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La seconda esercitazione consiste nel dimensionamento di una trave reticolare 3D. Creo la struttura reticolare con il programma SAP. Creo un nuovo modello Grid Only con unità di misura KN,m,C. Dopo aver creato la maglia di riferimento Draw Frame mi ricalco la mia trave asta per asta. Creato un primo modulo lo copio su tutta la maglia e controllo che non ci siano doppioni attraverso il comando Edit-Merge Duplicates.

Attraverso il comando Assign-Joint-Restrains vincolo la trave alle quattro etremità con delle cerniere. Dopo aver tolto i momenti dalle aste decido di assegnare alle aste delle sezioni cilindiriche con il comando Assign-Frame-Frame Section.

Una volta tolto il peso proprio della struttura con il comando Define-Load Pattern, selezionando la parte superiore della mia struttura e utilizzando il comando Assign-Joint Loads-Forces assegno una forza di  F:-100KN.

Dopo aver assegnato i carichi faccion partire l'analisi (con il comando Run Analysis), come risultato mi mostrerà la struttura deformata. Verifico inoltre, attarverso il comando Frame/Cable, che ci siano gli sforzi normali, e mi permette di vederli nella struttura senza deformazione. A questo punto per poter dimensionare la trave ho bisogno di esportarmi un foglio excel con tutte le aste e i loro relativi sforzi normali.

La prima cosa che faccio una volta ottenuto il file Excel è eliminare i doppioni e riordino le mie aste soggette a trazione e compressione. Utilizzo due fogli excel diversi: uno per il dimensionamento a trazione e uno per il dimensionamento a compressione. Per quanto riguarda il dimensionameto a trazione: 

Sapendo che A=N/f(yd) e avendo N come valore conosciuto grazie alla mia analisi posso ricavarmi l' area minima che l'asta deve avere. Utilizzando un tabellario individuo l'asta con l'area subito più grande e la inserisco nel mio foglio excel.

Per quanto riguarda il dimensionameto a compressione:

Come ho fatto per la trazione anche qui nello stesso modo mi ricavo l'area minima e aggiungo una nuova casella che mi peremtte di inserire la luce delle mie aste (che nel mio caso sarà 2 e 2,83 per le diagonali). In questo caso due nuovi fattori influenzano la mia trave: il momento di inerzia e il raggio di inerzia. Ingegnerizzando la mia asta devo verificare che i valori I,ro e Lambda del profilato non siano inferiori a I(min), ro(min), Lambda(min).

Le travature reticolari sono strutture composte da più elementi rettilinei, dette aste, connessi tra loro con dei nodi, che permettono di poter coprire luci molto grandi rispetto a travi semplici. La particolarità delle travature reticolari è che caricando i nodi le aste sono seggetto solo a sforzo Normale di Trazione o Compressione. Le

Esistono due tipi di travi reticolari base: 

- Travature a griglia Cubica

-Travature a griglia Piramidale   

Da questi due modelli di travi sono stati sviluppati strutture reticolari più complesse come la trave Vierendeel che permette di non avere elementi inclinati.

Dimensiono una Travatura reticolale a griglia Piramidale

Utilizzo come strumento il programma Sap2000 per vedere i diagrammi degli sforzi Normali su tutta la struttura.

Clicco suFile > New Model.  Compare una schermata con varie possibilità di analisi strutturali. Una cosa importante da non dimenticare è di inserire le unità di misura che utilizziamo in Italia perchè il programma utilizza unità di misura standard americane. Seleziono KN, m, C e poi clicco su griglia

Compare una griglia su cui disegnerò la struttura reticolare. Utilizzo il comando linea e disegno la struttura.

Metto agli estremi gli appoggi. Dopo aver selezionato i punti in cui mettere i vincoli Clicco su: Assign > Joint > Restrains. Compare una schermata con i vincoli di Incastro, Cerniera, Carrello e Punto. Le spunte sopra il disegno del vincolo indicano quali possibilità di movimento del punto selezionato vengono bloccate

Dopo aver assegnato i vincoli vado a definire la geometria della trave.
Define > Section Properties > Frame Sections

Per aggiungere una nuova "proprietà" clicco su "Add New Property"

Compaiono diversi profili di acciaio. Nelle Travature reticolare vengono usati solitamente profili tubolari circolari o scatolari. Conviene quindi selezionare quindi o i profili "Pipe" o i profili "Tube"

Selezionando il profilo "Pipe" compaiono le caratteristiche del profilo dove posso modificare le dimensioni del diametro (Outside diameter) e dello spessore del profilo (wall thickness). La sigla A992Fy50 sta a indicare che il materiale è in acciao. Per ora non conoscendo quale deve essere la dimensioni effettiva delle travi, lasciamo le dimensioni di default e clicchiamo su ok

Seleziono tutte le travi per assegnargli le proprietà del profilo "TUBOLARE"
Clicco su Assign > Frame > Frame Sections...  e seleziono la voce "TUBOLARE"

Dopo aver definito le travi passo a disegnare le cernire che collegano le aste. Per disegnare le cerniere interne devo dire al programma che nei punti di contatto la sollecitazione di momento non deve essere trasferita da un asta all'altra. Per farlo vado su:
Assign > Frame > Releases/Partial Fixity...

sia all'inizio che alla fine (start end) di ogni asta devo spuntare la voce "Moment 22" e "Moment 33" e dire che i valore del Momento deve essere nullo. Siccome stiamo in una situazione tridimensione la mia sezione ruota attorno a due assi e non uno solo come nel modello di trave di Eulero-Bernoulli.

Così come per la definizione delle aste vado prima a definire il tipo di carico e successivamente, selezionando i nodi superiori della trave reticolare, assegnerò il carico.

Scrivo alla voce "Load Pattern Name" il nome del carico che sto definendo e alla voce "Type" definisco che tipo di carico è (se è un carico di peso, di vento di terremoto ecc...). Il carico "dead (morto)" per il sistema americano è un tipo di carico immobile. Il "Self Weight Multiplier" è il "moltiplicatore di peso proprio" ossia un parametro che aumenta un certo valore il carico che si sta definendo. clicco su "Add New Load Pattern" e così ho definito il carico.

Per assegnare i carichi ai nodi vado su
Assign > Joint Load > Forces

Nella voce "Load Pattern Name" inserisco il carico che ho definito in precedenza e nella voce "Loads" vado a inserire il valore del carico in KN lungo la direzione verticale e con segno negativo indico il verso della forza verso il basso. Uso un carico di 100 KN.

Dopo aver definito e assegnato le proprietà delle aste, le cerniere e i carichi passo all'analisi della struttura.

Clicco su:

Analize > Run Analisys

Compare una schermata in cui il programma mostra i casi che analizzerà. Sui carichi il programma effettua un'analisi lineare statica e calcola i vari sforzi e le deformazioni della struttura. In più compare anche l'analisi modale che analizza i modi possibili di oscillazione della struttura. Selezioni e clicco sul comando "run/do not run" per far svolgere l'analisi strutturale. L'unica analisi che ci interessa è quella sul caso "CARICO" perciò nella voce "action" deve essere l'unico caso in cui compare "run". Clicco su Run Now per far partire l'analisi.

Ecco la struttura deformata

per vedere le sollecitazioni vado su Display > Show Forces/stresses > Frames/cables

D

Dato che la struttura è trave reticolare seleziono lo sforzo assiale "Axial Force"

Clicco su Display > Show Tables.. per vedere i risultati dell'analisi su tutte le aste

spunto la voce "Analysis Results" e clicco su ok

Nella schermata delle tabelle bisogna selezionare in alto a destra la voce "Element Forces - Frames". Per poter dimensionare gli elementi della struttura reticolare esporto i risultati su un foglio elettronico in cui verranno presi gli elementi più sollecitati a sforzo Normale.

Nelle colonne che mostrano i dati sugli sforzi di taglio torsione e momento hanno tutti valore uguale a 0. La travatura reticolare è effettivamente soggetta solo o sforzo normale.

Nel file excell cancello tutte le voci inutili al dimensionamento e filtro i dati per avere solo le informazioni necessarie.
Le aste potrebbere avere tutte la stessa dimensione perchè se le aste più sollecitate a compressione e a trazione sono verificate allora lo sono anche quelle con sforzi minori. Nel modulo piramidale ci sono tre lunghezze (3, 3.67 e 4.24 metri) e per fare pratica con il dimensionamento ho deciso di dimensionare le aste più sollecitate per ogni lunghezza

Per le aste soggette a trazione risultano i seguenti risultati (la prima riga è la trave di lunghezza 3 metri, la seconda di 3,67 e l'ultima riga è quella di 4,24 metri)

La progettazione della struttura reticolare la sto eseguendo allo SLU ( Stato Limite Ultimo ).
Allo SLU per dimensionare l'area minima si utilizza la formula
Amin = Ned/ fyd

dove Ned è lo sforzo di progetto di compressione
fyd è la resistenza di progetto. Ricordo che la resistenza di progetto è ottenuta dividendo la resistenza caratteristica del materiale (fyk) per un coefficiente di sicurezza (γ), che da Normativa NTC 2008 è pari a 1,05

La seguente immagine evidenzia i parametri necessari al dimensionamento dei profili

Ingegnerizzando le Aree dei profili Utilizzo :
per le aste di 3 metri è necessario un profilo circolare cavo di 76,1 mm di diametro con uno spessore di 3,6 mm
per le aste di 3,67 metri è necessirio un profilo circolare cavo di 114,4 mm di diametro con uno spessore di 3,6 mm
per le aste di 4,24 metri è necessario un profilo circolare cavo di 168,3 mm di diametro con uno spessore di 5,0 mm

Per il dimensionamento delle aste compresse non è sufficiente dimensionare il profilo solo con l'area minima. Per via della duttilità dell'acciaio le aste compresso hanno un rischio di inflessione che fa collassare la struttura nonostante le aste abbiamo un'area minima verificata. Da normativa va verificata anche la snellezza della trave.
Oltre all'Area Minima la Normativa prevede che per le Membrature principali la snellezza λ deve essere inferiore a 200 per le membrature principali.
λ= l0 / i
dove l0 è la luce libera di inflessione (distanza tra due punti di flesso della deformata)
e i è il raggio d'inerzia.

Dopo aver dimensionato i profili con l'area minima verifico che il profilo sia verificato anche all'instabilità

Per le aste soggette a compressione utilizzo:
per le aste lunghe 3 metri un profilo circolare cavo di 168,3 mm di diametro con 4,0 mm di spessore
per le aste lunghe 3,67 metri un profilo circolare cavo di 219,1 mm di diametro con 5,9 mm di spessore
per le aste lunghe 4,24 metri un profilo circolare cavo di 114,3 mm di diametro con 3,6 mm di spessore

DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE RETICOLARE 3D

Prendo come esempio una pensilina composta da una  travatura reticolare piramidale a base quadrata.

Al fine di dimensionare le aste di questa struttura ho ipotizzato che essa debba sostenere un carico di 40 KN.

Per completare la mia esercitazione avrò bisogno del softwar SAP2000 e di un foglio di calcolo Excel.

 1- Disegno direttamente su SAP2000 il mio modello di struttura reticolare: determino innanzitutto        l'unità di misura in KN,m,C andandola a modificare in basso a sinistra nel menù a tendina; dopo di che FILE→NEW MODEL e scelgo dalla finestra GRID ONLY, così da crearmi una griglia misurare su cui disegnare.

Vado a inserire in Number of Grid Lines il numero di campate secondo gli assi x,y,z i quali mi determineranno la griglia e in Grid Spacing la lunghezza delle mie aste che sarà di 3m in tutte e tre le direzioni.

Con il comando FRAME , linea, disegno un modulo della trave piramidale controventata alla base.

Attraverso il comando copia Ctrl+C  Ctrl+V  sarà ripetuto inserendo le coordinate sugli assi x e y formando una struttura rettangolare 3x6 m.

Controllo che non ci siano aste duplicate: selezione tutto, EDIT→EDIT  POINTS→MERGE JOINTS

A questo punto la modellazione della struttura è terminata

2- Andiamo ad assegnare i vincoli esterni : seleziono i 4 vertici estremi della travatura piramidale, ASSIGN→JOINT→RESTRAINTS , dalla finestra che mi si apre seleziono il vincolo Cerniera.

Assegno ora i vincoli interni che rappresentano i nodi di ogni asta: seleziono la struttura,  ASSIGN→FRAME→RELEASES/PARTIAL FIXITY, nella finestra andrò a a spuntare  Moment 22 e Moment 33 sia su Start sia su End  mettendo a entrambe zero, così da riprodurre il vincolo di cerniera interna rendendo libera la rotazione.

3- andiamo ad assegnare il materiale e la sezione alle aste: seleziono tutta la struttura, ASSIGN→FRAME→FRAME SECTION poi a sx clicco su Add New Property, in Frame Section Proprerty Type scelgo il materiale  steel (acciaio) e clicco sul profilo Pipe, si aprieà una finestra in cui inserisco in Section Name  Pipe diamo poi ok per due volte .

4- Andiamo a crearci il carico che poi assegneremo alla struttura: DEFINE→LOAD PATTERN,

nella finestra in Load Pattern Name  chiamo i carichi F e in Self Weight Multiplier (coefficiente del peso proprio) inserisco il valore di 0 e clicco Add New Load Pattern

5-Andiamo a questo punto ad assegnare il carico puntuale F sui nodi superiori della struttura: seleziono le aste superiori, ASSIGN→JOINT LOADS→FORCES

Dal menù a tendina scelgo il carico creato F, essendo un carico verticale verso il basso (asse z) andrò ad assegnargli in Force Global Z un valore di -50 KN.

6- E’ ora possibile analizzare la struttura avendo fornito al software tutti i dati necessari:

faccio partire l’ analisi cliccando sul tasto evidenziato in arancione, seleziono i carichi che non prendere in considerazione e clicco su Do Not Run , al contrario seleziono F (il carico che agisce sui nodi) e schiaccio Run Now.

La prima informazione fornitaci dall’analisi è quella della configurazione deformata della struttura soggetta ai carichi F.

Dalle reazioni vincolari invece come ben sappiamo per quanto riguarda le travi reticolari sono soggette solo a SFORZO NORMALE di trazione se sono tese o di compressione se compresse, i diagrammi rappresentano in blu la trazione e in rosso la compressione.

7- il programma mi tabella tutti i valori di sforzo normale della struttura, con la possibilità di visualizzare delle tabelle ogni asta associata allo sforzo cui è soggetta: DISPLAY →SHOW TABLES 

Il programma ci chiede ora ciò che effettivamente vogliamo inserire all'interno delle tabelle dei risultati; spuntiamo ANALYSIS RESULTS e diamo l'ok .

Dalla finestra che si apre mi seleziono la tabella che a me serve di visualizzare, in questo caso Element Forces-Frame

La esporto ora su Excel in modo da andarla a pulire dalle informazioni a me non necessarie: FILE→EXPORT CURRENT TABLE→TO EXCEL

8- una volta esportata la tabella la “sistemo” seguendo questi passaggi:

-cancello tutte le colonne dopo la lettere E;

-inserisco una nuova colonna per la luce delle aste;

-individuo in rosso le aste diagonali che valgono 3√2;

-cancello i doppioni delle aste con Rimuovi duplicati secondo Frame

-Ordino la tabella secondo lo sforzo normale P  in modo decrescente, avendo prima i valori positivi di TRAZIONE e dopo i valori negativi di COMPRESSIONE.

-infine copio nel file EXCEL della professoressa, che ci servirà per dimensionare le aste) i valori di dello sforzo normale di trazione nella trazione e viceversa.

9-Nel file excel del dimensionamento dell’asta reticolare in acciaio nella sezione TRAZIONE dopo aver inserito i valori di sforzo normale in N, insieriamo l’Fyk che è la resistenza caratteristica dell’acciaio: ricordo che l’acciaio ha lo stesso valore di resistenza sia a trazione che a compressione.

Nel mio caso ho scelto un acciaio S275

Inserisco poi γ_m , un coefficiente di sicurezza pari a 1.05, il foglio mi calcola così Fd, la tensione di progetto e infine l’area minima che mi serve per la mia asta. A_min me la calcolo dividendo lo sforzo normale per la tensione di progetto.

Vado ora ad” ingenierizzare” l’area minima dell’ asta maggiormente sollecitata affinchè il materiale possa resistere allo sforzo maggiore. Nella trazione l’area minima dall’ asta maggiormente sollecitata è di 3.70cm², cerco il profilo nelle tabelle Oppo dei tubi in acciaio a sezione circolari trovando un’ area di design e ripeto l’operazione per tutte le aste tese.

10- Passo ora all’area riservata al dimensionamento dell’area delle aste soggette a compressione:

inserisco anche qui sotto N i valore di sforzo normale in ordine crescente in questo caso così da avere l’asta più compressa in prima riga.

In questa sezione oltre ad inserire i valori precedenti vado ad inserire innanzitutto la luce associata ad ogni asta.

Anche qui il foglio di calcolo mi individua l’area minima ma non posso ancora ingenierizzarla poiché nella compressione devo tener conto di due importanti fenomeni di INSTABILITA’ che si possono verificare quali il CARICO DI PUNTA e LA FLESSO TORSIONE .

Aggiungo il modulo di elasticità E che è uguale per tutti gli acciai strutturali a 210000 Mpa e  un coefficiente che dipende dai vincoli esterni delle aste; in questo caso essendo cerniere esterne corrisponde a beta=1.

Avendo questi dati a disposizione il foglio mi calcola λ Lambda, la snellezza dell’asta, I il momento di inerzia minimo e Rho il raggio di inerzia minimo, valori che mi servono per contrastare i due fenomeni di instabilità e necessari per il dimensionamento delle aste.

Infatti sulle tabelle dei profilati a sezione circolare cava dovrò scegliere una serie di profilati che soddisfano tutti e tre questi requisiti oltre all’area minima.

 Posso procedere ora al dimensionamento delle aste facendo attenzione che il lambda finale risulti sempre  < 200

Per la compressione come si può vedere ho scelto solo due profili di aste uno per quelle diagonali (in verde), uno per quelle verticali e orizzontali (in giallo). Questo perché non devo solo considerare l’aria minima per la scelta ma anche il Raggio di inerzia che nel mio caso si diversifica per quanto riguarda la lunghezza delle aste.

Questa terza esercitazione consiste nel verifica della deformazione della mensola più sollecitata di un telaio in tre differenti tipologie: legno, acciaio e cemento armato.

La mensola sottoposta a maggiore carico nella struttura presa in analisi è quella evidenziata in rosso: su di essa infatti grava il carico di solaio maggiore.

Luce: 3m

Interasse: 6m

Area di influenza: 18m²

LEGNO

Prima di calcolare e verificare la deformazione di una mensola è necessario dimensionare l’altezza della stessa. Consideriamo lo stesso pacchetto di solaio della prima esercitazione e, come nel caso della trave inflessa, inseriamo nel foglio i dati inerenti all’interasse, al carico strutturale, permanente e accidentale. In questo modo otteniamo il carico ultimo. qu = [(qs x 1.3) + (qp x 1.5) + (qa x 1.5)] x i

Inserendo la luce il foglio ricava il momento massimo: nel caso della mensola pari a Mmax= (qu x L²)/2

Una volta inserita la resistenza caratteristica (nel caso del legno lamellare GL24h pari a 24 Mpa), il coefficiente di sicurezza del materiale (per il legno lamellare γm=1.45) e il coefficiente correttivo per umidità e durata del carico (consideriamo una classe media con kmod=0.8) il foglio ricava la resistenza di progetto

fd = (kmod x fmk)/γm.

Impostando la base della trave, si determina l’altezza minima come nel caso della trave inflessa. Scegliamo dunque un’altezza ingegnerizzata.

Ora possiamo procedere al calcolo e alla verifica della deformazione.  Con i dati già presenti del foglio si ricava il momento di inerzia che, nel caso di una sezione rettangolare, è Ix= bh³/12. Possiamo anche calcolare il carico di esercizio pari alla somma dei carichi maggiorati con i relativi coefficienti di sicurezza (1 nel caso dei carichi strutturali e permanenti, 0.5 nel caso dei carichi accidentali) per l’interasse.

qe= [(qs x 1) + (qp x 1) + (qa x 1.5)] x i

Nel caso di una semplice mensola con carico uniformemente distribuito sappiamo che:

v(s) = 1/(EI) x [- (ql²s²)/4 – (qs⁴)/24 + (qls³)/6]

Poiché il massimo spostamento in una mensola avviene nell’estremo libero (cioè s=l) possiamo anche scrivere che

vmax= - (ql⁴)/8EI.

In realtà questo valore di spostamento massimo è un approssimazione: infatti esso viene associato ad una vera mensola mentre, in questo caso, la struttura si configura come aggetto di una trave appoggiata. Poiché la luce della trave appoggiata è 8m e l’aggetto è 3m (<8m/2) il vmax calcolato è maggiorato.

Dunque inserendo il modulo di elasticità E proprio del materiale nella tabella possiamo ricavare questo valore considerando come carico quello di esercizio (qe).

Affinchè la mensola sia verificata vmax < (1/250) x l. Dunque devo verificare che:

l/vmax >250.

In questo caso 439.70 > 250 dunque la mensola in legno è verificata!

ACCIAIO

Come nel caso del legno dobbiamo innanzitutto dimensionare l’altezza della mensola.  Inseriamo i dati inerenti l’interasse, la luce e i carichi del pacchetto di solaio considerato nella prima esercitazione. Il foglio di calcolo ricava carico ultimo e momento massimo della mensola come sopra. Inserendo la resistenza caratteristica del materiale (fyk=275Mpa per un acciaio S275) si ottiene la resistenza di progetto fd moltiplicando fyk per il coefficiente di sicurezza γm=1.05. Come nel caso della trave appoggiata imponendo σmax = fd e utilizzando la formula di Navier sappiamo che

Wxmin = Mx/fd

Dunque scegliamo nel sagomario una trave IPE con modulo di resistenza a flessione W immediatamente superiore. In questo caso un IPE 400. Dunque riportiamo sulla tabella i relativi valori di momento d’inerzia Ix e di peso della trave IPE 400 e il modulo di elasticità E proprio del materiale.

A differenza del legno il foglio calcola il carico di esercizio sommando ai carichi maggiorati e moltiplicati per l’interasse anche il peso della trave (nel caso del legno il peso della trave viene trascurato trattandosi di un materiale leggero). Dunque

qe= [(qs x 1) + (qp x 1) + (qa x 1.5)] x i + (peso trave x 1)

Con la stessa formula precedentemente utilizzata per il legno ricaviamo lo spostamento massimo: vmax= - (ql⁴)/8EI     (anche in questo caso maggiorato).

Anche in questo caso il rapporto l/vmax = 440.082 > 250 dunque la mensola in acciaio è verificata!

CEMENTO ARMATO

Anche per il cemento armato dobbiamo prima calcolare l’altezza della mensola. Inserendo interasse, luce e carichi del pacchetto di solaio in latero-cemento della prima esercitazione otteniamo carico ultimo e momento massimo. Una volta scelto il tipo di barre (B450C con resistenza caratteristica fyk= 450Mpa) e la classe del calcestruzzo (C60/75 con resistenza caratteristica fck = 60 Mpa) il foglio ricava le corrispettive resistenze di progetto corrette con i coefficienti di sicurezza.

Una volta impostata la dimensione della base della trave il foglio ricava l’altezza utile come nel caso della trave appoggiata. Questo valore sommato per il copriferro permette di ricavare un’altezza minima che possiamo ingegnerizzare. Il foglio ricava direttamente l’area (base per altezza) e il peso al metro quadro (area per peso specifico del cls).

Nella riga sottostante il foglio ricalcola il valore del carico ultimo aggiungendo a quello precedente il peso della trave moltiplicato per il coefficiente per carichi strutturali pari a 1.3. Viene ricalcolato dunque il momento massimo e, mantenendo i valori delle resistenze e delle dimensioni scelte nel progetto, ricalcola l’altezza minima. Anche con il peso della trave l’altezza minima rimane inferiore al valore di altezza ingegnerizzata che avevamo scelto dunque l’altezza è verificata.

Ora possiamo procedere con il calcolo e la verifica dello spostamento massimo della mensola. Come nel caso dell’acciaio il foglio calcola il carico di esercizio sommando ai carichi maggiorati e moltiplicati per l’interasse anche il peso della trave.

qe= [(qs x 1) + (qp x 1) + (qa x 1.5)] x i + (peso trave x 1)

Inserendo il valore del modulo di elasticità E proprio del materiale e calcolando il momento d’inerzia Ix per una sezione rettangolare (come nel caso del legno Ix= bh³/12) il foglio ricava lo spostamento massimo

vmax= - (ql⁴)/8EI    (anche in questo caso maggirato)

Anche in questo caso il rapporto l/vmax = 286.21> 250 dunque la mensola in cemento armato è verificata!

Questa seconda esercitazione si basa sul dimensionamento di una travatura reticolare tridimensionale. Attraverso il software SAP2000 è possibile disegnare la struttura e vincolarla esternamente tramite quattro appoggi.

Trattandosi di una struttura reticolare possiamo modellizzare i nodi come delle cerniere interne.

Una volta scelto il materiale (acciaio) e i profili delle sezioni (circolari cavi) sono state applicate forze concentrate sui nodi superiori della travatura.

 Il software permette di visualizzare la struttura deformata e i grafici relativi allo sforzo normale: in rosso le aste compresse (puntoni), in blu le aste tese (tiranti).

 È possibile poi esportare i valori numerici degli sforzi assiali delle singole aste in una foglio di calcolo.

Innanzitutto il file va pulito mantenendo solo i valori di station pari alla lunghezza effettiva dell’asta. Dunque nel caso di questa struttura è necessario mantenere le aste di 2m che corrispondono ai lati del quadrato di base (nere); le aste lunghe 2.82m che corrispondono alle diagonali dei quadrati di base (verde); le aste lunghe 2.44m che corrispondo ai lati della piramide (arancio).

Quindi è possibile ordinare la tabella in funzione dello sforzo normale dal valore maggiore al valore minore e quindi si possono individuare facilmente le aste più tese nella struttura (valori maggiori con segno positivo) e quali quelle più compresse (valori maggiori con segno negativo).

TRAZIONE

Un ulteriore foglio di calcolo ci permetterà di dimensionare i profili circolari cavi per le aste tese.

Infatti, una volta inseriti i valori degli sforzi normali e scelto il tipo di acciaio (un acciaio S235 con resistenza caratteristica fyk = 235 Mpa), il foglio calcolerà la resistenza di progetto fd correggendo quella caratteristica con un coefficiente di sicurezza γm=1.05 e l’area minima dividendo lo sforzo normale per la resistenza di progetto appena calcolata

Amin = N/fd

Infatti abbiamo imposto che σ=fd.

Consultando la tabella dei profilati circolari cavi dovremmo scegliamo il profilo con area immediatamente maggiore per ciascuna asta, ma ciò comporterebbe un eccessivo costo e difficoltà di montaggio nella realizzazione della reticolare. Dunque si scelgono 4 profili che soddisfino le aree minime delle aste tese. Si aggiungono dunque due nuove colonne con il tipo di profilo scelto e il numero di asta corrispondente.

COMPRESSIONE

Un ulteriore foglio di calcolo ci permetterà di dimensionare i profili circolari cavi per le aste compresse.

Come nel caso della trazione, una volta inserito lo sforzo normale e il tipo di acciaio, è possibile ricavare la resistenza di progetto e dunque l’area minima imponendo nuovamente σ=fd.

Amin = N/fd

Nel caso della compressione, però, dobbiamo considerare anche l’instabilità euleriana. Dunque sarà necessario imporre σcrit = fd.

fd = σcrit = Ncrit/A = (π²E)/λ²

dunque λ = π/√(E/fyd)

Dove E è il modulo di elasticità dell’acciaio pari a 210000Mpa. Nella tabella possiamo aggiungere due ulteriori valori noti: β = 1 (trattandosi di un asta incernierata) e le luci delle aste. Con questi nuovi dati possiamo calcolare ρmin.

ρmin = L0/ λ

dove L0= β x l

Ora sapendo che ρmin²=Imin/A

Imin = ρmin²/A

Consultando la tabella dei profilati circolari cavi dovremmo scegliere il profilo con area e momento di inerzia immediatamente maggiori per ogni asta. Come per quelle tese sarà necessario scegliere un numero di profili limitati per semplificare il montaggio e ammortizzare i costi: sono stati scelti dunque 4 profili che soddisfino le aree e le inerzie minime delle aste compresse controllando che la snellezza λ sia inferiore di 200. Si aggiungono dunque due nuove colonne con il tipo di profilo scelto e il numero di asta corrispondente.

Si apre il programma e dopo aver impostato le unità di misura (KN, m, C), si imposta un nuovo modello Grid Only. Si impostano il numero di linee su ogni asse e la distanza tra di esse e in questo modo si verrà a creare una griglia di riferimento su cui poter disegnare la travatura reticolare.

Attraverso  lo strumento Draw Frame si iniziano a disegnare le aste e, completato il primo modulo, questo si copia Ctrl-C e incolla Ctrl-V  lungo gli assi X e Y fino a completare la griglia.

Si seleziona tutta la struttura e attraverso il comando Edit – Edit Points – Merge Joints si riuniscono i nodi che durante i passaggi potrebbero essersi spostati.

Si selezionano i nodi nei quali si vogliono inserire i vincoli e attraverso il comando Assign – Joint – Restraints  si assegna il vincolo di cerniera esterna.

Selezionare tutte le aste e attraverso il comando Assign – Frame – Releases/Partial Fixity spuntare Start e End ai Moment 22 e Moment 33, in modo tale da imporre che il momento all’inizio e alla fine di ogni asta sia uguale a zero.

A questo punto si assegna il materiale, quindi seleziono tutte le aste e poi Assign – Frame – Frame Sections – Add New Property. Poi Frame Section Type - Steel, Add a steel section – Pipe, Section name – Tubolare.

Con il comando Define – Load Patterns metto il nome “carico”, impongo Self Weight Multiplier uguale a zero (non si prende in considerazione il peso proprio della struttura) e Add New Property.

Ora si selezionano tutti i nodi su cui si vogliono inserire i carichi e poi si clicca il comando Assign – Joint Loads – Forces – Load Pattern Name si assegna “carico” e poi in Force global Z si inserisce -100, cioè un carico verticale rivolto verso il basso.

A questo punto si può avviare l’analisi tramite Analyze – Set Load Cases To Run, impongo a MODAL e DEAD Do Not Run in quanto non voglio farne l’analisi, mentre a “carico” impongo Run e poi Run Now.

Tramite il comando Show Forces/Stresses – Frames/Cables/Tendons si possono vedere i diagrammi degli sforzi assiali.

Per salvare i risultati bisogna premere Display – Show Tables, poi selezionare su Select Load Patterns e Select Load Cases il carico, in seguito spuntare la casella Analysis Results – Element Forces/Frames ed infine File – Export Current View – To Excel.

A questo punto sulla tabella Excel distinguiamo le aste tese da quelle compresse (segno negativo) e inseriamo i valori nelle tabelle di dimensionamento.

Per quanto riguarda le aste tese, una volta inseriti i valori di N e scelto il tipo di acciaio (S235 con resistenza caratteristica fyk= 235 Mpa), si può trovare l’area minima:

Amin= N/fd

Dalla tabella dei profilati circolari cavi si sceglie il profilo con area maggiore dell’area minima e in questo caso, avendo un numero importante di aste, si sono scelti 6 profili che soddisfano le aree minime.

Nel caso delle aste compresse, una volta calcolata l’area minima bisogna tener conto del problema dell’instabilità Euleriana. Vengono presi in considerazione il modulo elastico dell’acciaio E=21000 Mpa, la lunghezza delle aste e quindi L=2m o L=2,83m e beta che in questo caso è uguale ad 1 in quanto sono aste incernierate. A questo punto il foglio Excel calcola i valori di Lambda, Rho min e Momento di inerzia minimo. Dalla tabella dei profilati circolari cavi si sceglie il profilo con Area, Momento d’inerzia e Rho maggiori dei valori minimi trovati. Infine bisogna assicurarsi che la snellezza Lambda sia minore di 200. Anche in questo caso, avendo un numero importante di aste, si sono scelti 4 profili che soddisfano i requisiti minimi.

Allego il PDF dell'esercitazione.