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DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE A SBALZO

Questa esercitazione si divide in due fasi: nella prima vado a dimensionare la sezione di una trave nelle 3 tecnologie, esercizio svolto in precedenza, considerando nei calcoli i coefficienti riguardanti lo stato limite ultimo (SLU). Nella seconda fase andrò a verificare la deformabilità della trave a sbalzo sempre in cemento armato, acciaio e legno considerando invece in questo caso i coefficienti che riguardano lo stato limite d’esercizio (SLE ). Questi coefficienti di sicurezza sono dettati entrambe dalla normativa vigente.

Riporto la pianta di carpenteria di un solaio di un edificio residenziale, individuandone la trave più sollecitata

Per tutti e tre i casi di tecnologie prese in esame:

•  il modello statico a cui si fa riferimento è una mensola incastrata in una estremità., il cui Momento massimo in corrispondenza della sezione d' incastro è : qL²/2

• Il fine ultimo della mia esercitazione è verificare che la deformabilità della trave a sbalzo sia inferiore a 1/250 della sua luce, come da normativa per i solai.
• Il procedimento si effettua allo SLE in modo tale che spostamenti e deformazioni non limitino l’uso e l’efficienza della costruzione.
• Si considerino  come carichi strutturali , permanenti e accidentali i valori della prima esercitazione che riporterò sinteticamente.

CEMENTO ARMATO                                                                                                                               Stratigrafia di un generico solaio misto in latero-cemento. Prendo in esame un metro quadro (m²) di solaio:

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.

Per gli altri dati di progetto della sezione della trave faccio riferimento alla prima esercitazione, fatta eccezione per fck che è la resistenza caratteristica a compressione del calcestruzzo data dal tipo di cls scelto,  in questo caso scelgo un cls  meno performante con un a resistenza pari a 30 N/mm².

Imposto poi la base della mia trave a 50 cm e dalla tabella excel mi viene fuori un altezza min di 71,06 cm che Ingegnerizzo a 80cm. Nella seconda riga della tabella viene aggiunto al carico unitario Qu il peso unitario della mia trave, avendo il cemento armato un peso specifico molto significativo, e scopro così che la mia trave 50x80 è VERIFICATA. 

Ora passo alla seconda fase dell’ esercitazione in cui verifico la deformabilità dello sbalzo.

Mi calcolo il Qe, ossia il carico di esercizio:  sommo i carichi  permanenti, li addiziono a Qa che moltiplica 0.5 (un coefficiente di sicurezza per quanto riguarda SLE), moltiplico tutto per l’interasse (5m) e infine lo sommo peso prorpio della trave.

Inserisco infine altri due dati quali E , il modulo di elasticità del cemento,  e I_x , ossia il momento di inerzia che viene ricavato dalla formula bh³/12.

Ora che ho tutti i miei dati posso calcolarmi l’ ABBASSAMENTO della mia trave a sbalzo:

V_max=  q_e l^4//8EI_x  = 0.70

Q è il il carico d’esercizio, direttamente proporzionale allo spostamento

L è la luce che è direttamente proporzionale all’ abbassamento alla quarta potenza, quindi influisce molto

E è il modulo di elasticità che è inversamente proporzionale all’ abbassamento

I è  il momento di inerzia della sezione inversamente proporzionale allo spostamento, dunque più aumenterò l’altezza della sezione più l’inerzia sarà maggiore e più la trave faticherà ad inflettersi

Ora è necessario verificare che il rapporto l/ v_max   sia ≥ 250.

In questo caso il rapporto l/ v_max = 709,79 perciò questo abbassamento è accettato dalla struttura, di conseguenza lo sbalzo è realizzabile.

LEGNO

Prendo in analisi un metro quadro (m²) di un solaio di una struttura in legno rappresentato in sezione:

 Scelgo di utilizzare un legno lamellare incollato GL28h.

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.                

 A questo punto posso  calcolarmi il momento massimo M agente sulla trave avendo il carico lineare qu.

Ipotizzo una base di 35 cm e dal foglio di calcolo trovo l’altezza minima della trave di legno. L’altezza minima viene 70 cm e con una  ingienierizzazzione arrivo ad un’ altezza 75cm.

Inserico anche qui due informazioni fondamentali per calcolare lo spostamento, quali E che nel legno è pari a 126.000 N7mm² e il foglio mi calcola I_x la cui formula essenzo una sezione di trave rettangolare è sempre bh³/12.

Ricalcoliamo ora i carichi incidenti sulla struttura seguendo come abbiamo fatto per il C.A. la combinazione impiegata per gli stati limite di esercizio , solo che in questo caso, dunque solo nel LEGNO, il peso proprio della trave viene trascurato essendo un materiale leggero.

Posso calcolarmi a questo punto l’ abbassamento della mia trave a sbalzo.

L’abbassamento totale è calcolabile attraverso questa formula , in quanto il carico è uniformemente distrubito :

V_max=  q_e l^4//8EI_x  = 0.11 cm

A livello dimensionale:

[v_max] ₌ [F] [L³]/ [F] [L^-2] [L⁴] = [L]

Verifichiamo infine che l’abbassamento sia accettabile, a tal proposito la normativa impone che la luce fratto lo spostamento sia maggiore uguale di 250:  trasformo la luce di 5 m in 500 cm e la divido per l’abbassamento di 0.11 cm =  4669,41   VERIFICATO

ACCIAIO

Prendo in analisi un metro quadro (m²) di un solaio di una struttura in acciaio così stratigrafata:

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.

Dopo di che come fatto per il c.a. e il legno mi calcolo il Momento massimo, inserisco l’ Fyk cioè la tensione di snervamento che nel mio caso avendo scelto un acciaio medio S275 è di  275 Nmm² e mi calcolo così la tensione di progetto fd  ( tensione ammissibile) dividendo fyk per un il coefficienti di sicurezza per la resistenza delle membrature e la stabilità,  γs = 1,05 :

Fd = 275/1.05= 261.90

PROGETTO DI TRAVE

Dato uno schema strutturale di un solaio come quello rappresentato in figura è necessario procedere con il dimensionamento della trave più sollecitata, che in questo caso è quella centrale. Il dimensionamento avverrà per tre diverse tecnologia : CEMENTO ARMATO, ACCIAIO e LEGNO.

Indivisuata la trave più sollecitata vado a  delimitare la sua area di influenza:

PROGETTO DI TRAVE IN CEMENTO ARMATO

Sezione trasversale schematica di un generico solaio misto in latero-cemento. La normativa (D.M.09/01/96, par.7) fornisce precise indicazioni sul suo predimensionamento:

Prendo a questo punto in analisi un metro quadro (m²) di solaio rappresentato in sezione:

Vado ora ad analizzare i diversi tipi di carichi che agiscono sulla struttura individuandone i loro pesi specifici:

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.  

 A questo punto posso  calcolarmi il momento massimo M agente sulla trave avendo il carico lineare qu, la luce che copre la mia trave che è 6 (il braccio ) e sapendo che il momento max di una trave appoggiata è ql²/8.

Mmax = qu x l²/8=  50.84x(6)²/8= 228,79kNm

PROGETTO DELLA TRAVE :

Dopo aver trovato il carico lineare totale che graverà sulla mia trave e il momento massimo vado a dimensionarmi la trave:

Per il cemento armato avrò due tensioni di progetto essendo un materiale non omogeneo, una per l’acciaio fyd, dove y sta per yield ossia snervamento,e una per il calcestruzzo fcd.

La tensione di progetto per l’acciaio che deve resistere a trazione si calcola cosi: 

Ora per trovare l’ H min della sezione della trave ho bisogno di :

 b=30 cm

così mi ricavo hu che è l’altezza utile della sezione reagente in calcestruzzo e

si trova al di sopra dell’ armatura

Hu=  r √Mmax/b = 35.37 cm

PROGETTO DI TRAVE IN ACCIAIO

Prendo in analisi un metro quadro (m²) di un solaio di una struttura in acciaio rappresentato in sezione:

Vado ora ad analizzare i diversi tipi di carichi che agiscono sulla struttura individuandone i loro pesi specifici:

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.   

A questo punto posso  calcolarmi il momento massimo M agente sulla trave avendo il carico lineare qu, la luce che copre la mia trave che è 6 (il braccio ) e sapendo che il momento max di una trave appoggiata è ql²/8. 

Mmax = qu x l²/8=  45.91 x (6)²/8= 206,61kNm

Ora non mi resta che scegliere il valore caratteristico di snervamento per l’acciaio fyK  che mi individua la classe di resistenza del materiale , in questo caso scelgo un acciaio medio (classe Fe430/s275) di resistenza 275 Nmm².

Mi calcolo così la tensione di progetto fd  ( tensione ammissibile) dividendo fyk per un il coefficienti di sicurezza per la resistenza delle membrature e la stabilità,  γs = 1,05 :

Fd = 275/1.05= 261.90

Mi calcolo infine il MODULO DI RESISTENZA A FLESSIONE  Wxmin, per poi andare a scegliere il profilato appropriato sulla tabella dei profili in acciaio.

Wxmin:= M/fd  = 788,88 cm³

Questa formula me la ricavo direttamente dalla formula di Navier  e divide il momento flettente max per la tensione di progetto.

La tabella di calcolo mi ha ora trovato il Wxmin  cioè il valore minimo che la sezione che sceglierò dovrà avere affinchè nessuna fibra del materiali superi la tensione di progetto.                                                        

Nella tabella dei profili metallici (sotto riportata) scelgo un profilo adatto che abbia un modulo di resistenza a flessione Wx maggiore di quello da me trovato: IPE 360

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La tensione di progetto fd e la resistenza a flessione wx sono inversamente proporzionali quindi più piccola scelgo la resistenza del materiale a snervamento più grande dovrò scegliere la sezione del profilato e viceversa.

PROGETTO DI TRAVE IN LEGNO

Prendo in analisi un metro quadro (m²) di un solaio di una struttura in acciaio rappresentato in sezione:

Vado ora ad analizzare i diversi tipi di carichi che agiscono sulla struttura individuandone i loro pesi specifici:

per progettare il mio solaio scelgo di utilizzare un legno lamellare incollato GL28h, GL sono le classi di resistenza e la cifra che la segue corrispondono al valore caratteristico della resistenza a flessione, h invece sta a significare che il legno lamellare è omogeneo, ossia le lamelle utilizzate appartengono alla stessa classe di resistenza.

Calcolo il peso di ogni singolo elemento del solaio  al metro quadro: moltiplico il suo peso specifico in kN/m³ per il suo stesso volume e lo divido per  un metro quadrato.                                                                                                                       

A questo punto posso  calcolarmi il momento massimo M agente sulla trave avendo il carico lineare qu, la luce che copre la mia trave che è 6 (il braccio ) e sapendo che il momento max di una trave appoggiata è ql²/8.

Mmax = qu x l²/8=  38.96 x (6)²/8= 175.30 kNm

Per calcolare la TENSIONE DI PROGETTO Fd per quanto riguarda il legno dobbiamo procurarci alcuni dati:

ricordo che ho scelto un legno lamellare incollato GL28h.

Fmk: resistenza a flessione caratteristica del legno 28 N/mm²

Kmod: è un coefficiente che riduce i valori della resistenza  che tiene conto della durata del carico e delle condizioni di umidità  e cambia a seconda del materiale prescelto , nel mio caso: classe di servizio 2, classe di durata del carico media =0.80

Inserendo questi dati nella tabella di calcolo mi ricavo Fd= kmod x fmk / γm

Rimane ora da inserire nel foglio di calcolo la base b=35 ipotizzata per trovare l’altezza minima della trave di legno che era l’unica incognita nel nostro progetto.

L’altezza minima viene 44 cm e con una  ingenierizzazione arrivo ad un altezza della trave in legno di 55cm

Considero una pianta di carpenteria che presenta uno sbalzo di 4,30m.

La trave più sollecitata è la B. Ne individuo l'area di influenza che avrà interasse di 5,40m per una luce L di 3,60m

Procedo dunque individuando una stratigrafia adeguata per le tre tecnologie.

1. LEGNO

Procedo con il calcolo dei carichi permanenti (strutturali e non) e accidentali (considerati per uso uffici):

TRAVETTI: dimensione: 0,12x0,25 m
                  peso specifico: 6kN/mc
                  peso per mq di solaio: (0,12x0,25x1,00)mc/mq x 6kN/mc = 0,18kN/mq

TAVOLATO: dimensione: 0,05m (spessore)
                  peso specifico: 6kN/mc
                  peso per mq di solaio: (0,05x1,00x1,00)mc/mq x 6kN/mc = 0,3kN/mq

SOMMANDO RISPETTIVI PESI PER MQ DI SOLAIO OTTENGO: qs = 0,18+0,3 = 0,48kN/mq

Quindi si passa al calcolo del carico degli elementi non strutturali (qp):

MASSETTO (in cls): dimensione: 0,07x1,00x1,00 m
                                peso specifico: 21kN/mc
                                peso per mq di solaio: (0,07x1,00x1,00)mc/mq x 24kN/mc = 1,68kN/mq

ISOLANTE (fibra di legno): dimensione: 0,05x1,00x1,00 m
                                           peso specifico: 0,6kN/mc
                                           peso per mq di solaio: (0,05x1,00x1,00)mc/mq x 0,6kN/mc = 0,03kN/mq

MALTA DI ALLETTAMENTO (malta di cemento): dimensione: 0,02x1,00x1,00 m
                                           peso specifico: 21kN/mc
                                           peso per mq di solaio: (0,02x1,00x1,00)mc/mq x 21kN/mc = 0,42kN/mq

PAVIMENTAZIONE (gres): dimensione: 0,01x1,00x1,00 m
                                           peso specifico: 8kN/mc
                                           peso per mq di solaio: (0,01x1,00x1,00)mc/mq x 8kN/mc = 0,08kN/mq

IMPIANTI:                          peso per mq di solaio secondo normativa: 0,5kN/mq

TRAMEZZI:                          peso per mq di solaio secondo normativa: 1 kN/mq

SOMMANDO RISPETTIVI PESI PER MQ DI SOLAIO OTTENGO: qp = 1,47+0,03+0,42+0,08+0,5+1 = 3,50 kN/mq

Nel valutare la somma dei carichi esercitati sulla trave vanno considerati anche i carichi accidentali (qa). Secondo normativa, per destinazione d’uso a civile abitazione: qa=3kN/mq

Inizio dunque ad inserire i valori dei carichi all’interno del foglio di calcolo.
Diversamente all'esercitazione 1, il Mmax considerato è quello di una mensola (ql^2)/2. Quindi si procede allo stesso modo ingegnerizzando la sezione della trave 

Il foglio elettrinico procede dunque calcolando il momento di inerzia di una sezione rettangolare (b x h^3)/12. Quindi si calcola il carico di esercizio (La verifica va eseguita in SLE dal momento che si è già consapevoli di non trovarsi in SLU dal momento che la struttura è verificata e dimensionata, insomma regge. Va considerato invece l'estrema possibilità di utilizzo così da calcolarne lo spostamento max).

vmax = (qe x l^4)/8EI

Il rapporto tra la luce e l'abbassamento deve essere > di 250 per essere considerato accettabile dalle Norme.

2.ACCIAIO

3.CALCESTRUZZO

Nei progetti architettonici spesso si ricorre all'utilizzo di aggetti per avere degli effetti compositivi particolari

La struttura che sostiene gli sbalzi è la "Mensola".

La mensola è una struttura isostatica ( dove le possibilità di movimento di traslazione e rotazione sono bloccate dallo stesso numero di gradi di vincolo ) che rappresenta l'incastro di una trave in una parete o un aggancio a una struttura portante.

Prendendo come riferimento la stessa struttura utilizza nalla prima esercitazione, ho aggiunto un aggetto alle travi principali.

La struttura proposta è un telaio e in realtà la configurazione strutturale delle travi principali è quella di travi appoggiate appogiate e non di strutture incastrate

Nel nostro caso però possiamo comunque utilizzare una struttura doppiamente appoggiata perchè guardando le leggi del Momento risultano uguali per entrambi i modelli

M(s) = (q s^2) /2 con valore massimo di Mmax = (q l^2)/ 2 quando s = l

DIMENSIONAMENTO DELLE MENSOLE

I valori dei carichi e le sezioni dei solai sono stati prese dall'esercitazione 1 (vedi http://design.rootiers.it/strutture/node/1740)

Mensola in C.A

Analisi dei carichi:

Qs = 0,8 kN/mq + 1 kN/mq + *0,64 kN/mq  = 2,44 kN/mq
Qp = 1 kN/mq + 0,056 kN/mq + 0,72 kN/mq + 0,4 kN/mq + *1 Kn/mq + *0,5 kN/mq =  3,076 KN/mq =  3,08 kN/mq
Qa = 2 kN/mq   valore dipendente dalla Tabella 3.1.II delle NTC 2008 per un ambiente ad uso residenziale

*i valori asteriscati (muri interni e impianti) sono consederati con dei valori forfettari perchè ci possono essere delle modifiche durante in tutta la vita utile dell'edificio

A differenza della precedente esercitazione, la luce della trave è di 3 metri

il carico ultimo risulta quindi essere:
Qu = 2,44 kN/mq x 1,3 + 3,08 kN/mq x 1,5 + 2 kN/mq x 1,5   = 27,12 kN/mq x 4 metri di interasse 
= 43,14 kn/mq

fissando la base della sezione in CA a 30 cm ottengo una altezza minima ingegnerizzata di 55 centimetri (verificata anche con il peso della trave)

La trave risulta dimensionata, ma da Norma NTC 2008 va verificato che l'abbassamento sia inferiore di un 250 della luce Vmax/Luce < 250  (oppure per formula inversa Luce/Vmax > 250)
Per la trave di CA risulta un rapporto luce/abbassamento di 857,38

Qe è il valore di carico allo SLE (Stato Limite d'Esercizio )
E è il Modulo Elastico
Ix è il Momento di Inezia
Vmax è l'abbassamento massimo ammissibile

Il valore dell'abbassamento è determinato dall'equzione della linea elastica.

La linea elastica si basa sul modello di trave di Eulero - Bernoulli.

Nel caso della mensola con carico distribuito, non ci sono forze orizzanti p [s] ne carichi di momento μ [s], dunque non ho sforzi normali, Il taglio deve equilibrare la risultate del carico verticale e in più il taglio risulta la derivata del momento.

Il modello di trave può essere riscritto così:

Dalle condizioni di compatibilità risulta che:
la rotazione *ϑ [s]   è la variazione di spostamento v rispetto ad s (v ' [s] derivata di v rispetto alla generica sezione s)
la curvatura χ [s] è la variazione della rotazione respetto ad s

Dai Legami costitutivi risutal che M [s] = E J χ [s] (per la Formula di Navier)
dove E è il Modulo Elastico del materiale
J è il momento di inerzia
χ [s] è la curvatura 

*(la rotazione può essere scritta come ϕ)

Mettendo insieme tutte le relazioni dalla legge del momento è possibile ricavare curvatura, rotazione e abbassamento della trave a secondo della posizione di una generica sezione S lungo la trave.

ϑ [s] = v ' [s] per ottenere v devo fare l'integrale rispetto ad s quindi:

In Base alla legge del momento ottengo una legge almeno del secondo grado dato che per ottenere una funzione che sia derivabile due volte.
Se v [s] è una funzione del secondo grado, M [s] è una legge costante. Dunque il Taglio è nullo e non c'è carcico verticale
Se v [s] è una funzione del terzo grado, M [s] è una legge lineare. Dunque il Taglio è un valore costante e il carico è una forza verticale puntuale

Se v [s] è una funzione del quarto grado, M [s] è una legge parabolica. Dunque il Taglio è un valore lineare e il carico verticale è distribuito su tutta la trave.

Se v [s] è una funziona del quinto grado, M [s] è una legge cubica. il Taglio è parabolico e il carico verticale è lineare. (un carico del genere può essere il carico della neve sui tetti)

e così via.

Nel caso della mensola

la legge del momento risulta:

C1 e C2 sono costanti che escono fuori dall'integrale indefinito. Per poter determinare i valori delle costanti ho bisogno di punti in cui conosco sicuramente i valori di spostamento e/o rotazione.

In questo caso con la mensola la deformata 

Nella mensola conosciamo questi valori all'incastro dove lo spostamento e la rotazione sono nulli

Dopo aver determinato C1 e C2 l'equazione della linea elastica risulta

Dato che l'abbassamento massimo risulta essere all'inizio della trave.
Calcolo l'abbassamento in s = 0 quindi Vmax = V0

Mensola in Acciaio

Analisi dei carichi

Qs = 1 kN/mq + 0,157 kN/mq + 0,081 kN/mq  = 1,238 kN = 1,24 kN/mq 
Qp = 0,078 kN/mq + 0,056 kN/mq + 0,72 kN/mq + 0,4 kN/mq + *1 Kn/mq + *0,5 kN/mq =  2,75 KN/mq
Qa = 2 kN/mq valore dipendente dalla Tabella 3.1.II delle NTC per un ambiente ad uso residenziale

Qu = 2,94 kN/mq x 1,3 + 2,75 kN/mq x 1,5 + 2 kN/mq x 1,5  = 44,55 kn/mq

*i valori asteriscati (muri interni e impianti) sono consederati con dei valori forfettari perchè ci possono essere delle modifiche durante in tutta la vita utile dell'edificio

Il profilo necessario per resistere alla flessione è un IPE 360 (verificata anche con l'aggiunta del peso della trave stessa).

Il profilo scelto ha un rapporto tra luce e abbassamento di 370,189 quindi il profilo scelto risulta verificato anche all'abbassamento.

Mensola in Legno

Analisi dei Carichi:

Qs = 0,078 kN/mq + 0,216 kN/mq = 0,292 kN/mq = 0,3 kN/mq  
Qp = 0,056 kN/mq + 0,72 kN/mq + 0,144 kN/mq + *1 Kn/mq  + *0,5 kN/mq  =  2,26 kN/mq
Qa = 2 kN/mq valore dipendente dalla Tabella 3.1.II delle NTC per un ambiente ad uso residenziale

Qu = 0,3 kN/mq x 1,3 + 2,26 kN/mq x 1,5 + 2 kN/mq x 1,5  = 27,12 kN/mq

Nella trave di Legno Lamellare per determinare l'abbassamento non considero il peso della trave principale (perchè è un materiale molto leggero e il peso della trave principale non influesce fortemente sul carico strutturale)

*i valori asteriscati (muri interni e impianti) sono consederati con dei valori forfettari perchè ci possono essere delle modifiche durante in tutta la vita utile dell'edificio

Utilizzo una trave in legno lamellare in classe 2, con classe di durata del carico di lunga durata che implica un coefficiente riduttivo di resistenza Kmod di 0,7 

fissando la base della trave a 25 cm risulta necessaria una trave in legno lamellare ingegnerizzata di 55 cm.

Poichè il rapporto tra abbassamento è di 576,97 la trave è a Norma.

Considerazioni:

La mensola in C.A ha dimensioni 30x55 cm con un rapporto luce/abbassamento di 857,38
La mensola in Acciaio è un IPE 360 (altezza del profilo 36 cm) con un rapporto luce/abbassamento di 370,189
La mensola in Legno ha dimensioni 25x55 cm con un rapporto luce/abbassamento di 576,97

tra le tre travi, quella che ha un abbassamento minore è quella in CA, e quella con un abbassamento maggiore è quella in acciaio. L'acciaio permette di coprire luci con un altezza della trave più piccola rispetto agli altri materiali, ma a causa del suo comportamento duttile ha un abbassamento molto maggiore. Cemento è un materiale molto più pesante rispetto agli altri ma ha un comportamento molto rigido, infatti il suo abbassamento è meno della metà di quello dell'acciaio.
Il legno è una situazione intermedia tra gli altri due materiali. Ha dimensioni minori del cemento armato, ha un abbassamento di poco superiore al cemento, maggiore dell'acciaio ed molto più leggero rispetto agli altri due materiali.

Se avessi bisgono di strutture leggere conviene utilizzare il legno.
Per strutture snelle che sostengono tanto carico conviene l'acciaio.
Se avessi bisogno invece di strutture che si devono abbassare di meno conviene utilizzare il CA

Prendendo in considerazione i dati calcolati nella precedente esercitazione (carichi del solai) , vado a ricavarmi l'altezza minima della trave per quanto riguarda il cemento armato ed il legno e la resistenza a flessione minima per l'acciaio. Dovendo progettare una trave a sbalzo l'unica differenza di calcolo che si può riscontrare rispetto alla precedente esercitazione è  nella formula del momento massimo , non più ql^2/8 ma  ql^2/2 poichè il sistema equivale a quello di una mensola. Dopo aver progettato la sezione della mia trave in tutte le tecnologie, per questo sistema statico si considera  un altro fattore: LA DEFORMABILITA'. La verifica a deformabilità  si basa sul rapporto della luce della mia trave (sbalzo) e l'abbassamento massimo, che deve essere >250. Essa non viene effettuata allo SLU (stato limite ultimo -collasso), ma allo SLE (stato limite di esercizio-funzionalità ed efficienza).

Inizio la mia esercitazione con la carpenteria che sarà uguale per tutte le mie strutture. La trave evidenziata in rosso è la trave più sollecitata. La luce sarà di 3m e l'interasse di 5m. Per cui la mia area d'influenza sarà di 3mx5m = 15mq  

CEMENTO ARMATO :

qs = 2,46 KN/mq                      qp =  3,1 KN/mq                  qa = 2 KN/mq

Si andrà a calcolare il carico ultimo (qu) sommando tutti i carichi (strutturali, permanenti e accidentali) moltiplicati per i propri coefficienti di sicurezza ed infine moltiplicati per l'interasse.

                               qu =   (  qs x 1,3 + qp x 1,5 + qa x 1,5 ) x 5 =  54,34 KN/m

Momento max = 244,08 KNm

Ipotizzo la base della mia trave pari a 40 cm e risulta un altezza minima di 50,77cm che andrò ad ingegnerizzare portandola ad un altezza ultima di 55cm. La sezione della trave sarà di 40cmx55cm ed è VERIFICATA  considerando naturalmente anche il peso proprio della trave progettata con un Fyk = 450Mpa e Fck di 30Mpa.

Deformabilità:

 Il peso proprio della trave utilizzato precedentemente per la progettazione della sezione allo SLU, adesso viene riutilizzato per trovare il qe= carico totale allo SLE. Il carico totale qe=38,30KN/mq, il modulo elastico E=210000Mpa ed il momento d'inerzia Ix=55453 cm^4 mi permettono di trovare l'abbassamento massimo vmax=0,33cm Se il rapporto tra la L(luce)/vmax > 250 allora l' abbassamento massimo della mia trave a sbalzo è verificato. Nella mia esercitazione ottengo un L/vmax = 900,98 > 250 VERIFICATO.

LEGNO:

qs = 0,36 KN/mq                      qp =  3,34 KN/mq                  qa = 2 KN/mq

Si andrà a calcolare il carico ultimo (qu) sommando tutti i carichi (strutturali, permanenti e accidentali) moltiplicati per i propri coefficienti di sicurezza ed infine moltiplicati per l'interasse.

                                qu =   (  qs x 1,3 + qp x 1,5 + qa x 1,5 ) x 5   =  42,39KN/mq

Momento max = 190,775 KNm

Ipotizzo la base della mia trave pari a 35 cm e risulta un altezza minima di 58,60cm che andrò ad ingegnerizzare portandola ad un altezza ultima di 60cm. La sezione della trave sarà di 35cmx60cm

Deformabilità:

Nella fase di progetto della sezione per quanto riguarda il legno, essendo un materiale leggero,il peso proprio della trave progettata viene trascurato, quindi, nella formula per trovarci qe( il carico totale allo SLE) ,non viene sommato. Il carico totale allo SLE qe=24KN/mq, il modulo elastico E=8000Mpa e il valore del momento d'inerzia Ix=630000cm^4 (b*h^3/8) mi permettono di trovare l'abbassamento massimo vmax=0,47cm .Se il rapporto tra la L(luce)/vmax > 250 allora l' abbassamento massimo della mia trave a sbalzo è verificato. Nella mia esercitazione ottengo un L/vmax = 635,46 > 250 VERIFICATO

ACCIAIO:

qs = 2,12 KN/mq                      qp =  2,98 KN/mq                  qa = 2 KN/mq

                                     qu =   (  qs x 1,3 + qp x 1,5 + qa x 1,5 ) x 5   = 51,13 KN/mq

Momento max = 230,085 KNm

Scegliendo l'acciaio Fe 430/S275 che avrà una tensione di snervamento pari a 275Mpa otterrò un modulo di resistenza Wxmin pari a 878,51 cmc che equivale ad un IPE 360 perchè considero un Wx pari a 904cmc.

Deformabilità:

Prendendo quindi in considerazione un IPE 360 avrò il peso della trave pari a 0,571 KN/m (che verrà sommato ai carichi del solaio ), un momento d'inerzia Ix=16270 cm^4 ed un modulo elastico E=210000Mpa. Tutti questi dati mi permettono di trovare l'abbassamento massimo della mia trave a sbalzo pari a  vmax=0,921cm. Se il rapporto tra la L(luce)/vmax > 250 allora l' abbassamento massimo della mia trave a sbalzo è verificato. Nella mia esercitazione ottengo un L/vmax = 325,820 > 250 VERIFICATO.

La seconda esercitazione consiste nel dimensionamento di una travatura reticolare 3D attraverso il software SAP. Per prima cosa impostiamo le unità di misura (KN, m, C) e un nuovo modello grid only. Dopo inserisco i valori x, y, z e vado a creare la griglia su cui disegno la mia trave reticolare. Attraverso il comando Drow Freame disegno le aste, completato il primo modulo, le copio prima sull'asse delle x e poi su quello delle y con il comando ctrlv - ctrlc.

Una volta disegnata la trave reticolare verifico che i nodi coincidono con il comando Marge joins che mi corregge le imperfezioni.

A questo punto procedo con l'analisi e inserisco i vincoli nei quattro angoli della struttura, essendo una trave reticolare i vincoli che andrò a inserire sono tutte cerniere. 

Nel caso della struttura reticolare nei nodi devo avere delle cerniere, non un incastro come di solito avviene. Quindi seleziono la struttura, assaine, frame, releses a questo punto mi si aprirà una finestra e seleziono Moment 22 e Moment 33 seleziono ok e avrò le cerniere in tutti i nodi. In questo modo si impone che ogni asta sia collegata all'altra mediante un vincolo di cerniera interna, quindi non trasmetterà momento.

Ora vado a creare il carico ripartito, quindi vado su Define, Section Properties, Frame section, Add new e vado a crearmi la sezione e il materiale delle aste. I profilati scelti per la travatura sono tubolari cavi d'acciaio.

Non prendendo in considerazione il peso proprio della trave, vado su Assine, Joint Loads, Forses Pratters Name e assegno una forza dal valore -100 ai noi selezionati (quelli superiori) in modo che avrò le mie forze concentrate rivolte verso il basso. 

Parte l'analisi del modello, si analizza la stuttura prendendo in considerazione le forze che mi sono creata precedentemente.

La mia stuttura si è deformata. Quindi verifico che ci siano solo sforzi normali.

Estraggo poi le tabelle con i valori di trazione e comressione riferite ad ogni asta su excel per procedere con il dimensionamento.

Sulla tabella Excel pulisco il file dai dati superflui e ordino secodo l'ordine delle aste dal segno negativo a quello positivo. Quindi, ordino la colonna Station facendo sì che i valori siano crescenti, evidenzio in rosso le aste diagonali di 2,83cm e ordino la colonna P in ordine decrescente.

Apro il file fornitoci per l'esercitazione. Sarà diviso in due parti resistenza a trazione e resistenza a compressione. Importo i valori ricavati sotto la colonna N, imposto la classe di resistenza del mio materiale (fyd), il valore di E e la luce delle mie aste.In base all'area minima scelgo il tipo di tubolare da utilizzare.L'ultimo passo è quello di verificare che che il profilo sceloto soddisfi le caratteristiche di sollecitazione provocate dalla trazione e dalla compressione.

Iniziamo col definire il modello della struttura reticolare spaziale in SAP2000:

1. Apriamo il software e andiamo su File → New model
2. Impostiamo le unità di misura del modello e scegliamo il template più comodo che in questo caso risulta essere la griglia spaziale triortogonale
3. Della griglia andremo a definire il numero di linee rette nelle direzioni triortogonali x, y, z e la loro spaziatura nei piani triortogonali xy, yz, zx. Con la griglia definita andremo a realizzare il modello di una struttura reticolare spaziale avente tante aste quanto i segmenti definiti dalle linee di griglia più un numero di aste necessarie a 'triangolare' tutta la struttura (al fine di sfruttare la rigidezza del telaio triangolare)
4. Andiamo quindi a disegnare come ci è più comodo non tutte ma un certo numero di aste che poi andremo a copiare e incollare in una delle due direzioni di base
5.  Poi, sempre copiando e incollando nell'altra direzione di base andremo a definire tutte le aste componenti la struttura
6.  Verifichiamo di non aver erroneamente sovrapposto più aste attraverso il comando Edit → Show Duplicates 
7.  Un altro accorgimento è quello di fondere i nodi entro una certa distanza di tolleranza (cioè nel caso in cui non tutte le aste che dovrebbero convergere in un nodo convergono in quel nodo ma convergono in un altro nodo ad una distanza molto piccola dal primo, distanza sicuramente inferiore alla tolleranza che andremo ad impostare). Selezioniamo dunque tutta la struttura e andiamo su Edit → Edit Points → Merge Joints ed impostiamo la Merge Tolerance
8. Imponiamo i vincoli: scegliamo i nodi attraverso i quali la struttura sarà vincolata (io ne ho scelti 3 disallineati, ossia il numero minimo affinche non ci sia labilità), li selezioniamo e andiamo a definirne i gradi di vincolo attraverso il comando Assign → Joint → Restraints... e andando a vietare la traslazione nelle tre direzioni 
9.  Trattandosi del modello di una struttura reticolare, cioè una struttura in cui è presente solo sforzo normale, dobbiamo imporre che tutti i suoi nodi siano delle cerniere. Selezioniamo nuovamente tutte le aste e andiamo su Assign → Frame → Releases/Partial fixity... e rilasciamo momento22 e momento33 all'inizio e alla fine delle aste Nel modello le aste appariranno come se distanziate dai nodi
10. Definiamo le caratteristiche materiche e geometriche delle nostre aste. Selezioniamo tutte le aste del modello e andiamo su Assign → Frame → Frame Sections... e poi su Add New Property......e andiamo a definire materiale, profilo e caratteristiche del profilo (in questo caso ho scelto un tubo circolare di diametro esterno 200mm e di spessore 10mm)
11. Definiamo i carichi agenti sulla struttura da Define → Load Patterns... aggiungiamo un nuovo modello di carico (Add New Load Pattern) lo nominiamo ed impostiamo il peso proprio pari a zero (colonna Self Weight Multiplier)
12. Assegnamo i carichi ai nodi che desideriamo (esclusivamente ai nodi dal momento che parliamo di una struttura reticolare) semplicemente selezionandoli e andando su Assign → Joint Loads → Forces... selezioniamo il tipo di carico da noi poc'anzi definito e definiamo il valore della forza (in questo caso una forza di -10kN lungo l'asse z avendo immaginato la struttura come una copertura)

Siamo finalmente pronti per lanciare l'analisi semplicemente cliccando sul simbolo play (►) e scegliendo di far partire il calcolo esclusivamente per il tipo di carico da noi creato (nel caso specifico Forza Es.2) e cliccando finalmente su Run Now

Terminata l'analisi, tra le varie proprietà che possiamo mettere in evidenza c'è la graficizzazione degli sforzi normali; clicchiamo sul pulsante Show Forces/Stresses quindi su Frames/Cables/Tendons... selezioniamo Axial Force. Possiamo inoltre impostare un fattore di scala o decidere se i diagrammi debbano essere campiti pieni o debbano mostrare anche il valore in cifre

E questo è il grafico ottenuto; in blu è indicato lo sforzo di trazione (N+) ed in rosso lo sforzo di compressione (N-)

Per avere una lettura organica e chiara a questo punto è comodo costruirsi ed esportare una tabella nel quale viene indicato per ogni asta il valore dello sforzo normale (che è costante lungo tutta una qualsiasi asta della struttura). Andiamo su Display → Show Tables... e spuntiamo la casella ANALYSIS RESULTS e diamo quindi l'ok

A questo punto dal menu a tendina selezioniamo Element Forces - Frames

Giocando con le seguenti opzioni ho creato la mia tabella:

• Format: ho deciso quali colonne stampare  e quali no. Ho scelto di stampare le colonne Frame ('Asta'; ciascuna asta è indicata da un numero), Station (punto dell'asta dove è calcolato lo sforzo normale rispetto alle coordinate locali dell'asta) e P (lo sforzo normale espresso in KN)
• Filter: dal momento che, come precedentemente detto, lo sforzo normale è costante lungo tutta l'asta per qualsiasi asta, ho scelto di filtrare la colonna Station solo per i valori = 0 (in questo modo ogni asta compare nella tabella una sola volta)
• Sort: ho deciso di ordinare la tabella per valori decrescenti dello sforzo normale

Siamo ora pronti per esportare la tabella in Excel cliccando dal menù della tabella su File → Export Current Table → To Excel 

Da Excel possiamo rapidamente mettere a confronto i valori massimi di trazione e compressione

Inoltre graficizzando tutti i valori di N appare chiaro che:

• solamente il 2.1% delle aste tese supera il valore di N=150KN
• solamente il 1.3% delle aste compresse supera il valore di N=|150|KN
• il 63.2% delle aste tese subisce una trazione > 50kN
• il 65.9% delle aste compresse subisce una compressione > |50|kN
• il 34.7% delle aste tese subisce una trazione 150kN > N > 50kN
• il 32.8% delle aste compresse subisce una compressione |150|kN > N > |50|kN

Ora possiamo passare al dimensionamento delle aste:

• Aste tese
  Poiché σ = N/A, A = N/σ dove σ equivale in fase di progetto a f_d.
  con:
  • N = rispettivamente Nmax (284.329kN); 150kN; 50kN

  • f_yk = tensione di snervamento caratteristica dell’acciaio scelto espressa in MPa

  • γ_m= coefficiente di sicurezza adimensionale

  • f_d = tensione di progetto il cui valore è dato da f_yk / γ_m

  • A_min = area minima ricavata dal rapporto tra la sollecitazione N e la tensione di progetto f_d

  • A_design = Area ingegnerizzata, cioè l'area del profilo scelto da profilario subito maggiore dell’area minima e quindi a favore di sicurezza.​

• Aste compresse
  Per dimensionare le aste compresse abbiamo bisogno di altri parametri, in quanto dobbiamo tener conto dell'instabilità euleriana. 
  Poiché il carico critico euleriano è:
  f_crit=(π²EA) / λ² 
  allora
  σ_crit=(π²E) / λ²
  e quindi 
  λ_max=π(E/σ_crit)^1/2
  e poiché 
  λ=l₀/rho dove 
  l₀=beta(l)=luce libera d'inflessione con beta=1 per un'asta incernierata alle due estremità
  allora 
  rho_min=l₀/λ_max 
  e poiché 
  rho_min=(I_min/A)^1/2
  allora 
  I_min=A(rho_min)²
  - nella tabella ho assunto σ_crit=f_yd non fidandomi della fase duttile dell'acciaio
  - per l ho preso il valore della luce delle aste più lunghe, cioè quelle diagonali, pari a 2,83m (quelle parallele agli assi del sistema di riferimento hanno invece l=2m)

  Determinati per ciascun carico (determinato come sopra spiegato attraverso la distribuzione delle intensità di sforzo normale) i valori di λ_min, rho_min e I_min, ho trovato nel profilario il profilo che soddisfaceva i tre parametri e li ho inseriti nelle ultime tre colonne rosse verificando che il valore λ risultante dall'ultima colonna fosse <200 (valore massimo della snellezza da normativa per le membrature principali)