Portale di Meccanica

Il secondo tema affrontato dal seminario "Ad Astra Per Aspera" ha come sottotitolo "si fa presto a dire aggetti". Il tema degli aggetti viene esaminato dal punto di vista strutturale, parlando di morfologie e di loro dimensioni peculiari, ma anche di materiali, resistenze e deformabilità. 

Buon lavoro a tutti e tutte

La quinta esercitazione consiste nel calcolare la ripartizione di una forza orizzontale, come il sisma o il vento, sui diversi telai che compongono una struttura, attraverso il metodo delle rigidezze. 

Prendiamo in considerazione un generico edificio, il cui piano tipo è costituito da telai shear-type, un particolare tipo di telaio in c.a. che, oltre a trasmettere i carichi verticali a terra, è capace di svolgere il ruolo di controvento.

Step 1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

In pianta possiamo rappresentare i controventi come molle, ovvero vincoli cedevoli elastici, che esercitano una forza reattiva, ma subiscono comunque una deformazione.

Nella prima parte del foglio Excel ricaviamo la rigidezza traslante di ogni telaio, inserendo i dati relativi ai pilastri che compongono i telai stessi. Essendo i pilastri di sezione rettangolare, in particolare 30x50 cm avranno momenti di inerzia diversi in base al loro orientamento. I due valori ottenuti sono 112500,00 cm⁴ e 312500,00 cm⁴.

Step 2

Nello step 2 del foglio Excel sono riportate le rigidezze di ogni telaio, e la loro distanza relativa dall’origine.

Step 3 : calcolo del centro di massa

Nello step 3 del foglio Excel possiamo calcolare il centro di massa dell’impalcato in considerazione.
Per questo suddividiamo l’impalcato in due figure geometriche semplici, due rettangoli rispettivamente di area, A₁ e A₂. Infatti dati l’area e il baricentro di ognuno dei due rettangoli possiamo ricavare le coordinate del centro di massa, che risulterà sulla retta congiungente i due diversi centri di massa dei rettangoli.
Le coordinate del centro di massa saranno:

X_g = A₁*X_g1 + +A₂*X_g2 / A_tot  

Y_g = A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 / A_tot

Il centro di massa avrà coordinate G (19,69; 10,03).

Step 4 : calcolo del centro delle rigidezze

Possiamo ora calcolare a questo punto il centro delle rigidezze con il foglio Excel. Le cui coordinate risulteranno:

X_c= K_v1*d_v1 + K_v2*d_v2 + ... + K_vn*d_vn/ K_vtot 

Y_c= K_o1*d_o1 + K_o2*d_o2 + ...... + K_on*d_on/ K_otot 

Il centro delle rigidezze avrà coordinate C (19,34; 8,25).

Il centro di massa e il centro delle rigidezze, non sono molto distanti, ma non coincidendo generano un braccio rispetto alla forza applicata, e di conseguenza un momento.

Infatti la forza sismica F, sia in direzione X che in direzione Y, viene applicata nel centro di massa G, e avendo braccio rispetto al centro delle rigidezze C, genererà una rotazione oltre che una traslazione.

Step 5 : analisi dei carichi sismici

Nello step 5 del foglio Excel possiamo, attraverso l’analisi dei carichi sismici, ricavare la forza complessiva che agisce sul centro di massa. Inserendo infatti i valori di qs, qp e qa trovati nella prima esercitazione, per un solaio in laterocemento, e il coefficiente di contemporaneità ψ = 0,3, dato dalla destinazione d’uso dell’edificio, e il coefficiente di intensità sismica c = 0,10, dato dall’area geografica in cui si trova l’edificio, otteniamo il valore della forza sismica orizzontale (F = 280,14 kN).

La forza sismica F verrà applicata sia in X che in Y.

Step 6,7 : ripartizione forza sismica lungo X e lungo Y

In questi ultimi step la forza sismica viene ripartita sui controventi, e possiamo quantificare la cinematica dell’impalcato: la traslazione orizzonte u, la traslazione verticale v, e la rotazione φ.

u = = F/k_{o_tot} 

v = F/k_{v_tot}

φ = W/kφ 

Possiamo schematizzare gli effetti della forza sismica lungo X:

Possiamo schematizzare gli effetti della forza sismica lungo Y:

In questa quinta esercitazione dobbiamo calcolare la spartizione di una forza orizzontale (forza sismica o del vento) sui diversi telai che compongono la struttura che ho preso in esame, applicando il metodo delle rigidezze.

Come modello di studio prendo in esame un generico edificio con struttura in telai shear-type in cemento armato, che riesce a svolgere il ruolo di controvento oltre che trasmettere i carichi verticali a terra.

PRIMO STEP

Per prima cosa prendiamo in esame la pianta di carpenteria dell'edificio e andiamo ad individuare i telai orizzontali e verticali. Nel mio caso individuo un totale di 14 telai, divisi in:
-7 telai verticali
-7 telai orizzontali

I pilastri hanno sezione 30 cm x 50 cm. Divido i telai in:

v₁ = pilastri 1,8,15                                        o₁ = pilastri 1,2,3,4,5,6,7

v₂ = pilastri 2,9,16                                        o₂ = pilastri 8,9,10,11,12,13,14

v₃ = pilastri 3,10,17                                      o₃ = pilastri 15,16,17,18,19,20,21

v₄ = pilastri 4,11,18                                      o4 = pilastri 22,23,24

v5 = pilastri 5,12,19,22,25,28,31                    o5 = pilastri 25,26,27

v₆ = pilastri 6,13,20,23,26,29,32                    o₆ = pilastri 28,29,30

v₇ = pilastri 7,14,21,24,27,30,33                    o7 = pilastri 31,32,33

Indico nella struttura i controventi, rappresentandoli in pianta come delle molle. Sono un particolare tipo di vincolo che esercitano una forza reattiva ma allo stesso tempo subiscono una deformazione, tra la forza reattiva e la deformazione vi è una diretta proporzione. 

In questo primo step mi devo ricavarela rigidezza traslante di ogni telaio (k = 12 EI/ h³ + 12 EI/ h³). Bisogna stare attenti al diverso orientamento dei pilastri poichè questi offrono un momento d’inerzia diverso in base al loro orientamento (bh^3/12).  

I due valori possibili sono 112500.00 cm⁴ e 312500.00 cm⁴.

SECONDO STEP

Nella seconda tabella sono riportate le rigidezza dei controventi analizzati precedentementi, e la distanza di ciascuno di essi dall'origine.

TERZO E QUARTO STEP

In questo passo dobbiamo calcolare il centro di massa dell'impalcato. Per semplificare questo calcolo, divido la forma della mia pianta in figure geometricamente semplici ( la L dell'edificio viene divisa in due rettangoli). Misuro l’area di questi e la distanza dei loro centri d’area con l’origine fissata precedentemente. 
Con questi dati applico la formula per ottenere le due coordinate del centro di massa dell'impalcato:

X_g= A₁*X_g1 + A₂*X_g2 + A₃*X_g3 / A_tot

Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 + A₃*Y_g3 / A_tot

Il mio centro di massa G ha come cordinate ( XG =18,48; Y_G= 10,68). A questo punto vado a sostituire nella formula del centro di massa, la rigidezza dei telai al posto delle aree e la loro distanza dall'origine degli assi, al posto di x_G1, x_G2, y_G1 e y_G2. E' possibile ora trovare le coordinate del centro delle rigidezze C dell'impalcato.

Il centro delle rigidezze ha come coordinate Xc= 18.51 m; Yc= 10.95 m. In questo caso il centro di massa e il centro delle rigidezze si trovano molto vicini. Ciò implica che l’impalcato colpito da una forza lungo X o da una forza lungo Y subirà semplicemente una traslazione, senza subire una rotazione. Invece se i due punti fossero capitati molto più distanti, questa distanza sarebbe servita come "braccio" del momento, sia in caso di una forza orizzontale, che nel caso di una forza verticale.

QUINTO STEP

Nella quinta tabella utilizziamo l'analisi dei carichi sismici per ricavare il valore della forza sismica complessiva agente sul centro di massa. A questo punto vado a riprendere i valori di q_s, q_p e q_a che ho ottenuto nella prima esercitazione, mentre la destinazione ad uso residenzia dell'edificio mi determina un coefficiente di contemporaneità di ψ = 0,3.

Il coefficiente di intensità sismica c viene determinato dall'area geografica dell'impalcato ed è pari a  c = 0,10.

F = 130, 32 KN è il valore della forza sismica da applicare in entrambe le direzioni (x;y)

SESTO E SETTIMO STEP

Negli ultimi due step le tabelle determinano la ripartizione della forza sismica sui vari telai e gli effetti che va a provocare sul telaio.

Nello specifico la sesta tabella prende in esame la traslazione e la rotazione scaturite da Fx, mentre la successiva analizza gli stessi effetti legati a Fy

Ripartizione forza sismica lungo X

Ripartizione forza sismica lungo Y

Gli effetti dell'azione sismica legati a Fx sono i seguenti:

Gli effetti dell'azione sismica legati a Fy sono i seguenti:

In diversi contesti meccanici usiamo il concetto di centro: centro di area, centro di massa, baricentro, centro di un sistema di forze, centro delle rigidezze di un sistema di controventi... la parola in comune e' CENTRO. E non e' un caso, dato che sottende un concetto in comune, ossia il centro di un sistema di vettori paralleli. 

Se si hanno incertezze in merito, e' bene chiarirsi le idee: cos'e' un centro di vettori paralleli? E come mai i concetti su citati ne condividono definizione e formulazione?

Nella dispensa in allego un piccolo aiuto: per chi debba recuperare, per chi voglia perfezionare, per chi intende imparare. 

Buono studio :-)

la Prof.
PS: e suggerite di passare da me a chiunque vi voglia convincere che la cultura non ha significato.

cari studenti e care studentesse, sia per l'imminente esame, sia per il futuro vi allego una dispensa in due parti, redatte da Maria Luisa Regalo nel progetto e-learning finanziato dall'Ateneo, interamente dedicata all'analisi di strutture isostatiche semplici ancorche' di interesse progettuale. E' fuorviante pensare di affrontare la progettazione di edifici complessi quali l'Architettura li concepisce senza saper gestire dei semplici solai, delle mensole, degli aggetti o dei portali. 

Insieme a Maria Luisa abbiamo selezionato un numero significativo di questi esempi che sono contenuti nelle 100 pagine che seguono nei due allegati. A chi servono? a chi sente di avere problemi in merito, a chi e' obbligato a sostenere un recupero di crediti acquisiti solo formalmente, a chiunque abbia voglia di imparare. 

Al lavoro:  e non credete a chi vi dice che la cultura e' una sovrastruttura e che non serve a nulla. Non fatevi mai convincere di questo. 

La prof.

INTRODUZIONE:

In questa quinta esercitazione ci occuperemo di come si distribuisce una forza orizzontale, sia essa di natura sismica e atmosferica (venti), sui diversi telai che compongono la struttura intelaiata piana che, in questo caso, sarà ad un solo piano.

La collaborazione tra travi e pilastri permette, non solo di portare i carichi verticali alle fondazioni, ma anche di sopportare le azioni orizzontali rendendo pilastri-travi dei controventi.

Adotteremo in questo caso una struttura in cemento armato, con una particolare classe tipologica di controventi, ovvero il telaio Shear-type. Questo telaio presenta tutti nodi ad incastro e la trave che viene ipotizzata infinitamente rigida a flessione, rispetto ai pilastri, cui viene attribuita rigidezza k.

NOTA: Ricordo che, affinché un sistema di controventamento sia efficace, gli impalcati vanno considerati corpi rigidi sul proprio piano (al di fuori del quale, invece, si inflettono), per cui i controventi reagiscono alla forza orizzontale, di qualsivoglia natura, che tende a spostarli, attraverso la loro elasticità; il che implica che un controvento, nel piano dell’impalcato, sia un appoggio cedevole elasticamente: hanno comportamento elastico.

Nella figura precedente è rappresentato un telaio shear-type a due ritti, dove la forza F sposta il traverso, trascinando con sé i due pilastri, che si comportano come una trave doppiamente incastrata. Il legame tra forza F e spostamento δ è esplicitato nella seguente formula F= [(12EI₁/h³) + (12EI₂/h³)] δ (che vale per un telaio shear-type a due piedritti), dalla quale si ricava che la rigidezza traslante k di ogni pilastro vale 12EI/h³, sapendo che F=kδ.

Ne consegue che, in un caso generico, la rigidezza traslante di un telaio Shear-Type composto da n pilastri è pari a:

Con questa esercitazione, quindi, saremo in grado di determinare la reazione elastica di ogni controvento che, secondo il principio di azione-reazione sarà uguale ed opposta alla forza orizzontale che ogni singolo controvento è chiamato a ricevere attraverso il solaio.

DISEGNO:

Disegno la pianta strutturale dell’edificio e numero i telai presenti:

Telai // all’asse y                                                                          

Telaio 1v  pilastri 1-5;  Telaio 2v pilastri 2-6-9; Telaio 3v pilastri 3-7-10;  Telaio 4v pilastri 4-8 

Telai // all’asse x

Telaio 1o pilastri 1-2-3-4 ; Telaio 2o pilastri 5-6-7-8;  Telaio 3o pilastri 9-10      

Trattandosi di vincoli cedevoli elasticamente, i controventi vengono assimilati a molle, dotate di una certa rigidezza.

DIMENSIONAMENTO:

Dopo aver aperto il foglio di calcolo excel, inserisco i dati a mia disposizione:

• E = modulo elastico di Young (espressi in Mpa o N/mm²); per cls con classe di resistenza C20/25
• H = altezza dei pilastri (nel mio caso valgono m 3.50)
• I = il momento di inerzia di ciascuno pilastro*¹ che collabora alla formazione di ogni telaio

*¹ Il momento di Inerzia viene calcolato lungo le due direzioni principali.

• Momento di inerzia dei pilastri:

            Pilastro m 0.5*0.3

In questa esercitazione, con l’ausilio del “metodo delle rigidezze”, ho studiato come si ripartisce una forza orizzontale , come quella che genera un sisma od il carico del vento, sui diversi telai che compongono una struttura. Nel caso preso in esame la struttura è interamente realizzata in cemento armato e composta da telai piani. Tali elementi oltre a trasmettere i carichi verticali alle fondazioni, funzionano da controventi perché sono in grado di sopportare i carichi orizzontali.

Come prima cosa ho individuato i telai che costituiscono la struttura da me progettata (5.1); ovvero 16 telai di cui 8 verticali ed 8 orizzontali,

5.1

In particolare:

-Telaio 1 v  composto da pilastri: 1-4-7-10-13-16-24-32;

- Telaio 2v  composto da pilastri: 2-5-8-11-14-17-25-33;

- Telaio 3v  composto da pilastri: 3-6-9-12-15-18-26-34;

- Telaio 4v  composto da pilastri: 19-27-35;

- Telaio 5v  composto da pilastri: 20-28-36;

- Telaio 6v  composto da pilastri: 21-29-37;

- Telaio 7v  composto da pilastri: 22-30-38;

- Telaio 8v  composto da pilastri: 23-31-39;

- Telaio 1o  composto da pilastri: 1-2-3;

- Telaio 2o  composto da pilastri: 4-5-6;

- Telaio 3o  composto da pilastri: 7-8-9;

- Telaio 4o  composto da pilastri: 10-11-12;

- Telaio 5o  composto da pilastri: 13-14-15;

- Telaio 6o  composto da pilastri: 16-17-18-19-20-21-22-23;

- Telaio 7o  composto da pilastri: 24-25-26-27-28-29-30-31;

- Telaio 8o  composto da pilastri: 32-33-34-35-36-37-38-39.

A questo punto  ho potuto schematizzare i telai con delle molle nel piano, in quanto rappresentano dei vincoli cedevoli elasticamente.(5.2)

5.2

Per calcolare la rigidezza traslante di tutti i controventi, ho dovuto ricavare per  prima cosa il momento d’inerzia di ogni pilastro, stando attento al loro orientamento. Nel ,io caso essendo tutti quadrati hanno tutti uno stesso momento di inerzia  (I=bh^3/12) pari a 213333 cm⁴. Ipotizzando che i talai fossero tutti di tipo shear type ho potuto facilmente ricavare la loro rigidezza. Nel caso fossero telai composti da solo due pilastri la forza aggente su di essi sarebe stata F= (12 EI₁/h³+12 EI₂/h³) δ  la rigidezza sarà pari a

 k=12 EI₁/h³+12 EI₂/h³.

Nel caso esaminato i telai sono composti da più pilastri la rigidezza sarà pari a k=12E/h³(I₁+I₂+…+I_n).

con l’aiuto di un foglio di calcolo excel ho potuto ricavare tutte le rigidezze traslanti.(5.3)

5.3

In una seconda tabella ho potuto riassumere le rigidezze dei singoli telai ed la loro distanza dall’origine degli assi di riferimento. (5.4)

5.4

A questo punto ho ricavato il centro della massa dell’impalcato (G) e poiché è costituito da una forma complessa l’ho sudiviso in modo tale da ottenere forme elementari.(5.5)

5.5

In questo modo ho ottenuto un impalcato composto da due rettangoli di cui ho facilmento individuato il centro di massa G₁ e G₂ e quindi ho ricavato le coordinate del centro di massa dell’intero impalcato:

Gx=A₁^.Gx₁+ A₂^.Gx₂/ A_tot ;      Gy=A₁^.Gy₁+ A₂^.Gy₂/ A_tot .    

In tal modo ho trovato il centro  dell’area dell’impalcato, ma essendo questo di eguale densità in tutti i punti corrisponde al centro di massa dell’impalcato.(5.6)

5.6

Sommando i prodotti delle rigidezze dei telai per le loro distanze dall’origine degli assi di riferimento e dividendo il tutto per la rigidezza totale ho potuto trovare le coordinate del centro di rigidezza (C).(5.7)(5.8)

5.7

5.8

Con questi dati posso sapere se l’impalcato in caso di una forza che agisce sul centro di massa subisce o meno una rotazione. Non si ha rotazione soltanto quando il centro di massa corrisponde con il centro delle rigidezze.

Calcolato il centro di rigidezza ho potuto ricavare la distanza di ogni telaio da questo per potermi ricavare la rigidezza torsionale dell’impalcato(K_φ) sommando i prodotti delle rigidezze dei controventi per il quadrato della lor distanza dal punto di riferimento.(5.9)

5.9

A questo punto ho calcolato i carichi sismici per ricavarmi la forza sismica agente sul centro di massa. Per fare ciò ho ricavato il carico totale permanente G= (q_s+q_p)A_tot ed il tutale dei carichi accidentali Q= q_a^.A_tot..

Seguendo le norme tecniche per le costruzioni (NTC2008) calcolo la combinazione sismica W= G+ψ₂^.Q : in cui ψ₂ è il coefficiente di contemporaneità e vale 0,3 per gli edifici adibiti ad ufficio.

La forza del sisma F=W^.c  quindi un peso per un’ accelerazione.  C è un coefficiente riduttivo che indica l’accelerazione che apporta il sisma che è generalmente inferiore a quella di gravità e dipende dalle zone in cui si costruisce.(5.10)

5.10

Con i dati ricavati fin’ora posso determinare la ripartizione della forza sismica sui controventi e le reazioni cinematiche che ne conseguono. Per fare ciò considero sia che la forza agisca in direzione orizzontale lungo x e sia in direzione verticale y generando in entrambi i casi oltre che una rotazione una traslazione.

Per ricavarmi la traslazione orizzontale e la rotazione ad essa correlata come prima cosa calcolo il momento torcente agente in questa direzione (M) facendo il prodotto tra la forza sismica e la sua distanza dal centro delle rigidezze. Dopo di che posso ricavarmi lo spostamento orizzontale (u) dato dal rapporto tra la forza del sisma e la rigidezza totale in questa direzione. Con il momento torcente posso ricavarmi la rotazione suscitata da tale forza (φ) facendo il rapporto tra il momento torcente e la rigidezza torsionale.

Con i dati ricavati possiamo calcolarci la reazione elastica dei controventi orizzontali ad una forza orizzontale (F_o-n)= k _o-n(u+ φ^.dd_o-n);mentre la reazione elastica dei controventi verticali a tale sforzo è

(F_v-n)= k_v-n^. φ^.dd_o-n. (5.11)(5.12)

5.11

5.12

Considerando una forza agente lungo l’asse verticale oltre a calcolare il momento torcente e la rotazione calcolo la traslazione verticale (v) data dal rapporto tra la forza sismica e la rigidezza totale dei controventi verticali. Invece la reazione elastica dei controventi orizzontali sottoposti a sforzo verticale è (F_o-n)= k_o-n^. φ^.dd_o-n. Mentre quella di quelli verticali è (F_v-n)= k _v-n(u+ φ^.dd_v-n). (5.13)(5.14)

5.13

5.14

La quinta esercitazione consiste nel calcolo della ripartizione di una forza orizzontale agente su una struttura (constituita da telai Shear-Type) in cemento armato utilizzando il metodo delle rigidezze.

La struttura presa in esame utilizza dei pilastri (0.4 cm x 0.3 cm) cosi composta:

• telaio 1v    pilastri 1 e 5
• telaio 2v    pilastri 2 e 6
• telaio 3v    pilastri 3 - 7 -9
• telaio 4v    pilastri 4 - 8 - 10
• telaio 1o    pilastri 1 - 2 - 3 - 4 
• telaio 2o    pilastri 5 - 6 - 7 - 8
• telaio 3o    pilastri 9 - 10

Rappresentiamo i controventi con delle molle dal momento che sono dei vincoli cedevoli elasticamente, rappresentano cioè le forze che i telai oppongono quando l'impalcato viene spostato. 

STEP 1 

Per calcolare le rigidezze dei controventi, iniziamo con l’inserire i dati relativi ai pilastri e i loro momenti d’inerzia: quello minore pari a 90000cm⁴ e momento di inerzia maggiore 160000 cm⁴. 

Sapendo che la rigidezza di ogni pilastro del telaio Shear-Type è data dalla formula: K= 12EI / h^3.

Nel caso in cui un telaio è costituito da più pilastri, la rigidezza k è definita: K= 12E / h³(I₁+I₂+...+I_n).

STEP 2

In questa tabella vengono inseriti i valori delle rigidezze di ogni controvento e le relative distanze dall’origine del sistema.

STEP 3

a questo punto possiamo calcolare il centro di massa (che nel caso di un impalcato con densità di massa uniforme, coincide con il centro di area). 

Per calcolare il centro di massa occorre suddividere l’impalcato in due figure geometriche elementari, calcolare le aree e le distanze del loro centro geometrico. 

Il centro di massa sarà quel punto in cui verrà applicata la forza sismica. 

(X_g= A₁*X_g1 + +A₂*X_g2 / A_{tot ;} Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 / A_tot).

STEP 4

il foglio excel calcola il totale delle rigidezze sia orizzontale che verticale, e ricava le coordinate del centro delle rigidezze: 

X_c= K_v1*d_v1 + K_v2*d_v2 + ... + K_vn*d_vn/ K_vtot 

Y_c= K_o1*d_o1 + K_o2*d_o2 + ...... + K_on*d_on/ K_otot

il centro di massa ed il centro delle rigidezze non coincidono. A questo punto è opportuno fare delle cosiderazioni:

1. la forza sismica viene applicata nel centro di massa.
2. se il centro di massa si trova sullo stesso asse del centro delle rigidezze, l’impalcato traslerebbe soltanto (verticalmente o orizzontalmente)
3. poiché il centro di massa si trova su un asse differente da quello del centro delle rigidezze, l’impalcato oltre a traslare subisce anche una rotazione. Questo perché la distanza tra i due centri diventa il braccio della forza F, e si  genera un momento.

STEP 5

Passiamo ora ad analizzare i carichi che agiscono sull’impalcato

• qs (carichi strutturali) 
• qp (carichi permanenti)
• qa (carichi accidentali)

Sapendo che G= (qs + qp) x Atot

Possiamo calcolare il peso sismico W utilizzando il coefficiente di  contemporaneità (ψ)      W= G +  ψ2j x Q

Ora è possibile calcolare la forza agente che verrà applicata al centro di massa:

F= W x c      (c= coefficiente di intensità sismica)

STEP 6 e 7

Si nota come la forza sismica si ripartisce sui controvento sia in direzione x che in direzione y.

Successivamente quantifica la cinematica dell’impalcato:

traslazione orizzontale    u = F/k_{o_tot} 

traslazione verticale      v = F/k_{v_tot}

rotazione      φ = W/kφ .