dopo aver dimezzato la luce della trave.

Questi sono i rispettivi diagrammi di Taglio, Momento flettente e Momento torcente.

In questa tabella sono riassunti i dati esportati da SAP che descrivono l’abbassamento e la rotazione del punto in comune delle 2 travi, dove viene applicata la forza agente, nelle 2 condizioni di luce (le tabelle a sinistra fanno riferimento al caso di 6m di luce, a destra il caso di 3m di luce).

Come prevedibile, nei casi in cui alla trave soggetta a torsione sono stati associati profili chiusi (gli scatolari e i tubolari) essa ha garantito una maggiore rigidezza torsionale, limitando la rotazione del punto d’incontro delle travi. Gli abbassamenti dipendono da parametri diversi, come il Momento d'inerzia, di conseguenza essi non vanno di pari passo con le rotazioni. Per esempio il profilo rettangolare si comporta molto peggio degli altri a torsione, permettendo una rotazione maggiore. Anche a flessione risulta essere il peggiore, ma lo scarto dell'abbassamento rispetto agli altri profili è decisamente inferiore a quello della rotazione. questo per merito dell'altezza del profilo, che ne incrementa il momento d'inerzia.