Blog

L’obbiettivo dell’esercitazione è il dimensionamento della trave più sollecitata dopo aver effettuato l’analisi dei carichi del solaio, ripendo l’operazione per un solaio in legno, uno in acciaio ed un in calcestruzzo armato.

Per prima cosa dobbiamo determinare quale sia la trave soggetta a maggior carico e di conseguenza al maggior momento flettente, questo è dato dal prodotto del PESO a metro quadro del solaio per l’AREA D’INFLUENZA della trave data dal prodotto della LUCE per l’INTERASSE.

Q_trave = A x Q_t

Dalla pianta possiamo vedere la trave con la maggiore area d’influenza pari a 24 mq (A = L x I = 6 x 4 = 24mq).

Dobbiamo ora analizzare i carichi per ciascuna tipologia di solaio.

Per aiutarci nel calcolo possiamo ricorrere ad un foglio Excel nel quale determiniamo per ciascun MATERIALE il PESO SPECIFICO (KN/mc) ed il VOLUME (LUNGHEZZA x ALTEZZA x LARGHEZZA) dobbiamo anche inserire l’INTERASSE nel caso in cui il materiale non sia presente su tutta la superficie come ad esempio un travetto che va considerato N volte al metro. Aggiungiamo poi la SUPERFICIE ANALIZZATA (1 mq) .

Ora per ottenere il CARICO DISTRIBUITO (KN/mq) di ciascun materiale impostiamo le seguenti operazioni:

Nel caso il materiale sia distribuito su tutta la superficie analizzata:

( PESO SPECIFICO x VOLUME ) /SUPERFICIE ANALIZZATA = CARICO DISTRIBUITO

Nel caso in cui sia presente una sezione che si ripete ad un determinato interasse:

[ PESO SPECIFICO x VOLUME x ( LUNGHEZZA ANALIZZATA/INTERASSE) ] / SUPERFICIE ANALIZZATA = CARICO DISTRIBUITO

Non rimane ora che sommare i diversi carichi distribuiti (Q) in base alla loro classificazione:

Q_s = CARICO STRUTTURALE dato dal peso proprio della struttura.

Q_p = CARICO PERMANENTE non strutturale dato da tutti gli elementi permanenti perciò si deve aggiungere al carico di quelli che compongono il solaio, il carico dato dai tramezzi pari a 1KN/mq e quello dato dagli impianti 0,5 KN/mq.

Q_a = CARICO ACCIDENTALEviene dato dalla normativa in base allo destinazione d’uso degli ambienti, per la destinazione residenziale è pari a 2 KN/mq.

Solaio in LEGNO.

Ora bisogna inserire i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave.

Per prima cosa inseriamo l’INTERASSE dell’area d’influenza della trave (4m) inseriamo poi i diversi carichi per ottenere:

Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE

Inseriamo ora la LUCE in modo da ottenere il MOMENTO controllando che sia dato da qL²/8 (ovvero il momento dato dal sistema statico equivalente ad una trave doppiamente appoggiata).

Ora dobbiamo inserire le caratteristiche del materiale per ottenere la TENSIONE sig_am, questa dipende dal tipo di legno scelto ed è data dal prodotto del COEFFICIENTE RIDUTTIVO k_mod che tiene conto della durata del carico e della classe di servizio del progetto e della RESISTENZA A FLESSIONE CARATTERISTICA fm,k, che viene ulteriormente ridotta dal COEFFICIENTE DI SICUREZZA γpari nel legno lamellare a 1,45.

sig_am = (fm,k / γ) x k_mod

Per concludere inseriamo il valore della BASE che ipotizziamo per la nostra trave e attraverso la formula di Navier otteniamo l’altezza che cerchiamo poiché:

sig_am = ( M / I_X ) x Y _max

W_X = I_X / Y _max

Y _max = h /2

Sapendo che per una sezione rettangolare W_X =Bh² /6 abbiamo W_X = M / sig_am = Bh² /6

Da qui si hah = √(6M / sig_am x B )

Non rimane ora che verificare se la trave resiste al PESO PROPRIO ovvero se aggiungendo il carico della trave al Q_s che abbiamo precedentemente ottenuto l’altezza della trave risultante sia inferiore da quella da noi scelta.

Per farlo dobbiamo moltiplicare il PESO SPECIFICO(KN/mc) delMATERIALE per la SEIONE della trave (BASE x ALTEZZA) in modo da ottenere il carico della trave a metro lineare, ricordandoci di dividerlo per l’interasse del solaio dato che (Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE). Sia quindi :

Q_{trave al mq} = PESO SPECIFICO x BASE x ALTEZZA / INTERASSE

Avendo scelto una sezione in legno 30x50cm la trave è VERIFICATA.

Solaio in ACCIAIO.

In questo caso per aiutarci nel calco si è scelto di utilizzare per il carico di un solaio in lamiera grecata un valore tabellato, in modo da evitare il calcolo del volume di getto in C.A. in ciascuna greca.

Nel caso del TRAVETTO IPE 100 poiché il peso a ml è tabellato per ottenere il carico che genera basta fare:

Q = PESO al ml x L x ( 1 / INTERASSE dei travetti) / SUPERFICIE

Ora bisogna inserire i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave. Il procedimento è ugual al precedente fino alla definizione del materiale.

Nel caso dell’acciaio il valore della RESISTENZA CARATTERISTICA  fy,k, dipende dal tipo di acciaio utilizzato (nel nostro caso abbiamo usato un acciaio con classe di resistenza pari a 275). La TENSIONE sig_am è uguale a quella caratteristica fy,k divisa per il  COEFFICIENTE DI SICUREZZA γ, pari a 1,15.

sig_am = (fm,k / γ)

L’ultimo passaggio consiste nello scegliere un profilo (in questo caso IPE) che abbia un MODULO DI RESISTENZA W_X  (valore tabellato) maggiore di quello che si ottiene dalla tabella grazie alla formula di Navier.

Dove :      sig_am = ( M / I_X ) x Y _max        e     W_X = I_X / Y _max    quindi      W_X = M / sig_am

Non rimane ora che verificare se la trave resiste al PESO PROPRIO ovvero se aggiungendo il carico della trave al Q_s che abbiamo precedentemente ottenuto il modulo di resistenza della trave risultante sia inferiore da quello da noi scelto.

Per farlo dobbiamo dividere il PESO LINEARE(KN/ml) delPROFILO per l’interasse del solaio dato che (Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE). Sia quindi :

Q_{trave al mq} = PESO LINEARE / INTERASSE

Avendo scelto una profilo IPE 300 (Wx = 557 cm³) la trave è VERIFICATA.

Solaio in C.A.

Qui abbiamo un ulteriore eccezione nell’analisi dei carichi poiché la PIGNATTA ha un PESO PER ELEMENTO e non un peso specifico, quindi per ottenere il suo carico distribuito dobbiamo vedere quante pignatte ci sono in metro quadrato:

Poiché le dimensioni sono h 12cm, b 40 cm , l 25cm sappiamo che abbiamo 2 file di pignatte (dato che la base del travetto in C.A. è 10cm abbiamo 1 / ( 0,4  + 0,1 ) = 2 )in un metro ciascuna composta da 4 elementi ( 1 / 0,25 = 4 ), 8 in totale perciò:

Q = PESO ELEMENTO x 8 / SUPERFICIE

Ora bisogna inserire i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave. Il procedimento è ugual al precedente fino alla definizione del materiale.

Per quanto riguarda la tensione per il calcestruzzo avremo una TENSIONE sig_ca data dalla RESISTENZA CARATTERISTICA fy, moltiplicata per un COEFFICIENTE RIDUTTIVO α_cc  pari a 0,85 e divisa per il COEFFICIENTE DI SICUREZZA γpari a 1,5.

sig_ca = (fm,k / γ ) x α_cc

Mentre per i ferri in acciaio che devono resistere a trazione si la TENSIONE sig_fe è data dal rapporto tra la RESISTENZA CARATTERISTICA  fy,k e il COEFFICIENTE DI SICUREZZA γpari a 1,5.

sig_fe = (fm,k / γ )

L’ultimo passaggio deve tener conto che la sezione è composta da 2 materiali: il calcestruzzo che resiste a compressione e l’acciaio che resiste a trazione. Per farlo dobbiamo tenere conto di un COEFFICIENTE DI OMOGENIZZAZIONE n dato dal rapporto dei due moduli elastici (n = E_fe / E_ca ) si assume però pari a 15 a vantaggio della sicurezza.

Dopo aver quindi omogenizzato le tensioni (sig_fe /n) dobbiamo porle uguali alla tensione ammissibile ed esplicitiamo la distanza dal bordo compresso all’asse neutro X_cin funzione della nostra incognita h_u (altezza utile della sezione reagente in calcestruzzo) grazie alle proprietà dei triangoli simili.

Abbiamo quindi:

sig_ca = E_ca x ε_ca      e        sig_fe = E_fe x ε_fe       sapendo che        n = E_fe / E_ca

X_c = h_u x [ sig_ca / ( sig_ca + sig_fe / n ) ] = h_u x α

Sappiamo che il momento flettente M è dato da una coppia: la compressione C relativa al calcestruzzo e la trazione T relativa all’armatura d’acciaio; e che il braccio tra queste due forze è b*, eguagliando i momenti di ciascuna forza per il braccio b* possiamo ricavarci l’altezza h_u.

M = C x b* = T x b*           sapendo che b* = h_u x ( 1 – α /3)

H_u = √ { 1 / [sig_ca /2 x α x ( 1 – α / 3 )] x √ ( M / b* = r x √ ( M / b*

Ora per ottenere l’altezza totale della trave basta sommare ad h_u il DELTA ovvero lo spessore del copriferro:

h = h_u + DELTA

Non rimane ora che verificare se la trave resiste al PESO PROPRIO ovvero se aggiungendo il carico della trave al Q_sche abbiamo precedentemente ottenuto l’altezza della trave risultante sia inferiore da quella da noi scelta.

Per farlo dobbiamo moltiplicare il PESO SPECIFICO(KN/mc) delMATERIALE per la SEIONE della trave (BASE x ALTEZZA) in modo da ottenere il carico della trave a metro lineare, ricordandoci di dividerlo per l’interasse del solaio dato che (Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE). Sia quindi :

Q_{trave al mq} = PESO SPECIFICO x BASE x ALTEZZA / INTERASSE

Potremmo utilizzare quello che ci viene fornito dalla tabella ma quel valore viene dato considerando l’area minima della trave che risulta dal calcolo e non quella che scegliamo noi.

Avendo scelto una sezione in C.A. 20x40cm la trave è  NON VERIFICATA.

Si procede nuovamente al calcolo del peso proprio della trave ipotizzando una sezione in C.A. 20x45cm, questa volta la trave è VERIFICATA.

Si tratta di una struttura 3 volte iperstatica e per risolverla conviene considerarla come una serie di travi doppiamente appoggiate (e non come un unico corpo). Usiamo dunque un sistema isostatico di riferimento “togliendo” a quello iperstatico i vincoli di rigidità ai carrelli B, C e D (trasformando le cerniere passanti in cerniere interne) e applicando dei momenti flettenti X1, X2 e X3 in modo da ripristinare la rigidità della trave.

Notiamo inoltre che si tratta di un sistema simmetrico, questo ci permette di semplificare i calcoli considerando X1=X3.

A questo punto possiamo calcolarci le incognite X1 e X2 grazie ai valori della rotazione nei punti B, C e D:

Sappiamo che ΔφB=ΔφD=0 e ΔφC=0

Ora uguagliamo i valori della rotazione di sinistra con quelli di destra e ricaviamo X1 e X2.

A questo punto abbiamo trovato le due incognite e possiamo procedere con il calcolo delle reazioni vincolari.

Per semplificare i calcoli le calcoliamo prima considerando unicamente il carico distribuito e successivamente con i momenti flettenti, per poi sommarle e trovare quelle del sistema iperstatico.

Infine disegniamo i diagrammi di sollecitazione del taglio e momento.

Per trovare i valori del diagramma del momento eseguiamo dei tagli dove il taglio risulta nullo (e quindi dove il momento è massimo) ed in corrispondenza degli appoggi.  

In questa esercitazione ci troviamo a risolvere una struttura iperstarica con il metodo delle forze. Il metodo delle forze consiste nel porre come incognite del problema alcune reazioni vincolari, il cui numero è pari al grado di iperstaticità della struttura presa in esame.

SCHEMA DI RIFERIMENTO

SCHEMA ISOSTATICO EQUIVALENTE - Trasformo le cerniere in C, B, D in cerniere interne, in modo da rompere la continuità della trave , abbassando i gradi di vincoli da tre a due. 

EQUAZIONI DI COMPATIBILITA' CINEMATICA

Impongo che ∆φ = 0 ossia che la rotazione in corrispondenza degli appoggi sia uguale a zero e mi ricavo i valori dovuti a x e al carico in base ai seguenti schemi notevoli :

Punto B

∆φB = φBs – φBd = 0

φBs = φBs (q) + φBs (X₁) =  ql³/24EI – X₁L / 3EI

φBd = φBd (q) + φBd (X₁) + φBd (X₂) = - ql³/24EI + X₁L/3EI + X₂L/6EI

ql³/24EI – X1L / 3EI – (- ql³/24EI + X₁L/3EI + X₂L/6EI) = 0    

1. X₂= - 4 X₁+ ql²/2

Punto C

∆φC = φCs – φCd = 0

φCs = φCs (q) + φCs (X₁) + φCs (X₂) =  ql³/24EI – X₁L / 6EI – X₂L / 3EI

φCd = φCd (q) + φCd (X₁) + φCd (X₂) = - ql³/24EI + X₁L/6EI + X₂L/3EI

ql³/24EI – X₁L / 6EI – X₂L / 3EI – (- ql³/24EI + X₁L/6EI + X₂L/3EI) = 0  

1. X₁= - 2 X₂+ ql²/4

Metto a sistema le due equazioni ( 1 e 2 ) e mi ricavo le incognite X₁ e X₂ per sostituzione

X1= 3/28 ql²

 X2= 1/14 ql²

REAZIONI VINCOLARI 

- In relazione al carico

Per il principio di sovrapposizione degli effetti avremo :

In relazione ai momenti X₁ e X₂ :

Ne ricavo che 

Per il principio di sovrapposizione degli effetti ( carico + momento) avremo :

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

asta 1 :

T(s) = -11/28 ql + qs 

T(s=0) = -11/28ql

T(s=l) = -11/28ql + ql = 17/28 ql

asta 2

T(s) = -11/28ql - 8/7ql + qs

T(s=0) = -11/28ql - 8/7ql + ql = -15/28 ql

T (s=2l) = -11/28 ql - 8/7ql + 2ql = 13/28ql

asta 3

T(s) = -11/28 ql - 8/7ql - 13/14ql + qs 

T(s=2l) = -11/28ql - 8/7ql + 2ql = -13/28 ql

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

asta 1 :

M(s) = qs²/2 + 11/28qls + 8/7ql (s-l)

M(s=0) = 0

M(s=2l) = -2ql²/2 + 11/28ql² + 8/7ql²= -ql

Mmax ⇒ T=0 ⇒ s = 11/28l

M(s= 11/28l) = -[q(11/28l)2]/2 + 11/28ql (11/28l) = 121 / 1568ql²

asta 2 

M(s) = -qs²/2 + 11/28qls + 8/7ql (s-l)

M(s=0) = 0

M(s=2l) = -2ql²/2 + 11/282ql² + 8/7ql² = -ql²/14

Mmax ⇒ T=0 ⇒ s = 115/28l + l 

M(s= 43/28l) = [q(43/28l)2]/2 + 11/28ql (43/28l) + 8/7ql (15/28l)= 57/1568ql²

In questa nuova esercitazione siamo chiamati a risolvere una struttura 3 volte iperstatica, tramite il metodo delle forze. La struttura in questione è una trave su più appoggi, molto comune nella progettazione strutturale ordinaria:

Per trovare le reazioni vincolari di questa struttura (che nel caso in cui fosse risolta col metodo della linea elastica comporterebbe un'innumerevole quantità di calcoli) adottiamo quindi il METODO DELLE FORZE. Per prima cosa trasformiamo l'attuale sistema iperstatico in un equivalente isostatico, a cui aggiungiamo, sottoforma di forze esterne, le reazioni vincolari in eccesso:

Nel nostro caso è più opportuno trasformare l'unica trave di luce 4 L in quattro travi di luce L, collegate tra loro da carrelli, e aggiungere, sempre come forze esterne, le reazioni vincolari rimosse. Il sistema sarà così assimilabile ad una serie di travi doppiamente appoggiate, con l'aggiunta di coppie di momenti di forze in corrispondenza dei punti B, C,  D. Avremo quindi 2 schemi, che andremo poi a sommare tramite il metodo della sovrapposizione degli effetti:

Inoltre, se analizziamo la struttura dal punto di vista qualitativo, si nota subito che essa è caratterizzata da una marcata simmetria, la quale ci consente di affermare che le reazioni vincolari sono rispettivamente uguali in B e D,  ed in A ed E. Sempre grazie alla simmetria, possiamo anche affermare che la coppia di momenti X₁ è uguale alla coppia X₂, e che quindi:

Dall'equazione cinematica del vincolo rimosso sappiamo invece che:

Prima di determinare quanto valgono le rotazioni complessive nei vari tratti, prendiamo dalle tavole sinottiche i valori delle rotazioni per la trave doppiamente appoggiata:

Una volta stabiliti, nel caso della trave doppiamente appoggiata, i valori delle rotazioni dovuti al carico q e alle coppie di momenti X, possiamo ricavarci i valori delle incognite iperstatiche X nei punti B e C:

Dopo aver trovato i valori delle incognite iperstatiche, abbiamo tutti gli strumenti necessari a determinare i valori delle reazioni vincolari:

Per il metodo della sovrapposizione degli effetti su enunciato, sommiamo quindi le reazioni vincolari dei 2 schemi:

Non rimane altro che disegnare i diagrammi di taglio e momento flettente:

TRAVE 3 VOLTE IPERSTATICA

Ci si presenta una struttura 3 volte iperstatica costituita da una trave continua su più appoggi . La risolvo attraverso il METODO DELLE FORZE : uso un sistema isostatico equivalente di riferimento e considero la trave non come un unico corpo appoggiato, bensì come una serie di travi doppiamente appoggiate. Annullo quindi i tre gradi di vincolo ai tre carrelli centrali che mi rendono la struttura iperstatica, andandoli a sostituire con delle cerniere interne. Notiamo poi che la  struttura è SIMMETRICA: se traccio infatti  una linea a metà della struttura (in C) vedo che a destra e sinistra ho lo stesso carico (q) e la stessa luce (L) quindi avrò anche le stesse reazioni vincolari e azioni di contatto, potrò quindi andare a studiare solo metà struttura e specchiarla. Alla luce di queste considerazioni dovrò andarmi a calcolare 3 INCOGNITE X₁(B),X₂ (C),X₃ (dove X₁=X₃ per simmetria).

Ora devo far in modo di non ammettere rotazioni relative tra i corpi. Impongo perciò che le rotazioni in B,C,D siano uguali tra di loro e  nulle .

Stratigrafia solaio in legno

Qp (carichi permanenti)

·       Pavimento in cotto(1m) - 1,2 KN/m^2

·       Posato su malta di calce - 18 KN/m^2

·       controsoffitto in cartongesso - 7,8 KN/m^2

·       incidenza tramezzi - 1 KN/m^2

Qs (carichi strutturali)

·       pianelle in laterizio - 18 KN/m^2

·       travicelli  (6*6) - 6 KN/m^2

Qa (carichi accidentali)

·       destinazione d'uso Residenziale - 2 KN/m^2

analisi dei carichi

·       Qp=(1,2+0,72+0.078+1) KN/m^2 = 3,00 KN/m^2

·       Qs=[(6*6*2*6)+(18*0.02)] KN/m^2 = 0,4032 KN/m^2

·       Qa = 2 KN/m^2