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Si tratta di un nodo tridimensionale in C.A., materiale che assicura l'omogeneità.

La struttura è 12 volte iperstatica, perchè per ogni incastro tridimensionale ha 6 gradi di vincolo per un totale di 18 gradi di vincolo, ma ha anche 6 gradi di libertà, 18 - 6 = 12

Lavoreremo solotanto sul piano XZ trascurando l'asta EC appartenente al piano YZ. Consideriamo l' asta ED ( mensola con carico ripartito quindi isostatica) separata dal resto della struttura, e ne studiamo Momento e Taglio per applicarli al nodo D:

                      

Essendo qL in asse con il pilastro, e considerando la rigidezza assiale molto più grande di quella flessionale, non la consideriamo.

Sul piano XZ il momento flettente (qL²)/2  provova una rotazione dell'asta DB e DA e genera un momento torcente sull' asta DC, perpendicolare al piano dove  agisce il momento flettente, che vale: 

Rt*φ

dove Rt è la rigidezza torsionale e vale

Rt = (GJt)/L

dove G è il modulo di elasticità tangenziale, ed è una caratteristica del materiale

G = τ/γ

e Jt è il momento d'inerzia torsionale

                                

Facciamo la verifica al nodo D della struttura 3D considerando tutti i momenti:

(qL²)/2- [(4EJ)/L]*φ - [(4EJ)/L]*φ - [(GJt)/L]*φ =0 -> (qL²)/2 = φ([(4EJ)/L] + [(4EJ)/L] + [(GJt)/L]) -> 

φ = [(qL²)/2] * (1/K) dove ([(4EJ)/L] + [(4EJ)/L] + [(GJt)/L]) = K (rigidezza del nodo)

sostituendo il valore della rotazine nel momento flettente e nel momento torcente si ha:

Mf = (2EIql)/K

Mt = (GJtql)/2k

Considerando diverse sezioni per la struttura, i valori dei due momenti ( flettente e torcente) varieranno al variare del materiale (acciao e cls ) e della geometria della sezione:

VERIFICA SU SAP:

SEZIONE HE 

b = 20 cm 

h = 20 cm

tw = 1 cm

tf = 1,5 cm

SCATOLARE QUADRATO

l = 20 cm 

t = 1 cm

SEZIONE RETTANGOLARE (cls)

a = 67 cm

b = 15 cm

SEZIONE CIRCOLARE (cls)

r  = 18 cm

 

Esercitazione_9.0

graticcio di travi (risoluzione a mano e tramite software SAP2000)

 

1_

Il sistema proposto risulta essere un sistema tridimensionale composto da travi aventi la stessa sezione di lunghezza 12m con una forza puntuale pari a 100 kN. Lo scopo dello studio del sistema risulta essere quello di comprendere il funzionamento del sistema a graticcio e come il nodo 1 si abbassa e ruota in funzione della forza applicata, lo studio successivamente verrà incentrato sulla sezione ed il materiale della trave soggetta a torsione, per comprendere come quest’ultimi influiscano a parità di azioni esterne.

 

 

 

2_

Per poter studiare la struttura in maniera più semplice, quest’ultima viene studiata attraverso gli schemi notevoli dei diagrammi della deformata. Lo schema presenta però una complicazione, in quanto il nodo 1 non risulta essere posizionato in mezzeria, quindi la forza applicata genera una rotazione φ1. Studiando di conseguenza le due travi della struttura, si può comprendere come la rotazione φ1 della trave CD dovrà necessariamente essere uguale all’abbassamento δ della trave AB. Da questo si può dedurre che sulla trave CD sono presenti due tipi di deformazioni (la rotazione φ1 e l’abbassamento δ), mentre sulla trave AB solo quella verticale (δ).

La struttura verrà studiata dividendo le due azioni agenti sulla trave, usando alla fine il metodo della sovrapposizione degli effetti.

 

 

trave AB_abbassamento δ

 

 

Lo studio dei momenti flettenti per la trave AB, ci fa vedere come quest’ultimi si annullano e quindi di conseguenza non verranno riportati nei calcoli successivi.

 

trave CD_abbassamento δ

 

 

trave CD_rotazione φ1

 

 

 

3_

Come si può dedurre dallo studio eseguito su rotazioni ed abbassamenti si può comprendere come la trave AB presenta solamente una deformazione di abbassamento verticale; ciò nonostante l’inflessione della trave CD genera su di essa un momento torcente. La trave AB quindi reagirà alla sollecitazione prodotta dalla trave CD con un momento torcente di verso opposto alla rotazione definita da quest’ultima.

 

 

Successivamente si procederà studiando l’equilibrio del nodo 1, inizialmente studiando l’equilibrio alla traslazione verticale e successivamente l’equilibrio alla rotazione.

 

Eq. alla traslazione verticale nodo 1

 

 

Eq. alla rotazione nodo 1

 

 

Ci si presenta quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite.

 

4_

Possiamo ora attraverso un software WolframAlpha (computational knowledge engine) per poter risolvere il sistema:

 

5_

Successivamente alla risoluzione a mano del sistema del nodo si procede con la verifica tramite il software SAP.

 

La modellazione viene effettuata per comodità direttamente in SAP.

creare un nuovo file con una griglia utile al disegno dell’asta:

FILE > NEW MODEL >

 

 

QUICK GRID LINES > impostare 9 assi sull’asse x, 9 sull’asse y e 1 sull’asse z > impostare come GRID SPACING la dimensione che vorremo dare alla lunghezza della trave

 

 

le impostazioni date alla griglia dovrebbero produrre una condizione analoga alla seguente:

 

 

disegnare le aste della trave seguendo la spaziatura della griglia preimpostata.

 

 

assegnare i vincoli: 

selezionare il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > spuntare le sollecitazioni che il vincolo da posizionare trattiene

 

 

vengono assegnati incastri sulle 4 aste

 

N.B. In questo tipo di esercizi, impostiamo l’analisi in modo che non consideri il peso proprio della struttura (che costituirebbe un carico distribuito su travi che si deve considerare scariche). 

Ciò viene fatto creando un nuovo LOAD PATTERN che abbia 0 come coefficiente di moltiplicazione del carico SELF WEIGHT MULTIPLER.

 

 

Si procede con l’assegnazione dei carichi con il comando ASSIGN > JOINT LOADS > DISTRIBUTED, trattandosi di un’idealizzazione per la quale i carichi sono distribuiti.

 

 

Possiamo ora avviare l’analisi. Il software mostra per prima cosa l’andamento della deformata.

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > SHEAR 22

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > MOMENT 33

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

Possiamo ora avviare l’analisi della struttura in funzione delle varie sezioni assegnate.

 

ACCIAIO

SEZIONE QUADRATA CAVA

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

HEA 200

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

SEZIONE CIRCOLARE CAVA

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

CA

SEZIONE RETTANGOLARE 15cm_67cm

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

SEZIONE CIRCOLARE 36cm

 

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > TORSION

 

 

 

 

 

 

 

Esercitazione 9

 

Graticcio di travi

Un graticcio di travi è un sistema strutturale in cui travi non parallele tra loro collaborano, in modo non gerarchico ma proporzionale alla propria rigidezza, all’equilibrio del sistema stesso. 

Esaminiamo in questa esercitazione in che modo le sollecitazioni dovute ad una forza F applicata nel nodo vengono spartite tra le travi.

TRAVE A-C

Essendo la forza applicata ad l/3, nel punto di applicazione saranno diversi da 0 sia l’abbassamento δ che la rotazione φ. 

Possiamo quindi analizzare le deformazioni separatamente per poi fare uso del principio di sovrapposizione degli effetti. 

δ ≠ 0 ; φ = 0 .

φ ≠ 0 ; δ = 0 .

TRAVE B-D

In questa trave la forza è applicata a l/2, quindi nel punto di nullo del momento, per cui 

χ = 0. L’unica deformazione dovuta a F presente sarà quindi δ. 

Nondimeno, essendo il nodo un elemento rigido, la rotazione φ della sezione della trave A-C si presenta come torsione per l’elemento B-D. 

 

Sovrapponendo quindi tutti gli effetti dovuti ad F, possiamo procedere a scrivere le equazioni di equilibrio delle forze verticali e delle rotazioni.

eql. forze verticali

 

 

eql. rotazioni

 

Mettendo a sistema le due equazioni si può giungere a trovare i valori di φ e di δ. 

Possiamo ora disegnare il sistema su SAP e analizzare la variazione dei valori delle sollecitazioni di momento flettente e torcente al variare della forma e della dimensione delle sezioni. Si useranno le stesse sezioni utilizzate nell'esercitazione precedente riguardante la rigidetta torsionale.

Acciaio_Circolare cava (d=0.36m;t=0.01m)

momento flettente

momento torcente

Acciaio_tubolare a sezione quadrata (l=0.2m;t=0.01)

momento flettente

momento torcente

Acciaio_IPE300

momento flettente

momento torcente

c.a._rettangolare (0.67*0.15m)

momento flettente

momento torcente

c.a._circolare (d=0.36m)

momento flettente

momento torcente

ABSTRACT: Nella seguente esercitazione verrà esposto il modello della struttura a graticcio e gli effetti provocati dall'assenza di gerarchia fra gli elementi lineari che lo compongono. Si risolverà una semplice struttura a graticcio caratterizzata da un nodo a incastro che salda 4 travi a loro volta incastrate. Questa sarà didatticamente utile a comprendere strutture più generiche e relativamente complesse come la seguente.

NB l'aggiunta di appoggi intermedi incrementa le potenzialità meccaniche tuttavia non è strettamente legata ad una disposizione necessariamente regolare

In questa esercitazione si risolverà come accennato nella premessa la seguente struttura:

È necessario precisare che sebbene il nodo sia spaziale (deformabile in tutte le direzioni) esso viene considerato indeformabile assialmente dunque v_x≡0 e v_y≡0 per definizione.

 

 

 

Un'analisi preliminare ci porta anche ad eliminare il contributo della rotazione attorno l'asse z. Non vi sono infatti forze capaci di generare un momento attorno a quest'asse (φ_z=0).

Continuando a osservare il nodo possiamo valutare le sue sezioni lungo i piani xz e xy. 

Da queste sezioni valutiamo che la rotazione lungo x per via della simmetria lungo il piano xz è φ_x=0. Al contrario si osserva la presenza di una freccia v_z≠0 e della rotazione lungo y φ_y≠0. Per semplicità d'ora in avanti chiamerò v_z=δ e φ_y=φ.

Noti gli schemi:

ed essendo il problema lineare, gli effetti possono essere sommati. Ragionando prima sulle azioni provocate dall'abbassamento e poi dalla rotazione del nodo saremo in grado di conoscere il comportamento complessivo ed individuare δ e φ.

ABBASSAMENTO

TORSIONE / ROTAZIONE

da queste l'equilibrio del nodo.

EQL ALLA TRASLAZIONE

F - 12EIδ/(l/2)³ - 12EIδ/(l/2)³ - 12EIδ/(l/3)³ - 24EIδ/(2l/3)³ -  6EIφ/(l/3)² + 6EIφ/(2l/3)²= 0

EQL ALLA ROTAZIONE

6EIδ/(2l/3)² - 6EIδ/(l/3)² + 4EIφ/(l/3) +4EIφ/(2l/3) + GI_tφ/(l/2) + GI_tφ/(l/2) = 0

Razionaliziamo quest'ultima equazione:

φ(12EI/l + 6EI/l + 4GI_tφ/l ) + δ(-54EI/l² - 27/2 ^. EI/l²) = 0
⇒φ(18EI + 4GI_tφ )^.(EI/EI)/ l + δEI/l²(-81/2) = 0
⇒φ(18+ 4GI_tφ/EI )EI + δEI/l(-81/2) = 0, α = GI_t/EI ⇒ φ(18+ 4α ) = 81/2 ^. δ/l

⇒δ/l=φ(36+8α)/81

Mentre la prima:

F - 192 EIδ/l³ - 324 EIδ/l³ - 81/2 ^. EI δ/l³ - 27/2 ^. EI φ/l² + 54 EI φ/l²= 0
⇒Fl²/EI- 192 δ/l - 324 δ/l - 81/2 ^. δ/l - 27/2 ^. φ + 54 φ= 0
⇒Fl²/EI- 1113/2 ^. δ/l - 81/2 ^. φ = 0 ⇒Fl²/EI- 1113/2 ^. φ(36+8α)/81 - 81/2 ^. φ = 0

⇒Fl²/EI = 371/27 ^. (18+4α)φ - 81/2 ^. φ = φ (371^.18/26 - 81/2 + 371^.4/27α )

⇒ φ (1241/6 + 1486/27 GI_tφ/EI )= Fl²/EI
⇒ φ = Fl² / (1241/6 EI + 1486/27 GI_t )

Mentre:

δ= (Fl³ (36+8GI_t/EI ) ) / (1241/6 EI + 1486/27 GI_t )

con un profilo IPE200 e F=10KN, l=1m

h=0,2 m b=0,1 m
a=0,0056 m e=0,0085 m
I= 1,42 10^-6 m⁴
I_t=5,164 10^-8 m⁴
E=2,1 10⁸ KN/m²
G=8 10⁷ KN/m²

δ= 7.2 10^-5 m, φ =1.6 10^-4

Dalla deformata e i dati esportati da SAP2000 è così convalidata la bontà dei risultati:

DESCRIZIONE:

Con questa esercitazione studieremo gli effetti che la torsione genera su un telaio iperstatico 3D e verificheremo, in seguito, attraverso SAP2000 , come varia la rigidezza torsionale di un telaio in base alle scelte progettuali che decideremo di adottare, quali il materiale e la sezione.

OSSERVAZIONI:

Qualsiasi forza esterna, che insiste sulla struttura, si ripartisce su di essa proporzionalmente alla rigidezza dei sui elementi, possiamo dire che il comportamento strutturale è un gioco di squadra dove il singolo ha un ruolo ben specifico ma il risultato finale che si considera è quello del gruppo!!!

Nell’analizzare questo telaio ci renderemo conto che il momento applicato, agente sul nodo 3D, viene trasmesso alla struttura in parte come momento flettente (asse y ed x), in parte in momento torcente (asse z).

Quindi, sul asse (z)  perpendicolare al piano (xy) dove agisce il momento esterno, l'effetto prodotto sarà una deformazione torcente della trave stessa, che reagirà  attraverso la sua rigidezza torsionale Rt che dipende da:

- modulo di elasticità tangenziale G

-  lunghezza l della trave

-  momento d'inerzia torsionale I_t.

La rigidezza torsionale Rt è:

-Rt=G ^. I_t / l

RISOLUZIONE:

Il telaio in esame è composto da tre aste alle cui estremità sono presenti dei vincoli ad incastro ed un’asta a sbalzo sulla quale è presente un carico distribuito “q”. Tutte le aste hanno la stessa lunghezza pari ad “L”.

Il carico ripartito “q” genera un inflessione delle aste nel piano xy, ed una torsione dell’aste perpendicolare al piano xy.

La struttura complessivamente è iperstatica perche in 3D ogni incastro ha un numero di gradi di vincolo pari a 6 ed i g.d.l di un corpo sono 6, quindi la struttura è 12 volte iperstatica.

Lo sbalzo invece, preso singolarmente, risulta essere isostatico, quindi può essere risolto isolatamente.

Per risolvere l’esercitazione partiremo proprio risolvendo l'unico sisteme isostatico, lo sbalzo, cosicchè potremo avvalerci di un sistema equivalente dove saranno presenti nel nodo le sollecitazioni trasmesse alla struttura dallo sbalzo su cui insiste il carico ripartito “q” dove:

- il  corrispondente momento flettente vale ql²/2

- il carico verticale ql, che diventa sforzo normale sul pilastro, può essere trascurato in quanto la rigidezza assiale è maggiore rispetto a quella flessionale. => u_x=0 u_y=0 u_z=0

Sulla struttura, in conclusione agirà solamente un momento pari a ql²/2 che provocherà una rotazione φ_y; (unica incognita)

Di seguito sono riportati la graficizzazione della deformata ed il grafico dei momenti ricavati grazie allo schema noto del metodo delle rigidezze. (unica incognita)

        

-Scriviamo l'equilibrio al nodo:

ql²/2 = (4EI/L+ 4EI/L + GI_t/L) φ con R= rigidezza del nodo= 4EI/L+ 4EI/L + GI_t/L

dunque:

- φ=ql²/2R  

- M=4EI(ql²)/L(2R)  

- M_t=GI_t(ql²)/L(2R)

VERIFICA IN SAP2000:

Analiziamo come varia la rigidezza torsionale di un telaio al variare del materiale e della geometria del materiale stesso....

N.B:La struttura sarà composta sempre da tre aste di lunghezza "L"=4m con un vincolo ad incastro alle loro estremità ed un asta a sbalzo, sempre di lunghezza "L"=4m, ed un carico ripartito "q"=10 KN/m che genera un momento "m",applicato sul nodo, pari a 80 KNm. 

CALCESTRUZZO:

1-sezione rettangolare 

I = momento d’inerzia = bh³/12 m⁴

E = modulo di elasticità = 21000 N/mm²=  21000000 KN/m²

G = modulo di elasticità tangenziale = 10000  N/mm²=  10000000 KN/m² 

I_t = coefficente di resistenza a torsione= c₂ x ab³ = (0,249)x(0,50)x(0,20)³ = 0,000996 m⁴

a/b è  tabellato. In questo caso vale a/b = 0.50/0.20 = 2,5 =>   c₂ = 0,249

2-sezione circolare 

I = momento d’inerzia = π x r⁴/64 = 0,001256m⁴

E = modulo di elasticità = 21000 N/mm²=  21000000 KN/m²

G = modulo di elasticità tangenziale = 10000  N/mm²=  10000000 KN/m² 

I_p = momento polare d'inerzia= π x r⁴/2 = 0,040192m⁴

 

ACCIAIO:

1-sezione scatolare

I = momento d’inerzia =0,0005715 m⁴

E = modulo di elasticità = 210000 N/mm²=  210000000 KN/m²

G = modulo di elasticità tangenziale = 80000  N/mm²=  80000000 KN/m² 

I_t = 0,000856 m⁴

 

2-IPE 270

I = momento d’inerzia =0,0000542 m⁴

E = modulo di elasticità = 210000 N/mm²=  210000000 KN/m²

G = modulo di elasticità tangenziale = 80000  N/mm²=  80000000 KN/m² 

I_t = 0,00000011 m⁴

 

CONCLUSIONI:

-sezione rettangolare in cls 0.2mX0.5m

M_t= 3,88 KNm      φ_y= 0,0000083

-sezione circolare in cls ø= 0.4m

M_t= 8,65 KNm      φ_y= 0,00000334

-sezione scatolare in acciaio 0.4mX0.4m s=0.0015m

M_t= 5,73 KNm      φ_y= 0,0000019

-IPE 270 in acciaio

M_t= 0,01 KNm      φ_y= 0,000022

Possiamo affermare che la geometria della sezione influisce notevolmente sulla Resistenza torsionale di un asta, ed in particolar modo le sezioni chiuse offrono resitenze torsionali maggiori rispetto alle sezioni aperte.

Importante, per questi fini, è anche il materiale: l'acciaio grazie al suo modulo di elasticità tangenziale offre più resistenza torsionale rispetto al cls che ha un modulo di elasticità tangenziale otto volte più piccolo.

Un asta con una rigidezza torsionale maggiore sarà in grado di supportare momenti torcenti maggiori e deformazioni più piccole rispetto un asta con una rigidezza torsionale inferiore.

Modifica esercitazione pubblicata precedentemente il 05/04/2013