SdC(b) (LM PA)

       

 Il metodo della linea elastica serve per risolvere l'equilibrio di strutture sia iperstatiche che isostatiche; consentendoci di determinare le reazioni vincolari, i diagrammi delle sollecitazioni , gli spostamenti e le deformazioni.              

                                                   

Richiamiamo di seguito tutte le equazioni del modello di trave di bernoulli, distinguendole in tre gruppi in base al loro diverso significato fisico.

• EQUAZIONI DI BILANCIO esprimono il legame tra carichi esterni e sollecitazioni 

dN/ds + q1 = 0

dT/ds + q2 = 0

dM/ds + T = 0

• EQUAZIONI DI CONGRUENZA esprinono il legame tra deformazioni e spostamenti

E =    du/ds

y = dv/ds - φ = 0

X = dφ/ds

dove E = deformazione assiale

       y = scorrimento angolare

       X = curvatura

• LEGAME COSTITUTIVO ELASTICO esprimono il legame tra la deformazione e la sollecitazione

N = EA * E 

M = EI * X

Analizziamo il problema flessionale e prendiamo in considerazione le seguenti grandezze

v ; Y ; T ; M ; x

quindi non prendendo in considerazione le equazioni che riguardano lo sforzo normale, le equazioni che definiscono il problema flessionale sono :

dT/ds + q₂ = 0

dM/ds  + T = 0

M = EI * X

X = dφ/ds

φ= dv/ds

Prendiamo in considerazione l'equazione ( dM / ds ) + T = 0 e ci ricaviamo T = - dM / ds e sostituiamo la T in

( dT/ds ) + q₂ = 0

avremo che d/ds ( -dM/ds) + q₂ = 0 ⇒ -d²M/ds² + q₂ = 0 

X = dφ/ds - d/ds(dv/ds) = d²v/ds^{2 =} d²v/ds²

andiamo ora a sostituire φ= dv/ds in X= dφ/ds

avremo che X = dφ/ds - d/ds(dv/ds) = d²v/ds^{2 =} d²v/ds²

ci rimane solo l'equazione M = EIx

Sostituiamo la x e avremo che M = EI (d²v)/ds

sostituiamo poi l'equazione ricavata nell'equazione  -d²M/ds² + q₂ = 0 

si avrà che :

 d²/ds² ( EI * d²v/ds²) = q₂

portiamo EI al di fuori della derivata e avremo che 

EI d⁴v/ds⁴ = q₂  EQUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LINEA ELASTICA

L'equazione della linea elastica mette in relazione i carichi agenti sulla trave con gli spostamenti da essi prodotti , integrando quattro volte otteniamo la funzione spostamento

d⁴v/ds = q₂/EI

d³v/ds = q₂/EIs + c₁

d²v/ds = q²/EI * s²/2 + c₁s + c₂   (3)

dv/ds = q₂/EI + s³/6 + c₁ * s²/2 + c₂s + c₃   (2)

v(s) = q₂/EI * s⁴/24 + c₁*s³/6 + c₂ s_2/2 + c₃s + c_{4    spostamento}  (1)

Abbiamo così ottenuto quattro equazioni che dipendono dai vincoli quindi andiamo a sostituire le equazioni al bordo

Nell'incastro v(0) = 0 

Andando a sostituire nella 1 la condizione al bordo v(0) = 0 si ottiene v(s=0) = 0 --> C4 = 0

 φ(0) = 0

Sostituendo nella 2 si ottiene 

φ (s=0) --> c3=0

Nell'appoggio

v(l) = 0

sostituiamo nella 1 avremo che :

v(s=l)= 0 ⇒ - q₂l⁴/24EI + c₁l³/6 + c₂l²/2 = 0  (4)

Nel carrello il momento vale zero M (l) = 0

sostituendo nella 3 avremo che :

M(s=l) = 0 ⇒ -q₂l²/2EI + c₁l + c₂ = 0 

ci ricaviamo c_{2 =} q₂l²/2EI - c₁l    (5)

sostituiamo c₂ nella 4 

- q₂l⁴/24EI + c₁l³/6 + (q₂l²/2EI - c₁l ) * l²/2 = 0

- q₂l⁴/24EI + c₁l³/6 q₂l⁴/4EI - c₁l³/2 = 0

5q₂l⁴/24EI -1/3 l³ c₁ = 0

c₁ = 5/8 q₂l/EI

Andiamo a sostituire c₁ nella (5) e ricaviamo c₂

c₂ = -q₂l²/8EI

Abbiamo così trovato le quattro costanti di integrazione , ora dobbiamo calcolare l'abbassamento massimo . Sappiamo che y= dv/ds, ossia che la rotazione è la derivata dello spostamento . Quindi nel punto in cui la rotazione è nulla lo spostamento sarà massimo

φ = dv/ds = q₂/EI + s³/6 + c₁ * s²/2 + c₂s + c₃

Andiamo a sostituire nell'equazione scritta le costanti trovate 

φ (s) = - q₂/EI + s³/6 + 5/8 q₂l/EI s²/2 - q₂l²/8EI + 0 

poniamola uguale a zero 

φ (s) = - q₂/EI + s³/6 + 5/8 q₂l/EI s²/2 - q₂l²/8EI = 0

che possiamo scrivere come

q/2EI s * ( - s₂/3 + 5/8 ls - l²/4) = 0 

Questa equazione ha tre soluzioni. Una è data da s=0 ed altre due le troveremo svolgendo l'equazione di secondo grado 

1.  - s₂/3 + 5/8 ls - l²/4 = 0 
2.    s₂/3 + 5/8 ls - l²/4) = 0 

Poniamo 1/3 = A   -5/8 l = B  ⇒ As² - Bs - l₂/4 = 0 

Risolvendo con la formula del delta otteniamo due valori :

1.  1,3 l  ( soluzione non accettabile perchè s < l )
2. 0,57 l 

I punti di massimo della funzione spostamento si trovano uno a zero e l'altro a 0,57 l. Per ricavarci l'abbassamento massimo basta sostituire la s nell'equazione 4.

Adesso calcoliamo il momento M

Ms = -q/2 s₂ + 5/8 qls - ql²/8

Ora dobbiamo calcolare il punto in cui si annulla la derivata del momento M'(s)

M ( s=0) = -ql²/8

M ( s=l) = -ql²/2 + 5/8 ql² - ql²/8 = 0 

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

Adesso calcoliamo il taglio 

T(s) = -dM/ds = - M'(s)

- M'(s) = T(s) = qs - 5/8 ql

T ( s=l) = ql - 5/8ql = 3/8 ql

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

 

RISOLUZIONE SAP

 

Ho riprodotto la struttura in SAP disegnandola di lunghezza l = 2 e con un carico distribuito pari a q = 40 kN

1.    Divido ( con il comando Point ) la struttura in due parti, posizionando il punto ad una distanza di 0,57 dal punto zero e con asse y = z = 0 dato che dal calcolo a mano abbiamo visto che l'ammassamento massimo avviene in questo punto

         

L'analisi è stata fatta su due sezioni differenti , una rettangolare in acciaio cavo 

e l'altra in cemento armato 

 

DEFORMATA

                 

REAZIONI VINCOLARI

                                 

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

                      

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

                      

SEZIONE IN CEMENTO

REAZIONI VINCOLARI

                      

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

                     

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

                      

   

Dimensionamento travi principali e secondarie appartenenti a una struttura di destinazione residenziale con pianta:

 

E con solaio di sezione:

 

1_ pavimento in parquet di legno d’acero (15mm): 8KN/m³

2_ malta di sottofondo (20mm): 20KN/m³

3_ isolante (30mm): 3KN/m³

4_ massetto (30mm): 20KN/m³

5_ getto in cls e lamiera grecata: 2,5KN/m³

_ tramezzi e impianti: 1,5KN/m²

 

Acciaio Fe360/S235        f_y,k=235N/mm²

 

SCELTA DELLE TRAVI SECONDARIE

Per la scelta del profilato ottimale destinato a fungere da TRAVE SECONDARIA, è necessario valutare quale sia l’entità dei carichi agenti sulla struttura, il momento massimo M, la tensione ammissibile σ_amm, e quindi, grazie a questi ultimi due dati, valutare il minimo modulo di resistenza a flessione W_x=M/σ_amm

il profilato scelto avrà W_{x maggiore o uguale a quello ottenuto.}

 

1_ CALCOLO DEI CARICHI AGENTI:

a)         Carichi accidentali q_a,

b)        Carichi permanenti q_p,

c)         Carichi strutturali q_s.

 

a)         I CARICHI ACCIDENTALI dipendono dalla destinazione d’uso del fabbricato e vengono dettati dalla normativa.

Per la destinazione abitativa si considera:

CARICO ACCIDENTALE q_a 2KN/m² che moltiplicato per un coefficiente di sicurezza di valore 1,5 adimensionale:

q_a=3KN/m².

 

a)         I CARICHI PERMANENTI comprendono:

pavimento in parquet di legno d’acero: 8KN/m³ x 0.015m=0,12KN/m²

malta di sottofondo: 20KN/m³ x 0,02m=0,4KN/m²

isolante: 3KN/m³ x 0,03m=0,09KN/m²

massetto: 20KN/m³ x 0,03m=0,6KN/m²

tramezzi e impianti: 1,5 KN/m²

il carico permanente totale, moltiplicato per un coefficiente di sicurezza di valore 1,3 adimensionale:

q_p=3,523KN/m²

 

a)         I CARICHI STRUTTURALI comprendono la lamiera grecata e la gettata di cls, di peso totale q_s=2,5KN/m², che moltiplicato per un coefficiente di sicurezza di valore 1,5 adimensionale:

q_s=3,75KN/m²

 

IL CARICO LINEARE si ottiene moltiplicando il carico totale per l'interasse i_ts delle travi secondarie:

q=(q_p+q_a+q_s) x i_{ts= (}3,523KN/m² + 3KN/m² + 3,75KN/m²) x 1m= 10,273KN/m

 

2_ CALCOLO DEL MOMENTO AGENTE

Considerando la trave appoggiata agli estremi su vincoli cerniera e carrello, di reazione vincolare di pari intensità ql/2, il momento massimo M lungo la sezione l/2 è:

M=ql²/8=10,273KN/m x (6m)²/8 = 46,2285 KNxm

3_ LA TENSIONE AMMISSIBILE σ_amm

La tensione ammissibile coincide con il valore della massima tensione di snervamento legata alla classe di resistenza dell’acciaio scelto, ridotta da un coefficiente di sicurezza di valore adimensionale 1.15; in questo caso per Fe360/S235:

σ_amm = f_y,k / 1.15 = 235 N/mm² / 1.15 = 204,35N/mm²

 

4_ MODULO DI RESISTENZA A FLESSIONE  W_x

Grazie ai valori di σ_amm e M è possibile valutare il modulo di resistenza a flessione (moltiplicando per 1000 per effettuare la conversione in cm³⁾:

W_x=M/σ_amm= 46,2285 KNxm / 204,35 N/mm² x 1000= 226,22 cm³

 

5_ LA SCELTA DEL PROFILATO

La scelta del profilato si effettua osservando i valori di W_x e scegliendo quello uguale o superiore al valore minimo trovato con i calcoli precedenti. In questo caso si sceglierà il Wx=252,0cm^₃ del profilo IPE220.

 

Grazie a un foglio di calcolo Excel è possibile tabellare questi risultati:

 

6_ VERIFICA DELLA TRAVE SECONDARIA SCELTA

Per verificare che la trave scelta sostenga anche il suo peso si ripetono i calcoli precedentemente svolti aggiungendo al carico strutturale q_s il peso proprio della trave.

Per l’IPE 220 il peso proprio è 26,2 Kg/m che convertito in KN e considerato al m² equivale a 0,26KN/m².

q_s=(2,5KN/m²+0,26KN/m²)x 1,5=4,14 KN/m²

Grazie al foglio di calcolo precedentemente impostato si ottengono i nuovi valori di momento, tensione ammissibile e quindi modulo di resistenza a flessione. Quest’ultimo è comunque inferiore a quello dell’IPE 220 scelto, quindi adatto.

 

SCELTA DELLE TRAVI PRINCIPALI

Esattamente come per il ragionamento seguito per le travi secondarie, il procedimento di calcolo porta a valutare il modulo di resistenza a flessione W_x di una trave di luce l=8m, interasse i_tp=6m, e carico strutturale q_s comprendente il peso delle travi secondarie al m².

q_s=(2,5KN/m²+0,26KN/m²)x 1,5= 4,14 KN/m².

Il foglio di calcolo Excel mostra un modulo di resistenza a flessione minimo pari a W_x=2504,67cm³, per questo valore è quindi necessaria una trave IPE 600 con W_x=3070,00cm³.

 

VERIFICA DEL PROFILO IPE SCELTO PER LE TRAVI PRINCIPALI

A questo punto è possibile verificare se la trave principale è in grado di sostenere anche il peso proprio; per l’IPE 600 il peso proprio è 122Kg/m che convertito in KN e considerato al m² equivale a 1,22KN/m²; acquisito nel valore del carico strutturale:

q_s=(2,5KN/m²+1,22KN/m²)x1,5=5,58KN/m²

Il calcolo del modulo di resistenza elastico W_x=2842,92cm³<W_x,IPE600=3070,00cm³ quindi il profilo è sufficiente.

 

 

Voglio Dimensionare le travi in acciaio di un solaio per un' abitazione privata.

 

 

 

 

Luce delle travi : L = 5 m

Interasse i = 4 m

 

 

A) CARICHI STRUTTURALI

4 rete elettrosaldata (0,3 kN/m2) > 0,3 kN/m2

5 lamiera grecata e soletta in CLS (2,50KN/m2) > 2,50 kN/m2

 

Totale carichi strutturali = 2,8 kN/m2

 

B) CARICHI PERMANENTI

Pavimento in parquet (6 kN/m3) s= 2 cm > 6x0,02 = 0,12 kN/m2

Strato di allettamento in malta di calce (18 kN/m3)  s = 3 cm  > 18x0,03 = 0,54 kN/m2

Massetto in CLS (20 kN/m3) s= 5 cm > 20x0,05 = 1,00 kN/m2

Tramezzi (considerati carichi distribuiti secondo nuova NTC) = 1,00 kN/m2
 

Totale carichi permanenti =  2,66  kN/m2

 

C) CARICHI VARIABILI

Destinazione d'uso: Residenziale = 2,00  kN/m2

 

 

Totale carichi = 7,46 kN/m2

 

 

Analisi dei carichi sulle travi portanti

Carico agente sulla trave : q = qs + qp + qa  x Area d'influenza

La trave B hanno un area di influenza uguale a 2 m > 7,46x2 = 14,92 kN/m

 

Le travi A,C hanno un area di influenza uguale a 4 m > 7,46x4 = 29,84 kN/m

 

Progetto a momento flettente una trave doppiamente appoggiata > M = ql2/8

 

il momento massimo si ha in mezzeria = 2,5 m

 

Trave B > 29,84x2,52/8 = 23,31 kN/m

Travi A,C > 14,92x2,52/8 = 11,65 kN/m

 

Scelgo delle travi in Acciaio S275 

Tramite l'inserimento dei dati trovati il foglio excel mi calcola il valore del modulo di resistenza Wx con cui potrò scegliere dal profilario le trave IPE necessarie.

 

Trave B > Wx = 390 cm3, per ragioni di sicurezza, vado a scegliere una IPE 270 con Wx = 429 cm3 

 

Trave A,C > Wx = 194 cm3, per ragioni di sicurezza, vado a scegliere una IPE 220 con Wx = 252 cm3 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voglio Dimensionare le travi in CLS armato di una copertura non praticabile.

 

 

Luce delle travi : L = 5 m

Interasse i = 4 m

 

 

A) CARICHI STRUTTURALI

Travetti in c.a. (25 kN/m3)   s=2, n=2 > 25x2x0,12x0,10 = 0,6 kN/m2

Caldana superiore (25 kN/m3)  s= 4 > 25x0,04x1,00 = 1,00 kN/m2

Pignatte in laterizio (5,5 kN/m3) s=2, n=2 > 5,5x2x0,12x0.40  = 0,53 kN/m2

 

Totale carichi strutturali =  2,15 kN/m2

 

B) CARICHI PERMANENTI

Massetto (19 kN/m3) s= 4 cm > 19x0,04x1,00 = 0,76 kN/m2

Intonaco (2.0 kN/m3) s= 1,5 cm > 2x0,15x1,00x2 = 0,3 kN/m2

Impermeabilizzazione  (0,3 kn/m2) > 0,3 kN/m2

Tegole (0,5 kN/m2) > 0,5 kN/m2

 

Totale carichi permanenti =  1,9  kN/m2

 

C) CARICHI VARIABILI

Destinazione d'uso: Copertura non praticabile + Carico neve = 1,00  kN/m2

 

In questo esercizio andremo a trasformare i carichi caratteristici in carichi di progetto, aumentati dai coefficienti di sicurezza prescritti dalle NUOVE NORME TECNICHE del 2008. 

 

Carichi strutturali di progetto = 1.3 x g1k = 1.3 x 2.15 = 2.80 kN/m2 

Carichi permanenti di progetto = 1.5 x g2k = 1.5 x 1.90 = 2.85 kN/m2 

Carico variabile di progetto = 1.5 x qk = 1.5 x 1.00 = 1.50 kN/m2

 

Totale carichi di progetto = 7,15 kN/m2

 

 

Analisi dei carichi sulle travi portanti

Carico agente sulla trave : q = qs + qp + qa  x Area d'influenza

 

Tra le tre travi andrò a calcolare solo i valori di progetto di quella mediana, in quanto sollecitata da carico maggiore.

 

Trave B =  4 m > 7,15x4 = 28,60 kN/m

 

Progetto a momento flettente una trave appoggiata > M = ql2/8

 

il momento massimo si ha in mezzeria > 2,5 m

 

M > 28,60x2,52/8 = 22,35 kN/m

 

 

Scelgo un calcestruzzo con classe di resistenza 25/30, un'acciaio B450C con fy = 450 MPa e un'altezza di 15 cm, in quanto il carico da sostenere non è eccessivo.

 

Inserisco di nuovo i dati nel foglio di calcolo e ottengo un'altezza di 22,61 cm che vado ad aumentare a 25 cm.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·         Dimensionamento solaio:

_trave principale luce = 8 m, interasse = 6 m

_trave secondaria luce = 6 m, interasse = 1m

 

·         Elementi sezione stratigrafica solaio:

1_ pavimento (15mm), peso s. 6,5 kN/m³

2_ malta (20mm), peso s. 20 kN/m³

3_ isolante (33mm), peso s. 3kN/m³

4_ massetto (30 mm) peso s. 20 kN/m³

5_ lamiera grecata + getto di completamento in cls (0,8mm), peso s. 2,5 kN/m²

 

·         Dalla tabella comparativa degli acciai scelgo la classe Fe 360/S235.

 

 

TRAVE SECONDARIA:

Per prima cosa calcolo i carichi permanenti (q_p), carichi strutturali (q_s) e carichi accidentali (q_a):

 

-       carichi permanentiq_p

1_ pavimento in teak 6,5 kN/m³ * 0,015 m = 0,0975 kN/m²

2_ malta 20 kN/m³ * 0,020 m = 0,4 kN/m²

3_ isolante 3 kN/m³ * 0,03 m = 0,09 kN/m²

4_ massetto 20 kN/m³ * 0,03 = 0,6 kN/m²

 

Totale q_p  = 1,1875 kN/m²

 

È necessario moltiplicare il totale dei carichi permanenti per un coefficiente di sicurezza (valore tabellato).

 

1,1875 kN/m² * 1,5 = 1,78 kN/m²

 

-       carichi strutturaliq_s

1_ lamiera gracata + getto di completamento in cls 2,5 kN/m²

 

È necessario moltiplicare il totale dei carichi strutturali per un coefficiente di sicurezza.

 

2,5 kN/m² * 1,3 = 3,25 kN/m²

 

-       carichi accidentaliq_a – il peso dei carichi accidentali è un valore tabellato in base alla destinazione d’uso dell’edificio che si sta progettando. Nel nostro caso utilizziamo il valore relativo alla destinazione d’uso abitativa = 2kN/m^2.

 

2kN/m² * 1,5 = 3,00 kN/m²

 

Totale carichi = (q_p+ q_s+ q_a)*(i)

                      = (1,78 + 3,25 + 3,00)*1 = 8,03 kN/m²

 

È necessario moltiplicare il totale dei carichi accidentali per un coefficiente di sicurezza.

 

Dopo aver calcolato tutti i carichi, inserisco i risultati nel foglio di calcolo Excel che calcola il momento M = 36,135 kN*m.

Considerando una trave l doppiamente appoggiata su carrello e cerniera, su cui vi è un carico distribuito, le reazioni vincolari saranno uguali a ql/2, quindi il momento massimo è ql²/8.

Poi calcolo la tensione ammissibile s_amm= fy, k/1,15 dove con fy, k indico la classe dell’acciaio scelto.

Conoscendo i valori M e s_amm posso calcolare W_x = M/s_amm.

W_x = 176,83

Questo numero deve essere inferiore ai valori di W tabellati relativi ai profili standard.

In questo caso il valore ottenuto ci impone di utilizzare una trave IPE 200.

TRAVE PRINCIPALE:

Per il calcolo relativo alla trave principale eseguiamo esattamente lo stesso procedimento, considerando però una trave di luce = 8 e i = 6. Inoltre il carico strutturale comprenderà il peso delle travi secondarie.

 

Q_p = 1,78 kN/m²

Q_a = 3,00 kN/m²

Q_s = 3,25 kN/m² + 0,224 kN/m² = 3,47 kN/m²

 

Il nuovo valore di W_x = 1937,85 cm³ che ci impone di utilizzare una trave IPE 550. 

VERIFICA TRAVE PRINCIPALE:

Per verificare se la trave è in grado di reggere anche il suo stesso peso è necessario sommare il valore del peso specifico relativo alla trave IPE 550 (106,0 kg/m) nel calcolo dei carichi strutturali:

 

Q_s = 3,47 kN/m² + 1,06 kN/m² = 4,53 kN/m²

W_x = 2186,84 cm³

 

L’IPE 550 ha valore W_x = 2440,0. Il valore  ottenuto dai calcoli deve essere inferiore a quello tabellato, quindi il profilo IPE 550 è sufficiente per sopportare i carichi pervisti.

 

 

 

 

La struttura presa in questione presenta una trave più soggetta delle altre al momento flettente M, prendiamo in questione proprio questa trave al fine di calcolarne l’altezza della sezione. Essa presenta un’area di influenza di 4 x 5 m.
Supponiamo che la struttura sia in pioppo, un legno povero che presenta però delle buone caratteristiche di resistenza

Il primo passo consiste nella definizione della stratigrafia del solaio, il quale presenta una struttura primaria che non consideriamo al momento (visto che la stiamo per calcolare) ed una secondaria costituita dai travetti, ai quali diamo una dimensione di 80 x 100 cm.

 

Ho eseguito manualmente i calcoli per poi verificarli sul foglio excel in fase finale. Andando per ordine possiamo calcolare prima i CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI (qp).

Pavimento parquet in rovere (1)
Peso specifico = 7 kN/m³
Volume = 0,015 x 1 x 1 = 0,015 m³
Peso al m² = 7 x 0,015 = 0,1 kN/m²

 

Massetto in cls alleggerito (2)
Peso specifico = 4,7 kN/m³
Volume = 0,04 x 1 x 1 = 0,04 m³
Peso al m² = 4,7 x 0,04 = 0,2 kN/m²

 

Isolamento in fibra di legno (3)
Peso specifico = 2,1 kN/m³
Volume = 0,05 x 1 x 1 = 0,05 m³
Peso al m² = 2,1 x 0,05 = 0,1 kN/m²

 

Incidenza impianti = 1 kN/m²

Incidenza tramezzi = 1 kN/m²

Muro di tamponamento  = 2 kN/m²

Totale qp = 4,4 kN/m²

 

Ora calcoliamo i CARICHI STRUTTURALI (qs)

Caldana (4)
Peso specifico = 18 kN/m³
Volume = 0,05 x 1 x 1 = 0,05 m³
Peso al m² = 18 x 0,05 = 0,9 kN/m²

 

Tavolato in pioppo (5)
Peso specifico = 5 kN/m³
Volume = 0,035 x 1 x 1 = 0,035 m³
Peso al m² = 5 x 0,035 = 0,175 kN/m²

 

Travetti in pioppo (6)
Peso specifico = 5 kN/m³
Volume = 0,08 x 0,1 x 1 = 0,008m³
Peso al m² = 5 x 0,08 x 0,1 x 2 = 0,08 kN/m²(moltiplichiamo per due perché consideriamo la presenza di 2 travetti ogni metro)

Totale qs = 1,15 kN/m²

 

CARICHI ACCIDENTALI (qa), cioè quelli dipendenti dalla destinazione d’uso dell’ambiente. Nel nostro caso, come progettiamo la struttura per un uso residenziale.

Totale qa = 2 kN/m² (da normativa)

TOTALE CARICHI
qs + qp + qa = 1,15 + 4,4 + 2 =7,55 kN/m²

Ora possiamo calcolare il valore del carico distribuito agente sulla trave presa in esame, moltiplicando la somma dei carichi per il valore i, cioè l’ampiezza dell’area di influenza degli stessi carichi sulla trave.

Calcoliamo il momento massimo che insiste sulla trave, valutata come una trave appoggiata con un carico distribuito. L è la luce della trave, che utilizziamo come seconda dimensione dell’area di influenza.

Calcoliamo la resistenza di progetto (fd)considerando il coefficiente di degrado nel tempo  kmod, esso  tiene conto della durata del carico e della classe di servizio (deve essere sempre <1), il coefficiente di sicurezza ɣm e la fmk, cioè la resistenza caratteristica.

Ora possiamo procedere con il dimensionamento della trave secondo la teoria flessionale di Navier, considerando che 

Abbiamo ora la formula per ottenere h. Scegliamo arbitrariamente una b = 20 cm

Si presenta quindi una trave di legno di 20 x 55 cm, inserendo i dati all’interno della tabella di excel possiamo verificare che i calcoli sono giusti.

A questo punto dobbiamo considerare il peso proprio della trave, il quale va sommato al totale dei carichi strutturali qs ed andrà ad aumentare l’altezza totale della trave.

Trave in pioppo
Peso specifico = 5 kN/m³
Volume = 0,2 x 0,55 x 1 = 0,11m³
Peso al m² = 5 x 0,11 = 0,55 kN/m²

Totale qs = 1,15 + 0,55 =1,7 kN/m²

Come previsto l’altezza della trave è aumentata, aumentando per eccesso le dimensioni della trave possiamo ottenere la sezione di 20 x 60 cm.

Per risolvere questa trave iperstatica si ricorre al metodo d’integrazione della linea elastica che ci permette di ottenere l’incognita richiesta, cioè lo spostamento verticale massimo vs  della deformata.

Iniziamo analizzando le 8 equazioni fondamentali:

- 3 eq. di EQUILIBRIO

- 3 eq. di CONGRUENZA

-2 eq. del LEGAME COSTITUTIVO

Si prendo in analisi le 5 equazioni che sono legate allo spostamento vs  che sono:

⎧(dT/ds) + q₂=0

⎢(dM/ds) + T=0

⎨M=E*I*χ

⎢χ=(dφ/ds)

⎩φ=(dv/ds)

 

Ora bisogna ottenere da queste equazioni v in funzione di s, per far ciò bisogna eseguire i questi passaggi:

 

 

sapendo che:

        e        

sostituendo otteniamo:

                                                       

sapendo che:

                                 

sostituendo otteniamo:

                                                   

otteniamo così l'EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

 

Svolgiamo ora le opportune integrazioni:

 

Passiomo ora ad analizzare le condizioni al bordo dalle quali si ottiene:

- nell'incastro all'estremo sinistro dove s=o si ha v(0)=0 e   da cui si ricava C₃=0 e C₄=0

- nel carrello all'estremo destro dove s=l si ha:

    -            da cui si ottiene                          

    -          sapendo che M=E*I*χ; possiamo cosiderare solo la curvatura perchè E ed I sono costanti

     

Mettendo quindi a sistema queste due equazioni e risolvendo si ha:

 

Ora dobbiamo determinare per quale valore di s si ha v_max. Sapendo che all’abbassamento verticale massimo corrisponde un valore nullo della derivata della funzione che approssima la deformata della trave è sufficiente, quindi, derivare la funzione v_(s) e trovare i valori di s per i quali la derivata si annulla.

Si ottiene un'equazione di 3° grado dove dobbiamo sostituire i valori di C ottenuti precedentemente.

 

si ha quindi come prima soluzione

Ipotizzando una trave di lunghezza unitaria (l=1) e risolvendola otteniamo s=1,296 (non accettabile poichè esterno alla trave) e s=0,5784.

Possiamo ora calcolarci lo spostamento massimo:

Utilizzando le equazioni studiate all'inizio possiamo ottenere i valori di taglio e momento in punti noti:

                     

 

                         

Rimangono ora i diagrammi:

- Il diagramma del taglio ha un andamento lineare e si ha un taglio negativo massimo in prossimità dell’incastro e uno positivo massimo nel carrello destro mentre l’intersezione con l’asse della trave corrisponde a s=0,578.

- Il diagramma del momento ha un andamento parabolico, con un massimo negativo nell’incastro, curvatura verso il basso e valore zero nel carrello mentre si ha il momento massimo positivo ad s=0,578.

 

VERIFICA IN SAP

 

Iniziamo creando un nuovo file selezioniamo il preset GRIND ed impostiamo 2 sul numero di assi della griglia lungo x ed e 1 come GRIND SPACING lungo x (in modo da ottenere una trave di lunghezza unitaria come si era ipotizzato nell’esercizio precedente).

Ora si deve disegnare la trave di lunghezza AB ed aggiungere il punto a 0,5784 clicchiamo sul comando DRAW SPECIAL JOINT, selezioniamo il punto A ed impostiamo una distanza 0,5784 sull’offset x.

Si passa all’assegnazione dei vincoli, dopo aver selezionato il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > scegliere il tipo di vincolo ( incastro nel nodo a sinistra, carrello in quello a destra).

Dobbiamo ora togliere il contributo del peso proprio della trave dai carichi, andiamo in DEFINE > LOAD PATTERNS > SELF WEIGHT MULTIPLER = 0 > assegnargli un nome (peso_nullo) > ADD NEW LOAD PATTERN.

Si deve ora assegnare il carico uniformemente distribuito, selezioniamo l’asta  ed andiamo in ASSIGN > FRAME LOADS > DISTRIBUTED > selezioniamo la nostra trave di peso nullo ed impostiamo l’unità di misura voluta (nel nostro caso N, m, °C) > nella casella UNIFORM scrivere il carico (-10 KN, negativo poiché verso il basso).

Rimane solamente da lanciare il calcolo. Per farlo andiamo in RUN ANALYSIS > disattiviamo le voci MODAL E DEAD e clicchiamo RUN NOW.

 

La prima cosa che mostra il software è la deformata.

 

Per visualizzare il TAGLIO usiamo il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > SHEAR 2/2.

 

Per visualizzare il MOMENTO usiamo il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > MOMENT 3/3.

Dobbiamo ora definire il profilo in ACCIAIO d’assegnare alla trave.

Iniziamo impostando uno scatolare cavo 40x30cm spessore 2mm, andiamo in DEFINE > SECTION PROPERTIES > FRAME SECTIONS ed impostiamo i nostri parametri. Successivamente si deve selezionare l’asta e assegnargli il profilo appena creato utilizzando il comando ASSIGN   > FRAME  > FRAME SECTIONS.

Fatto ciò possiamo lanciare nuovamente il calcolo e d esportarci le tabelle che si ottengono dall’analisi per farlo andiamo in DISPLAY > SHOW TABLES > spuntiamoANALYSIS RESULTS.

Ottengo così le seguenti tabelle:

Ripetiamo la stessa procedura, questa volta assegnamo alla trave un profilo in CALESTRUZZO ARMATO h=50cm b=25cm.

RETICOLARE PIANA - METODO DI RITTER - 

SCHEMA DI CALCOLO

            

Per prima cosa verifico che la struttura sia isostatica; il numero dei gradi di libertà della struttura deve essere pari al numero di vincoli applicati su questa.

Ve + a = 2n

dove

Ve= vincoli esterni

a= numero aste

n= numero nodi

3 + 33 = 2 * 18 

36 = 36 

da questa uguaglianza si deduce che la struttura è isostatica.

Trovo ora le reazioni vincolari che risultano essere entrambe 9/2F poichè la struttura è simmetrica e simmetricamente caricata. Le reazioni vincolari sono dunque simmetriche.

Effettuo ora la sezione di ritter che divide la struttura in due, tagliando tre aste che convergono nello stesso nodo.

SEZIONE 1

Una volta effettuato il taglio virtuale si mettono in evidenza gli sforzi normali agenti sulle sezioni delle aste

N.B. Disegnare le forze N uscenti dalla sezione significa che sto considerando che le aste sezionate siano sottoposte a trazione (tiranti). 

Scrivo le tre equazioni di equilibrio a rotazione cambiando ogni volta il polo, che scelgo nel punto di incontro di due delle tre aste tagliate

• Trovo N₂₄ facendo polo nel punto 3

- N₂₄*L +FL - 9/2FL = 0

 N₂₄ = - 7/2F  

N₂₄ è negativo quindi l'asta 24 è un puntone    

• Trovo N₁₃ facendo polo nel punto 2

N₁₃*L= 0

L'asta 13 risulta essere scarica

• Trovo N₂₃ facendo l'equilibrio alla traslazione orizzontale 

√2/2 N₂₃ -7/2F = 0               

N₂₃ = 7V2 /2F      

N₂₃ è positivo , l'asta 23 è un tirante                    

                

SEZIONE 2

          

• Equazione alla traslazione verticale

N₁₂ + 9/2F = 0

N₁₂ = -9/2F 

L'asta 12 risulta essere compressa     

SEZIONE 3

• Trovo N₃₅ facendo polo in 4

N₃₅*L + FL - 9/2FL = 0

•  
•  
•  

•  
•  

N₃₅ = 7/2F 

L'asta 35 è tesa      

• Trovo N₃₄ facendo la traslazione verticale 

N34 - F + 9/2F = 0

N34 = -7/2F  

L'asta 34 è compressa 

SEZIONE 4

• Trovo N46 facendo polo in 5

N₄₆*L + 3FL - 9/2F * 2L = 0

-N₄₆= - 6F

L'asta 46 è compressa 

• Trovo N₄₅ facendo l'equilibrio alla traslazione orizzontale 

√2/2 N₄₅ - 6F + 7/2F = 0

N₄₅ = (5V2)/2 F 

L'asta 45 è tesa

SEZIONE 5 

• Trovo N₅₇ facendo polo in 6 

N₅₇*L + 3FL - 9/2F * 2L = 0

N₅₇ = 6F

L'asta 57 è tesa  

• Trovo N₅₆ facendo l'equilibrio alla traslazione verticale

9/2F - 2F + N₅₆ = 0

N₅₆ = -5/2 F

SEZIONE 6

• Trovo N₆₈ facendo polo in 7 

-N₆₈*L - 9/2F*3L + 6FL= 0

N₆₈ = -15/2F

L'asta 68 è compressa

• Trovo N₆₈ facendo l'equilibrio alla traslazione orizzontale 

N₆₇ √2/2 - 15/2F + 6F = 0

N₆₇  = 3√2/2F

SEZIONE 7

• Trovo N₇₉ facendo polo in 8

9/2F - 3F + N₇₈ = 0

N₇₈ = -3/2F

L'asta 78 è compressa 

SEZIONE 8

• Trovo N₈₁₀ facendo polo in 9

-N810*L - 9/2F*4L + 10FL= 0

N₈₁₀ = -8F

L'asta 810 è compressa 

• Trovo N₈₉ facendo l'equilibrio alla traslazione orizzontale 

N₈₉ √2/2 + 15/2F + 8F = 0

N₈₉ = F√2/2

SEZIONE 9 

• Trovo N₉₁₀ facendo l'equilibrio alla traslazione verticale

- 4F + 9/2F + N₉₁₀ = 0

N910= - F/2

Lìasta 910 è compressa

Siccome la struttura è simmetrica e simmetricamente caricata , l'ho analizzato solamente per metà siccome le reazioni vincolari risultano essere simmetriche

 

 

RETICOLARE 3D - SAP - 

Disegnano la pianta, creando un nuovo layer , dato che SAP non legge in layer 0 di autocad, partendo da un modulo base L di 2 x 2 , facendo attenzione che ogni asta sia un elemento separato e la completiamo portando3d    

 

                      

                                                         

 

Selezioniamo tutto ed esplodiamo. Salviamo il file in formato dxf in modo da poterlo importare in SAP Apriamo SAP e importiamo il file autocad

 

FILE- IMPORT- AUTOCAD- dxf FILE

Si aprirà una tendina impostiamo come unità di misura KN, m, C e come “ Global Up Direction” impostiamo l’asse z ; diamo ok. Si aprirà un’altra tendina, nella voce “Frame” impostiamo il layer con il quale abbiamo disegnato, in questo caso layer 1

                                      

 

Una volta importata la struttura, bisogna eliminare gli errori , ossia fare in modo che le aste convergano bene nei nodi.

EDIT - EDIT POINTS - MERGE JOINTS - MERGE TOLERANCE (inserire un valore basso)

Inseriamo i vincoli

ASSIGN - JOINT - RESTRAINT 

                                          

  Quando si disegna in SAP, esso disegna sempre in automatico una sezione , quando importiamo il disegno invece non lo fa. Assegniamo una sezione, selezioniamo il disegno :

 

DEFINE - SECTION PROPERTIES - FRAME SECTION - ADD NEW POPERTY

selezioniamo il materiale; in questo caso abbiamo scelto una sezione circolare in acciaio

                                                                

Assegnamo poi la forza concentrate  ( -40 , negative perchè la forza spinge verso il basso)

 

                                                  

Rendiamo tutti i nodi delle cerniere interne e andiamo ad assegnargli il rilascio.

 

ASSIGN - FRAME - RELEASIS - MOMENT 3-3 - spuntiamo le caselle END e START

Il valore deve essere zero

                                                     

Definiamo il peso proprio della struttura, dandogli valore zero

DEFINE - LOAD PATTERNS - SELF WEIGHT MULTIPLIER = 0

2.    Una volta fatto ciò , facciamo partire l’analisi senza tenere conto del MODAL

ANALYZE - RUN ANALYZE e leggiamo i risultati

 

DEFORMATA

                          

REAZIONI VINCOLARI

 

                             

DIAGRAMMA SFORZO NORMALE

                              

 

Andando su DISPLAY - SHOW TABLES  ci appare una tabella degli abachi disponibili. Clicchiamo su ANALYSIS RESULTS . Ci compare una tabella in cui sono mostrati tutte le aste con i relativi sforzi normali

 

Possiamo inoltre esportare questa tabella in excel

FILE - EXPORT CURRENT TABLES - TO EXCEL 

 

 

 

 

House in Akiya - Architect Cafe/Mikio Tai

Il legno, unitamente alla pietra, è stato uno dei primi materiali a cui l'architettura si è rivolta ed era anche l'unico che poteva indifferentemente essere impiegato a compressione, a trazione e, soprattutto, a flessione. Quando nell'Ottocento, grazie anche al contributo della teoria delle strutture, si raggiungono elevate luci con le strutture in legno (capriate, reticolari rettilinee, cupole reticolari e strutture lamellari), l'introduzione della ghisa e dell'acciaio ne decretano il declino, situazione che è rimasta tale fino alla seconda metà del Novecento con la diffusione del legno lamellare. Nonostante le ampie possibilità di grande luci con il legno lamellare (sono stati superati i 70 metri di luce con cupole in lamellare) anche il legno naturale ha ritrovato nuove applicazioni soprattutto nelle regioni in cui è rimasto vivo l'insegnamento della tradizione come in Finlandia e in centro Europa (Baviera, Austria, Svizzera). Analogamente in Giappone, luogo di antichissima tradizione costruttiva con il legno, diversi architetti sono attualmente impegnati nella rielaborazione delle soluzioni costruttive con questo materiale.

In questa esercitazione proveremo a predimensionare una trave in legno di un'abitazione con struttura a telaio. Ci verrà in soccorso un foglio di calcolo excel, molto utile nella prima fase della progettazione di un edificio, per farsi un'idea riguardo le probabili dimensioni da adottare. La pianta strutturale dell'abitazione in questione è così progetatta:

 

La trave in questione è la 1-2 sull'allineamento B. Prima di poter inserire qualsivoglia dato sul foglio excel, dobbiamo analizzare i carichi che gravano sulla trave:

Carico strutturale (Q_s), che indica l'entità del carico intrinseco di tutti gli elementi componenti la struttura che gravano sulla trave;

Carico permanente (Q_p), che indica l'entità del carico di tutti gli elementi che compongono il solaio, ma che non hanno funzione strutturale, con l'aggiunta eventuale del sovraccarico di tutte le partizioni interne al di sopra del solaio;

Carico accidentale (Q_a), che indica l'entità del carico di tutti gli elementi variabili al di sopra della trave, quali, ad esempio, arredi, persone, agenti atmosferici.

A parte il carico accidentale (il cui valore è prestabilito dalla normativa, in base alla destinazione d'uso del manufatto architettonico), dobbiamo ricavarci gli altri due tramite dei semplici calcoli, che variano a seconda della stratigrafia del solaio. Ipotizziamo che il nostro solaio sia strutturato in questo modo:

 

A = Trave in legno lamellare;

B= Travetti in legno lamellare;

C= Assito in legno di castagno;

D= Caldana in calcestruzzo;

E= Isolante termo acustico;

F= Massetto di allettamento in calcestruzzo;

G= Pavimento in legno di rovere.

 

Nel caso specifico di un solaio in legno a doppia orditura, per il corretto calcolo del carico strutturale gravante sulla trave, abbiamo bisogno di definire prima, sempre con lo stesso foglio di calcolo, le dimensioni dei travetti.

 

PREDIMENSIONAMENTO DEI TRAVETTI

Carico strutturale Q_s

Assito in legno di castagno (s = 0.035 m)      P = V x g = (1m x 1m x 0,035m) x 6 kN/mc        Q_s = 0,21 kN/mq

Carico permanente Q_p

Pavimento in parquet di rovere (s = 0,02 m)            8 KN/mc x 0,02 m = 0,16 kN/mq

Massetto (s =0,03 m)                                             20 KN/mc x 0,03 m = 0,6 kN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05 m)                      0,6 KN/mc x 0,05 m = 0,03 kN/mq

Caldana (s= 0,04 m)                                              10 KN/mc x 0,04 m = 0,4 kN/mq

Impianti                                                                    (da normativa)        0,5 kN/mq 

Tramezzi                                                                  (da normativa)           1 kN/mq 

Q_p = 2,69 kN/mq

Carico accidentale Q_a = per civile abitazione la normativa stabilisce Q_a = 2 kN/mq

Sommando i carichi avremo quindi:

Q_tot = 0,21 + 2 + 2,69 = 4,90 kN/mq

Una volta trovato il carico distribuito incidente su 1 mq di superficie, moltiplico il valore per l'area di influenza i, al fine di trovare il valore del carico lineare che grava sul singolo travetto:

Q = 3,90 kN/mq x 1 m = 4,90 kN/m

A questo punto scegliamo la classe di resistenza del legno lamellare per i travetti, una GL240 con resistenza caratteristica a flessione di 24 N/mmq. Inseriamo nel foglio excel anche il valore del K_mod (una variabile che tiene conto del fatto che il legno è un materiale organico, e quindi soggetto a deterioramento) ed esso, tramite la formula:

f_d = K_mod x fk / γ_m = 0,6 x 24 N/mmq / 1,45 = 9,93 N/mmq

calcola la tensione di progetto massima. Ipotizziamo, inoltre, che il sistema di fissaggio del travetto alla trave sia assimilabile a quello di una trave doppiamente appoggiata; ne ricaviamo che il momento flettente è pari QL^2/8. Non rimane altro che inserire la luce del nostro travetto (3,85 m) e ipotizzare una base per il predimensionamento (0,12 m):

Approssimiamo h e avremo un travetto predimensionato di 12 x 25 cm. Verifichiamo ora che la sezione del travetto sia corretta, sommando al Q_s iniziale il carico del travetto al metro quadro:

Travetto in legno lamellare di conifere      Q_travetto = [(0,12 m x 0,25 m x 1 m) x 3,73 kN/mc] / 1 mq = 0,11 kN/mq

Q_s' = Q_s + Q_travetto = 0,32 kN/mq

Il travetto risulta quindi verificato: GL24h 12x25 cm. Passiamo ora al predimensionamento della trave.

PREDIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE

Una volta dimensionati i travetti, non rimane che trovare la sezione della trave, ripetendo lo stesso procedimento:

Carico strutturale Q_s

Assito in legno di castagno (s = 0.035 m)      (1m x 1m x 0,035m) x 6 kN/mc = 0,21 kN/mq   

Travetto in legno lamellare di conifere            (0,12 m x 0,25 m x 1 m) x 3,73 kN/mc = 0,11 kN/mq

Q_s = 0,32 kN/mq

Carico permanente Q_p

Pavimento in parquet di rovere (s = 0,02 m)            8 KN/mc x 0,02 m = 0,16 kN/mq

Massetto (s =0,03 m)                                             20 KN/mc x 0,03 m = 0,6 kN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05 m)                      0,6 KN/mc x 0,05 m = 0,03 kN/mq

Caldana (s= 0,04 m)                                              10 KN/mc x 0,04 m = 0,4 kN/mq

Impianti                                                                    (da normativa)        0,5 kN/mq 

Tramezzi                                                                  (da normativa)           1 kN/mq 

Q_p = 2,69 kN/mq

Carico accidentale Q_a = 2 kN/mq

Sommando i carichi avremo quindi:

Q_tot = 0,32 + 2 + 2,69 = 5,01 kN/mq

Anche in questo caso, per trovare il carico che grava su 1 metro lineare di trave, moltiplico il carico distribuito per l'area di influenza della trave (i):

Q = 5,01 kN/mq x 3,55 m = 17,78 kN/m

Scegliamo anche per la trave un legno lamellare con classe di resistenza GL240 e calcoliamo, come in precedenza, il momento per una trave doppiamente appoggiata. Inseriamo la luce della trave (6 m) e ipotizziamo una base di partenza di 30 cm:

Approssimiamo h anche per la trave e ipotizziamo una trave di legno lamellare di 30 x 45 cm. Procediamo alla verifica allo stesso modo, aggiungendo il peso proprio della trave al Q_s precedente:

Trave in legno lamellare di conifere      Q_trave = [(0,30 m x 0,45 m x 1 m) x 3,73 kN/mc] / 1 mq = 0,50 kN/mq

Q_s' = Q_s + Q_trave = 0,82 kN/mq

La trave risulta quindi verificata: GL24h 30x45 cm.

TRAVE RETICOLARE 2D

Uno dei metodi per superare grandi luci è quello di utilizzare TRAVI RETICOLARI; tali strutture sono costituite da ASTE ognuna soggetta solamente a SFORZO ASSIALE (per avere tale condizione le forze esterne devono agire come carico concentrato nei nodi) e collegate per mezzo di CERNIERE INTERNE in modo da formare TRIANGOLI; la forma triangolare permette di creare strutture che non si deformano dove rimangono però 3 GDV liberi (GDL= 3x3=9  GDV=3x2=6) che devono essere assegnati a vincoli esterni (cerniera e carrello), per questo motivo la trave reticolare nel suo complesso può essere considerata come una trave appoggiata.

Analizziamo ora una trave reticolare composta da 8 campate con un carico concentrato pari a F in ciascuno dei nodi superiori.

Come abbiamo detto precedentemente la trave reticolare può essere ricondotta ad uno SHEMA ISOSTATICO EQUIVALENTE di trave doppiamente appoggiata in modo da ottenere le reazioni vincolari.

R_ua = 0                          R_ub = 0

R_va + R_vb = 9F => R_va = R_vb = 9F/2

Abbiamo quindi determinato le reazioni vincolari esterne, ora dobbiamo determinare le sollecitazioni su ciascuna asta e per farlo possiamo procedere in due modi o con il METODO DEI NODI o con il METODO DELLE SEZIONI DI RITTER.

Il metodo dei nodi consiste nell’analizzare ciascun nodo e le aste ad esso collegate in modo da equilibrare tutte le forze che agiscono su di esso, il problema di tale metodo è che non si possono avere più di un’incognita nella stessa direzione (considerando anche le componenti di forze inclinate).

Il metodo delle sezioni di Ritter invece taglia la struttura in modo da analizzare al massimo tre aste incognite contemporaneamente, facendo attenzione che le aste sezionate non siano collegate allo stesso nodo; avremo a questo punto la trave reticolare divisa in due parti che devono essere in equilibrio, si procede perciò con l’equilibrio alla rotazione di una delle due parti facendo polo in uno dei nodi dove concorrono almeno due aste in modo da non considerare le loro incognite risolvendo un’asta per volta.

Una trave reticolare può essere risolta usando uno solo dei due metodi o entrambi questo permette a volte di velocizzare i passaggi.

Per risolvere questo esercizio possiamo applicare le sezioni di Ritter come in figura e il metodo dei nodi per il nodo 1 e 10 poiché presentando solo aste verticali e orizzontali risulta più immediato, inoltre essendo la struttura simmetrica basta analizzare solo una parte delle aste e poi per simmetria avremo ottenuto l’analisi completa.

Iniziamo dall’analisi del NODO  1, in esso è presente un’azione esterna verticale e nessuna forza orizzontale, poiché non sono non ci sono aste inclinate l’unica che concorre all’equilibrio è l’ASTA 1-2 che risulta COMPRESSA ed è quindi un PUNTONE mentre l’ASTA 1-3 risulta SCARICA.

 

Passiamo ora ad effettuare la prima sezione virtuale (sezione di Ritter) in questo caso la SEZIONE A-A’. Per prima cosa dobbiamo disegnare gli sforzi assiali N che agisco su ciascuna asta, imponendoli di VERSO USCENTE stiamo ipotizzando che le aste sia soggette a TRAZIONE e quindi siano dei TIRANTI, se dai calcoli le forze risultassero negative significa che il verso corretto sia ENTRANTE, che l’asta sia COMPRESSA e di conseguenza un PUNTONE. In questa sezione sappiamo già che l’asta 1-3 è scarica quindi ci concentreremo solo sulle altre due aste sezionate avendo come incognite N_2-3 e N_2-4.

Facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 3 (la forza N_2-3 ha braccio nullo quindi non sarà presa in considerazione) e potremmo ricavarci N_2-4.

N_2-4 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per conoscere N_2-3 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale, prima però dobbiamo scomporre la forza nei suoi 2 vettori componenti, in questo caso pari entrambi a N_2-3(√2/2)poiché l’asta è inclinata di 45°.

N_2-3 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

 

Continuiamo con la SEZIONE B-B’ questo risulta essere un caso particolare, per determinare N_3-5 potremmo fare sia l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 4 sia l’equilibrio alla traslazione orizzontale poiché è l’unica forza orizzontale incognita, optiamo per la seconda perché immediata.

N_3-5 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Per ottenere N_3-4 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione verticale.

N_3-4 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Analizziamo ora la SEZIONE C-C’. Per ottenere N_4-6 facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 5.

N_4-6 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_4-5 basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale come per il caso di N_2-3.

N_4-5 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Nella SEZIONE D-D’ possiamo scegliere, come nella sezione B-B’, indifferentemente come procedere; per ricavarci N_5-7 facciamo l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_5-7 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Con l’equilibrio alla traslazione verticale ricaviamo N_5-6.

N_5-6 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Nella SEZIONE E-E’. Per ottenere N_6-8 facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 7.

N_6-8 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_6-7  basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_6-7 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Nella SEZIONE G-G’ per ricavare N_7-9 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_7-9 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

per ricavare N_7-8 possiamo fare l’equilibrio alla traslazione verticale.

N_7-8 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Nella SEZIONE H-H’. Per ottenere N_8-10 facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 9.

N_8-10 risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_8-9  basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

N_8-9 risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Abbiamo così risolto la parte sinistra della trave reticolare ed ora per simmetria possiamo conoscere gli sforzi assiali delle aste nella parte destra. Rimane da analizzare solo l’asta centrale e per comodità utilizzeremo il metodo dei nodi.

Osservando il NODO 10 possiamo vedere che l’unica forza incognita è N_9-10 che deve equilibrare la forza esterna F, l’asta sarà quindi un PUNTONE con N_9-10 = F.

 

Possiamo ora verificare i nostri calcoli ricorrendo a SAP.

Per prima cosa dobbiamo crere un nuovo file per poter disegnare la trave reticolare in esame FILE > NEW MODEL > GRIND ONLY ricordandoci di utilizzare le unità di misura corrette (kN, m, °C).

Impostiamo 9 spazi lungo x e 2 lungo z, con una lunghezza L unitaria.

Successivamente si impostano i vincoli attraverso il comando ASSIGN  > JOINT RESTRAINTS ricordandosi di assegnare un carrello ed una cerniera in modo da ottenere un sistema isostatico.

Nella trave reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere e non incastri come da default di SAP, dobbiamo quindi rilasciare il momento a destra e a sinistra di ogni nodo, per farlo andiamo in ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0.

Bisogna ora impostare che il peso proprio dell’asta non venga considerato in fase di calcolo, andando ad aggiungere ai “load patterns” uno che abbia lo 0 alla voce “self weight multiplier”andiamo quindi su DEFINE > LOAD PATTERNS > ADD NEW LOAD PATTERNSe impostiamo come SELF WEIGHT MULTIPLIER = 0.

Ora bisogna assegnare il carico e per farlo selezioniamo i nodi superiori e ricorriamo al comando ASSIGN  > JOINT LOADS > FORCES impostiamo un carico puntuale su ognuno di essi di -10 KN.

Possiamo ora lanciare il calcolo e visionare il diagramma di SFORZO ASSIALE.

Possiamo constatare che i calcoli a mano risultano corretti.

 

 

 

TRAVE RETICOLARE 3D

Per aiutarci nella modellazione si è scelto di ricorrere ad Autocad.

Si è quindi disegnata una trave reticolare spaziale di lunghezza 3L, larghezza 2L e altezza L (con L=2m), con l’accortezza di non utilizzare polilinee (poiché il reticolo è composto da aste singole) e utilizzare un layer diverso da quello di default (che non viene letto da SAP). Dopodiché basta salvare in formato DXF 2000 (DXF più recenti non garantiscono la compatibilità).

Ora da SAP dobbiamo importare il DXF precedentemente creato. Per fa ciò dobbiamo utilizzare il comando FILE > IMPORT > AUTOCAD.DXF FILE ricordandoci di utilizzare le unità di misura corrette (kN, m, °C) e di impostare in Frames "cad" dal menù a tendina in modo che vengano lette le aste.

Fatto ciò selezioniamo l’intero reticolo ed usiamo EDIT > EDIT POINT  > MERGE JOINTS  >  MERGE TOLERANCE  >  0,01 (per  impostare un errore nella giunzione delle aste di 1 cm).

Successivamente si impostano i vincoli attraverso il comando ASSIGN  > JOINT RESTRAINTS ricordandosi di utilizzare cerniere e carrelli in modo che non giacciano sullo stesso asse.

Ora bisogna assegnare un materiale ed un profilo alle aste. Dopo aver selezionato tutte le aste, clicchiamo su DEFINE > SECTION PROPERTIES > FRAME SECTIONS si è scelto di utilizzare un tubolare in acciaio da 100x5. Successivamente si devono selezionare tutte le aste e bisogna assegnargli il profilo precedentemente creato utilizzando il comando ASSIGN   > FRAME  > FRAME SECTIONS.

Ora bisogna assegnare il carico e per farlo selezioniamo i 12 nodi superiori e ricorriamo al comando ASSIGN  > JOINT LOADS > FORCES impostiamo un carico puntuale su ognuno di essi di -40 KN (si è scelto questo valore tenendo conto dell’area di incidenza del solaio superiore e il segno negativo serve a dargli la direzione verso il basso).

Bisogna ora impostare che il peso proprio dell’asta non venga considerato in fase di calcolo, andando ad aggiungere ai “load patterns” uno che abbia lo 0 alla voce “self weight multiplier”andiamo quindi su DEFINE > LOAD PATTERNS > ADD NEW LOAD PATTERNS.

Dato che in una struttura reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere, dobbiamo fare un’operazione di rilascio del momento ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 END 0 altrimenti verrebbero considerati incastri e ciè falserebbe i risultati.

Prima di lanciare il calcolo dobbiamo poter riconoscere le aste i cui valori verranno tabellati per far ciò andiamo in SET DISPLAY OPTIONS > FRAMES/CABLES/TENDONS >spuntiamo LABELS.

 

Rimane solamente da lanciare il calcolo. Per farlo andiamo in RUN ANALYSIS > disattiviamo le voci MODAL E DEAD e clicchiamo RUN NOW.

 

La prima cosa che mostra il software è la deformata.

Per visualizzare le reazioni vincolari invece dobbiamo andare in SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

Per visualizzare gli sforzi assiali (unici presenti) usiamo il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > AXIAL FORCE.

Possiamo ottenere le tabelle con gli sforzi assiali nelle aste con il comando DISPLAY > SHOW TABLES > spuntiamoANALYSIS RESULTS > ELEMENT FORCES – FRAMES.