SdC(b) (LM PA)

EXE5_MODELLAZIONE GEOMETRICA DELL’ARCO E SUA ANALISI SU SAP2000.

Con quest’esercitazione si prendono in esame tre differenti tipologie di arco:

• Arco a tutto sesto, con altezza (h) = 300 cm
• Arco ribassato, con altezza (h) = 150 cm
• Arco parabolico, con altezza (h) = 400 cm

Ipotizzando che tutte e tre le strutture abbiano una sezione di 30x40cm in calcestruzzo armato, una luce (L) pari a 600cm; tutte ugualmente soggette a un carico uniformemente distribuito pari a 10 KN/m; possiamo metterle su Sap2000 e analizzarne il comportamento:

Prima di andare sul programma, disegniamo i tre diversi tipi di arco su AutoCAD, avendo cura di spezzare ognuno di essi in chiave e di non disegnare con il layer 0. 

 

Elenco i passaggi chiave per l’analisi con Sap2000:

Step1: Dopo aver salvato il file in Dxf2004 importiamolo su Sap2000 prestando molta attenzione alle unità di misura.

 

Step2: Assegniamo il vincolo esterno della cerniera alle due sezioni d’imposta dell’arco: selezionare punti in imposta --> Assegna --> Nodo --> Vincoli Esterni --> Cerniera.

 

Step3: Assegniamo il vincolo interno della cerniera al punto in chiave dell’arco, selezionandone le due aste più vicine e rilasciandone i momenti 33 in entrambe le direzioni: Assegna --> Frame --> Rilasci/SemiIcastri --> spuntare rilasci, sia inizio che fine, del momento 33 (maggiore).

 

Step4: Assegniamo un materiale e una sezione alla struttura: selezioniamo tutto l’arco --> Assegna --> Frame --> Sezioni Frame --> Agg. Nuova Proprietà --> Concrete --> Nome sezione --> inseriamo Altezza (0.30) e Larghezza ( 0.40) --> ok.

 

Step5: Carichiamo la struttura con un carico distribuito pari a 10 KN/m: selezioniamo tutto l’arco --> Assegna --> Carichi Frame --> Distribuito --> + --> inseriamo un nome al nuovo carico e azzeriamone il peso proprio --> Agg. Nuovo Schema Carico --> Direzione Gravity Projected --> e inseriamo il valore di carico uniforme pari a 10.

Step6: Avviamo l’analisi e studiamo i diagrammi ottenuti.

 

Ripetendo questi semplici passaggi per ogni struttura, ad arco, progettata, possiamo, in seguito, procedere con il confronto dei diagrammi e le conclusioni. 

 

ARCO A TUTTO SESTO:

• Deformata

• Reazioni vincolari

• F. Assiale 

• Taglio

• Momento

 

ARCO RIBASSATO:

 

• Deformata

• Reazioni vincolari

• F. Assiale 

• Taglio

• Momento

 

ARCO PARABOLICO:

 

• Deformata

• Reazioni vincolari

• F. Assiale 

 

Concludendo, possiamo affermare che la geometria dell’arco, in termini strutturali, tanto più è ribassata tanto più è spingente, cioè tanto più la sua altezza è minore della metà della sua luce (campata) tanto più è “arco”!!!

         

                                                                                         - fine -

                                                                                             A.

 

 

 

 

Analisi di tre tipologie di struttura ad arco.

 

Abbiamo analizzato diverse tipologie di strutture ad arco, dove sono stati creati e messi a confronto tre sistemi strutturali vincolati in egual modo, dove l’unico elemento che cambiava era la forma.

Uno è l’arco parabolico, uno l’arco a tutto sesto e arco ribassato.

Gli archi sono tutti definibili come archi a tre cerniere. L’unico elemento quindi, che li contraddistingue , e dunque li fa lavorare diversamente, è la loro forma.

Essendo tutti archi, tutti e tre rispondono ai carichi verticali per compressione più che per flessione.

Lavorano quindi come strutture spingenti, esercitando cioè la cosiddetta forza di spinta nella sezione in chiave.

La forza di spinta è data da una formula parametrizzata, pari a:

H= ql^2/2f 

Da cui si capisce bene che i parametri da cui dipende la forza di spinta sono la luce l e la freccia f.

La formula spiega come, da una relazione di luce e freccia dell’arco è possibile ricavare la forza centrale che fa perno sulla sommità dell’arco , la quale, in assenza di vincoli rischia di provocare dunque una possibile perdita di forma e dunque una deformata.

Ma ciò non accade, perché la controspinta delle cerniere all’imposta dell’arco esercita una forza uguale e contraria a quella in sommità, impedendole di sbilanciare la struttura.

 

 

 

 

Per svolgere l’esercitazione su SAP, sono stati seguiti degli step.

Innanzitutto il disegno dell’arco realizzato su autocad , uno per ogni tipo di arco, tutti spezzati in chiave.

Essi sono stati successivamente riportati in SAP , dove sono seguite le seguenti fasi in tutti e tre i casi:

 

-Rilascio dei momenti nel punto centrale interno all’arco

( assign --> frame --> release partial fixity --> spunta sulla casella m3-3 peima start , poi end , in due riprese differenti, questo dopo aver selezionato i due segmenti ai lati del punto di chiave in sommità uno per volta)

 

-Impostazione dei vincoli cerniere all’imposta dell’arco ( seleziono punti di imposta -->assign -->joint -->restraints-->selezione del vincolo cerniera.)

 

-Assegnazione del materiale e delle caratteristiche di sezione

( Seleziono la struttura per intero --> assign --> frame --> frame section --> add new -->scelta del materiale concrete --> assegnazione base e altezza)

 

-Assegnazione del carico uniformemente distribuito di valore q=10KN/m (selezione completa dello schema strutturale-->assign --> frame loads--> distributed --> add new  (carico self multiplier =0) , selezionare la spunta dal menù a tendina gravity pojected  - assegnazione del valore nella stringa “load”)

 

-Avvio dell’analisi ( Run Analysis)

 

-Visualizzazione dei valori di sforzo assiale , taglio, momento flettente (show forces, frame)

-Verifica dei valori delle reazioni vincolari in cerniera

 

Di seguito gli screenshot delle varie fasi descritte in precedenza, affrontate per ogni tipo di arco :

Arco a tutto sesto :

 

l= f = r = 1 m

q=10 KN/m

H=ql^2/2f = (10 KN/m*1m)^2/2f  =50 KN

ql ( reazione vincolare verticale cerniera all’imposta ) = 10 kN/m *1,00 m =10kN

Rilascio momenti

 

Impostazione cerniere

Impostazione sezione

Forza uniformemente distribuita

Configurazione deformata 

 

Grafici sforzi assiali 

 

Arco ribassato :

 

l = 3 m

f = 2 m

q=10 KN/m

H=ql^2/2f = (10 KN/m*1m)^2/2f  =50 KN

ql ( reazione vincolare verticale cerniera all’imposta ) = 10 kN/m *1,00 m =10kN

 

Immagine 3d arco ribassato

Arco ribassato applicazione carico uniformemente distribuito 

 

 

 

Arco ribassato con carico distribuito agente 

 

Arco ribassato deformata 

 

 

Arco ribassato grafici sforzo assiale

 

Arco ribassato grafici momento

 

Arco parabolico :

 

l = 2 m

f = 3 m

q=10 KN/m

H=ql^2/2f = (10 KN/m*3m)^2/2*3  = 150 KN

ql ( reazione vincolare verticale cerniera all’imposta ) = 10 kN/m *1,00 m =10kN

 

 

Arco parabolico sezione applicata 

 

 

 

 

 

 

Arco parabolico carico uniformemente distribuito applicato

 

 

 

Arco parabolico deformata

 

 

Arco parabolico grafici sforzo assiale 

con questa esercitazione si mettono a confronto tre diverse tipologie di arco

1. arco a tutto sesto    l=20 m; f=10 m
2. arco ribassato         l=20 m; f=5 m
3. arco parabolico       l=20 M; f=20 m

tutti sottoposti ad un carico di 20 KN, i tre archi hanno le seguenti deformate

i grafici degli sforzi

le reazioni vincolari agli appoggi

è interessante notare come, tra i tre archi, quello ribassato (al centro) è quello più spingente avendo tutti la stessa luce e avendo caricato tutti allo stesso modo 

Gli archi rientrano nella categoria di strutture che lavorano per forma e non per massa. Sono strutture spingenti, che ottimizzano al meglio il materiale lavorando a sforzo normale, molto efficaci nel superamento di grandi luci

ARCO CIRCOLARE ISOSTATICO A TUTTO SESTO:

Dopo aver disegnato l'arco su autocad e averlo importato in dxf su sap si procede all'analisi della struttura.

si impostano le tre cerniere all'imposta e in chiave, rilasciando in chiave il momento in corrispondenza della cerniera.

seleziono l'arco e assegno una sezione rettangolare 0,3 m x 0,4 m

SI assegna poi il carico distribuito lungo la linea d'asse dell'arco, e non sulla sua proiezione a terra (comando: assign-frame loads-distribuited)

Come si nota il valore dello sforzo assiale fa capire come il carico si sia distribuito equamente sui due tratti dell'arco e che è massimo all'imposta ( Q*luce) e la metà in chiave (Q*luce/2). Inoltre il grafico del momento dimostra il suo annullamento in corrispondenza delle tre cerniere in chiave e alle imposte.

 

ARCO PARABOLICO:

Con lo stesso procedimento dell'arco precedente si procede all'analisi dell'arco parabolico. Ci si aspetta che il taglio e il momento flettente siano nulli e che il carico uniformemente ripartito sull'orizzontale si trasformi completamente in sforzo normale (è infatti un arco funicolare e non catenario).

impongo le tre cerniere e il rilascio del momento in chiave in corrispondenza della cerniera interna, e applico sempre un carico distribuito.

Il valore dello sforzo normale all'imposta corrisponde al valore della spinta dell'arco parabolico.

 

 

Per poter resistere a forze sismiche, cioè orizzontali, è necessario che le strutture siano in qualche modo controventate, e in generale ogni telaio dell'edificio rappresenta un controvento. In questo caso i telai sono di tipo Shear-type, modello teorico ideale di telaio, dove i nodi sono tutti incastri e la trave è infinitamente rigida (molto resistente a flessione) con momento di inerzia maggiore di quello dei pilastri: essa prende la maggior parte del momento e del taglio. La deformata vedrà quindi la trave soggetta solo a traslazione orizzontale rigida (con solo spostamento) e non a deformazione assiale, e avendo rotazione nulla all'incastro essa "trascinerà" i pilastri che quindi si deformeranno in quanto soggetti a flessione.

Alla forza orizzontale che agisce sull'impalcato (che diventa corpo rigido piano), il telaio reagirà con altrettante forze orizzontali, cioè i tagli che nascono in corrispondenza di ogni pilastro. Il legame che sussiste tra il taglio in quel punto e lo spostamento della trave è la rigidezza k del controvento. In corrispondenza di ogni controvento della struttura è perciò rappresentata una molla, che indica la rigidezza di ogni controvento della struttura.

Decisa l'altezza dei pilastri pari a 4 m e la loro sezione pari a 40 cm x 40cm, e il materiale, ( c.a.), con il supporto di un foglio excel si determina il centro delle rigidezze del telaio e la ripartizione delle forze sismiche.

STEP 1: si calcolano le rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio analizzando telaio per telaio. Si inseriscono quindi i valori di E, H, I, e ottengo la rigidezza di ogni telaio.

E, modulo di elasticità del c.a. con classe di resistenza C 25-30 è pari a 31500 MPa (N/mm²)

H = 4 m

I = bh³/12= 213333 cm⁴

STEP 2: la tabella mostra tutte le rigidezze dei vari controventi, e le loro distanze dal punto di origine , cioè in corrispondenza del pilastro 8.

STEP 3:  calcolo delle coordinate del centro delle masse (baricentro, dove "confluiscono" le forze esterne applicate alla struttura). Si suddivide l'area totale dell'impalcato in aree più piccole, di cui si calcolano i singoli centri di massa, ottenendo poi le coordinate del centro di massa dell'intera struttura.

STEP 4:  calcolo delle coordinate del centro delle rigidezze

STEP 5:  dati i carichi di un solaio in c.a. (presi dalla scorsa esercitazione) e moltiplicati per l'area dell'impalcato si ottengono G e Q totali sulla struttura. Essi si moltiplicano per il coeff. di contemporaneità ottenendo i pesi sismici W, da moltiplicare a loro volta per il coeff. di intensità sismica, ottenendo la forza sismica totale agente.

STEP 6-7:  si ottiene quindi la ripartizione delle forze sismiche Fx e Fy, il momento torcente Mx e My ricavati moltiplicando la forza sismica per la differenza tra le coordinate (le x per My e le y per Mx) del centro delle rigidezze e delle masse (quindi M_x= F(Y_C-Y_G) e M_y= F(X_C-X_G) ).

Lo spostamento traslante lungo la direzione x sul piano dove giace l'impalcato è pari a δ   ( da F= K x δ)

La rotazione dell’impalcato = Mx/ K_tot

Le forze su ciascun controvento si ricavano moltiplicando: rigidezza controvento * distanza dall’origine del controvento * rotazione impalcato.

 

Si realizza la struttura su SAP per verificare la deformata e avere i valori delle sollecitazioni

Attraverso lo strumento Grid Only realizzo una griglia di base su cui costruire i telai della struttura, e assegno poi vincolo di incastro alla base dei pilastri disegnati.

Si assegna poi la sezione dei pilastri e delle travi (per renderle idealmente infinitamente rigide vado ed aumentare il modulo E e l'altezza della sezione è anch'essa molto alta).

Si disegna poi il centro delle masse sul piano dell'impalcato dato dalle coordinate calcolate prima in excel.

Dopo aver impostato la forza sismica agente sul centro delle rigidezze si ottiene la deformata classica del modello di telaio shear-type, dove ogni punto del piano orizzontale del solaio trasla orizzontalmente. Si nota anche una leggera rotazione dell'impalcato, dovuta al fatto che il centro delle masse non coincide precisamente con il baricentro della strutttura

EXE3_VERIFICA ABBASSAMENTO TRAVE A SBALZO:

Con riferimento alla pianta strutturale (sopra disegnata) di un solaio nel quale sono presenti delle travi a sbalzo e ipotizzandone tre tecnologie, siano esse: legno – acciaio – c.l.s. armato, verifichiamo, con quest’esercitazione, l’abbassamento della trave predisposta al sostenimento di tale sbalzo, in riferimento al rapporto di verifica che ci dice: abbassamento < luce_sbalzo/250.  

Consideriamo un interasse di 500 cm e una luce di 300 cm.

Con riferimento alle tecnologie scelte per l’EXE2, in precedenza postata, consideriamo che nel caso di trave incastrata, da un lato, e con un estremo libero, dall’altro (la così detta mensola), il momento flettente M è pari a ql²/2.

 

 

Tipologia di LEGNO: 

Utilizzo un tipo di legno lamellare con un modulo di resistenza a flessione (f_m,k) pari a 24 N/mm², e un modulo di elasticità (E) pari a 8000 N/mm², avremo: 

Il dimensionamento risulta corretto e il rapporto: abbassamento < luce_sbalzo/250 è verificato.

 

Tipologia di ACCIAIO: 

Utilizzo un valore pari a 275 N/mm² per la tensione/resistenza caratteristica di snervamento dell’acciaio (f_y,k), e  un modulo di elasticità (E) pari a 210000 N/mm², avremo:

Alla fine scegliamo una IPE400, della quale consideriamo:

Peso = 66,3 Kg/m

Momento d’inerzia (Jx) = 23130,0 cm⁴

 

Il dimensionamento risulta corretto e il rapporto: abbassamento < luce_sbalzo/250 è verificato.

 

Tipologia di C.L.S armato: 

Utilizzo modulo di resistenza a flessione (f_c,k) pari a 40 N/mm² ,della classe di resistenza del calcestruzzo ordinario C32/40, e un modulo di elasticità (E) pari a 21000 N/mm², avremo: 

Il dimensionamento risulta corretto e il rapporto abbassamento < luce_sbalzo/250 è verificato.

 

 

                                                                           - fine -

                                                                               A.

 

 

 

 

 

 

 

L'ARCO

Prendiamo in considerazione 3 archi: arco a tutto sesto, arco ribassato e arco parabolico.

Mantenendo la stessa luce di 6 metri e lo stesso carico, facciamo variare la freccia.

1. Arco a tutto sesto: L=6m; f=3m
2. Arco ribassato: L=6m; f=1,5m
3. Arco parabolico: L=6m; f=6m

In questo modo dovremmo capire meglio i comportamenti dei 3 archi. Dai risultati si dovrebbe evincere come un arco più è ribassato, più è “arco”. Infatti, gli archi lavorano prevalentemente a sforzo normale ed è l’arco ribassato che prende i carichi e li trasforma maggiormente in sforzi normali.

Per studiare il comportamento dei 3 archi, utilizziamo SAP. Disegniamo su Autocad 3D o Rhinoceros l’arco ed importiamolo in formato dxf su SAP.

Dopo averlo importato, speziamo l’arco nella sezione di chiave e facciamo il rilascio dei momenti in chiave a applichiamo un carico distribuito pari a 10KN.

1. ARCO A TUTTO SESTO:

L'arco a tutto sesto o semicircolare è un tipo di arco contraddistinto da una volta a semicerchio. È la tipologia più semplice di arco e prevede che il centro verso il quale convergono i giunti si trovi sulla linea d'imposta, cioè su quella linea che unisce i punti dove finiscono i sostegni e inizia l'arco.

Si avrà questa deformata:

Le reazioni vincolari saranno:

Il grafico degli sforzi assiali:

Il grafico dei momenti:

2. ARCO RIBASSATO:

Un arco si dice ribassato quando il centro verso il quale tendono i giunti dei cunei si trova più in basso della linea d'imposta.

Si avrà questa deformata:

Le reazioni vincolari saranno:

Il grafico degli sforzi assiali:

Il grafico dei momenti:

3. L'ARCO PARABOLICO:

Si avrà questa deformata:

Le reazioni vincolari e il grafico degli sforzi assiali saranno:

CONCLUSIONE

Se osserviamo i grafici degli sforzi normali possiamo dedurre:

Arco a tutto sesto:

• All’imposta: N=30,38 KN
• In chiave: N=15 KN

Arco ribassato:

• All’imposta: N=42,15 KN
• In chiave: N=30 KN

Arco parabolico:

• All’imposta: N=7 KN
• In chiave: N=30,92 KN

Per quanto riguarda le reazioni vincolari si può facilmente vedere come la struttura più spingente sia l’arco ribassato, infatti la reazione vincolare orizzontale è 30KN, mentre quella dell’arco a tutto sesto è 15KN (la metà), e quella dell’arco parabolico è 7,50KN (un quarto). Praticamente l’arco ribassato ha una spinta doppia rispetto all’arco circolare ed ha sforzo normale maggiore.

30KN>15KN>7,50KN

Dai grafici dei momenti si può vedere come l’arco ribassato ha più sforzo normale e quindi meno momento flettente rispetto all’arco circolare.