Portale di Meccanica

Con questa esercitazione si procede a dimensionare un pilastro nei tre sistemi costruttivi quali il legno, l'acciaio e il calcestruzzo. Nell'ultimo caso terremo conto, oltre allo sforzo normale, anche della pressoflessione dato che gli agganci nel calcestruzzo sono incastri.

L'orditura segue quella delle esercitazioni precedenti e, considerando l'area di influenza, andiamo a trovare il pilastro più sollecitato, su cui graveranno il peso di più solai e pilastri superiori ad esso corrispondenti.

LEGNO

Considerando il solaio delle precedenti esercitazioni, inizio col dimensionare il pilastro in legno.

Inserisco i dati dell'area di influenza:

Ricavo quindi il peso della trave primaria e secondaria moltiplicando l'area delle sezioni delle travi per il peso specifico del legno 

trave_p=(0,65x0,40) m² x 7 kN/m³ =1,82 kN/m

trave_s=(0,65x0,40) m² x 7 kN/m³ =1,82 kN/m

Ottengo così il carico totale delle travi; compilando poi i carichi del solaio con i dati precedenti ottengo anche il carico totale del solaio. Lo sforzo Normale sarà quindi calcolato, tendendo conto anche del numero di piani.

Calcolo la resitenza a compressione di progetto del pilastro attraverso i dati del materiale ligneo scelto precedentemente, il legno lamellare incollato omogeneo GL 28h, con f_c,0,k = 26,5 MPa, coefficente correttivo k_mod = 0,7 e coefficente di sicurezza y_m = 1,45; infine si calcola l'area minima della sezione del pilastro.

Considerando β = 1, quindi l = h (caso appoggiato/appoggiato), vado a ricavare la base e l'altezza minima del pilastro, inserisco i dati di ingegnerizzazione e ottengo l'area di progetto e il momento di inerzia di progetto.

Infine deve risultare verificato che l'area di progetto sia maggiore dell'area minima, come in questo caso.

Si può procedere quindi a dimensionare i pilastri superiori, cambiando i dati relativi ai piani.

ACCIAIO

Per l'acciaio prendo in considerazione la stessa sezione della precedente esercitazione, con travi primarie IPE 500 e secondarie IPE 240, di acciaio S275.

trave_p = 90,7 kg/m = 0,90 kN/m

trave_s = 30,7 kg/m = 0,30 kn/m

Dopo aver trovato il carico delle travi, immetto i dati dei carichi per il solaio in acciaio e ottengo il carico totale di questo. Inserendo infine il numero dei piani ho il mio sforzo Normale.

Ora uso i dati dell'acciaio scelto: la tensione di snervamento e il coefficente di sicurezza del materiale, ricavando la tensione ammissibile e l'area minima.

Sempre considerando β = 1 e l = h, vado a ricavare tramite l'inerzia minima il profilo HEA da scegliere, facendo attenzione all'area della sezione con quella minima di progetto e al raggio minimo d'inerzia.

Ora calcolo il resto dei pilastri superiori:

Chiaramente i pilastri superiori mantengono la stessa sezione, in quanto pur cambiando dimensione dell'area minima e l'inerzia minima, il raggio d'inerzia minima non cambia.

CEMENTO ARMATO

Uso sempre la stessa sezione dell'esercitazione precedente con un calcestruzzo di classe C45/55 e acciaio B450A.

Calcolo i pesi delle travi, sapendo che il peso specifico del calcestruzzo è 24 kN/m³:

trave_p = (0,55 x 0,40) m x 24 kN/m³ = 5,28 kN/m

trave_s = (0,55 x 0,40) m x 24 kN/m³ = 5,28 kN/m

Quindi con il carico totale delle travi e quello del solaio, inserendo il numero di piani ottengo lo sforzo Normale.

Con i dati riferiti al calcestruzzo scelto inserisco la resistenza caratteristica di 45 MPa, ottenendo l'area e la base minima.

Sapendo che nel caso del calcestruzzo gli agganci sono realizzati come incastri, quindi trasmettono momento, sottoponendo il pilastro a presso-flessione, vado a considerare la luce minima di inflessione uguale a l/2 e β = 0,5 (caso incastro/incastro).

Ingegnerizzo quindi base e altezza in modo tale da garantire che la tensione massima di progetto sia minore o uguale alla tensione di resistenza e che l'area di progetto sia maggiore dell'area minima.

Calcolo poi gli altri pilastri superiori:

 

 

 

Questa quarta esercitazione consiste nel dimensionamento di un pilastro; che sia esso di legno, acciaio o calcestruzzo.

Ho preso in considerazione il pilastro maggiormente sollecitato a sforzo normale di un edificio di 4 piani; quindi, uno di quelli presenti a piano terra sui quali si scarica il peso dell'intera struttura sovrastante.

Ho ripreso la pianta della carpenteria utilizzata nella prima e nella terza esercitazione in modo da poter riutilizzare i valori dei carichi dei solai.

L'area di influenza del pilastro è quindi di 27 mq. (L1= 4,5 m ; L2= 6 m)

LEGNO

1) Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave_p e della trave_s

trave= area della sezione (0,35 x 0,5) mq x peso specifico 5 KN/m3 = 0,88 KN/m

Posso calcolarmi così il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 11,94 KN

2) Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) per calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 237,33 KN

3) infine calcolo lo sforzo di compressione N dato il numero dei piani

N= (q trave x q solaio) x n piani= 997 KN

 

Adesso posso ricavarmi l'area minima della sezione tale da evitare la rottura del materiale.

4) Inserisco tutte le caratteristiche relative al materiale 

-la resistenza a compressione (f_c0,k) 24MPa

-il coefficiente della durata di carico k_mod  0,8

-il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,45

e mi ricavo il valore della tensione ammissibile e dell'area minima:

f_c0d= f_c0,k x k_mod / γ_m. = 13,24 MPa

A min= 753 cm2

 

5) Sapendo che Il modulo di elasticità E = 8800 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso procedere con:

- il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 80,95

- il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,71 cm

- la grandezza della base b min = 12,84 cm, che ingegnerizzo scegliendo una b = 15 cm. 

- l’altezza minima h_min =   A_min / b = 50,20 cm, che ingegnerizzo scegliendo una h= 51 cm

6) Calcolo  l’area di progetto della sezione

A_design = b x h = 765 cm²

7) Verifico che A_design > A_min   

765 cm² > 753 cm²               SEZIONE VERIFICATA

8)  calcolo infine il momento d’inerzia di progetto

I_design = 14344 cm⁴

ACCIAIO

1)  Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave p e della trave s

trave p = IPE 360 = 57,1 Kg/m = 0,57KN/m

trave s = IPE 160 = 15,8 Kg/m = 0,158 KN/m

Posso calcolarmi così il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= 4,57 KN

2) Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) per calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 269,24 KN

3) infine calcolo lo sforzo di compressione N dato il numero dei piani

N= (q trave x q solaio) x n piani= 1095 KN

 

 

Adesso posso ricavarmi l'area minima della sezione tale da evitare la rottura del materiale.

4) Inserisco tutte le caratteristiche relative al materiale 

- la tensione di snervamento (f_,yk) 275MPa

- il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,05

5) Posso quindi calcolare il valore della tensione ammissibile e dell'area minima

f_yd= f_c0,k / γ_m. = 261,90 MPa

A min= 41,8 cm²

 

5) Sapendo che Il modulo di elasticità E =  210000 N/mm² , β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso procedere con:

- il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 88,96

- il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,37 cm

- calcolo il momento di inerzia minimo   I_min=  476 cm⁴

6)  Posso ora ingegnerizzare la sezione scegliendo un profilo HEA con valori maggiori rispetto a quelli minimi. Scelgo un profilo HEA 180

7) Verifico che A_design > A_min   

45,3 cm² > 41,8 cm²               SEZIONE VERIFICATA

8)  calcolo infine il valore della snellezza

 λ = 60,24

1)  Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave p e della trave s

trave= area della sezione (0,3 x 0,55) mq x peso specifico 24 KN/m3 = 3,96 KN/m

Posso calcolarmi così il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= 54,05 KN

2) Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) per calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 314,71 KN

3) infine calcolo lo sforzo di compressione N dato il numero dei piani

N= (q trave x q solaio) x n piani= 1475 KN

Adesso posso ricavarmi l'area minima della sezione tale da evitare la rottura del materiale.

4) Inserisco la tensione di snervamento

(f_ck) 40 MPa

5) Calcolo i valori di 

- (f_cd) 22,7 MPa

- Amin =650,8 cm² 

- bmin = 25,5 cm

 

 

5) Sapendo che Il modulo di elasticità E =  210000 N/mm² , β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso procedere con:

- il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 95,62

- il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,14cm

- la grandezza della base b min = 10,87 cm, che ingegnerizzo scegliendo una b = 40 cm

-  l’altezza minima h_min = 16,27 cm, che ingegnerizzo scegliendo una  h= 40 cm

6) Verifico che A_design > A_min   

45,3 cm² > 41,8 cm²               SEZIONE VERIFICATA

7) sapendo che:

- I_design= h x b^3 /12 = 213333 cm⁴

- I_max = b x h^3 /12 = 213333 cm4

-  Il modulo di resistenza a flessione W_max = b x h^2 / 6= 10666,67 cm³

- ilcarico distribuito sulla trave q =(1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x L2 = 69,94 KN/m

- il momento nell’estremo della trave M= q x L1^2 /12 = 118,02 KNm

8) calcolo la tensione massima

σ_max = 20,28 MPa

che risulta verificata poichè 

σ_max < f_cd     20,28 < 22,7  TENSIONE VERIFICATA

A completamento dell'esercitazione sulla struttura reticolare (STRUTTURA RETICOLARE 3D), postata in data 31/03/2014, segue la parte di analisi per il dimensionamento delle aste.

 

Si estrae da SAP2000 una tabella che riporta e i valori di Sforzo normale (N) agenti su ogni asta, con relativa lunghezza (L).

 

A questo punto, è essenziale differenziare le aste tese da quelle copresse, perchè i parametri da tenere in considerazione per il dimensionamento sono diversi a seconda del che si tratti delle une o delle altre.

ASTE TESE

Per calcolare l’area minima (A_min)  è necessario definire alcuni parametri.

Dunque, dopo aver scelto il tipo di acciaio dalla Normativa Tecnica, sono necessari:

- La resistenza a tensione di snervamento fyk = 235MPa;

- Il coefficiente di sicurezza del materiale γm = 1,05;

- La resistenza a tensione di progetto: fd = fyk/γm

In base all'area minima calcolata (A_min = N/fd), si scelgono dalla Tabella Profilati metallici i profili che soddisfano la condizione:

A_design > A_min.

In questo caso sono state divise tutte le aste in qattro macrogruppi, ognuno con le seguenti specifiche:

A_design = 2,54 cm²

A_design = 5,74 cm²

A_design = 17,10 cm²

A_design = 33,60 cm²

A questo punto l'ultimo passaggio consiste nel procedere con la fase di verifica.

Si prende in considerazione l'asta più sollecitata

e si impone la seguente condizione: N/A_design ≤ fd

186,24 N/mm² ≤ 223,81 N/mm²

LA SEZIONE E' VERIFICATA!

 

ASTE COMPRESSE

 

Come nel caso delle aste tese, per calcolare l’area minima (A_min) si utilizzano gli stessi parametri:

- Resistenza a tensione di snervamento fyk = 235MPa

- Coefficiente di sicurezza del materiale γm = 1,05;

- Resistenza a tensione di progetto: fd = fyk/γm

Quindi A_min = N/fd.

Per consedirare la sezione dell'asta verificata non è sufficiente soddisfare la condizione N/A_design ≤ fd, ed è per questo che nel foglio di lavoro Excel vengono introdotti ulteriori paramentri:

 

- Il modulo di elasticità del materiale E = 210000 MPa (acciaio);

- La lunghezza dell’asta l = 2 m o 2,83 m;

- Il coefficiente del vincolo β= 1;

- Momento d’inerzia minimo I_min (cm⁴);

- Il raggio d’inerzia del profilo  ρ_design (cm);

A questo punto, come nel caso delle aste tese, si sceglgono dalla Tabella Profilati Metallici i profili che soddisfano la condizione A_design > A_min.

Quindi anche le aste compresse vengono suddivise in qattro macrogruppi, ognuno con le seguenti specifiche:

A_design = 5,74 cm² 

A_design = 12,50 cm²

A_design = 25,70 cm²

A_design = 47,00 cm²

Adesso, prendendo in esame l'asta più sollecitata

oltre alla disequazione N/A_design ≤ fd (209,11N/mm² < 223,81 N/mm²) che risulta essere verificata, è necessario imporre un'altra condizione, ossia che la SNELLEZZA (λ) risulti minore o uguale a 200.

Poichè in questo caso λ < 200

LA SEZIONE RISULTA VERIFICATA!

 

Con la quarta esercitazione abbiamo dimensionato la sezione di un pilastro. Il pilastro che viene analizzato è quello più sollecitato a sforzo normale (compressione) ed in questo caso quello a piano terra. Su di esso in fatti verranno trasmessi i carichi dei piani superiori .

Deduciamo inoltre dalla pianta di carpenteria che il pilastro più sollecitato è quello che ha un’area di influenza maggiore. Ovvero il pilastro B2, la cui area di influenza è

 A = L1xL2 = 4X6 = 24 mq

Analizzeremo la sezione del pilastro nelle tre diverse tecnologie affrontate fino ad ora.

 

 

CALCESTRUZZO

(prendiamo in esame la stessa tipologia di solaio studiata nella prima esercitazione)

 

Aprendo il file excell inizio l’analisi calcolando l’area di influenza(mq) del pilastro nelle prime tre colonne.

Nella colonna D ed E inserisco il carico della trave principale e secondoria che andrà a gravare sul nostro pilastro. Questi dati li avevo calcolati già nelle’esercitazione 1 e 2 quindi ora mi trovo avvantagiato con dei conteggi già svolti in precedenza.

Pt = [(base x altezza x profondità)/mq] x peso materiale = [(0,20 x 0,45 x 1m)/mq]x 25 KN/mc = 2,25 KN/mq

Vado ora ad inserire nelle colonne G H ed I i valori dei carichi agenti sul solaio (Qs = carichi strutturali, Qp = carichi permanenti, Qa = carichi accidentali ). Questi dati li avevo sempre già calcolati nell’esercitazione 1. Il carico totale deriva dall’addizione dei carichi moltiplicati per il loro coefficiente di sicurezza moltiplicata poi per l’area di influenza.

Qtot = (1,3xQs +1,5xQp + 1,5xQa) x A =

Ora posso calcolarmi lo sforzo di compressione N ma prima è essenziale mettere il giusto numero di piani che gravano sul pilastro. Infatti:

N = (Peso trave x Peso solaio) x n° piani

 

Inserendo poi la tensione di snervamento (fck), il modulo di elasticità (E) e l’altezza del pilastro (l) posso calcolarmi:

-il valore massimo di snellezza (λ*)

-il valore minimo del raggio di inerzia (ρmin)

-la grandezza della base minima (inserendo poi nella colonna W il valore ingegnerizzato)

-l’atezza minima (inserendo poi nella colonna Y il valore ingegnerizzato)

L’area sarà verificata se    Adesign > Amin

Inoltre bisogna verificare che    σmax<fcd

 

LEGNO

 

(solaio preso in considerazione anche nella prima esercitazione)

 

Nella prime due colonne come ho fatto per il calcestruzzo mi calcolo l’area di influenza del pilastro A= L1xL2 = 24 mq

Nella colonna D ed E inserisco il carico della trave principale e secondoria che andrà a gravare sul nostro pilastro.

Pt = [(base x altezza x profondità)/mq]x peso materiale= [(0,25 x 0,60 x 1m)/mq]x 5 KN/mc     = 0,75 KN/mq

Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali i modo tale da ricavarmi il carico agente complessivo.

Qtot= (Qs x 1,3+Qp x 1,5+Qa)

Inserisco il numero dei livelli come fatto in precedenza con il CLS in modo tale da calcolarmi lo sforzo di compressione N sul pilastro

N = (Qtrave x Qsolaio) x n° piani

Inserendo poi la tensione ammissibile (fc0d), il modulo di elasticità (E) e l’altezza del pilastro (l) posso calcolarmi:

-il valore massimo di snellezza (λmax)

-il valore minimo del raggio di inerzia (ρmin)

-la grandezza della base minima (inserendo poi nella colonna W il valore ingegnerizzato)

-l’atezza minima nella colonna Y(inserendo poi nella colonna Z il valore ingegnerizzato)

 Nell’ultima parte del foglio Excel si calcola l’area minima che deve avere la sezione in modo tale che il materiale non arrivi a rottura e si ricava anche il momento di Inerzia minimo di progetto.

L’area sarà verificata se Adesign > Amin            Adesign=900cmq>Amin=559,7  VERIFICATO

 

 

 

ACCIAIO

(solaio preso in esame anche nella prima esercitazione)

 

Come per il legno ed il CLS prendo in considerazione il solaio della prima esercitazione .

Inizio l’analisi calcolando l’area di influenza del pilastro ripetuta per tutti e tre i piani che vanno a gravare su di esso.

Calcolo il peso della trave principale e della trave secondaria

Trave p= IPE 330 = 49,1 Kg/m – 0,49KN/m

Trave s= IPE 240 = 30,7 Kg/m – 0,3KN/m

Calcolando così il carico dovuto solo al peso proprio delle travi

Inserisco i carichi agenti sul solaio e quindi sul pilatro(già calcolati nelle prima esercitazione)

-carichi strutturali

-carichi permanenti

-carichi accidentali

Qtot= (Qs x 1,3+Qp x 1,5+Qa)

 

Inserisco il numero deilivelli come fatto in precedenza con il CLS in modo tale da calcolarmi lo sforzo di compressione N sul pilastro

N = (Qtrave x Qsolaio) x n° piani

 

Nell’ultima parte del foglio Excel si calcola l’area minima che deve avere la sezione in modo tale che il materiale non arrivi a rottura e si ricava anche il momento di Inerzia minimo di progetto.

Infine inserisco tutte le caratteristiche del materiale: la tensione di snervamento fyk ed il coefficiente parziale di sicurezza γ_m

Posso ora calcolarmi il valore della tensione ammisibile fyd e l’area minima

Inserisco il modulo di elasticità (E) e l’altezza del pilastro e trovo:

-il valore massimo di snellezza (λmax)

-il valore minimo del raggio di inerzia (ρmin)

-il momento di inerzia minimo (Imin)

 

Infine non mi rimane che ingegnerizzare la sezione scegliendo un profilo con Area maggiore rispetto all’area minima trovata.

Infatti la sezione del pilastro è verificata se    Adesign >Amin

Ricavo così il mio profilo HEA

Verificare infine che λ< λ*= λmax

 

L’esercitazione prevede il dimensionamento dei pilastri di un piccolo edificio di 5 piani, progettato nelle tre tecnologie: cls, acciaio e legno.

 

Lp(trave principale)= 6m

Ls/(trave secondaria)=4m

Npiani= 5

Il dimensionamento prenderà in considerazione il pilastro più sollecitato: il pilastro del piano terra con area d’influenza 6mx4m (pilastro B2)

I pilastri sono elementi strutturali sottoposti a sforno normale di compressione: la loro tendenza è quella di sbandare lateralmente.

CLS

Per dimensionare correttamente il pilastro si deve tenere conte del peso proprio delle travi (principali e secondarie) che il peso del solaio in un mq, ricavando poi il peso totale dell’area d’influenza che il pilastro devo sopportare.

Peso unitario trave principale = (0.3mx0.5m) x 25KN/mc= 3.75 KN/m

Peso unitario trave secondaria = 3.75 KN/m

Il foglio di calcolo permette di ottenere il peso delle travi:

trave p= 3.75 KN/m x 6.00m x 1.3 (è un carico strutturale permanente)= 29.25 KN

trave s= 3.75KN/m x 4.00m X 1.3= 19.5 KN

qtrave= 48.75 KN

 

Ora bisogna aggiungere il carico del solaio (esercitazione1)

qs= 2.70 KN/mq

qp= 2.90 KN/mq

qa= 2.00 KN/mq

area d’influenza= 24mq

qsolaio= (1.3 x 2.70 + 1.5 x 2.90 + 1.5 x 2) KN/mq x 24mq = 260.64 KN

Una volta trovati i carichi che agiscono sul pilastri posso ricavare il valore dello sforzo normale agente sul pilastro più sollecitato del piano terra. Questo pilastro sarà soggetto alla sollecitazione derivante dai piani sovrastanti ( 5 piani).

N= 5 x (260.64 + 48.75)KN= 1547KN

Scelgo il materiale (nel progetto del pilastro in cls posso trascurare l’acciaio, considero una sezione omogenea di cls)

fck=  60MPa

fcd= 0.85x fck /1.5= 34 Mpa

il foglio Excel calcola l’area minima= N/fcd= 455 cmq

Una volta trovata l’area minima devo capire cose essa deve essere distribuita: posso decidere che la sezione del pilastro è quadrata

bmin= radq Amin = 21.3cm

 

ora devo considerare i valori che entrano in gioco per il calcolo dell’instabilità

E= 21000 Mpa     l(altezza del pilastro)= 3.50m   β(dipende dal vincolo: appoggio/appo)=1

 

Posso quindi definire la snellezza del pilastro:

λ= π x radq(E/fcd)= 78.08

 

posso trovare il raggio d’inerzia minimo:

ρ= βl/λ= 1 x 3.50 /78.08m =4.48cm

ricalcolo la base minima conoscendo il raggio minimo d’inerzia:

bmin= ρmin/ radq 12  (sapendo che ρmin= radq (Imin/Amin)

bmin= 4.48cm x radq12= 15.53cm

ora posso ingegnerizzare la sezione: 40 x40 cm con Hmin= Amin/b= 15.53cm

 

Infine attraverso il foglio Excel posso trovare altri valori correlati alla geometria della sezione.

Per verificare che il dimensionamento sia corretto è necessario che σmax < fcd

σmax è la tensione generata dallo sforzo normale di compressione e dal momento flettente che le travi trasmettono al pilastro (c’è un incastro)

σmax= N/A + M/Wmax= 21.89MPa < 34Mpa= fcd

 

 

ACCIAIO

Il dimensionamento del pilastro in acciaio segue lo stesso procedimento di quello in cls. Le travi principali e secndarie sono IPE 360 con un peso unitario di 0.57KN/m

Calcolo il peso strutturale delle travi    qtrave= 1.3x ( 6.00x0.57 + 4.00x0.57 )= 7.41KN

Riporto i dati dell’esercitazione 1 sui carichi del solaio i acciaio:

qs= 1.97KN/m

qp=2.81KN/m

qa=2.00KN/m

scelgo la classe dell’acciaio  fyk= 275MPa

dopo aver trovare il raggio d’inerzia minimo posso scegliere una sezione con ρ più grande. Il profilo scelto è HEA 160. Il dimensionamento termina con la verifica della sezione: la snellezza del pilastro deve essere inferiore a 250.

λ= βxl /ρmin = 87.94 < 250 

LEGNO

Il peso unitario delle travi è di 0.82 KN/m

qs= 0.31KN/m

qp= 3.71KN/m

qa= 2,00KN/m

scelgo la classe del legno   fck= 21 Mpa

il foglio di calcolo permette di ottenere il valore di Amin= 975 cm2; posso ingegnerizzare la base e l’altezza min maggiorando quella ricavata dal foglio Excel. La sezione sarà 35x35 cm. La sezione è verificata se Adesign> Amin

Amin= 975cm2 < Adesign= 1225 cm2

In questa quarta esercitazione è richiesto di dimensionare a compressione un pilastro nelle tre tecnologie: legno, acciaio cemento.

Per questa consegna ho deciso di utilizzare la stessa carpenteria utilizzata nella prima esercitazione, aumentando semplicemente di una campata la struttura. Questo mi permette di utilizzare la stessa trave principale che avevo dimensionato a flessione e gli stessi pacchetti di solaio. 

La struttura ipotizzo sia alta tre piani, con un altezza netta di 2,70 m per piano.

f.1

f.2

La prima cosa da fare è capire qual’è il pilastro maggiormente sollecitato, in questo caso è il B2 in quanto A = L1 x L2 = 4 m x 7 m = 28 mq. Possiamo vedere l'area d'influenza graficizzata nella f.1 e f.2

 

Legno

In quanto devo calcolare lo sforzo normale che grava sul mio pilastro, il riutilizzare la carpenteria dimensionata nella prima esercitazione è stato fondamentale per ridurre di molto i passaggi. f.3

f.3

Il primo passaggio è stato calcolare attraverso la tabella l’area d’influenza della trave, per poi andare a inserire: il peso proprio della trave principale e secondaria, i carichi che gravano sul pilastro e quanti piani ha il mio edificio. Inserire il numero di piani è fondamentale. Questo ci ha permesso ci calcolare lo sforzo Normale che grava sul pilastro con la formula:

N = ( Q_trave x Q_solaio ) x n_piani 

Il prossimo passaggio consiste nell’inserire le caratteristiche di resistenza del materiale. Per il pilastro ho deciso di usare le stesse utilizzate per la trave, quindi un F_ck = 24 MPa k_mod = 0,80 e Y_m=1,45.

Una volta Inserite questi valori nel foglio excel attraverso delle formula pre impostate mi calcola l’area minima che il mio pilastro deve avere. f.4

f.4

L’ultima parte della tabella mi permette di calcolarmi la sezione del pilastro e poi verificare che A_d<A_min

Per poter arrivare a questo punto però devo definire il modulo elastico del materiale, il Beta del pilastro e la sua altezza. Fatto questo ipotizzo una base, e la tabella mi dice rispetto alla base da me scelta qual’è l’altezza minima della sezione del pilastro. f.5

f.5

Nel mio caso con una forza Normale di 664 kN, un A_min = 501,3 ho scelto una base di 15 cm con un H_min = 33,42. Questo mi ha permesso di scegliere una sezione di 15 cm x 35 cm in quanto l’altezza di 33 cm era troppo specifica e non rispettava i canoni di produzione industriali dei profilati pre-impostati.

L’ultima verifica da fare è vedere se l’ A_design>A_min in questo caso 525 cmq >501,3 cmq

VERIFICATO 

 

CLS

Come nel legno ho riutilizzato il pacchetto solaio calcolato nella prima esercitazione. f.6

f.6

Nel dimensionare il pilastro avevo pensato di utilizzare lo stesso fck utilizzato per il dimensionamento a flessione della trave cioè 60MPa. Mi sono accorto però col procedere dei i calcoli che era esagerato in quanto la sezione veniva troppo piccola e il pilastro troppo snello. Per questo ho deciso di utilizzare un f_ck = 40 MPa.

Per il dimensionamento a compressione del pilastro bisogna effettuare due verifiche:

1. A_design>A_min
2. σ_max<f_cd

Facendo un ragionamento di dimensionamento solo a compressione il materiale da tenere in conto è il cemento.

Come per il legno inserisco in tabella tutti i dati relativi all’area d’influenza e ai carichi in modo da ottenere la forza normale agente sul pilastro. Una volta ottenuta la forza normale posso continuare inserendo il valore di f_ck, E, Beta e l’altezza del pilastro. Fatto questo ottengo dei valori di base e altezza minimi.

f.7

f.8

Ho notato che dimensionando il pilastro aumentando leggermente le dimensioni rispetto a quelle minime per esempio 20x20 ottengo il punto 1 verificato ma non il punto 2. Per far si che il σ_max<f_cd devo utilizzare una sezione di 40 x 40 cm infatti ottengo: 

1. 1600 cmq > 415 cmq

2. 20,87<22,7

VERIFICATO

 

Acciaio 

Come per il legno e cls riutilizzo il pacchetto solaio della prima esercitazione e inserisco i dati nella tabella.

f.9

Come per il cemento ho due verifiche da fare:

1. A_design>A_min
2. λ<λ_max

 

Come per il dimensionamento della trave a flessione ho scelto di utilizzare un acciaio con un coefficiente di resistenza f_yk = 275 MPA

Dopo aver inserito tutti i dati conosciuti ottengo un valore di Amin e attraverso una tabella cerco il suo profilo industriale. Devo utilizzare un HEA in quanto un IPE non è adatta ad essere utilizzata come pilastro in quanto è specificamente disegnata per resistere a sforzi a flessione.

La mia area minima è di 32,3 cm quindi scelgo la prima area più grande industrializzata che corrisponde a 38,8 cm, un HEA 160.

f.10

Ottengo:

1.  38,8 cmq > 32,3 cmq

2. 67,84 < 88,96

VERIFICATO

 

Considerazioni

Importante notare che il dimensionamento del pilastro è stato fatto senza considerare la presenza dei pilastri sui piani superiori. 

Un ragionamento da fare sarebbe aggiungere al carico totali anche il peso di tutti i pilastri presenti in quella parte di solaio che grava sul pilastro che io voglio dimensionare.

Passaggio 1 : dimensionamento del pilastro preliminare

Passaggio 2 : ridimensiono il pilastro riutilizzando come sezione di base quella calcolata nel passaggio 1 ma aggiungendo al Qtot anche il peso dei pilastri

Passaggio 3 : Verifico che la sezione scelta nel Passaggio 1 sia verificata nel Passaggio 2  se no devo aumentare la sezione.

Un altro modo potrebbe essere cominciare a dimensionare il pilastro dall'ultimo piano, in modo da sapere sempre la sezione del pilastro al piano superiore. Ovvimanete più si va in alto più la sezione del pilastro dovrebbe diminuire in quanto vi sono meno forze verticali che agiscono su esso.

In quanto il legno è un materiale leggero in alcuni casi è possibile non effettuare quest’ulteriore verifica.

INTRODUZIONE:

L’obiettivo di questa quarta esercitazione è il dimensionamento della sezione del pilastro maggiormente sollecitato, sempre secondo le tre diverse principali tecnologie, ovvero legno, acciaio e calcestruzzo armato.

Trattandosi di un elemento strutturale sottoposto a sforzo normale centrato di compressione, bisogna tener conto, oltre alla rottura per schiacciamento del materiale, di eventuali fenomeni di instabilità euleriana (fenomeno tipico/proprio delle strutture snelle).

Le instabilità sono causate dalla natura fisica delle forze: le forze devono compiere lavoro e quindi spostare il più possibile il loro punto di applicazione nella direzione della forza. Da qui si verifica l’abbassamento del punto di applicazione, con relativo accorciamento delle fibre compresse, e la deformazione assiale dell’elemento strutturale (che noi definiamo contrazione).

L’incognita principale di progetto è l’Area minima (tale da evitare lo schiacciamento) della sezione del pilastro esaminato, che ricaveremo eguagliando la tensione massima sulla sezione alla resistenza di progetto del materiale di cui è composto il nostro pilastro:

σmax= f_cd     e sapendo che N/A_min = f_cd    ricavo    A_min =N/ f_cd 

L’incognita secondaria è il Momento di Inerzia minimo della sezione che ottengo mettendo in relazione la tensione normale massima all’interno dell’elemento strutturale e la tensione critica (con un’uguaglianza), in corrispondenza del carico critico euleriano, del pilastro.

Il carico critico euleriano vale N_critico = π² E I_min /(β l)².

In questa formula viene introdotto un nuovo coefficiente β, che rappresenta l’influenza dei vincoli secondo il seguente schema.

NOTA:

• Ricordando le seguenti relazioni I_min =A ρ_min² e  λ = l₀/ρ_min e sostituendole all’interno della formula del carico critico euleriano ottengo quanto segue: N_critico = π² EA/λ²
• σ_critico ⁼ N_critico /A = π² E/λ²
• Dovremo imporre f_cd<σ_critico ; in questo modo progettiamo in maniera che si inneschi prima il fenomeno di rottura e non dello schiacciamento, poiché quest’ultimo risulta essere un fenomeno di difficile controllo.

 

­DISEGNO:

Disegno la carpenteria del piano tipo e la sezione del mio edificio:

Sto, dunque, considerando un edificio a più piani, con struttura intelaiata piana, ordita da travi che collaborano con i pilastri, secondo il vincolo di appoggio semplice.

Il pilastro più sollecitato è certamente uno di quelli al piano terra, ai quali vengono trasmessi tutti i carichi dei piani superiori. Perciò  individuo il pilastro più sollecitato guardando la pianta di carpenteria del piano terra.

Dopodiché, attraverso il file excel, inserisco i dati per ogni diversa tecnologia.

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1_LEGNO

ANALISI:

Riprendo i valori ricavati nella prima esercitazione http://design.rootiers.it/strutture/node/1713 e inserisco i dati a mia disposizione

• L₁ e L₂ = i due lati dell'area di influenza (circondata in pianta con un rettangolo rosso) del pilastro in esame

Ottengo, così, il valore dell’area di influenza (il cui peso è portato dal pilastro). 

Per il calcolo dello sforzo normale di compressione, devo trovare i valori dei carichi dovuto al peso proprio delle travi che poggiano un’estremità sul pilastro, il carico dovuto al peso del solaio ed il numero dei piani dell’edificio.

• trave_p = (0,30*0,55)m² x 6KN/m³ = 0,99 KN/m      [trave principale]
• trave_s = (0,25*0,15)m² x 6KN/m³ =  0,225 KN/m    [trave secondaria]

Ottengo q_trave =trave_p*L₁*1,3 + trave_s*L₂*1,3 e lo sforzo normale di compressione agente sul pilastro con la formula N=q_trave+q_solaio*n_piani

Ottengo il valore del carico del solaio dalla combinazione dei tre carichi allo stato limite, il tutto moltiplicato per l’area di influenza.

NOTA: Come già detto, i valori q_s, q_p e q_a  sono stati ripresi dalla prima esercitazione.

PROGETTO:

Procedo ora con il pre-dimensionamento della sezione del pilastro a partire dalla resistenza del materiale e ottenendo quanto vale A_min.

• f_c0,k = resistenza caratteristica a flessione nella direzione delle fibre (dipende dal materiale)
• k_mod = coefficiente di durata del carico (fornito dalla normativa)
•  γ_m = coefficiente di sicurezza

Ottengo così la tensione ammissibile f_c0d = f_c0,k k_mod / γ_m e quindi l'area minima necessaria alla sezione affinché il materiale non giunga a rottura.

• E,005 = modulo elastico in percentile
• β = 1 [caso cerniera-carrello]       (vedere lo schema iniziale)
• l = altezza del pilastro

Ricavo;  

λ_max =  π √(E/f_cd)  [valore massimo di snellezza]

 ρ_{min =} β l/ λ_max 

 Sapendo che nel legno ρ_min= √(1/12) *b ,ricavo attraverso questo formula una delle due dimensioni della sezione, b_min, che ingegnerizzo 

h_min= A_min/b

Devo ingegnerizzare anche l'altezza. Ora ho le due dimensioni che descrivono la sezione del pilastro.

Verifico poi, per sicurezza, che l'Area di design sia maggiore dell'Area minima.

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2_ACCIAIO

ANALISI:

Ripeto quanto già fatto nel caso del legno, riprendendo i valori ricavati nella prima esercitazione http://design.rootiers.it/strutture/node/1713 e inserendoli.

• L₁ e L₂ = i due lati dell'area di influenza (descritta in pianta con un rettangolo rosso) del pilastro in esame
• trave_p = IPE 360 = 57,1 kg/m =0,571 KN/m    [peso trave principale]
• trave_s = IPE 160 = 15,8 kg/m =0,158 KN/m    [peso trave secondaria]

PROGETTO:

• f_yk  = tensione di snervamento caratteristica 
• γ_m = coefficiente di sicurezza
• f_yd = f_yk/ γ_m [resistenza di progetto]

Ottengo l'area minima A_min=N/f_cd

• λ^* = √(E/f_yd)
•  ρ_min = β l/ λ^*
• I_min = Aρ_min² (ricavo dunque il momento di inerzia minimo in funzione del raggio di inerzia minimo)

Attraverso la tabella dei profili HEA ricavo i valori di A_{design ,} I_design e ρ_min maggiori di quelli minimi ottenuti, il cui profilo risulta essere un HEA140.

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3_CALCESTRUZZO ARMATO

ANALISI:

Ripeto quanto già fatto nei casi precedenti, riprendendo i valori ricavati nella prima esercitazione http://design.rootiers.it/strutture/node/1713 e inserendoli.

• trave_p = (0,30*0,50)m²*25KN/m2 =3,75 KN     [peso trave principale]
• trave_s = (0,30*0,50)m²*25KN/m2 =3,75 KN     [peso trave secondaria]

​

PROGETTO:

• f_ck =35 (calcestruzzo di classe C35/45)
• f_cd = 0,85*f_ck/1,5

• β =1 [doppio incastro]   (fare riferimento allo schema iniziale)
• l=2,70 m [la luce del pilastro]

Ingegnerizzo i valori minimi ricavati per ottenere le due dimensioni del pilastro = cm 25x45.

Non mi resta che calcolare:

• A_design =b*h
• I_design =(h*b³)/12
• I_max =(b*h³)/12

NOTA: Ricordiamo che, a differenza dei due casi precedenti, il pilastro in cls armato è sottoposto, oltre che a compressione, a presso-flessione, poiché il nodo trave-pilastro è realizzato da un incastro (il che trasmette momento); per evitare fenomeni di instabilità devo verificare che σ_max ​ sia minore o uguale a f_cd.

Per il calcolo della tensione massima devo ricavare i seguenti valori:

• W_max  = bh²/6  [modulo di resistenza a flessione per sezioni rettangolari]
• q_t    [carico sulla trave; combinazione allo SLU dei tre carichi moltiplicati per l’interasse delle travi principali]
• Mt =(q_t* l_p²)/12   [momento nell'estremo della trave, trasmesso da quest’ultima al pilastro]

A questo punto σ_max = N/A + M_t /W_max ≤ f_cd ? Sì, 16,81 ≤ 19,8

Il pilastro di dimensioni cm 25x45 risulta VERIFICATO!

La quarta esercitazione consiste nel dimensionamento della sezione di un pilastro, ipotizzandolo nelle tre diverse tecnologie: Legno, acciaio e calcestruzzo armato. Il pilastro che viene preso in considerazione, in un edificio di 4 piani, è sicuramente uno di quelli presenti al piano terra, poiché su di lui vengono trasmessi tutti i carichi dei piani superiori ed è quindi quello maggiormente sollecitato a sforzo normale ( compressione). 

Dalla pianta di carpenteria, il pilastro che viene maggiormente sollecitato è quello la cui area di influenza è di 24 mq. (L1= 4 m ; L2= 6 m)

LEGNO

parte 1 e 2 Nelle prime due parti del nuovo foglio excel, si inizia l’analisi calcolando l’area di influenza (mq) del pilastro, poi utilizzando i carichi dei solai dell’esercitazione 1 e 3 

http://design.rootiers.it/strutture/node/1685    -    http://design.rootiers.it/strutture/node/1785

posso calcolare lo sforzo normale N di compressione agente sul pilastro stesso (KN). 

step 1 calcolo il peso unitario della trave p e della trave s

trave= area della sezione (0,3 x 0,5) mq x peso specifico 5 KN/m3 = 0,75 KN/m

step 2 calcolo il carico dovuto al peso proprio delle travi

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 9,75 KN

step 3 Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) e posso calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 205,49 KN

step 4 ora posso calcolare lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 861 KN

 

parte 3 e 4 Le ultime due parti del foglio excel permettono di ricavare l’area minima che deve avere la sezione in modo tale che il materiale non arrivi a rottura (Amin) e poi di ricavare il momento di inerzia minimo di progetto (Imin)

step 5 inserisco tutte le caratteristiche del materiale: la resistenza a compressione (f_c0,k) 24MPa, il coefficiente della durata di carico k_mod  0,8 e il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,45

Posso quindi calcolare il valore della tensione ammissibile

f_c0d= f_c0,k x k_mod / γ_m. = 13,24 MPa

A min= 650,2 cm2

step 6 Sapendo che Il modulo di elasticità E = 8800 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 2,75 m, posso procedere con:

1. il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 80,95
2. il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,40 cm
3. calcolo la grandezza della base b min = 2 x rad3 x ρ_min = 11,77 cm, che ingegnerizzo scegliendo una b = 13 cm. 
4. calcola l’altezza minima h_min =   A_min / b = 50,02 cm —>  h= 51 cm

step 7 calcolo l’area di progetto della sezione A_design = b x h = 663 cm2

step 8 devo verificare che A_design > A_min   663 > 650,2  SEZIONE VERIFICATA

step 9 calcolo infine il momento d’inerzia di progetto I_design = h x b3 / 12 = 9337 cm4

 

ACCIAIO

parte 1 e 2 Nelle prime due parti del nuovo foglio excel, si inizia l’analisi calcolando l’area di influenza (mq) del pilastro, poi utilizzando i carichi dei solai dell’esercitazione 1 e 3. 

posso calcolare lo sforzo normale N di compressione agente sul pilastro stesso (KN). 

step 1 calcolo il peso unitario della trave p e della trave s

trave p = IPE 330 = 49,1 Kg/m = 0,49 KN/m

trave s = IPE 200 = 22,4 Kg/m = 0,224 KN/m

step 2 calcolo il carico dovuto al peso proprio delle travi

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 4,30 KN

step 3 Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) e posso calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 208,78 KN

step 4 ora posso calcolare lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 852 KN

parte 3 e 4 Le ultime due parti del foglio excel permettono di ricavare l’area minima che deve avere la sezione in modo tale che il materiale non arrivi a rottura (Amin) e poi di ricavare il momento di inerzia minimo di progetto (Imin)

step 5 inserisco tutte le caratteristiche del materiale: la tensione di snervamento (f_,yk) 275MPa e il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,05

Posso quindi calcolare il valore della tensione ammissibile

f_yd= f_c0,k / γ_m. = 261,90 MPa

A min= 32,5 cm2

step 6 Sapendo che Il modulo di elasticità E = 210000 N/mm2, β =1 e l’altezza del pilastro è di 2,75 m, posso procedere con:

1. il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 88,96
2. il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,09 cm
3. calcolo il momento di inerzia minimo   I_min= A x (ρ_min )^2 = 311 cm4

step 7 Posso ora ingegnerizzare la sezione scegliendo un profilo HEA con valori maggiori rispetto a quelli minimi. Scelgo un profilo HEA 160

step 8 devo verificare che A_design > A_min   38,8 > 32,5  SEZIONE VERIFICATA

step 9 calcolo infine il valore della snellezza  λ = 69,1

 

 

CALCESTRUZZO

parte 1 e 2 Nelle prime due parti del nuovo foglio excel, si inizia l’analisi calcolando l’area di influenza (mq) del pilastro, poi utilizzando i carichi dei solai dell’esercitazione 1 e 3 

posso calcolare lo sforzo normale N di compressione agente sul pilastro stesso (KN). 

step 1 calcolo il peso unitario della trave e della trave s

trave= area della sezione (0,3 x 0,4) mq x peso specifico 24 KN/m3 = 2,88 KN/m

step 2 calcolo il carico dovuto al peso proprio delle travi

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 37,44 KN

step 3 Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) e posso calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 262,9 KN

step 4 ora posso calcolare lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 1201 KN

parte 3 e 4 Le ultime due parti del foglio excel permettono di ricavare l’area minima che deve avere la sezione in modo tale che il materiale non arrivi a rottura (Amin) e poi di ricavare il momento di inerzia minimo di progetto (Imin)

step 5 inserisco la tensione di snervamento (f_ck) 40 MPa 

(f_cd) 22,7 MPa, l’area minima Amin =530 cm2 e min = 23 cm

step 6 Sapendo che Il modulo di elasticità E = 210000 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 2,75 m, posso procedere con:

1. il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 95,62
2. il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 2,88 cm
3. calcolo la grandezza della base b min = 2 x rad3 x ρ_min = 9,96 cm, che ingegnerizzo scegliendo una b = 30 cm. 
4. calcola l’altezza minima h_min =   A_min / b = 17,67 cm —>  h= 40 cm

step 7 devo verificare che A_design > A_min   1200 > 530  AREA VERIFICATA

step 8 sapendo che:

- I_design= h x b^3 /12 = 90000 cm4

• I_max = b x h^3 /12 = 160000 cm4
• W_max =(modulo di resistenza a flessione) = b x h^2 / 6= 8000 cm3
• carico distribuito sulla trave q =(1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x L2 = 65,72 KN/m
• momento nell’estremo della trave M= q x L1^2 /12 = 87,63 KNm

step 9 calcolo la tensione massima

σ_max = 20,97 MPa

step 10 σ_max < f_cd     20,97 < 22,7  TENSIONE VERIFICATA