Portale di Meccanica

Allego l'esercitazione sul dimensionamento dei pilastri.

Allego nuovamente l'esercitazione 1 a cui ho dovuto fare delle correzioni.

L'obiettivo dell'esercitazione è quello di dimensionare la sezione di un pilastro nelle tre tecnologie: legno, acciaio e cemento armato.

Si tratta di un pilastro soggetto a sforzo normale di compressione per cui nella progettazione bisogna tener conto anche dell'instabilità. Oltre a definire un'area minima per cautelarsi dalla rottura per schiacciamento (mettendo in relazione σ_max con fyd) definisco anche un momento d'inerzia minimo per evitare che si verifichi il fenomeno dell'instabilità, legato alla snellezza del pilastro (mettendo in relazione σ_max con σ_cr).

Prendo in considerazione un edificio di 4 piani di cui sono sotto riportati una pianta di carpenteria ed una sezione.   Sono evidenziati in rosso il pilasrto maggiormente sollecitato e la sua relativa area di influenza. Tra i pilastri di ogni piano, quello a piano terra sarà più sollecitato rispetto agli altri.

LEGNO:

Nel file excel calcolo per prima cosa l'area di influenza del pilastro (L₁ x L₂) , poi il carico del solaio e quello delle travi, per ottenere lo sforzo totale di compressione N sul pilastro [(q_trave + q_solaio) x n.piani].

Il carico del solaio, dato dai carichi strutturale, permanente e accidentale, è lo stesso delle esercitazioni precedenti; il carico delle travi è dato dal prodotto del peso proprio di ogni trave per la rispettiva lunghezza contenuta nell'area d'influenza.

Inserisco poi nel foglio di calcolo le informazioni relative alla resistenza del materiale (legno strutturale C24) e, dividendo N per f_c0d , ottengo l'area minima per evitare la crisi per schiacciamento.

A questo punto devo calcolare il momento d'inerzia minimo della sezione per evitare che si verifichi il fenomeno dell'instabilità. Qesto è legato alla snellezza (λ) del pilastro, cioè al rapporto tra la sua "altezza" e la sua "larghezza" ossia alla lunghezza libera di inflessione (l₀) diviso il raggio giratore di inerzia (ρ); per questo maggiore è l'inerzia della sezione, minore è λ e minore è il rischio che si verifichi il fenomeno dell'instabilità.

Inseriti i valori del modulo di elasticità (E), di β (legato ai vincoli a cui è soggetto il pilastro analizzato), e dell'altezza del pilastro (l) ricavo quindi il raggio di inerzia minimo che, in casi come questo di sezioni rettangolari, permette di ricavare la base della sezione (piochè ρ_min=√1/12b).

Avendo la base posso ricavare anche un'altezza minima; ingegnerizzo entrambi i valori ed ottengo l'area della mia sezione che dovrò confrontare con l'area minima ricavata all'inizio: la sezione risulterà verificata se, e solo se, A_design > A_min

ACCIAIO:

Anche per il pilastro in acciaio, dopo aver ricavato l'area d'influenza, il carico delle travi e quello del solaio, ottengo lo sforzo di compressione N.

Inserisco i valori di resistenza dell'acciaio (S235) ed ottengo l'area minima per evitare la rottura.

Inserisco poi i valori del modulo di elasticità (E), dell'altezza del pilastro (l) e di β (β  = 1 anche in questo caso perchè ci troviamo in presenza di un nodo di tipo "cerniera", quindi di una trave doppiamente appoggiata).  Ottengo così il momento d'inerzia minimo (Axρ²_min) che mi permette di scegliere un profilato dalla tabella delle HEA.

Nel mio caso una HEA140.

CEMENTO ARMATO:

Anche in questo caso calcolo l'area di influenza del pilastro, il carico delle travi e quello del solaio per ricavare lo sforzo di compressione N.

Inserisco la tensione di resistenza caratteristica f_ck da cui ottengo quella di progetto f_cd e da N/f_cd ricavo un'area minima per la sezione del pilastro.

Inserisco poi i valori del modulo di elasticità (E), di β e dell'altezza del pilastro (l) per trovare una base minima e di conseguenza un'altezza minima.

Il β in questo caso sarà 0,5 poichè siamo in presenza di un nodo di tipo "incastro";per questo motivo il momento a cui la trave è soggetta si trasferisce sul pilastro che dovrò quindi verificare a presso-flessione.

Devo quindi ingegnerizzare base e altezza minime in modo da verificare la condizione: σ_max≤f_cd .

La quarta esercitazione prevede il dimensionamento , tramite un foglio di calcolo Excel, del

pilastro più sollecitato di un edificio generico a più livelli nelle varie tecnologie : in legno,

acciaio e c.a.

Per quanto riguarda il legno e l'acciaio, il foglio Excel può essere diviso in quattro parti: la

prima riguarda i dati relativi all'area di influenza del pilastro, la seconda mira ad ottenere il

valore dello sforzo normale agente sul pilastro, la terza ci permette di calcolare l'area

minima che la sezione del pilastro dovrà avere per far sì che il materiale non arrivi a rottura e

infine la quarta parte riguarda l'area finale del pilastro e il suo momento di inerzia minimo.

Nel foglio di calcolo relativo al c.a. vi è in più una quinta parte che prende in considerazione il

fatto che il cemento armato, oltre allo sforzo di compressione, è soggetto anche a presso-flessione. 

PIANTA PIANO TIPO E SEZIONE DELL'EDIFICIO

Considerato il seguente impalcato, il pilastro più sollecitato sarà sicuramento il pilastro B2 al

piano terra. Esso ha un'area di influenza di lati 6m x 4m, per un totale di 24m², e un'altezza di

2,70m.

LEGNO

Per prima cosa inserisco i dati relativi all'area di influenza del pilastro. Poi inserisco il peso

delle travi e il carico del solaio (per i quali faccio riferimento alla prima

 esercitazione http://design.rootiers.it/strutture/node/1810) che, insieme

al numero di livelli dell'edificio, contribuiscono a calcolare lo sforzo normale totale agente sul

pilastro. 

Come si può vedere dalla tabella, lo sforzo normale è pari a N = 847 kN. 

Procedo poi con l'inserimento dei dati relativi alle caratteristiche del materiale, a partire dalla

resistenza, che mi permettono di calcolare l'Area minima che la sezione del pilastro dovrà

avere, il momento di inerzia minimo e il valore massimo sopportato di snellezza. 

Questi risultati mi permettono di calcolare la base e l'altezza minima della sezione del

pilastro, in questo caso b_min = 11,55 cm e h_min = 42,67 cm.

Sovradimensionando questi valori, ottengo un pilastro di 15 cm x 45 cm, la cui area finale 

A_design = 675 cm² > A_min = 640 cm².

ACCIAIO

Anche nel caso dell'acciaio per prima cosa inserisco i dati relativi all'area di influenza del

pilastro, al peso delle travi e del solaio (ancora una volta faccio riferimento ai risultati della

prima esercitazione  http://design.rootiers.it/strutture/node/1810) e al numero di piani

dell'edificio. 

Questa volta lo sforzo normale agente sul pilastro risulta pari a N = 983 kN. 

Aggiungo poi le informazioni che riguardano le proprietà del materiale, che mi permettono di

calcolare l'area minima che il pilastro dovrà avere, il raggio di inerzia minimo, il momento di

inerzia minimo e il valore di snellezza massimo consentito. 

Tenendo conto di questi risultati posso infine scegliere un profilato che soddisfi tutte le

condizioni necessarie. 

In questo caso il profilato migliore è un HEA180, con :

A_design = 45,3 cm² > A_min = 37,5 cm²

I_design = 2510 cm⁴ > I_min = 346 cm⁴

ρ_min = 7,45 cm > ρ_min = 3,04 cm.

C.A.

Come per l'acciaio e il legno, anche per il cemento armato come prima cosa inserisco le

informazioni finalizzate al calcolo dello sforzo normale agente sul pilastro, in questo caso pari

a N = 1118 kN.

Passo poi all'inserimento dei dati relativi alle caratteristiche del materiale, che mi permettono

di ottenere la base e l'altezza minima che la sezione del pilastro dovrà avere. In questo caso

b_min = 4,89 cm e h_min = 19,72 cm. 

Da notare il valore di β, diverso rispetto ai casi precedenti perchè tiene conto dell'incastro

presente nel nodo del telaio in c.a. (a differenza della cerniera nel caso del legno e

dell'acciaio).

Sovradimensionando i valori della b_min e della h_min, ottengo un pilastro di 25 cm x 50 cm.

La sezione scelta verifica i requisiti richiesti, infatti: σ_max = 21,01 Mpa < f_cd = 22,7 Mpa.

DIMENSIONAMENTO DI UN PILASTRO IN LEGNO

Si disegna innanzitutto la pianta di carpenteria ed una sezione di un edificio di sei piani la cui maglia strutturale si compone di travi e pilastri; si individua il pilastro maggiormente sollecitato e la sua area di influenza. Il pilastro più sollecitato è sicuramente uno di quelli al piano terra poiché ad esso vengono trasmessi tutti i carichi dei piani superiori.

Si calcola quindi l’area d’influenza del pilastro facendo Area ₌ L₁ X L_{2 =}  4,4 x 4,4 ₌ 19,36 m²

Essendo il pilastro un elemento soggetto a sforzo normale di compressione, nella tabella Excel devono essere poi inseriti dei valori che servono a determinare tale sforzo normale; questi valori sono il carico dovuto al peso proprio delle travi che poggiano sul pilastro stesso, il carico dovuto al solaio ed il numero di piani dell’edificio. Per determinare il carico delle travi si moltiplica il peso unitario di tutte le travi che gravano sul pilastro per la loro lunghezza contenuta nell’area d’influenza e poi si sommano tutti i risultati in questo modo:

q_trave = 1,3 x 0,6 x 4,40 + 1,3 x 0,6 x 4,40 = 6,86 KN

Per determinare invece il carico del solaio basta sommare i carichi strutturali, permanenti, e accidentali moltiplicati per i loro coefficienti. Una volta sommati tutti i valori si moltiplica per l’area d’influenza in questo modo:

Allo SLU q_solaio = (1,3 x 0,4 + 1,5 x 2,6 + 1,5 x 2) x 19,36 = 143, 65 KN

A questo punto si può determinare lo sforzo normale di compressione agente sul pilastro:

N = (q_solaio + q_trave) x n_piani = (143,65 + 6,86) x 6 = 903 KN

Si deve poi inserire la resistenza caratteristica del materiale scelto, in questo caso un legno con una f_{c 0,k} = 24 MPa.  Dalla resistenza caratteristica si passa a quella di progetto inserendo alcuni fattori, uno è il k_mod , un coefficiente tabellare che diminuisce la resistenza del materiale e che tiene conto anche della durata del carico e che assumiamo sia 0.80; ed un coefficiente parziale di sicurezza che dipende dal tipo di legno scelto e che assumiamo sia 1,45. Tali valori, insieme allo sforzo normale di compressione ci servono per determinare l’area minima della sezione necessaria affinchè il materiale non entri in crisi.

Si calcola poi il raggio d’inerzia minimo che nelle strutture in legno serve a determinare la base minima della sezione del nostro pilastro. Attraverso tutta una serie di passaggi si ricavano questi due valori, attraverso l’introduzione di altri fattori come il Modulo di elasticità E del materiale, il valore di β (coefficiente legato ai vincoli a cui è soggetto il pilastro), l’altezza del pilastro l, λ_max (snellezza).

Una volta trovata la base minima del pilastro si ingegnerizza fissando così la misura della base della sezione; il foglio Excel ci darà di conseguenza il valore dell’altezza minima della sezione che dovrà essere ingegnerizzata a sua volta. La sezione che ne risulta è pari a 25x35.

DIMENSIONAMENTO DI UN PILASTRO IN ACCIAIO

Per dimensionare un pilastro in acciaio il procedimento è lo stesso che per il pilastro in legno; a differire sono i profili che non sono più sezioni piene ma profili HE per i pilastri mentre per le travi ,che gravano sui pilastri stessi, si utilizzano profili Ipe.

Si calcola l’area d’influenza del pilastro maggiormente sollecitato Area ₌ L₁ X L_{2 =}  4,4 x 4,4 ₌ 19,36 m²

Si calcola il peso delle travi come prima tenendo presente che in questo caso si utilizzano profili Ipe 200 per le travi principali e profili Ipe 100 per le travi secondarie.

 q_trave = 1,3 x 22,40 x 4,40 + 1,3 x 8,10 x 4,40 = 174,46 KN

Si calcola il carico del solaio allo SLU in questo modo:

q_solaio = (1,3 x 2,12 + 1,5 x 2,3 + 1,5 x 2) x 19,36 = 178,23 KN

Si calcola lo sforzo normale di compressione:

N = (q_solaio + q_trave) x n_piani = (178,23 + 174,46) x 6 = 2116 KN

Si deve inserire a questo punto la resistenza caratteristica del materiale scelto, in questo caso un acciaio con una f_yk = 275MPa.  Dalla resistenza caratteristica si passa a quella di progetto inserendo un coefficiente parziale di sicurezza che per l’acciaio assumiamo sia 1,05. Tali valori, insieme allo sforzo normale di compressione ci servono per determinare l’area minima della sezione necessaria affinchè il materiale non entri in crisi.

Si calcola poi il raggio d’inerzia minimo attraverso l’introduzione di altri fattori come il Modulo di elasticità E del materiale, il valore di β (coefficiente legato ai vincoli a cui è soggetto il pilastro), l’altezza del pilastro l, λ_max (snellezza). Il raggio d’inerzia minimo serve per determinare il valore del Momento d’inerzia minimo che il nostro profilo HE deve avere. Si sceglie infatti dalla tabella dei profili HE quello che ha un momento d’inerzia maggiore rispetto a quello ottenuto dal foglio Excel, in questo caso un profilo HEA 260.

DIMENSIONAMENTO DI UN PILASTRO IN CALCESTRUZZO

Per dimensionare un pilastro in calcestruzzo il procedimento è lo stesso che per il pilastro in legno;

Si calcola l’area d’influenza del pilastro maggiormente sollecitato Area ₌ L₁ X L_{2 =}  4,4 x 4,4 ₌ 19,36 m²

Si calcola il peso delle travi come prima:

q_trave = 1,3 x 2,5 x 4,40 + 1,3 x 2,5 x 4,40 = 28,6 KN

Si calcola il carico del solaio allo SLU in questo modo:

q_solaio = (1,3 x 2,45 + 1,5 x 2,47 + 1,5 x 2) x 19,36 = 191,47KN

Si calcola lo sforzo normale di compressione:

N = (q_solaio + q_trave) x n_piani = (191,47+ 28,6) x 6 = 1320 KN

Scegliamo quindi un calcestruzzo con classe di resistenza C50/60 che ha una resistenza caratteristica f_ck = 50MPa.

Si calcola poi il raggio d’inerzia minimo che nelle strutture in calcestruzzo serve a determinare la base minima della sezione del nostro pilastro. Attraverso tutta una serie di passaggi si ricavano questi due valori, attraverso l’introduzione di altri fattori come il Modulo di elasticità E del materiale, il valore di β (coefficiente legato ai vincoli a cui è soggetto il pilastro), l’altezza del pilastro l, λ_max (snellezza).

Una volta trovata la base minima del pilastro si ingegnerizza fissando così la misura della base della sezione; il foglio Excel ci darà di conseguenza il valore dell’altezza minima della sezione che dovrà essere ingegnerizzata a sua volta. La sezione che ne risulta è pari a 25x40.

Va effettuata poi un’ulteriore verifica poiché il nodo trave-pilastro in cemento armato è realizzato con un incastro per cui il pilastro non è soggetto solo a sforzo normale ma è influenzato anche dal momento agente sulla trave (pressoflessione). Si deve perciò verificare che la tensione massima agente sull’incastro sia minore della resistenza di progetto; tensione che in questo caso viene calcolata tendendo presente le due sollecitazioni che agiscono sull’incastro (sforzo normale di compressione N e momento M_t). 

Per questa esercitazione è richiesto il dimensionamento, con seguente verifica, di un pilastro, immaginandolo nei soliti materiali: legno, acciaio e cemento armato.

Prendo in considerazione, in un'ipotetica struttura in pilastri e travi di tre piani, il pilastro più sollecitato, quello a terra, che olre al peso del solaio soprastante, deve sorreggere anche il resto della struttura, quindi i due pilastri con i rispettivi solai. 

considerando le aree di influenza, il pilastro più sollecitato risulta quello centrale.

PILASTRO IN LEGNO

Possiamo dividere il procedimento in due parti: la prima ci fornisce le informazioni realtive all'area di influenza (m²) del pilastro e lo sforzo Normale (KN) agento sul pilastro stesso. Prendiamo in esame il solaio già utilizzato per la prima esercitazione (vd. ESERCITAZIONE I: dimensionamento di una trave) così da poterci ricavare i dati relativi ai carichi delle travi, del qs,qp e qa. Tutto deve poi essere moltiplicato per il numero dei piani della struttura. In questo modo ci troviamo lo sforzo normale agente sul pilastro.

A questo punto bisogna fornire i dati propri del materiale che andiamo a utilizzare, in modo da poterci calcolare le dimesioni minime di base e altezza della sezione del pilastro. Nel mio caso b_min= 12.84 cm, però la porto ad una dimensione maggiore per poter stare in sicurezza (b= 20 cm), per l'altezza mi comporto nello stesso modo ( h= 30 cm).

A questo punto verifichiamo che l'area di design sia maggiore dell'area minima ( 20000 cm² > 478.3cm²).

PILASTRO IN ACCIAIO

Come nel caso precedente possiamo dividere il procedimento in due parti: la prima ci fornisce le informazioni realtive all'area di influenza (m²) del pilastro e lo sforzo Normale (KN) agento sul pilastro stesso. Prendiamo in esame il solaio già utilizzato per la prima esercitazione (vd. ESERCITAZIONE I: dimensionamento di una trave) così da poterci ricavare i dati relativi ai carichi delle travi, del qs,qp e qa. Tutto deve poi essere moltiplicato per il numero dei piani della struttura. In questo modo ci troviamo lo sforzo normale agente sul pilastro.

A questo punto bisogna fornire i dati propri del materiale che andiamo a utilizzare, in modo da poterci calcolare le dimesioni di A_min, ro_min e I_min.  Dai dati risultanti mi trovo le dimensioni di design dell'area, del raggio di inerzia e del momento d'inerzia. Ulteriore verifica da controllare riguarda il valore di snellezza max che non si deve superare:
- λ = 96.23. Il profilato che viene fuori è un HEA 160.

PILASTRO IN CEMENTO ARMATO

Come prima  possiamo dividere il procedimento in due parti: la prima ci fornisce le informazioni realtive all'area di influenza (m²) del pilastro e lo sforzo Normale (KN) agento sul pilastro stesso. Prendiamo in esame il solaio già utilizzato per la prima esercitazione (vd. ESERCITAZIONE I: dimensionamento di una trave) così da poterci ricavare i dati relativi ai carichi delle travi, del qs,qp e qa. Tutto deve poi essere moltiplicato per il numero dei piani della struttura. In questo modo ci troviamo lo sforzo normale agente sul pilastro.

A questo punto bisogna fornire i dati propri del materiale che andiamo a utilizzare, in modo da poterci calcolare le dimesioni minime di area e di base della sezione del pilastro. Nel mio caso A_min= 249.0 cm², e b_min= 15.8 cm. Considero in questo modo, sempre per problemi di sicurezza, una base di 30cm. Ci calcoliamo il valore di h_min= 8.30 cm, che portiamo a 40 cm, così da avere un pilastro di dimensioni 30x40. 

La verifica da fare è che  σ_max   <  f_cd  ( 22.74 Mpa < 34.0 Mpa).

La quarta esercitazione prevede il dimensionamento del pilastro più sollecitato, attraverso l’utilizzo di un foglio di calcolo excel,  in tre diverse tecnologie: legno, acciaio e cemento armato.

Legno

Considerato il seguente impalcato il pilastro più sollecitato sarà sicuramente il pilastro centrale al piano terra, in quanto su di esso convoglia il peso dei piani superiori. Il pilastro in questione ha un’area di influenza di lati, 6m e 3m, per un’area di 18 mq.

Il foglio di calcolo excel presenta una prima parte che contiene le informazioni relative alla struttura scelta, e quindi l’area di influenza e il peso delle travi, che ci permettono di calcolare lo sforzo normale agente sul pilastro stesso. Questo infatti sarà sicuramente influenzato dal numero di piani della struttura e dai pesi gravanti su di esso.

Una seconda parte del foglio Excel invece contiene le informazioni relative ai carichi del solaio (strutturale, permanente e accidentale), considerando il solaio della prima esercitazione.
Inoltre vengono richiesti i dati relativi alle caratteristiche del materiale in questione.
Attraverso questi dati è possibile determinare una base e una altezza minima.

In questo caso il pilastro ottenuto ha una sezione di 20x30 cm, la cui area è minore dell’area minima richiesta (600 cm2 < 482,9 cm2).

Acciaio

Cosi come per il legno, il pilastro più sollecitato è il pilastro centrale, evidenziato in rosso. Il pilastro in questione ha un’area di influenza di lati, 6m e 3m, per un’area di 18 mq.

Anche in questo caso la prima parte del foglio Excel richiede i dati relativi alla struttura, per calcolare lo sforzo normale agente sul pilastro.

Nella seconda parte possiamo inserire i dati relativi alle caratteristiche del materiale scelto, che ci forniscono una area minima, e un momento di inerzia minimo. Attraverso questi dati è possibile dimensionare il pilastro con un profilato HEA che rispetti i requisiti minimi.

In questo caso la sezione del pilastro sarà un profilato HEA160.

Cemento

Poiché la struttura presa in considerazione è la stessa scelta per le precedenti tecnologie, il pilastro maggiormente sollecitato sarà sempre il pilastro centrale, con la stessa area di influenza, di 18 mq.

Inserendo i dati relativi alla struttura nel foglio Excel possiamo ottenere il valore dello sforzo normale agente sul pilastro in considerazione.

Inserendo ora invece i dati relativi alle caratteristiche del materiale, otteniamo una base e una altezza minima che ci permettono di dimensionare il pilastro, in modo che questo verifichi le precedenti limitazioni.

In questo caso il pilastro avrà una sezione di 20x40 cm, in quanto è la sezione che verifica i requisiti richiesti. Infatti risulta che  σ_max   <  f_cd  (27,34 Mpa < 34 Mpa).