SdC(b) (LM PA)

La struttura che ci troviamo a dover risolvere è una trave su più appoggi iperstatica, il metodo di risoluzione più adatto a questo tipo di trave è il MEDOTO DELLE FORZE, dove le incognite sono le FORZE, e verranno trovate attraverso le EQUAZIONI DI COMPATIBILITA' CINEMATICA.
Il metodo delle forze ci consente di risolvere strutture iperstatiche riconducendole a sistemi isostatici equivalenti dove per ciascun GRADO DI IPERSTATICITA’ corrisponde una REZIONE VINCOLARE INCOGNITA.

Nel caso preso in esame sostituiamo i tre carrelli esterni con delle cerniere interne aggiungendo le reazioni vincolari rimosse, cioè la rotazione a destra e a sinistra del nodo. Quindi la struttura isostatica di riferimento sarà composta da una serie di travi doppiamente appoggiate con l'aggiunta di coppie di momenti in corrispondenza dei punti B, C, D.
Nella strruttura iperstatica non avviene nessuna rotazione nei suddetti punti, quindi per ognuna delle cerniere inserite il DELTA delle rotazioni è uguale a 0. Inoltre dobbiamo trovare le reazioni vincolari incognite X1 X2 X3 relative ai tre vincoli interni, poichèla struttura è simmetrca sappiamo che X1 = X3 quindi d’ora in poi utilizzeremo solo X1 e X2. Avremo due schemi che andremo a sommare con il principio della sovrapposizione degli effetti.

Le equazioni di compatibilità cinematica in grado di ripristinare il vincolo iperstatico sono:

Aiutandoci con gli schemi notevoli troviamo le rotazioni di ciascun tratto della trave

Mettendole a sistema possiamo così ottenere i valori di X₁ eX₂ (X₁ = X₃)

Dopo aver trovato i valori delle incognite iperstatiche possiamo trovarci le reazioni vincolari con il metodo della sovrapposizione degli effetti, per il quale le reazioni finali sono la somma delle reazioni dovute al carico q e alle forze iperstatiche trovate. Le reazioni vincolari vanno determinate per ciascuna delle quattro campate della struttura isostatica di riferimento e vanno sommate quelle che si trovano sullo stesso vincolo.

Ora possiamo procedere col calcolarci il taglio ed il momento effettuando sezioni nelle varie campate e determinandone il valore per ognuna.

TAGLIO

Primo tratto

Secondo tratto

Terzo tratto

MOMENTO

Primo tratto

Secondo tratto

L'esercizio consiste in una struttura 3 volte iperstatica. Per risoleverla la trasfomo in un sistema isostatico trasformando i carrelli B-C-D in cerniere interne, dividendo cosi la struttura in 4 corpi separati. Inoltre applico dei momenti flettenti X1, X2 e X3 in modo da ripristinare la rigidità della trave.

Trovo il valore dei tre momenti X₁,X₂ e X₃ (data la simmetria della struttura X₁ = X₃):

Sappiamo che ΔφB=ΔφD=0 e ΔφC=0

Uguaglio valori della rotazione di sinistra con quelli di destra e ricaviamo X1 e X2.

Dopo aver trovato le 2 incognite mi calcolo le reazioni vincolari:

                          +  

                          =

Infine disegno i diagrammi del taglio e del Momento trovando i valori nei diversi punti.

Taglio

Momento 

Con il METODO DELLE FORZE è possibile risolvere le strutture iperstatiche riconducendole a sistemi isostatici equivalenti. Per farlo dobbiamo rispettare la condizione di COMPATIBILITA’ CINEMATICA ovvero la congruenza degli spostamenti e delle rotazioni in ciascuna delle strutture isostatiche di rifermento.

Analizzeremo ora una TRAVE CONTINUA SU PIU’ APPOGGI.

 Analizzando la struttura abbiamo:

GDL = 3

GDV = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

Ci sono 3 INCOGNITE IPERSTATICHE. Dobbiamo quindi impostare una struttura isostatica equivalente in cui per ciascun GRADO DI IPERSTATICITA’ corrisponda una REZIONE VINCOLARE INCOGNITA in modo da avere una struttura corrispondente a quella iperstatica.

Possiamo quindi sostituire le 3 cerniere esterne delle campate centrali con delle cerniere interne permettendo la rotazione a destra e a sinistra di ciascuna cerniera. Poiché nella struttura iperstatica non avviene nessuna rotazione sappiamo che per ognuna delle cerniere inserite il DELTA delle rotazioni è uguale a 0. Inoltre dobbiamo inserire le reazioni vincolari vincolari incognite ottenendo X₁ X₂ X₃, per il principio di simmetria sappiamo che X₁ = X₃ quindi d’ora in poi utilizzeremo solo X₁ eX₂.

Una volta inserite le reazioni incognite, dobbiamo scrivere le equazioni di compatibilità cinematica in grado di ripristinare il vincolo iperstatico, dato che abbiamo sostituito un grado di iperstaticità con una reazione incognita.

∆φ_B= φ_Bs- φ_Bd =0

∆φ_C= φ_Cs- φ_Cd =0

∆φ_D= φ_Ds- φ_Dd =0

Per il principio di simmetria abbiamo :

φ_Ds= - φ_Bd

φ_Dd= - φ_Bs

Ora dobbiamo sostituire nelle equazioni di compatibilità cinematica i rispettivi valori dati dalle rotazioni in ciascuna cerniera.

Mettendole a sistema possiamo così ottenere i valori di X₁eX₂ ricordandoci che X₁ = X₃.

Ora che le incognite X₁ eX₂ sono note possiamo applicare il PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI secondo cui l’azione delle forze sulla struttura è uguale alla somma dell’effetto di ciascuna forza.

Analizziamo quindi la struttura isostatica equivalente una volta sotto l’effetto del CARICO q e una volta sotto l’effetto delle REAZIONI VINCOLARI X; ricordandoci di determinare le razioni vincolari per ciascuna campata (dato che la struttura è assimilabile a 4 travi doppiamente appoggiate) e sommando quindi quelle che insistono sullo stesso vincolo.

Rimane ora da determinare il diagramma del taglio e del momento.

TAGLIO

Primo tratto

secondo tratto 

terzo tratto

MOMENTO

Primo tratto

secondo tratto

ESERCIZIO SUL METODO DELLE FORZE

La struttura è IPERSTATICA 3 volte perché GDL=3 NGV=6.

Consideriamo una struttura isostatica, realizzata trasformando i vincoli esterni in vincoli interni, ristabilendo però le condizioni di vincolo della prima struttura ( i momenti x1, x2 ).

ΔφB = 0 => φBS - φBD = 0

ΔφC = 0 => φCS - φCD = 0

ΔφD = 0 => φDS - φDD = 0

N.B. La struttura è simmetrica, quindi basterà studiare metà struttura.

Devo considerare la struttura tratto per tratto.

Avrò

φBS = ql³/24EI -X1l/3EI

φBD = X1l/3EI - ql³/24EI + X2l/6EI

φCS = ql³/24EI – X2l/3EI – X1l/6EI

φBD = - ql³/24EI + X2l/3EI + X1l/6EI

Scrivo queste equazioni nella forma φBS - φBD = 0 e φCS - φCD = 0 mettendole a sistema per trovare i valori di X1 e X2

ql³/24EI -X1l/3EI - X1l/3EI + ql³/24EI – X2l/6EI = 0

ql³/24EI – X2l/3EI – X1l/6EI + ql³/24EI - X2l/3EI – X1l/6EI = 0

X2 = 1/14 ql²

X1 = 3/28 ql²

Studio le reazioni vincolari dovute al carico ripartito

Considerando i tratti come strutture indipendenti, per oppormi a 4ql, dovrò avere, per l'equilibrio su ogni tratto, delle forze opposte con un valore di ql/2.

Posso scrivere il grafico di prima come:

sommando, per il PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI i contributi del carico ripartito e delle reazioni che vado a considerare per mettere in equilibrio i singoli tratti e che derivano dall'effetto dei momenti nei nodi.

In A - X1/l + ql/2

In B X1/l + X1/l - X2/l + ql = 2 X1/l - X2/l + ql

In C - X1/l + X2/l + X2/l - X1/l + ql = - 2X1/l + 2 X2/l + ql

In D - X2/l + X1/l + X1/l + ql = - X2/l + 2X1/l + ql

In E - X1/l + ql/2

sostituendo i valori di X1 e X2 avrò

In A 11/28 ql

In B 8/7 ql

In C 13/14 ql

In D 8/7 ql

In E 11/28 ql

Le reazioni vincolari finali saranno

Disegno i diagrammi delle sollecitazioni

TAGLIO e MOMENTO

Il sistema in esame risulta essere tre volte iperstatico.

Per la sua risoluzine applico il metodo delle forze: definisco in primis tre reazioni vincolari (in numero pari al grado di iperstaticità della trave analizzata) che sono quelle della rotazione delle tre cerniere interne, notando subito che il sistema risulta essere simmetrico, e che si tratta di una trave doppiamente appoggiata. Chiamerò le incognite iperstatiche X1 e X2, disegnandole nella struttura iperstatica di riferimento.

Devo quindi determinare il valore delle incognite iperstatiche, studiando i nodi in successione, tratto per tratto, valutando sia l’effetto cinematico provocato dal carico distribuito sulla struttura (densità di carico), sia l’effetto dovuto all’incognita iperstatica (equazioni di compatibilità cinematica).Questo vuol dire che la differenza della rotazione di sinistra e di destra, ovvero la rotazione relativa, deve essere pari a zero.

Metto a sistema le equazioni  :

Si determinano dunque le reazioni vincolari con la sovrapposizione degli effetti:

Disegno infine i diagrammi di taglio e momento:

Esercitazione 4 -Metodo delle forze-

Trave tre volte iperstatica  NGL=3     NGV=6

La struttura è 3 volte iperstatica. Per risolvere la struttura con il metodo delle forze trasformo la struttura iniziale  in una struttura isostatica di riferimento. Trasformo le cerniere in B,C,D in cerniere interne applicando dei momenti X1,X2 in A e B, essendo la trave simmetrica nel punto C posso applicare X1. Si eliminano cosi i 3 gradi di vincoli.

Sistema equivalente isostatico

1.    Equazioni di compatibilità Cinematica

·       ΔφB=0       φBs – φBd=0

φBs= ql³/24EI – X1L/3EI

φBd= -ql³/24EI + X1L/3EI + X2L/6EI

·       ΔφC=0       φCs – φCd=0

φCs= ql³/24EI – X2L/3EI - X1L/6EI

φCd= -ql³/24EI + X2L/3EI + X1L/6EI

·       ΔφD=ΔφB

2.    Trovare X1 E X2

φBs – φBd=0

ql³/24EI - X1L/3EI+ ql³/24EI - X1L/3EI - X2L/6EI=0

2ql³/24EI - 2X1L/3EI - X2L/6EI=0

X2/2 = -2X1 + ql²/4

X2 = -4X1 + ql²/2          

φCs – φCd=0

ql³/24EI – X2L/3EI - X1L/6EI+ ql³/24EI - X2L/3EI - X1L/6EI=0

2ql³/24EI – 2X2L/3EI - 2X1L/6EI=0

-X1/2 = X2 - ql²/8          

X1 = - 2X2 - ql²/4          

X1=3/28 ql²

X2=1/14 ql²

2.    Reazioni

Reazioni dovute al carico

Reazioni dovute ai momenti  X1 e X2

Somma delle reazioni dei momenti

Trovare le reazione finali dovute alla somma tra le reazione del carico  e dei momenti

Diagramma del taglio e del momento

L’obbiettivo dell’esercitazione è il dimensionamento della trave più sollecitata dopo aver effettuato l’analisi dei carichi del solaio, ripendo l’operazione per un solaio in legno, uno in acciaio ed un in calcestruzzo armato.

Per prima cosa dobbiamo determinare quale sia la trave soggetta a maggior carico e di conseguenza al maggior momento flettente, questo è dato dal prodotto del PESO a metro quadro del solaio per l’AREA D’INFLUENZA della trave data dal prodotto della LUCE per l’INTERASSE.

Q_trave = A x Q_t

Dalla pianta possiamo vedere la trave con la maggiore area d’influenza pari a 24 mq (A = L x I = 6 x 4 = 24mq).

Dobbiamo ora analizzare i carichi per ciascuna tipologia di solaio.

Per aiutarci nel calcolo possiamo ricorrere ad un foglio Excel nel quale determiniamo per ciascun MATERIALE il PESO SPECIFICO (KN/mc) ed il VOLUME (LUNGHEZZA x ALTEZZA x LARGHEZZA) dobbiamo anche inserire l’INTERASSE nel caso in cui il materiale non sia presente su tutta la superficie come ad esempio un travetto che va considerato N volte al metro. Aggiungiamo poi la SUPERFICIE ANALIZZATA (1 mq) .

Ora per ottenere il CARICO DISTRIBUITO (KN/mq) di ciascun materiale impostiamo le seguenti operazioni:

Nel caso il materiale sia distribuito su tutta la superficie analizzata:

( PESO SPECIFICO x VOLUME ) /SUPERFICIE ANALIZZATA = CARICO DISTRIBUITO

Nel caso in cui sia presente una sezione che si ripete ad un determinato interasse:

[ PESO SPECIFICO x VOLUME x ( LUNGHEZZA ANALIZZATA/INTERASSE) ] / SUPERFICIE ANALIZZATA = CARICO DISTRIBUITO

Non rimane ora che sommare i diversi carichi distribuiti (Q) in base alla loro classificazione:

Q_s = CARICO STRUTTURALE dato dal peso proprio della struttura.

Q_p = CARICO PERMANENTE non strutturale dato da tutti gli elementi permanenti perciò si deve aggiungere al carico di quelli che compongono il solaio, il carico dato dai tramezzi pari a 1KN/mq e quello dato dagli impianti 0,5 KN/mq.

Q_a = CARICO ACCIDENTALEviene dato dalla normativa in base allo destinazione d’uso degli ambienti, per la destinazione residenziale è pari a 2 KN/mq.

Solaio in LEGNO.

Ora bisogna inserire i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave.

Per prima cosa inseriamo l’INTERASSE dell’area d’influenza della trave (4m) inseriamo poi i diversi carichi per ottenere:

Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE

Inseriamo ora la LUCE in modo da ottenere il MOMENTO controllando che sia dato da qL²/8 (ovvero il momento dato dal sistema statico equivalente ad una trave doppiamente appoggiata).

Ora dobbiamo inserire le caratteristiche del materiale per ottenere la TENSIONE sig_am, questa dipende dal tipo di legno scelto ed è data dal prodotto del COEFFICIENTE RIDUTTIVO k_mod che tiene conto della durata del carico e della classe di servizio del progetto e della RESISTENZA A FLESSIONE CARATTERISTICA fm,k, che viene ulteriormente ridotta dal COEFFICIENTE DI SICUREZZA γpari nel legno lamellare a 1,45.

sig_am = (fm,k / γ) x k_mod

Per concludere inseriamo il valore della BASE che ipotizziamo per la nostra trave e attraverso la formula di Navier otteniamo l’altezza che cerchiamo poiché:

sig_am = ( M / I_X ) x Y _max

W_X = I_X / Y _max

Y _max = h /2

Sapendo che per una sezione rettangolare W_X =Bh² /6 abbiamo W_X = M / sig_am = Bh² /6

Da qui si hah = √(6M / sig_am x B )

Non rimane ora che verificare se la trave resiste al PESO PROPRIO ovvero se aggiungendo il carico della trave al Q_s che abbiamo precedentemente ottenuto l’altezza della trave risultante sia inferiore da quella da noi scelta.

Per farlo dobbiamo moltiplicare il PESO SPECIFICO(KN/mc) delMATERIALE per la SEIONE della trave (BASE x ALTEZZA) in modo da ottenere il carico della trave a metro lineare, ricordandoci di dividerlo per l’interasse del solaio dato che (Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE). Sia quindi :

Q_{trave al mq} = PESO SPECIFICO x BASE x ALTEZZA / INTERASSE

Avendo scelto una sezione in legno 30x50cm la trave è VERIFICATA.

Solaio in ACCIAIO.

In questo caso per aiutarci nel calco si è scelto di utilizzare per il carico di un solaio in lamiera grecata un valore tabellato, in modo da evitare il calcolo del volume di getto in C.A. in ciascuna greca.

Nel caso del TRAVETTO IPE 100 poiché il peso a ml è tabellato per ottenere il carico che genera basta fare:

Q = PESO al ml x L x ( 1 / INTERASSE dei travetti) / SUPERFICIE

Ora bisogna inserire i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave. Il procedimento è ugual al precedente fino alla definizione del materiale.

Nel caso dell’acciaio il valore della RESISTENZA CARATTERISTICA  fy,k, dipende dal tipo di acciaio utilizzato (nel nostro caso abbiamo usato un acciaio con classe di resistenza pari a 275). La TENSIONE sig_am è uguale a quella caratteristica fy,k divisa per il  COEFFICIENTE DI SICUREZZA γ, pari a 1,15.

sig_am = (fm,k / γ)

L’ultimo passaggio consiste nello scegliere un profilo (in questo caso IPE) che abbia un MODULO DI RESISTENZA W_X  (valore tabellato) maggiore di quello che si ottiene dalla tabella grazie alla formula di Navier.

Dove :      sig_am = ( M / I_X ) x Y _max        e     W_X = I_X / Y _max    quindi      W_X = M / sig_am

Non rimane ora che verificare se la trave resiste al PESO PROPRIO ovvero se aggiungendo il carico della trave al Q_s che abbiamo precedentemente ottenuto il modulo di resistenza della trave risultante sia inferiore da quello da noi scelto.

Per farlo dobbiamo dividere il PESO LINEARE(KN/ml) delPROFILO per l’interasse del solaio dato che (Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE). Sia quindi :

Q_{trave al mq} = PESO LINEARE / INTERASSE

Avendo scelto una profilo IPE 300 (Wx = 557 cm³) la trave è VERIFICATA.

Solaio in C.A.

Qui abbiamo un ulteriore eccezione nell’analisi dei carichi poiché la PIGNATTA ha un PESO PER ELEMENTO e non un peso specifico, quindi per ottenere il suo carico distribuito dobbiamo vedere quante pignatte ci sono in metro quadrato:

Poiché le dimensioni sono h 12cm, b 40 cm , l 25cm sappiamo che abbiamo 2 file di pignatte (dato che la base del travetto in C.A. è 10cm abbiamo 1 / ( 0,4  + 0,1 ) = 2 )in un metro ciascuna composta da 4 elementi ( 1 / 0,25 = 4 ), 8 in totale perciò:

Q = PESO ELEMENTO x 8 / SUPERFICIE

Ora bisogna inserire i valori ottenuti nel foglio di calcolo per dimensionare la trave. Il procedimento è ugual al precedente fino alla definizione del materiale.

Per quanto riguarda la tensione per il calcestruzzo avremo una TENSIONE sig_ca data dalla RESISTENZA CARATTERISTICA fy, moltiplicata per un COEFFICIENTE RIDUTTIVO α_cc  pari a 0,85 e divisa per il COEFFICIENTE DI SICUREZZA γpari a 1,5.

sig_ca = (fm,k / γ ) x α_cc

Mentre per i ferri in acciaio che devono resistere a trazione si la TENSIONE sig_fe è data dal rapporto tra la RESISTENZA CARATTERISTICA  fy,k e il COEFFICIENTE DI SICUREZZA γpari a 1,5.

sig_fe = (fm,k / γ )

L’ultimo passaggio deve tener conto che la sezione è composta da 2 materiali: il calcestruzzo che resiste a compressione e l’acciaio che resiste a trazione. Per farlo dobbiamo tenere conto di un COEFFICIENTE DI OMOGENIZZAZIONE n dato dal rapporto dei due moduli elastici (n = E_fe / E_ca ) si assume però pari a 15 a vantaggio della sicurezza.

Dopo aver quindi omogenizzato le tensioni (sig_fe /n) dobbiamo porle uguali alla tensione ammissibile ed esplicitiamo la distanza dal bordo compresso all’asse neutro X_cin funzione della nostra incognita h_u (altezza utile della sezione reagente in calcestruzzo) grazie alle proprietà dei triangoli simili.

Abbiamo quindi:

sig_ca = E_ca x ε_ca      e        sig_fe = E_fe x ε_fe       sapendo che        n = E_fe / E_ca

X_c = h_u x [ sig_ca / ( sig_ca + sig_fe / n ) ] = h_u x α

Sappiamo che il momento flettente M è dato da una coppia: la compressione C relativa al calcestruzzo e la trazione T relativa all’armatura d’acciaio; e che il braccio tra queste due forze è b*, eguagliando i momenti di ciascuna forza per il braccio b* possiamo ricavarci l’altezza h_u.

M = C x b* = T x b*           sapendo che b* = h_u x ( 1 – α /3)

H_u = √ { 1 / [sig_ca /2 x α x ( 1 – α / 3 )] x √ ( M / b* = r x √ ( M / b*

Ora per ottenere l’altezza totale della trave basta sommare ad h_u il DELTA ovvero lo spessore del copriferro:

h = h_u + DELTA

Non rimane ora che verificare se la trave resiste al PESO PROPRIO ovvero se aggiungendo il carico della trave al Q_sche abbiamo precedentemente ottenuto l’altezza della trave risultante sia inferiore da quella da noi scelta.

Per farlo dobbiamo moltiplicare il PESO SPECIFICO(KN/mc) delMATERIALE per la SEIONE della trave (BASE x ALTEZZA) in modo da ottenere il carico della trave a metro lineare, ricordandoci di dividerlo per l’interasse del solaio dato che (Q = (Q_s + Q_p + Q_a) x INTERASSE). Sia quindi :

Q_{trave al mq} = PESO SPECIFICO x BASE x ALTEZZA / INTERASSE

Potremmo utilizzare quello che ci viene fornito dalla tabella ma quel valore viene dato considerando l’area minima della trave che risulta dal calcolo e non quella che scegliamo noi.

Avendo scelto una sezione in C.A. 20x40cm la trave è  NON VERIFICATA.

Si procede nuovamente al calcolo del peso proprio della trave ipotizzando una sezione in C.A. 20x45cm, questa volta la trave è VERIFICATA.