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Analisi di una trave iperstatica

Per risolvere una struttura iperstatica il primo passo è associarla ad una struttura isostatica di riferimento, in questo caso posso considerarla come una serie di travi appoggiate con una coppia di forze che bilanciano i momenti nei nodi interni

Ora vado ad analizzare le rotazioni nei nodi B, C, D. Visto che la struttura è simmetrica posso considerare i valori della coppia di momenti in B e in D equivalenti

ϕBs = (ql³ / 24EI) –( x₁l / 3EI)
ϕBd = -(ql³ / 24EI) +( x₁l / 3EI) +(x₂l / 6EI)

ϕBs =-ϕDd      ϕBd =-ϕDs      

Il termine +(x₂l / 6EI) che compare in ϕBd sta ad indicare la rotazione generata dal momento x₂ nel polo opposto a quello analizzato ma che incrementa ulteriormente la deformazione della trave ed assume un valore pari alla metà della rotazione generata dal momento x₂ nel suo polo di applicazione C

ϕCs  =  (ql³ / 24EI) -(x₂l / 3EI) -( x₁l / 6EI)

ϕCd  = - (ql³ / 24EI) +(x₂l / 3EI) +( x₁l / 6EI)

Ora andremo a stabilire l’uguaglianza tra le rotazioni per equilibrare i momenti e metteremo a sistema due coppie di rotazioni per ricavare le incognite

ϕBs =ϕBd     ϕDs =ϕDd     ϕCs  =  ϕCd     (considero ne sistema le coppie B e C)

(ql³ / 24EI) –( x₁l / 3EI)  =  -(ql³ / 24EI) +( x₁l / 3EI) +(x₂l / 6EI)
(ql³ / 24EI) -(x₂l / 3EI) -( x₁l / 6EI)  =   - (ql³ / 24EI) +(x₂l / 3EI) +( x₁l / 6EI)

Dalla prima ricavo x1:    -(2 x₁l / 3EI) = -(ql³ / 12EI) +(x₂l / 6EI)
x₁ = (ql²/8) – (x₂/4)

Ora sostituisco la x₁ trovata nella seconda equazione per trovare l’unica incognita x_2:
(ql³ / 24) = (7x₂l/12)       quindi    x2 = (ql²/14)

Conoscendo il valore di x₂ lo andrò a sostituire nuovamente per ricavare il valore di x₁
(ql³/12) – (ql³/21) = (x₁l/3)       quindi    x1 = (3ql²/28)

Ora sovrapponendo i due schemi potremo ricavare i valori delle forze agenti nei nodi

Conoscendo le forze agenti posso rappresentare il grafico del taglio e del momento

Metodo delle forze

Struttura tre volte iperstatica la studiamo come un corpo isostatico svincolando in B, in C e in D assegnando due momenti incogniti X₁ e X₂ in D sarà sempre X₁ poiche la trave è simmetrica, così da interrompere la trave e creare 4 pezzi di trave isostatica

Per risolvere il sistema parto dai tre momenti e come prima cosa imponiamo la congruenza e scriviamo che le nostre tre equazioni di congruenza siano uguali a zero. 

Nei punti in cui abbiamo inserito le congruenze avremo due equazioni in cui una guarda a destra e una a sinistra. Le eguagliamo e mettendole a sistema andremo a trovare le nostre incognite X₁ e X₂.

Disegno le reazioni vincolari trovate dalla congruenza assegnata e le reazioni date dal carico distribuito

Faccio la sovrapposizione degli effetti sommando i due schemi per trovare le reazioni vincolare della struttura iperstatica. nel primo diagramma ci sono le congruenze.

Nel secondo vediamo le reazioni dovute al carico distribuito

E questa è la sovrapposizione dei due schemi delle reazioni vincolari

Ora possiamo calcolarci i diagrammi delle sollecitazioni di Taglio e del Momento

L’esercitazione presenta una struttura tre volte iperstatica costituita da una trave continua su appoggi. La risoluzione è ottenuta attraverso il METODO DELLE FORZE.

 Si procede nel seguente modo:

1. Si sceglie la struttura isostatica di riferimento  più conveniente ponendo delle  incognite iperstatiche, il cui numero è pari al grado di iperstaticità della struttura. Nel nostro caso, da una trave continua si passa a staccare la struttura in più travi appoggiate-appoggiate. La reazione vincolare incognita che andiamo a scegliere coincide con il momento flettente ed il suo effetto cinematico è quello di evitare la rotazione relativa delle sezioni su cui agisce.

Inoltre ci troviamo di fronte ad una simmetria. Infatti dividendo la struttura a metà (Punto C) notiamo che nella parte destra e nella parte sinistra è presente lo stesso carico distribuito (q) e la stessa luce (l).  Per cui è possibile studiare solamente metà della struttura, perché successivamente avrò le stesse reazioni vincolari e azioni di contatto specchiandola.

Si ricercano quindi solo le incognite x1 (B) e x2 (C) . 

2. Si scrivono le equazioni di compatibilità cinematica che ripristinano i vincoli cinematici soppressi dalla trasformazione del vincolo cinematico in reazione vincolari. In questo caso impongo che le rotazioni a destra e a sinistra rispettivamente dei punti B e C siano uguali in quanto la rotazione relativa deve essere nulla.

3. Si risolve il sistema di equazioni per la determinazione delle incognite iperstatiche x1 e x2.

4. Indico le reazioni vincolari e si procede con l’applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti per la determinazione delle azioni di contatto sulla struttura iperstatica.

5. I conseguenti diagrammi del taglio e del momento.

Nel metodo delle forze, le incognite sono le reazioni vincolari iperstatiche e le equazioni risolutive sono equazioni algebriche, che hanno il significato meccanico di equazioni di vincolo. La difficoltà sta nel riuscire a scegliere bene la struttura isostatica equivalente e nella capacità di applicazione sistematica del principio di sovrapposizione degli effetti.

Risoluzione di una struttura iperstatica attraverso il METODO DELLE FORZE

Ho una struttura 3 volte iperstatica

La risolvo con il metodo delle forze

1)Definisco la STRUTTURA ISOSTATICA DI RIFERIMENTO

2)EQUAZIONI di COMPATIBILITÁ CINEMATICA

Δϕ(B)=0 

ma dato che la struttura è simmetrica sappiamo che  Δϕ(B)= Δϕ(D)=0

PUNTO B

ϕ(Bs)=ql³/24EI-X₁l/3EI

ϕ(Bd)=-ql³/24EI+X₁l/3EI +X₂l/6EI

PUNTO C

ϕ(Cs)=ql³/24EI-X₂l/3EI- X₁l/6EI

ϕ(Cd)=-ql³/24EI+X₂l/3EI +X₁l/6EI

ϕ(Bs)= ϕ(Bd)    ql³/24EI-X₁l/3EI=-ql³/24EI+X₁l/3EI +X₂l/6EI

X₁=ql²/8- X₂/4

ϕ(Cs)= ϕ(Cd)     ql³/24EI-X₂l/3EI- X₁l/6EI=-ql³/24EI+X₂l/3EI +X₁l/6EI

X₂= ql²/8- X₁/2

Andando poi a sostituire X₁=ql²/8- X₂/4 in X₂= ql²/8- X₁/2       X₁=3ql²/28

E poi   X₁=3ql²/28 in  X₂= ql²/8- X₁/2 ottengo                              X₂=ql²/14

3)CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI

Trovate le incognite iperstatiche procedo con il calcolo delle reazioni vincolari applicando il principio di sovrapposizione degli effetti.

STRUTTURA CONSIDERANDO IL CARICO q

STRUTTURA CONSIDERANDO X₁,X₂

4)SOMMO LE REAZIONI VINCOLARI

5)DISEGNO i diagrammi del TAGLIO e del MOMENTO

Esercitazione trave iperstatica_metodo delle forze

Modifica esercitazione pubblicata precedentemente il 17/04/2013

Il Metodo delle Forze, che ha una profonda parentela con il Principio dei Lavori Virtuali, è uno dei possibili metodi per la risoluzione di strutture iperstatiche e consiste primariamente nel porre come incognite del problema alcune reazioni vincolari, il cui numero è pari al grado di iperstaticità della struttura in esame.

Definite queste incognite in modo opportuno, ossia senza “labilizzare” la struttura di partenza, il metodo procede, tramite una sistematica applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti, nella determinazione delle equazioni che ci consentono di determinare il valore delle suddette incognite. Queste equazioni sono di compatibilità cinematica: difatti, la scelta di rappresentare qualche grado di vincolo tramite la reazione (forza o coppia) corrispondente, elevandola al rango di incognita, equivale all'eliminazione di alcuni vincoli cinematici, che devono essere ripristinati in termini di equazioni, affinché il sistema isostatico che si sta studiando corrisponda al sistema iperstatico di partenza.

Prendiamo quindi una struttura iperstatica, nel nostro caso 3 volte, ed applichiamo il Metodo delle Forze per determinare gli sforzi di Momento, Taglio e Normale.

Divido la struttura in una successione di travi appoggiate:

L'orientamento delle coppie è dato per equilibrare l'azione dei MOMENTI introdotti in precedenza. Sommo facendo un passo alla volta:

Avendo un carico distribuito so già che il diagramma del MOMENTO sarà descritto da una funzione parabolica e, conseguentemente, quello del TAGLIO da una lineare. Posso anche già dire che in presenza delle forze puntuali il diagramma del TAGLIO avrà una discontinuità (SALTO), e che dove il taglio si annulla il MOMENTO avrà la tangente orizzontale (MASSIMO o MINIMO).

Posso quindi fare un primo disegno QUALITATIVO del momento mentre del taglio so già i valori (REAZIONI VINCOLARI):

Per torvare i valori dei momenti faccio i tagli e sfrutto la simmetria: