Portale di Meccanica

Se consideriamo gli impalcati come corpi rigidi sul proprio piano, gli spostamenti che essi potranno compiere saranno: traslazione verticale U_v (m), orizzontale Uo (m) e rotazione φ.

Per esempio la forza orizzontale (forza sismica o la forza del vento) tende a spostarli, ma i controventi contrastano questa azione grazie alla loro elasticità.

Il controvento nell’impalcato piano può essere definito come un appoggio cedevole elasticamente infatti essi sono come molle con una data rigidezza K (kN/m). In un impalcato queste rigidezze possono essere differenti e causare una rotazione.

In questa esercitazioni ci viene chiesto di progettare una trave a RESISTENZA utilizzando il metodo delle TENSIONI ammissibili che consiste nell’eguagliare la tensione massima del materiale alla sua tensione ammissibile. L’esercizio prevede il dimensionamento di una trave maggiormente sollecitata in un solaio in LEGNO, un solaio in ACCIAIO e un solaio in C.A.

La trave evidenziata in rosso è soggetta a maggior carico e quindi a maggior momento flettente.

L'impalcato in questione è di un edificio nel centro di Roma. Ho bisogno di luci molto grandi come quella di 11m per questioni distributive degli spazi interni.

In questo caso l’area d’influenza per la trave caricata è:

A= 11 x 5.5 = 60,5 m²

L = 11m

I = 5,5m 

1.     Analisi dei carichi

Per dimensionare al meglio una trave ho bisogno di conoscere ed analizzare tutti i carichi che agiscono sulla struttura.

1. Il carico strutturale qs[KN/mq]: il peso di tutti gli elementi stutturali.
2. Il carico permanente qp[KN/mq]: i carichi che fanno parte del pacchetto solaio, il carico degli impianti 0,5 KN/mq, il carico dato dai tramezzi pari a 1KN/mq.
3. Il carico accidentale qa[KN/mq]: legato alla destinazione d’uso dell’edificio e viene dato dalla normativa he per edifici residenziali è stimato pari a 2 KN/mq(considera la variazione di carico data dagli arredi, persone che possono variare nel corsodel tempo) per uffici 3 KN/mq.

 

 

SOLAIO IN ACCIAIO

Per poter dimensionare la trave, devo tener conto nei carichi strutturali anche del peso dei travetti, che è necessario dimensionare.

 

Dimensionamento travetti del solaio

Carico strutturale Qs [KN/mq]: lamiera Grecata, soletta

lamiera Grecata HiBond A55-P600 h.55 mm (luce max ≤2,80m)+ soletta cls sp. 9 cm =14,5 cm

Qs= 1,65 (kN/mq)

Carico permanente Qp [KN/mq]

(massetto, rete elettrosaldata, controsoffitto, impianti, tramezzi)

Massetto sp 40 mm

 

Peso Specifico = 2100  Kg/mc    F=m.a

F=2100x(9,81)

=21 kN/mc

Volume  al mq =  0,04 m x 1m x 1m = 0,04 mc

Peso al mq = 0,04 m x 21 Kg/mc = 0,84 KN/mq

 

 

Rete elettrosaldata 620/2  AD (diam. 6mm_ 200mm x 200mm)

 

Peso al mq = 2,29 Kg/mq

= 0,02 KN/mq

 

Controsoffitto in cartongesso (sp. 15 mm):

Peso Specifico = 1325  Kg/mc

Volume  al mq =  0,015 m x 1m x 1m = 0,015 mc

Peso al mq = 0,015 m x 1325 Kg/mc = 19,875 Kg/mq = 0,2 KN/mq

Incidenza Impianti:

0,5 KN/mq

Incidenza Tramezzi:

1 KN/mq

Qp = 2,56 kN/ mq

Carico accidentale Qa [KN/mq]: legato alla destinazione d’uso.

Nel progetto questo ambiente è destinato ad uffici quindi 3 kN/mq

Qa = 3 kN/ mq

Qtotale mq= 1,65+2,56+3 =  7,18 KN/mq

Per trasformare Q in metri lineari = 7,18*interasse

TRAVETTI-a: ( interasse 2,75m; luce 5,5m)

Inserisco i valori ottenuti nella scheda di Excel e scelgo il tipo di acciaio Fe 430/S275 fy,k=275 (tensione di snervamento dell’acciaio)

La tensione σ amm è data dal valore di fy,k/ il COEFFICENTE DI SICUREZZA Y (1,15 nell’acciaio).

σamm = fy,k/y = 275/1,15= 239,13 N/mm²

Il modulo di RESISTENZA A FLESSIONE (minimo) lo ricavo dalla formula di Navier per poi poter scegliere il profilo appropriato (sulle tabelle dei profili in acciaio).

Wxmin= M/σ amm = 74,9/0,23913 = 313,21 cm³

Inserendo tutti i valori in excell trovo che il mio  Wx = 313,5 cm3

Nella tabella dei profili metallici (sotto riportata) scelgo un profilo adatto che abbia 

un modulo di resistenza a flessione Wx maggiore di quello da me trovato,

scelgo un IPE 240 con Wx =324 cm3,  Peso travetto = 30,7 Kg/m

Peso travetto al mq: 0,307/2,75 (interasse) =  0,111 kN/mq

che vado a sommare al Qs = 1,65 kN/ mq per un totale di 1,76 kN/mq

inserisco il nuovo valore di Qs in excell e verifico la trave (vedi tabella sotto)

Utilizzo questo esercizio per dimensionare le travi per il mio progetto di uffici, per poi scegliere la strategia migliore da adottare guardando anche all'aspetto economico e della messa in opera delle travi in cantiere (per velocizzare il lavoro e ridurre gli errori)

TRAVE 1: ( interasse 5,5 m; luce 6,5m)

Qs= 1,76 kN/mq

Qp = 2,56 kN/ mq

Qa = 3 kN/ mq

Il modulo di resistenza a flessione (minimo) é Wx = 890 cm3

Quindi un scelgo un IPE 360

un IPE 360 con Wx =904 cm3,  Peso travetto = 57,1 Kg/m

Peso TRAVE 1 al mq: 0,571/5,5 (interasse) =  0,103 kN/mq

TRAVE 2: ( interasse 5,5 m; luce 11m) è la trave maggiormente caricata

Qs= 1,76 kN/mq

Qp = 2,56 kN/ mq

Qa = 3 kN/ mq

Il modulo di resistenza a flessione (minimo) é Wx = 2546,45 cm3

Quindi un scelgo un IPE 600

un IPE 600 con Wx =3070 cm3,  Peso trave = 122 Kg/m

Peso TRAVE 2 al mq: 1,22/11 (interasse) =  0,110 kN/mq

TRAVE 3: ( interasse 5,5 m; luce 5,5m)

Qs= 1,76 kN/mq

Qp = 2,56 kN/ mq

Qa = 3 kN/ mq

Il modulo di resistenza a flessione (minimo) é Wx = 637 cm3

Quindi un scelgo un IPE 330

un IPE 330 conWx =713 cm3,  Peso travetto = 49,1 Kg/m

Peso TRAVE 3 al mq: 0,491/5,5 (interasse) =  0,089 kN/mq

Nel nostro progetto utilizzeremo le seguenti IPE:

TRAVE 1: ( interasse 5,5 m; luce 6,5m) IPE 360

TRAVE 2: ( interasse 5,5 m; luce 11m) IPE 600 la trave più caricata

TRAVE 3: ( interasse 5,5 m; luce 5,5m) IPE 330

TRAVETTI-a: ( interasse 2,75m; luce 5,5m) IPE 240

TRAVETTI-b: ( interasse 3,29m; luce 5,5m) IPE 270

Utilizzeremo la IPE 600 e la IPE 360 anche se questo vorrà dire un aumento dei costi però evitiamo errori di cantiere avendo solo due grandezze di travi.

 

 

 

 

Prendendo in esame il telaio shear-type abbiamo studiato il concetto di rigidezza tenendo conto che i medesimi elementi strutturali possono avere una doppia funzione, sia come elementi di sostegno verticale della struttura ma anche come elementi di sostegno orizzontale (controvento).

Per rendere efficace un sistema di controventi è necessario considerare l’impalcato infinitamente rigido sul piano orizzontale. I controventi vengono assimilati a molle perché si comportano in modo elastico e hanno una data rigidezza. Sappiamo anche che più sarà la rigidezza e meno sarà lo spostamento. Come possiamo vedere in figura uno dei telai shear-type che andremo poi di seguito ad analizzare sul nostro impalcato.

Nel caso più semplici di controventi con eguale rigidezza avremmo una medesima ripartizione della forza agente sull’impalcato così che il corpo traslerà. Mentre se i controventi hanno una diversa rigidezza tra di loro l’impalcato a questo punto non traslerà solamente ma ci sarà anche un effetto di rotazione.

Andiamo ad analizzare un impalcato strutturale. Questo impalcato è individuato da 8 telai piani. 

I telai hanno il compito non solo di portare il peso dell’edificio ma anche di controventare la struttura interna resistendo alle forze orizzontali. Il nostro compito sarà quello di:

·         Calcolare le rigidezze traslanti dell’edificio per ogni telaio presente in esso;

·         Calcolare il centro di massa;

·         Calcolare il centro delle rigidezze e la rigidezza torsionale totale;

·         Analizzare i carichi sismici attraverso l’analisi dei carichi permanenti e accidentali;

·         Infine ripartizione delle forze sismiche lungo gli assi X e Y

STEP 1

Come abbiamo detto prima il nostro impalcato è composto da 8 telai ed a ognuno viene assegnato un materialo, in questo caso il C.A., una sezione pari a b = 30 cm e h = 40 cm. Calcoliamo come prima cosa la rigidezza traslante per ogni telaio, ovvero la somma delle rigidezze dei singoli pilatri che dipende dal modulo di Young, dal momento d’Inerzia e dall’altezza. L’inerzia è calcolata attraverso l’equazione  .  La rigidezza del telaio è calcolata con la sommatoria di tutte le rigidezze. La rigidezza di un singolo pilastro è uguale a k = 12EI/h³

TELAIO 1

 

TELAIO 2

TELAIO 3

TELAIO 4

TELAIO 5

TELAIO 6

TELAIO 7

TELAIO 8

STEP 2

In questa fase raccogliamo in una tabella sinottica le rigidezze traslanti trovate nei controventi e indichiamo la distanza delle molle da un punto O ritenuto origine del sistema di riferimento XY. Questa tabella ci servirà per trovare il centro di massa e delle rigidezze.

STEP 3

Prima di andare avanti vediamo cos’è il centro di massa.

Il centro di massa è il punto di applicazione di tutte le forze, cioè il baricentro di un corpo. Un esempio chiaro del centro di massa è la torre di Pisa che non è mai crollata perché il centro di massa cade all’interno della sua proiezione in pianta.

Per trovare le coordinate prima di tutto dividiamo in due aree rettangolari il nostro impalcato così da trovare il loro baricentro. Misuriamo le coordinate X e Y dei due punti e li andiamo a scrivere nel foglio Excel. Sappiamo che per trovare il baricentro di tutto l’impalcato non dobbiamo far altro che, per il punto X_G, sommare la coordinata X_G1 moltiplicata per l’area 1 (corrisponde a 24m*14m) e la coordinata X_G2 moltiplicata per l’area 2 (corrisponde a 8m*16m) il tutto diviso per l’area totale. Lo stesso procedimento verrà fatto per la coordinata Y così che troviamo le due coordinate del centro di massa dell’impalcato.

STEP 4

Calcolato il centro di massa ora troviamo il centro delle rigidezze. A differenza del suddetto discorso fatto il centro delle rigidezze è il punto in cui la reazione dell’edificio si concentra.

Per trovare le coordinate del punto X_C sommiamo tutte le rigidezze verticali moltiplicate per le rispettive distanze verticale dall’origine il tutto diviso per la somma delle rigidezze verticali. Lo stesso discorso vale per la coordinata Y_C.

Dopo aver individuato il centro delle rigidezze annotiamo le distanze da esso di ogni controvento (esempio: dd_v2 = d_v2 – X_c)poiché sono necessarie ai fini del calcolo della rigidezza torsionale totale k_φ che si trova con:

 

STEP 5

In questo STEP facciamo l’analisi dei carichi sismici agenti sull’implacato. Facciamo un’analisi dei carichi permanenti e sovraccarichi accidentali. I pesi sismici li troviamo con la somma dei carichi totali permanenti e quelli accidentali moltiplicate per il coefficiente di contemporaneità. Mentre la forza sismica orizzontale è calcolata dal prodotto tra pesi sismici totali e il coefficiente di intensità sismica.

STEP 6-7

Ora ci occupiamo della ripartizione delle forze sismiche sia lungo l’asse X e lungo l’asse Y. Possiamo dire che come prima cosa troviamo il momento torcente che è calcolato con la forza F (forza sismica) e le coordinate del centro di massa e del centro delle rigidezze.

Mx = F * (Yg – Yc)

My = F * (Xg – Xc)

Calcolato il momento, vediamo quant’è la traslazione sia orizzontale e verticale ed si trova con la forza sismica diviso la rigidezza totale.

Ci calcoliamo dal foglio excel le forze sui vari controventi attraverso il prodotto di diversi fattori come la rigidezza traslante, la distanza dal controvento al centro delle rigidezze e la rotazione dell’impalcato (per quelli verticali). Mentre per le forze orizzontali è data dal prodotto della rigidezza traslante che moltiplica la somma della traslazione orizzontale e la distanza dal controvento al centro delle rigidezze e quest’ultima moltiplicata per la rotazione traslante.

Trovate tutte le forze corrispondente a ogni controvento possiamo trovarci le reazioni vincolare calcolate con :

Il Metodo delle Forze

Il Metodo delle forze viene utilizzato per la risoluzione di strutture iperstatiche e si adatta perfettamente al caso di strutture iperstatiche composte da travi come la tave singola, la trave continua su più appoggi.

Il metodo si articola in quattro passi:

1.     la scelta di una struttura isostatica di riferimento e l’individuazione delle incognite iperstatiche.

2.     la scrittura delle equazioni di compatibilità cinematica.

3.     la risoluzione del sistema di equazioni per la determinazione delle incognite iperstatiche.

4.     la sistematica applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti per la determinazione delle azioni di contatto sulla struttura iperstatica.

Trave continua su cinque appoggi_ La trave è 3 volte iperstatica

GDV= 6 

GDL= 3

 

1.     scelta di una struttura isostatica di riferimento e l’individuazione delle incognite iperstatiche.

 

Scelgo una struttura  isostatica di riferimento. Trasformo le cerniere in B, C e D in cerniere interne applicando dei momenti X1, X2. Essendo la trave simmetrica nel punto C posso applicare X1 anche in D. Le incognite sono X1e X2.

Trattare una trave continua su più appoggi come un insieme di travi appoggiate rende più semplice la soluzione del problema iperstatico.

 

2.     la scrittura delle equazioni di compatibilità cinematica.

 

Per ripristinare le condizione di vincolo di continuità della trave devo imporre le equazioni di compatibilità cinematica, la rotazione relativa nei punti sia a sinistra (S) che a destra (D)  in cui ho rimosso il vincolo:

ΔφB = 0 

φBS – φBD = 0

φBS = ql³/24EJ – X1l/3EJ

φBD = - ql³/24EJ + X1l/3EJ + X2l/6EJ

 

ΔφC = 0 

φCS – φCD = 0

φCS = + ql³/24EJ - X2l/3EJ – X1l/6EJ

φCD = - ql³/24EJ + X2l/3EJ + X1l/6EJ

 

ΔφB = ΔφC

 

3.    la risoluzione del sistema di equazioni per la determinazione delle incognite iperstatiche.

 

Consideriamo i seguenti tratti:

 

Troviamo le incognite X1e X2:

ΔφB = 0  

φBS – φBD = 0

ql³/24EI - X1L/3EI+ ql³/24EI - X1L/3EI - X2L/6EI=0

2ql³/24EI - 2X1L/3EI - X2L/6EI=0

X2/2 = -2X1+ ql²/4

X2= -4X1+ ql²/2     

 

ΔφC = 0 

φCS – φCD = 0

ql³/24EI – X2l/3EI - X1l/6EI+ ql³/24EI - X2l/3EI - X1l/6EI=0

2ql³/24EI – 2X2l/3EI - 2X1l/6EI=0

-X1/2 = X2 - ql²/8  

        

X1= - 2X2- ql²/4    sostituisco in ΔφB = 0 

X2= -4(-2X2- ql²/4)+ ql²/2    

X2= 8X2- ql² + ql²/2   

ql² - ql²/2 = 7X2

 

X2= ql²/14

X1= 3/28 ql²

 

4.   la sistematica applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti per la determinazione delle azioni di contatto sulla struttura iperstatica.

 

 

Trovate le incognite X1 e X2 posso cercare le reazioni vincolari:

 

 

Sommiamo q con il momento in ogni punto:

ΣFv(A) = ql/2 – 3ql/28 = 11ql/28

ΣFv(B) = ql + (2) 3ql/28 - ql/14 = 8ql/7

ΣFv(C) = ql - (2) 3ql/28 + (2) ql/14 = 13ql/14

ΣFv(D) =  ΣFv(B) = 8ql/7 (simmetria)

ΣFv(E) = ΣFv(A) = 11ql/28 (simmetria)

 

Disegno i grafici di Taglio e Momento:

 

La TORSIONE in un elemento si verifica quando esso è soggetto a momenti uguali e opposti che agiscono all’estremità, paralleli al piano di sezione cioè intorno al suo asse longitudinale; l’elemento risponderà a tali sollecitazioni in base alla sua RIGIDEZZA TORSIONALE Rt data dalla geometria della sezione (MOMENTO D’INERZIA POLARE Jt), dal materiale (MODULO DI ELASTICITA’ TANGENZIALE G) e dalla LUNGHEZZA l dell’elemento stesso.

Questo ci interessa soprattutto nelle strutture tridimensionali poiché i momenti flettenti che agiscono su una trave generano MOMENTI TORCENTI Mt in quelle perpendicolari ad essa in base alla ROTAZIONE φcausata dall’inflessione della trave e a Rt della trave soggetta a torsione.

 

TELAIO 3D

Analizzeremo ora una struttura tridimensionale composta da travi e pilastri di lunghezza l pari a 3m; le due travi sono poste ortogonalmente tra loro nel piano xy, il carico uniformemente distribuito sulla mensola di l 1m è pari a 10 kN/m (q); lo scopo dell’esercitazione è osservare come la sezione di una trave e il suo materiale influisca sul momento torcente a parità di azioni esterne.

Per prima cosa possiamo semplificare la struttura adottando un sistema equivalente, per farlo bisogna sostituire la mensola e il suo carico distribuito con il momento concentrato M al nodo pari a ql²/2 (ovvero pari all’azione del carico distribuito); questo momento che ruota intorno all’asse y genererà una flessione nella trave e nel pilastro posti nel piano xz e di conseguenza una torsione nella trave che giace nel piano yz.

 

Conoscendo la deformata possiamo ricavare il valore dei momenti flettenti e di quello torsionale in funzione della ROTAZIONE φ_a grazie agli schemi notevoli e fare così l’equilibrio alla rotazione nel nodo.

 

Possiamo indicare come rigidezza nel nodo A

 

                         

Ora possiamo inserire nelle formule sopra ottenute i valori corrispondenti ad una sezione rettangolare 15x67cm in C.A. e successivamente verificare il risultato in SAP.

 

       

Sappiamo che C₂  è un coefficiente tabellato che tiene conto del rapporto del lato maggiore sul lato minore della sezione (a/b).

Possiamo utilizzare SAP per controllare i valori da noi ottenuti (essendo il programma più accurato) e utilizzare tali dati per il calcolo in modo d’avere un riscontro migliore con le verifiche finali.

 

 

Eseguendo i calcoli otteniamo

 

Verifichiamo se l'equazione è soddisfatta:

Passiamo ora a modellare la struttura in SAP utilizzando una 3D Grid applicando questa volta direttamente il momento concentrato equivalente all’azione del carico distribuito sulla mensola.

                   

Iniziamo verificando il comportamento della struttura con una sezione generica.

DEFORMATA

SFORZO ASSIALE

TAGLIO

MOMENTO

TORSIONE

Impostiamo ora la sezione RETTANGOLARE 15x67 cm in C.A. e lanciamo il calcolo.

Possiamo vedere che il risultato ottenuto è pressoché identico a quello ricavato dal calcolo a mano.

ROTAZIONE φ_A = 6,8 * 10^{^-5}

Ripetiamo l’analisi con una sezione CIRCOLARE PIENA in C.A. di diametro 36 cm (stessa area della sezione rettangolare).

 

Cambiamo materiale e vediamo come cambi la rotazione utilizzando tre diversi profili in ACCIAIO:

- HEA 20x20 cm

 

- SCATOLARE 20x20 cm

 

- TUBOLARE d. 25 cm

 

Riassumiamo ora nella seguente tabella i valori delle rotazioni ed il contributo di ciascuna asta in base alla sezione ed al materiale adottato.

Osservando la tabella ed in particolare la rigidezza dell’asta 3 (quella soggetta a torsione) si può concludere che sezioni dello stesso materiale reagiscano meglio (cioè ricevono più carico) se hanno un profilo chiuso rispetto a quelle aperte; questo perché le tensioni  tangenziali, che aumentano all’aumentare della distanza dall’asse torsionale, riescono a distribuirsi ad una distanza media maggiore, ciò spiega perché il tubolare funzioni meglio dello scatolare e perché il profilo HEA invece sia il peggiore avendo l’asse dell’anima che passa per il centro torsionale e molta della sua area abbia una reazione molto piccola.

E’ interessante inoltre come profili in acciaio nonostante le dimensioni delle sezioni molto minori reagiscano meglio rispetto a sezioni piene in C.A., questo è dovuto al modulo di elasticità tangenziale che è circa 8 volte maggiore.

Nel complesso però bisogna ammettere che in questa struttura la sezione rettangolare in calcestruzzo è quella che garantisce una deformazione minore, questo si spiega perché il contributo dato dalla rigidezza torsionale nell’assorbimento del momento concentrato è molto minore rispetto a quello fornito dalla rigidezza flessionale data dal modulo di elasticità e dal momento d’inerzia (molto più elevati nel calcestruzzo e nella sezione rettangolare rispetto alle altre ipotesi fatte).

 

GRATICCIO

Analizzeremo ora un graticcio composto da due travi di lunghezza l totale pari a 6m; le due travi sono poste ortogonalmente tra loro nel piano xy (incastrandosi a l/2 di una trave e a l/3 dell’altra, questo causa un momento torcente in una delle travi); il carico concentrato nell’incastro tra le due travi è pari a 10 kN (F); lo scopo dell’esercitazione è osservare come la sezione di una trave e il suo materiale influisca sul momento torcente a parità di azioni esterne.

 

Il nodo centrale oggetto di analisi ha 6 GDL ovvero 3 rotazioni e 3 traslazione possibili, la condizione di carico da noi studiata però non genera traslazione lungo l’asse x e y inoltre non ci sono rotazioni intorno ad x e z; rimangono da determinare quindi solo lo SPOSTAMENTO δ e la ROTAZIONE φ_y.

Otteniamo così le seguenti deformate:

Nella trave BD, in essa F agisce esattamente al centro quindi si avrà solamente uno spostamento δ dato che la tangente della deformata in quel punto è orizzontale e di conseguenza la rotazione è nulla.

Nella trave AC invece F agisce a l/3 questo comporta che a parità di spostamento δ ci sarà anche una rotazione, questo perché la tangente alla deformata non orizzontale e si avrà di conseguenza anche una rotazione φ_y.

Possiamo sfruttare il principio di sovrapposizione degli effetti separando le incognite in modo da poter analizzare gli effetti di ciascuna per poi sommarli.

Iniziamo con lo studio della deformata della trave BD dovuta allo SPOSTAMENTO δ, possiamo ricondurci agli schemi notevoli di una trave doppiamente incastrata per conoscere i valori della rigidezza e ottenere così gli sforzi di TAGLIO e MOMENTO FLETTENTE.

Ripetiamo lo stesso procedimento studiando la deformata della trave AC dovuta solo allo SPOSTAMENTO δ.

Nella trave AC è presente anche la ROTAZIONE φ_y, possiamo quindi dalla deformata e dagli schemi notevoli ricavarci i valori del MOMENTO FLETTENTE e di conseguenza del TAGLIO.

 

La  ROTAZIONE φ_y nel nodo causa anche un MOMENTO TORCENTE nella trave BD, questo si ripartisce nelle  due campate con un momento proporzionale alla lunghezza di ciascuna campata e con verso opposto a quello della rotazione.

                        

Conosciamo ora le azioni generate dallo in ciascuna trave SPOSTAMENTO δ e dalla ROTAZIONE φ_y e possiamo sommare i loro effetti e scrivere le equazioni di equilibrio.

 

 

Ora dobbiamo solamente mettere a sistema le due equazioni e ricavarci le incognite.

Risolvendo la prima equazione abbiamo:

Possiamo imporre che:             

Otteniamo così:

Risolvendo la seconda equazione otteniamo:

 

 

Ora possiamo inserire nelle formule sopra ottenute i valori corrispondenti ad una sezione rettangolare 15x67cm in C.A. con F=10KN, l=6m e successivamente verificare il risultato in SAP.

       

Sappiamo che C₂  è un coefficiente tabellato che tiene conto del rapporto del lato maggiore sul lato minore della sezione (a/b).

Possiamo utilizzare SAP per controllare i valori da noi ottenuti (essendo il programma più accurato) e utilizzare tali dati per il calcolo in modo d’avere un riscontro migliore con le verifiche finali.

 

 

Eseguendo i calcoli otteniamo

 

Passiamo ora a modellare la struttura in SAP utilizzando una 3D Grid impostando le condizioni di carico e vincolo come nella struttura sopra esaminata ricordiamoci inoltre di assegnare alle travi la sezione RETTANGOLARE 15x67 cm in C.A.

Lanciamo il calcolo e otteniamo:

DEFORMATA

TAGLIO

MOMENTO FLETTENTE

MOMENTO TORCENTE

Possiamo vedere che il risultato ottenuto è pressoché identico a quello ricavato dal calcolo a mano.

ROTAZIONE φ_y = 2 * 10^{^-5}

SPOSTAMENTO δ = 5,8 * 10^{^-5}

Ripetiamo l’analisi con una sezione CIRCOLARE PIENA in C.A. di diametro 36 cm (stessa area della sezione rettangolare).

 

Cambiamo materiale e vediamo come cambi la rotazione e lo spostamento utilizzando tre diversi profili in ACCIAIO:

- HEA 20x20 cm

 

- SCATOLARE 20x20 cm

 

- TUBOLARE d. 25 cm

 

Riassumiamo ora nella seguente tabella i valori delle rotazioni ed il contributo di ciascuna asta in base alla sezione ed al materiale adottato.

Dalla tabella ottenuta vengono confermate le osservazioni fatte per il telaio 3d.

Prendiamo una pianta tipo di cui vogliamo studiare la ripartizione delle forze sismiche, e di cui vogliamo conoscere la molla più sollecitata; considereremo la pianta come un corpo rigido in grado solo di spostamenti rigidi (traslazioni e rotazioni), mentre i telai li considereremo come corpi elstici, in grado quindi di deformarsi.

PIANTA:

PILASTRO:

I pilastri hanno tutti la stessa sezione ma, a seconda del telaio considerato, varia il loro momento di inerzia:

STEP 1:

Come prima cosa dobbiamo calcolare la rigidezza traslante di ogni telaio, ossia il coefficiente di proporzionalità tra la forza F e lo spostamento δ:

STEP 2:

Raccogliamo quindi tutte le rigidezze dei telai e delle loro distanze da uno stesso punto individuato sulla pianta, che coincide con il pilastro 16 (in basso a sinistra):

STEP 3:

Il centro di massa di un sistema è il punto geometrico corrispondente al valor medio ( visivamente un punto) della distribuzione della massa del sistema nello spazio. La posizione del centro di massa dell'intera pianta è frutto della suddivisione in "forme note" della stessa, per una questione di semplicità; di ogni area nota è stato individuato il baricentro attraverso il momento statico (area * distanza):

 

STEP 4:

Il centro delle rigidezze è, analogamente al centro delle masse, il valor medio ( visivamente un punto) della distribuzione delle rigidezze del sistema. Conoscere la sua posizione rispetto al centro delle masse è fondamentale per sapere se c'è (e quanta) rotazione si genera del sistema.

STEP 5:

La determinazione dei carichi sismici è strettamente legata al peso della struttura a dell'intero impalcato:

STEPS 6 & 7:

Per verificare che la struttura è isostatica, il numero di gradi di libertà deve essere uguale al numero dei vincoli applicati

Ve + A = 2N

3 + 33 = 2*18

36 = 36

dove: Ve= VINCOLI ESTERNI

           A= NUMERO ASTE

           N= NUMERO DI NODI

-TROVARE LE REAZIONI VINCOLARI

i vincoli si ripartiscono il carico, sopportando ognuno 9/2 F, essendo la struttura simmetrica e simmetricamente caricata.

-TROVARE LO SFORZO CHE SI GENERA SULLE VARIE ASTE

utilizziamo il metodo delle SEZIONI di RITTER, cioè un taglio sulla trave reticolare che seziona al massimo 3 aste, avendo così 3 equazioni e 3 incognite cioè gli sforzi normali delle aste tagliate

per trovare le forze delle aste nei correnti inferiori e superiori utiliziamo le equazioni di equilibrio alla rotazione scegliendo il poloche ci permette di annullare più incognite

Per la forza N68 scelgo il polo nel nodo 7

 

il risultato è negativo ciò significa che la direzione della forza IPOTIZZATA è sbaglaita

                                        ASTA E' COMPRESSA

Per la forza N57 scelgo polo in 6

 

                                            ASTA TESA

Per la forza N67 dell'asta diagonale, fare l'equilibrio alla rotazione non è la strada più semplice dato che non abbiamo un polo in cui si annullano le altre due forze (essendo parallele). La forza diagonale è scomponibile nelle sue componenti verticali e orizzontali, quindi la cosa più semplice da fare è calcolare l'equilibrio alla traslazione (verticale o orizzontale)

calcolando la traslazione orizzontale non prendiamo in considerazione la forza del carico e dei vincoli

                   ASTA TESA

 

N56 equilibrio alla traslazione verticale

               ASTA COMPRESSA

N46 polo in 5

          ASTA COMPRESSA

 

N35 polo in 4

                   ASTA TESA

N45 traslazione orizzontale

                  ASTA TESA

 

N34 traslazione verticale

 

                 ASTA COMPRESSA

N34 polo in 3

             ASTA COMPRESSA

 

N13 polo in 2

                                                 ASTA SCARICA

N23 traslazione orizzontale

                ASTA TESA

N78 traslazione verticale

                                           ASTA COMPRESSA

N79 polo in 8

           ASTA TESA

 

N810 poli in 9

     ASTA COMPRESSA

N89 traslazione orizzontale

                             ASTA TESA

La parte sinistra della struttura è risolta, e per simmetri conosciamo anche la destra. Per risolvere l'asta centrale analiziamo il nodo 10, tutte le forze sono equilibrate, tranne la forza F esterna, quindi la forza N9-10 sarà uguale ad F     

                                                         ASTA COMPRESSA

ROSSO = PUNTONE               BLU = TIRANTE

 

VERIFICA IN SAP
 

apriamo un file col modello GRIND ONLY impostando la griglia con le dimensioni della nostra struttura reticolare

Disegnamo le aste, assegnamo i vincoli ed il rilascio per interrompere la trasmissione del momento, impostiamo il peso prorio della trave pari a zero

e avviamo l'analisi

DEFORMATA

DIAGRAMMA SFORZO NORMALE