Portale di Meccanica

L'esercitazione consiste nel calcolare su un impalcato la ripartizione di forze orizzontali (che simulano le azioni del vento o del sisma). Per farlo utilizziamo il metodo delle rigidezze. 

L'impalcato in questione è composto da 7 telai shear-type in cemento armato: 4 verticali (1-5, 2-6, 3-7-9, 4-8-10) e 3 orizzontali (1-2-3-4, 5-6-7-8, 9-10).

        

Rappresentiamo i controventi con delle molle dal momento che sono dei vincoli cedevoli elasticamente, rappresentano cioè le forze che i telai oppongono quando l'impalcato viene spostato. 

  

Per calcolare la rigidezza di ogni telaio usiamo il foglio Excel dove inseriamo i dati relativi ai pilastri che lo costituiscono. Si tratta in questo caso di pilastri di sezione 30x40cm con momento d'inerzia minore pari a 90000cm⁴ e momento di inerzia maggiore 160000 cm⁴.

La rigidezza dei pilastri del telaio shear type è data dalla formula: K=12EI/h³. Nei casi in cui il telaio è costituito da più pilastri K=12E/h³(I₁+I₂+...+I_n).

In questa seconda tabella sono riportate le rigidezze di ogni controvento e le rispettive distanze dal punto O.

A questo punto calcoliamo il centro di massa dell'impalcato, il punto in cui verrà applicata la forza sismica; per farlo abbiamo bisogno di ricondurre la pianta dell'impalcato a figure semplici, in questo caso due rettangoli. Dati l'area e il baricentro di ognuno dei due possiamo ricavare le coordinate del centro di massa dell'intera figura  (X_g= A₁*X_g1 + +A₂*X_g2 / A_{tot ;} Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 / A_tot).

                                               

Possiamo calcolare a questo punto il centro delle rigidezze con il foglio excel. Le cordinate di C sono X_c= K_v1*d_v1 + K_v2*d_v2 + ... + K_vn*d_vn/ K_vtot ; Y_c= K_o1*d_o1 + K_o2*d_o2 + ...... + K_on*d_on/ K_otot .

Il centro di massa ed il centro di rigidezza non coincidono. Poichè la forza del sisma viene applicata nel centro di massa, se questo fosse sullo stesso asse del centro delle rigidezze l'impalcato traslerebbe soltanto; in questo caso subirà anche una rotazione in quanto la distanza fra i due centri diventa il braccio della forza F.

Per calcolare la forza sismica inseriamo nel file excel i dati relativi ai carichi del solaio (G,Q) ed i coefficienti di contemporaneità (ψ) e d'intensità sismica (c) che varia a seconda della zona.

F = W * c , dove W = G + (Q *  ψ) .

L'ultimo step definisce come la forza si ripartisce sui controventi prima in direzione x poi in direzione y e quantifica la cinematica dell'impalcato: traslazione orizzontale, traslazione verticale e rotazione, rispettivamente u = F/k_{o_tot} ,    v = F/k_{v_tot} e  φ = W/kφ .

 

 

La quinta esercitazione consiste nel calcolare la ripartizione di una forza orizzontale, come

può essere il sisma o il vento, sui diversi telai che compongono una struttura. 

Prendiamo in considerazione un generico edificio, il cui piano tipo è costituito da telai

shear-type, un particolare tipo di telaio in c.a. che, oltre a trasmettere i carichi verticali a

terra, è capace di svolgere il ruolo di controvento.

 

STEP 1

La pianta strutturale dell'edificio preso in considerazione è composta da 7 telai, di cui 4

verticali e 3 orizzontali.

I pilastri hanno sezione 25 cm x 50 cm.

Possiamo dividere i telai in questo modo:

v₁ = pilastri 1 e 2                                        o₁ = pilastri 1, 3, 5 e 8

v₂ = pilastri 3 e 4                                        o₂ = pilastri 2, 4, 6 e 9

v₃ = pilastri 5, 6 e 7                                    o₃ = pilastri 7 e 10

v₄ = pilastri 8, 9 e 10

Posso rappresentare in pianta i controventi come molle, ovvero come vincoli elastici. Questi

sono un particolare tipo di vincoli che esercitano una forza reattiva ma allo stesso tempo

subiscono una deformazione. Forza reattiva e deformazione sono direttamente proporzionali. 

 

 

Nella prima parte del foglio Excel mi ricavo la rigidezza traslante di ogni telaio data dalla

formula k = 12 EI/ h³ + 12 EI/ h³.

Bisogna però fare attenzione al momento d'inerzia di ogni pilastro, diverso a seconda del loro

orientamento.

I due valori possibili sono 65.104 cm⁴ e 260.416 cm⁴.

 

 

STEP 2

Nella seconda tabella sono riportate le rigidezza di ogni telaio, e la distanza di ciascuno di

essi dall'origine.

 

 

STEP 3 e STEP 4

La terza e quarta tabella servono a trovare il centro di massa G e il centro delle rigidezze C.

Per calcolare G suddivido l'impalcato in due figure elementari

1) il rettangolo verde, di area pari a 147,00 mq

2) il rettangolo arancione, di area pari a 73,50 mq

Dopo aver individuato il centro di massa dei due rettangoli, trovo G dell'impalcato con la

seguente formula:

x_G = A₁ x_G1 + A₂ x_G2  / A_tot

y_G = A₁ y_G1 + A₂ y_G2  / A_tot

 

Il centro di massa G dell'impalcato ha coordinate (12,83; 6,42).

Sostituendo nella formula del centro di massa la rigidezza dei telai al posto dell'area e la loro

distanza da O al posto di x_G1, x_G2, y_G1 e y_G2 è possibile trovare il centro delle rigidezze C

dell'impalcato.

 

 

Il centro delle rigidezze C dell'impalcato ha coordinate (14,95; 3,75).

 

Siccome la forza sismica F, sia in direzione x che in direzione y, viene applicata nel centro di

massa, se G e C coincidessero l'impalcato sarebbe soggetto solo a traslazione verticale e

orizzontale. In questo caso però G e C non coincidono e la loro distanza crea un braccio che

genera un Momento. Quindi la forza sismica, oltre alla traslazione, provocherà anche una

rotazione.

 

STEP 5

Nella quinta tabella attraverso l'analisi dei carichi sismici siamo in grado di ricavare la forza

sismica complessiva che agisce sul centro di massa. Ho ripreso i valori di q_s, q_p e q_a trovati

nella prima esercitazione, mentre il valore del coefficiente di contemporaneità ψ = 0,3 è dato

dalla destinazione d'uso ( residenziale) dell'edificio. Il valore del coefficiente di intensità

sismica c è invece dato dall'area geografica dell'edificio e in questo caso c = 0,10. 

 

 

La forza sismica F = 130, 32 KN e deve essere applicata sia in direzione x che in

direzione y. 

 

STEP 6 e STEP 7

Le ultime due tabelle servono a capire la ripartizione della forza sismica sui vari telai e quali

effetti essa produca sull'impalcato. Nella tabella 6 si analizza la traslazione e la rotazione

dovute a Fx, mentre nella tabella 7 quelle dovute a Fy.

 

 

Schematicamente possiamo dire che gli effetti dovuti a Fx sono:

 

 

Mentre quelli provocati da Fy sono:

 

 

Nella quinta esercitazione si studia attraverso il metodo delle rigidezze come i diversi telai che costituiscono la struttura si ripartiscono una forza orizzontale. In questo caso una forza sismica, ma lo stesso procedimento vale anche per il vento. La tecnologia dell'impalcato utilizzata è il cemento armato ed è costituito da telai di tipo Shear-Type.

Per questa esercitazione ho preso in esame un piano tipo semplificazo del progetto per il Laboratorio di progettazione 1M.

STEP 1_ Prima di tutto disegno la pianta di carpenteria dell'edificio che voglio andare a studiare.

 

In tutto ho 16 telai di cui: 6 telai verticali e 10 telai orizzontali. i pilastri impiegati nella struttura sono 30x40.

I telai che compongono la struttura sono:

1o costituito da pilastri: 1-2-3-4-5-6                               1v costituito da pilastri: 1-7-13-17-21-25

2o costituito da pilastri: 7-8-9-10-11-12                         2v costituito da pilastri: 2-8-14-18-22-26

3o costituito da pilastri: 13-14                                       3v costituito da pilastri: 3-9

4o costituito da pilastri: 17-18                                       4v costituito da pilastri: 4-10

5o costituito da pilastri: 21-22                                       5v costituito da pilastri: 3-11-15-19-23-27

6o costituito da pilastri: 25-26                                       6v costituito da pilastri: 6-12-16-20-24-28

7o costituito da pilastri: 15-16

8o costituito da pilastri: 19-20

9o costituito da pilastri: 23-24

10o costituito da pilastri: 27-28

Sostituisco poi i telai con delle molle che rappresentano i controventi. Queste molle svolgono per l'impalcato la funzione di vincolo cedevole elasticaemente.

Devo modificare il foglio Excel per aumentare il numero dei controventi relativi al mio progetto. Inoltre mi studio il momento d'inerzia lungo i due assi X ed Y di ogni pilastro (I = b*h³/12). I pilastri avranno momento d'inerzia diverso in base al loro orientamento in pianta. I due valori saranno I = 160000 cm⁴        I = 90000 cm⁴

  

                                                                                                     

STEP 2_ In questa tabella vengono inserite le distanze di tutti i vincoli cedevoli dall'origine. Inoltre vengono calcolate le rigidezze dei controventi.

STEP 3_ Ora ci calcoliamo il centro di massa dell'impalcato. Ci dividiamo la pianta di carpenteria in figure geometriche semplici (in questo caso rettangoli). Nella mia pianta riesco a ricrearmi 3 rettangoli di dimensioni diverse. MI calcolo l'area di questi rettangoli e la distanza dei loro centri d'area dall'origine. In questo caso il loro centro d'area corrisponde al centro delle masse. Attraverso la cartella Excel riesco a ricavare le due coordinate del centro di massa dell'impalcato.

A1 = 56 m²           A2 = 224m²        A3 = 120m²

Ora non mi resta che applicare una semplice formula per ottenere le due coordinate del centro di massa

X_g= A₁*X_g1 + A₂*X_g2 + A₃*X_g3 / A_tot

Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 + A₃*Y_g3 / A_tot

STEP 4_ mi calcolo la rigidezza totale dei controventi e le coordinate del centro delle rigidezze. Le coordinate le trovo sempre attraverso la tabella Excel.

Una volta trovato il centro delle rigidezze con le sue coordinate lo porto sulla pinata di carpenteria e vedo che non coincide con il centro delle masse. In questo caso l'impalcato colpito sia da una forza lungo x che una forza lungo y, oltre a subire una traslazione semplice, subisce anche una rotazione. Infatti la distanza fra i due centri diventa il braccio della forza F e si genera momento.

 

STEP 5_ Definisco il carico della struttura e analizzo la forza sismica dove F = W*c

Adesso devo calcolarmi G Q W per poter fare l'analisi dei carichi sismici

G = (q_s + q_p) x A_tot 

Q = q_a x A_tot ​

W = G + (Q x  ψ)

Il coeff. c corrisponde alla pericolosità sismica dell'area, serve a ridurre l'accelerazione del di gravità. per Roma c = 0,10

STEP 6 e 7_Nelle ultime due tabelle studio come la forza sismica agisce sui controventi. Analizziamo anche gli effetti che la forza provoca su questi ( traslazione verticale e orizzonatele e rotazione)

RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE

Obbiettivo: calcolo della forza orizzontale ripartita su una struttura costituita da telai

 

Pilastri:  0.30cm x 0.45cm    l(altezza pilastri) = 3.50m

Telaio Av = pilastro 1-5                                   Telaio Ao = pilastro 1-2-3-4

Telaio Av = pilastro 2-6-9                                Telaio Bo = pilastro 5-6-7-8

Telaio Cv = pilastro 3-7-10                              Telaio C0 = pilastro 9-10-11

Telaio Dv = pilastro 4-8-11

Possiamo individuare i telai rappresentandoli come molle (vincoli cedevoli elasticamente)

Calcolo della rigidezza traslante dei telai SHARE- TYPE

• Controventi verticali

k=  12EIx/ l^3 (per ciascun pilastro)       con Ix = bh^3/12 = 0.45 x (0.3)^3/12= 101250 cm4

K(telaio 1-5) = 2 x 12EIx/ l^3= 11902.4 KN/m

K(telaio 2-6-9)= k(telaio 3-7-10)= k(telaio 4-8-11) = 3 x 12EIx/ l^3= 17853 KN/m

• Controventi orizzontali

k=  12EIy/ l^3 (per ciascun pilastro)       con Iy = hb^3/12 = 0.45 x (0.3)^3/12= 227812.5cm4

K(telaio 1-2-3-4)= k(telaio 5-6-7-8) = 4 x 12EIy/ l^3= 53559.2 KN/m

K(telaio 9-10)= 2 x 12EIy/ l^3= 40169.4 KN/m

 

 

 

Calcolo delle distanze dei controventi dal punto O

Si fissa l’origine di un sistema di riferimento e si calcolano le distanze dei controventi ddo, ddv(orizzontali e verticali) da O

Calcolo del centro di massa dell’impalcato

Obbiettivo: calcolo del punto dell’impalcato in cui sarà concentrata la forza sismica

Si divide l’impalcato in figure geometriche semplici di cui calcoliamo l’area e le coordinate del centro di massa (ripetto a O).

[il centro di massa coincide con il centro d’area quando l’impalcato ha massa uniforme]

A1= 36m2    CM= ( 3m, 3m);      A2= 80m2    CM= (13.5m, 6m);     

Il foglio di calcolo permette di ottenere le coordinate del centro di massa dell’intero impalcato

CMtot=  [(x1*A1+ x2*A2) / Atot, (y1*A1+ y2*A2 +)/Atot]

 

Calcolo del centro delle rigidezze dell’impalcato

Obbiettivo: calcolo del braccio della forza sismica che produce una rotazione rigida dell’impalcato.

Il foglio Excel calcola    Kvtot    e    Kotot

CR= [ (kv2* ddv2 + Kvn* ddvn)/ Kvtot , ko2* ddo2 + Kon* ddon)/ Kotot )

Si calcolano anche le distanze d dei controventi (orizzontali e verticali) da CR

Il foglio di calcolo permette di ottenere quindi il valore della rigidezza torsionale totale   Kφ= K*d^2

Kφtot = Kv1*dv1^2 + Kvn*dn^2  + Ko1* do1^2 + Kon*don^2

Analisi dei carichi sismici

Obbiettivo: calcolo della forza sismica concentrata, proporzionale al peso dell’impalcato

Fs (forza sismica) = W(peso edificio) x c      

con W= G +γ x Q

con   G= (qs + qp)x Atot impalcato = (2.69 + 2.9) x 216 KN= 1207,44 KN

con  Q= qa x Atot impalcato = 2.00 x 216 KN= 432 KN

con  γ(coef. Contemporaneità - uffici)= 0.3

W= 1006.2 + 0.3 x 360 KN= 1337 KN

Fs = 4452.15 x 0.15 = 200.6 KN

La forza sismica può colpire l’impalcato orizzontalmente o verticalmente. Dovranno essere analizzate entrambe le ipotesi

• Ripartizione della forza sismica lungo x

Quando la forza sismica agisce in direzione x , sono i controventi ORIZZONTALI a rispondere alla sollecitazione. F produrrà una traslazione orizzontale e una rotazione rigida.

Il foglio Excel calcola gli spostamenti prodotti

U= traslazione orizzontale = F / Kotot      U= 200.6 KN / ktot KN/m= 0.001m

La rotazione rigida è trascurabile. Pertanto le forze reattive alla forza sismica saranno prodotte dai soli controventi orizzontali.

F1= F2= 72.93 KN      F3= 54.7 KN

 

 

• Ripartizione della forza sismica lungo y

Quando la forza sismica agisce in direzione y , sono i controventi VERTICALI a rispondere alla sollecitazione. F produrrà una traslazione verticale e una rotazione rigida.

V= traslazione verticale=  F / Kvtot      v= 200.6 KN / ktot KN/m= 0.003m

La rotazione rigida è trascurabile. Pertanto le forze reattive alla forza sismica saranno prodotte dai soli controventi verticali.

F1= 36.46 KN          F2=F3=F4 54.7 KN

 

La quinta esercitazione consiste nel calcolo della ripartizione di una forza orizzontale (sismica o del vento) agente su una struttura a telai Shear-Type in cemento armato utilizzando il metodo delle rigidezze.

La struttura presa in analisi è caratterizzata da 3 telai orizzontali e 4 telai verticali e i pilastri sono di dimensioni 30x50cm, di altezza 3,50m.

I controventi sono per il solaio vincoli cedevoli elasticamente quindi vengono rappresentati nel piano dell’impalcato come molle di adeguata rigidezza.

STEP1

Poichè i telai sono modellizzati come degli Shear-Type sappiamo che ogni ritto contribuirà alla rigidezza traslante con un contributo di 12EI/h³.

K=(12EI₁)/ h³ + (12EI₂) h³+ … + (12EI_n)/h³

Quindi per calcolare la rigidezza traslante di ogni controvento sarà necessario inserire nel foglio excel il modulo di Young proprio del materiale(E), l’altezza dei pilastri (h) e il loro modulo d’inerzia (I):

Imax=bh³/12=(30cm)*(50cm)³/12= 312500cm⁴

Imin= hb³/12=(50cm)*(30cm)³/12= 112500cm⁴

STEP2

In questo step vengono calcolate le distanze dei controventi dal punto O, origine del sistema di riferimento.

STEP3

Per il calcolo del centro di massa è necessario suddividere l’impalcato in figure elementari, calcolare le rispettive aree e individuare le coordinate del loro centro geometrico. Dunque sarà possibile calcolare il centro di massa (che nel caso di un impalcato con densità di massa uniforme coincide con il centro d’area)

XG = [(A₁ * x_G1)+(A₂ * x_G2)]/Atot

YG = [(A₁ * y_G1)+(A₂ * y_G2)]/Atot

STEP4

Oltre a calcolare la rigidezza totale orizzontale (k_otot) e verticale(k_vtot), il foglio di calcolo ricava le coordinate del centro delle rigidezze

XC = [(k_v1*d_v1)+ (k_v2*d_v2)+ (k_v3*d_v3)+ (k_v4*d_v4)]/k_vtot

YC = [(k_o1*d_o1)+ (k_o2*d_o2)+ (k_o3*d_o3)]/k_otot

Ora è dunque possibile rappresentare nell’impalcato il centro di massa G e il centro delle rigidezze C.

Sapendo che la forza sismica verrà applicata al centro di massa, possono essere fatte delle osservazioni.

Se la forza sismica è orizzontale allora l’impalcato trasla di una quantità u e ruota in modo antiorario.

Se la forza sismica è verticale allora l’impalcato trasla di una quantita v e ruota in modo antiorario.

In questo step vengono inoltre ricalcolate le distanze dei controventi dal centro di rigidezza per ricavare la rigidezza torsionale k_φ

k_φ = (k_v1*dd_v1²)+ (k_v2*dd_v2²)+ (k_v3*dd_v3²)+ (k_v4*dd_v4²)+(k_o1*dd_o1²)+ (k_o2*dd_o2²)+ (k_o3*dd_o3²)

STEP5

Inserendo i valori dei carichi strutturali (qs), permanenti (qp) e accidentali (qa) è possibile ricavare il carico totale permanente (G) e il carico totale accidentale (Q)

G=(q_s + q_p) * A_tot

Q=q_a * A_tot

Dunque calcoliamo il peso sismico W introducendo un coefficiente di contemporaneità ψ_2j(che in ambienti residenziali è pari a 0.3).

W= G + ψ_{2j *} Q

Introducendo un coefficiene di intensità sismica c(a Roma pari a 0,10) è possibile calcolare la forza che applicheremo al centro delle masse

F= W *c

STEP6

Oltre il calcolo della traslazione orizzontale u

u=F/ k_otot

viene calcolato il momento generato dalla forza sismica

M=F* (YG-YC)

Dunque, conoscendo anche k_φ,  si ricava la rotazione φ

Φ = M/ k_φ

Quindi è possibile capire come si ripartisce la forza sismica lungo x sui controventi.

La reazione elastica di quelli orizzontali sarà il prodotto della rigidezza traslante per la somma degli spostamenti (traslazione orizzontale e rotazione per braccio).

F_{o_n}= k_{o_n} *(u + φ*dd _{o_n})

La reazione elastica di quelli verticali sarà il prodotto della rigidezza traslante per lo spostamento (rotazione per braccio).

F_{v_n}= k_{v_n} * φ*dd _{v_n}

STEP7

Oltre il calcolo della traslazione verticale v

v=F/ k_vtot

viene calcolato il momento generato dalla forza sismica

M=F* (XG-XC)

Dunque, conoscendo anche k_φ,  si ricava la rotazione φ

Φ = M/ k_φ

Quindi è possibile capire come si ripartisce la forza sismica lungo y sui controventi.

La reazione elastica di quelli orizzontali sarà il prodotto della rigidezza traslante per lo spostamento (rotazione per braccio).

F_{o_n}= k_{o_n} *φ*dd _{o_n})

La reazione elastica di quelli verticali sarà il prodotto della rigidezza traslante per la somma degli spostamenti (traslazione verticale e rotazione per braccio).

F_{v_n}= k_{v_n} * (v + φ*dd _{v_n})

 

 

 

La quinta esercitazione consiste nel calcolare attraverso il metodo delle rigidezza come una forza orizzontale (vento o sismica) si ripartisca sui telai che compongono la struttura.

Per questa esercitazione ho preso in considerazione una struttura semplificata di un piano tipo dell’edificio in fase di progettazione nel Laboratorio di Progettazione Architettonica del prof. Desideri.

La struttura è in calcestruzzo armato.

Il primo passo consiste nel disegnare la pianta di carpenteria e individuare i telai verticali e orizzontali. In questo caso si hanno 11 telai, 6 verticali e 5 orizzontali.

To1 = p. 1, p. 2, p. 3, p. 4

To2 = p. 5, p. 6, p. 7, p. 8

To3 = p. 9, p. 10

To4 = p. 11, p. 12, p. 13, p. 14

To5 = p. 15, p.16, p. 17, p, 18

Tv1 = p. 1, p. 5, p. 9, p. 11, p. 15

Tv2 = p. 2, p. 6, p. 10, p. 12, p. 16

Tv3 = p. 3, p.7

Tv4 = p. 4, p. 8

Tv5 = p. 13, p. 17

Tv6 = p.14, p. 18

La sezione dei pilastri presi in considerazione è di 30x40 cm

Devo calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse x e all’asse y

Ix = bh³/12 = 40x30³/12 = 90.000 cm⁴

Iy = bh³/12 = 30x40³/12 = 160.000 cm⁴

Una volta calcolato inserisco il momento d'inerzia nella tabella excel. Ho dovuto modificare tutto il foglio excel e le relative formule per poter prendere in considerazione più di 7 telai.

Una volta fatto questo, posso rappresentare in pianta i controventi come delle molle.

 

A questo punto bisogna calcolare il centro di massa della struttura. Per poter fare ciò devo dividere la struttura in figure geometriche elementari. Questo rende possibile trovare il centro d'area, che coincide con il centro di massa in questo caso,  di ogni figura per poi trovare quello comune. Divido la mia struttura in 3 rettangoli.

Rettangolo 1: Area 60 mq

Rettangolo 2: Area 33 mq

Rettangolo 3: Area 45 mq

Per trovare il centro dell'intero impalcato devo applicare due semplici formule, una per le coordinate x e una per le coordinate  y

X_g= A₁*X_g1 + A₂*X_g2 + A₃*X_g3 / A_{to  Le formule sono delle sommatorie, se avessi avuto quattro aree avrei dovuto utilizzarne 4.}

Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 + A₃*Y_g3 / A_tot

Rappresento il centro d'area nel mio impalcato:

Nel disegno si può vedere come ho suddiviso la struttura nei 3 rettangoli e dove è posizionato il centro d'area.

Adesso devo trovare il centro delle rigidezze. CI sono due possibilità, la prima che coincida con il centro d'area, e la seconda che sia spostato. La prima opzione è la più favorevole, ma in questo caso, ancora prima di fare i calcoli ci si accorge che i due punti non si potranno mai trovare nello stesso punto. Quindi la struttura oltre a subire una traslazione subisce anche una rotazione. Per fare in modo che la rotazione sia piccola devo fare in modo che il braccio sia molto ridotto. Da cosa è dato il braccio? il braccio è la distanza tra il cento delle rigidezze e il centro d'area dell'impalcato.

Mi calcolo le coordinate del centro delle rigidezze e poi lo schematizzo nella pianta dell'impalcato.

Adesso devo calcolarmi G Q W per poter fare l'analisi dei carichi sismici

G = (q_s + q_p) x A_tot 

Q = q_a x A_tot ​

 

 W = G + (Q x  ψ)

Il coeff. c invece è un valore da inserire e corrisponde alla pericolosità sismica dell'area, serve a ridurre l'accelerazione del di gravità. per Roma c = 0,10

L'ultima fase è vedere come la forza sismica agisce sui controventi orizzontali e verticali:

 

Per questa esercitazione ho calcolato la ripartizione di una forza orizzontale, sismica o del vento, su un telaio di cemento armato utilizzando il metodo delle rigidezze. Come modello di studio ho preso in esame un piano tipo del progetto de Laboratorio di progettazione. I telai sono di tipo Shear-type poichè rappresentano bene i comportamenti dei telai in cemento armato.

- Come prima cosa rappresento la pianta strutturale del mio impalcato individuando 18 telai di cui 12 orizzontali e 6 verticali.

- I telai che compongono la struttura sono:

Telaio 1o: 1-8-15-17-24-31

Telaio 2o: 2-9-16-18-25-32

Telaio 3o: 3-10

Telaio 4o: 4-11

Telaio 5o: 5-12

Telaio 6o: 6-13

Telaio 7o: 7-14

Telaio 8o: 19-26

Telaio 9o: 20-27

Telaio 10o: 21-28

Telaio 11o: 22-29

Telaio 12o: 23-30

Telaio 1v: 1-2-3-4-5-6-7

Telaio 2v: 8-9-10-11-12-13-14

Telaio 3v: 15-16

Telaio 4v: 17-18-19-20-21-22-23

Telaio 5v: 24-25-26-27-28-29-30

Telaio 6v: 31-32

 

-I pilastri utilizzati misurano 60 x 30 cm.

- Come seconda fase rappresento la pianta dei controventi 

- Adesso usufruendo del foglio excel posso ricavare la rigidezza traslante  

K=12EI/h³

 Ovviamente il foglio va modificato per potersi adattare al numero dei contriventi della struttura. Bisogna fare attenzione all'orientamento dei pilastri poichè il momento di inerzia varierebbe in base all'orientamento secondo la formula 

bh³/12

- Nella seconda tabella sono evidenziate le rigidezze dei controventi, verticali ed orizzontali, e le rispettive distanze dal punto di origine O

-Per calcolare il centro di massa dell'impalcato divido queto in figure geometriche semplici, inquesto caso rettangoli e ne misuro l'area di ognuno. Calcolo anche la distanza dei loro centri d'area con l'origine e procedo nel calcolare le due coordinate del centro di massa:

X_g= A₁*X_g1 + A₂*X_g2 + A₃*X_g3 / A_tot

Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 + A₃*Y_g3 / A_tot

- Successivamente bisogna ricavare la rigidezza totale dei controventi e le cordinate del centro delle rigidezze utilizzando le seguenti formule:

X_c= K_v1*d_v1 + K_v2*d_v2 + ...... + K_vn*d_vn/ K_vtot

Y_c= K_o1*d_o1 + K_o2*d_o2 + ...... + K_on*d_on/ K_otot

Riportando il centro delle rigidezze sulla pianta di carpenteria mi rendo conto che le possibilità sono due e nel caso del mio impalcato sussiste il secondo caso
- Caso1= Centro delle masse e centro delle rigidezze coincidono.
In questo caso l’impalcato colpito da una forza lungo X o da una forza lungo Y subisce una traslazione.

-Caso2= Centro delle masse e centro delle rigidezze non coincidono.
In questo caso l’impalcato colpito sia da una forza lungo  X o da una forza lungo Y oltre a subire una traslazione semplice, subisce anche una rotazione. 

-Procedo con la mia analisi per ricavare la Forza sismica agente sul centro. Per ottenere questo valore calcolo il carico permanente totale G ed il carico accidentale totale Q, dove:

G = (q_s + q_p) * A_tot
Q = q_a * A_tot 

Lo step successivo è il calcolo dei pesi sismici (W) attraverso un coefficiente di contemporaneità che è possibile ricavare dalle norme tecniche per le costruzioni. Questo valore è pari a

W = G + (Q *  ψ) 

Un ulteriore coefficiente c varia in funzione della sismicità della zona; è un valore che va a ridurre l’intensità della Forza sismica. Essendo il mio progetto sito a Roma prendo il valore relativo all'area romana, pari ad c= 0,10

La Forza sismica totale è pari a

F = W * c

- Il sesto e il settimo step analizzano come la forza sismica agisce sui controventi e gli effetti che essa provoca , traslazione e rotazione orizzontali e verticali.

Mentre la sesta tabella permette di calcolare la forza sismica lungo x, la settima tabella quella lungo y.

- Gli effetti prodotti dalla forza sismica sulla struttura saranno:

lungo l'asse x 

traslazione

rotazione

lungo l'asse y

traslazione

rotazione

Con la quinta esercitazione vado a calcolare come diversi telai, assunti shear type, si ripartiscano la forza orizzontale, che può essere quella sismica o del vento, attraverso il metodo delle rigidezze. La tecnologia adottata per l'impalcato è quella del cemento armato, con pilastri 30x40 cm, orientati in maniera diversa.

In totale l'impalcato dell'edificio presenta 8 telai, 4 verticali e 4 orizzontali, costituiti dai pilastri:

1-V : 1-2

2-V : 3-4

3-V : 5-6-7-8

4-V : 9-10-11-12

1-O : 5-9

2-O : 1-3-6-10

3-O : 2-4-7-11

4-O : 8-12

Usando i simboli dei controventi, vincoli cedevoli elasticamente, vado a indicarli in pianta:

L'altezza dei pilastri segue inoltre quella dell'esercitazione precedente, cioè 3 metri, dato utile, insieme al modulo di Young e del Momento d'Inerzia di ogni singolo pilastro, calcolato in base al loro orientamento.

Nel secondo step si riassumono le distanze di ciascun controvento dall'origine:

Calcolo ora il centro di massa, attraverso la grandezza delle aree semplici che si ricavano dall'impalcato, due rettangoli, e le coordinate dei loro centri d'area, che vengono inseriti nella formula:

X_G= A₁*X_g1 + A₂*X_g2 + A₃*X_g3 / A_tot

Y_G= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 + A₃*Y_g3 / A_tot

Con il totale delle rigidezze orizzontali e verticali, e le rigidezze di ogni singolo controvento insieme al loro braccio rispetto all'origine, calcolo il centro delle rigidezze, con le formule:

X_C= K_V-2*d_V-2 + K_V-3*d_V-3 + K_V-4*d_V-4 / K_Vtot

Y_C= K_O-2*d_O-2 + K_O-3*d_O-3 + K_O-4*d_O-4 / K_Otot

_{E ricavo la distanza di ogni singolo controvento dal centro delle rigidezze:}

I due centri, quello di massa e quello delle rigidezze, si trovano a non coincidere, creando eventualmente un braccio che va a provocare nella struttura, con una forza applicata, un momento oltre che una traslazione semplice.

Ora è il momento di calcolare la forza sismica: prima di tutto riporto i carichi del solaio in cemento armato delle esercitazioni precedenti, poi moltiplico i carichi strutturali e accidentali con l'area del solaio. Introduco il coefficiente di contemporaneità ψ, che risulta dalle norme tecniche essere 0,30 per edifici residenziali, e calcolo il peso sismico.

Con l'ultimo coefficiente c di riduzione della forza sismica calcolo quest'ultima; c è un dato legato alla sismicità della zona presa in esame, ad esempio Roma, e quindi risulta essere 0,10 secondo le norme.

Infine si calcola come la forza sismica agisce sui controventi, provocando traslazioni orizzontali e verticali, insieme alla rotazione, prima lungo X e poi lungo Y:

Di seguito rappresento le traslazioni e le rotazioni, fortemente sovradimensionate per rendere l'idea dello spostamento e della direzione: