Esercitazione

Questa struttura presenta alcune complicazioni che impongono di procedere con cautela, si tratta infatti di una struttura iperstatica priva di simmetrie e con una singolarità in mezzeria dovuta alla presenza di una cerniera che non interrompe la continuità della trave.

Possiamo comunque fare alcune ipotesi preliminari e poi valuteremo, applicando l’equazione della linea elastica, che queste ipotesi siano corrette.

LA DEFORMATA

Dal momento che la cerniera non interrompe la continuità della trave dobbiamo immaginare che localmente la deformata sia una curva continua, senza singolarità. Passando concettualmente dal modello di Bernoulli ad un modello tridimensionale, dobbiamo immaginare quello che fa la sezione in corrispondenza della cerniera B. Dal momento che la struttura non è simmetrica, dobbiamo immaginare che la sezione in B non stia ferma, ma ruoti dalla parte che è meno vincolata, quindi verso BC, verso destra, ovvero in senso orario.

Viceversa nell’ incastro A la rotazione è inibita dal vincolo ed invece è libera in C.

La deformata potrebbe essere quella di figura, poco proporzionata e molto accentuata.

IL MOMENTO

Alcune cose si possono dire anche del momento. Innanzitutto il carico è distribuito su entrambi i tratti della trave (tratti che definiamo non perché vi sia una discontinuità geometrica, ma vi è una discontinuità dovuta alla reazione vincolare in B) per questo motivo il momento sarà parabolico sia sul tratto AB che su quello BC. Le due parabole saranno diverse.

Entrambe si annulleranno nei punti di flesso (individuati in figura con delle X) poiché in essi cambia la curvatura della deformata. Dire che cambia la curvatura significa dire che la curvatura CAMBIA DI SEGNO. Il che vuol dire che in quel punto la curvatura si annulla. Visto che il momento è proporzionale alla curvatura (a meno del prodotto EJ che è costante e diverso da 0) nei punti dove si annulla la curvatura si annulla anche il momento.

Inoltre il momento si annulla anche nella cerniera C, mentre ha un valore nel punto B, in cui si trasmette momento per la continuità della trave. Nel punto B si ha un punto angoloso poiché in esso vi è una forza concentrata (la reazione vincolare) essa determinerà una irregolarità anche nel taglio.

IL TAGLIO

Il carico distribuito determina il fatto che il momento sia parabolico ed il taglio sia lineare, su entrambi i tratti, ma con inclinazioni ed andamenti diversi.

Quel che è certo è che in corrispondenza di B così come vi è un punto angoloso del momento, vi è un SALTO del taglio, salto che sarà uguale alla reazione vincolare della cerniera in B.

Infine il taglio si annullerà con certezza in due punti che sono i punti di vertice delle due parabole del momento, quella del tratto AB e quella del tratto BC. In questi punti infatti, la funzone momento, ha tangente orizzontale, il che equivale a dire che la derivata della funzione momento è nulla, ma la derivata della funzione momento è proprio la funzione taglio cambiata di segno, per cui in quei punti il taglio è nullo.

CONDIZIONI AL BORDO E DI CONTINUITA’

Innanzitutto dobbiamo chiederci di quante condizioni al bordo abbiamo bisogno. Per capirlo dobbiamo ricordarci che abbiamo diviso la trave idealmente in due tratti che si comportano in maniera diversa. A ciascuno dei due dobbiamo applicare l’Equazione della Linea Elastica, che integrata 4 volte presenterà 4 costanti di integrazione per tratto per un totale di 8.

E’ proprio di 8 condizioni che cerchiamo, e saranno sia di natura statica che cinematica.

BORDO A

In A c’è un incastro, è immediato dire che gli spostamenti sono inibiti, quindi anche quello verticale, come anche le rotazioni per cui:

PUNTO B (condizioni di continuità)

In B, come abbiamo già visto, la continuità della trave è garantita, per cui, nonostante la presenza di una cerniera IL MOMENTO viene trasmesso e quindi NON E’ NULLO. Quel che è certo però è che esso è lo stesso sia a sinistra che a destra del vincolo.

Certamente sono inibiti gli spostamenti e quindi anche quelli verticali, e questa è una condizione doppia, poiché vale sia per il tratto AB che per quello BC.

Altra cosa che possiamo dire è che la continuità della trave ci dice che la ROTAZIONE RELATIVA è nulla, per cui la rotazione a destra e a sinistra è la stessa

Abbiamo quindi 4 condizioni, quelle sugli spostamenti e sulle rotazioni sono di natura cinematica, mentre quella sui momenti è di natura statica.

BORDO C

Nella cerniera sono libere le rotazioni quindi su di esse non possiamo dire nulla, sono inibiti gli spostamenti e quindi anche quelli verticali, ed è nullo il momento per cui:

EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

L’ equazione della linea elastica è:

Essa va applicata ai due tratti, separatamente se le condizioni al bordo sono separate, e contemporaneamente quando le condizioni al bordo lo richiedono.

TRATTO AB	TRATTO BC

 

 

 

 

 

 

 

 

Ora passiamo ad applicare alle giuste equazioni le condizioni al bordo:

PUNTO A

Dire che c’è un incastro in quel punto a sinistra, da dove iniziamo a contare le ascisse, equivale a dire che lo spostamento e la rotazione sono nulli, il che significa che le costanti c3 e c4 sono nulle.

PUNTO B

Nel punto B avremo delle equazioni che comprendono sia le costanti c del primo tratto sia le costanti d del secondo tratto, mettendole in relazione tra loro, ma iniziamo con le equazioni che mantengono separate le costanti, che sono quelle riguardanti gli spostamenti:

Vi sono poi le equazioni miste relative alle uguaglianze tra momenti e rotazioni. Per quanto riguarda il momento, stiamo considerando una trave continua, ma essa potrebbe essere continua anche se presentasse diversa sezione o se fosse di un diverso materiale nel primo e nel secondo tratto. Basterebbe infatti che fosse giuntata con continuità. Avremmo quindi dovuto considerare nei due tratti E1 e J1 ed E2 e J2 per diversi materiali e per diverse sezioni. Per semplificare però immaginiamo una trave continua per sezione e per materiale. Questo comporta che uguagliare i momenti significa in definitiva uguagliare le curvature, dal momento che nell’ uguaglianza dei momenti posso dividere a destra e a sinistra per EJ (che sono uguali nei due tratti).

Infine passiamo all’ uguaglianza delle rotazioni (condizione inerente alla nullità della rotazione relativa).

PUNTO C

Nel punto C abbiamo una condizione cinematica che riguarda la nullità dello spostamento e una condizione statica che riguarda la nullità del momento, a cui corrisponde la nullità della curvatura dal momento che EJ è sempre diverso da 0.

RIASSUMENDO

Ci ritroviamo con un sistema di 8 equazioni in 8 incognite, anzi, equazioni ed incognite sono di meno dal momento che alcune sono state definite come nulle. Indico con A il rapporto q/EJ.

Se non avessi già apportato delle semplificazioni per l, quando necessario, mi accorgerei da dove proviene ciascuna delle equazioni, quelle di 4° grado in l derivano dagli spostamenti, quelle di 3° dalle rotazioni, quelle di 2° dai momenti.  Avendo abbassato di grado in alcuni casi non posso più determinarlo ad occhio.

E’ necessario risolvere il sistema:

Sostituiamo il d₂ della 8° equazione nella 5° equazione e troviamo d₁ in funzione di c₁ e c₂

Sostituiamo il d₁ appena trovato ed i d₂ e d3 della 7° ed 8° equazione nella 4° equazione e troviamo c₂ in funzione di c₁

Sostituiamo il c₂ appena trovato nella 6° equazione e troviamo c₁:

Sostituiamo il c₁ appena trovato nelle altre costanti che sono scritte in sua funzione e avremo tutte le costanti a cascata:

Ora che abbiamo tutte le costanti, riscriviamo le equazioni della linea elastica:

TRATTO AB	TRATTO BC

 

 

 

 

 

 

 

 

Adesso che abbiamo tutte le funzioni possiamo descrivere il comportamento della struttura in ogni punto.

TAGLIO

Iniziamo dal taglio: valutare i punti dove si annulla significa trovare i punti di vertice delle parabole del momento. Calcoliamo il Taglio nei punti notevoli e poi vediamo dove si annulla:

Se prima avevamo ipotizzato un andamento, ora possiamo disegnarlo quantitativamente:

MOMENTO

Per quanto riguarda il momento, nei punti dove si annulla il taglio avremo i vertici delle parabole, ma ci servono altri due punti notevoli, che sono quelli dove si annullano le curvature della deformata nei due tratti. Ci calcoliamo prima questi e poi il momento nei punti notevoli, iniziamo dal tratto AB

E poi il tratto BC:

Calcoliamo il momento nei vincoli A e B (in C è 0) e nei punti di vertice delle parabole che sono quelli per cui si annulla il taglio:

Ora è possibile disegnare il grafico del momento:

REAZIONI VINCOLARI

In ultimo, possiamo indicare i valori delle reazioni vincolari. Esse infatti sono le azioni di contatto che si trasformano in reazioni vincolari sui bordi, appena fuori dalle travi:

Come si vede, la reazione vincolare della cerniera in B è pari al salto che c’è nel taglio poiché essa si comporta, per il taglio e per il momento, come un carico concentrato, determinando un salto ed un punto angoloso. Essa è diretta verso l’alto, a dimostrazione del fatto che quel vincolo “lavora” per contrastare il desiderio della trave di inflettersi in quel punto.

Il sistema è equilibrato infatti le tre reazioni sono concordi e bilanciano alla traslazione verticale il carico così come accade per il momento.

Avremmo potuto praticare degli opportuni tagli di Cauchy per verificare che le reazioni vincolari sono esattamente queste, tenendo sempre conto della corretta convenzione di segno.

Esercizio in classe:

La linea elastica:

Hp: trave a sezione costante e uniforme

1)analisi delle  condizioni al bordo ,incastro (A) cerniera (C) :

-condizioni cinematiche

-condizioni statiche

 

 

Condizione di CONTINUITA' della trave : cerniera (B)

Nella seconda esercitazione, è stato richiesto di dimensionare una trave portante, in 3 materiali diversi: Legno, Acciaio e Calcestruzzo armato.

Partendo da un pacchetto di solaio predefinito, e grazie all'ausilio del foglio exel per semplificare i calcoli, si è iniziato dal disegnare e definire un telaio.

Che riporto qui di seguito 

FIG.1

Per dimensionare una trave basta analizzare quella più sollecitata, cioè quella che porta la maggior porzione di solaio, nel mio caso è la trave evidenziata in rosso, la cui area di influenza è pari a 5mx6m=30mq.

TRAVE IN ACCIAIO:

il solaio che si è deciso di analizzare è cosi composto:

Pavimentazione: con piastrelle di 20cmx20cm con uno spessore di 2 cm hanno un peso di 0.31  kn/mq

Massetto: calcestruzzo alleggerito 8cm, il peso specifico varia dai 14-20 kn/mc, scelgo di utilizzare quello con il peso di 16 kn/mc.

Getto di completamento:area di 0.0935mq con un peso specifico di 25kn/mc

Lamiera grecata: peso di 0,2 kn/mq

Travi IPE 140: area di 16,4 cm² e peso specifico 78,5 kn/mc

Controsoffitto:2 cm peso  0,26 kn/mq

Per dimensionare una trave devo prima procedere con l'analisi dei carichi, fascendo una distinzione tra i carichi propri della struttura qs, il peso dei carichi permanenti qp e il peso dato dai carichi accidentali qa che sono legati principalmente all'utilizzo della struttura.

CARICHI STRUTTURALI  (qs)

travetti: 2 travetti IPE 140- 78,5X2X0.00164 mq=0,257 kn/mq

lamiera: 0.2 kn/mq

getto di completamento: 2,2 kn/mq

CARICHI PERMANENTI (qp)

pavimentazione: 0.31 kn/mq

massetto alleggerito: 1,28 kn/mq

controsoffitto: 0,26 kn/mq

tramezzi: 1 kn/mq (da normativa)

impianti: 0.5 kn/mq (da normativa)

Carichi accidentali (qa)

per civili abitazioni 2 kn/mq

una volta determinati i carichi andiamo ad inserire i valori trovati nel foglio exel, che terrà conto anche dei rispettivi coeff di sicurezza.

inoltre bisogna stabilire la classe di resistenza dell'acciaio, che in questo caso si è stabilita di 275 Mpa.

Si trova un Wx di 1017 (cmc) che in tabella corrisponde a un IPE 400 con un Wx di 1160 cmc.

Una volta dimensionata la trave è necessario ricalcolare il carico q tenendo conto questa volta anche del peso della trave appena dimensionata.

Dato che il Wx che tiene conto anche del peso della trave resta sempre inferiore al Wx della trave selezionata, tale profilo risulta verificato.

SOLAIO IN CALCESTRUZZO ARMATO:

Andiamo ora ad analizzare un solaio analogo in calcestruzzo armato.

Così suddiviso:

Pavimentazione:2 cm peso di 0,31 kn/mq

Massetto: 8 cm peso 1,28 kn/mq

Soletta:4 cm x 25 kn/mc=0,04x25= 1kn/mq

Travetti:12 cm x 20 cm = 2 il numero di travetti x 0,12x0,2x25kn/mc= 1,2 kn/mq

Pignatta:38 cm x20 cm x 25 kn/mc=

in 1m ho 4 pignatte del peso di 9,6x4 = 38,4 kg x2 = 76,8 kg/mq =0,768 kn/mq

Peso totale per 8 pignatte= 0,768 kn/mq

Controsoffitto: 2 cm 0,26 kn/mq

Carichi strutturali:(qs)

soletta:1 kn/mq

travetti:1,2 kn/mq

pignatte:0,768 kn/mq

Carichi permanenti:(qp)

pavimentazione:0,31 kn/mq

massetto:1,28 kn/mq

controsoffitto:0,26 kn/mq

tramezzi:1 kn/mq (da normativa)

impianti:0,5 kn/mq (da normativa )

carichi accidentali:(qa)

per il residenziale 2 kn/mq

Dopo aver concluso l'analisi dei carichi, e dopo aver stabilito le classi di resistenza  si procede inserendo i valori nel foglio exel, fissando un ipotetica base.

Da questa prima analisi, ipotiziamo una trave di h= 55 cm 

ma non si è ancora tenuto conto del peso della trave.

Si prosegue una nuova analisi dei carichi tenendo conto del peso propio della trave.

La nuova altezza calcolata è inferiore a quella ipotizzata, quindi la trave è verificata.

Proviamo ora a variare la base della trave questa volta di 30 cm e vediamo come varia l'altezza.

Ipotizziamo un altezza di 45 cm, ora andiamo a calcolare se questa altezza è sufficente per reggere anche il peso proprio della trave.

 

In questo caso la sezione non è verificata, poichè è necessario aumentare l'altezza a 50 cm.

SOLAIO IN LEGNO:

Pavimentazione:2 cm peso di 0,31kn/mq

Massetto: 8 cm peso 1,28 kn/mq

Tavolato: legno abete 4 cm     450kg/mc x 0,04 mc =18 kg/mq =0,18kn/mq

Travetto: legno lemellare abete  10 cm x 8 cm ne ho 2 in 1m 450kg/mc=720kg/mq=0,72kn/mq

Controsoffitto:2 cm peso 0,26 kn/mq

carichi strutturali:(qs)

travetto:0,72 kn/mq

tavolato:0,18 kn/mq

carichi permanenti:(qp)

pavimentazione: 0,31 kn/mq

massetto:1,28 kn/mq

controsoffitto:0,26 kn/mq

tramezzi: 1kn/mq da normativa

impianti:0,5 kn/mq da normativa

carichi accidentali: (qa)

per civili abitazioni 2 kn/mq

Riportiamo i valori calcolati nel foglio exel

Da questa prima analisi si ricava un primo predimensionamento che non tiene conto del peso della trave.

Da una prima scelta si stabilisce un altezza di primo tentativo della trave pari a 55 cm.

Andiamo ora a calcolare il peso della trave:

base x altezza= 30 cm x 55 cm= 1650 cmq=0,165 mq  x 6m che è la luce = 0,99 mc (volume)

0,99 x 4,5/6 = 0,7425 kn/mq

 

peso trave 0,7425x 1.3=0,965 kn/mq 

una volta calcolato il peso della trave, andiamo a inserire questo peso nel carico q.

La trave è verificata poichè anche tenendo conto del nuovo carico, l'altezza resta comunque inferiore dei 55 cm.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La travatura reticolare è una struttura leggera che  consente di superare grandi luci.

Per la trave reticolare in 3d si è pensato di utilizzare una maglia regolare di 10 campate ripetute per 5 volte ottenendo cosi una reticolare di 50x25m.

Nonostante la grande luce di 50 m si è pensato per una prima ipotesi di vincolare la trave, solo nelle 4 estremità.

Fig.1

Per rendere più semplice il riconoscimento dei nodi sono stati numerati.

Fig.2

Il default di SAP da come nodi tra le aste degli incastri interni, per ottenere delle cerniere interne è necessario ad ogni asta assegnare momento nullo sia all'inizio che alla fine della medesima.

Fig.3

Si procede andando a definire e ad assegnare  il materiale e la  geometria della sezione.

In questo caso si è deciso di utilizzare l'acciaio e una geometria tubolare.

Fig.4

A questo punto si devono definire i carichi, si è scelto di posizionare le forze sui nodi superiori in modo da rendere il carico più equamente distribuito.

La forza è pari a 30 kn.

il carico che abbiamo impostato, non tiene conto del peso proprio, perchè in SAP genererebbe un momento diverso  da zero sulle aste.

Fig.5

Andiamo ora ad analizzare la deformata.

Fig.6

Il comportamento di questa trave reticolare, è assimilabile a una trave appoggiata, ovviamente in SAP le deformazioni sono portate all'eccesso, nella realtà non è soggetta a questa deformazione evidente.

Fig.7

Nella fase successiva andiamo a calcolare le reazioni vincolari.

Fig.8

Fig.9

Fig.10

Come ci aspettavamo dall'analisi degli sforzi,risulta nullo sia il taglio che il momento, infatti, è presente solo lo sfornzo normale.

Quello che risulta dai grafici, è che non tutte le aste sono sollecitate.

infine, grazie al programma exel, andiamo a vedere le aste più sollecitate, che in questo caso sono le aste n 259 e n 193.

Fig.11

Fig.12

Andiamo ora a vedere come cambia il comportamento di una struttura analoga,  con un numero maggiore  di vincoli.

Fig.13

 

Fig.14

Ripeto gli stessi passaggi, numerazione dei nodi,impongo le cerniere interne, lascio invarito sia la sezione che il materiale e ripotizzo una forza concentrata di 30 kn sui nodi superiori.

Si calcola poi la deformata.

Fig.15

Fig.16

Si passa in seguito ad analizzare le reazione vincolari, che ovviamente sono inferiori rispetto alla struttura vista in precedenza.

Fig.17

Fig.18

Anche qui come si pensava c'è presenza di sono sforzo normale.

Fig.19

Ora tramite il programma exel andiamo a vedere qual'è l'asta più soleccitata.

Fig.20

Come si può vedere le aste più soleccitate sono la n.386, la 388, 405  e la 407.

Ovviamente le sollecitazioni della trave maggiormente vincolata sono inferiori rispetto alla trave che ha solo i vincoli nelle 4 estremità.

Osserviamo il comportamento dei carchi di un solaio di dimensioni scelte arbitrariamente. Calcoliamo quindi la dimensione delle travi del solaio, procedendo con tre tipi di solai: legno, c.a e acciaio.

La dimensione della luce e dell’interasse è rispettivamente di 5 m e 6 m, di conseguenza l’area maggiormente sollecitata è quella centrale pari a 30 mq ( data dal prodotto di luce e interasse stessi). Questa è anche l’area soggetta a maggior sforzo flettente.

 

 

Analizziamo in seguito il carico distribuito (KN/mq) dei materiali che compongono ogni tipo di solaio.

 

Avremo tre tipi di carico.

Due di questi, sono pertinenti ai materiali che compongono strettamente il solaio:

qp : carico permanente, carico degli elementi presenti nel solaio con funzione non strutturale.  

qs : carico degli elementi stutturali

 

Il terzo dipende dalla destinazione d’uso dell’edificio:

qa: carico accidentale , dato da Normativa tecnica.

 

Procediamo al calcolo dei carichi: quelli di cui possiamo calcolare noi il valore sono quello permanente e strutturale, con la seguente formula:

 

qp/ qs = (peso specifico del materiale *volume) / area analizzata

L’area che prendiamo in considerazione è pari a 1mq.

 

Mentre il carico distribuito di tipo accidentale è legato al tipo di destinazione d’uso che daremo al nostro edificio ed essendo dato da Normativa, è un valore tabellato.

Per la destinazione d’uso residenziale qa è pari a 2 KN/mq.

 

SOLAIO IN LEGNO 

 

Il solaio esaminato è costituito dai seguenti strati:

 

Trave portante , il cui dimensionamento è lo scopo dell’esercizio

Travetti , di larghezza 10 cm distanti 40 cm l’uno dall’altro con un peso specifico di 5 KN/m^3

strato di tavolato alto 10 cm con peso specifico di 6 KN/m^3

caldana 5 cm, peso specifico 25 KN/m^3

sottofondo 2 cm , peso specifico 18 KN/m^3

pavimentazione 2 cm , con un peso pari a 0,4 KN/m^2

 

Anche in questo caso si effettuano i calcoli dei carichi , suddividendoli in carichi strutturali, permanenti non strutturali e accidentali.

 

Carichi strutturali ( qs) :

2 travetti : 2*0,010 m^3/m^2 * 5 KN/m^3 = 0,1 KN/m^2

tavolato 0,02 m^3/m^2 * 6 KN/m^3 = 0,12 KN/m^2

 

Qs: 0,22 KN/m^2

 

Carichi permanenti non strutturali ( qp) :

pavimento : 0,04 KN/m^2

cls alleggerito : 0,02 m^3/m^2 * 18 KN/m^3= 0,36 KN/m^2

caldana : 0,05 m^3/m^2*25 KN/m^3= 1,25 KN/m^2

Qp: 1,65 KN/m^2

 

A questi valori si aggiungono i :

tramezzi 1 KN/m^2

Impianti 0,5 KN/m^2

 

 

Carichi accidentali (qa)

 

In questo caso , da valore tabellato , il carico accidentale che assegno al solaio, ipotizzando che la destinazione d’uso sia questa volta una biblioteca , è di 6 KN/m^2.

 

Inserisco i valori nella tabella che calcola autonomamente , con i calcoli preimpostati nel file, il valore del carico complessivo considerando il coefficiente di sicurezza, il momento agente , considerando la luce di 6 m .

 

Inserisco una base e ricavo così un’altezza minima.

Dopo aver scelto una base di 35 cm posso ottenere un’altezza minima di 57,70 cm che approssimo a 60 cm . 

 

Per effettuare la verifica , calcolo ora il peso della trave da inserire nella tabella.

 

Trave in legno lamellare GL24c, con Peso specifico = 3,8 KN/m^3, area = 2100 cm^2

Peso proprio trave= 3,8 KN/m^3*0,21 m^3/m^2 = 0,798 KN/m^2

 

Ora completo il calcolo del carico, inserendo il peso proprio della trave nel calcolo del carico complessivo , ignorando l’interasse, e moltiplicando per il cofficiente di sicurezza 1,3.

 

Data la nuova altezza di 58,23 dal calcolo di verifica, siccome tale altezza si mantiene al di sotto di 60 cm , considero la trave verificata. Sarà dunque sufficiente il profilo scelto prima.  

 

SOLAIO IN ACCIAIO 

 

Ipotizzo di avere un solaio così composto:

 

Pavimento in cotto spesso 2 cm con peso pari a 0,4 KN/m^2

strato calcestruzzo alleggerito 8 cm con peso specifico pari a 18 KN/m^3

Getto in calcestruzzo 12 cm con peso specifico pari a 25 KN/m^3

lamiera grecata 0,8 mm con peso pari a 0,10 KN/m^2

trave secondaria con area pari a 16,4 cm^2 con peso specifico pari a 78,5 KN/m^3

trave principale

controsoffitto in fibra materiale con spessore di 2 cm e peso specifico di 13 KN/m^3

 

 

Per effettuare un dimensionamento della trave innanzitutto faccio un’analisi dei carichi , suddividendoli in carichi strutturali , permanenti e accidentali ( moltiplicati per i corrispettivi coefficienti di riduzione : 1,3 per i carichi permanenti e strutturali e 1,5 per i carichi accidentali).

 

Carichi strutturali :

 

- 2 Travetti IPE 140: 2 x 0,00164 m³/m² x 78,5 kN/m³ = 0,258 kN/m²

 

- Lamiera grecata: 0,08 kN/m²

 

- Getto di completamento in cls: 0,12 m³/m² x 25 kN/m³ = 3 kN/m²

 

Q_Stot= 3,338  kN/m²

 

Carichi permanenti (q_p):

 

- Pavimentazione in cotto: 0,4 kN/m²

 

- Massetto in cls alleggerito: 0,08 m³/m² x 18 kN/m³ = 1,44 kN/m²

 

- Controsoffitto: 0,02 m³/m² x 13 kN/m³ = 0,26 kN/m²

A questi carichi si aggiungono poi prendendo i dati dalla normativa:

- Tramezzi: 1 kN/m²

- Impianti: 0,5 kN/m²

Q_Ptot= 3,6 kN/m²

 

Carichi accidentali (qa )

I carichi accidentali variano a seconda della destinazione d’uso dell’edificio e sono dati da Normativa.

Il caso nostro ,ipotizzando un uso residenziale , richiede un carico accidentale pari a 2 KN/m^2.

 

Assegno alla trave una classe di resistenza, in questo caso la classe scelta è 275, con cui posso conoscere il momento ( 270,43 KN*m) e il modulo di resistenza.

Avendo ottenuto un Wx pari a 1323,41 , posso adottare una trave IPE 450, con Wx uguale a 1500 cm^3.

 

Siccome nei calcoli preliminari avevamo trascurato il peso proprio della trave , posso adesso sistemare i calcoli introducendo tra i carichi della struttura il peso proprio della trave (moltiplicato per il coefficiente di sicurezza 1,3 ma non per l’interasse). 

TRAVE IPE 450 ( Area 84,50 cm^2) : 0,008450 m^3/m^2 * 78,5 KN/m^3= 0,6633 KN/m^2

 

Qtot = 60,097 + (0,6633*1,3) = 60,95 KN/m

 

Con il nuovo risultato del modulo di resistenza Wx, la trave risulta avere una dimensione sufficiente per rientrare nella sicurezza , in quanto il nuovo Wx, 1147,14 cm^3 è al di sotto del Wx scelto in precedenza. Tale profilo risulta dunque adatto.

 

 SOLAIO IN CEMENTO ARMATO

 

 

Il solaio in cemento armato che ho scelto è composto da una stratigrafia così costituita:

 

 

Eseguo il calcolo per conoscere il carico dei materiali che sono sostenuti dalla trave, in modo tale da definire quale sia effettivamente la dimensione giusta delle travi.

Separo dunque i valori dei carichi strutturali da quelli permanenti andandone a calcolare il valore , considerando per ciascun materiale il relativo peso specifico.

 

Carichi strutturali  (qs)

 

travetti : (0,1m*2*0,16m *1m)/1m^2 * 25 KN/m^3= 0,8 KN/m^2

getto caldana : (0,04m *1m*1m)/1m^2* 25 KN/m^3 = 10 KN/m^2

 

Carichi permanenti non strutturali (qp)

 

qp= (0,4m*2*0,16*1)/1m^2 * 5KN/m^3 + (0,04m*1m*1m)/1m^2*16 KN/m^3 + (0,04m*1m*1m)/1m^2 *3,5 KN/m^3 + (0,01m*1m*1m)/1m^2 * 18 KN/m^3 + (0,01 m *1m *1m )/ 1m^2 *0,4 KN/m^3= 1,604 KN/m^2

 

Vado dunque a inerire/determinare i valori mancanti nella tabella.

Classe di resistenza dell’acciaio da armatura : 450 Mpa

Classe di resistenza del calcestruzzo : 40 Mpa

Base trave ipotizzata : 30 cm

Delta : 5 cm

 

Bisogna inserire i valori nelle rispettive caselle affinchè il programma possa fornire un’altezza preventiva della trave

.

 

In questo caso è pari a 61,76 cm.

 

A questo punto è opportuno fare la verifica del peso della trave inserendo il peso proprio nella tabella. Inserisco dunque il carico della trave nel calcolo dei carichi strutturali. Considero il peso della trave dato dal suo volume per il peso specifico ( e moltiplico per il coefficiente di sicurezza dei carichi strutturali 1,3 ).

Di conseguenza l’altezza della trave sarà ricalcolata aumentando il suo valore .

La nuova altezza è 70,08 cm .

Per stare in sicurezza si dovrebbe scegliere un’altezza arrotondata per eccesso al valore appena più alto a quello trovato, multiplo di 5. In questo caso è talmente piccolo il valore decimale che corro il rischio di arrotondarla a meno.

 

Sceglierò dunque una trave con sezione di 70 x 30 cm. 

Scopo di questa esercitazione è quello di effettuare l’analisi dei carichi in tre differenti solai (legno, acciaio, calcestruzzo) al fine di dimensionare la sezione della trave più sollecitata.

Per ottenere il carico totale portato dalla trave, si devono sommare i carichi strutturali (qs), i carichi permanenti (qp) e i carichi accidentali (qa).

Questi carichi verranno inseriti insieme alle misure della struttura, all'interno di un foglio excel che calcolerà l'altezza necessaria della trave in base alla misura della base e delle caratteristiche del materiale in questione

 

Primo passo è quello di ipotizzare un solaio di una struttura. Si individua l'area di influenza della trave maggiormente sollecitata. Il solaio in questione presenta una trave centrale maggiormente sollecitata con un'area di influenza di 24 metri quadri.

_Solaio in legno:

Carico strutturale (qs)

- Travetto 4 x (0,09m x 0,11m) x 8KN/m³ = 0,32 Kn/ m²

Carico permanente (qp)

- Parquet 0,025m x 7,2 KN/m³ = 0,18 KN/m²

- Travetto parquet 3 x (0,13m x 0,08m) x 6 KN/m³ = 0,187KN/m²

- Sostegno in mattoni 12 x (0,125m x 0,25m) x 18KN/m³ = 0,563 KN/m²

- Tavella in cotto 0,03m x 18KN/m³= 0,54 KN/m²

- Massetto 0,085m x 20KN/m³ = 1,7 KN/m²

- Tavolato in pioppo 0,025m x 7KN/m³ = 0,175 KN/m²

- Da normativa di aggiungono dei carichi dei tramezzi (1KN/m²) e degli impianti (0,5KN/m²)

Somma carichi permanenti: 4.85 KN/m²

Carico accidentale (qa)

- Definito da normativa a seconda della destinazione d'uso 2 KN/m²

Dopo aver inserito i carichi nella tabella Excel, si sceglie il legno tipo GL 24h con resitenza a flessione fm,k = 24MPa, e si ottiene quindi la sigma ammissibile. Impostando la base di 25 cm si troverà l'altezza di 51,40cm.

Dato il risultato di ipotizza una trave di progetto di 25 cm x 60 cm e si ipotizza il peso della trave.

Trave portante (0.25m x 0.60m)  x 7KN/m³ = 1.05 KN/m

Aggiungo il peso della trave con un coefficiente di 1.3 al carico totale

Data l'altezza di 57.30 cm la trave può dirsi verificata.

 

_Solaio in acciaio:

Carico accidentale (qa)

- Definito da normativa a seconda della destinazione d'uso 2 KN/m²

Per dimensionare la trave è necessario confrontare il modulo di resistenza Wx dato dalla tabella Excel con i moduli di resistenza dati dal profilario.

Possiamo quindi prendere come trave una IPE 360 con Wx=904 cm³.

Si inserisce il peso della trave con il profilo deciso

Trave portante  0.00727 m² x 78,50 KN/m³ = 0,57 KN/m

Aggiungo il peso della trave con un coefficiente di 1.3 al carico totale

Dato che il modulo di resistenza non supera quello del profilato, la sezione è verificata

 

_Solaio in cemento armato:

 

Carico accidentale (qa)

- Definito da normativa a seconda della destinazione d'uso 2 KN/m²

Dato che l'altezza rusultante è di 35.03 cm, si ingegnerizza a 40 cm

Si inserisce il peso della trave con l'altezza decisa

Trave portante 0,30 m x 0,40 m x 25 KN/m² = 3 KN/m²

Si aggiunge al q totale il peso della trave con un coefficiente di sicurezza di 1.3

Dato che l'altezza risultante è di 36.59, e quindi NON è maggiore di quella ingegnerizzata precedentemente, la sezione è verificata

 

L'esercizio riguarda la progettazione di una trave principale per 3 tecnologie costruttive: il calcestruzzo armato, il legno e l'acciaio.

Quindi partendo da uno schema strutturale a telaio, bisogna individuare quali sono le aree d'influenza dei solai per ogni trave, e capire  quale di esse e' la piu' sollecitata. 
Ogni campo di solaio distrubuisce le proprie sollecitazioni per meta' interasse sulle travi laterali, dunque individuiamo quella che si carica di 2 campi di solai i quali abbiano anche i 2 interassi maggiori rispetto agli altri: tale viene definita da noi TRAVE PRINCIPALE, e sara' l'ogetto del nostro studio.

Dallo schema strutturale del solaio risulta che la trave maggiormente sollecitata e' quella nel tratto AB sull'allineamento 2, con a parita' di luce rispetto agli allineamenti 1,3 e 4, presenta l'interasse maggiore.

Dunque individuata la trave, indivuduata la sua area d'influenza si procende con l'analisi dei carichi, le sommatorie dei carichi strutturali portanti, strutturali non portanti e  accidentali, moltiplicate per dei fattori di sicurezza.

 

 

Tali dati verranno inserito nel foglio di calcolo office Excel, pre-impostato con le funzioni di calcolo del momento risultante, nel quale inseriamo la classe di resistenza del CLA utilizzata dal progettista (da me), la base della trave, ed altri coefficenti necessari ad ottenere l'output richiesto, cioe' l'altezza utile della trave.

Da come si evince, otteniamo un'altezza utile di 43,53 cm, alla quale dobbiamo prevedere un copriferro di h=5 cm, ma non collaborante, e arrotondare al primo multiplo di 5 superiore: risultato finale H=50 cm. Il procedimento del calcolo prevede dunque una verifica, cioe' bisogna capire se la trave e' verificata anche con il suo peso proprio, fuori calcolo fino a questo momento, poiche' avevamo l'incognita dell'altezza. Reiterando il calcolo notiamoche in realta' un altezza di 50cm non era piu' verificata.

 

 

L'esercizio dunque prevede la progettazione della stessa trave per la tecnologia del legno.

Dal pacchetto di solaio da me ipotizzato procedo con l'analisi dei carichi:

in questo caso l'altezza progettata nella prima fase viene verificata, anche se per pochi mm.

 

Dimensionamento trave con tecnologia costruttiva dell'acciaio:

 

dal pacchetto di solaio ipotizzato procedo con l'analisi dei carichi:

 

 

in questo caso ho ipotizzato una trave HE-B 280, la quale si dimostra soddisfare la verifica.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Partendo dalla scelta di un pacchetto di un solaio (in legno, in acciaio o in cemento armato), precedentemente definito per destinazione d’uso nei suoi materiali e relative misure, è possibile dimensionare la sua trave portante. Attraverso l’uso di un foglio di calcolo Excel, inserendo i carichi previsti, che graveranno sulla struttura portante, e la misura scelta per la base della trave in analisi, si può ottenere l’altezza minima richiesta per soddisfare la resistenza di quest’ultima al peso totale del solaio.

Il procedimento da seguire è:

1. Dimensionare il solaio tipo:

     (Nel mio caso ho scelto un solaio di 12m x 9m. Ciascuna trave ha una luce di 6m e un’area d’influenza dei carichi del pacchetto di 6m x 3m.)

2.      Evidenziare la trave più sollecitata e la sua rispettiva area d’influenza, ossia la porzione di solaio che grava con il suo carico sulla trave scelta. Quindi definirne luce ed interrasse.

3.      Passare alle fasi di calcolo delle singole componenti che caratterizzano il solaio scelto (in legno, in acciaio e in cemento armato), prendendo in esame un campione di 1 mq.

3.1       Suddividere gli elementi del pacchetto in carichi strutturali (qs), carichi permanenti (qp) e carichi accidentali (qa), escludendo momentaneamente il peso della trave in analisi.

3.2       All’interno di ciascuna categoria, calcolare il peso totale, dato dalla somma del peso dei diversi materiali (in 1 mq di solaio), ottenuto con la formula:

              P= γ V         (dove γ= peso specifico del materiale)

3.3       Scegliere l’altezza della trave richiesta, rispetto ai valori finali ottenuti dai calcoli e riguardanti le caratteristiche minime che essa deve avere per sopportare il carico totale. Quindi calcolare il suo peso e sommarlo ai carichi strutturali (definiti nel primo punto).

3.4       Svolgere la verifica di resistenza.

Vediamo in dettaglio i tre esempi di solaio:

 

SOLAIO IN LEGNO:

- Carichi strutturali _ qs:  

MATERIALE	DIMENSIONI	γ (Peso Specifico)	PESO TOTALE
3 travetti in legno di Castagno	(8 x 10 x 100) cm	5,69 KN/m3	0,136 KN/m2

- Carichi permanenti _ qp:

MATERIALE	DIMENSIONI	γ (Peso Specifico)	PESO TOTALE
tavolato in legno di castagno	(2,5 x 100 x 100) cm	5,69 KN/m3	0,14 KN/m2
Caldana _ malta leggera	(4 x 100 x 100) cm	8 KN/m3	0,32 KN/m2
isolante in fibra di legno	(4 x 100 x 100) cm	0,18 KN/m3	0,0072 KN/m2
sottofondo in malta di calce	(3 x 100 x 100) cm	18 KN/m3	0,54 KN/m2
pavimento in cotto	(2 x 100 x 100) cm	24 KN/m3	0,48 KN/m2

- Carichi accidentali _ qa:

Ambiente ad uso residenziale = 2 KN/m²

      - Base della trave – misura arbitraria = 20 cm

     

     Come si vede nella prima riga della tabella, con una base di 20 cm si ottiene un’altezza di 39,50 cm.

     Decido di optare per una trave di legno di castagno di base (20 x 45) cm; aggiungo il suo peso ai qs già trovati.

     Per l’analisi della resistenza, calcolo la sig_massima = M/W_x = 77,8113/ 0,00675 = 11,53 N/mm²        (dove W_x = bh²/6, per le sezioni rettangolari).

     Siccome: sig_amm > sig_massima  la resistenza è verificata.

 

SOLAIO IN ACCIAIO:

- Carichi strutturali _ qs:  

MATERIALE	DIMENSIONI	γ (Peso Specifico)	PESO TOTALE
2 travetti_IPE 200	Area: 28,50 cm2	78,50 KN/m3	0,45 KN/m2
soletta di lamiera grecata + massetto	(10 x 100 x 100) cm	18,6 KN/m3	1,86 KN/m2

- Carichi permanenti _ qp:

MATERIALE	DIMENSIONI	γ (Peso Specifico)	PESO TOTALE
isolante in fibra di legno	(4 x 100 x 100) cm	0,18 KN/m3	0,0072 KN/m2
massetto	(3 x 100 x 100) cm	18 KN/m3	0,54 KN/m2
pavimento in cotto	(2 x 100 x 100) cm	24 KN/m3	0,48 KN/m2
Controsoffitto in gesso	(2 x 100 x 100) cm	13 KN/m3	0,26 KN/m2

- Carichi accidentali _ qa:

Ambiente ad uso residenziale = 2 KN/m²

-       fy, k = 235 Mpa

      W_x = 507,37. Scelgo per la trave il modello IPE 300 (W_x = 557 cm³).

MATERIALE	DIMENSIONI	γ (Peso Specifico)	PESO TOTALE
Trave IPE 300	Area: 53,80 cm2	78,50 KN/m3	0,42 KN/m2

      Aggiungo il peso della trave nei qs e ottengo una W_x = 543,44 cm³ < 557 cm³.

      La trave è quindi adeguata per sostenere i carichi del solaio.

 

SOLAIO IN CEMENTO ARMATO:

 

- Carichi strutturali _ qs:  

MATERIALE	DIMENSIONI	γ(Peso Specifico)	PESO TOTALE
2 pignatte	(16 x 25 x 40) cm	5,50 KN/m3	0,7 KN/m2
2 travetti di cls	(16 x 10 x 100) cm	25 KN/m3	0,8 KN/m2
Soletta in cms	(4 x 100 x 100) cm	24 KN/m3	0,96 KN/m2

- Carichi permanenti _ qp:

MATERIALE	DIMENSIONI	γ(Peso Specifico)	PESO TOTALE
isolante in fibra di legno	(4 x 100 x 100) cm	0,18 KN/m3	0,0072 KN/m2
massetto	(3 x 100 x 100) cm	18 KN/m3	0,54 KN/m2
pavimento in cotto	(2 x 100 x 100) cm	24 KN/m3	0,48 KN/m2
intonaco in gesso	(1 x 100 x 100) cm	13 KN/m3	0,13 KN/m2

- Carichi accidentali _ qa:

Ambiente ad uso residenziale = 2 KN/m²

-       fy = resistenza dell’armatura = 450 Mpa

-       Rck = resistenza del cls = 50 Mpa

-       Base – misura arbitraria = 20 cm

-       Delta = 5

TRAVE: Altezza (per una base di 20 cm) = 34,21 cm

           P = 1,71 KN/m²

sig_massima = 109,12/ 0,004 = 27,28 N/mm² < 28,33 N/mm² = sig_amm

La resistenza è verificata.