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Analizzando il telaio shear-type abbiamo assimilato il concetto di rigidezza: essa può essere espressa come la forza necessaria ad imprimere uno spostamento unitario, dal momento che la forza F è pari alla rigidezza K per lo spostamento d. In sostanza è ciò che lega la causa (forza) all’effetto prodotto (spostamento): maggiore è la rigidezza, maggiore dovrà essere la forza necessaria a produrre un medesimo spostamento.

 

Trattando il tema dei controventi e, di conseguenza, della risposta alle azioni orizzontali di varia natura (sisma, vento, ecc.) che una struttura deve necessariamente essere in grado di sopportare, è opportuno fare una precisazione: l’efficacia di un sistema di controventi risiede nella possibilità di considerare l’impalcato in questione come un corpo infinitamente rigido sul piano orizzontale. Esso, quindi, è incapace di deformarsi se soggetto a forze agenti lungo il suo medesimo piano e si inflette nel caso dell’azione di forze verticali che qui però non trattiamo. I controventi, dunque, possono essere considerati vincoli elastici cedevoli, i quali contrastano le forze agenti sul loro stesso piano. La loro elasticità consente al corpo rigido degli spostamenti indotti dalla forza agente, alla quale corrisponde una reazione proporzionale alla rigidezza (vedi telaio shear-type). 

Nel caso più semplice di controventi con eguale rigidezza avremo una medesima ripartizione della forza agente e il corpo rigido traslerà.

 

Quando, invece, abbiamo controventi con rigidezze tra loro differenti sappiamo che la forza agente verrà ripartita in proporzione alle rigidezze appunto, quindi anche gli spostamenti ddiversi per ogni molla. Di conseguenza, il corpo rigido non si limiterà a traslare, ma ruoterà. Questo avviene nei casi in cui l’asse della forza agente F non corrisponde all’asse dei centri delle rigidezze, ossia l’asse della forza reagente risultante equivalente alle 2 reazioni singole.

Gli spostamenti finali, quindi, risentono della traslazione dlungo al direzione di F e di una rotazione attorno al centro delle rigidezze. In sostanza le due grandezze fondamentali sono la rigidezza traslante K_de la rigidezza rotazionale K_fi. 

 

Lo scopo dell’esercitazione seguente è quello di analizzare un impalcato strutturale, calcolando la rigidezza traslante, il centro di massa, il centro delle rigidezze, la rigidezza rotazionale e quantificando la ripartizione delle azioni orizzontali (sismiche) sui diversi controventi.

Pianta strutturale e sistema di controventi

 

STEP 1

Dopo aver individuato i pilastri che compongono i 7 telai dell’impalcato assegno ad ognuno di loro un materiale (in questo caso ca) e una sezione (b=10 cm; h=15 cm). L’obiettivo è calcolare la rigidezza traslante K_ddi ogni telaio, ovvero la  somma delle rigidezze dei singoli pilastri che lo compongono, la quale come sappiamo dipende dal modulo di Young E, dal Momento d’Inerzia I e dalla luce L (nello specifico l’altezza h).

 

STEP 2

Raccogliamo in una tabella i valori delle rigidezze traslanti dei telai e le distanze degli stessi da un punto O ritenuto origine del sistema di riferimento. Come vedremo queste distanze relative ci serviranno nel calcolo del centro delle rigidezze.

 

STEP 3

A questo punto calcoliamo il centro di massa del nostro impalcato: il procedimento è puramente i natura geometrica e consiste nel suddividere la pianta in forme semplici (rettangoli) delle quali calcolo il corrispondente centro di massa. Una volta ottenute le coordinate dei 2 centri di massa dei 2 rettangoli, con una semplice media ponderata abbiamo le coordinate del centro di massa dell’impalcato.

 

 

STEP 4

Il quarto step prevede il calcolo del centro delle rigidezze, per il quale necessitiamo delle distanze dall’origine O prima annotate. Infatti, anche in questo caso si tratta di una media ponderata: moltiplichiamo il valore della rigidezza traslante di ogni telaio per la relativa distanza dal punto O e dividiamo la somma ottenuta per la rigidezza traslante totale, sia in orizzontale che in verticale (ossia lungo gli assi x e y del nostro sistema di riferimento perché va ricordato che le forze agenti sono sempre orizzontali e che si sta analizzando il piano dell’impalcato).

 

Dopo aver individuato il centro delle rigidezze annotiamo le distanze da esso di ogni controvento poiché sono necessarie ai fini del calcolo della rigidezza rotazionale Kfi: essa è data dalla sommatoria dei prodotti delle rigidezze traslanti di ogni telaio per il quadrato della relativa distanza dal centro delle rigidezze.

 

STEP 5

Il quinto passo consiste nell’analisi dei carichi agenti sull’impalcato e sulla loro combinazione (allo SLE dal momento che i valori non vengono amplificati dai coefficienti g). La somma del carico permanente totale e di quello accidentale totale, moltiplicata per il coefficiente di contemporaneità, ci dà il valore dei pesi sismici, i quali, a loro volta, divisi per il coefficiente di intensità sismica, danno il valore della forza sismica orizzontale. 

 

STEP 6-7

Ora non ci resta che quantificare la ripartizione della forza sismica F lungo l’asse x e lungo quello y e, nello specifico, per ognuno dei controventi.

Innanzitutto, ricordiamo che nel momento in cui la forza agente abbia un asse differente da quello del centro delle rigidezze (come nel nostro caso), il corpo non si limita a traslare, ma ruota anche. Per poter conoscere il valore di questa rotazione, calcoliamo il Momento Torcente M per l’asse x, moltiplicando la forza sismica F per il suo braccio, ovvero la differenza tra l’ordinata del centro delle rigidezze e quella del centro di massa, e per l’asse y, utilizzando come braccio la differenza tra le ascisse dei due centri. Poi, calcoliamo la traslazione orizzontale, dividendo F per la rigidezza traslante orizzontale, la traslazione verticale, dividendo F stavolta per la rigidezza traslante verticale, e le rotazioni, dividendo i rispettivi Momenti Torcenti per la rigidezza rotazionale.

A questo punto siamo in grado di conoscere la ripartizione della forza sismica, sia lungo l’asse x che lungo quello y, e il valore delle reazioni dei singoli controventi.

 

Edificio della Prefettura - L'Aquila

Era il 6 aprile 2009 alle ore 3:32 quando la città de L'Aquila e i paesi circostanti venivano colpiti da una scossa sismica dell'VIII grado della scala Mercalli. I danni furono ingenti, sia per le vittime che per la molteplicità di beni storici e artistici devastati. In molti, subito dopo la sciagura, si appellarono alla negligenza dei progettisti, i quali avevano deliberatamente ignorato il DM 2008, il quale prevede una serie di normative atte alla progettazione di impalcati idonei a resistere all'azione delle spinte orizzontali, quali appunto il sisma. Per questo, oggigiorno, risulta assolutamente indispensabile per un progettista avere un bagaglio di conoscenze che gli permettano di progettare un edificio, la cui struttura comprenda degli elementi irrigidenti finalizzati all'assorbimento delle spinte orizzontali. Tali elementi vengono chiamati controventi.

In questa esercitazione andremo quindi ad esaminare qual è l'azione di una forza orizzontale su di un impalcato così strutturato:

Dobbiamo innanzitutto fare due considerazioni:

- ipotizzando che il solaio sia un diaframma rigido, il suo comportamento meccanico sarà tale da poterlo equiparare a quello di un corpo rigido. Gli spostamenti che esso potrà compiere saranno, quindi, la traslazione orizzontale, la traslazione verticale e la rotazione;

- il comportamento meccanico dei telai invece è quello dei corpi elastici, che si deformano assorbendo il carico orizzontale come se fossero delle molle.

Giova inoltre sottolineare che, avendo i controventi delle rigidezze diverse, la struttura non trasla solamente, bensì, generandosi un braccio pari alla distanza del centro delle masse dal centro delle rigidezze, essa è soggetta anche a rotazione. Nel caso in cui il braccio fosse eccessivo, la struttura sarebbe soggetta ad un momento troppo grande che la porterebbe inevitabilmente al collasso.

Da notare, infine, che i pilastri dell'impalcato (30x40 cm) sono disposti secondo due orientamenti diversi e avranno quindi momenti d'inerzia diversi:

Ora, tramite un foglio di calcolo Excel, vediamo come si comporta il suddetto impalcato, quando è soggetto ad una forza orizzontale.

 

STEP 1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

Come primo passo, abbiamo calcolato la rigidezza traslante di ogni controvento costituente l'impalcato. A sinistra vi sono i telai paralleli l'asse y, mentre a destra lungo l'asse x. In tutto e due i casi la K_T risultante di ogni telaio deriva dalla formula:

che non è nient'altro che la formula del taglio in un corpo rigido, dove:

E = modulo di Young (21000 per il calcestruzzo)

ΣiJi = sommatoria dei momenti di inerzia di pilastri del telaio

h = altezza dei pilastri dell'impalcato

 

 

STEP 2: tabella sinottica controventi e distanze

 

 

In questa tabella riassuntiva sono semplicemente riportate le rigidezze calcolate precedentemente e le distanze dei controventi dal punto O.

 

STEP 3: calcolo del centro di massa

Una volta stabilite le rigidezze dei telai e le loro distanze dall’origine O, l’impalcato è stato suddiviso in tre aree:

A1= 60 m²               A2 = 36 m²                  A3 = 18 m²

delle quali sono stati calcolati i rispettivi centri di massa, semplicemente tracciando le diagonali di ogni rettangolo. Ottenute le coordinate relative, abbiamo calcolato il centro di massa dell’intera struttura tramite questa semplice formula:

X_G = (A₁ x_G1 + A₂ x_G2 + A₃ x_G3) / (A₁ + A₂ + A₃) = 5,18 m

 

Y_G = (A₁ y_G1 + A₂ y_G2 + A₃ y_G3) / (A₁ + A₂ + A₃) = 6,47 m

 

 

 

STEP 4: calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

X_c = Σ_i k_vd_v / k_{v tot.}

Y_c =  Σ_i k_od_o / k_{o tot.}

Infine è possibile calcolare anche la rigidezza torsionale totale pari a:

k_Φ = Σ_ik_i dd_i²

 

 

STEP 5: analisi dei carichi sismici

Q = carico totale accidentale = q_a A_tot

 

STEP 6: ripartizione della forza sismica lungo l'asse x e lungo l'asse y

               F_y^O= K_y^O * dd_y^O * ϕ_y    per i controventi verticali

Ripartizione della forza sismica lungo l'asse X:

Ripartizione della forza sismica lungo l'asse Y:

Trave Vierendeel

 

Il secondo esercizio sulla trave Vierendel è su doppio incastro ed è composta da 6 telaio shear type, sovrapposti e ruotati, in questo caso la struttura è simile al comportamento ad una trave doppiamente incastrata.

 

La struttura è simmetrica, quindi è necessario dividere la forza centrale in F/2.

Data la simmetria è sufficiente risolvere metà trave per poi ribaltare i risultati.

 

Trovare il taglio nei pilastri tramite l’equilibrio delle forze orizzontali tenendo conto che la forza viene assorbita dai 4 incastri e non più solo da due come l’esercizio precedente.

 

Diagramma taglio

 

È possibile trovare il momento e lo spostamento δdei traversi  tramite  

M= 6EI/l²*δ T= 12 EI/l³*δ  dove   δ= Tl³/12 EI

1.      T=F/4   M=Fl/8  δ=Fl³/48EI

2.      T=3F/4   M=3Fl/8  δ=3Fl³/48EI

3.      T=5F/4   M=5Fl/8  δ=5Fl³/48EI

 

Per determinare  Il momento dei traversi è possibile moltiplicare il taglio per il braccio che è pari ad  l/2.

Diagramma momento

 

Per trovare il momento sui montanti, bisogna scrivere l’equilibrio ai nodi.

 

Diagramma momento sui montanti

 

Per trovare i tagli è necessario sommare la coppia dei momenti agenti sul montante e dividendoli per la luce su cui lavorano (2L)

 

Taglio sui montanti

 

Deformata

 

 

 

 

 

In questo esercizio analizziamo una trave vierendeel, composta da due correnti orizzontali collegati da montanti verticali, nel quale tutti i nodi sono ad incastro.

 

La trave può essere rappresentata come un modello Shear-Type, ovvero uno schema che si basa sul concetto di trave infinitamente rigida, la quale ha una rigidezza flessionale che ne impedisce la deformazione . Mentre i pilastri, collegati con nodi ad incastro, non si si deformano se sottoposti a qualsiasi sforzo assiale.

 

 

                          . 

 

 

Inizio a calcolare i valori del taglio grazie all'equazione di equilibrio alla traslazione analizzando ogni tratto (da 1 a 6) della struttura. 

 

 

 

Posso ora disegnare il diagramma del taglio per gli elementi orizzontali:

 

 

Mentre per trovare il valore del momento agli estremi delle aste orizzontali mi basta moltiplicare il valore del taglio per metà della lunghezza (l/2).

 

 

 

deformata:

 

 

Possiamo notare dal diagramma della deformata, che la curvatura è nulla nel punto di flesso(in mezzeria) e di conseguenza anche il momento sarà nullo.

 

 

Ora mi calcolo momento e taglio delle aste verticali:

Per il momento faccio l'equilibrio alla traslazione:

 

 

alcolo i valori dei tagli, equilibrando ai momenti appena ricavati una coppia di forze:

 

 

 

 

Diagramma del Taglio

              

 

 

 

Diagramma del Momento

 

 

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

 

Abbiamo analizzato un' altro esempio di trave Vierendeel vincolata a entrambi i bordi e ne abbiamo calcolato gli spostamenti ed i diagrammi di taglio e momento sugli elementi orizzontali e verticali. Questa volta l'esercizio risulta semplificato perchè si può sfruttare la simmetria di questo schema strutturale.

 

 

 

Come fatto nell'esercizio precedente calcolo i valori di taglio partendo dall'asta centrale.

 

 

 

 

 

 

Disegno il diagramma del taglio per gli elementi orizzontali:

 

 

 

 

 

Per trovare i valori dei momenti, mi basta anche qui moltiplicare il valore del taglio per metà della

lunghezza (l/2).

 

 

Deformata:

 

 

 

Ora mi calcolo momento e taglio delle aste verticali 

 

Equilibrio dei nodi:

 

 

 

Equilibrio delle aste:

 

 

Diagramma del Taglio

 

 

 

 

Diagramma del Momento

 

 

 

 

 

 

Es. RIPARTIZIONE FORZA SISMICHE

 

Impalcato

L’impalcato di riferimento è interamente in cemento armato costituito da  12 pilastri che organizzano 8 telai, quattro lungo X e quattro lungo Y necessari a sopportare oltre il carico strutturale anche ad assorbire le sollecitazioni orizzontali dovuti al sisma.

 

I pilastri hanno un’altezza di 4 metri.

Sono presenti 4 molle nell’asse X e 4 nell’asse Y e indicano che, il solaio è pensato come rigido nel suo piano. 

• Step 1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

  Si inizia studiando singolarmente i 8 telai in base alla caratteristiche e l numero dei pilastri che li compongono

•  Step 2: tabella sinottica controventi e distanze

Tabella in cui vengono riportate le somme di rigidezza dei telai e le rispettive distanza dei pilastri dall’origine O.

 

• Step 3: calcolo del centro di massa

Per il calcolo del centro di massa dell’intero impalcato è necessario determinare l’area dei singoli rettangoli (area 1,area2,area3) e le distanze dei rispettivi centri di massa.

 

• Step 4: calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Si calcola in centro di rigidezza  che è il punto in cui è applicata la risultante delle forze resistenti.

 

• Step 5: analisi dei carichi sismici 

• Step 6: ripartizione forza sismica lungo X

 

• Traslazione dell’impalcato lungo l’asse x

• Step 7: ripartizione forza sismica lungo Y

 

•  Traslazione dell’impalcato lungo l’asse y

• Centro di massa e centro di rigidezza

 

dato un impalcato di riferimento

con pilasti in acciaio

possiamo individuare 7 telai piani, quattro lungo X e tre lungo Y, composti da due a quattro pilastri ognuno, il cui compito, oltre quello strutturale, è di controventamento per l'intera struttura, cioè sopportare le forze gravanti sul piano X-Y (=orizzontali). 

le molle individuate nella pianta iniziale dell'impalcato stanno a indicare che, se il solaio è pensato rigido nel suo piano, i contronventi sono dotati di una propria elasticità che ci permette di considerarli dei vincoli cedevoli dell'impalcato e quindi di rappresentarli con delle molle con una relativa rigidezza K= (12EI)/h³, in cui I è la sommatria dei momenti di inerzia dei pilastri coinvolti ne telaio di riferimento.

a questo punto, con il foglio exel di calcolo, possiamo iniziare a studiare singolarmente i telai in base alle caratteristiche e al numero dei pilastri che li compongono.

a questo punto possiamo raccogliere i risultati delle rigidezze ottenuti dallo studio dei telai in una tabella sinottica, in cui scriveremo anche i valori delle distanze coordinate dei pilastri dal punto o(0,0), origine degli assi cartesiani. 

il terzo passo di questo algoritmo consiste nel calcolo delle coordinate del centro di massa del nostro impalcato. per fare ciò però bisogna semplificare la pianta a forme basilari, nel nostro caso due rettangoli, dei quali calcoleremo i rispettivi centri.

come si può leggere nell'immagine, le coordinate della prima sezione (da sinistra a destra) sono X=3  Y=18, mentre quelle della seconda sezione  X=9  Y=8, la cui media ponderata in base alle aree delle rispettive sezioni darà come risultato le coordinate del centro di massa dell'intero impalcato.

a questo punto, con le rigidezze orizzontali e verticali totali possiamo calcolare, sempre con il foglio excel, le coordinate del centro delle rigidezze, cioè (in semplici parole) il punto in cui è applicata la risultante delle forze resistenti, e le distanze dei controventi da tale punto.

si nota dai dati ottenuti che le coordinate del centro delle rigidezze coincidono con quelle del centro delle masse ottenuto prima; questo significa che il nostro impalcato è equilibrato e che non subirà rotazione a seguito dell'applicazione di forse orizzontali (come possono essere le forze sismiche)

ora, in base all'area totale dell'impalcato e ai dati dei carichi dati da normativa, otteniamo il valore della forza sismica (forza orizzontale)

sappiamo che questa forza sismica F è ripartita lungo gli assi X e Y, non resta che sapere in che proporzione per ogni telaio atraverso il prodotto tra la rigideza del telaio, la distanza di questo dall'origine e il valore della rotazione dell'impalcato:

asse X

asse Y

 

I controventi

Ogni impalcato è composto da una maglia di telai, tessuti più o meno parallelamente o perpendicolarmente a seconda delle necessità e a discrezione del progettista. In genere il compito principale di un impalcato è quello di sopportare dei pesi, ovvero delle forze verticali che vanno dall'alto verso il basso. Ma si sbaglia se si pensa anche che questo sia il suo unico compito!
Un bravo progettista deve sempre tenere conto di altri tipi di forze, ovvero quelle orizzontali, provocate per esempio dal vento o da eventi sismici. Sapendo ciò egli deve progettare la struttura in modo che resista anche a questo altro tipo di forze, tutt'altro che trascurabili.
Entra così in gioco il tema dei controventi.

Assimilato il concetto alla base dei telai shear-type, possiamo accomunare quello stesso comportamento  a quello svolto dai telai di una struttura in CLS armato. Questi telai costituiscono dei controventi per l’intera struttura e come tali agiscono da vincoli. In particolare questi vincoli si contrappongono alle forze orizzontali ed evitano che la struttura subisca uno spostamento orizzontale o peggio ancora una rotazione.
La natura di questi vincoli è particolare: essi hanno infatti un comportamento elastico, ovvero contrastano le forze esterne parallele al loro asse, permettendo comunque una certa quantità di spostamento.
A questo punto i telai possono essere rappresentati come delle molle, la rigidezza di ognuna di esse rappresenta la rigidezza di ogni telaio.
Per semplificare i calcoli e per convenzione, le forze orizzontali possono essere applicate direttamente al centro di massa come forze concentrate, per questo motivo quando si progetta una struttura, trovato il centro di massa, bisogna ragionare attentamente sulla posizione dei controventi e sulla rigidezza di ognuno di essi; il fine è quello di far coincidere il più possibile il centro di massa con il centro delle rigidezze in modo tale da diminuire o ancora meglio, annullare il braccio della forza orizzontale e quindi il momento provocato da essa. In pratica, in base al posizionamento e alla rigidezza dei telai si può spostare il centro delle rigidezze e avvicinarlo sempre più al centro delle masse. Se si perviene a tale scopo si riesce a limitare la rotazione della struttura.

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Ripartizioni delle forze sismiche

A fronte dei ragionamenti sopra riportati, voglio analizzare un impalcato tipo, sottoposto a forze orizzontali. Decido di analizzare un corpo simmetrico a C.
Disegno l'impalcato stabilendo due luci diverse.

Come si nota in pianta l'impalcato prevede due disposizioni dei pilastri basata sull'orditura dei solai. I pilastri scelti sono a sezione rettangolare, so quindi che offrono due momenti d'inerzia diversi, i seguenti:

Piccola riflessione: per una migliore resistenza alle forze orizzontali converrebbe orientari i pilastri in modo tale da offrire il maggior momento d'inerzia. Nel caso di studio che sto affrontando, la maggior parte dei telai non sono orientati in maniera ottimale, ma è una scelta basata sulla volontà di studiare il caso di una struttura non perfettamente controventata.

Procediamo ora con l'esercizio.
Mi ritrovo perciò un impalcato composto da 14 pilastri che organizzano 9 telai. Posso rappresentare il vincolo elastico comportato da questi controventi, con delle molle.

Per verificare l'efficacia dei controventi occorre analizzare le rigidezze di essi trovando di conseguenza il centro delle rigidezze e ripartire le forze orizzontali. Per effettuare l'analisi e i calcoli necessari utilizzo un foglio excel.
 

Calcolo delle rigidezze traslanti e dei controventi dell'edificio

Come primo passo calcolo le rigidezze traslanti dei controventi, inserendo nel foglio elettronico i seguenti dati:
il modulo di elasticità del Cls E=21000 N/mm²;
il momento d'inerzia di ciascun pilastro (calcolato in precedenza);
l'altezza dei pilastri (320 cm);

Tabella sinottica controventi e distanze

Come secondo passaggio calcolo  le distanze verticali (dv) e orizzontali (do) dei controventi da un punto O, l’origine di un sistema di riferimento da me scelto.

Calcolo del centro di massa

Calcolo ora il centro di massa, il famoso punto G. Per farlo calcolo l'area totale del solaio sostenuto dall'impalcato e trovo i baricentri delle tre parti in cui posso dividere l'area del solaio, come mostrato di seguito:

Inserisco i dati sul foglio elettronico e ottengo le coordinate del centro di massa, così calcolate :

 

Calcolo del centro delle rigidezze e delle rigidezze globali

Tramite la tabella riportata di seguito posso trovare anche le coordinate del centro delle rigidezze C, calcolato tramite le rigidezze delle singole molle; inoltre nella tabella sono indicate le distanze di ogni controvento dal centro delle rigidezze e infine la rigidezza torsionale totale ovvero la sommatoria di ogni rigidezza moltiplicata per la distanza al quadrato dal centro delle rigidezze.

Nella seguente pianta vengono indicate le forze orizzontali, che per convenzione (come detto in precedenza) possono essere applicate come forze puntuali, sul centro di massa.

 

Analisi dei carichi sismici

Ora, ipotizzati dei carichi strutturali e non strutturali che gravano sulla struttura, calcolo la forza sismica orizzontale, inserendo nel foglio excel dei valori regolati dalla normativa:
coefficiente di contemporaneità Ψ
coefficiente di intensità sismica c

La forza orizzontale agente sulla struttura è 124,10 KN

Ripartizione della forza sismica

Queste due tabelle calcolano il momento torcente della struttura, le traslazioni e le rotazioni secondo le due direzioni perpendicolari X e Y

Una trave Vierendeel non è altro che un telaio shear-type ruotato di 90° su un fianco.

Un telaio shear-type è un impalcato con due fondamentali ipotesi:

_La trave è infinitamente resistente a flessione

_I pilastri non si deformano  se sottoposti ad un qualsiasi sforzo normale

Questo tipo di telaio assume come rigidezza totale la somma di tutte le rigidezze dei suoi pilastri.

                                                                                                             F = Kδ * δ -> δ = F / Kδ

In questo caso sono i pilastri ad essere infinitamente resistenti a flessione e le travi non deformabili a sforzo normale.

Possiamo considerare i traversi come delle travi doppiamente incastrate che subiscono un cedimento vincolare verticale uguale a delta
causato da una forza puntuale F, il taglio sarà costante e il momento Lineare, e il punto di flesso corrisponde al punto dove il momento si annulla

                                                    

Lo scopo dell' esercizio è tovare:

1-> Taglio sulle travi;
2-> Momento sulle travi;
3-> Momento sui pilastri;
4-> Taglio sui pilastri;
5-> Valori di δ1, δ2, δ3;

Il valore dello sforzo di Taglio nella trave viene ricavato dall'integrazione della linea elastica:

T = 12EIδ/(L³)

dalla formula del taglio ricaviamo il valore dello spostamento δ

Sfruttando la simmetria della trave, può esserne studiata una sola metà:

  

1-> Taglio sulle travi-> La forza che agisce sulla trave viene ripartita ugualmente sui due traversi, inferiore e superiore:

2-> Momento sulle travi-> Per calcolare il Momento sulle travi moltiplico ogni taglio per il suo braccio (L/2),

        M = T*(L/2)

     

3-> Momento sulli pilastri-> Per calcolare il momento nei pilastri dobiamo studiare il nodo e trovare dei momenti che equilibrino quelli agenti sulle travi:

 

4-> Taglio sulli pilastri-> M = T*b -> T = M/b

                

5-> Valori di δ1, δ2, δ3 -> Dopo aver equilibrato tutto possiamo andare a calcolare i valori degli spostamenti:

T₁ = 12EIδ₁/(L³) -> δ_{1 =} FL³/(48EI)

                                 -> δ_{2 =} FL³/(16EI)

                                 -> δ₃₌ FL³/(48EI)