Portale di Meccanica

In una struttura travi e pilastri, dove le travi sono perpendicolari tra loro, se una trave è soggetta a flessione inevitabilmente un’altra sarà soggetta a torsione, questa esercitazione ci chiede di analizzare come quest’ultima influisce nel comportamento meccanico complessivo.

La struttura tridimensionale ha 3 aste incastrate di lunghezza 3 m ciascuna con uno sbalzo di 1 m al quale è applicato un carico distribuito, la struttura è un colpo unico con 6 gradi si libertà, e gli incastri impediscono 3 spostamenti e 3 rotazioni ciascuno, quindi la struttura è 12 volte iperstatica.

E’ possibile trovare un sistema equivalente dove lo sbalzo viene sostituito con il valore corrispondente del momento flettente applicato sul nodo che ruota attorno all’asse y, quindi la sua azione sarà visibile nel piano x-z, mentre la trave in direzione y subirà un momento torcente visibile solo nel piano della sua sezione.

Il momento generato dal carico agente sulla mensola genera a sua volta dei momenti flettenti e torsionali ricavabili dagli schemi notevoli. La nostra incognita è la rotazione del nodo 

Scriviamo l’equilibrio contro la rotazione del nodo:

  

        

                          

La rigidezza torsionale si somma alle rigidezze flessionali delle altre aste, più questa aumenta più l’asta perpendicolare contribuisce alla suddivisione del carico.

Per capire in che misura contribuisce sono state fatte varie prove in SAP con sezioni e materiali diverse e poi confrontati i risultati. Ma prima di procedere facciamo una piccola verifica a mano con la sezione rettangolare in calcestruzzo armato di base=0.15m e altezza=0.67m, dopo esserci calcolati i valori del momento d’inerzia Ix, momento di inerzia polare  Jt che dipende dalla sezione, e del modulo di elasticità tangenziale G che dipende dal materiale:

  

  

                   

       

       (valore tabellato in base al rapporto tra a/b)

  

Per maggiore sicurezza confrontiamo questi valori con quelli in SAP

  

  

 

E per avere un riscontro più veritiero con le verifiche che faremo in SAP procediamo con i calcoli utilizzando questi ultimi valori

     

    

       

   

 

La struttura in SAP è stata modellata a partire da una 3D Grid

DIAGRAMMA MOMENTO                                                                                  DIAGRAMMA TAGLIO

DIAGRAMMA SFORZO NORMALE                                                                      DIAGRAMMATORSIONE

Le diverse sezioni scelte hanno la stessa area e un momento d’inerzia simile, ma hanno diversa rigidezza torsionale.

·         Sezione RETTANGOLARE in CALCESTRUZZO ARMATO

·         Sezione CIRCOLARE PIENA in CALCESTRUZZO ARMATO

·         Sezione DOPPIA T in ACCIAIO

·         Sezione QUADRATA CAVA in ACCIAIO

·         Sezione TUBOLARE in ACCIAIO

Proprietà materiali:

   

Dopo aver avviato l'anaisi per ogni sezione scelta, si sono riportati tutti i valori in una tabella riassuntiva

Le sezioni in acciaio offrono una maggiore resistenza torsionale rispetto a quelle in calcestruzzo in quanto hanno un modulo di elasticità tangenziale maggiore, e le sezioni piene offrono una maggiore resistenza torsionale rispetto alle sezioni cave grazie ad un maggiore valore di JT, cosi come anche le sezioni chiuse rispetto a quelle aperte. Infatti se guardiamo la tabella dei contributi delle aste, tra le sezioni in calcestruzzo quella tubolare dà un contributo maggiore rispetto alla rettangolare, e tra quelle in acciaio la sezione a doppia T è quella che dà un contributo minore, essendo una sezione aperta.

In conclusione la sezione con una maggior resistenza torsionale è la tubolare in acciaio, questo non significa però che nel comportamento meccanico complessivo questa sezione è quella che ci provoca una rotazione minore, in quanto questa dipende anche dalla resistenza flessionale delle altre due aste che risulta essere  maggiore nella sezione rettangolare in calcestruzzo, in quanto ha un momento d’inerzia maggiore.

 

L’esercitazione questa volta richiede di risolvere un sistema iperstatico e quindi di trovare i valori di Momento e Taglio per ogni sezione della struttura in studio.

L’iperstaticità indica che un corpo ha più vincoli rispetto ai suoi gradi di libertà. Per risolvere una struttura del genere si può usare un metodo chiamato “delle forze”, in cui si trasformano i vincoli in modo da riportare l’asta ad un sistema isostatico e restituendo i vincoli levati sottoforma di forza contrastante il movimento che il vincolo bloccava.

I vincoli perciò devono essere declassati. Ma come riconoscere i vincoli da declassare e quali no? In base alla conoscenza acquisita riguardo ai valori di abbassamento e rotazione nelle condizioni di carico si capisce quale è il vincolo da dover togliere in modo che il movimento dell’asta potrà essere riconducibile a quello di una struttura isostatica. Nel nostro caso il sistema migliore è quello di cambiare i 3 vincoli interni da cerniera esterna a cerniera interna a B, C e D. 

Il sistema ora è diventato isostatico ma differisce rispetto a quello di partenza. Per riportarlo allo stato originario ma mantenendo il nuovo vincolo dato basta aggiungere una reazione di momento, che chiameremo x₁ x₂ x₃, alle cerniere interne in modo da ristabilire il vincolo che indica che la parte a destra e a sinistra della cerniera non ruotino ma rimangano come un singolo elemento.

In questo caso noi siamo già a conoscenza del valore di rotazione dell’asta isostatica quindi è abbastanza agevole la risoluzione del sistema.

Grazie alla simmetria della struttura posso porre x₁=x₃.

A questo punto sappiamo che la rotazione nelle cerniere deve essere uguale a zero e possiamo quindi scrivere l’equazione di compatibilità cinematica: 

Sostituendo i valori dei momenti ai nodi nell’equazione e mettendo a sistema le corrispondenti equazioni contenenti x1 e x2 otterròi due risultati:

eguaglio

Una volta saputi i valori di x₁ ed x₂ applico il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi studio la struttura dividendola in due schemi: uno dipendente dal carico q e l’altro dipendente dalle reazioni vincolari x.

q)

x)

In tutti e due i casi posso scomporre la struttura in 4 aste isostatiche doppiamente appoggiate e andare a studiare le reazioni vincolari e quindi sommarli tra loro.

q)

x)

 

Dopo aver trovato finalmente le reazioni vincolari sovrappongo i due sistemi di reazioni e avere lo schema delle reazioni vincolari della nostra trave iperstatica di partenza.

Disegnamo ora i grafici di Taglio e Momento.

Per capire la rigidezza torsionale, abbiamo analizzato un nodo 3d costituito da tre aste incastrate e una mensola isostatica con carico distribuito. La struttura è 12 volte iperstatica in quanto essendo tridimensionale, un incastro ha 6 equazioni di vincolo e non 3. 

Come primo passaggio posso semplificare i calcoli sostituendo la mensola isostatica con l’effetto che produce ovvero un momento in corrispondenza del nodo. La forza ql verticale provocata dal carico, che diventa sforzo normale sul pilastro, teoricamente ci sarebbe, ma non viene in realtà considerata perché è un contenuto piccolissimo. Infatti, il pilastro è indeformabile assialmente, non si abbassa o accorcia in maniera visibile. Otteniamo quindi la seguente struttura equivalente:

Il momento ql²/2 applicato nel nodo provoca una rotazione, così le aste AB e AC ruotano in maniera antioraria. 

Il diagramma dei momenti mostra i valori ottenuti attraverso lo svolgimento della linea elastica sottostante.

Dal diagramma dei momenti, visto precedentemente, notiamo che il momento al nodo non si ribalta quindi suggerisce che il nodo non è in equilibrio. Infatti il momento ql²/2 oltre a provocare momento flettente nelle aste AB e AC che stanno sul piano xz ,  provoca un momento torcente nell’asta perpendicolare a queste AD che giace sul piano yz. Vengono così introdotti due concetti di rigidezza: flessionale e torsionale.

EQUILIBRIO AL NODO

Ora analizzo come può variare la rigidezza torsionale a seconda del materiale e delle sezioni.

Lo studio sarà effettuato prima attraverso dei calcoli manualmente poi con sap per confronto.

Iniziamo con il CALCESTRUZZO

DATI

L = 6m

q= 5 KN

ql²/2= 90 KN m

Riproducendo anche su sap il nodo 3d con le 3 aste incastrate e un momento di 90 kN m applicato nel nodo, iniazialmente do a tutte e tre le aste una sezione di calcestruzzo rettangolare come per i calcoli manuali. nel definire la sezione è importante che anche su sap il cls abbia lo stesso modulo di elasticità e modulo di elasticità tangenziale.

Analizzando questa struttura ottengo:

LA DEFORMATA E I VALORI DELLA ROTAZIONE

R₂=0,00094

DIAGRAMMA MOMENTO TORCENTE

Nella seconda applicazione provo a cambiare la sezione della terza asta AD, assegnandogli una sezione circolare di diametro  0,36 m.

Lo riporto su sap e ottengo:

La DEFORMATA e i valori della rotazione: 

R₂=0,00092

Momento torcente

Vediamo ora l'ACCIAIO

Scegliendo per tutte e tre le aste una sezione HE di questo tipo:

Applicando un momento lungo y pari a 90 KN m

Ottengo i seguenti risultati:

DEFORMAZIONE

R2=0,0059

MOMENTO TORCENTE

Ora cambio la sezione alla terza trave assegnandogli una sezione scatolare di questo tipo:

R2=0,00556

DIAGRAMMA MOMENTO TORCENTE

Dai risultati ottenuti possiamo notare che le sezioni in acciaio hanno una maggiore resistenza torsionale rispetto a quelle in cls, ma soprattutto le sezioni chiuse sono più rigide di quelle aperte, come possiamo notare nell'ultimo esempio dove il momento torcente è maggiore. 

In questo esercizio si vuole capire come influisce la torsione in un sistema strutturale . Analizzeremo una struttura tridimensionale e vedremo come il momento agente sul nodo si ripartisce in parte in momento flettente e in parte in momento torcente. 

SCHEMA DI CALCOLO

                           

La mensola è soggetta al carico distribuito che posso  sostituire , essendo un tratto isostatico in un contesto iperstatico, con il corrispondente valore del momento flettente applicato nel nodo. La struttura si trova in uno spazio tridimensionale presenta dunque sei gradi di libertà. poichè le aste sono indeformabile assialmente avremo che ux, uy, uz saranno uguale a zero.

Quello che agisce sulla struttura è un momento ql²/2 che provoca una rotazione. Il momento oltre a far ruotare le aste lungo xz provoca un momento torcente sull'asta perpendicolare.

                        

 

Il problema presenta un’incognita la rotazione che sarà trovata scrivendo l’equilibrio contro la rotazione del nodo:

ql²/2 = φy ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJT/l3)

dove ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJT/l3) = Rn ⇒RIGIDEZZA DEL NODO 

 

Ora svolgeremo l'esercizio in SAP trovandoci i valori di sollecitazioni delle varie aste e lo faremo cambiando di volta in volta sezioni e materiali per vederne come reagiscono le aste a seconda del materiale (acciaio e calcestruzzo) . 

Ricordiamo che  per una generica sezione il momento torsionale vale:

MT = (G*JT/l) ϑ(l)

dove:

G = modulo di elasticità tangenziale (dipende dal materiale)

Calcestruzzo:  Gcls = 10⁷ KN/m²

Acciaio: Gsteel = 8*10⁷ kN/m²

JT = momento di inerzia polare (dipende dalla sezione)

ϑ(l) = angolo unitario di rotazione

(G*JT/l) rappresenta la rigidezza torsionale delle generica asta di lunghezza "l".

 

Definiamo ora il carico e le luci delle aste

q = 10kN/m

l = 2m

My = ql²/2 = 20 kN/m

 

Calcestruzzo

• Sezione rettangolare 

       

Jt = c₂ * ab³

è tabelleto in funzione di a/b . In questo caso c2 = 0,291

Jt = (0,291) 0,63 * (0,15)³ = 0,0006475 m³

ql²/2 = φ ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3)

E (modulo di elasticità) = 21000000 kN/m²

I (momento di inerzia) = bh³/12 

G = 10000000 kN/m²

Rn = ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3) 

φy = ql²/2 / Rn 

Svolgiamo ora l'esercizio in SAP assegnando alle aste una sezione rettangolare piena in cls armato e applichiamo il momento agente lungo l'asse y

 

                                  deformata                                                                momento ( -9,30)

 

                     

φy= 0,0004314  

• Sezione circolare 

   

I (momento di inerzia) = pgreco*r⁴ /64 = 0,008245 m⁴

Jp = momento polare di inerzia = pgrego r⁴/ 2 = 0,00164 m³

Rn = ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJp/l3)

φy = ql²/2 / Rn 

                          deformata                                                                momento ( -8,35)                   

φy= 0,0003863

Acciaio

•  Sezione quadrata cava

Jt = 4Ω²t/ lm = 0,00006859 m²

Rn= ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3)

φy = ql²/2 / Rn 

                           deformata                                                                momento ( -9,85)  

 

φy = 0,0001121

• Ipe

E (modulo di elasticità) = 21000000 kN/m²

G (modulo di elasticità tangenziale) = 80000000 kN/m²

Jt  = 0,0000004833 m³

Rn= ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3)

φy = ql²/2 / Rn 

                      deformata                                                                momento ( -9,99)  

φy = 0,0001138

 

Dai risultati ottenuti si può notare che le sezioni in acciaio offrono una maggiore resistenza rispetto a quelle in calcestruzzo in quanto possiedono un modulo di elasticità tangenziale superiore. Tra le sezioni in acciaio quella che risulta avere una migliore rigidezza torsionale è il profilo chiuso cavo, in quanto le tensioni tangenziali aumentano all'aumentare della loro distanza torsionale.

in questa esercitazione studiamo una struttura reticolare tridimenionale con l'ausilio del programma SAP2000, al fine di valutare gli effetti di un carico distribuito su una struttura isostatica di questo tipo. 

la struttura è stata disegnata precedentemete su Rhinoceros per motivi di comodità e poi importata su SAP con il formato .IGS

una volta importato il disegno è bene ridurre la tolleranza di errore del file in modo che, se a seguito dell'importazione, le linee avessero subito qualche variazione come un minimo distanziamento, con il comando MERGE TOLERANCE tutto questo verrebbe evitato e le linee a una distanza inferiore al valore da noi impostato si considererebbero unite

per rendere la stuttura reticolare isostatica assegniamo 3 vincoli a tre nodi inferiori (comandi ASSIGN-JOINT-RESTRAINTS)

assegniamo alle aste una sezione tubolare in acciaio e il peso proprio nullo, in modo che non influenzi l'analisi 

assegniamo un carico distribuito ai nodi superiori pari a 50KN (comandi ASSIGN-JOINT LOADS-FORCES)

avendo a che fare con una trave reticolare in cui i nodi sono cerniere dobbiamo impostare il rilascio dei momenti, un operazione che dichiara l'intrasmissibilità dei momenti attraverso le cerniere.

ora possiamo avviare l'analisi, ottenendo l'immagine accentuata della deformata

da questa analisi possiamo ottenere anche delle tabelle (esportabili su excel) con riportati per esempio i valori delle reazioni vincolari o i valori di taglio e memento per ogni asta che compone la trave, come accade nella tabella riportata sotto.

Rigidezza torsionale

Andiamo ad analizzare la rigidezza torsionale in un sistema tridimensionale iperstatico.

La struttura è composta da una T con un braccio perpendicolare, la forza distribuita è applicata sul braccio privo di vincolo e l'azione può essere riassunta con il momento agente che va a provocare.

In una prima analisi isolo la struttura A-D-B e vado a calcolare i momenti agenti nei corpi A-D e B-D a causa del momento
ql²/2

Tramite l'integrazione della linea elastica ottengo i due momenti nei nodi: (4EI/l)φ

La rotazione della struttura provoca una torsione della asta D-C: (GJt/l)φ

Il momento agente viene ripartito nelle tre aste: M_tot= [(4EI/l)φ + (4EI/l)φ + (GJt/l)φ]* φ

A questo punto modello la struttura con sap inserisco i vincoli ed applico il momento agente

Vado a calcolare la deformata

E vado a visionare i tre diagrammi del: Taglio

Momento

e Torsione

Ora applico alla struttura due profili e materiali differenti
Il primo profilo è uno scatolare rettangolare in acciaio 0,3m * 0,15m con uno spessore di 0,006m

Il secondo profilo è un elemento 0,2m * 0,1m in cemento privo di ferri

 

 

Esercitazione_2.1

trave reticolare piana (risoluzione a mano e tramite software SAP2000)

 

 

1_

Il sistema proposto risulta essere un sistema isostatico, quindi per poterlo risolvere si ricorre ad uno schema equivalente di trave appoggiata-appoggiata per risolvere le reazioni vincolari e successivamente al metodo delle sezioni di Ritter per risoluzione delle aste della reticolare, quale metodo delle sezioni riesce a definire gli sforzi normali presenti sulle aste, definendo di conseguenza la loro natura di puntoni o tiranti.

 

 

2_

Si procede con la risoluzione di uno schema equivalente di trave appoggiata-appoggiata per definire le reazioni vincolari, nel caso dell’esercizio:

RUA = 0 

RVA + RVB - (9*F) = 0 ⇒ RVA = RVB = (1/2*(9*F))

 

 

3_

Si procede con l’applicazione del metodo delle sezioni di Ritter (metodo degli equilibri parziali), in questo metodo, la parte di struttura che deve essere in equilibrio viene individuata da una sezione che taglia le aste, dove le 3 aste tagliate non devono mai convergere nello stesso nodo. Questo metodo analizza le azioni di contatto presenti nelle aste andando a definire il loro sforzo normale e la loro classificazione (puntoni o tiranti).

 

 

sezione verticale_1

 

Eql. alla rotazione

MD= F*L + NAC*L - (1/2*(9*F))*L = 0 => NAC = (1/2*(7*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NAD - F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NAD  = -(1/2*(7*F))

=> NAD = -(1/√2*(7*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NBD + (1/2*(7*F)) - (1/2*(7*F)) = 0 => NBD = 0 _scarica

sezione obliqua_1

 

Eql. delle forze verticali

NAB + (1/2*(9*F)) - (1/2*(7*F)) = 0 => NAB = -F _tirante

 

sezione verticale_2

 

Eql. alla rotazione

ME= F*L  + (2*(F*L))+ NCF*L - (1/2*(9*F))*(2*L) = 0 => NCF = (1/2*(3*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NCE - 2*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*(5*F))

=> NCE = -(1/√2*(5*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NDE + (1/2*(3*F)) - (1/2*(5*F)) = 0 => NDE = F _puntone

sezione obliqua_2

 

Eql. delle forze verticali

- NDc + (1/2*(9*F)) - 2*F = 0 => NDC = - (1/2*(5*F)) _tirante

 

sezione verticale_3

 

Eql. alla rotazione

MD= F*L  + (2*(F*L)) + (3*(F*L)) + NFH*L - (1/2*(9*F))*(3*L) = 0 => NFH = (1/2*(15*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NFG - 3*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*(3*F))

=> NFG = -(1/√2*(3*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NEG + (1/2*(15*F)) - (1/2*(3*F)) = 0 => NEG = 6*F _puntone

sezione obliqua_3

 

Eql. delle forze verticali

- NEF + (1/2*(9*F)) - 3*F = 0 => NEF = - (1/2*(3*F)) _tirante

 

sezione verticale_4

 

Eql. alla rotazione

MI= F*L  + (2*(F*L)) + (3*(F*L)) + (4*(F*L)) + NHJ*L - (1/2*(9*F))*(4*L) = 0

=> NHJ = 8*F _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NHI - 4*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*F)

=> NHI = -(1/√2**F) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NGI  + 8*F - (1/2**F)  = 0 => NGI = (1/2*(15*F)) _puntone

sezione obliqua_4

 

Eql. delle forze verticali

- NGH + (1/2*(9*F)) - 4*F = 0 => NGH = 1/2*F _puntone

 

sezione obliqua_5

 

Eql. delle forze verticali

- NIJ + (1/2*(9*F)) - 5*F = 0 => Nij = - (1/2*(3*F)) _tirante

 

4_

Successivamente alla risoluzione del sistema della trave reticolare si procede con la graficizzazione del diagramma dei sforzi normali delle aste, come si può vedere in fingura:

 

 

 

5_

Successivamente alla risoluzione a mano del sistema della trave reticolare si procede con la verifica tramite il software SAP.

La modellazione viene effettuata per comodità direttamente in SAP.

creare un nuovo file con una griglia utile al disegno dell’asta:

FILE > NEW MODEL >

QUICK GRID LINES > impostare 9 assi sull’asse x, 1 sull’asse y e 2 sull’asse z > impostare come GRID SPACING la dimensione che vorremo dare alla lunghezza della trave

 

le impostazioni date alla griglia dovrebbero produrre una condizione analoga alla seguente:

 

disegnare le aste della trave seguendo la spaziatura della griglia preimpostata.

 

assegnare i vincoli: 

selezionare il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > spuntare le sollecitazioni che il vincolo da posizionare trattiene

 

assegnare un incastro a sinistra ed un carrello a destra

 

Dato che in una struttura reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere, dobbiamo fare un’operazione di rilascio del momento ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0.

 

N.B. In questo tipo di esercizi, impostiamo l’analisi in modo che non consideri il peso proprio della struttura (che costituirebbe un carico distribuito su travi che si deve considerare scariche). 

Ciò viene fatto creando un nuovo LOAD PATTERN che abbia 0 come coefficiente di moltiplicazione del carico SELF WEIGHT MULTIPLER.

 

Si procede con l’assegnazione dei carichi con il comando ASSIGN > JOINT LOADS > FORCES, trattandosi di un’idealizzazione per la quale i carichi sono concentrati tutti nei nodi.

 

N.B. si possono anche analizzare gli sforzi a cui sono sottoposti i vincoli dando il comando SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

 

Possiamo ora avviare l’analisi. Il software mostra per prima cosa l’andamento della deformata.

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > AXIAL FORCE

 

In questo breve post pubblico la prima esercitazione, che, a causa di un fraintendimento, non si trova collocata assieme a quella sulle travi reticolari piane. Tratteremo in questo ambito sempre di travi reticolari, ma in questo caso non più giacenti su un piano bidimensionale, bensì nell'intero dominio tridimensionale dello spazio. Proprio per questa loro caratteristica, esse ben si prefigurano a resistere alle sollecitazioni agenti su tutti e tre gli assi cartesiani e, se ben progettate, grazie alla prefabbricazione ed alla standardizzazione degli elementi costitutivi, il costo della loro opera risulta diminuito, i lavori in cantiere sono semplificati e terminati più rapidamente. Morfologicamente esse si presentano come una consistente quantità di aste collegate tra loro in modo da formare un grigliato. Grazie a questa disposizione, i carichi isolati agenti in alcuni punti dell'opera non sono sopportatati soltanto dagli elementi direttamente caricati, ma anche da altri che si trovano a notevole distanza dai carichi stessi. Le considerevoli tensioni negli elementi direttamente caricati diminuiscono, mentre aumentano quelle negli altri elementi, così da ottenere una distribuzione più omogenea delle sollecitazioni nell'insieme della struttura. Nella maggior parte dei casi, come riportato in foto, il nodo tra le aste è costituito da una cerniera 3D, che permette la rotazione lungo i tre assi.

Vediamo quindi come disegnare un tale sistema con SAP2000. Iniziamo innanzitutto modellando su AUTOCAD una maglia sul piano xy, costituita da linee singole (non polilinee) di lunghezza 2 m di lato, a formare un quadrato con 2 vertici collegati da una diagonale:

Dobbiamo ora completare lo schema anche sul piano z, ricordandoci di evitare che alcune linee si sovrappongano o siano assegnate al layer 0:

 

Una volta salvato il file di AUTOCAD in .dxf, possiamo importarlo in SAP2000:

 

 

 

Scegliamo l’acciaio come materiale delle aste, assegnandogli una sezione tubolare (pipe), tramite il comando DEFINE > SECTION PROPERTIES > FRAME SECTIONS:

Assegniamo ora i carichi, applicandoli su tutti i nodi superiori della travatura reticolare, come il modello di queste travi ci impone. E' opportuno inoltre, prima di avviare l’analisi, scaricare ogni asta dal peso proprio della struttura, in quanto costituirebbe un carico distribuito su aste il cui modello ci obbliga a considerare scariche. Creiamo quindi un nuovo LOAD PATTERN che abbia 0 come coefficiente di moltiplicazione del carico SELF WEIGHT MULTIPLER:

 

Dato che in una struttura reticolare le aste hanno come vincoli interni delle cerniere, occorre eseguire un’operazione di rilascio del momento, tramite il comando ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0:

Avviando al solito modo l'analisi, ci verrà restituita sullo schermo la deformata e, cliccando su SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > AXIAL FORCE, anche il diagramma degli sforzi assiali delle aste, unici sforzi reagenti della struttura:

 

Non ci rimane che quantificare a quali tensioni sia soggetta ogni asta, tramite l'apposito tasto di tabellazione dei valori, apponendo sul menù che si apre la spunta alla casella ELEMENT FORCES - FRAMES:

Esportiamo la tabella ottenuta su Excel, riportando come valori solo quello dello sforzo normale (N), dell'area e delle tensioni σ  = (N/A) di ogni asta, in funzione delle quali si sceglierà opportunamente l'acciaio da usare. In particolare si noti come i valori negativi indichino le aste compresse (puntoni), mentre quelli positivi le aste tirate (tiranti).