In questa esercitazione verrà pre-dimensionata una mensola e tenendo conto della sua predisposizione a deformarsi sarà necessaria un verifica dell’abbassamento. L’abbassamento massimo della trave più sollecitata non dovrà superare 1/250 della luce.

Vengono riportati i carichi calcolati nella prima esercitazione che ricordiamo essere carichi strutturali permanenti q_s , carichi strutturali non permanenti q_p  e i carichi accidentali q_a  nelle tre tecnologie, legno, acciaio e cemento armato.

Fig.1

 

TRAVE IN CALCESTRUZZO

Fig. 2

 

q_s  = 2.12 KN/m²

q_p =  3 KN/m²

q_a = 2 KN/ m²

Con la combinazione di carico allo stato limite ultimo si calcola q_t e tenendo conto della nuova pianta di carpenteria avente luce pari a 3 m e interasse pari a 3 m è possibile calcolare il q_u.

_{COMBINAZIONE DEI CARICHI ALLO SLU:}

q_u =(1.3 x q_s) + ( 1.5 x q_p) + (1.5 x q_a) [KN/ m²] x i [m]

 

Nel caso della carpenteria mostrata in fig. 1 l’interasse è pari a 3 quindi si trova q_u

q_u =(1.3 x 2.12) + ( 1.5 x 3) + (1.5 x 2) [KN/ m²] x 3 [m] = 30.77 KN/m

Sapendo ch il momento massimo in una mensola è pari a M_max = ql²/2 , è possibile sostituendo il q_u trovato precedentemente, ottenere il M_max riferito al caso in esame.

M_max =30.77 [KN/m]   x 3² [m] /2 = 138.46 KNm

Scelta la resistenza caratteristica dell’acciaio fy_K e la classe di resistenza del calcestruzzo è possibile, fissando la misura della base della trave ed il copriferro, ricavare l’altezza minima.

L’altezza ingegnerizzata della trave in esame sarà quindi pari a 50 cm.

Ora si prosegue con la verifica dell’abbassamento. La verifica si effettua allo Stato Limite di Esercizio poiché riguarda principalmente l’aspetto e la funzionalità della struttura.

Allo SLE i carichi vengono calcolati secondo la combinazione frequente.

q_e = (G₁ + G₂ + Ψ ₁₁ x Q₁ ) x i

 

Nel caso della struttura in cls è necessario considerare il peso proprio della trave che va aggiunto al peso del solaio.

Inserendo il valore del modulo elastico E = 210000 N/mm²  è possibile trovare lo spostamento massimo V_max .

Se il rapporto l/V_max > 250 la sezione sarà verificata.

 

TRAVE IN ACCIAIO

 

  Fig. 3

 

q_s  = 2.72 KN/m²

q_p =  2.53 KN/m²

q_a = 2 KN/ m²

Con la combinazione di carico allo stato limite ultimo si calcola q_t e tenendo conto della nuova pianta di carpenteria avente luce pari a 3 m e interasse pari a 3 m è possibile calcolare il q_u.

 

_{COMBINAZIONE DEI CARICHI ALLO SLU:}

 

q_u =(1.3 x q_s) + ( 1.5 x q_p) + (1.5 x q_a) [KN/ m²] x i [m]

 

Nel caso della carpenteria mostrata in fig. 1 l’interasse è pari a 3 quindi si trova q_u

q_u =(1.3 x 2.72) + ( 1.5 x 2.53) + (1.5 x 2) [KN/ m²] x 3 [m] = 30.993 KN/m

Sapendo ch il momento massimo in una mensola è pari a M_max = ql²/2 , è possibile sostituendo il q_u trovato precedentemente, ottenere il M_max riferito al caso in esame.

M_max =30.993 [KN/m]   x 3² [m] /2 = 139.46 KNm

 

Scelta la classe dell’acciaio f_yk è possibile ricavare il modulo di resistenza a flessione minimo W_{x min.}  

Dal profilario si individua la W_xmin immediatamente superiore a quella trovata e di conseguenza anche il momento di inerzia I_x correlatoVengono inseriti i valori corrispondenti all Ix.

Vengono inseriti i valori corrispondenti a I_x  e al peso della del profilo scelto in questo caso una IPE 330.

 

Ora si prosegue con la verifica dell’abbassamento.

Allo SLE i carichi vengono calcolati secondo la combinazione frequente.

q_e = (G₁ + G₂ + Ψ ₁₁ x Q₁ ) x i

Anche nel caso della struttura in acciaio è necessario considerare il peso proprio della trave che va aggiunto al peso del solaio.

Se il rapporto l/V_max > 250 la sezione sarà verificata.

 

TRAVE IN LEGNO

 

 

q_s  = 0.39 KN/m²

q_p =  3.07 KN/m²

q_a = 2 KN/ m²

Con la combinazione di carico allo stato limite ultimo si calcola q_t e tenendo conto della nuova pianta di carpenteria avente luce pari a 3 m e interasse pari a 3 m è possibile calcolare il q_u.

 

_{COMBINAZIONE DEI CARICHI ALLO SLU:}

 

q_u =(1.3 x q_s) + ( 1.5 x q_p) + (1.5 x q_a) [KN/ m²] x i [m]

 

Nel caso della carpenteria mostrata in fig. 1 l’interasse è pari a 3 quindi si trova q_u

q_u =(1.3 x 0.39) + ( 1.5 x 3.07) + (1.5 x 2) [KN/ m²] x 3 [m] = 24.336 KN/m

Sapendo ch il momento massimo in una mensola è pari a M_max = ql²/2 , è possibile sostituendo il q_u trovato precedentemente, ottenere il M_max riferito al caso in esame.

M_max =24.336 [KN/m]   x 3² [m] /2 = 109.512 KNm

 

Si sceglie la dimensione della base e inserendola nella tabella si ricava l’altezza minima della trave che deve essere ingegnerizzata.

Ora si prosegue con la verifica dell’abbassamento. La verifica si effettua allo Stato Limite di Esercizio poiché riguarda principalmente l’aspetto e la funzionalità della struttura.

Allo SLE i carichi vengono calcolati secondo la combinazione frequente.

q_e = (G₁ + G₂ + Ψ ₁₁ x Q₁ ) x i

Nel caso della struttura in legno non è necessario considerare il peso proprio della trave poiché il materiale in quanto leggero non apporta considerevoli modifiche al peso iniziale.

 

Se il rapporto l/V_max > 250 la sezione sarà verificata.

 

Esercitazione dimensionamento di una trave reticolare

Per prima cosa apriamo il programma e selezioniamo New model - grid only 

Poi inseriamo Grid lines:  X=4 , Y=5 e Z=2

e Grid spacing:  X=2 , Y=2 , Z=2 

così da ottenere la nostra griglia di lavoro.

DIsegno il primo cubo controventando ogni facciata da sinistra verso destra e di seguito completo il modello di trave reticolare composto da 12 di questi.

Per verificare poi che i nodi coincidano seleziono EDIT POINT - MERGE POINTS - tolleranza 0,1

Applico ora i vincoli esterni:

Seleziono i 4 spigoli della trave reticolare e poi ASSIGN - JOINT - RESTRAINTS  e scelgo il vincolo di cerniera

Poi inserisco le cerniere interne:

seleziono tutto e poi ASSIGN - FRAME - FRAME - RELEASE FRAME

e spunto moment 22 mejor e moment 33 mejor a START e END 

Così i nodi della mia struttura vengono registrati dal programma come cerniere interne

Selziono nuovamente tutto e poi ASSIGN - FRAME - FRAME SECTIONS - ADD NEW PROPERTY - STEEL

e seleziono PIPE ossia il profilo tubolare in acciaio

Seleziono poi DEFINE-LOAD PATTERN e compilo un nuovo pattern con il nome asta e self weight multipler: 0, poi digito ADD NEW LOAD PATTERN.

Di seguito seleziono i nodi delle facciate superiori e poi ASSIGN-JOINTS LOADS-FORCES, seleziono asta come load pattern e inserisco nella casella FORCE GLOBAL Z il valore -100 poichè la forza che vogliamo inserire è diretta verso il basso

Abbiamo così inserito il carico che andrà a gravare sulla nostra trave reticolare.

Attraverso le opzioni di DISPLAY potremo visualizzare tali forze

Seleziono poi il comando ANALYZE-RUN ANALYSIS e seleziono per il case "asta" l'opzione RUN attraverso il comando RUN/DO NOT RUN CASE e di seguito seleziono RUN NOW

Apro poi il comando DISPLAY e seleziono SHOW DEFORMED SHAPE- CASE/COMBO NAME "asta", do la spunta su WIRE SHADOW e premo ok

Il modello rappresenterà così la deformazione a cui è soggetta la trave

Apro nuovamente il comando DISPLAY , seleziono SHOW FORCES/STRESSES e FRAMES/CABLES/TENDONS.

Scelgo CASE "asta"- TYPE "force"- COMPONENT "axial force" -SCALING "auto"- OPTIONS "fill diagram" e do l'ok.

In questo modo potrò visualizzare gli sforzi assiali a cui sono sottoposte le nostre aste

Apriamo nuovamente il comando DISPLAY-SHOW TABLES

Seleziono SELECT LOAD PATTERNS e scelgo asta, spunto ANALYSIS RESULTS e infine scelgo SELECT LOAD CASE e scelgo nuovamente asta e do l'ok

Comparirà quindi la tabella le mie aste e le sollecitazioni a cui sono sottoposte scegliendo in alto a destra ELEMENT FORCES- FRAMES

Dopo aver eliminato i file duplicati ed aver evidenziato i valori delle aste inclinate possiamo incollare i valori trovati sul foglio excell per il dimensionamento a trazione e compressione

Dimensionerò le aste soggette a compressione prendendo in considerazione il valore di sollecitazione più alto ottenuto ossia N= -367,56 KN ottenendo un'area min di sezione pari ad Amin= N/ fyk x Ym0= 16,42 cmq

Per le aste sogette a trazione prenderò in considerazione il valore più alto ottenuto ossia N= 265,62.

Otterrò quindi l'area min della mia sezione attraverso il calcolo Amin= N/ fyk x Ym0=11, 87 cmq

Per il dimensionamento quindi basterà confrontare i valori appena trovati con la tabella dei profilati a sezione circolare e scegliere quelli a cui corrisponde un'area subito più grande della nostra.

Per il caso del dimensionamento a trazione non sarà necessario inserire la luce della trave poichè inifluente nel calcolo, mente sarà poi necessario prenderla in considerazione per il dimensionamento a compressione, poichè l'asta sarà soggetta anche ad instabilità. In questo caso dovremo controllare che la sezione da noi prescelta non abbia valori inferiori a Imin, ro min e lambda min.

Per questa esercitazione è stato richiesto di studiare il comportamento di una mensola di un telaio a nostra scelta nelle tre tecnologie:legno, cls armato e acciaio. Il telaio da me scelto è un evoluzione di quello utilizzato per la prima esercitazione. Gli aggetti della mensola non sono fantasiosi, sono di 2,5 m. (f.1)

f.1

L'area d'influenza della trave A = I x L = 4 m x 2,5 m = 10 m² è evidenziata in azzurro (f.2) La trave più sollecitata è quella centrale.

f.2

I pacchetti di solaio utilizzati, sono gli stessi della prima esercitazione.

Legno

Calcolo dei carichi strutturali   qs (escluso peso proprio della trave)

qs = 0,1 kN/mq + 0,21 kN/mq = 0,31 kN/mq

Calcolo dei carichi portati     qp

qp = (0,7 + 0,012 + 0,4 + 0,13 + 0,5 + 1) = 2,742 kN/mq

Calcolo dei carichi accidentali     qa

qa = 2 kN/mq

Questa volta ho a disposizione un nuovo foglio excel, questo foglio mi permette di controllare che la mia trave non si deformi troppo. Il momento inserito in tabella però non è più qL²/8 ma qL²/2 in quanto siamo in presenza di una mensola.

Come per la precedente esercitazione, inserisco i dati da me conosciuti dopo aver scelto il tipo di legno che voglio utlizzare, e ipotizzo una base 25 cm, e partendo da un Hmin ipotizzo un altezza di 50 cm; ottenendo così una sezione rettangolare 25x50cm. Devo però per prima cosa capire se la mia sezione è stata dimensionata nel modo giusto una volta preso in considerazione il peso proprio della trave.

Pt = [(0,25 m x 0,50 m x 1 m)/mq] x (5 kN/mq) = (0,125 mc/mq) x (5 kN/mq) = 0,625

qu= (qs x 1,3) + (qp x 1,5) + (qa x 1,5) + (Pt x 1,3)

Dopo aver insierito anche questo dato controllo che la deformazione della mia trave sia accettabile. In questo caso lo è in quanto vmax = 0,38 cm (f.4)

f.4

Acciaio

Calcolo dei carichi strutturali qs (escluso peso proprio della trave)

qs = 0,1256 kN/mq + 0,0589 kN/mq + 1,97 kN/mq = 2,15 kN/mq

Calcolo dei carichi portati qp

qp = 0,17 kN/mq + 0,015 kN/mq + 0,96 kN/mq + 0,035 kN/mq + 1 kN/mq + 0,5 kN/mq = 2,68 kN/mq

Calcolo dei carichi accidentali     qa

qa = 2 kN/mq

Procedo come fatto per il legno, inserisco i dati da me conosciuti all'interno della tabella. In questo caso mi dovrò ricavare un Wx min che tramite tabellario mi permetterà di ingegnerizzare la mia sezione scegliendo un IPE con un Wx appena superiore. Come per il legno devo prendere in considerazione il peso proprio della trave.

Il profilato IPE 300 ha un area di 53,81 cmq = 0,005381 mq con un P = 78,5 kN/mc.

Pt= [(0,005381 mq x 1 m)/mq] x (78,5 kN/mc) = (0,005381 mc/mq) x (78,5 kN/mc) = 0,422 kN/mq

Inserisco il peso proprio della trave a qu moltiplicato per 1,3

qu= (qs x 1,3) + (qp x 1,5) + (qa x 1,5) + (Pt x 1,3)

Allego il file PDF contenete l'esercitazione riguardante la verifica a deformabilità di una mensola in legno, in acciaio e in cls.

Allego il file PDF contenente l'esercitazione relativa alla trave reticolare 3D.

La seconda esercitazione consiste nel dimensionare una travatura reticolare a nostra scelta. Nel mio caso ho optato per una travatura reticolare composta da corpi cubici di luce 2 m, con aste inclinate ti 2,82 m. Il corpo consiste di 3x5 moduli, quindi 6x10m. (fig.1)

f.1

Per disegnare la trave reticolare ho utilizzato SAP2000. Come si può vedere nella f. 1 ho vincolato la trave alle 4 estremità con un vincolo a cerniera, ASSIGN, JOINTS, RESTRAIN. Per questa esercitazione ho deciso di usare delle aste tubolari, quindi è stato necessario assegnare a ciascuna asta la sezione cilindrica sul programma tramite il comando ASSIGN, FRAME, FRAME SECTION. (f.2) é stato necessario rimuovere anche i momenti dalle aste. In quanto trave reticolare e non soggetta a Momento Flettente ma solamente a sforzi di compressione e trazione.

f.2

Ai nodi superiori, ho assegnato una forza concentrata F=150 kN (f.3) Il valore immesso è negativo in quanto deve essere rivolta verso il basso.

f.3

Una volta assegnati i carichi, aver controllato che non vi sono doppie aste una sopra l'altra, aver controllato le giunture e il moltiplicatore di peso della trave sia 0 posso far partire l'analisi.

Appena finita, l'analisi, mi mostra la travatura deformata (f.4) ma posso anche impostare una vista che mi permette di vedere il corpo prima della deformazione con i diagrammi di sforzo normale (f.5). Dimensionare una trave guardando gli sforzi solo dal 3d sarebbe troppo complicato, quindi tramite il comando SHOW TABLES posso esportare un file excel, con tutte le aste e i loro rispettivi sforzi normali. Le aste sono numerate, in modo da poter controllare quali siano quelle inclinate e quali non.

f.4

f.5

Una volta esportato il file excel, la prima cosa è rimuovere tutti i doppioni. Infatti SAP fa un analisi ogni 0,5 m, questo fa si che nella mia tabella io abbia 5 valori per ogni asta (0-0,5-1-1,5-2). Una volta eliminati i doppioni (tramite il comando elimina duplicati) posso riordinare le mie aste per aste soggette a trazione e compressione.

Il dimensionamento per un asta a trazione e compressione è diverso, per questo devo utilizzare due fogli excel differenti. Comincio a spiegare quello a trazione. Io so che nel progetto di un asta tesa:

                                                                                   A=N/f_yd

In quanto N è un valore conosciuto, risultato dalla mia analisi in SAP, f_yd è dato dal rapporto f_yk/ γ_m nel quale fyk  dipende dal tipo di acciaio scelto (nel mio caso S235) posso ricavarmi l'aria minima che la mia asta deve avere. Una volta ricavata l'area minima basta prendere un semplice tabellario e prendere l'asta con l'area direttamente superiore. In questo caso non è importante differenziare tra aste inclinate e aste non, in quanto il dimensionamento non prende in considerazione la luce dell'asta. (f.6-f.7-f.8)

f.6

f.7

f.8

Per le aste soggette a sforzo di compressioe il discorso è diverso. In quanto sono soggette all'instabilità euleriana la luce gioca un ruolo fondamentale nel progettare il tipo di asta che si vuole utilizzare. Quindi come ho fatto nelle aste tese, devo ricavarmi un Amin, l'area a questo punto non è più il solo fattore che influenza la trava ma anche il momento d'inerzia e il raggio d'inerzia. Ingegnerizzando la mia asta devo infatti prestare attenzione che i valori I, ro e Lambda del profilato da me scelto in base all'area non siano inferiori a I_min , ro_min e lambda_min(f.9) metto un esempio solo delle prime 39 aste

f.9

La E presenta solo un errore di visualizzazione, ho controllato che il valore inserito sia effettivamente ll modulo elastico dell'acciaio.

Scelgo una pianta di carpenteria e dimensiono la trave a sbalzo più sollecitata nei tre materiali scelti: cemento armato, acciaio e legno. Partendo dal solaio in figura evidenzio la trave più sollecitata; essa infatti ha un’area d’influenza maggiore rispetto alle altre pari a 4 m x 3 m= 12 m².

Prendo in considerazione i solai utilizzati nella prima esercitazione.

SOLAIO IN CEMENTO ARMATO

Analizzo il carico strutturale qs, il carico permanente qp e il carico accidentale qa.

Carico strutturale      qs = 2,378 KN/m²

Carico permanente    qp = 3,54 KN/m²

Carico accidentale     qa = 2 KN/m²

Dopo aver trovato i valori dei carichi qs, qp e qa, questi si inseriscono nella tabella Excel. Il carico totale ultimo qu si troverà moltiplicando il carico strutturale per un coefficiente di sicurezza pari a 1,3 e i carichi permanente e accidentale per un coefficiente di sicurezza pari a 1,5. La combinazione di questi carichi deve essere poi moltiplicata per l’interasse della trave e si troverà così il carico a metro lineare agente sulla trave qu.

Essendo la trave in oggetto una trave a sbalzo, il momento massimo si trova nella sezione di incastro ed è M= ql²/2, quindi pari a M=205,23 KNm.

La resistenza caratteristica delle armature è pari a fyk= 450 Mpa, mentre per il calcestruzzo scelgo un C35/45 con fck = 45 Mpa. Ponendo la base b=30 cm si ottiene un’altezza ingegnerizzata pari a H= 45 cm.

Vengono poi effettuati dei calcoli per verificare se la sezione con l’altezza ingegnerizzata H è in grado di portare i carichi calcolati in precedenza e il peso proprio della trave. Di conseguenza al qu ottenuto precedentemente si somma il peso unitario della trave moltiplicato per un coefficiente di sicurezza 1,3. Se l’altezza che si ottiene con il nuovo dimensionamento è più piccola dell’altezza ingegnerizzata H, la sezione risulterà verificata.

Dopo aver dimensionato la sezione, bisogna effettuare la verifica a deformabilità controllando l’abbassamento massimo dell’elemento strutturale in rapporto alla sua luce e questo calcolo si effettua allo SLE (Stato Limite di Esercizio).

I carichi vengono ricombinati seguendo la combinazione frequente e viene aggiunto il peso proprio della trave:

Inserito il valore del modulo elastico E=21000 N/mm² e del momento di inerzia Ix= 227813 cm⁴, a questo punto si può calcolare l’abbassamento massimo Vmax= qel⁴/8EIx. Si ottiene un Vmax= 0,66 cm. Essendo il rapporto tra luce e abbassamento massimo maggiore di 250 (come imposto da normativa) la sezione risulta verificata.

 

SOLAIO IN ACCIAIO

Analizzo il carico strutturale qs, il carico permanente qp e il carico accidentale qa.

Carico strutturale      qs = 1,783 KN/ m²

Carico permanente    qp =  2,635 KN/ m²

Carico accidentale     qa = 2 KN/ m²

Dopo aver trovato i valori dei carichi qs, qp e qa e averli moltiplicati per i rispettivi coefficienti di sicurezza, si ottiene il carico qu e di conseguenza il momento massimo di una mensola che è pari a M= ql²/2, ovvero M=166,87 KNm.

Ottenuto il momento massimo scelgo la classe dell’acciaio e la sua tensione caratteristica di snervamento.Si trova ora il modulo di resistenza a flessione minimo Wx,min= Mmax/fd ottenendo Wx,min= 745,58 cm³; quindi si sceglie un profilo che abbia il modulo di resistenza superiore al valore minimo, ovvero una IPE 360 con Wx= 903,6 cm³, Ix= 16270 cm⁴ e peso= 0,571 KN/m.

Dopo aver dimensionato la sezione, bisogna effettuare la verifica a deformabilità controllando l’abbassamento massimo dell’elemento strutturale in rapporto alla sua luce e questo calcolo si effettua allo SLE (Stato Limite di Esercizio).

I carichi vengono ricombinati seguendo la combinazione frequente e viene aggiunto il peso proprio della trave: 

A questo punto si può calcolare l’abbassamento massimo Vmax= qel⁴/8EIx. Si ottiene un Vmax= 0,659 cm. Essendo il rapporto tra luce e abbassamento massimo maggiore di 250 (come imposto da normativa) la sezione risulta verificata.

 

SOLAIO IN LEGNO

Analizzo il carico strutturale qs, il carico permanente qp e il carico accidentale qa.

Carico strutturale      qs = 0,413 KN/m²

Carico permanente    qp =  2,635 KN/m²

Carico accidentale     qa = 2 KN/m²

Dopo aver trovato i valori dei carichi qs, qp e qa e averli moltiplicati per i rispettivi coefficienti di sicurezza, si ottiene il carico qu e di conseguenza il momento massimo di una mensola che è pari a M= ql²/2, ovvero M=134,80 KNm.

A questo punto si sceglie un legno GL 24h con resistenza a flessione fmk= 24 Mpa. Scelto come materiale il legno massiccio si ottiene un Kmod= 0,60 e un coefficiente γm= 1,50, si stabilisce una base b= 30 cm trovando un’altezza ingegnerizzata pari a H= 55 cm.

Dopo aver dimensionato la sezione, bisogna effettuare la verifica a deformabilità controllando l’abbassamento massimo dell’elemento strutturale in rapporto alla sua luce e questo calcolo si effettua allo SLE (Stato Limite di Esercizio).

I carichi vengono ricombinati seguendo la combinazione frequente e il peso proprio della trave non viene considerato in quanto il legno è un materiale leggero:

Ora si può calcolare l’abbassamento massimo Vmax= qel⁴/8EIx. Si ottiene un Vmax= 0,49 cm. Essendo il rapporto tra luce e abbassamento massimo maggiore di 250 (come imposto da normativa) la sezione risulta verificata.