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In questo esercizio si vuole capire come influisce la torsione in un sistema strutturale . Analizzeremo una struttura tridimensionale e vedremo come il momento agente sul nodo si ripartisce in parte in momento flettente e in parte in momento torcente. 

SCHEMA DI CALCOLO

                           

La mensola è soggetta al carico distribuito che posso  sostituire , essendo un tratto isostatico in un contesto iperstatico, con il corrispondente valore del momento flettente applicato nel nodo. La struttura si trova in uno spazio tridimensionale presenta dunque sei gradi di libertà. poichè le aste sono indeformabile assialmente avremo che ux, uy, uz saranno uguale a zero.

Quello che agisce sulla struttura è un momento ql²/2 che provoca una rotazione. Il momento oltre a far ruotare le aste lungo xz provoca un momento torcente sull'asta perpendicolare.

                        

 

Il problema presenta un’incognita la rotazione che sarà trovata scrivendo l’equilibrio contro la rotazione del nodo:

ql²/2 = φy ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJT/l3)

dove ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJT/l3) = Rn ⇒RIGIDEZZA DEL NODO 

 

Ora svolgeremo l'esercizio in SAP trovandoci i valori di sollecitazioni delle varie aste e lo faremo cambiando di volta in volta sezioni e materiali per vederne come reagiscono le aste a seconda del materiale (acciaio e calcestruzzo) . 

Ricordiamo che  per una generica sezione il momento torsionale vale:

MT = (G*JT/l) ϑ(l)

dove:

G = modulo di elasticità tangenziale (dipende dal materiale)

Calcestruzzo:  Gcls = 10⁷ KN/m²

Acciaio: Gsteel = 8*10⁷ kN/m²

JT = momento di inerzia polare (dipende dalla sezione)

ϑ(l) = angolo unitario di rotazione

(G*JT/l) rappresenta la rigidezza torsionale delle generica asta di lunghezza "l".

 

Definiamo ora il carico e le luci delle aste

q = 10kN/m

l = 2m

My = ql²/2 = 20 kN/m

 

Calcestruzzo

• Sezione rettangolare 

       

Jt = c₂ * ab³

è tabelleto in funzione di a/b . In questo caso c2 = 0,291

Jt = (0,291) 0,63 * (0,15)³ = 0,0006475 m³

ql²/2 = φ ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3)

E (modulo di elasticità) = 21000000 kN/m²

I (momento di inerzia) = bh³/12 

G = 10000000 kN/m²

Rn = ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3) 

φy = ql²/2 / Rn 

Svolgiamo ora l'esercizio in SAP assegnando alle aste una sezione rettangolare piena in cls armato e applichiamo il momento agente lungo l'asse y

 

                                  deformata                                                                momento ( -9,30)

 

                     

φy= 0,0004314  

• Sezione circolare 

   

I (momento di inerzia) = pgreco*r⁴ /64 = 0,008245 m⁴

Jp = momento polare di inerzia = pgrego r⁴/ 2 = 0,00164 m³

Rn = ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJp/l3)

φy = ql²/2 / Rn 

                          deformata                                                                momento ( -8,35)                   

φy= 0,0003863

Acciaio

•  Sezione quadrata cava

Jt = 4Ω²t/ lm = 0,00006859 m²

Rn= ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3)

φy = ql²/2 / Rn 

                           deformata                                                                momento ( -9,85)  

 

φy = 0,0001121

• Ipe

E (modulo di elasticità) = 21000000 kN/m²

G (modulo di elasticità tangenziale) = 80000000 kN/m²

Jt  = 0,0000004833 m³

Rn= ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3)

φy = ql²/2 / Rn 

                      deformata                                                                momento ( -9,99)  

φy = 0,0001138

 

Dai risultati ottenuti si può notare che le sezioni in acciaio offrono una maggiore resistenza rispetto a quelle in calcestruzzo in quanto possiedono un modulo di elasticità tangenziale superiore. Tra le sezioni in acciaio quella che risulta avere una migliore rigidezza torsionale è il profilo chiuso cavo, in quanto le tensioni tangenziali aumentano all'aumentare della loro distanza torsionale.

in questa esercitazione studiamo una struttura reticolare tridimenionale con l'ausilio del programma SAP2000, al fine di valutare gli effetti di un carico distribuito su una struttura isostatica di questo tipo. 

la struttura è stata disegnata precedentemete su Rhinoceros per motivi di comodità e poi importata su SAP con il formato .IGS

una volta importato il disegno è bene ridurre la tolleranza di errore del file in modo che, se a seguito dell'importazione, le linee avessero subito qualche variazione come un minimo distanziamento, con il comando MERGE TOLERANCE tutto questo verrebbe evitato e le linee a una distanza inferiore al valore da noi impostato si considererebbero unite

per rendere la stuttura reticolare isostatica assegniamo 3 vincoli a tre nodi inferiori (comandi ASSIGN-JOINT-RESTRAINTS)

assegniamo alle aste una sezione tubolare in acciaio e il peso proprio nullo, in modo che non influenzi l'analisi 

assegniamo un carico distribuito ai nodi superiori pari a 50KN (comandi ASSIGN-JOINT LOADS-FORCES)

avendo a che fare con una trave reticolare in cui i nodi sono cerniere dobbiamo impostare il rilascio dei momenti, un operazione che dichiara l'intrasmissibilità dei momenti attraverso le cerniere.

ora possiamo avviare l'analisi, ottenendo l'immagine accentuata della deformata

da questa analisi possiamo ottenere anche delle tabelle (esportabili su excel) con riportati per esempio i valori delle reazioni vincolari o i valori di taglio e memento per ogni asta che compone la trave, come accade nella tabella riportata sotto.

Rigidezza torsionale

Andiamo ad analizzare la rigidezza torsionale in un sistema tridimensionale iperstatico.

La struttura è composta da una T con un braccio perpendicolare, la forza distribuita è applicata sul braccio privo di vincolo e l'azione può essere riassunta con il momento agente che va a provocare.

In una prima analisi isolo la struttura A-D-B e vado a calcolare i momenti agenti nei corpi A-D e B-D a causa del momento
ql²/2

Tramite l'integrazione della linea elastica ottengo i due momenti nei nodi: (4EI/l)φ

La rotazione della struttura provoca una torsione della asta D-C: (GJt/l)φ

Il momento agente viene ripartito nelle tre aste: M_tot= [(4EI/l)φ + (4EI/l)φ + (GJt/l)φ]* φ

A questo punto modello la struttura con sap inserisco i vincoli ed applico il momento agente

Vado a calcolare la deformata

E vado a visionare i tre diagrammi del: Taglio

Momento

e Torsione

Ora applico alla struttura due profili e materiali differenti
Il primo profilo è uno scatolare rettangolare in acciaio 0,3m * 0,15m con uno spessore di 0,006m

Il secondo profilo è un elemento 0,2m * 0,1m in cemento privo di ferri

 

 

Esercitazione_2.1

trave reticolare piana (risoluzione a mano e tramite software SAP2000)

 

 

1_

Il sistema proposto risulta essere un sistema isostatico, quindi per poterlo risolvere si ricorre ad uno schema equivalente di trave appoggiata-appoggiata per risolvere le reazioni vincolari e successivamente al metodo delle sezioni di Ritter per risoluzione delle aste della reticolare, quale metodo delle sezioni riesce a definire gli sforzi normali presenti sulle aste, definendo di conseguenza la loro natura di puntoni o tiranti.

 

 

2_

Si procede con la risoluzione di uno schema equivalente di trave appoggiata-appoggiata per definire le reazioni vincolari, nel caso dell’esercizio:

RUA = 0 

RVA + RVB - (9*F) = 0 ⇒ RVA = RVB = (1/2*(9*F))

 

 

3_

Si procede con l’applicazione del metodo delle sezioni di Ritter (metodo degli equilibri parziali), in questo metodo, la parte di struttura che deve essere in equilibrio viene individuata da una sezione che taglia le aste, dove le 3 aste tagliate non devono mai convergere nello stesso nodo. Questo metodo analizza le azioni di contatto presenti nelle aste andando a definire il loro sforzo normale e la loro classificazione (puntoni o tiranti).

 

 

sezione verticale_1

 

Eql. alla rotazione

MD= F*L + NAC*L - (1/2*(9*F))*L = 0 => NAC = (1/2*(7*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NAD - F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NAD  = -(1/2*(7*F))

=> NAD = -(1/√2*(7*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NBD + (1/2*(7*F)) - (1/2*(7*F)) = 0 => NBD = 0 _scarica

sezione obliqua_1

 

Eql. delle forze verticali

NAB + (1/2*(9*F)) - (1/2*(7*F)) = 0 => NAB = -F _tirante

 

sezione verticale_2

 

Eql. alla rotazione

ME= F*L  + (2*(F*L))+ NCF*L - (1/2*(9*F))*(2*L) = 0 => NCF = (1/2*(3*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NCE - 2*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*(5*F))

=> NCE = -(1/√2*(5*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NDE + (1/2*(3*F)) - (1/2*(5*F)) = 0 => NDE = F _puntone

sezione obliqua_2

 

Eql. delle forze verticali

- NDc + (1/2*(9*F)) - 2*F = 0 => NDC = - (1/2*(5*F)) _tirante

 

sezione verticale_3

 

Eql. alla rotazione

MD= F*L  + (2*(F*L)) + (3*(F*L)) + NFH*L - (1/2*(9*F))*(3*L) = 0 => NFH = (1/2*(15*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NFG - 3*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*(3*F))

=> NFG = -(1/√2*(3*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NEG + (1/2*(15*F)) - (1/2*(3*F)) = 0 => NEG = 6*F _puntone

sezione obliqua_3

 

Eql. delle forze verticali

- NEF + (1/2*(9*F)) - 3*F = 0 => NEF = - (1/2*(3*F)) _tirante

 

sezione verticale_4

 

Eql. alla rotazione

MI= F*L  + (2*(F*L)) + (3*(F*L)) + (4*(F*L)) + NHJ*L - (1/2*(9*F))*(4*L) = 0

=> NHJ = 8*F _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NHI - 4*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*F)

=> NHI = -(1/√2**F) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NGI  + 8*F - (1/2**F)  = 0 => NGI = (1/2*(15*F)) _puntone

sezione obliqua_4

 

Eql. delle forze verticali

- NGH + (1/2*(9*F)) - 4*F = 0 => NGH = 1/2*F _puntone

 

sezione obliqua_5

 

Eql. delle forze verticali

- NIJ + (1/2*(9*F)) - 5*F = 0 => Nij = - (1/2*(3*F)) _tirante

 

4_

Successivamente alla risoluzione del sistema della trave reticolare si procede con la graficizzazione del diagramma dei sforzi normali delle aste, come si può vedere in fingura:

 

 

 

5_

Successivamente alla risoluzione a mano del sistema della trave reticolare si procede con la verifica tramite il software SAP.

La modellazione viene effettuata per comodità direttamente in SAP.

creare un nuovo file con una griglia utile al disegno dell’asta:

FILE > NEW MODEL >

QUICK GRID LINES > impostare 9 assi sull’asse x, 1 sull’asse y e 2 sull’asse z > impostare come GRID SPACING la dimensione che vorremo dare alla lunghezza della trave

 

le impostazioni date alla griglia dovrebbero produrre una condizione analoga alla seguente:

 

disegnare le aste della trave seguendo la spaziatura della griglia preimpostata.

 

assegnare i vincoli: 

selezionare il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > spuntare le sollecitazioni che il vincolo da posizionare trattiene

 

assegnare un incastro a sinistra ed un carrello a destra

 

Dato che in una struttura reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere, dobbiamo fare un’operazione di rilascio del momento ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0.

 

N.B. In questo tipo di esercizi, impostiamo l’analisi in modo che non consideri il peso proprio della struttura (che costituirebbe un carico distribuito su travi che si deve considerare scariche). 

Ciò viene fatto creando un nuovo LOAD PATTERN che abbia 0 come coefficiente di moltiplicazione del carico SELF WEIGHT MULTIPLER.

 

Si procede con l’assegnazione dei carichi con il comando ASSIGN > JOINT LOADS > FORCES, trattandosi di un’idealizzazione per la quale i carichi sono concentrati tutti nei nodi.

 

N.B. si possono anche analizzare gli sforzi a cui sono sottoposti i vincoli dando il comando SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

 

Possiamo ora avviare l’analisi. Il software mostra per prima cosa l’andamento della deformata.

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > AXIAL FORCE

 

In questo breve post pubblico la prima esercitazione, che, a causa di un fraintendimento, non si trova collocata assieme a quella sulle travi reticolari piane. Tratteremo in questo ambito sempre di travi reticolari, ma in questo caso non più giacenti su un piano bidimensionale, bensì nell'intero dominio tridimensionale dello spazio. Proprio per questa loro caratteristica, esse ben si prefigurano a resistere alle sollecitazioni agenti su tutti e tre gli assi cartesiani e, se ben progettate, grazie alla prefabbricazione ed alla standardizzazione degli elementi costitutivi, il costo della loro opera risulta diminuito, i lavori in cantiere sono semplificati e terminati più rapidamente. Morfologicamente esse si presentano come una consistente quantità di aste collegate tra loro in modo da formare un grigliato. Grazie a questa disposizione, i carichi isolati agenti in alcuni punti dell'opera non sono sopportatati soltanto dagli elementi direttamente caricati, ma anche da altri che si trovano a notevole distanza dai carichi stessi. Le considerevoli tensioni negli elementi direttamente caricati diminuiscono, mentre aumentano quelle negli altri elementi, così da ottenere una distribuzione più omogenea delle sollecitazioni nell'insieme della struttura. Nella maggior parte dei casi, come riportato in foto, il nodo tra le aste è costituito da una cerniera 3D, che permette la rotazione lungo i tre assi.

Vediamo quindi come disegnare un tale sistema con SAP2000. Iniziamo innanzitutto modellando su AUTOCAD una maglia sul piano xy, costituita da linee singole (non polilinee) di lunghezza 2 m di lato, a formare un quadrato con 2 vertici collegati da una diagonale:

Dobbiamo ora completare lo schema anche sul piano z, ricordandoci di evitare che alcune linee si sovrappongano o siano assegnate al layer 0:

 

Una volta salvato il file di AUTOCAD in .dxf, possiamo importarlo in SAP2000:

 

 

 

Scegliamo l’acciaio come materiale delle aste, assegnandogli una sezione tubolare (pipe), tramite il comando DEFINE > SECTION PROPERTIES > FRAME SECTIONS:

Assegniamo ora i carichi, applicandoli su tutti i nodi superiori della travatura reticolare, come il modello di queste travi ci impone. E' opportuno inoltre, prima di avviare l’analisi, scaricare ogni asta dal peso proprio della struttura, in quanto costituirebbe un carico distribuito su aste il cui modello ci obbliga a considerare scariche. Creiamo quindi un nuovo LOAD PATTERN che abbia 0 come coefficiente di moltiplicazione del carico SELF WEIGHT MULTIPLER:

 

Dato che in una struttura reticolare le aste hanno come vincoli interni delle cerniere, occorre eseguire un’operazione di rilascio del momento, tramite il comando ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0:

Avviando al solito modo l'analisi, ci verrà restituita sullo schermo la deformata e, cliccando su SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > AXIAL FORCE, anche il diagramma degli sforzi assiali delle aste, unici sforzi reagenti della struttura:

 

Non ci rimane che quantificare a quali tensioni sia soggetta ogni asta, tramite l'apposito tasto di tabellazione dei valori, apponendo sul menù che si apre la spunta alla casella ELEMENT FORCES - FRAMES:

Esportiamo la tabella ottenuta su Excel, riportando come valori solo quello dello sforzo normale (N), dell'area e delle tensioni σ  = (N/A) di ogni asta, in funzione delle quali si sceglierà opportunamente l'acciaio da usare. In particolare si noti come i valori negativi indichino le aste compresse (puntoni), mentre quelli positivi le aste tirate (tiranti).

 

Risoluzione di una trave reticolare piana

Metodo delle sezioni di Ritter

Si ricercano I valori della normale a cui sono soggette le aste, tese o compresse, della struttura qui disegnata:

Essendo il sistema isostatico, si possono immediatamente  trovare le reazioni vincolari del carrello e della cerniera esterni.

Si procede quindi a ricercare le azioni di contatto delle aste interne con il metodo di Ritter. Tale metodo divide la struttura in due parti, sezionando tre aste per volta, analizzando le azioni di contatto che si liberano in conseguenza al distacco effettuato. 

Taglio 1

Eql. alla rotazione

M(A)= FL + N1L – (9/2)FL = 0

=> N1 = (7/2)F

Eql. delle forze verticali

sinN9– F + (9/2)F = 0

=> sinN9= -(7/2)F = cos N9

=> N9= (7/2) √2F

Eql. delle forze orizzontali

N17+ (7/2)F – (7/2)F = 0

=> N17= 0

 

Taglio 2

Eql. alla rotazione

M(a) = N25L – (9/2)FL + (7/2)FL = 0

=> N25= (9/2)F – (7/2)F = F

 

Taglio 3

Eql. delle forze verticali

- (9/2)F + 2F + sinN10= 0

=> sinN10= (9/2)F – 2F = (5/2)F  = cos N10

=> N10= (5/2)F √2

Eql. alla rotazione

M(C)= FL + F 2L – (9/2)F 2L + N2L = 0

=> N2= (9/2)F – 3F = (3/2)F

 

Taglio 4

Eql. delle forze verticali

sinN11+ 3F – (9/2)F = 0

=> sinN11= (3/2)F

=> N11= (3/2)F √2

Eql. alla rotazione

M(E)= N3L + 3F 2L – (9/2)F 3L = 0

=> N3= (15/2)F

Eql. delle forze orizzontali

N19+ (3/2)F – (15/2)F = 0

=> N19= 6F

 

Taglio 5

Eql. delle forze verticali

SinN12 + 4F – (9/2)F = 0

=> SinN12 = F/2

=> N12 = (√2/2)F

Eql. alla rotazione

M(G)= 4F 2L – (9/2)F 4L + N4L = 0

=> N4= 10F

Eql. delle forze orizzontali

N20 – 10F + F/2 = 0

=> N20 = (19/2)F

 

Per simmetria, le aste a queste simmetriche saranno soggette agli stessi valori delle azioni di contatto.

 

Trovati tali valori si può procedure all’individuazione delle aste tese e di quelle compresse:

Si può infine procedere a verificare l’esercizio modellando la struttura in SAP2000.

Vengono impostati, per semplicità di verifica rispetto ai calcoli manuali, una L = 1m e un carico applicator sui nodi di F = 10 KN

N.B. Trattandosi di una struttura reticolare in cui tutte le aste sono collegate da cerniere interne, si deve effettuare il rilascio del vincolo alla rotazione a tutte le aste.

Inoltre, dato che per il modello utilizzato consideriamo la struttura caricata solo di forze puntuali in corrispondenza dei nodi, dobbiamo eliminare dall’analisi il contributo del peso proprio della struttura, che costituirebbe per questa un carico distribuito sulle aste.

Si può quindi lanciare l'analisi dello sforzo normale (a destra una vista della deformata):

Si controllano i risultati ottenuti con quelli di calcolo a cui si sostituiscano i parametri con i carichi e le dimensioni stabilite.

Per verifica si controlli anche che le sollecitazioni di taglio e momento flettente siano nulle.

In allegato a questo post troverete un file PDF che potrebbe risultare utile specialmente ai ragazzi del Solar Decathlon 2014. Si fa riferimento al sistema costruttivo Platform Frame utilizzato nella competizione Solar Decathlon 2012, descrivendo tutti i passaggi necessari a generare un modello ad elementi finiti utilizzando il software SAP2000. Buon lavoro!

ESERCIZIO 1: TRAVE VIRENDEEL A SBALZO

SCHEMA INIZIALE:

Per risolvere la trave Virendeel, essa può essere trattata come un telaio Shear-Type sdraiato orizzontalmente;

quindi supponiamo che:

- i pilastri siano infinitamente rigidi,

- i ritti siano deformabili

- per effetto delle forze esterne i pilastri traslano, senza deformarsi, di una quantità δ

DEFORMATA:

OSSERVAZIONI:

Conoscendo il valore dello spostamento trasversale  δ è possibile determinare il valore delle caratteristiche di sollecitazione e delle rigidezze dei traversi.

FONDAMENTALE:

Avvalendoci dello schema noto riguardante la trave doppiamente incastrata, risolto in classe con le equazioni della linea elastica, possiamo risolvere la trave Virendeel.

                                                                                                    SCHEMA NOTO

                                                                               

RISOLUZIONE:

1-TAGLIO NELLE TRAVI

N.B: per ogni incognita spostamento avremo un’equazione alla traslazione verticale.

A.      F= 2T

T= 12EIδ/L³

F= (24EI/L³)×δ

δ= FL³/24EI

T= (12EI/L³)×(FL³/24EI)= F/2

B.      F + F/2 + F/2= 2T

F + F/2 + F/2= (24EI/L³)×δ

2F= (24EI/L³)×δ

F= (12EI/L³)×δ

δ= FL³/12EI

T= (12EI/L³)×(FL³/12EI)= F

C.     F + F + F= 2T

F + F + F= (24EI/L³)×δ

3F= (24EI/L³)×δ

F= (8EI/L³)×δ

δ= FL³/8EI

T= (12EI/L³)×(FL³/8EI)= 3/2F

D.     F + 3/2F + 3/2F= 2T

F + 3/2F + 3/2F= (24EI/L³)×δ

4F= (24EI/L³)×δ

F= (6EI/L³)×δ

δ= FL³/6EI

T= (12EI/L³)×(FL³/6EI)= 2F

E.     F + 2F + 2F= 2T

F + 2F + 2F= (24EI/L³)×δ

5F= (24EI/L³)×δ

F= 24EI/5L³)×δ

δ= 5FL³/24EI

T= (12EI/L³)×(5FL³/24EI)= 5/2F

F.     F + 5/2F + 5/2F= 2T

F + 5/2F + 5/2F= (24EI/L³)×δ

6F= (24EI/L³)×δ

F= 4EI/L³)×δ

δ= FL³/4EI

T= (12EI/L³)×(FL³/4EI)= 3F

2-MOMENTO NELLE TRAVI

N.B: per calcolare il momento basta moltiplicare la forza di taglio complessiva agente su quella parte di trave per il suo braccio L/2.

A.      (F/2)×(L/2)= FL/4

B.      F × L/2= FL/2

C.      3/2F × L/2= 3/4 FL

D.      2F × L/2= FL

E.      5/2F × L/2= 5/4 FL

F.      3F × L/2= 3/2 FL

3-MOMENTO NEI RITTI

N.B: Nella trave Virendeel vale  ancora M=EIχ , ma χ=0 e EI=∞, ma M è ancora un numero Reale.

Facendo l'equilibrio ai nodi ci accorgiamo che, questi, non sono in equilibrio; perciò, per garantire l'equilibrio complessivo della struttura, anche sui ritti insisterà un momento che sarà semplicemente calcolato effettuando, appunto, l'equilibrio al nodo.

A.      ribaltando il momento per continuità= FL/4

B.      (FL/4) + (FL/2)= 3/4 FL

C.      (FL/2) + (3/4FL)= 5/4 FL

D.      (3/4FL) + (FL)= 7/4 FL

E.      (FL) + (5/4FL)= 9/4 FL

F.      (5/4FL) + (3/2FL)= 11/4 FL

4-TAGLIO NEI RITTI

N.B: per determinare il valore del Taglio, prodotto dalla presenza del momento derivante dall'equilibrio al nodo, sommerò i valori dei momenti all'estremità e li dividerò per il braccio; (m1+m2)/L.

A.      [(FL/4)+(FL/4)]/2L= F/4

B.      [(3/4FL)+(3/4FL)]/2L= 3/4F

C.      [(5/4FL)+(5/4FL)]/2L= 5/4F

D.      [(7/4FL)+(7/4FL)]/2L= 7/4F

E.      [(9/4FL)+(9/4FL)]/2L= 9/4F

F.      [(11/4FL)+(11/4FL)]/2L= 11/4F

5-SFORZO NORMALE 

N.B: per determinare il valore dello Sforzo Normale, basta ribaltare il valore del taglio presente nei ritti sulle travi e il valore del taglio presente nelle travi sui ritti tenendo conto delle forze esterne "F" applicate sui nodi.

6-DIAGRAMMI

ESERCIZIO 2: TRAVE VIRENDEEL DOPPIAMENTE INCASTRATA

OSSERVAZIONI:

Questo secondo esercizio risulta essere molto simile a quello svolto precedentemente; in questo caso però abbiamo una trave Virendeel doppiamente incastrata su entrambe la estremità. Un dato molto importante, che facilita il procedimento risolutivo dell'esercizio, è la simmetria della struttura e dei carichi esterni. Possiamo quindi analizzare solamente la metà di sinistra.

Ovviamente fanno fede tutte le considerazioni fatte nell'esercizio n.1 perciò lo svolgimento di questo sarà molto più immediato

SCHEMA INIZIALE:

DEFORMATA:

RISOLUZIONE:

1-TAGLIO NELLE TRAVI

A.      F= 4T

T= 12EIδ/L³

F= (48EI/L³)×δ

δ= FL³/48EI

T= (12EI/L³)×(FL³/48EI)= F/4

B.      F + F/4 + F/4= 2T

F + F/4 + F/4= (24EI/L³)×δ

3/2F= (24EI/L³)×δ

F= (16EI/L³)×δ

δ= FL³/16EI

T= (12EI/L³)×(FL³/16EI)= 3/4 F

C.     F + 3/4 F + 3/4 F= 2T

 F + 3/4 F + 3/4 F= (24EI/L³)×δ

5/2F= (24EI/L³)×δ

F= (48EI/5L³)×δ

δ= 5FL³/48EI

T= (12EI/L³)×(5FL³/48EI)= 5/4 F

2-MOMENTO NELLE TRAVI

A.      (F/4)×(L/2)= FL/8

B.      (3/4 F)×(L/2)= 3/8 FL

C.      (5/4 F)×(L/2)= 5/8 FL

3-MOMENTO NEI RITTI

N.B: il momento nel ritto "A" è nullo per la considerazione di simmetria fatta all'inizio

A.      NULLO

B.      (FL/8) + (3FL/8)= 1/2 FL

C.      (3FL/8) + (5FL/8)=  FL

4-TAGLIO NEI RITTI

A.      NULLO

B.      [(1/2FL)+(1/2FL)]/2L= 1/2F

C.      [(FL)+(FL)]/2L= F

5-DIAGRAMMI

6-VERIFICA IN SAP

Qui sotto sono state riportate una serie di scatti fatti durante la risoluzione di una trave Virendeel doppiamente incastrata. F=10Kn, L(trave)=3m, L(ritto)=6m.

Ivalori ed i grafici delle sollecitazioni corrispondono perfettamente all'esercizio svolto a mano fatto salva qualche piccola divergenza dovuta a questioni di arrotondamento decimale!!!!