Esercitazione VII_Rigidezza torsionale

Esercizio I

In questa esercitazione cercheremo di risolvere una struttura tridimensionale, 12 volte iperstatica, composta da un nodo con tre aste incastrate all’estremità e una mensola con carico distribuito.
Al contrario di altre volte, in questo caso avremo a che fare con due componenti: flessione e torsione. 
Come primo passo, posso eliminare la mensola, sostituendola con il suo momento in corrispondenza del nodo. Al contrario, non terrò conto dello sforzo normale a cui è soggetto il pilastro, poichè lo considero sempre assialmente indeformabile.
                                      
Ora, il problema sta nel fatto che questo momento sottopone le aste ad una rotazione, la quale a sua volta provoca delle rigidezze flessionali nelle aste AB e AC, e una rigidezza torsionale nell'asta AD.
                                    

Ipotizzando (come nelle esercitazioni precedenti) che il nodo A in questione ceda anelasticamente a rotazione, posso risolvere l'iperstaticità della struttura tramite il metodo della linea elastica (e trovare così i valori dei momenti).

                                   
Quindi (aggiungendo il momento torsionale dell'asta AD):
                                     
L'equazione di equilibrio dei momenti è la seguente:
dalla quale ricavo la rotazione 
Dove RA è la somma di tutte le rigidezze.
 
Rispettivamente i momenti saranno: 

Ora, scelgo un profilo per le aste, in modo tale da calcolarmi i vari valori.
Dati:
l1= 2m
l2= 4m
l3= 4m
l4= 3m

Profilo acciaio: 

E=1,999*108 kN/m2
I= 5,554*10-5 m4
Gsteel= 80*106 kN/m2
 
It(ala)= 22,47 *10-8 m4
It(anima)= 5,66 *10-8 m4
It = 50,6 * 10-8 m4
 
 
 

 

Ora posso calcolare come si distribuisce il momento su ogni asta (in base alla rigidezza):

Verifico in SAP2000 questi risultati:
 
Deformata
 
Momenti:

I risultati corrispondono.


Cambiando la sezione dell'asta soggetta a torsione, il momento si ripartisce diversamente:

 
Verifico in SAP2000 questi risultati:
 
Deformata
 
Momenti:
 

I risultati corrispondono.


Un ultimo tentativo che possiamo fare è utilizzare un profilo in cls, per mettere a confronto i due materiali. Prendo quindi una sezione di questo tipo:
E=24,86*106 kN/m2
I= 3,76*10-3 m4
Gcls= 107 kN/m2
 
It = c2*a*b3     c2= a/b = 0,291
It= 6,58 *10-4 m4
 
 

Il risultato è praticamente identico all'esempio precedente in acciaio, solo con una sezione tre volte più alta.


Esercizio II

Con un procedimento analogo, posso risolvere un graticcio di travi, dove per graticcio si intende un intreccio di travi ortogonali fra loro, che collaborano per contrastare i pesi. In questo caso si tratta di una struttura costituita da una serie di elementi identici (assenza di una gerarchia), infatti un graticcio è distinguibile da una struttura classica per due aspetti: da una parte l’analisi del momento d’inerzia delle travi (questo è identico per ciascuna trave essendo, dall'altra l'importanza in questo caso della torsione.
 
Per capire meglio questi concetti, prendo in esame due aste perpendicolari tra loro a l/3, con una forza concentrata nel nodo. 
Come in altri casi, questo sistema (teoricamente) possiede 6 g.d.l., ma considerando le aste sempre indeformabili, posso trascurare gli spostamenti in direzione x e y e le rotazioni intorno gli assi z e x.

Quindi, mi rimangono solo 2 g.d.l. (δ e ϕy) che posso ricavarmi con le equazioni di equilibrio alla traslazione verticale e alla rotazione.

 

Attraverso la sovrapposizione degli effetti di δ e ϕy, trovo l’equilibrio alla traslazione e alla rotazione:

         

 

 
 
Equilibrio alla traslazione verticale:

             

 
Equilibrio alla trotazione:

             

Dall'equazione dei momenti ricavo δ in funzione di ϕy:

  dove  
 
Sostituendo δ/l nell'equazione dell'equilibrio alla traslazione, posso ricavare ϕy:
 
 
A questo punto posso decidere un materiale e una sezione (per comodità di calcoli utilizzo la stesso profilo IPE utilizzato nell'esercitazione precedente)

Profilo acciaio: 

 

            E=1,999*108 kN/m2
            J= 5,554*10-5 m4
            Gsteel= 80*106 kN/m2
            J= 50,6 * 10-8 m4
 
 
 
 
 
 
 
Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo:
 

Infine ricavo il valore dei momenti agenti sulla struttura:

 
Verifico con SAP2000 i valori ottenuti:
 
Momento
Torsione
 
Ripeto le stesse operazioni utilizzando il profilo in cls dell'esercitazione precedente:
 
E=24,86*106 kN/m2 
J= 3,76*10-3 m4
Gcls= 107 kN/m2
Jt= 6,58 *10-4 m4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo:
 

Infine ricavo il valore dei momenti agenti sulla struttura:

 
Verifico con SAP2000 i valori ottenuti:
 
Momento
Torsione

 

trave vierendeel

TRAVE VIERENDEEL

In questo esercizio risolveremo una trave Vierendeel 

cos’è una TRAVE VIERENDEL? È una travatura reticolare costituita da due correnti collegati tra loro da montanti che però non presenta elementi diagonali. A differenza della travatura reticolare che lavora solo per sforzo normale sia nei montanti  che nei correnti c’è taglio e momento flettente. Per funzionare bene  gli elementi verticali devono essere molto rigidi a flessione.

Ipotizziamo che i montanti risultino rigidi, dunque Il telaio può essere associato ad un TELAIO Shear Type capovolto, ossia un telaio con tutti i nodi ad incastro e in cui si ipotizza la rigidezza flessionale infinita della trave rispetto ai pilastri.

Analizziamo un Telaio shear type:

Nei ritti ho una situazione a doppio incastro e con l’integrazione della linea elastica mi trovo i valori di taglio e momento. Dove i ritti si innestano nel traverso lo stato tensionale (taglio,momento) agirà nel traverso uguale ed opposto

Ora passiamo alla trave VIERENDEEL a mensola

 

I montanti  si trovano in una situazione di doppio incastro che risolvo con l’integrazione della linea elastica mi trovo i valori di taglio e momento (come svolto prima nel telaio shear-type)

Mi pongo l’equilibrio alla traslazione verticale così da trovarmi lo spostamento,il taglio e il momento

Mi posso disegnare I diagrammi di taglio e momento

 

Sapendo il momento dei traversi mi mi trovo il momento dei montanti verticali imponendo l’equilibrio ai nodi

 

Per trovarmi il taglio impongo l’equilibrio dei i traversi verticali, il taglio si trova facendo la somma dei momenti dividendola per la luce dell’asta

Ora mi posso diosegnare i diagrammi del taglio e del momento dei montanti verticali

ES 05_Metodo delle Rigidezze_analisi mensola Vierendeel

 

VERIFICA SU SAP 2000

Dati della struttura:

pilastri: sezione IPE in acciaio  h=2 m (importante per la rigidezza assiale infinita, altrimenti si comprimerebbero o allungherebbero)

ritti: sezione IPE in acciaio 0,2 x 0,3  

q: 10 KN su ciascun nodo 

 

 

analisi della deformata

 

diagramma del momento:

 

diagramma del taglio

 

Ora passiamo ad analizzare una trave vierendeel doppiamente incastrata:

analisi della deformata

 

diagramma del momento

 

diagramma del taglio 

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