Portale di Meccanica

Esercitazione_7

controventi (ripartizione delle forze sismiche)

1_

tipologia di esercizio

L’esercizio inquadra una struttura composta da C.A., avente una maglia strutturale definita da pilastri con dimensioni 30x30 cm, e da due passi strutturali, rispettivamente di 5,10 m e 1,70m. L’obiettivo del essercizio e quello di verificare la reazione dell’impalcato alle forze esterne di carattere sismico. I vincoli ad incastro verranno rappresentati graficamente attraverso delle molle, quindi dei vincoli cedevoli elasticamente (in questo caso le molle rispettano lalegge di Hooke: F = k*δ, mentre il pilastro contribuisce sul relativo controvento con una rigidezza traslante pari a k = (12*E*J)*1/12).

2_

calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell’edificio

Dati:

E (modulo di Young) = 21’000 N/mm²

H (altezza dei pilastri) = 3,50 m

Jxx (modulo di inerzia in direzione x-x) = 67’500 cm⁴

Jyy (modulo di inerzia in direzione y-y) = 67’500 cm⁴

3_

tabella sinotica controventi e distanze

Dati:

Kv, Ko (rigidezza traslanti dedotte dal punto 2)

Kv, Ko (rigidezza traslanti dedotte dal punto 2)

4_

calcolo del centro di massa

Dati:

Xg, Yg (rigidezza traslanti dedotte dal punto 2)

A1, A2, A3, A4 (rigidezza traslanti dedotte dal punto 2)

5_

calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Dati:

Kv, Ko (rigidezza totali delle molle)

ddv, ddo (distanza dei controventi dal centro delle rigidezze)

6_

analisi dei carichi sismici

Dati:

qs (carico strutturale)

qp (carico permanente)

qa (carico accidentale)

y (coeficiente di contemporaneità)

c (coeficiente di intensità sismica)

ddv, ddo (distanza dei controventi dal centro delle rigidezze)

7_

ripartizione della forza sismica lungo X

Dati:

M (momento torcente) = F *(Yc - Yg)

uo (traslazione orizzontale) = F*(1/KoTOT)

φ (rotazione impalcato) = M*(1/Kφ)

8_

ripartizione della forza sismica lungo Y

Dati:

M (momento torcente) = F *(Xc - Xg)

uo (traslazione orizzontale) = F*(1/KvTOT)

φ (rotazione impalcato) = M*(1/Kφ)

Definiamo un impalcato composto da 4 telai piani lungo l' asse X e 3 lungo l' asse Y, e un totale di  10 pilastri che dovranno assorbire, oltre ai carichi verticali, le forze orizzontali sul piano xy;

con pilastro in C.A. a sezione rettangolare:

con un Momento d' Inerzia pari a J = (bh³)/12

Coordinate del CENTRO DI MASSA (G) -> Il calcolo per l' impalcato studiato consiste  nella semplificazione della planimetria in geometrie più semplici delle quali troviamo le coordinate dei rispettivi centri

Coordinate del CENTRO DELLE RIGIDEZZE (C) -> Il punto dove si concentrano le risultanti delle resistenze orizzontali

Esercitazione_4

trave su più appoggi (risoluzione di un sistema iperstatico attraverso il metodo delle forze)

1_

tipologia di esercizio

L’esercizio inquadra una struttura composta da una trave su più appoggi, la quale risulta di conseguenza iperstatica. Per procedere quindi con la risoluzione dello schema verrà applicato il metodo delle forze, il quale metodo prevede il declassamento dei vincoli, sostituendoli con forze o momenti, corrispondenti alle reazioni vincolari escluse dallo schema. Questo metodo ha come obbiettivo la risoluzione di uno schema iperstatico mediante schemi isostatici equivalenti.

2_

analisi della trave

La scelta del declassamento dei vincoli viene definita dalla conoscenza del valore di abbassamento e rotazione (deformata della trave) sotto condizioni di carico distribuito o momenti flettenti. Per procedere quindi con la risoluzione dello schema iperstatico, si declassano le cerniere B-C-D, rendendole di conseguenza passanti (quindi interne) e aggiungendo delle coppie di momenti nei punti B-C-D. Le coppie di momenti riescono a ripristinare la condizione di vincolo esclusa precedentemente, garantendo di conseguenza una simmetria nella rotazione della cerniera interna.

3_

equazioni di compatibilità cinematica

Successivamente vengono definite le equazioni di compatibilità cinematica della trave, dove abbiamo:

tratto A-B

ΔφB = ΔφD = 0 per simmetria dello schema trave

ΔφB = ΔφBs + ΔφBd ⇒ ΔφBs = ((q*L³)*(1/24*E*J)) - ((xBs*L)*(1/3*E*J))

⇒ ΔφBd = - ((q*L³)*(1/24*E*J)) + ((xBd*L)*(1/3*E*J)) + ((xCs*L)*(1/6*E*J))

ΔφBs = ((q*L³)*(1/24*E*J))-((xBs*L)*(1/3*E*J)) = -((q*L³)*(1/24*E*J))+((xBd*L)*(1/3*E*J))+((xCs*L)*(1/6*E*J)) = ΔφBd

⇒ ΔφB = ((q*L²)*(1/8)) - (ΔφC*(1/4))

tratto B-C

ΔφB = ΔφD = 0 per simmetria dello schema trave

ΔφC = 0

ΔφC = ΔφCs + ΔφCd ⇒ ΔφCs = ((q*L³)*(1/24*E*J)) - ((xBd*L)*(1/6*E*J)) - ((xCs*L)*(1/3*E*J))

⇒ ΔφCd = - ((q*L³)*(1/24*E*J)) + ((xDs*L)*(1/6*E*J)) + ((xCd*L)*(1/6*E*J))

ΔφCs = ((q*L³)*(1/24*E*J))-((xBd*L)*(1/6*E*J))-((xCs*L)*(1/3*E*J)) = -((q*L³)*(1/24*E*J))+((xDs*L)*(1/6*E*J))+((xCd*L)*(1/6*E*J)) = ΔφCd

⇒ Δφc = ((q*L²)*(1/14))

ΔφB = ((q*L²)*(1/8)) - (ΔφC*(1/4))

⇒ ΔφB = ((q*L²)*(1/8)) - (((q*L²)*(1/14))*(1/4))

⇒ ΔφB = ((q*L²)*(3/28))

4_

equazioni di equilibrio

Successivamente vengono definite le equazioni di equilibrio della trave, dove abbiamo:

tratto A-B

RVA = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) ⇒ RVA = (q*L*(11/28))

RVBs = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) ⇒ RVBs = (q*L*(17/28))

tratto B-C

RVBd = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) - (q*L*(1/14) ⇒ RVBd = (q*L*(15/28))

RVCs = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) + (q*L*(1/14) ⇒ RVCs = (q*L*(13/28))

tratto C-D

RVCd = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) + (q*L*(1/14) ⇒ RVCd = (q*L*(13/28))

RVDs = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) - (q*L*(1/14) ⇒ RVDs = (q*L*(15/28))

tratto D-E

RVDd = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) - (q*L*(1/14) ⇒ RVCd = (q*L*(15/28))

RVE = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) ⇒ RVE = (q*L*(11/28))

Successivamente vengono definite le reazioni vincolari complessive del sistema analizzato:

RVA = (q*L*(11/28))

RVBs = (q*L*(17/28)) ⎫

           +                 ⎬ ⇒ RVB = (q*L*(8/7))

RVBd = (q*L*(15/28)) ⎭

RVCs = (q*L*(13/28)) ⎫

           +                 ⎬ ⇒ RVC = (q*L*(13/14))

RVCd = (q*L*(13/28)) ⎭

RVDs = (q*L*(15/28)) ⎫

           +                 ⎬ ⇒ RVD = (q*L*(8/7))

RVDd = (q*L*(17/28)) ⎭

RVE = (q*L*(11/28))

5_

sollecitazioni di taglio e momento flettente

Successivamente vengono definite le sollecitazioni a taglio ed i punti di nullo del taglio, quest’ultimi eguagliando il valore del taglio nel dato tratto a 0 (sapendo che il punto di nullo definisce come suggerito dal nome il punto dove il taglio presenta un valore pari a 0):

taglio

tratto A-B

Ts = - (q*L*(11/28)) + q*s

s = 0 ⇒ T0 = - (q*L*(11/28))

s = L ⇒ TL = (q*L*(17/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) + q*s = 0

⇒ s = L*(11/28)

tratto A-B + B-C

Ts = - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) + q*s

s = L ⇒ TL = - (q*L*(15/28))

s = 2*L ⇒ T2L = (q*L*(13/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) + q*L = 0

⇒ s = L*(15/28)

tratto A-B + B-C + C-D

Ts = - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) + q*s

s = 2*L ⇒ T0 = - (q*L*(13/28))

s = 3*L ⇒ T0 = (q*L*(15/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) + q*2*L = 0

⇒ s = L*(13/28)

tratto A-B + B-C + C-D + D-E

Ts = - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) - (q*L*(8/7)) + q*s

s = 3*L ⇒ T0 = - (q*L*(17/28))

s = 4*L ⇒ T0 = (q*L*(11/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) - (q*L*(8/7)) + q*3 = 0

⇒ s = L*(17/28)

momento

tratto A-B

Ms = ((q*L*(11/28))*s) - ((q*s²)*1/2)

s = 0 ⇒ M0 = 0

s = L ⇒ ML = - (q*L²*(3/28))

s = L*(11/28) ⇒ ML1 = (q*L*(121/1568))

tratto A-B + B-C

Ms = + (((q*L*(11/28))*(L+s)) + ((q*L*(8/7))*(s)) - ((q*(L+s)²*1/2)

s = 0 ⇒ M0 = - (q*L²*(3/28))

s = L ⇒ ML = - (q*L²*(1/14))

s = L*(15/28) ⇒ ML1 = (q*L*(7/196))

tratto A-B + B-C + C-D

Ms = + (((q*L*(11/28))*(2*L+s)) + (((q*L*(8/7))*(L+s)) + ((q*L*(13/14))*s) - ((q*(L+s)²* 1/2)

s = 0 ⇒ M0 = - (q*L²*(1/14))

s = L ⇒ ML = - (q*L²*(3/28))

s = L*(13/28) ⇒ ML1 = (q*L*(7/196))

tratto A-B + B-C + C-D + D-E

Ms = + (((q*L*(11/28))*(3*L+s)) + (((q*L*(8/7))*(2*L+s)) + (((q*L*(13/14))*(L+s)) + ((q*L*(8/7))*s) - ((q*(L+s)²*1/2)

s = 0 ⇒ M0 = - (q*L²*(3/28))

s = L ⇒ ML = 0

s = L*(11/28) ⇒ ML1 = (q*L*(121/1568))

Una trave virendeel  presenta molte analogie con un telaio shear type, con l’unica differenza che è posizionato in orizzontale, e quindi invece di avere travi infinitamente rigide avrà i pilastri infinitamente rigidi e travi deformabili. 

La trave virendell  viene utilizzata perché il suo particolare comportamento permette di spezzare il diagramma del momento in ogni campata e ridurre i valori delle reazioni agli incastri.

Iniziamo con l’analizzare il modello shear type. Il portale ha una trave composta da un corpo rigido indeformabile, se applichiamo una forza F la trave non potendo ne deformarsi ne ruotare, è soggetta alla sola traslazione orizzontale  , che dipende dalla rigidezza dei pilastri

Il pilastro risulta essere doppiamente incastrato, quindi 3 volte iperstatico, ipotiziamo un cedimento vincolare nell'incastro B in modo da analizzarne curvatura e momento anche in assenza di carico.

Attraverso l'integrazione della linea alestica possiamo ricavarci il taglio ed il momento:

                 nel nostro caso non abbiamo carico quindi q=0               

Dalle condizioni a bordo sappiamo che:

Otteniamo così le equazioni di spostamento e rotazione

Deriviamo la rotazione per ottenere la curvatura, e di conseguenza il momento flettente ed il taglio che ne è la derivata

Le reazioni vincolari si trasmettono da pilastro a treve

Attraverso l'equilibrio alla traslazione orizzontale calcoliamo dello spostamento e della rigidezza

Ora possiamo affrontare l'esercizio sulla TRAVE VIRENDELL A MENSOLA

Come abbiamo visto dal modello precedente, la forza agente sulla struttura si ripartisce nel TAGLIO delle travi in proporzione alla loro rigidezza, poichè abbiamo travi con la stessa luce e stesso materiale, anche la rigidezza sarà uguale.

Ciascuna trave ha un taglio pari alla metà della forza agente sommata al taglio che proviene dalla trave precedente.

Per ottenere il momento flettente moltiplichiamo il taglio per metà della luce

Analizziamo come il momento si trasmette da trave a pilastro attraverso l'equilibrio del nodo

Ottenuti i valori dei momenti, ci ricaviamo quelli del taglio facendo l'equilibrio alla rotazione dei pilastri, sommiamo i momenti e dividiamo per la luce del pilatro

Determiniamo l'abbassamento () in ogni campata, sappiamo che la rigidezza nel telaio shear type simmetrico è pari a 12EI/L³ per ciascuna trave, conoscendo il taglio in ciascuna campata otteniamo:

La deformata sarà:

VERIFICA IN SAP

Nel disegnare il modello in sap l'unica accortenza che dobbiamo avere è quella di dire al programma che i pilastri sono infinitamente rigidi tenendo presente che il programma non conosce il modello ideale di corpo rigido, ma possiamo simularlo con un modulo di elasticità molto elevato. Questo però non basta per ottenere i risulatati simili al modello ideale, dato che SAP considera le travi come corpi rigidi, e quindi c'è una distribuzione diversa del momento. Per avvicinarci ancora di più la modello ideale attribuiamo una sezione molto piccola o un modulo di elasticità basso alle travi.

DEFORMATA

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

DIAGRAMMA SFORZO ASSIALE

TRAVE VIRENDEEL DOPPIAMENTE INCASTRATA

Il procedimento è analogo all'esercizio precedente, con la sola differenza che in questo caso la trave è doppiamente incastrata e per la simmetria della struttura possiamo effettuare dei ragionamenti su metà di essa.

Questo comporta che nell'analizzare solo la prima parte della struttura la forza del pilastro centrale deve essere considerata a metà.

Analogamente a prima ci calcoliamo il taglio

e di conseguenza il momento, dividendo il taglio per metà della luce

Attraverso l'equilibrio dei nodi ci troviamo i momenti agenti sui pilastri, ricordandoci che il nodo D sarà la somma dei momenti provenienti da sinistra e da destra.

dai momenti ci ricaviamo il taglio nei pilastri

ed infine gli abbassamenti ()

DEFORMATA

VERIFICA IN SAP

DEFORMATA

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

DIAGRAMMA DELLO SFORZO ASSIALE

In questo blog si vuole determinare come e in che misura il seguente impalcato reagisce ad una forza orizzontale (sisma – vento), tramite l’azione dei controventi. Il soggetto in esame altro non è che il telaio (travi e pilastri allineati nello stesso piano) il quale non ha solo il compito di ripartire i carichi verticali ma anche quelli orizzontali.

Nello schema i controventi, in quanto hanno un comportamento elastico, vengono rappresentati come delle molle ognuna caratterizzata da una propria rigidezza, che può variare in funzione di alcuni parametri (ad esempio la sezione dei pilastri). Conoscendo il valore delle distanze delle molle dal punto di rotazione O (origine del sistema di coordinate), la dimensione dei pilastri(30cm x 40cm, h= 320 cm), il materiale utilizzato (calcestruzzo armato con modulo di Young E=210000 N/mm²), possiamo iniziare il calcolo dell’impalcato soggetto alla forza orizzontale “F”.

1-      Calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

In questo passaggio si vuole determinare quale è la forza, e quindi rigidezza, che i vari telai, presi in esame uno ad uno, oppongo alla traslazione lungo il loro asse. La rigidezza del telaio è il risultato della somma della rigidezza di ogni pilastro ad esso appartenete (proprio come nel modello shear-type) e vale:

Kᴛ = 12E Itot/h³

2-      Tabella sinottica controventi e distanze

Di seguito vengono riportate in tabella le rigidezze traslanti dei telai e la loro distanza dal punto di rotazione O

3-      Calcolo del centro di massa

Siccome non è immediatamente riconoscibile il centro di massa, in quanto l’impalcato non è simmetrico, si procede semplificando l’impalcato stesso in forme semplici, rettangoli e/o quadrati, di cui vengono trovati facilmente i baricentri. Il centro di massa dell’intero impalcato non sarà altro che la somma delle coordinate, lungo x ed y, per le rispettive aree, diviso l’area totale dell’impalcato.

 Xg= (ΣXi * Ai) / Atot        con i che va da 1 a 3

 Yg= (ΣYi * Ai) / Atot

4-      Calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Il centro delle rigidezze è il centro del sistema di forze considerate, in cui viene applicata la risultante delle rigidezze traslanti dei controventi lungo l’asse x ed y. Ora non resta che ricavare le distanze dei controventi dal centro delle rigidezze in modo da trovare il valore della rigidezza torsionale (Kϕ) dell’impalcato che rappresenta la rigidezza complessiva a rotazione delle molle.

 Xc= (ΣKyi * dyi) / Kytot   con i che va da 1 a 4

 Yc= (ΣKxi * dxi) / Kxtot

 Kϕ= (ΣKi * di²)

5-      Analisi dei carichi sismici

A questo punto viene definita la forza sismica, applicata nel centro di massa, come il prodotto tra  la massa dell’impalcato e l’accelerazione del suolo dovuto al sisma.

F = m a

La massa dell’impalcato “W” è data dalla somma del carico totale permanente “G” e del carico totale accidentale “Q” per il coefficiente di intensità sismica “ψ” (da normativa), dove:

G =  (carico strutturale (qs ) + sovraccarico permanente (qp)) * l’area totale dell’impalcato (Ωtot)
Q = sovraccarico accidentale (qa) * l’area totale dell’impalcato (Ωtot)
L’accelerazione è data dalla normativa e dipende dal sito in esame. Prendiamo come riferimento la zona di Roma dove il valore della accelerazione è di 0,12.

6-      Ripartizione della forza sismica

Si arriva, infine a definire le incognite del problema e cioè la traslazione “u” lungo gli assi di riferimento e la rotazione “ϕ” dell impalcato per poi trovare il momento torcente  prodotto dalla forza sismica e ripartirla, cioè quantificare la forza che ogni controvento offre al sistema.

In generale l’impalcato esaminato ha un buon comportamento sismico in quanto centro delle masse e centro delle rigidezze sono molti vicini e ciò rende il momento torcente abbastanza contenuto, evitando che la rotazione sia eccessiva. Infine è interessante notare il comportamento di sistema dei controventi. I telai con un valore maggiore della rigidezza assorbono una quantità maggiore della forza sismica.

Chi più ha, più paga… mi sembra giusto!

Ripartizione forza sismica

Scelgo un impalcato di riferimento, nello specifico questo è composto da tre telai piani lungo l'asse x tra i nodi (1-2-5-7)(2-4-6-8)(9-10) e quattro telai piani lungo l'asse y tra i nodi (1-2)(3-4-9)(5-6-10)(7-8).
I vincoli della struttura vengono rappresentati come molle poichè, anche se il solaio è rigido, i controventi godono di una loro elasticità di base.

A questo punto devo scegliere un profilo in acciaio da adottare nella struttura: in questo caso ho preso una trave IPE 200

Scelto il profilo vado a calcolare, con l'ausilio della tabella excel tutti i telai che compongono la struttura
lungo l'asse x:

e lungo l'asse y:

Una volta inseriti i dati dei miei telai e del profilo che vado ad utilizzare la TABELLA SINOTTICA CONTROVENTI E DISTANZE del mio foglio excel determina i valori delle rigidezze della struttura.

Nella fase successiva devo determinare il centro di massa del mio solaio, quindi divido la struttura in due corpi rettangolari e trovo geometricamente i loro centri

Ora so le coordinate dei due centri A (11;3) e B (13;11) rispetto al sistema cartesiano di riferimento che ho adottato ed inserendo le due aree e le coordinate posso ricavare il centro di massa dell'intera struttura C (11,63 ; 5,50)

La posizione del centro di massa dell'impalcato e i suoi valori di rigidezza mi permettono di determinare il centro delle rigidezze: il punto in cui si applica la risultante delle forze resistenti

A questo punto si va a calcolare il valore della spinta orizzontale esercitato dal sisma sulla mia struttura

I valori di sovraccarico permanente e accidentare ed il carico permanete sono normati e vengono analizzate sul telaio specifico nel calcolo del carico totale permanente ed accidenale.

Ora devo determinare come la spinta orizzontale del sisma si va ripartendo sui miei telai lungo le due direzioni x e y e come questa spinta provoca la rotazione della struttura:
lungo l'asse x:

e lungo l'asse y: