1) Verifica dell'isostaticità

Affinchè una struttura reticolare sia isostatica, la somma dei vincoli esterni e del numero delle aste (condizioni di vincolo) deve essere uguale al numero dei nodi moltiplicati per due (gradi di libertà)

Ve + a = 2 n

3 + 11 = 2 * 7

14 = 14    (isostatica)

 

2) Equilibrio per Vincoli Esterni

La risultante delle tre forze applicate si trova proprio sull'asse di simmetria ed è pari a 60 KN. Le reazioni dei vincoli esterni saranno parallele alla risultante, di verso opposto e di valore dimezzato (30 KN).

 

3) Metodo di Ritter

Siccome la struttura è simmetrica se ne risolve solo una metà. Per conoscere il comportamento delle aste si utilizza il metodo di Ritter: si effettuano tre sezioni sulla struttura, tagliando tre aste non convergenti nello stesso punto, e successivamente si calcolano gli sforzi assiali delle aste attraverso l'equazione di equilibrio al momento del nodo preso in considerazione.

∑MB=0     -30KN*2+NAC*2=0     NAC=30KN   (asta tesa)

∑MC=0    -30KN*4-NAB2√2=0    NAB=-30√2KN   (asta compressa)

 

∑MC=0    -30KN*4+20KN*2-NBD*2=0      NBD=-40KN   (asta compressa)

∑MD=0   -30KN*6+20KN*4+30KN*2+NBC2√2=0     NBC=10√2KN   (asta tesa)

 

∑MD=0   -30KN*6+20KN*4+NCE*2=0   NCE=50KN   (asta tesa)

∑ME=0   -30KN*8+20KN*6+40KN*2-NCD2√2=0        NCD=-10√2KN    (asta compressa)

 

4) Diagramma dello Sforzo Normale

Quando le strutture reticolari sono caricate solo sui nodi, le aste sono sollecitate solo a sforzo normale. Dove lo sforzo normale è positivo, l'asta lavora a trazione e viene chiamata tirante, mentre dove è negativo l'asta lavora a compressione e viene denominata puntone.

 

5) SAP 2000

Per avere conferma dei risultati ottenuti, risolviamo l'intera struttura con il programma SAP 2000.

Grafico Deformata

 

Diagramma dello Sforzo Normale

1_TRAVATURA RETICOLARE SIMMETRICA

 

 

In questa prima esercitazione andremo ad analizzare una travatura reticolare isostatica simmetrica, tipologia strutturale formata da puntoni e tiranti collegati tra loro da due cerniere. La configurazione analizzata è simmetrica sia per struttura che nella ripartizione delle forze sui nodi, quindi basterà risolvere metà della struttura per  avere il risultato completo.

 

Per prima cosa bisognerà verificare l’isostaticità della struttura, confermando che il numero di gradi di libertà della struttura sia pari al numero dei vincoli che agiscono su di essa. Possiamo avvalerci di due metodi:

1)  L=V (il numero gradi di libertà è uguale al numero gradi di vincolo)

V = V_e + V_i   nel nostro caso V=33

L= 3 x numero corpi  nel nostro caso 3x11= 33

2)  V_e + a = 2 nodi (vincoli esterni+ numero aste = numero nodi x 2)

3 + 11 = 2 x 7      = 33

 

Andiamo dunque a calcolare le reazioni vincolari. Ciascun nodo superiore è sottoposto ad una forza verticale di 20 KN , ed essendo la nostra una struttura simmetrica, le reazioni verticali avranno stessa intensità nei nodi A e G. Bisognerà dunque ripartire equamente le forze esterne applicate alla struttura.

Rva=Rvg = 60/2 = 30 KN

 

Risolviamo la struttura attraverso il metodo delle sezioni di Ritter, andando a sezionare virtualmente la trave in due parti, tagliando tre aste non convergenti nello stesso punto.

Isolando una delle due porzioni, calcoleremo gli sforzi assiali attraverso l’equazione di equilibrio dei momenti nel nodo scelto.

 

PRIMA SEZIONE

 

Evidenziamo gli sforzi normali delle singole aste sezionate, ipotizzando che il verso è uscente, ovvero che le aste sono sottoposte a trazione.

Attraverso l’equilibrio dei momenti intorno al nodo C ricaviamo il valore di N₁.

∑Mc=0  == (30x4)-(20x2)+(N₁x2)=0  ==  2N₁= -80/2  

N₁= -40 KN    quindi l’asta è COMPRESSA. Il verso ipotizzato era sbagliato.

 

Equilibrio dei momenti intorno al nodo B per ricavare lo sforzo normale N₃.                              

∑Mb=0  ==  (N₃x2)-(30x2)=0  ==  2N₃=60/2 KN  

N₃=  30 KN    quindi l’asta è TESA. Il verso ipotizzato è giusto.

 

L’asta BC è inclinata di 45°, dobbiamo dunque scomporre la forza in una componente verticale ed una orizzontale per calcolare il valore dello sforzo normale N₂.  Tramite l’equilibrio delle forze verticali calcolo l’incognita N₂.

∑Fy=0  == 30-20-N₂√2/2=0  

N₂= 10√2 KN   quindi l’asta è TESA. Il verso ipotizzato è giusto.

 

SECONDA SEZIONE

 

∑Fx=0  ==  30+N₄√2/2=0  ==  N₄√2/2=-30  

N₄=-30√2 KN   quindi l’asta è COMPRESSA.

 

TERZA SEZIONE

 

Attraverso l’equilibrio dei momenti intorno al nodo D ricaviamo lo sforzo normale N₅

∑Md=0  == (N₅x2)+(20x4)-(30x6)=0  ==  2N₅+80-180/2=0  

N₅= 50 KN  quindi l’asta è TESA. 

Tramite l’equilibrio delle forze verticali calcolo N₆.

∑Fy=0  ==  N₆√2/2+30-20=0  

N₆= -10√2 KN  quindi l’asta è COMPRESSA.

Poiché la struttura è simmetrica, i risultati ottenuti nella prima metà della trave possono essere applicati alla seconda metà.

 

 

Infine utilizzeremo il programma SAP 2000  per avere conferma dei risultati e dei grafici ottenuti, ridisegnando la struttura e applicando le forze esterne sui nodi.

 

 

GRAFICO DELLA DEFORMATA

 

GRAFICO DELLO SFORZO NORMALE

 

 

2_TRAVATURA RETICOLARE ASIMMETRICA

 

Questa seconda esercitazione verte su una travatura reticolare asimmetrica, non potendo risolvere solo metà struttura, dovremo dunque risolverla tutta.

 

Il primo passo è la verifica dell'isostaticità:

1) V_e + a = 2 x 7

3 + 11 = 2 x 7

14=14       ISOSTATICA

Calcoliamo ora le reazioni vincolari.

 

∑Fy=0  ==   RvA-10-10=0  ==  RvA= 20 KN

∑Mb=0  ==  -(10x1)-(10x2)+(RuHx1)=0  ==  RuH= 30 KN       RuA= 30 KN

 

Andremo a risolvere la struttura attraverso il metodo dei nodi. Isoliamo un nodo della struttura reticolare andando a tagliare le aste che vi convergono, calcolando il valore dello sforzo assiale trasmesso dalle aste al nodo attraverso il l’equilibrio delle forze.

 

NODO A - NODO B

Nodo B

Le aste che convergono nel Nodo B sono scariche.

N₁=0      N₂=0

Nodo A

∑Fy=0  == 20+N₃√2/2=0  

N₃= -20√2 KN  l’asta è COMPRESSA.

∑Fx=0  ==  N₃√2/2+N₄+30=0  

N₄= -10 KN   l’asta è COMPRESSA.

 

NODO C - NODO D

Nodo C

N₅=0  l’asta è SCARICA.

∑Fx=0  ==  N₈+10=0  

N₈= -10 KN   l’asta è COMPRESSA.

 

Nodo D

∑Fx=0  ==  10+N₆√2/2-(20√2x√2/2)=0  ==  10+N₆√2/2-20=0

N₆=10√2 KN  l’asta è TESA.

∑Fx=0  == N₇+N₆√2/2-(20√2x√2/2)=0  ==  N₇+(10√2x√2/2)+20=0

N₇=-30 KN   l’asta è COMPRESSA.

 

NODO E - NODO G - NODO H

Nodo G

∑Fx=0  ==  N₉+10=0  

N₉= -10 KN   l’asta è COMPRESSA.

∑Fx=0  ==  N₁₁+30=0  

N₁₁= -30 KN   l’asta è COMPRESSA.

Nodo E

∑Fx=0  ==  N₁₀√2/2+10-(10√2x√2/2)=0  ==  N₁₀√2/2=10-10

N₁₀=0  l’asta è SCARICA.

Nodo H

N₁₀=0  l’asta è SCARICA.

 

 

Come ultimo passaggio, per avere conferma dei calcoli appena svolti, disegniamo la struttura su SAP 2000. Ottengo cosi il diagramma degli sforzi assiali e la simulazione della deformata della trave.

 

GRAFICO DELLA DEFORMATA

 

GRAFICO DELLO SFORZO NORMALE

 

 

3_ARCO A TRE CERNIERE CON CARICO DISTRIBUITO LATERALMENTE

 

Questa terza esercitazione verte su una struttura avente due corpi collegati da una cerniera interna e due cerniere alla base. Il carico q distribuito sul primo corpo rende la struttura non simmetrica.

Il primo passo per risolvere questa struttura è il calcolo delle reazioni vincolari. Dividiamo quindi l’arco in due corpi.

Ottengo il valore della singole forze agenti sulla struttura attraverso  l’equilibrio dei momenti sulle cerniere.

Le forze orizzontali bloccate dalle cerniere esterne, di valore di 3qh/4 e qh/4,hanno stesso verso, andando a contrastare il carico distribuito esterno del valore di qh.

DIAGRAMMI N,T,M

Sforzo Normale

Nel diagramma possiamo notare che l’andamento è costante in tutta la struttura, non essendo presenti carichi concentrati. I valori sono positivi se agli estremi delle aste sono presenti sforzi di trazione, viceversa, saranno negativi se sono presenti sforzi di compressione.

Sforzo di Taglio

Sulla prima asta lo sforzo di taglio assume un andamento lineare, in quanto è presente un carico distribuito perpendicolare  che agisce su di essa. Nella aste restanti i diagrammi sono costanti, assumendo valori negativi o positivi a seconda delle forze orizzontali all’estremità del tratto di asta preso in considerazione.

Momento

Il diagramma del momento sulla prima asta è parabolico, ed avrà un massimo nel punto in cui il diagramma del taglio si annulla. Nel resto della struttura i diagrammi restano lienari.

Verifica con SAP 2000

Q = 10 KN      H = 2m      L = 1m

GRAFICO DELLA DEFORMATA

DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE

DIAGRAMMA DELLO SFORZO DI TAGLIO

DIAGRAMMA MOMENTO

 

 

4_DIMENSIONAMENTO TRAVI

L’edificio scelto per questa esercitazione è la mensa universitaria all’interno dell’ex mattatoio di Roma . Il solaio che ho analizzato è quello del primo livello, dove è ubicata la sala mensa con circa 180 posti a sedere, al di sopra delle cucine, dei magazzini e degli spogliatoi. La struttura è simmetrica. Le travi hanno una luce di 9,80 metri ed una campata di 5,50 metri,  eccetto quella centrale che misura 7,50 metri. La trave selezionata per l’esercizio è una delle due centrali, con campata irregolare di 6,50 m. Avendo un’area d’influenza maggiore delle altre, sarà quella subirà maggiormente il peso del solaio.

 

Carichi da prendere in considerazione per il dimensionamento della trave:

- Carichi strutturali = comprendono il peso proprio degli elementi strutturali.

- Carichi permanenti = sono i carichi legati agli elementi non strutturali che compongono gli strati del solaio come pavimenti, massetti, impianti, controsoffitti, tramezzature ed intonaci.

- Carichi accidentali = carichi legati alla funzione dell'edificio, con valori tabellati che variano a seconda della categoria.

TRAVE IN ACCIAIO

Trave secondaria

Luce: 6,50m (campata maggiore)

Interasse:  1m

Qa (carichi accidentali): 3,00 KN/mq

- Edificio in categoria C, Ambienti suscettibili ad affollamento, Cat. C1

Qs (carico strutturale): 2,50 KN/mq

- Lamiera grecata HI-BOND A55/P600  spessore lamiera 8mm H 8cm

- Getto in calcestruzzo con rete elettrosaldata H 15 cm

Qp (carichi permanenti): 1,9 KN/mq

- Pavimento in lastre di Gres Porcellanato, H 12 mm = 0,2 KN/mq

- Massetto con serpentina riscaldamento, H 6 cm = 1,1 KN/mq

- Ipotesi d'incidenza impianti = 0,50 KN/mq

- Controsoffitto in pannelli di gesso H 12mm = 0,1 KN/mq

Q= Qa + Qs + Qp x interasse (carico totale al metro lineare) =  7,4 KN/m

 

Dimensionamento trave secondaria

Inserisco i dati nelle caselle corrispondenti del foglio Excel e determino il modulo di resistenza a flessione Wx .

Scelgo dunque la IPE adeguata ai miei valori: IPE 200 H 20 cm B 10 cm

In tabella la trave ha un peso di 0,22 KN/m, che al mq si trasformano in 0,22 KN/interasse = 0,22/1 = Qtr = 0,22 KN/mq.

Q's= (Qs+Qtr) = 2,50 + 0,22 = 2,72 KN/mq

Ricalcolato il peso con il foglio Excel ho la conferma che la IPE da me scelta riesce a supportare il suo peso.

 

Trave principale

Luce: 9,80 m

Interasse:  6,50 m (campata maggiore)

Qa (carichi accidentali): 3,00 KN/mq

Qs (carico strutturale): 2,72 KN/mq

Qp (carichi permanenti): 1,9 KN/mq

Q= Qa + Qs + Qp x interasse (carico totale al metro lineare) =  49,53 KN/m

 

Dimensionamento trave

Inserisco i dati nelle caselle corrispondenti del foglio Excel e determino il modulo di resistenza a flessione Wx .

 

Scelgo dunque la IPE adeguata ai miei valori: IPE 550 H 55 cm B 21 cm

 

In tabella la trave ha un peso di 1,06 KN/m, che al mq si trasforma in 1,06 KN/interasse = 1,06/6,5 = Qtr = 0,163 KN/mq. 

Q’s= (Qs+Qtr) = 2,72 + 0,163 = 2,883 KN/mq

Ricalcolato il peso con il foglio Excel ho la conferma che la IPE da me scelta riesce a supportare il suo peso.

 

TRAVE IN LEGNO

 

Travetto

Luce: 6,50m (campata maggiore)

Interasse:  1m

Qa (carichi accidentali): 3,00 KN/mq

- Edificio in categoria C, Ambienti suscettibili ad affollamento, Cat. C1

Qs (carico strutturale): 0,18 KN/mq

- Tavolato, H 3cm = 0,18 KN/mq

Qp (carichi permanenti): 1,9 KN/mq

- Pavimento in lastre di Gres Porcellanato, H 12 mm = 0,2 KN/mq

- Massetto con serpentina riscaldamento, H 6 cm = 1,1 KN/mq

- Ipotesi d'incidenza impianti = 0,50 KN/mq

- Controsoffitto in pannelli di gesso H 12mm = 0,1 KN/mq

Q= Qa + Qs + Qp x interasse (carico totale al metro lineare) =  5,08 KN/m

 

Dimensionamento travetto

Legno utilizzato = Abete Rosso

Struttura = Struttura in legno lamellare standard

Classe resistenza= GL 32

Inserisco i dati nel foglio Excel ed ottengo il carico a metro lineare.  Ipotizzando una base di 20 cm per il travetto, ottengo un’altezza di 27,01 cm che arrotonderò a 30 cm .

 

Peso specifico legno lamellare = 410 Kg/mc (UNI EN 1194)

Peso Travetto per metro lineare = (0,20 m x0,40 m x 4,1 KN/mc) = 0,328 KN/m

Peso distribuito travetto  = 0,328 KN/m / 1 m interasse = 0,328 KN/mq

Modifico quindi il foglio Excel con il nuovo carico.   Q = (5,08+0,328) = 5,408 KN/m

Ricalcolato il peso con il foglio Excel ho la conferma che il travetto da me scelto è corretto.

Travetto = b 20 cm H 30 cm

 

Trave principale

Luce: 9,80 m

Interasse:  6,50 m (campata maggiore)

Qa (carichi accidentali): 3,00 KN/mq

Qs (carico strutturale): 0,508 KN/mq

(0,18+0,328 peso travetto)

Qp (carichi permanenti): 1,9 KN/mq

Q= Qa + Qs + Qp x interasse (carico totale al metro lineare) =  35,152 KN/m

 

Dimensionamento trave

Legno utilizzato = Abete Rosso

Struttura = Struttura in legno lamellare standard

Classe resistenza= GL 32

Inserisco i dati nel foglio Excel ed ottengo il carico a metro lineare.  Ipotizzando una base di 40 cm per la trave, ottengo un’altezza di 75,78 cm che arrotonderò ad 80 cm .

 

Peso specifico legno lamellare = 410 Kg/mc (UNI EN 1194)

Peso Trave per metro lineare = (0,40 m x0,80 m x 4,1 KN/mc) = 1,312 KN/m

Peso distribuito trave  = 1,312 KN/m / 6,5 m interasse = 0,201 KN/mq

Modifico quindi il foglio Excel con il nuovo carico.   Q = (35,152+0,201) = 36,458 KN/m

Ricalcolato il peso con il foglio Excel ho la conferma che il travetto da me scelto è corretto.

Trave = b 40 cm H 80 cm

TRAVE IN CLS

 

Trave

Luce: 9,80 m

Interasse:  6,50 m (campata maggiore)

Qa (carichi accidentali): 3,00 KN/mq

- Edificio in categoria C, Ambienti suscettibili ad affollamento, Cat. C1

Qs (carico strutturale): 3,17 KN/mq

- Solaio Tralicciato SIAI H 20 cm + 5 cm soletta

(Valore Tabellare)

- Soletta, H 15 cm = 1,25 KN/mq

- Pignatta, H 20cm, Base 35cm, peso specifico 66 Kg/mc, N° pignatte m=2 = 0,92 KN/mq

- Travetti, H 17cm , Base 12cm, peso specifico: 25 Kc, N° tarvetti m=2 = 1 KN/mq

Qp (carichi permanenti): 1,9 KN/mq

- Pavimento in lastre di Gres Porcellanato, H 12 mm = 0,2 KN/mq

- Massetto con serpentina riscaldamento, H 5 cm = 1,1 KN/mq

- Ipotesi d'incidenza impianti = 0,50 KN/mq

- Controsoffitto in pannelli di gesso H 12mm = 0,1 KN/mq

Q= Qa + Qs + Qp x interasse (carico totale al metro lineare) =  52,55 KN/m

 

Acciaio impiegato per l’armatura = B450C
(zona sismica)

Momento Massimo Tensione = 450 Mpa

Valore di Rottura = 540 Mpa

Allungamento a Rottura  ε =7 %

fy/ y_m= (450 N/mm²) / 1,15 = 391,30 N/mm²

 

Calcestruzzo ordinario di classe C40/50con fck = 40 N/mm²

fck/ y_m= (40 N/mm²) / 1,15 = 22,86 N/mm²

 

Dimnesionamento trave

Ipotizzo una base di 35 cm per la trave, ottengo un’altezza di 68,19 cm che arrotonderò a 75 cm .

Aggiungo il carico della trave e verifico il dimensionamento.

Carico trave= 5,97 KN/m = Q = 52,455 + 5,97 = 58,425 KN/m

Ricalcolato il peso con il foglio Excel ho la conferma che la trave da me scelta è corretta.

TRAVE 35X75 CM

 

 

5_STRUTTURA RETICOLARE SPAZIALE

Disegno ed analisi di uina struttura reticolare spaziale con AUTOCAD e SAP2000.

1_AUTOCAD

 

1.1  Il primo passo per la realizzazione di questa esercitazione è la creazione, nel menù Layer di Autocad, di un nuovo Layer che chiamerò ASTE, che includerà tutti gli elementi della mia struttura. Una volta importato in SAP assegnerò ad ogni asta la funzione di FRAMES.

1.2  Disegno in Autocad la mia piastre reticolare spaziale di forma cubica con dimensioni (2mx2mx 2m). Parto dal punto di origine degli assi 0,0,0 in modo che una volta importato il disegno su SAP non avrò problemi ad individuarlo. Disegno in 2D le prime 4 aste del modulo, 3 ortogonali ed 1 diagonale,  con un’unica polilinea.

1.3  Mi sposto sul piano 3D utilizzando il comando Visualizza - Punti di vista 3D – SO assonometrico.

1.4  Ruoto la polilinea con il comando Ruota 3D, impostando come asse  di rotazione l’asse X e come angolo di rotazione un angolo di 90°.

1.5  Per disegnare in serie altri moduli della trave reticolare, seleziono la mia polilinea ed attraverso il comando Array/Serie imposto una serie di 4 colonne ed una riga, ciascuna ad una distanza di 2m dall’altra.

1.6  Il risultato ottenuto è una trave reticolare priva dell’ultima asta verticale, che aggiungerò in seguito con il comando Polilinea 3D.

1.7  Avendo completato la mia trave, posso ora passare alla costruzione degli altri moduli reticolari, utilizzando il comando Array/Serie impostando una serie di 7 righe ed una colonna, ciascuna ad una distanza di 2m dall’altra.

 

1.8  Ottengo cosi una travatura spaziale incompleta. Infatti ogni modulo è privo delle aste laterali. Attraverso il comando Polilinea 3D, andrò a disegnarmi un una polilinea di 3 aste che con il comando Array/Serie estenderò a tutta la struttura impostando una serie di 6 righe e 5 colonne, ciascuna ad una distanza di 2m dall’altra.

1.9  La struttura è ancora incompleta. Mancano le diagonali superiori ed inferiori di ogni modulo, che disegnerò con il comando Polilinea 3D ed estenderò a tutta la struttura con il comando Array/Serie, con una serie di 6 righe e 4 colonne, ciascuna ad una distanza di 2m dall’altra.

1.10  Il risultato finale è una struttura reticolare spaziale asimmetrica. L’ultimo passaggio  prima di esporta il file Dxf su SAP è l’esplosione di tutte le polilinea della struttura attraverso il passaggio  Esplodi.

 

2_SAP2000

2.1  Assegno al Layer Aste la funzione Frames.

2.2  Definisco i vincoli esterni della struttura selezionando i 4 vertici inferiori ed assegnando 4 cerniere, attraverso il comando Assign – Joint – Restraints.

2.3  Definisco i vincoli interni. Tutte le aste che compongono la struttura sono incernierate tra di loro e non incastrate. Seleziono tutte le aste della struttura con Select – All  ed attraverso il comando Assign - Frame - Partial fixity - Assign frame releases impongo il rilascio dei momenti all’inizio ed alla fine delle aste selezionate in precedenza.

2.4  Definisco il materiale della struttura. Attraverso il comando Define- Material- New material e creo il materiale Acciaio.

2.5  Defisco la sezione del materiale. Con il comando Define- Section properties- Frame section scelgo la sezione Pipe che andrò a rinominare Tubolare, assegnando il materiale acciaio.

2.6  Con Assign- Frame- Frame section  assegno a tutte le aste della struttura  il profilo stabilito

2.7  Assegno i carichi alla struttura. Definisco un carico che chiamerò Forza Concentrata con il comando Define - Load pattern. Per facilitare vado settare il Set Display Options, selezionado la casella Frames – Frames Not in View e deselezionando Joints – Invisible. Spostando la vista in modalità XY, riuscirò più facilmente a selezionare i nodi superiori su cui applicare un carico verticale di 40 KN.

2.8  La struttura è ora completa dei carichi. Posso cosi lanciare l’analisi.

 

2.9  Per capire qual è l’asta più sollecitata, devo selezionare il comando Display - Show Tables – Elements Output, ottenendo cosi una tabella con tutte le caratteristiche e le sollecitazione delle varie aste che compongono la mia struttura. Dopo aver individuato l’asta più sollecitata a trazione e quella più sollecitata a compressione, procedo con il progetto e la verifica.

Risultati SAP:

N_max compressione= 307,254 KN  Asta n° 137

N_max trazione= 258,934 KN  Asta n° 50

SFORZO MASSIMO A COMPRESSIONE

L'asta della struttura più sollecitata a compressione è la numero 137, su cui agisce un N di 307,254 KN.

Per il progetto della trave scelgo un acciaio S355 =

A = N / fd= 307,254 KN / (355/1,05) = 307254 N / (338,095 N/mmq) = 908,78 mmq = 9,09 cmq

fd = fy/γm = 338,095 N/mmq

fy = resistenza a snervamento

γm = coefficiente di sicurezza

Seleziono un profilo di dimensioni 114,3x3,6 mm con una sezione pari a 12,5 cmq.

Per concludere il progetto della trave bisognerà verificare se la sezione è in grado di sopportare lo sforzo di compressione, attraverso la formula del carico critico euleriano, fenomeno che avviene se un elemento strutturale, soggetto a compressione, si inflette e sbanda a causa della sua snellezza.

Carico critico euleriano:

Pcr= (π² x E x J_min)/l₀²

E= Modulo di elasticità

J_min= momento di inerzia minimo della sezione risultante dal profilario

l₀= lunghezza libera di inflessione, che dipende dal materiale, dai vincoli e dalla sezione, in questo caso essendo un'asta doppiamente incernierata la lunghezza libera di inflessione è uguale alla  lunghezza stessa dell'asta.

Pcr= (3,14 x 3,14 x 210000N/mmq x 1920000 mm⁴)/ 2828 mm x 2828 mm = 497,073 KN

497,073 KN > 307,25 KN

Il profilo scelto è verificato.

SFORZO MASSIMO A TRAZIONE

L'asta della struttura più sollecitata a compressione è la numero 50, su cui agisce un N di 258,934 KN.

Per il progetto della trave scelgo un acciaio S355 =

A = N / fd= 258,934 KN / (355/1,05) = 258934 N / (338,095 N/mmq) = 766 mmq = 7,66 cmq

fd = fy/γm = 338,095 N/mmq

fy = resistenza a snervamento

γm = coefficiente di sicurezza

 

Seleziono un profilo di dimensioni 114,3x3,6 mm con una sezione pari a 12,5 cmq.

Verifica a resistenza

Bisognerà verificare se il rapporto tra lo sforzo normale e l’area del nuovo profilo risulterà essere inferiore ad fd:

258934 N/1250 mmq = 207,147 N/mmq < 338,095 N/mmq

Il profilo scelto è verificato.

 

6_RIPARTIZIONE FORZE SISMICHE

 

(esercitazione svolta in collaborazione con Edoardo Capuzzo Dolcetta)

INTRO

In questa esercitazione andremo a vedere come le forze sismiche vengono ripartite su una struttura di un piano costituita da otto controventi.

 

L’impalcato riportato è costituito da 12 pilastri (20x40cm) in calcestruzzo armato, disposti e orientati così da avere il momento di inerzia maggiore della sezione del pilastro in asse con la trave che ha una luce maggiore e quindi con un momento più grande. 

STEP#1- calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

Tutti i controventi sonoShear-typee quindi la loro rigidezza è:

 

Kt= 12 xEx J /h³

 

E = modulo di Young che per il c.a. E = 21000 N/mmq

h = altezza del telaio, scegliamo h = 3,20 m

J = momento di inerzia

Attenzione!Bisogna tener sempre presente che in un singolo telaio possiamo avere pilastri con diversi momenti d’inerzia.

 

 

 

J = b x h³ /12 = (20 x (40)³ ) cm/12 = 106667.00 cm⁴

J= b J= b x h³ /12 = (40 x (20)³ ) cm/12 =  26667.00 cm⁴

Adesso inseriamo nel nostro bel foglio excel i dati relativi a ciascun telaio e ne calcoliamo la rigidezza:

Step#2: tabella sinottica controventi e distanze

La tabella sottostante ci aiuta a ricapitolare quanto fatto finora:

-       ci riporta le rigidezze di ogni singolo telaio

-       mostra le relative distanze dal punto chiamato O (origine del sistema)

 

Step#3: calcolo del centro di massa

Ora il foglio excel ci aiuta a trovare le coordinate X_G  e Y_G del centro di massa, a partire dalle due aree (A₁ e A₂) che formano il nostro impalcato

excel trova X_G e Y_G  in questo modo:         

X_G =( A₁ xX_G1+ A₂ xX_G2) / (A₁+ A₂)

Y_G  =( A₁ xY_G1+ A₂ xY_G2) / (A₁+ A₂)

Otteniamo:          X_G = 7,85 m                 Y_G  = 2,96 m

Step#4: calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Excel adesso ci aiuta a sommare le rigidezze dei singoli telai riportate nella tabella dello step 2 per ottenere le rigidezze totali.

Kx tot =  rigidezza totale orizzontale 

Ky tot = rigidezza totale verticale

Passiamo adesso a calcolare le coordinate del centro delle rigidezze C.

Sotto l’azione della forza sismica, l’impalcato tenderà a ruotare proprio intorno a questo punto C.

Xc = (K_y1 x d_y1 + K_y2 x d_y2+ K_y3 x d_y3 + K_y4 x d_y4 )/ (Ky tot)

Yc = (K_x1 x d_x1 + K_x2 x d_x2+ K_y3 x d_x3 + K_y4 x d_x4 )/ (Ky tot)   d = distanza dei controventi dal centro delle rigidezze

Otteniamo:          X_C = 10,68 m                 Y_C  = 7,00 m

La rigidezza torsionale verrà quindi calcolata:    Kϕ= Ʃ_i k_i dd_i²

STEP#5: analisi dei carichi sismici

La forza sismica è data dal prodotto della massa dell’edificio per l’accelerazione di trascinamento del suolo quando vibra. Il valore di questa “vibrazione” (a) ci è dato dalla normativa e corrisponde ad una frazione dell’accelerazione di gravità (g).

Quindi:

Fsismica = m a

ma    a = c g      dove c < 1 (coefficiente dato dalla normativa)

quindi      Fsismica = m c g = c (mg)

dove mg = Peso  ---  Fsismica = c P

Attenzione!Si evince che la forza sismica è una frazione della forza peso àun elemento molto pesante sarà molto vulnerabile al sisma! (al contrario, più un edificio è “leggero” e meno sarà vulnerabile) 

Adesso inseriamo i carichi strutturali, permanenti e accidentali per un’abitazione ad uso civile

(q_a = 2.00) e ci calcoliamo il peso della nostra struttura.

P_struttura = G + ψQ    dove G = carico totale permanente = (qs + qp) Atot

ψ= coefficiente di contemporaneità (da normativa) che diminuisce il carico accidentale.

Q = carico totale accidentale = qa Atot

STEP#6 - 7: ripartizione forza sismica lungo x ed y

Gli step 6 e 7 ci permettono di calcolare la forza ripartita su ogni controvento oltre che lo spostamento e la rotazione dell'impalcato.

Però prima dobbiamo ricordarci che il sisma è un’azione aleatoria e di conseguenza ci è sempre ignota la direzione lungo la quale esso si verificherà. Così le norme ci impongono di verificare la ripartizione delle forze sismiche almeno in due direzioni ortogonali fra loro (nel nostro caso proprio x ed y).

Il momento torcente, che farà ruotare il nostro impalcato, si verifica se i controventi non hanno tutti le stesse rigidezze o se la forza non agisce lungo l’asse delle rigidezze.

Il momento torcente è il risultato della forza sismica (applicata sul centro di massa G) per il braccio (b, nel disegno) dato dalla distanza del punto C dal punto G.

La traslazione orizzontale vale:           U_o = F_sismica/K_otot

La traslazione verticale vale:                  V_o = F_sismica/K_vtot

La rotazione invece vale:                       ϕ= M/K_ϕtot

Infine calcoliamo come la forza sismica viene ripartita nei singoli controventi.

Le reazioni vincolari si determinano:

Orizzontale           R_io = K_io (Uo+φd_io)

Verticale                    R_iv = K_iv (φd_iv)

Mt = F (Yc - Yg) = F xb
Mt = F (Xc - Xg) = Ff xg

 

 

 

 

       

 

 

ESERCIZIO TRAVE RETICOLARE SIMMETRICA

INTRO

In questo esercizio ci troviamo di fronte ad una trave reticolare, ovvero una particolare tipologia strutturale in cui tutti gli elementi che compongono la struttura sono tratti lineari (puntoni o tiranti,   sottoposti esclusivamente allo sforzo normale) collegati da due cerniere.

Il disegno della struttura è simmetrico per quanto riguarda la disposizione delle aste e la ripartizione dei carichi sui nodi, e questo ci sarà di aiuto perché basterà risolvere metà della struttura per poi estendere i risultati ottenuti al resto della nostra travatura.

 

STEP 1.

In primis dobbiamo verificare l’isostaticità della struttura (L=V, dove L sono i gradi di libertà e V corrisponde al numero di vincoli).

Per verificare che la struttura sia isostatica possiamo avvalerci di due metodi differenti:

 

metodo 1. 

L=V (numero gradi di libertà = numero gradi di vincolo)

V = Ve + Vi  = 3 + 30  = 33

L= 3 x numero corpi  = 33

 

metodo 2.  

Ve + a = 2 nodi (vincoli esterni+n. aste=n. nodi x 2)

3 + 11 = 2 x 7    à  14 = 14

 

Da queste uguaglianze possiamo dunque dire che la nostra struttura è isostatica.

 

STEP 2.

 

Adesso dobbiamo calcolare le reazioni vincolari.

Essendo una struttura simmetrica sottoposta a soli carichi verticali  le reazioni vincolari (verticali) sono di uguale intensità e corrispondono a:

 

RVa = RVg = 60/2 = 30 Kn

 

STEP 3.

 

Risolviamo la struttura avvalendoci del metodo delle sezioni di Ritter ovvero andando a sezionare idealmente la trave in due parti, tagliando tre aste non convergenti nello stesso punto.  

Quindi si procedere al taglio delle varie aste per trovare le azioni di contatto.

 

            Sezione 1.

Attraverso l’equilibrio dei momenti intorno al nodo C ricaviamo il valore di N₁.

∑Mc=0  -->  30x4-20x2+N₁=0  -->  N1= -80/2  -->  N₁= -40 Kn  -->  asta compressa

 

Attraverso l’equilibrio dei momenti intorno al nodo B ricaviamo lo sforzo normale N₃.                              

∑Mb=0  -->  N₃x2-30x2=0  -->  N₃=30 Kn   -->  asta tesa

Adesso dobbiamo fare attenzione!  --> L’asta BC è inclinata di 45°e per calcolare il valore dello sforzo normale N₂ sarà necessario scomporre la forza in una componente verticale ed una orizzontale.

 

Tramite l’equilibrio delle forze verticali calcolo N₂.

∑Fy=0  -->  30-20-N₂√2/2=0  -->  N₂ =102/√2= 20/√2  -->  N₂= 10√2 Kn  -->  asta tesa

 

 

            Sezione 2.

Tramite l’equilibrio delle forze orizzontali calcolo N4.

∑Fx=0  -->  30+N₄√2/2=0  -->  N₄√2/2+30=0  -->  N₄=-30√2 Kn  -->  asta compressa

 

 

            Sezione 3.

Attraverso l’equilibrio dei momenti intorno al nodo D ricaviamo lo sforzo normale N5

∑Md=0  --> (N₅x2)+(20x4)-(30x6)=0  -->  2N₅+80-180=0  -->  N₅=50 Kn  -->  asta tesa

 

Tramite l’equilibrio delle forze verticali calcolo N₆.

∑Fy=0  -->  N₆√2/2+30-20=0  -->  N₆= -10√2 Kn  -->  asta compressa

 

I risultati che abbiamo finora ottenuti possiamo estenderli all’altra metà della struttura perché, come abbiamo detto all’inizio, ci troviamo in una situazione di perfetta simmetria.

 

Infine, per avere conferma dei risultati ottenuti e dei grafici fatti a mano, ho disegnato la struttura con  lo strumento di calcolo automatico SAP il quale mi ha dato anche una simulazione della deformata della trave reticolare. 

 

 

 

 

ESERCIZIO TRAVE RETICOLARE ASIMMETRICA

 

INTRO

 

Questa volta siamo alle prese con una struttura reticolare asimmetrica e quindi, non possiamo, come nel primo esercizio, avvalerci delle proprietà della simmetria.

 

STEP 1.

 

Verifichiamo subito se la trave reticolare asimmetrica data è isostatica:

 

gdl = gdv

 

gdl --> 11 x 3 = 33

 

gdv --> 3 + 2(n-1) = 33 

 

33 = 33  c.v.d.

 

STEP 2.

Andiamo a calcolarci le reazioni vincolari.

∑Fy=0  --> Rvb-10-10=0  -->  Rvb= 20 Kn

∑Fx=0 

∑Mb=0  -->  10x1+10x2-Rhx1=0  -->  Rh=30 Kn = Rob

 

STEP 3.

 

Questa volata per risolvere la struttura utilizziamo il metodo dei nodi.

Questo metodo prevede di isolare un nodo della struttura reticolare tagliando le aste che vi convergono. Poi si esplicitano gli sforzi normali trasmessi dalle aste al nodo e le eventuali forze esterne ed infine si scrivono le equazioni di equilibrio nodo per nodo.

 

Nodo A. e Nodo B.

Nodo A.

∑Fx=0  -->  N₁=0  -->  asta scarica

∑Fy=0  -->  N₂=0  -->  asta scarica

 

Nodo B.

 

∑Fy=0  --> 20+N₃√2/2=0   -->  N₃= -20√2 Kn  -->  asta compressa

∑Fx=0  -->  N₃√2/2+N₄+30=0   -->  N₄= -30 + 20=  -10 Kn  -->  asta compressa

 

Nodo C.

 

∑Fy=0  -->  N₅=0  -->  asta scarica

∑Fx=0  -->  N₆+10=0  -->  N₆= -10 Kn  -->  asta compressa

 

Nodo E. e Nodo G. e Nodo H.

Nodo H.

 

∑Fy=0  -->  N₇=0  -->  asta scarica

∑Fx=0  -->  30+N₇√2/2+N₈=0  -->  N₈= -30 Kn  -->  asta compressa

 

 

Nodo G.

 

∑Fy=0  -->  N₉+10= 0  -->  N₉= -10 Kn  -->  asta compressa

∑Fx=0  -->  N₁₁= -30 Kn  -->  asta compressa

 

 

Nodo E.

 

∑Fy=0  -->  N₁₀√2/2-10=0  -->  N₁₀= 10√2/2  -->  10√2 Kn  -->  asta tesa

 

Nodo D.

 

Infine, per avere conferma dei risultati ottenuti e dei grafici fatti a mano, ho disegnato la struttura con  lo strumento di calcolo automatico SAP il quale mi ha dato anche una simulazione della deformata della trave reticolare. 

 

DIMENSIONAMENTO TRAVE

PIASTRA RETICOLARE SPAZIALE

                     

e adesso passo per passo!

 

RIPARTIZIONE FORZE SISMICHE

 

Esercitazione 1 :

Travatura reticolare simmetrica (metodo di Ritter)

Trovare il valore delle reazioni vincolari e disegnare i diagrammi delle sollecitazioni agenti sulla trave:

Per cominciare l'analisi della struttura occorre verificare che la trave sia isostatica, ovvero il numero dei vincoli esterni rispetto al numero dei nodi deve rispettare la seguente relazione:

V_e+a(numero aste) = 2nodi

3+11=14   ;  dunque è verificato.

Si procede quindi con l'individuazione del verso e del modulo delle reazioni vincolari:

Imponendo l'equilibrio alla traslazione verticale 

Σfy=0

V_a+ V_b = 3F                 V_a = V_b = 3/2 F

Poiché la struttura è simmetrica non devo calcolare il momento rispetto al polo A o al polo B per determinare le reazioni vincolari.

Una volta trovate le reazioni si procede con l'analisi delle aste (che possono essere tese o compresse, poiché in una struttura reticolare agisce solo la forza normale di trazione o di compressione).

Utilizziamo il metodo di Ritter (metodo che, attraverso un taglio ci permette di analizzare le forze interne di ciascuna asta):

Considero la sezione 1(ipotizzo tutte e tre le aste tese):

Calcolo N₁, N₂, N₃

Per farlo, impongo la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto al nodo C :

ΣM_c= 0

-3/2F2L + FL - N₁L = 0

da cui N₁ = -2FL, dunque di compressione(poiché di verso opposto a quello ipotizzato).

quindi l'asta BD risulta compressa.

Per trovare N₃ impongo la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto al nodo B:

ΣMb= 0

-3/2FL + N₃L = 0 

da cui N₃ = 3/2 F, dunque di trazione (come da ipotesi), quindi l'asta AC risulta tesa.

Per detrminare N₂ impongo l'equilibrio alla traslazione verticale, scomponendo N₂ secondo le diagonali:

Σfy=0

3/2F - F - N₂√2/2 = 0 

N₂ = F√2/2, di trazione(come da ipotesi), dunque l'asta BC risulta tesa.

Ridisegno la sezione 1 con i versi delle forze trovate:

Ora considero la sezione 2(ipotizzo l'asta AB tesa):

Impongo l'equilibrio alla traslazione orizzontale :

Σf_x=0

30KN + N₄√2/2 = 0

N₄ = -30√2/2 = -30KN√2, dunque di compressione, quindi l'asta AB risulta compressa:

Considero la sezione 3 :

Impongo l'equilibrio alla rotazione rispetto al nodo D:

ΣMd= 0

N₅2m + 20KN4m -30KN6m = 0

N₅ = 50 KN, dunque di trazione, quindi l'asta CE risulta tesa :

Impongo l'equilibrio alla traslazione verticale :

Σfy=0

N₆√2/2 + 30KN -20KN = 0

N₆ = -10√2 KN, dunque di compressione, quindi l'asta CD risulta compressa.

Poiché la struttura è simmetrica, mi basta aver calcolato le forze agenti sulla prima metà della trave.

Per concludere rappresento il grafico delle sollecitazioni normali che agioscono sulla trave:

 

Verifica con SAP

Una volta trovate le sollecitazioni si esegue la verifica con SAP:

Si assegnano i carichi puntuali sui nodi del corrente superiore:

Mando l'analisi e ottengo la deformata:

Ottengo in seguito il diagramma delle sollecitazioni numerico e grafico :

 

 

Travatura reticolare asimmetrica (metodo dei nodi)

 

Trovare il valore delle reazioni vincolari e disegnare i diagrammi delle sollecitazioni agenti sulla trave.

Occorre verificare che la struttura sia isostatica, ovvero il numero dei vincoli esterni rispetto al numero dei nodi deve rispettare la seguente relazione :

Ve + a (numero aste) = 2 nodi

3 + 11 = 14, è verificato.

A questo punto si trovano le reazioni vincolari facendo l’equilibrio alla traslazione verticale e l’equilibrio dei momenti  rispetto al nodo A. Si ricavano quindi la reazione verticale e orizzontale dell’appoggio e la reazione orizzontale del carrello.

ΣF_y = 0

V_B – F –F = 0      V_B  = 2F

ΣM_A = 0

u_Bl – Fl –2Fl = 0  u_B = 3F = u_H

Si ricavano le azioni di contatto utilizzando il metodo dei nodi, ovvero facendo l’equilibrio delle sole  forze verticali e orizzontali rispetto al nodo, per ottenere lo sforzo assiale che agisce sulla cerniera. Occorre analizzare tutti i 7 nodi presenti, non essendo questa una struttura simmetrica.

Dall’analisi del nodo A si evince come entrambe le aste che arrivano in esso sono scariche. N₁ = N₂ = 0

        

Dall’equilibrio delle forze verticali al nodo B si ricava lo sforzo assiale N₄ = - 2√2 F e lo sforzo assiale N₃ = -F. Dunque il verso precedentemente ipotizzato è errato, l’asta BC e l’asta BD infatti non sono tese ma compresse.

Dall’analisi al nodo D si ricavano la forza assiale N₆ = 0 (poiché non ci sono forze verticali) e  N₅ = F.

         

Dall’analisi al nodo C si ricavano N₇ = 3F e N₈ = √2 F. N7 è stata ipotizzata nel verso sbagliato, l’asta CE risulta dunque compressa.

Dall’analisi del nodo E si ricavano N₉ = 3F e N₁₀ = F

     

Dall’equilibrio al nodo G e H si evince come l’asta GH sia scarica(N₁₁ = 0), poiché il nodo risulta già equilibrato dalle altre forze agenti.

La struttura presenta così tutte le aste compresse tranne l’asta CG che risulta tesa.

Attraverso il software di SAP si analizza la struttura per visualizzarne il diagramma degli sforzi assiali presenti:

Mediante l’aiuto della griglia si disegnano le aste della struttura :

Dopo aver selezionato i punti di appoggio si assegnano i vincoli : un appoggio e un carrello.

Successivamente si seleziona l'inera struttura per il rilascio dei momenti flettente e torcenre nei nodi.

A questo punto è possibile creare il carico F e assegnarlo nei nodi superiori.

Ora è possibile lanciare l'analisi e osservare la deformata :

Dal diagramma degli sforzi assiali si osserva quanto già affermato, ovvero che l'unica asta tesa è la diagonale CG (in giallo) :

Assumendo la forza F = 10 del carico assegnato, si osserva lo stesso diagramma ma con i valori dei songoli sforzi interni :

Esercitazione 2

Arco a tre cerniere non allineate (SAP)

Si analizza il portale in figura,precedentemente risolto manualmente dal punto di vista statico, detto arco a tre cerniere non allineate (se fossero allineate sarebbe un arco degenere) mediante il software di SAP, per verificarne la deformata e i diagrammi delle sollecitazioni (Normale,Taglio,Momento).

Si disegna la struttura avvalendosi dell'uso di una griglia di partenza e assegnando il numero di campate e la distanza fra queste:

Una volta comparsa la griglia si disegna sulla stessa mediante il comando linea i diversi tratti del portale, fino ad ottenere la struttura desiderata

Si selezionanop quindi i punti di appoggio per assegnare i vincoli (traslazione verticale e orizzontale bloccata) assign>joint>restraints . Si rilascia il momento flettente nella prima asta orizzontale dopo averla selezionata. (assign>frame>releases/partial fixity > moment 33 end, che indica la fine dell’asta).Infine si rilascia il momento anche nella seconda, ma all'inizio di questa(moment 33 start). I vincoli saranno così configurati :

Una volta definita la forza agente sull'arco di -40 KN verso il basso distribuita si seleziona l'intera struttura e si assegna il carico:

A questo punto è possibile lanciare l'analisi, ricordandosi di spuntare nella lista delle forze agenti sulla struttura quelle date da default nel programma (DEAD e MODAL) in modo che non vengano visualizzate.Si ottiene dunque la deformata :

I diagrammi delle sollecitazioni N,T,M rispettivamente :

Esercitazione 3 (con Giulia Savarese):

Dimensionamento travi (mediante foglio di calcolo excel)

L'esercitazione prevede il dimensionamento di una trave in 3 diversi materiali : legno, acciaio e calcestruzzo.

Il progetto scelto è quello di case a schiera a Fiumicino su due piani con modulo 6m x 12m.

La pianta del solaio intermedio mostra la trave scelta che risulta doppiamente appoggiata e quindi con un momento massimo pari a ql²/8.

                 

LEGNO

 

 

Dimensionamento travetto in legno

Calcolo carichi permanenti:

-Carico strutturale q_s

Tavolato in castagno : 840 Kg/m³(Peso specifico )  x 0,03 m (Spessore)  = 25,2 Kg/m² ----> 0,25 KN/m²

-Carico non strutturale q_p

Massetto : 2000 Kg/m³ x 0,05 m = 100 Kg/m²----> 1 KN/m²

Parquet in  rovere : 720 Kg/m³x 0,02 m = 14,4 Kg/m²---->0,144 KN/m²

Incidenza tramezzi : 1KN/m²

Incidenza impianti : 0,5 KN/m²

q_p = 1 KN/m² + 0,144 KN/m² + 1KN/m² + 0,5 KN/m² = 2,644 KN/m²

Calcolo carichi accidentali :

Destinazione d’uso abitativa :  q_a = 2 KN/m²

Dati:

Legno GL28h ---->f_k = 28 MPa

Interasse = 0,9 m

Luce = 3 m

b  = 0,1 m

L'altezza minima dei travetti in legno è di 17, 65, arrotondando la sezione risulta 10 cm x 20 cm.

 

Dimensionamento trave in legno

Calcolo carichi permanenti:

-Carico strutturale

Travetti in legno: 500 Kg/m³ x 0,1 x 1 = 50 Kg/m²---->0,5 KN/m²

Tavolato 0,25 KN/m²

q_s = 0,5 KN/m² + 0,25 Kn/m² = 0,75 KN/m²

-Carico non strutturale

q_p = 2,644 KN/m²

Calcolo carichi accidentali

q_a = 2 KN/m²

Dati:

Legno GL28h----> f_k = 28 MPa

Interasse = 3 m

Luce = 6 m

b = 0,2 m

L'altezza minima della trave è di 47, 81 m, arrotondando la sezione risulta 50 cm x 20 cm.

ACCIAIO

 

Dimensionamento trave IPE  in acciaio

Calcolo carichi permanenti

-Carico strutturale

Lamiera grecata

Si è scelta una lamiera di 0,075 m di altezza per un totale di 0,13 m considerando anche il getto di calcestruzzo.

Il peso totale è 2,00 KN/m²

-Carico non strutturale

Isolante termoacustico   360 Kg/m³ x 0,01 m = 3,6 Kg/m² ----> 0,036 KN/m²

Massetto    2000 Kg/m³ x 0,04 m = 80 Kg/m² ----> 0,8 KN/m²

Piastrelle in Gres Porcellanato    1540 Kg/m³ x0,013 m = 20 Kg/m²---->0,2 KN/m²

Controsoffitto  800 Kg/m³ x 0,03 m = 24 Kg/m² ---->0,24 KN/m²

Incidenza tramezzi :  1KN/m²

Incidenza impianti : 0,5 KN/m²

q_p = 0,036 KN/m² + 0,8 KN/m² + 0,2 KN/m² + 1KN/m² + 0,5 KN/m² = 2, 536 KN/m²

Calcolo carichi accidentali

Destinazione d’uso abitativa : q_a = 2 KN/m²

W_x trovato = 350, 51 cm³

Si adotta un profilo IPE 270 con W_x = 429 cm³

CALCESTRUZZO ARMATO

 

Dimensionamento trave in cls

Calcolo carichi permanenti

-Carico strutturale

Travetti  2500 Kg/m³ x 0,18 m x 0,1 m =  45 Kg                0,45 KN x 2 (n° travetti in 1 m²)= 0,9 KN/m²

Pignatte 550 Kg/m³ x 0,18 m x 0,4 m = 40 Kg              0,4 KN x 2 (n° pignatte in 1 m²) = 0,8 KN/m²

Caldana 2500 Kg/m³ x 0,04 m = 1 KN/m²

q_s = 0,9 KN/m² + 0,8 KN/m² + 1 KN/m² = 2,7 KN/m²

-Carico non strutturale

Massetto  2000 Kg/m³ x 0,04 m = 80 Kg/m²----> 0,8 KN/m²

Isolante termoacustico    360 Kg/m³ x 0,01 m = 3,6 Kg/m² ---->0,036 KN/m²

Piastrelle in Gres Porcellanato    1540 Kg/m³ x0,013 m = 20 Kg/m²---->0,2 KN/m²

Intonaco  200 Kg/m³ x 0,01 m =2 Kg/m²---->0,02 KN/m²

q_p = 0,8 KN/m²  +  0,036 KN/m² + 0,2 KN/m² + 0,02 KN/m² = 1,056 KN/m²

Dati :

Calcestruzzo C 25/30

fck = 30 MPa

base = 25 cm

copri ferro = 3 cm

L'altezza utile della trave risulta 28,8 cm + copriferro (3cm) = 31, 8 cm ----> 35 cm.

 

Esercitazione 4 :

Travatura reticolare spaziale : rappresentazione, analisi e dimensionamento

1. Rappresentazione   (Autocad)

Per la prima fase ci si avvale dell’utilizzo di Autocad. Si disegna una polilinea su un layer che chiameremo “aste” tale da configurare il modulo base della reticolare, ovvero 2m x 2m x 2m.

Successivamente ci si sposta in tre dimensioni e si ruota l’UCS, disponendo il modulo lungo l’asse x per poterlo replicare con il comando array.

Lo riproduciamo 4 volte, con distanza tra le colonne di 2 m. 

Chiudiamo quindi la prima serie, che è rimasta aperta, con una linea e procediamo alla serie successiva.

 

Si disegna il modulo base delle 3 aste e diagonale anche nella direzione dell’asse y e si riproduce in serie nello stesso modo usato precedentemente( con il comando serie/array); e’ necessario cambiare l’UCS, mettendo l’asse X lungo la direzione del nuovo array (UCS > invio > seleziona origine > seleziona direzione asse x > seleziona direzione asse y).

Per terminare la prima campata occorre disegnare le aste oblique superiori e inferiori.

Si procede con il completamento della struttura mediante la riproduzione seriale dell’intera riga appena disegnata.Questa volta ruotiamo l’UCS in modo da poter riprodurre la nostra struttura in senso ortogonale al precedente. Sempre mediante il comando array riproduciamo l’oggetto per 7 volte.

La settima fila, rimasta aperta, verrà poi eliminata, in modo da ottenere una piastra 6 x 4 moduli come desiderato.

Ora che si è disegnata la struttura, si esporta in formato .dxf , compatibilmente al software di SAP.

2. Analisi  (SAP)

Verificato di utilizzare lo stesso layer “aste” , che si seleziona durante l’importazione del file(vedi immagine successiva) e la stessa unità di misura KN, m, C, si procede assegnando i vincoli ai 4 spigoli inferiori, ovvero 4 appoggi.( assign >joint> restraints, e selezionando il comando di appoggio >traslation 1,2,3); 

 

 

Si ottiene così la seguente struttura 

Infine si rilasciano i momenti torcente e flettente nella struttura dopo averla selezionata. (assign>frame>releases/partial fixity >moment 22, moment 33 start e end, che indicano l’inizio e la fine dell’asta). 

      

A questo punto si definisce il materiale.(define> materials> add new materials)  e la sezione delle aste(define>section properties>frame section>add new property) ------> Si sceglie un tubolare d’acciaio:

         

Per poter studiare la struttura occorre definire(define>load patterns) e assegnare (assign> joint loads>forces) un carico verticale distribuito sui nodi. Aiutandoci con il comando seguente : set display option> frame/cables/tendons>frame not in view si rendono invisibili le aste e si può selezionare più facilmente i nodi sui quali grava il carico. Si assegna alla forza DEAD, ovvero il peso proprio della struttura, il valore zero in modo da valutare solo gli effetti del sovraccarico appena creato, al quale si attribuisce un valore di 40KN diretti verso il basso (-40 KN).

    

Ora è possibile lanciare l’analisi e visualizzare la deformata:

Si visualizzano anche i singoli sforzi di trazione e compressione che incidono sulla struttura, poiché in caso di strutture reticolari, sono i soli sforzi in gioco:

Questi si possono analizzare e classificare attraverso una tabella (display> show tables> analysis results> element output> file> export current table> to excel) esportabile in formato excel che risulta molto utile per l’individuazione delle aste maggiormente sollecitate, oggetto dell’ultima parte dell’esercitazione, ovvero il dimensionamento.

Per ciascuna asta sono presenti 3 valori che corrispondono alle sollecitazioni alle due estremità e nel mezzo. Alcune aste sono lunghe 2m ed avranno i 3 valori sotto la voce “station” di 0-1-2m, mentre altre(quelle diagonali) sono lunghe 2√2m ed avranno come misure 0-1,41-2,83m.I valori dello sforzo di taglio e momento come previsto risultano nulli. 

3. Dimensionamento:

Per il progetto delle aste si scelgono quelle maggiormente sollecitate (la più tesa e la più compressa) che permettono di mantenersi in sicurezza rispetto al resto delle aste. Per quanto riguarda l’asta tesa, si effettuerà solo un dimensionamento mediante la formula di Navier e una successiva verifica a resistenza. Per quel che riguarda l’asta compressa il procedimento è più complesso. Essa infatti, può essere soggetta al carico di punta, o carico critico euleriano, il quale potrebbe portare l’asta ad un’eccessiva inflessione, fino al collasso. Perciò, per l’asta compressa, si effettuerà anche una verifica a snellezza(rapporto tra lunghezza  e sezione dell’elemento)e stabilità.

Progetto asta tesa

L’asta che risulta avere più sforzo normale di trazione presenta un valore di N paria a 258,93 KN.

Si sceglie un acciaio S275

Si utilizza la formula di Navier:

f_yd = N/A

dove:

-f_yd è la tensione di progetto, data da f_yk /γ_m0

·         f_yk = 275 MPa  (tensione di snervamento del tipo di acciaio scelto)

·         γ_m0 = 1,05 coefficiente di sicurezza del materiale

f_yd = 275/1,05 = 262 MPa 

-N lo sforzo normale

-A l’area del tubolare.

Dalla formula inversa di Navier si ricava l’area minima che il tubolare deve avere per resistere allo sforzo di trazione di 258,93 KN.

A=258934 N/ 262 =988 mm^{2  ___}-->  9,88 cm²

 

Nel profilario dei tubi in acciaio a sezione circolare si cerca un area maggiore di quella trovata.

Si sceglie perciò il profilo: d x s = 88,9 mm x 4,0 mm (diametro x spessore)

                                           A’= 10,7 cm² > 9,88 cm².

Si procede con la verifica a resistenza per accertarsi di aver scelto una sezione adeguata :

 N/A’ < f_yd

258934 N/1070 mm²= 242 MPa < 262 MPa    

La sezione è verificata.

 

Progetto asta compressa

 

L’asta che risulta avere più sforzo normale di compressione ha un valore di N pari a -307,25 KN.

Si sceglie una acciaio S275

Si utilizza la formula di Navier  per ricavare l’area minima:

A=N/f_yd   

A=307254 N/ (275 MPa/1.05) = 1173 mm^{2  ___}-->  11,73cm²

Nel profilario dei tubi in acciaio a sezione circolare si cerca un area maggiore di quella trovata.

Scelgo perciò il profilo: d x s = 114,3x3,6 mm

                                           A’= 12,50cm² > 11,73cm².

Si procede con la verifica a resistenza per accertarsi di aver scelto una sezione adeguata :

 N/A’ < f_yd

 307254 N/1250 mm²= 245,80 MPa < 262 MPa

La sezione è verificata a resistenza.

Ora occorre verificare l’asta a snellezza :

si impone la condizione di  λ<200 (condizione valida per gli elementi primari di una struttura)

sapendo che  λ = l_o/ρ :

l_o  = l*β (luce libera di inflessione)

ρ = 3,92 (raggio d’inerzia, valore tabellato)

La lunghezza dell’asta è pari a 200√2 cm = 283 cm

Occorre determinare β la quale dipende dal tipo di vincolo dell’asta in esame : in questo caso si tratta di una doppia cerniera, perciò β= 1

l_o = 283*1 = 283 ,   λ = 283/3,92 = 72,19 < 200

Dunque l’asta è verificata a snellezza.

Per essere certi di aver dimensionato correttamente l’asta è necessario fare un’ultima verifica : la stabilità.

In questo caso il bisogna verificare che la resistenza a compressione N_d sia minore della resistenza che tiene conto dell’instabilità N_brd

N_brd= χ Af_yk/ γ_m0

χ = 1 / (φ+  √φ ² – λ²)

φ = 0,5[1 +α (λ̄ -0,2 ) + λ̄²]

α = 0,21 (coefficiente di imperfezione, dipende dal tipo di acciaio e di profilo)

λ̄ = √ (Af_yk / N_cr)   (snellezza critica)

N_cr =π² E J/l_o²    (carico critico euleriano)

Dove: E = modulo elastico a compressione = 210 000 N/mm²

            J = momento di inerzia minimo della sezione (da profilario) = 192 cm⁴ = 1920000 mm⁴

            l_o = β* l  luce libera di inflessione, ovvero quanto è larga l'onda sinusoidale che definisce lo                           sbandamento, che dipende dai vincoli. In questo caso i vincoli sono cerniere (β=1)perciò 

               = 1*l*√2 cm = 2√200 cm = 283 cm (asta diagonale).

Si calcola il carico critico euleriano N_cr = 9,86 x 210 000 N/mm² x 1920000 mm⁴ / 8008900 mm⁴  

Con l'aiuto di un foglio di calcolo excel si ricava il valore di N_cr e successivamente N_brd 

N_brd = 254 310 N = 254,31 KN < 307,25 KN  

L'asta scelta non è verificata a stabilità! 

Occorre riprogettarla utilizzando un profilo con una sezione maggiore. Con l'utilizzo del foglio excel si possono effettuare diverse prove fino a trovare il profilo con un valore di N_brd tale da soddisfare la verifica.

Tentativo n° 1

Si sceglie la sezione successiva che risulta 13,90 cm²

Inserendo i dati nel foglio di calcolo excel si ottiene :

Nbrd 281,71 KN < 307,25 KN ----> ancora un valore troppo basso.

Tentativo n°2 :

La sezione successiva ha un area di 15,50 cm²

Inserendo i dati nel foglio di calcolo si ottiene :

Nbrd 313,57 KN > 307,25 KN

L’asta è verificata anche a stabilità.

 

Esercitazione 5 (con Giulia Savarese) :

Ripartizione delle forze sismiche (mediante foglio di calcolo excel)

La progettazione strutturale di un edificio, soprattutto se in Italia, non può prescindere dal calcolo delle forze sismiche. La forza sismica è una grandezza proporzionale al peso dell’oggetto in questione (dunque maggiore sarà la massa dell’edificio, maggiore sarà la forza sismica agente su di esso) infatti si esprime come F= cP con c detto coefficiente di intensità sismica tale che c < 1.

Infatti, sapendo che F = ma (massa per accelerazione) e conoscendo l’accelerazione sismica al suolo pari a

a =cg (con g= accelerazione di gravità) ricaviamo la forza sismica F = mcg ,ma mg = forza peso P, dunque si ottiene F = cP.

Per contrastare e resistere per quanto possibile alla forza sismica occorre prevedere nell’edificio una serie di controventi, ovvero dei telai che possano resistere a sollecitazioni verticali e orizzontali.

 

Nota sui "centri" e la loro collocazione

 

Nel collocare i controventi all'interno di una struttura è necessario tenere presente le diverse rigidezze degli stessi, poiché attraverso di esse è possibile determinare il centro delle rigidezze, che cadrà sempre vicino al controvento più rigido, ma che deve essere il più vicino possibile al centro di massa, punto di applicazione della forza sismica. Questo per evitare la rotazione dell'impalcato dovuta alla presenza di un momento che si genera automaticamente, che ha per braccio la distanza tra i due centri.

 

L’esercitazione seguente prevede il calcolo della ripartizione delle forze sismiche nei diversi controventi di una struttura semplice, attraverso la ricerca del centro delle rigidezze e del centro di massa.

Si prende in esame la seguente struttura in acciaio:

 

Essa presenta 5 controventi verticali e 4

TRAVATURA RETICOLARE 

STRUTTURA RETICOLARE SIMMETRICA (SEZIONI DI RITTER)

 

Nel caso di questa struttura reticolare l’isostaticità è verificata in quanto
gradi di libertà = gradi di vincolo = 33

REAZIONI VINCOLARI

AZIONI DI CONTATTO

Calcolate le reazioni vincolari si può procedere al taglio delle varie aste per trovare le azioni di contatto facendo attenzione a tagliare 3 aste che non convergono ad uno stesso punto.

I SEZIONE

Imposto ∑M=0 in C trovando che
N₁ = -40 KN  (asta compressa)

Per le aste oblique è fondamentale scomporre la forza nelle sue due componenti verticale ed orizzontale. In questo caso specifico un’asta inclinata di 45° ha due componenti di uguale valore pari a  N x (radice di 2 su 2)

N₄ = -30 x radice di 2 (asta compressa)

 

Grafico della deformata

 

 

 

STRUTTURA RETICOLARE ASIMMETRICA (METODO DEI NODI)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La travatura reticolare è una particolare tipologia strutturale in cui tutti gli elementi che compongono la struttura sono tratti lineari (puntoni o tiranti) collegati da due cerniere. In questo caso ci troviamo di fronte ad una configurazione simmetrica, sia nella disposizione delle aste che nella ripartizione dei carichi nei nodi superiori.          

Il primo passo nel calcolo di questa struttura è la verifica dell'isostaticità (una situazione in cui il numero dei gradi di libertà della struttura sia pari al numero dei vincoli applicati su questa). Per verificare che la struttura sia isostatica possiamo utilizzare due metodi:

1. L=V (numero gradi di libertà=numero gradi di vincolo)

V = V_e + V_i  =>33

L= 3 x numero corpi  =>33

2.  V_e + a = 2 nodi (vincoli esterni+n°aste=n°nodi x 2)

3 + 11 = 2 x 7      => 33

Da queste uguaglianze si deduce che la struttura si trova in una condizione di isostaticità.

Il secondo passo è il calcolo delle reazioni vincolari. La reazione vincolare orizzontale nel nodo A risulta pari a 0 (in quanto unica forza orizzontale all’interno della struttura, non bilanciata, quindi, da altre forze) mentre le due reazioni verticali nei nodi A e G, trovandosi in una condizione di simmetria, si ripartiscono equamente il carico applicato sui nodi superiori, bilanciando, quindi, la forza esterna pari a 60 KN.

In questo caso abbiamo risolto la struttura utilizzando il metodo di Ritter, sezionando idealmente la trave in due parti, andando a tagliare tre aste non convergenti nello stesso punto.  

Scegliamo arbitrariamente la porzione di struttura sulla sinistra. Attraverso questa sezione possiamo mettere in evidenza gli sforzi normali delle singole aste sezionate. Il verso ipotizzato è “uscente”: ciò equivale a dire che secondo la nostra ipotesi, e secondo le convenzioni riguardo la direzione positiva o negativa dello sforzo normale, le aste sono sottoposte a sforzo di trazione.

Attraverso l’equilibrio dei momenti intorno al nodo C ricaviamo il valore dello sforzo normale dell’asta 1.

 (20x2)-(30x4)-(N₁x2)=0

40-120-2N₁=0

2N₁=40-120

N₁=-40

Quindi il verso ipotizzato non è esatto: l’asta, sottoposta a sforzo di compressione, è un puntone. Attraverso l’equilibrio dei momenti intorno al nodo B ricaviamo lo sforzo normale N3.                              

 -30x2+N₃x2=0

N₃=30

Il verso ipotizzato è corretto: l’asta è un tirante.

                   

L’asta BC è inclinata di 45°: per calcolare il valore dello sforzo normale N2 devo, quindi, scomporre la forza in una componente verticale e una orizzontale. Tramite l’equilibrio delle forze verticali posso calcolarmi l’unica incognita all’interno di questa sezione, ovvero N2.

30-20-N2√2/2=0

N₂ =10√2

Il verso ipotizzato è corretto: l’asta è un tirante.

In questo modo, attraverso altri tagli e tramite gli sforzi normali delle aste ricavati in precedenza, possiamo risolvere l’intera struttura, verificando se le singole aste sono sottoposte a sforzi di trazione o compressione.           

 

30+N₄√2/2=0

N₄√2/2=-30

N₄=-30√2/2

(N₅x2)+(20x4)-(30x6)=0

2N₅+80-180=0

2N₅-100=0    

N₅=50                                                                                                                                                                                                                                                      

   

N₆√2/2+30-20=0

N₆=-10√2   

(Le aste evidenziate in giallo corrispondono alle aste tese)   

Verifica della struttura con il software di calcolo SAP 2000

A partire dalla griglia disegno la struttura reticolare, i vincoli esterni e definisco i carichi che gravano sui nodi B,D,F.

Mi assicuro che le aste siano soggette soltanto a sforzo normale, ponendo pari a zero il momento sia all'inizio che alla fine di ogni singola asta.

Ottengo così il valore delle reazioni vincolari e la deformazione della struttura dovuta ai carichi esterni.

Attraverso l'analisi di SAP ottengo anche il diagramma degli sforzi assiali (in blu le aste tese) con i relativi valori.

 

Seconda esercitazione-travatura reticolare asimmetrica

In questo esercizio ci troviamo di fronte ad una struttura reticolare asimmetrica. In questo caso, quindi, non possiamo risolvere soltanto metà configurazione e avvalerci delle proprietà della simmetria per la restante parte. 

Partiamo dalla verifica dell'isostaticità:

V_e + a=2 x n°nodi

3 + 11=2 x 7

14=14

La struttura è isostatica.

Calcoliamo ora le reazioni vincolari.

Per risolvere questa struttura utilizziamo il metodo dell'equilibrio ai nodi, attraverso il quale isoliamo un nodo della struttura reticolare calcolando il valore dello sforzo assiale che arriva sulla cerniera attraverso il solo equilibrio delle forze orizzontali e verticali.

Partiamo dal nodo A nel quale convergono visibilmente due aste scariche (AB e AF) in quanto non è presente una reazione vincolare o un carico esterno: dall'equilibrio delle forze orizzontali e verticali risulterà quindi che

Grazie al valore dello sforzo N₁ possiamo calcolare il valore delle incognite sul nodo B che, altrimenti, risulterebbero maggiori rispetto al numero di equazioni a disposizione.

 

20+N₃√2/2=0

N₃=-20√2

30+N₃√2/2+N₄=0

30-(20√2x√2/2)+N₄=0

N₄=-10

10+N₈=0

N₈=-10

N₅₌0

10+N₆√2/2-(20√2x√2/2)=0

10+N₆√2/2-20=0

N₆=10√2

N₇+N₆√2/2-(20√2x√2/2)=0

N₇+(10√2x√2/2)+20=0

N₇=-30

N₉=-10

N₁₁=-30

N₁₀√2/2+10-(10√2x√2/2)=0

N₁₀√2/2=10-10

N₁₀=0

N₁₀√2/2=0

(Le aste evidenziate in giallo corrispondono alle aste tese)   

Verifica della struttura con il software di calcolo SAP 2000

A partire dalla griglia disegno la struttura reticolare, i vincoli esterni e definisco i carichi che gravano sui nodi C,E.

Mi assicuro che le aste siano soggette soltanto a sforzo normale, ponendo pari a zero il momento sia all'inizio che alla fine di ogni singola asta.

Ottengo così il valore delle reazioni vincolari e la deformazione della struttura dovuta ai carichi esterni.

Attraverso l'analisi di SAP ottengo anche il diagramma degli sforzi assiali (in blu le aste tese) con i relativi valori.

 

 

Terza esercitazione:

arco a tre cerniere con carico distribuito laterale

La struttura in questione è un portale: due corpi incernierati a terra e collegati da una cerniera interna. La configurazione non è simmetrica in quanto è presente lateralmente un carico distribuito pari a q. Anche in questo caso il primo passo è il calcolo delle reazioni vincolari: dividiamo la struttura in due corpi. 

Dall'equilbrio dei momenti intorno alle due cerniere esterne e dall'equilibrio delle due traslazioni ottengo il valore delle singole forze

Le forze orizzontali bloccate dalle due cerniere esterne sono pari a 3qh/4 e qh/4 e possiedono lo stesso verso in quanto vanno a contrastare insieme il carico distribuito esterno pari a qh.

Attraverso i valori ottenuti e tramite i diagrammi di N,T,M andiamo a visualizzare  lo sforzo della struttura.

Diagramma sforzo normale

Possiamo vedere come l'andamento dello sforzo normale sia costante in tutta la struttura in quanto in ogni punto sono assenti carichi concentrati q1 paralleli agli assi. Il valore dello sforzo normale assume valori positivi se agli estremi dell'asta è presente uno sforzo di trazione e negativi se, al contrario, è presente uno sforzo di compressione.

Diagramma sforzo di taglio

Nel primo tratto verticale lo sforzo di Taglio assume un andamento lineare per la presenza di un carico distribuito q2 perpendicolare all'asse, con estremi negativi e positivi pari al valore e al verso delle forze orizzontali. Nei tratti rimanenti i diagrammi sono costanti (per la presenza di sole forze concentrate), positivi o negativi in base alla direzione delle forze orizzontali alle estremità del tratto considerato.

Nel primo tratto verticale il diagramma del momento è parabolico e presenta un punto di massimo proprio dove si annulla il diagramma del taglio. Nei tratti rimanenti, il diagramma è lineare.

 

Verifica della struttura con il software di calcolo SAP 2000

Deformazione struttura sotto il carico distribuito q

Diagramma sforzi assiali

Diagramma sforzi di Taglio

Diagramma Momenti

 

 

 

Quarta esercitazione:

arco a tre cerniere con carico centrale

La configurazione di questo portale è simmetrica: l'unica forza presente è il carico puntuale F disposto esattamente sull'asse di simmetria della struttura (in corrispondenza della cerniera interna). Da questa conformazione possiamo dedurre che le reazioni vincolari orizzontali delle cerniere a terra saranno uguali ma di verso opposto, mentre, al contrario quelle verticali avranno stesso modulo e verso (pari a metà della forza concentrata superiore). Dall'equilibrio dei momenti intorno alla cerniera otteniamo le reazioni orizzontali:

RoC h-F/2 l=0    => RoC=Fl/2h

RoA=RoC=RoB=Fl/2h         

 

Attraverso i valori ottenuti e tramite i diagrammi di N,T,M andiamo a visualizzare  lo sforzo della struttura.

Diagramma sforzo normale

 

Possiamo vedere come l'andamento dello sforzo normale sia costante in tutta la struttura in quanto in ogni punto sono assenti carichi concentrati q1 paralleli agli assi. Il valore dello sforzo normale assume per ogni tratto della struttura valori negativi in quanto agli estremi di ogni asta è presente una forza di compressione.

Diagramma sforzo di taglio

Nel primo tratto verticale lo sforzo di Taglio assume un andamento costante per la presenza del solo carico concentrato Fl/2h (positivo secondo la convenzione stabilita). Stessa situazione nel tratto verticale sulla destra, anche se in qesto caso la forza Fl/2h fa assumere all'asta uno sforzo di taglio negativo pari al valore della stessa forza. Nel tratto orizzontale possiamo vedere un salto nel diagramma del taglio, in corrispondenza della forza esterna, pari al valore della forza F.

Diagramma Momento

Il momento assume un andamento lineare in tutti i tratti del portale (il diagramma del taglio è infatti costante per tutti i punti), annullandosi in corrispondenza delle cerniere esterne e della cerniera interna.

Verifica della struttura con il software di calcolo SAP 2000

Deformazione struttura sotto il carico concentrato centrale F

Diagramma sforzi assiali

Diagramma sforzi di Taglio

Diagramma Momento

 

 

Quarta esercitazione:

arco a tre cerniere con carichi concentrati laterali

Le uniche forze presenti su questo portale sono i carichi puntuali F disposti ad h/2 rispetto all'altezza del portale. Da questa conformazione possiamo dedurre che le reazioni vincolari orizzontali delle cerniere a terra avranno un valore pari a F ma di verso opposto rispetto al carico esterno, mentre quelle verticali sicuramente andranno a bilanciare il momento Fh/2 prodotto dalle forze orizzontali. Dall'equilibrio dei momenti intorno alla cerniera otteniamo le reazioni verticali:

-cl-dh-Fh/2=0   (corpo a destra)

-cl+dh-Fh/2=0  (corpo a sinistra)

Dalla seconda equazione mi ricavo il valore di d:

d=(cl+Fh/2) x 1/h 

sostituisco il valore trovato nella prima equazione:

-cl-(cl/h+F/2) x h - fh/2 = 0

=> c (= b = g) = - Fh/2l

 

Attraverso i valori ottenuti e tramite i diagrammi di N,T,M andiamo a visualizzare  lo sforzo della struttura.

Diagramma sforzo normale

 

Possiamo vedere come l'andamento dello sforzo normale sia costante in tutta la struttura in quanto in ogni punto sono assenti carichi concentrati q1 paralleli agli assi. Il valore dello sforzo normale assume per ogni tratto a sinistra un valore positivo in quanto agli estremi dell’ asta è presente una forza di trazione, e negativo a destra, in quanto è presente uno sforzo di compressione.

Diagramma sforzo di taglio

Nei primi tratti verticali lo sforzo di Taglio assume un andamento costante per la presenza delle sole forze concentrate F (negativo secondo la convenzione stabilita). Nel secondo tratto, in assenza di carichi, non c'è sforzo di Taglio. Nel tratto orizzontale il diagramma è costante e positivo e pari al valore della forza verticale della cerniera interna.

Diagramma momento

Il momento assume un andamento lineare in tutti i tratti del portale (dove il diagramma del Taglio è costante) tranne per il secondo tratto verticale dove il taglio è pari a 0.

 

Verifica della struttura con il software di calcolo SAP 2000

Deformazione struttura

 

Diagramma sforzi assiali

Diagramma sforzi di Taglio

Diagramma Momento

 

 

 

 

Quinta esercitazione:

dimensionamento di una trave

Per questo esercizio ho scelto di esaminare la struttura di due appartamenti simmetrici, all'interno di un complesso residenziale, studiata per il Laboratorio di Progettazione 3 (triennale): la pianta si riferisce al piano terra. Nella progettazione fatta in passato era stata ipotizzata un'orditura nella stessa direzione per tutta la lunghezza dell'impalcato, con un solaio in c.a. 

L'esercizio prevede il dimensionamento di una trave della struttura ipotizzando l'uso di tre differenti tipologie strutturali: legno, acciaio e c.a.

La trave che andrò a dimensionare è quella compresa tra i pilastri B1-B2, con una luce pari a 4.80 m, un interasse di 3.86 m (1.93 m + 1.93 m) e un'area d'influenza di circa 18.53 mq (3.86 m x 4.8 m).

Per poter effettuare il dimensionamento e inserire nel foglio di calcolo excel i valori noti, dobbiamo prima calcolarci il peso totale dei carichi che gravano sulla struttura, distinguendoli in tre classi:

1. Qs = pesi propri dei materiali strutturali

2. Qp = carichi permanenti non strutturali (carico non removibile durante il normale esercizio della costruzione, relativo a tamponature esterne, massetti, isolamenti, pavimenti, rivestimenti, intonaci, impianti e altro)

3. Qa = carichi accidentali (carichi legati alla destinazione d'uso dell'opera)

Dalla Normativa (d.m. 14.01.2008) possiamo ricavare i valori dei carichi d'esercizio in base alla categoria dell'edificio: in particolare per gli ambienti ad uso residenziale si adotta un valore di carico accidentale pari a 2 KN/mq.

 

1. LEGNO

Per poter effettuare il dimensionamento della trave dobbiamo prima di tutto sommare le tre classi di carico, inserendo all'interno dei carichi strutturali, anche il peso dei travetti.

1.1 Progetto Travetti

Luce = 3.86 m;  Interasse = 1 m

1.1.1 Calcolo dei carichi:

In questo passaggio vado a calcolarmi il peso di ogni singolo elemento che compone la stratigrafia del solaio e che incide direttamente sul travetto, attraverso il prodotto tra lo spessore dell'elemento (m) e il proprio peso specifico (KN/mc), considerando un'area di 1 mq. Divido sempre i carichi nelle tre categorie. 

• Qs (carico strutturale): 

     Assito in legno:                6 KN/mc (peso specifico) x 0.035 m (spessore) = 0.21 KN/mq

• Qp (carico permanente non strutturale):

    Pavimento in gres:           0.01 m (spessore) = 0.2 KN/mq

    Malta in cls alleggerito:    20 KN/mc x 0.03 m = 0.6 KN/mq

    Isolante (lana di vetro):   0.6 KN/mc x 0.05 m = 0.03 KN/mq

    Massetto:                         22 KN/mc x 0.04 m = 0.88 KN/mq

    Impianti:                           0.5 KN/mq

    => 0.2 + 0.6 + 0.03 + 0.88 + 0.5 = 2.21 KN/mq

•  Qa (carico accidentale): 2 KN/mq

1.1.2 Inserimento dati nel foglio excel:

Attraverso l'inserimento dei dati noti all'interno del foglio di calcolo excel ricavo le dimensioni del travetto. Prima di tutto vado a calcolare il carico totale a metro lineare (q = KN/m) che grava sull'elemento strutturale, sommando tutti i carichi (qa + qp + qs) e moltiplicando la somma per l'interasse dei travetti:

(0.21 KN/mq + 2.21 KN/mq + 2 KN/mq) x 1m = 4.42 KN/m

Questo dimensionamento è applicabile a tutte quelle travi che hanno come schema statico di riferimento una trave doppiamente appoggiata con M=ql^2/8.Una volta calcolato il carico totale a metro lineare vado a impostare la luce del travetto, pari a 3.86 m, così da calcolare il Momento massimo agente:

M = ql²/8 = 4.42 x (3.86)²/8 = 8.23 KN*m

Avendo scelto come classe di legno la GL28h, inserisco all'interno del foglio excel la tensione di snervamento corrispondente (28 N/mmq) e il Kmod, un coefficiente correttivo caratteristico del legno che tiene conto dell'effetto, sui parametri di resistenza, sia della durata del carico sia dell'umidità della struttura (stesso effetto del coefficiente γm, ovvero quello di diminuire il valore della resistenza)

     

Ottengo così  una tensione di progetto fD pari a 9.66 N/mmq

Ipotizzo, quindi, una dimensione per la base del travetto (12 cm), così da calcolarmi l'altezza:

h= (6 x M x 1000 / b x fD) ^ 0,5 = 20.65 cm

Approssimando per eccesso i valori ottenuti ottengo un travetto di dimensioni 12x25 cm.

     

Per verificare il risultato ottenuto, sommando al carico strutturale il carico dei travetti, inserisco nuovamente i dati nel foglio di calcolo excel:

Qtr al metro lineare = A x γ = 0.12 m x 0.25 m x 6 KN/mc = 0.18 KN/m

Qtr al metro quadro = qtr/interasse = 0.18 KN/m /1m = 0.18 KN/mq

=> Qs = 0.21 KN/mq + 0.18 KN/mq = 0.39 KN/mq

     

Il dimensionamento è verificato anche con h = 21,06 cm, in quanto l'altezza precedentemente ipotizzata era pari a 25 cm

=> Travetto GL28h 12 x 25 cm

 

1.2 Progetto Trave

Luce = 4.8 m;  Interasse = 3.86 m

1.2.1 Calcolo dei carichi:

• Qs (carico strutturale) : 0.39 KN/mq (assito in legno + travetti)

• Qp (carico permanente non strutturale):  2.21 KN/mq

•  Qa (carico accidentale): 2 KN/mq

1.2.2 Inserimento dati nel foglio excel:

Somma carichi:

(0.39 KN/mq + 2.21 KN/mq + 2 KN/mq) x 3.86 m = 17.756 KN/m

Calcolo Momento massimo agente:

M = ql^2/8 = 17.756 x (4.8)2/8 = 51.13728 KN*m

Calcolo tensione di progetto fD:

fD = Kmod*fmk/γm = 9.66 N/mmq

Calcolo altezza trave h (ipotizzando una base di 20 cm):

 h= (6 x M x 1000 / b x fD) ^ 0,5 = 39.86 cm

Approssimando per eccesso i valori ottenuti ottengo una trave di dimensioni 20 x 40 cm.

Per verificare il risultato ottenuto, sommando al carico strutturale anche il carico della trave stessa, inserisco nuovamente i dati nel foglio di calcolo excel.

Qtr al metro lineare = A x γ = 0.20 m x 0.40 m x 6 KN/mc = 0.48 KN/m

Qtr al metro quadro = qtr/interasse = 0.48 KN/m /3.86m = 0.124 KN/mq

=> Qs = 0.39 KN/mq + 0.124 KN/mq = 0.514 KN/mq

Il dimensionamento non risulta verificato poichè mantenendo una base pari a 20 cm l'altezzza nuova (che considera all'interno dei carichi anche il peso della trave) risulta pari a 40.39 cm.

=> Trave GL28h 20 x 45 cm

 

2. ACCIAIO

Per il dimensionamento della trave in acciaio applico inizialmente lo stesso procedimento effettuato per il solaio in legno: sommatoria dei carichi, calcolo del momento massimo agente, calcolo tensione di progetto fD, pertendo, anche in questo caso, dal progetto dei travetti.

2.1 Progetto Travetti

Luce = 3.86 m;  Interasse = 1 m

2.1.1 Calcolo dei carichi:

In questo passaggio vado a calcolarmi il peso di ogni singolo elemento che compone la stratigrafia del solaio e che incide direttamente sul travetto, attraverso il prodotto tra lo spessore dell'elemento (m) e il proprio peso specifico (KN/mc), considerando un'area di 1 mq. Divido sempre i carichi nelle tre categorie. 

• Qs (carico strutturale): 

     Soletta in lamiera grecata e getto in cls ( lamiera di tipo A75/P600, con un'altezza di 75mm e una altezza totale della soletta di 15cm) =  2.50 KN/mq

• Qp (carico permanente non strutturale):

    Pavimento in gres:           0.01 m (spessore) = 0.2 KN/mq

    Malta in cls alleggerito:    20 KN/mc x 0.03 m = 0.6 KN/mq

    Isolante (lana di vetro):   0.6 KN/mc x 0.05 m = 0.03 KN/mq

    Pannelli in cartongesso:   0.1 KN/mq

    Impianti:                           0.5 KN/mq

    => 0.2 + 0.6 + 0.03 + 0.1 + 0.5 = 1.43 KN/mq

•  Qa (carico accidentale): 2 KN/mq

2.1.2 Inserimento dati nel foglio excel:

Attraverso l'inserimento dei dati noti all'interno del foglio di calcolo excel ricavo le dimensioni del travetto. Prima di tutto vado a calcolare il carico totale a metro lineare (q = KN/m) che grava sull'elemento strutturale, sommando tutti i carichi (qa + qp + qs) e moltiplicando la somma per l'interasse dei travetti:

(2.50 KN/mq +1.43 KN/mq + 2 KN/mq) x 1m = 5.93 KN/m

Una volta calcolato il carico totale a metro lineare vado a impostare la luce del travetto, pari a 3.86 m, così da calcolare il Momento massimo agente:

M = ql²/8 = 5.93 x (3.86)²/8 = 11.04 KN*m

Avendo scelto come classe di acciaio la Fe360S235, inserisco all'interno del foglio excel la tensione di snervamento corrispondente (235 N/mmq), così da calcolare la tensione di design fD:

fD = fyk/1.05 = 223.81 N/mmq

Dai calcoli effettuati ottengo un Modulo di resistenza a flessione Wx pari a 49.35 cm^3; ricerco quindi nelle tabelle il profilo con il modulo di resistenza immediatamente superiore:

=> Profilo IPE 120 (Wx = 53 cm^3)

Per verificare il risultato ottenuto, sommando al carico strutturale il carico dei travetti, inserisco nuovamente i dati in excel:

Peso travetto (tabella) = 10.4 Kg/m = 0.104 KN/m

Qtr al metro quadro = 0.104 KN/m /interasse = 0.104 KN/m /1 m = 0.104 KN/mq

Qs = 2.50 KN/mq + 0.104 KN/mq = 2.604 KN/mq

Il dimensionamento è verificato anche questa volta in quanto Wx = 50.21 cm^3

=> Travetto IPE 120 (Wx = 53 cm^3) (12cm x 6.4 cm)

 

2.2 Progetto Trave

Luce = 4.8 m;  Interasse = 3.86 m

2.2.1 Calcolo dei carichi:

• Qs (carico strutturale) =

carico soletta + travetti = 2.50 KN/mq +0.104 KN/mq = 2.604 KN/mq

• Qp (carico permanente non strutturale) =

Pavimento in gres:           0.01 m (spessore) = 0.2 KN/mq

Malta in cls alleggerito:    20 KN/mc x 0.03 m = 0.6 KN/mq

Isolante (lana di vetro):   0.6 KN/mc x 0.05 m = 0.03 KN/mq

Pannelli in cartongesso:   0.1 KN/mq

Impianti:                           0.5 KN/mq

=> 0.2 + 0.6 + 0.03 + 0.1 + 0.5 = 1.43 KN/mq

•  Qa (carico accidentale): 2 KN/mq

2.2.2Inserimento dei dati all'interno del foglio excel:

Somma carichi:

(2.604 KN/mq + 1.43 KN/mq + 2 KN/mq) x 3.86 m = 23.29 KN/m

Calcolo Momento massimo agente:

M = ql^2/8 = 23.29 x (4.8)2/8 =67.07 KN*m

Calcolo tensione di progetto fD:

fD = fγk/1.05 = 223.81 N/mmq

Dai calcoli effettuati ottengo un Modulo di resistenza a flessione Wx pari a 299.71 cm^3; ricerco quindi nelle tabelle il profilo con il modulo di resistenza immediatamente superiore

=> Profilo IPE 240 (Wx = 324 cm^3)

 

Per calcolare il risulatato ottenuto , sommando al carico strutturale il carico dei travetti, inserisco nuovamente i dati nel foglio di calcolo excel:

Peso trave (tabella) = 30.7 Kg/m = 0.307 KN/m

Qtr al metro quadro = 0.307 KN/m /interasse = 0.307 KN/m /3.86 m = 0.026 KN/mq

Qs = 2.604 KN/mq + 0.026 KN/mq =2.63 KN/mq

Il dimensionamento è verificato anche questa volta in quanto Wx = 301.01 cm^3

=> Trave IPE 240 (Wx = 324 cm^3)(24 cm x 12 cm)

 

3. CLS ARMATO

Luce = 4.8 m;  Interasse = 3.86 m

3.1.Calcolo dei carichi:

• Qs (carico strutturale): 

     Solaio in laterocemento con travetti armati=  2.65 KN/mq

• Qp (carico permanente non strutturale):

    Pavimento :                      0.01 m (spessore) = 0.2 KN/mq

    Malta in cls alleggerito:    20 KN/mc x 0.03 m = 0.6 KN/mq

    Isolante (lana di vetro):   0.6 KN/mc x 0.05 m = 0.03 KN/mq

    Intonaco (2 cm):               0.3 KN/mq

    Impianti:                           0.5 KN/mq

     => 0.2 + 0.6 + 0.03 + 0.3 + 0.5 = 1.63 KN/mq

•  Qa (carico accidentale) = 2 KN/mq

3.2.Inserimento dei dati all'interno del foglio excel:

Somma carichi:

(2.65 KN/mq + 1.63 KN/mq + 2 KN/mq) x 3.86 m = 26.32 KN/m

Calcolo Momento massimo agente:

M = ql^2/8 = 26.32 x (4.8)2/8 = 75.80 KN*m

Inseriamo il valore della tensione di snervamento in base al tipo di acciaio adottato, in questo caso B450C, l'unico ammesso in zona sismica, con un fyk = 450 MPa.

Ricavo poi il valore della tensione di snervamento fD pari al rapporto tra fyk e il coefficiente di sicurezza utilizzato per le barre di acciaio, pari a 1.15.

fD = fyk/1.15 = 450/1.15 = 391.3 N/mmq

La fck rappresenta invece il valore caratteristico della resistenza a compressione del calcestruzzo, misurata su provini cilindrici, in base al tipo di calcestruzzo scelto.

C 40/50 => 40 N/mmq

Ponendo la base della trave pari a 30 cm, ottengo dal calcolo del dimensionamento un'altezza pari a 23.68, anche se sommando i 5 cm di copriferro l'altezza totale H della sezione arriva a misurare 28.68 cm. Arrotondo le dimensioni scegliendo una trave di 30 cm x 35 cm (evitando una sezione quadrata). 

La classe di resistenza utilizzata per il cls è la C40/50, mentre per l'acciaio la B450C (normativa per zona sismica).

Sapendo che il Peso lineare P = 2.15 KN/m (determinato dal foglio excel), vado a sommarlo al carico totale Q (26.32 KN/mq + 2.15 KN/mq) => Q = 28.47 KN/m da

cui un H = 29.40 cm (entro le dimensioni calcolate). Il dimensionamento risulta corretto.

 

 

 

 

 

Sesta esercitazione:

Struttura reticolare spaziale

Le reticolari spaziali sono strutture rigide costruite per mezzo di incastri e secondo opportuni schemi geometrici (principalmente di tipo piramidale), consentendo la realizzazione di ampie campate nonostante il numero limitato di supporti.

Dopo aver disegnato la struttura in autocad possiamo importarla nel software di calcolo Sap 2000 per analizzarla.

Disegniamo quindi la struttura reticolare in autocad, uno schema realizzato a partire da una base quadrata, composta da tiranti, puntoni e diagonali, partendo dalla sua unità per realizzare poi una serie: assegnate le unità di misura in metri, attraverso una polilinea (e partendo dalle coordinate dello 0 assoluto 0,0,0 per facilitare l'esportazione su Sap) costruiamo un quadrato di 2m x 2m, lasciando uno dei quattro lati aperto per evitare di incollare più linee sullo stesso lato durante la serie

Per costruire la reticolare è necessario passare da una vista bidimensionale ad una tridimensionale

Cambiamo nuovamente vista e ruotiamo la figura disegnata nello spazio tridimensionale: a questo punto siamo in grado si disegnare nello spazio i moduli mancanti della reticolare. Selezioniamo le quattro aste e utilizziamo il comando "serie "(array), che ci permetterà di disegnare copie multiple della nostra unità di base attraverso una serie rettangolare. Per disegnare la nostra struttura occorre realizzare quattro copie lungo l'asse x: diciamo quindi ad arrey di realizzare quattro colonne distati 2 m l'una dall'altra (misura pari alla larghezza della nostra unità)

Chiudiamo ora la figura attraverso l'ultima asta verticale della serie

Nello stesso modo in cui abbiamo disegnato le quattro colonne lungo l'asse X disegniamo l'unità base (quadrato con diagonale, aperto sul quarto lato) lungo l'asse perpendicolare, facendo attenzione a non duplicare le aste verticali già disegnate nella prima serie. Inoltre, per disegnare le altre maglie della faccia laterale, bisogna cambiare il sistema di riferimento UCS poichè il piano su cui possiamo disegnare è quello xy.

Utilizziamo nuovamente il comando array per completare le aste mancanti

Completiamo ora la prima campata disegnando le aste oblique superiori e inferiori, lasciando ancora una volta il quarto lato aperto per poter effettuare una nuova serie (quella definitiva)

Completiamo quindi la struttura riprendendo ancora una volta il comando array che ci permetterà di disegnare copie multiple della nostra "riga" di base attraverso una serie rettangolare. Per disegnare la nostra struttura occorre realizzare sette copie lungo l'asse x: diciamo quindi ad arrey di realizzare sette colonne distati 2 m l'una dall'altra (misura pari alla larghezza della nostra unità)

Otteniamo la reticolare, composta da quattro campate lungo l'asse Z e sette campate lungo l'asse X

La struttura disegnata presenta una campata in più (sette invece di sei) in quanto risulta più semplice eliminare le aste della settima campata piuttosto che andare a disegnare le aste mancanti

Eliminiamo quindi le aste dell'ultima campata così da ottenere la struttura definitiva (quattro campate x sei campate). Prima di passare su Sap, attraverso il comando "esplodi", separiamo le polilinee in modo da creare aste singole (processo necessario per il calcolo su Sap).

Salviamo la struttura e importiamo il modello in formato .dxf Autocad 2000 sul software di calcolo SAP 2000. Impostiamo le unità di misura (KN, m, C) e attraverso il comando "import" inseriamo il modello .dxf di Autocad. Selezionando i quattro nodi alle estremità della struttura reticolare possiamo assegnare i vincoli (quattro cerniere esterne) 

Seleziono i nodi => assign => joint => restraints => translation 1 e 2 (ovvero impedisce la traslazione verticale e orizzontale)

Essendo una struttura reticolare mi assicuro che le aste siano soggette soltanto a sforzo normale, ponendo pari a zero il momento sia all'inizio che alla fine di ogni singola asta, andando a creare cerniere interne di collegamento

Seleziono i nodi => assign => frame => releases/partial fixity => moment 2-2 e moment 3-3 start-end

Prima di analizzare la struttura definisco e assegno alle aste una sezione e un materiale: in questo caso acciaio e sezione tubolare. Inoltre definisco un nuovo carico concentrato, pari a 40 KN (in questo caso -40, in quanto in direzione opposta a quella dell'asse verticale Z), assegnandolo ai soli nodi superiori. Una volta assegnati i carichi possiamo lanciare l'analisi, limitandola alle sole forze concentrate inserite nell'ultimo passaggio.

Ottengo la struttura reticolare spaziale deformata sotto l'azione dei carichi esterni: le aste sono sollecitate solamente a sforzo assiale (i diagrammi del momento e del taglio sono infatti pari a zero). Dalla vista 3d possiamo vedere come varia lo sforzo assiale nelle aste della struttura

Variazione dello sforzo normale nel piano YZ

Per visualizzare i risultati dello sforzo normale sulle aste 

Display => Show table => analysis results => element output 

Otteniamo così lo sforzo normale di ogni singola asta 

dopo aver esportato la tabella su excel (così da poter ordinare in maniera più veloce i valori, dal più grande al più piccolo o viceversa) possiamo individuare facilmente l'asta maggiormente sollecitata a trazione e a compressione

File => Export all tables => to excel

 

Progetto asta maggiormente sollecitata a trazione

All' asta maggiormente sollecitata a trazione corrisponde uno sforzo assiale N = 259,167 KN. Mi calcolo quindi l'area minima che resiste a trazione tramite la formula

fD = N/A => A = N/fD

Scegliendo un acciaio Fe360S235 posso calcolarmi la tensione di progetto

fD = fyk/1.05 = 223.81 N/mmq

A = N/fd = 259167 N / 223.81 N/mmq = 1157.9 mm² = 11.58 cm² 

Avendo calcolato l'area minima necessaria vado a scegliere le sezioni disponibili per i tubolari e scelgo il profilo con l'area immediatamente superiore a 11.58 cm²

Scelgo il profilato con una sezione pari a 12.5 cm². 

Verifica asta maggiormente sollecitata a trazione

Per quanto riguarda l'asta tesa posso effettuare una verifica a resistenza del profilo scelto: la sezione risulta verificata se il risultato del quoziente tra lo sforzo normale e l'area del nuovo profilo risulta essere inferiore o al limite uguale a fD. 

259167 N / 1250 mmq =  207.3 N/mmq < 223.81N/mmq

Il profilo scelto è verificato.

 

Progetto asta maggiormente sollecitata a compressione

All' asta maggiormente sollecitata a compressione corrisponde uno sforzo assiale N = 304.968 KN. Mi calcolo quindi l'area minima che resiste a trazione tramite la formula

fD = N/A => A = N/fD

Scegliendo un acciaio Fe360S235 posso calcolarmi la tensione di progetto

fD = fyk/1.05 = 223.81 N/mmq

A = N/fd = 304968 N / 223.81 N/mmq = 1362.6 mm² = 13.62 cm² 

Avendo calcolato l'area minima necessaria vado a scegliere le sezioni disponibili per i tubolari e scelgo il profilo con l'area immediatamente superiore a 13.62 cm²

Scelgo il profilato con una sezione pari a 13.9 cm². 

Verifica asta maggiormente sollecitata a compressione

Per quanto riguarda l'asta compressa posso effettuare tre tipi di verifica del profilo scelto: verifica a resistenza, a stabilità e a snellezza. L'asta compressa è infatti soggetta al cosiddetto "carico assiale di punta" (o carico critico euleriano), un improvviso collasso di un membro strutturale soggetto ad intensi sforzi di compressione: una struttura snella (Valore elevato del rapporto h/l), ricevendo sollecitazioni di questo tipo, tende ad incurvarsi fino al punto di rottura 

Verifica a resistenza:

la sezione risulta verificata se il risultato del quoziente tra lo sforzo normale e l'area del nuovo profilo risulta essere inferiore o al limite uguale a fD. 

304968 N / 1390 mmq =  219.4 N/mmq < 223.81N/mmq

Il profilo scelto risulta verificato a resistenza.

Verifica a snellezza:

La snellezza dell'asta è definita dalla formula 

λ = l₀ /ρ 

con l₀ lunghezza libera d'inflessione (distanza tra due punti di flesso successivi della deformata flessionale) e ρ il raggio d'inerzia della sezione retta nel piano di inflessione. La normativa impone limiti alla snellezza massima negli elementi in cui possa essere presente uno sforzo normale di compressione:

λ_max ≤ 200 per le membrature principali

λ_max ≤ 250 per le membrature secondarie

Lo schema dell'asta incernierata porta ad avere un valore di lo= l, mentre il raggio d'inerzia (desumibile dalle tabelle) è pari a 3,9 cm.

=> λ = l₀ /ρ = 1 x 282 cm/3,9 cm = 72.3 < 200

Il profilo scelto risulta verificato a snellezza.

Verifica a stabilità:

Uno degli aspetti principali da tenere presente nella progettazione delle strutture in acciaio è quello legato ai problemi di stabilità dell'equilibrio. L'elevata resistenza dell'acciaio consente infatti, a parità di sollecitazioni, di adottare per gli elementi strutturali sezioni molto ridotte: la snellezza può quindi portare a situazioni di instabilità. 

Nd ≤Nbrd 

 

Per prima cosa mi calcolo il carico critico euleriano, ovvero il più piccolo valore del carico assiale per il quale la trave caricata di punta può assumere una configurazione di equlibrio diversa dalla configurazione "indeformata".

E = 210000 N/mmq

I = 211 cm⁴ = 2110000 mm⁴

Lo = 282 cm = 2820 mm

=> N_cr = (3.14)² x 210000 N/mm² x 2110000 mm⁴ / (2820 mm)² = 549367 N = 549 KN

Ora la snellezza adimensionale:

A = 13.9 cm² = 1390 mm²

fyk = 235 N/mmq

Ncr = 549367 N

=> √1390 mm^₂ x 235 N/mm² / 549367 N = 0.77

Il coefficiente χ, che dipende dal tipo di sezione e dal tipo di acciaio impiegato: si desume, in funzione di appropriati valori della snellezza adimensionale, dalla seguente formula: 

dove Φ = 0.5 [1 + α (λ - 0.2) + λ² ], mentre α è il fattore di imperfezione (ricavabile dalle tabelle della normativa)

=> Φ = 0.5[1 + 0.21 ( 0.77 - 0.2) + (0.77)²] = 0.8563 

=> X = 1 / 0.8563 + √(0.8563)² - (0.77)² = 0.815<1

Infine, Nbrd

X = 0.815

A = 13.9 cm² = 1390 mm²

=> Nbrd = 0.815 x 1390 mm² x 235 N/mm² / 1.05 =  253542 N = 253 KN < 549 KN

 

Il profilo scelto risulta verificato a compressione.

 

 

 

 

Settima esercitazione:

Ripartizione forze sismiche

(Svolto con Yanbin Zhu, Andrea Muglia, Flavia Valdarnini)

Questa esercitazione ci permetterà di calcolare come, in presenza di forze sismiche, debbano essere disposti i controventi all'interno di una struttura: i controventi sono infatti dei particolari vincoli che impediscono alla struttura di effettuare uno spostamento o una rotazione dovuta ad una forza orizzontale.

Chiamiamo Centro di Massa il punto in cui si considera concentrata la forza derivante dall'azione sismica: planimetricamente la posizione del baricentro dipende dalla forma geometrica dell'impalcato e viene determinata con i metodi forniti dalla geometria delle masse.

Si definisce invece Centro elastico dell'impalcato il baricentro delle rigidezze degli elementi resistenti verticali che si oppongono all'azione sismica orizzontale: di conseguenza, il baricentro delle rigidezze deve essere determinato attraverso la rigidezza dei telai.

Se il Centro di Massa e il Centro delle Rigidezze coincidono, il movimento teorico del piano indotto dal sisma sarà di pura traslazione.

L'impalcato in esame è una struttura simmetrica composta da cinque controventi verticali e tre controventi orizzontali.

La prima ipotesi da fare è che questa struttura sia composta da telai Shear Type, ovvero un telaio con nodi ad incastro e con una trave considerata infinitamente rigida flessionalmente rispetto ai pilastri (che non si deformano né a compressione né a trazione o, comunque, in maniera trascurabile).

Le travi arancioni sono quelle che portano il solaio. In questo passaggio cerchiamo di capire se l'orientamento dei 13 pilastri (30x50 cm) risulta corretto. Partendo dal calcolo dei differenti momenti d'Inerzia (lungo gli assi x e y) di una sezione rettangolare e ricordando che i pilastri che portano il solaio si inflettono maggiormente (avremo bisogno, quindi, di un maggiore momento d'inerzia nella direzione in cui questi pilastri collegano le travi portanti), disponiamo i pilastri in base alla tessitura del solaio. Nei punti in cui si incontrano tre travi portanti, in questo caso i pilastri 5,6,7, i pilastri sono orientati nella direzione della trave portante più lunga.

Prima ipotesi: impalcato in c.a.

Esaminando la struttura con la prima tecnologia (c.a.) andiamo a scrivere alcuni dati che andranno inseriti successivamente nella tabella.

• I_x = 1/12 x b x h³ = 1/12 x 50 x 30³ = 112500 cm⁴
• Iy = 1/12 x h³ x b = 1/12 x 30 x 50³ = 312500 cm⁴
• E = 21000 N/mmq
• h = 4m

I controventi, avendo un comportamento elastico, possono essere paragonati a delle molle: la legge di Hooke, F = Ks, afferma che l'allungamento di un corpo elastico è direttamente proporzionale alla forza ad esso applicata. Nel nostro caso K rappresenta la rigidezza del controvento.

Step 1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

Tramite questo passaggio calcoliamo le rigidezze traslanti di ogni singolo controvento

 

 

Step 2: tabella sinottica controventi e distanze

Calcoliamo ora le ditanze verticali (dv) e orizzontali (do) dei controventi rispetto al punto scelto O, origine del nostro sistema di riferimento.

 

Step 3: calcolo del centro di massa

Per calcolare il centro di massa G, punto in cui risulta applicata la forza sismica, dividiamo la struttura in due grandi rettangoli, di area 28.38 m² e 39.60 m². Inseriamo nella tabella le coordinate X e Y dei baricentri delle due aree, andando così a calcolarci l'area totale e, soprattutto, le coordinate X e Y del centro d'area dell'intero impalcato tramite la formula:

Xg = A₁ x X_g1 + A₂ x X_g2 / A₁+A₂

Yg = A₁ x Y_g1 + A₂ x Y_g2 / A₁+A₂

 

Step 4: calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

In questo passaggio tramite il foglio di calcolo Excel ci calcoliamo il centro delle rigidezze.

• Vengono sommate separatemente le rigidezze dei controventi verticali e orizzontali 
• Si calcola la coordinata Xc del centro delle rigidezze tramite la formula: 

    K_v2 x d_v2 + K_v3 x d_v3 + K_v4 x d_{v4 +} K_v5 x d_v5/ K_{v tot}

• Si calcola la coordinata Yc del centro delle rigidezze tramite la formula: 

    K₀₂ x d₀₂ + K₀₃ x d₀₃ + K₀₄ x d_{04 +} K₀₅ x d₀₅/ K_{0 tot}

• Si calcolano le distanze di ogni controvento dal centro delle rigidezze.
• Si calcola la rigidezza torsionale totale tramite il prodotto tra la sommatoria delle rigidezze e la distanza al quadrato di ogni rigidezza.

   KΦ= Σi Ki x ddi²

 

Step 5: analisi dei carichi sismici

Inseriamo nella tabella il valore dei carichi, dividendoli in strutturali, permanenti, accidentali e li moltiplichiamo per l'area totale dell'impalcato, calcolandoci così il carico permanente totale e il carico accidentale totale.

Il totale delle due classi di carico viene poi moltiplicato per un coefficiente di contemporaneità y (pari a 0.8): si ottiene il valore del peso sismico.

A sua volta il peso sismico viene moltiplicato ad un coefficiente di intensità sismica: nella struttura in analisi la Forza sismica orizzontale è pari a 38.07 KN.

 

Step 6-7: ripartizione forza sismica lungo x e lungo y

Tramite questo ultimo passaggio verifichiamo la risposta della struttura alla forza sismica esterna lungo due direzioni perpendicolari tra loro, ovvero come si ripartisce la forza F, disposta lungo l'asse X o Y alternativamente, lungo i controventi della struttura.

Dallo schema precedente possiamo vedere come, lungo l'asse Y, il centro di massa e il centro delle rigidezze coincidano: di conseguenza, alla presenza di una forza sismica verticale l'impalcato è soggetto a traslazione.

Nel caso opposto, invece, la presenza di un braccio che separa i due centri farà ruotare in maniera antioraria l'intero impalcato: come si può vedere dal disegno sottostante, la forza sollecitante Fi (sisma) e la forza resistente V trovano condizione di equilibrio solo tramite un momento torcente M. 

Esempio di un centro di massa e di rigidezze non coincidenti ( immagini tratte dal dipartimento di Ing. Strutturale e Geotecnica di Verbania).

Il Momento torcente viene calcolato tramite il prodotto della forza sismica F e della distanza tra i due baricentri (Forza x Braccio).

La traslazione si calcola, invece, dividendo la forza sismica per la rigidezza totale, mentre la rotazione dell'impalcato si ottiene dividendo la Forza F per la rigidezza torsionale totale, calcolata in precedenza.

Tramite i valori della traslazione e della rotazione dell'impalcato possiamo calcolare la forza sismica che si riprtisce su ogni controvento su entrambe le direzioni X e Y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVATURE RETICOLARI SIMMETRICHE E ASIMMETRICHE

Queste prime esercitazioni vertono sulla risoluzione delle travature reticolari isostatiche, simmetriche e asimmetriche, tramite l’applicazione di due diversi metodi di calcolo: il metodo delle sezioni di Ritter, attraverso il quale si eseguono dei tagli virtuali che permettono di calcolare le azioni di contatto delle aste, e il metodo dei nodi, che vede l’isolamento dei vari nodi della struttura e la scrittura delle equazioni di equilibrio relative al nodo in esame. Nel caso delle travature reticolari soggette a carichi concentrati, le sole azioni di contatto sono riconducibili allo sforzo normale (trazione e compressione), giacché taglio e momento risultano essere nulli. Pertanto si dovrà verificare se le aste della trave (correnti o diagonali), collegate tra loro tramite cerniere (nodi), sono tese o viceversa compresse. Verranno quindi denominate, a seconda della sollecitazione agente, tiranti o puntoni.

Viene inizialmente assegnata una struttura reticolare simmetrica sia per struttura che per forze esterne applicate. Difatti in corrispondenza dei nodi B, P e G agiscono dei carichi concentrati di valore 20 KN, in direzione della forza gravitazionale. Prima di procedere al calcolo delle azioni di contatto è necessario verificare la condizione di isostaticità della trave, possibile attraverso l’applicazione di due metodi, e procedere quindi al calcolo delle reazioni vincolari: 

Risolviamo la struttura tramite il metodo di Ritter: si opera una sezione ideale che divide la trave integralmente in due parti sezionando solo tre aste non concorrenti nello stesso punto. Si disegna lo schema isolando una delle due porzioni e si calcolano gli sforzi assiali mediante l’equazione di equilibrio dei momenti intorno al polo di riferimento. Per le aste diagonali bisogna scomporre il vettore dello sforzo assiale nelle sue componenti orizzontale e verticale, ma poiché l’angolo risulta essere di 45° esse avranno valore uguale e pari al modulo dello sforzo normale moltiplicato per sqrt(2)/2. A seconda dei valori (positivo o negativo), si verificherà se le aste sono tese o compresse e se i versi ipotizzati a priori erano esatti o da invertire: 

 

Poiché la struttura è simmetrica, i calcoli possono essere effettuati solo per metà trave ed estesi all’altra metà.

 

La seconda struttura reticolare non risulta essere simmetrica. Per calcolare le azioni di contatto viene usato il metodo dei nodi. 

 

Il primo passaggio prevede sempre la verifica dell’isostaticità della trave e il successivo calcolo delle reazioni vincolari dei nodi B e G. 

 

Viene individuato il nodo più conveniente (o semplice) da analizzare per procedere in successione all’analisi dei restanti nodi. In questo caso è opportuno partire dall’analisi dal nodo G, giacché presenta due sole incognite e il valore definito della reazione orizzontale del carrello, precedentemente calcolato. Si procede isolando il nodo, esplicitando gli sforzi assiali sulle aste e risolvendo le equazioni di equilibrio. Poiché le forze sono convergenti al nodo, l’equazione di equilibrio dei momenti rispetto al nodo stesso è identicamente soddisfatta (ΣMnodo=0). Nel caso piano si hanno pertanto a disposizione perogni nodo solo le rimanenti due equazioni di equilibrio: ΣFx,nodo=0 e ΣFy,nodo=0.

 

La struttura viene verificata con il software di calcolo strutturale SAP 2000.

1) Viene creato un nuovo modello partendo dalla griglia:

GRID LINES: x=4, y=1, z=2

GRID SPACING: x=1, y=1, z=1      non consideriamo il valore y poiché siamo nel piano 2D x,z

2) Attraverso lo strumento linea viene disegnata la struttura, dove le aste risultano essere ancora unite. 

 

3) Si assegnano i vincoli ai punti B e G: si seleziona il punto di riferimento -> ASSIGN -> JOINT  
   ->RESTRAITS:

per il punto B si assegna la cerniera di default, per il punto C il carrello la cui traslazione avviene lungo l’asse x (1).

4) Si definiscono le forze concentrate: DEFINE -> LOAD PATTERNS -> si crea una nuova forza con il fattore di moltiplicazione pari a zero.

Sempre DEFINE -> LOAD CASES -> Si eliminano DEAD, MODEL (delete load cases).

Cliccando sui nodi interessati dalle forze, gli si assegnano i carichi: ASSIGN -> JOINT FRAME
 ->FORCES: si assegna la forza prima definita:

-       FORCE GLOBAL Z: -10 KN            

      si mette il valore negativo per indicare una forza gravitazionale verso il basso 

5) Bisogna dare un’ulteriore indicazione riguardante le aste, poiché SAP considera i nodi tra le aste come incastri interni, mentre fra le aste vi è un vincolo di cerniera interna. Pertanto si seleziona la struttura -> ASSIGN -> FRAME -> RELEASES/PARTIAL FIXITY:

- MOMENT 33: si spunta sia start che end (momento nullo sia all’inizio che alla fine). 

6) A questo punto di può avviare l’analisi ed esaminare la deformata, il diagramma delle sollecitazioni e visualizzare la tabella dei valori: 

 

DIMENSIONAMENTO TRAVI TRAMITE IL FOGLIO DI CALCOLO EXCEL

 

Per l’esercitazione riguardante il dimensionamento delle travi tramite il foglio elettronico excel, considero l’impalcato ipotizzato per gli alloggi di un albergo, il cui programma funzionale è stato fornito dal corso di “Laboratorio di Progettazione 2M”, eseguito in collaborazione con Emanuel Dad Khan e Sara Forlani. 
   

 

Dopo aver disegnato il telaio strutturale, costituito da travi a sbalzo e pilastri, considero la trave maggiormente sollecitata da sottoporre all’analisi. Prendo quindi in esame la trave relativa all’interasse B-B’, la cui area di influenza è pari a:

A_trave= interasse x luce, ovvero
32,00 mq= 8,00 m x 4,00 m .

Il dimensionamento sarà effettuato in base alle tabelle riguardanti i tre materiali presi in esame nel corso: legno, acciaio e cemento armato.
Per tutti e tre i materiali, progetto e verifico innanzitutto il travetto della struttura e in seguito procedo alla progettazione e verifica della trave. L’area di influenza del travetto risulta essere:

per legno e acciaio:

A_travetto= interasse x luce
4,00 mq= 1,00 m x 4,00 m

per calcestruzzo:

A_travetto= interasse x luce
2,00 mq= 0,50 m x 4,00 m

Devo inoltre considerare a quali carichi la struttura verrà sottoposta, ovvero a quali azioni la costruzione dovrà resistere.
“Si definisce azione ogni causa o insieme di cause capace di indurre uno stato limite in una struttura”⁽¹⁾. Queste azioni vengono classificate dalla normativa vigente in base alla variazione della loro intensità nel tempo e si distinguono in:

·      Permanenti: ovvero quelle azioni la cui durata è strettamente vincolata alla vita nominale della costruzione e la cui variazione è approssimativamente considerata costante nel tempo.  Vengono considerati sotto questa voce, ad esempio, il peso proprio degli elementi strutturali (azioni permanenti strutturali) e quello degli elementi non strutturali (permanenti portati).

·      Variabili: ovvero i carichi definiti come accidentali. Sono quei sovraccarichi legati alla destinazione d’uso degli edifci/locali, o le azioni dovute agli agenti atmosferici (vento, neve).

·      Eccezionali: azioni che si verificano eccezionalmente, come ad esempio incendi ed esplosioni.

·      Sismiche: azioni derivanti dai terremoti.

Per i valori dei carichi di esercizio, riporto la tabella 2.6 tratta dal libro:
Boscolo Bielo, M. “Progettazione strutturale, significato e prassi della nuova normativa antisisimic”, Legislazione Tecnica, 2010, Roma. 

 

 

SOLAIO IN LEGNO:

 

Riferimento per la soluzione strutturale tratta da:
Benedetti, C.- Bacigalupi, V. “Materiali e progetto”, Edizioni Kappa, 2005, Roma.

TRAVETTI:

Carichi strutturali (qs)

• Impalcato in legno di noce:                                                                                                                   peso specifico : 600 kg/mc (per legno stagionato)                                                                         volume tavolato (per 1 mq) : 0,05 m x 1,00 m x 1 ,00 m = 0,05 mc                                               peso tavolato (per 1 mq) : 600 kg/mc x 0,05 mc = 30 kg/mq = 0,30 kN/m

Sovraccarichi permanenti (permanenti portati, qp)     

• Massetto in cemento :                                                                                                                          massa volumica : 2000 kg/mc                                                                                                        volume massetto (per 1 mq) : 0,07 m x 1,00 m x 1 ,00 m = 0,07 mc                                            peso massetto (per 1 mq) : 2000 kg/mc x 0,07 mc = 140 kg/mq = 1,40 kN/mq 
• Isolante acustico : del tipo PIOMBOROLL DUO 0,60                                                                                peso isolante (per 1 mq) : 7 kg/mq = 0,07 kN/mq

   

• Parquet in rovere:                                                                                                                                  peso specifico : 750 kg/mc                                                                                                           volume parquet (per 1 mq) : 0,02 m x 1,00 m x 1 ,00 m = 0,02 mc                                               peso parquet (per 1 mq) : 750 kg/mc x 0,02 mc = 15 kg/mq = 0,15 kN/mq
• Incidenza impianti: 0,5 kN/mq
• Incidenza tramezzi: 1 kN/mq

Sovraccarichi accidentali (qa)

• Ambienti ad uso residenziale : 2 kN/mq

CARICO TOTALE : (qs+qp+qa) x interasse
(0,30 + 3,12 + 2) x 1 = 5,42 kN/m

Calcolo il momento massimo per una trave appoggiata-appoggiata soggetta a un carico distribuito pari a 5,42 kN/m, tramite la formula: q*l^2/8.
Inserisco quindi i dati trovati (relativi ai carichi e al momento massimo) nella tabella excel riguardante il legno, scegliendo una classe di resistenza del materiale pari a GL24H,con fm,k=24 N/mmq e un valore di 0,7 (per legno lamellare) per il coefficiente kmod (durata del materiale).  Infine inserisco un valore ipotetico per la base della sezione del travetto pari a 12,00 cm, trovando così un’altezza di 21,63 cm.
Tramite un profilario, fornito dall’azienda produttrice di legno lamellare Kaufman-Canducci, scelgo quindi una sezione dalle dimensioni di 12 cm x 22 cm.

Procedo quindi alla verifica, aggiungendo al valore in precedenza calcolato dei carichi strutturali il valore riguardante il peso del travetto:

• Travetto in legno lamellare:                                                                                                                    peso specifico : 450 kg/mc      
          volume travetto (per 1 mq) : 0,12 m x 0,22 m x 1 ,00 m = 0,0264 mc                                           peso travetto (per 1 mq) : 450 kg/mc x 0,0264 mc = 11,88 kg/mq = 0,12 kN/mq

CARICO TOTALE:(qs+qp+qa) x interasse
(0,42 + 3,12 + 2) x 1 = 5,54 kN/m

Inserendo questo nuovo valore nella stessa tabella excel, trovo una sezione la cui altezza è pari a 21,87 cm < 22 cm, LA SEZIONE E’ PERTANTO VERIFICATA.

TRAVE:
Considero ora la trave, il cui interasse è di 4,00 m:

CARICO TOTALE:(qs+qp+qa) x interasse
(0,42 + 3,12 + 2) x 4 = 22,16 kN/m

Prima di inserire i nuovi dati nella tabella excel, calcolo il momento massimo cui è soggetta la trave appoggiata-appoggiata con sbalzo. Utilizzo quindi il programma di calcolo SAP 2000 e riporto il diagramma del momento:
Inseriti i valori, scelgo una classe di resistenza del legno pari a GL36H e ipotizzo un valore per la base della sezione pari a 20 cm, ottenendo un valore di altezza di 36,81 cm. Scelgo pertanto da profilario una sezione di 20 x 40 cm. 

Procedo quindi alla verifica, aggiungendo al valore in precedenza calcolato dei carichi strutturali, il valore concernente il peso della trave:

• Trave in legno lamellare:
          peso specifico : 450 kg/mc                                                                                
          volume trave : 0,20 m x 0,40 m x 8,00 m = 0,64 mc                                                                     peso trave : 450 kg/mc x 0,64 mc = 288 kg
          peso distribuito sulla trave : 288 / (8 x 4) = 9 kg/mq = 0,09 kN/mq

CARICO TOTALE:(qs+qp+qa) x interasse
(0,51 + 3,12 + 2) x 4 = 22,52 kN/m

Ricalcolo il momento massimo agente sulla trave con il software di calcolo SAP 2000, inserendo il carico trovato:

Inserisco i valori nella tabella excel, trovando una sezione la cui altezza è pari a 37,11 cm < 40,00 cm, LA SEZIONE E’ VERIFICATA. 

SOLAIO IN ACCIAIO:
Procediamo analogamente per il dimensionamento della trave di acciaio e del relativo travetto.  

 

TRAVETTI:

Carichi strutturali (qs)

• Lamiera grecata del tipo A 55/ P 600 HI-BOND, spessore 8 mm:                                                           peso lamiera : 10,47 kg/mq = 0,105 kN/mq    
• Soletta, spessore 12 mm:                                                                                                                       peso soletta : 240 kg/mq = 2,4 kN/mq  

Sovraccarichi permanenti (permanenti portati, qp)

• Getto in calcestruzzo:                                                                                                                            massa volumica : 2000 kg/mc                                                                                                       volume massetto (per 1 mq) : 0,07 m x 1,00 m x 1 ,00 m = 0,07 mc                                             peso massetto (per 1 mq) : 2000 kg/mc x 0,07 mc = 140 kg/mq = 1,40 kN/mq   
• Isolante acustico : del tipo PIOMBOROLL DUO 0,60                                                                                 peso isolante (per 1 mq) : 7 kg/mq = 0,07 kN/mq  
• Pavimento : 0,4 kN/mq
• Controsoffitto in fibra minerale : 0,06 kN/mq
• Incidenza impianti: 0,5 kN/mq
• Incidenza tramezzi: 1 kN/mq

Sovraccarichi accidentali (qa)

• Ambienti ad uso residenziale : 2 kN/mq                                                                                                             

CARICO TOTALE: (qs+qp+qa) x interasse
(2,505 + 3,43 + 2) x 1 = 7,935kN/m ≈7,94 kN/m

Calcolo il momento massimo per una trave appoggiata-appoggiata soggetta a un carico distribuito pari a 7,94 kN/m, tramite la formula: q*l^2/8.
Inserisco quindi i dati trovati (relativi ai carichi e al momento massimo) nella tabella excel relativa all’acciaio, scegliendo una classe di resistenza del ferro pari a FE430S275,trovando così un Wx di 60,59 cm³. 

Tramite il profilario delle IPE scelgo un valore di Wx che meglio approssima per eccesso il valore calcolato. Scelgo pertanto una sezione IPE 140 con Wx = 77,3 cm³.

 

Procedo quindi alla verifica, aggiungendo al valore dei carichi strutturali il valore riguardante il peso del travetto:

• Travetto IPE 140 :                                                                                                                
         peso travetto (per una IPE 140) : 12,9 kg/m                                                                                  peso travetto (per 1 mq) : 12,9/1 = 12,9 kg/mq = 0,13 kN/mq

CARICO TOTALE:(qs+qp+qa) x interasse
(2,635 + 3,43 + 2) x 1 = 8,065 kN/m

Inserendo questo nuovo valore nella stessa tabella excel, viene calcolata una sezione il cui modulo di resistenza Wx = 61,59 cm³ < 77,3 cm³, LA SEZIONE E’ PERTANTO VERIFICATA.

TRAVE:

CARICO TOTALE:(qs+qp+qa) x interasse
(2,635 + 3,43 + 2) x 4 = 32,26 kN/m

Calcolo il momento massimo cui è soggetta la trave appoggiata-appoggiata con sbalzo. Utilizzo  nuovamente il programma di calcolo SAP 2000 e riporto il diagramma del momento:

Inseriti i valori, scelgo una classe di resistenza dell’acciaio pari a FE430S275, ottengo una sezione il cui modulo di resistenza è Wx = 436,23 cm^3..

Scelgo quindi una sezione IPE 300, il cui modulo di resistenza vale Wx = 557 cm³.

Procedo quindi alla verifica, aggiungendo al valore in precedenza calcolato dei carichi strutturali il valore del peso della trave:

• Trave IPE 300:
         peso trave (per una IPE 300) : 42,2 kg/m                                                                                      peso travetto (per 1 mq) : 42,2/4 = 10,55 kg/mq = 0,1 kN/mq

CARICO TOTALE:(qs+qp+qa) x interasse
(2,735 + 3,43 + 2) x 4 = 32,66 kN/m

Ricalcolo il momento massimo con SAP 2000:

Inserisco i dati nel foglio excel:

Ottengo una sezione il cui modulo di resistenza è pari a Wx = 441,65 cm³ < 557 cm³, LA SEZIONE E’ VERIFICATA. 

SOLAIO IN CLS:
Concludo l’intervento dimensionando la struttura in cemento armato. Considero una soluzione strutturale in latero-cemento:  

 
TRAVETTI:

Considero Carichi strutturali (qs)=0

Sovraccarichi permanenti (permanenti portati, qp)

• Getto in calcestruzzo:                                                                                                                            massa volumica : 2000 kg/mc                                                                                                       volume massetto (per 1 mq) : 0,07 m x 1,00 m x 1 ,00 m = 0,07 mc                                             peso massetto (per 1 mq) : 2000 kg/mc x 0,07 mc = 140 kg/mq = 1,40 kN/mq   
• Isolante acustico : del tipo PIOMBOROLL DUO 0,60                                                                                 peso isolante (per 1 mq) : 7 kg/mq = 0,07 kN/mq  
• Sottofondo in malta:
          peso specifico : 1900 kg/mc                                                                                                         volume sottofondo (per 1 mq) : 0,06 m x 1,00 m x 1 ,00 m = 0,06 mc                                         peso sottofondo (per 1 mq) : 1900 kg/mc x 0,06 mc = 114 kg/mq = 1,14 kN/mq   
• Parquet in rovere : 
          peso specifico : 750 kg/mc                                                                                                           volume parquet (per 1 mq) : 0,02 m x 1,00 m x 1 ,00 m = 0,02 mc                                               peso parquet (per 1 mq) : 750 kg/mc x 0,02 mc = 15 kg/mq = 0,15 kN/mq   
• Intonaco : 
          peso al mq per cm di spessore : 16 kg/mq = 0,16 kN/mq 
• Incidenza impianti: 0,5 kN/mq
• Incidenza tramezzi: 1 kN/mq

Sovraccarichi accidentali (qa)

• Ambienti ad uso residenziale : 2 kN/mq                                                                                                             

CARICO TOTALE: (qs+qp+qa) x interasse
(0 + 4,42 + 2) x0,5 = 3,21 kN/m

Calcolo il momento massimo per una trave appoggiata-appoggiata soggetta ad un carico distribuito pari a 3,21 kN/m, tramite la formula: q*l^2/8. Inserisco quindi i dati trovati (relativi ai carichi e al momento massimo) nella tabella excel riguardante il cemento armato, scegliendo una classe di resistenza del ferro pari a FE360S235 e una classe del cemento C32/40. Scelgo come dimensione della base del travetto 12 cm ottenendo un valore di altezza minima pari a h=9,72 cm e copriferro di 5 cm.

Tramite valori forniti da una ditta trovata in rete, scelgo un pacchetto di solaio in calcestruzzo con interasse 50 cm, travetti da 12 cm di larghezza e altezza 17 cm (12cm + 5cm).

Procedo quindi alla verifica:                                                                                                  

• Solaio in opera (peso tabellato):                                                                                             ·              peso solaio  : 2,48 kN/mq

   

CARICO TOTALE:(qs+qp+qa) x interasse
(2,48 + 4,42 + 2) x0,5 = 4,45 kN/m

Inserendo questo nuovo valore nella stessa tabella excel, calcolo una sezione la cui altezza è pari a 16,44 cm < 17 cm, LA SEZIONE E’ PERTANTO VERIFICATA.

TRAVE:

Il procedimento risulta essere analogo, con l’unica differenza che l’interasse della trave è pari a 4,00 m:

CARICO TOTALE:(qs+qp+qa) x interasse
(2,48 + 4,42 + 2) x 4 = 35,60 kN/m

Prima di inserire i nuovi dati nella tabella excel, bisogna procedere al calcolo del momento massimo a cui è soggetta la trave appoggiata-appoggiata con sbalzo. Utilizzo quindi il programma di calcolo SAP 2000 e riporto il diagramma del momento:

Inseriti i valori, scelgo una classe di resistenza del ferro pari a FE360S235 e del cemento C32/40. Ipotizzo un valore per la base della sezione pari a 20 cm, ottenendo un valore di altezza di 38,36 cm, con 5 cm di copriferro. Scelgo pertanto una sezione di 20 x 40 cm.

Procedo quindi alla verifica, aggiungendo al valore precedentemente calcolato dei carichi strutturali il valore relativo al peso della trave:

• Trave IPE 300:
         peso specifico cemento : 2500 kg/mc                                                                                            volume trave : 0,20 m x 0,40 m x 8,00 m = 0,64 mc
         peso trave : (2500 kg/mc x 0,64 mc)/32 = 50 kg/mq = 0,5 kN/mq                                                                

CARICO TOTALE:(qs+qp+qa) x interasse
(2,98 + 4,42 + 2) x 4 = 37,60 kN/m

Attraverso il software di calcolo SAP 2000 mi calcolo nuovamente il momento massimo:

Inserisco i valori nel foglio elettronico excel, trovando un’altezza di 39,28 cm < 40 cm, LA SEZIONE E’ PERTANTO VERIFICATA.

STRUTTURA RETICOLARE IN 3D
DISEGNO DELLA STRUTTURA ATTRAVERSO IL SOFTWARE AUTOCAD 2011:

Disegno il modello in AUTOCAD, creando un nuovo layer: “aste”. Per la costruzione tridimensionale della struttura reticolare imposto il modulo base del quadrato con relativa asta diagonale, lasciando accuratamente libero un estremo per permettere la copiatura senza avere ripetizioni di linee e stabilendo che uno dei vertici coincida con l’origine del sistema di riferimento ortogonale: pline ; specify start point: 0,0,0

 

Procedo impostando la vista assonometrica che mi consente di lavorare in tre dimensioni. In seguito ruoto il sistema di riferimento: Modify ; 3D operation ; 3D rotate: angolo 90°

 

Attraverso lo strumento Modify ; 3D operation ; 3D Array replico il modulo base, inserisco quindi:
righe: 1; colonne: 5; distanza tra le colonne: 2
A questo punto posso replicare la struttura in profondità usando sempre il comando serie e impostando:
righe: 7; distanza tra le righe: 2

 

Completo la struttura attraverso lo strumento Polilinea 3D, disegno quindile aste mancanti e le replico nelle tre dimensioni.

 

Terminata la struttura, seleziono tutte le aste e uso il comando esplodi per far si che le linee siano uniche e non collegate fra di loro. Salvo quindi in formato .dxf (2000) che mi consente di  esportare il file in SAP 2000.

ANALISI DELLA STRUTTURA ATTRAVERSO IL SOFTWARE SAP 2000:

Apro il software di calcolo SAP 2000, impostando come unità di misura kN,m. Attraverso il comando Import, apro il file .dxf e assegno al campo Frames il layer “aste” definito in autocad. Il file, una volta aperto, viene visualizzato su un piano bidimensionale, pertanto devo impostare la vista 3D per poter procedere con l’analisi. La struttura viene visualizzata nella sua estensione tridimensionale, ma ancora non si è definito come essa è vincolata. Seleziono pertanto i quattro vertici alla base della travatura e assegno ad ogni nodo una cerniera: Assign àjoint àRestraints. Queste cerniere sono visualizzate in verde. 

Le aste così rappresentate vengono considerate dal software come unite, mentre sappiamo che in una struttura reticolare esse sono vincolate fra loro da cerniere interne, pertanto rilascio i momenti all’inizio e alla fine: Assign ; Frames ; Releases/Partial Fixity
Procedo quindi assegnando i carichi esterni:
Define ; Load Patterns : Definisco una “forza concentrata”, con fattore di moltiplicazione apri a 0.
Sempre Define ; Load Cases : elimino i carichi DEAD e MODAL.
I carichi esterni devono essere applicati sui nodi superiori della struttura, azione che risulta essere complicata avendo la vista impostata in un piano tridimensionale. Torno quindi sul piano bidimensionale XY per permettere una corretta selezione dei nodi interessati, rendo quindi invisibile la parte della struttura che non deve essere coinvolta nell’operazione di assegnazione dei carichi attraverso:
View ; Set display options ; spunto i campi:  Invisible (Joints),che deve essere disattivato,e attivo Frames Not in View (Frames/Cables/Tendons).

Questa operazione mi permette di selezionare facilmente i nodi a cui deve essere applicata la forza, procedo quindi cliccando su Assign ; Joint Loads ; Forces e impostando come valore della forza (Force Global Z) -40 kN (il segno meno mi indica che la forza è diretta nella direzione della forza gravitazionale). Con il procedimento inverso, attraverso Display Options, rendo visibile nuovamente l’intera struttura. Torno alla vista tridimensionale, che mi permette di visualizzare le frecce delle forze applicate sui nodi.
Procedo ora con l’assegnazione del materiale. Definisco un nuovo materiale:
Define ; Material ; Add new material : lo nomino “acciaio”.
Definisco ora la forma della sezione da assegnare alle aste:
Define ; Section Properties ; Frame sections ; Add new property : Pipe (tubolare).
Pipe section ; rinomino “tubolare” e nel campo Material inserisco il materiale precedentemente creato dell’acciaio.

Seleziono l’intera struttura:
Assign ; Frame ; Frame sections : tubolare. 
Posso ora procedere con l’analisi: Run Analysis. Visualizzo la deformazione e i diagrammi degli sforzi assiali (essendo assenti taglio e momento), Un primo grafico mi indica attraverso colori diversi le aste tese e quelle compresse, un secondo grafico mi permette di visualizzare i valori associati alle singole aste.

Attraverso Display ; Show Tables ; Elements Output, possiamo visualizzare delle tabelle generate dal programma che ci indicano i valori delle sollecitazioni agenti sulle singole aste, in modo tale da poter visualizzare facilmente quelle maggiormente soggette a trazione (+) e compressione (-). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le strutture reticolari sono strutture formate da aste rettilinee connesse da cerniere interne (3gdl) in cui le forze esterne sono applicate sui nodi e per questo sono soggette a solo sforzo assiale. In queste strutture gli elementi tesi prendono il nome di tiranti, e quelli compressi puntoni. Riportiamo due esempi di strutturreticolari ( simmetrica e asimmetrica) svolti utilizzando il metodo delle sezioni di Ritter i il metodo dei nodi.

STRUTTURA RETICOLARE SIMMETRICA

I vincoli esterni della struttura in esame sono una cerniera(3gdl) e un carrello(2gdl).

Verifichiamo l'isostaticità della struttura: n° gradi di libertà= n° gradi di vincolo

 V_e + a = 2 nodi (vincoli esterni+num aste=2*num nodi)

3 + 11 = 2 x 7   -->  14=14 verificato! Oppure 

V=L    dove   V = V_e + V_i  --->33      L= 3 x num aste  --->33      isostaticità verificata

Calcolo delle reazioni vincolari:  una volta verificata l'isostaticità si calcolano le reazioni vincolari con l'equilibrio allo sforzo verticale. In seguito con il metodo di Ritter eseguiamo delle sezioni virtuali su tre aste e studiamo l'equilibrio alla rotazione rispetto ad un polo.

Verifica su Sap2000:

Partendo da una griglia in xz di 7x2 campate disegnamo la struttura reticolare. Selezioniamo le aste una ad una e impostiamo momento nullo alla fine e all'inizio dell'asta poichè queste sono soggette solo a sforzi assiali. Selezioniamo i nodi in cui abbiamo dei vincoli ( nodo A e nodo H) e con il comando Assing -> Joint -> Restraint assegnamo rispettivamente una cerniera e un carrello. Definiamo le forze e le assegnamo ai tre nodi B,D,G. A questo punto possiamo far partire l'analisi che ci mostrerà i diagrammi degli sforzi agenti sulle aste e la deformata.

STRUTTURA RETICOLARE ASIMMETRICA

 

Eseguiamo l'equilibrio del corpo

Σv = 0            Rv_A-10KN-10KN=0  ---> Rv_A=20

Σu = 0           Ru_A=Ru_H

ΣM_A= 0      -10KN*1m - 10KN*2m + Ru_H ---> Ru_H=30KN=Rv_A

Metodo dei nodi:    effettuiamo l'equilibrio al nodo e determiniamo lo stato di trazione o compressione delle aste che convergono in quel nodo

Partiamo dal nodo H 

Σu = 0       -N₉-30KN-N₁₀ √2/2=0 ---> N9=-30KN (il verso ipotizzato era sbagliato) l'asta è compressa.

Come unica forza verticale ho la componente verticale di N₁₀

Σv = 0        N₁₀√2/2=0  ne segue che l'asta è scarica.

Continuiamo ad analizzare gli altri nodi partendo sempre da quelli dove abbiamo meno incognite

Non serve verificare l'equilibrio verticale del nodo poichè non ho incognite da trovare.

Conosciamo gli sforzi normali a cui sono sottoposte le aste della struttura; possiamo disegnare la struttura evidenziando puntoni, tiranti e aste scariche.

 

TRAVE CON INCASTRO CARRELLO E CERNIERA INTERNA

 

Analisi qualitativa

Osservando la struttura possiamo affermare che non ci sono salti nel grafico dello sforzo normale poiché non vi sono forze concentrate normale. (dN/dS)+q=0   non essendoci il carico la derivata della normale è nulla, ovvero la tangente al grafico è  orizzontale, quindi N è costante; ora capiamo quanto vale. Vado al bordo e vedo che Ruc=0 quindi N è costante e pari a 0.

Ripetiamo il ragionamento per il taglio: (dT/dS)+q=0  sulla struttura non agisce nessun carico ripartito trasversale quindi il taglio è costante. Per calcolare il valore del taglio consideriamo il due corpi separatamente: il momento C deve essere equilibrato da una coppia di forze che dia un momento uguale ed opposto. Il taglio è costante e vale C/L. 

 

Ricordiamo che taglio e momento sono legati dalla seguente relazione :

(dM/dS) + T = 0

Se il taglio è costante il momento è lineare. La forza C/l con braccio 2l genera un momento pari a 2C, per cui all’incastro devo avere un momento uguale ed opposto.

Verifichiamo su Sap

Disegnamo la struttura ricordando di impostare:Assing--> Releases--> Moment 3-3 alla fine del primo segmento e all'inizio del secondo per configurare la cerniera interna. Definiamo il carico, che in questo caso è una coppia che ruota attorno all'asse y e la assegnamo ai due corpi in prossimità della cerniera.

ARCO A TRE CERNIERE CON CARICO DISTRIBUITO

 

Analizziamo il nodo

La struttura è simmetrica e la cerniera interna si trova sull'asse di simmetria---> le forze a e -a, non essendo simmetriche, non possono esistere.

Calcoliamo le reazioni vincolari

Il carico distribuito ha risultante -2ql, le reazioni vincolari verticali saranno simmetriche e avranno valore ql.

Analizziamo metà struttura (sempre per le proprietà della simmetria il ragionamento fatto per un corpo vale anche per il secondo),  c deve equilibrare b; per conoscere b svolgo l'equilibrio alla rotazione attorno al nodo c: Mc=0-->  b*h+(ql)²/2=0--> b=-(ql)²/2h. Cambio il verso assegnato a b mentre c=(ql)²/2h

Per disegnare i diagrammi di taglio e momento guardo i bordi: il taglio sul primo elemento verticale è costante e di valore ql²/2h, mentre nel tratto centrale è lineare; il momento è lineari nei tratti in cui il taglio è costante e vale ql²/2(M= fb   ql²/2h * h) e parabolico nel tratto orizzontale, con valore nullo in cerniera.

ARCO A TRE CERNIERE CON CARICO CONCENTRATO

Osservando il portale possiamo subito affermare che la forza concentrata viene equilibrata dalle reazioni verticali in cerniera. Analizziamo i due corpi separatamente

 Corpo 1                                           Corpo 2                                     Cerniera

 

Σu=0 --> RuA = b                                            Σu=0 ---> b' =  Ruc                                  Σu=0 ---> b' =  b 

Σv=0 --> a =F/2                                               Σv=0 -->  a' =F/2                                        Σv=0 -->  a' + a = F

ΣMA=0 --> bh-F/2*l  --->b= Fl/2h                  ΣMA=0 --> -b'h+F/2*l  ---> b= Fl/2h

 

Disegnamo i diagrammi degli sforzi di normale, taglio e momento

Osserviamo come, in corrispondenza di un carico concentrato ci sia un salto nel grafico del taglio e conseguente spigolo nel diagramma del momento. Portiamo la struttura su Sap e verifichiamo quanto ottenuto con il calcolo delle reazioni vincolari. 

            deformata                             taglio                                        momento        

 

ARCO A TRE CERNIERE CON CARICO DISTRIBUITO SULL'ELEMENTO VERTICALE

Corpo 1                                           Corpo 2                                     

 

Σu=0 --> RuA + qh= b                                            Σu=0 ---> b' =  Ruc                               

Σv=0 --> a = Rva                                             Σv=0 --->  a' = Rvc                                    

ΣMA=0 -->   -qh² /2 -al+bh                            ΣMA=0 --> -b'h-a'l  ---> a'= -bh/l

Mettendo a sistema le due equazioni dei momenti dei corpi 1 e 2, e sapendo che la cerniera è equilibrata, ottengo: 

Ora possiamo disegnare i diagrammi osservando ai bordi le sollecitazioni a cui sono sottoposte le aste

La presenza del carico distribuito comporta un andamento lineare del taglio che si annulla nel punto di massimo del momento             dT/ds+q = 0      dM/ds + T = 0

          deformata                             taglio                                           momento

 

PROGETTO DI UNA TRAVE

 

Rappresentiamo un impalcato di una abitazione unifamiliare e progettiamo la trave B2-C2.

Per il progetto della trave dobbiamo conoscere quali sono i carichi che gravano su di essa. Il progetto verrà ripetuto ipotizzando l’utilizzo di tre materiali diversi: legno, acciaio e cemento armato e servendoci di un foglio di calcolo Excel. I carichi che distinguiamo sono di tre tipi:

-carico strutturale: carico dovuto agli elementi con funzione strutturale;

-carico permanente-non strutturale:carico dovuto agli elementi non strutturali che fanno parte del solaio o che poggiano su di esso ( tramezzi, impianti, pavimentazione, isolante…)

-carico accidentale: carico che dipende dalla funzione dell’edificio, è un valore tabellato. In questo caso, trattandosi di una civile abitazione il carico è di 2KN/mq.

Legno GH32

PROGETTO TRAVETTI:  progettiamo i travetti che sostengono l’orditura del solaio

 Interasse 1 mt luce 4,38 mt

-Calcolo dei carichi incidenti sui travetti:

Carico strutturale (impalcato in legno)    

P = V*gamma=(0,03*1*1)m* 6KN/mc=0, 18KN--> calcolo il peso unitario dell’impalcato moltiplicando il volume per il peso specifico del legno

qs= P/A= 0,18KN/mq-->divido il peso per l’area di un m² ed ottengo il carico

Carichi permanenti non strutturali

definisco la stratigrafia del solaio, individuo il peso specifico dei diversi materiali e lo moltiplico per il loro spessore

·         pavimento in gress porcellanato 0.2KN/mq

·         malta in cls alleggerito  20KN/mc*0.02m= 0, 4KN/mq

·         isolante (lana di vetro) 0,4KN/mc* 0,04m= 0,016 KN/mq

·         massetto 22KN/mc*0,04m= 0,88KN/mq

·         Impianti e tramezzi 0,5KN/mq+1KN/mq= 1,5KN/mq

qp= 0,2+0,4+0,016+0,88+1,5=2,99KN/mq

Carico accidentale

qa= 2KN/mq

-Dimensionamento del travetto:

Inserisco i dati nel foglio Excel ed ottengo il carico al metro lineare(q) e, partendo da una base ipotizzata di 12 cm, trovo un altezza di 23,51cm che arrotondo per eccesso a 25cm. 

-Aggiungo il carico dei travetti:

(0,12*0,25*6KN/mc)*i =0,18KN/m

modificando il foglio Excel includo questo dato nel calcolo del carico al metro lineare e verifico che la dimensione trovata per i travetti vada bene. 

Verificato.

PROGETTO DELLA TRAVE:

Interasse 4,38m  Luce 5m

q’s=qs+qtr= 0,18+ 0,18=0,36KN/mq

qp=2,99KN/mq (gli elementi che costituiscono il pacchetto dei carichi permanenti sono gli stessi)

qa=2KN/mq

Carico totale al metro lineare: (q’s+qp+qa)*i=23,43KN/m

DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE:

Inserisco i dati nel foglio Excel ed ottengo il dimensionamento della trave 25*40 cm

Aggiungo il carico della trave stessa nel foglio Excel e verifico che la sezione scelta vada bene. qtr=(0,25*0,40*6KN/mc)/4,38m=0,13KN/mq

La trave scelta va bene.

 

Acciaio Fe360 S235

PROGETTO TRAVETTI:

Interasse 1 m luce 4,38 m

-Calcolo dei carichi incidenti sui travetti:

Carico strutturale

Lamiera grecata e getto in cls: per la mia luce la normativa impone una lamiera di tipo A75/P600,  h lamiera 75mm e una altezza totale della soletta di 15cm.

qs= 2,5 KN/mq

Carico accidentale (civile abitazione)

qa= 2KN/mq

Carichi permanenti

·         pavimento in gress porcellanato 0.2KN/mq

·         malta in cls alleggerito  20KN/mc*0.02m= 0, 4KN/mq

·         isolante (lana di vetro) 0,4KN/mc* 0,04m= 0,016 KN/mq

·         pannello in cartongesso Vaccaro 0,1KN/mq

·         Impianti e tramezzi 0,5KN/mq+1KN/mq= 1,5KN/mq

 

qp=0,2+0,4+0,0160,1+1,5=2,21KN/mq

DIMENSIONAMENTO DEL TRAVETTO:

Inserisco i dati nelle caselle corrispondenti del foglio Excel e determino il modulo di resistenza a flessione Wx .

Tramite un profilario trovo la Ipe corrispondente (si prende il valore di Wx  maggiore o uguale a quello trovato). Ipe 140   h 14cm   b 7,3cm

peso tabellato della trave 0,13KN/mà al mq diventa qtr=0,13/i= 0,13KN/mq

q’s= qs+qtr= 2,5+0,13=2,63KN/mq

Imposto questo nuovo carico nel foglio di calcolo e verifico che la Ipe scelta supporti anche il peso proprio. La trave scelta va bene.

PROGETTO TRAVE:

Interasse 4,38m  Luce 5m

-Calcolo dei carichi incidenti sui travetti:

Carico strutturale

Lamiera grecata, getto in cls e travetti:

qs=2,63KN/mq

Carico accidentale (civile abitazione)

qa= 2KN/mq

Carichi permanenti

qp=2,21KN/mq

Carico totale al metro lineare: (q’s+qp+qa)*i=28,77KN/m

DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE:

Ripeto lo stesso procedimento fatto per il dimensionamento dei travetti ed ottengo:

Ipe 270

Aggiungo il peso della trave al carico totale al metro lineare

peso tabellato della trave 36kg/m-->al metro quadro diventa (0,3KN/m)/i= 0,3/4,38=0,068KN/mq

q’s= qs+qtr=2,63+ 0,068=2,69KN/mq   Aggiornando i dati su Excel ottengo ilnuovo Wx, pari a 421,98 cm³, e verifico tramite il profilario che la trave scelta vada bene.

Verificato.

 

Cemento Armato

PROGETTO TRAVE:

Interasse 4,38m  Luce 5m

-Calcolo dei carichi incidenti sui travetti:

Carico strutturale

Solaio in latero - cemento gettato in opera di tipo “Bausta” :

qs=2,66KN/mq

Carichi permanenti

·         pavimento in gress porcellanato 0.2KN/mq

·         malta in cls alleggerito  20KN/mc*0.02m= 0, 4KN/mq

·         isolante (lana di vetro) 0,4KN/mc* 0,04m= 0,016 KN/mq

·         pannello in cartongesso Vaccaro 0,1KN/mq

·         Impianti e tramezzi 0,5KN/mq+1KN/mq= 1,5KN/mq

 

qp=0,2+0,4+0,0160,1+1,5=2,21KN/mq

Carico accidentale

qa= 2KN/mq

Carico totale al metro lineare: (qs+qp+qa)*i=30KN/mq

 

Calcolo del momento massimo

Trattandosi di una trave doppiamente appoggiata il valore del momento massimo è ql²/8

M=30 *5²/8=93,75KN*m

DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE:

Ipotizzando una base di 25cm ottengo una altezza di 46,25 cm (H=hu+d) che approssimo a 50 cm

Aggiungo il carico della trave e verifico che il dimensionamento sia corretto.

qtr=A*Peso specifico =(0,25*0,5)*33,3KN/mc=4,16KN/m

qtr al metro quadro=qtr/i=0,54KN/mq

Aggiungo il carico della trave  e verifico che il dimensionamento sia corretto

Verificato

STRUTTURA RETICOLARE SPAZIALE

Disegno della struttura su Autocad

Costruiamo il modulo di base della struttura reticolare tramite una polilinea con punto di partenza nell’origine degli assi (0,0,0);

ruotiamo il modulo per una visualizzazione frontale

con il comando “serie” costruiamo passo passo il reticolo spaziale, impostando ogni volta il numero di righe e colonne esatte e mantenendo sempre una spaziatura pari a 2 (misura del modulo). Nel procedere fate attenzione a non duplicare le linee.

disegniamo il nuovo modulo da ripetere lasciandolo aperto

ruotiamo l'orientamento degli assi con il comando "ucs" per tre punti

completiamo con le aste diagonali superiori e inferiori 

ripetiamo il modulo con il comando serie e chiudiamo la struttura ruotando la vista per non sbagliare punti di ancoraggio. Ottengo una reticolare spaziale di 4x6 campate 

una volta completata la struttura esplodiamo tutte le polilinee, verifichiamo che siano tutte su un unico layer che possiamo chiamare "aste" e salviamo in Autocad dxf 2000.

Analizziamo la struttura su Sap 2000

Quando importiamo il file su Sap si apre una finestra di dialogo in cui dovremo impostare Frame -> aste. In questo modo Sap riconosce tutte le aste come elementi strutturali e potremo assegnare caratteristiche di materiale e sezione uguali per tutte. Assegniamo i carrelli sui quattro nodi di appoggio (il reticolo spaziale ci consentirebbe di disporre gli appoggi anche in modo più casuale)

sottoponiamo le aste a solo sforzo assiale andando a spuntare, nella finestra "frame releases" le caselle Moment 2-2 Moment 3-3 all'inizio e alla fine dell'asta.

Definiamo un nuovo materiale e gli assegniamo una sezione:

Assing-> frame-> frame section-> add new properties-> pipe/acciaio

Definiamo un carico concentrato verticale di 40KN

Spuntiamo la voce che rende invisibili le aste e selezioniamo i nodi superiori su cui assegneremo il carico concentrato; a questo punto possiamo far partire l’analisi e vedere come si deforma la struttura

La visualizzazione degli sforzi sul diagramma risulta poco leggibile per cui attiviamo il comando "label" che numera le aste e apriamo una tabella che riporta i valori di sforzo assiale a cui sono sottoposte le singole aste:

Display-> show tables-> analysis result-> element output

Dall'analisi della tabella individuiamo le aste più tese e più compresse, utili per il dimensionamento del profilo

 

Progetto dell’asta maggiormente tesa

Dalla tabella rilevo uno sforzo massimo a trazione di 259,16KN; con la formula di Navier dimensiono l’asta (scegliendo  l’asta più tesa mi tengo in sicurezza anche rispetto alle altre)

A=N/f_d               dove f_d= f_yk*1,05  scegliendo un acciaio Fe360 S235 trovo un’area pari a:

A=259167/ (235*1.05)=1158mm² --> 11,58cm²

Sul profilario trovo un tubolare che abbia una sezione con area maggiore a quella minima trovata

Sezione A’=12,5cm²

Verifica a resistenza

(N/A’)< f_d           259167N/1250mm²=207,33Mpa<223,8Mpa

 il progetto è verificato.

 

Progetto dell’asta maggiormente compressa

Le aste compresse possono essere soggette a carico critico euleriano che porta a una inflessione dell’asta fino al collasso della stessa. Rispetto a ciò molto importante è il fattore snellezza (rapporto h/l). Per progettare la struttura eseguiremo una verifica a resistenza, a snellezza e a stabilità.

Il maggior sforzo a compressione è di 307,25 KN, dimensioniamo l’asta utilizzando l’acciaio Fe360 S275 e tramite la formula di Navier troviamo l’area minima che resiste a tale sforzo.

A=N/f_d               dove f_d= f_yk*1,05

A=307250/ (275*1.05)=1064mm²--> 10,64cm²

Verifica a resistenza

Dal profilario il primo valore che trovo è 10,7 cm2 ma preferisco scegliere un’area di 12,5cm²    J_x 192cm⁴ e  verifico che fd ≤ fyk tramite la formula:

fd=N/A= (307.25*1000)/(12,5*100)=245,8MPa< 275MPa       Asta verificata a resistenza

Verifica a snellezza

l<200      dove l=l_o/ρ

l_o è la luce libera di inflessione che dipende dal tipo di vincolo dell’asta. Nel caso di un asta doppiamente incernierata l_o=b*l=1*l; ρ lo leggo dalla tabella

l=283/3,92=72,19<200    Asta verificata a snellezza

Verifica a stabilità

Per prima cosa trovo il carico critico euleriano e verifico che lo sforzo assiale Nd sia minore della resistenza alla stabilità Nd<Nbdr

Ncr=(ρ²E J_min)/l_o²= (3,14²* 210000MPa*192 cm⁴ *10000/283²cm*10)/1000 = 496,4KN

Ora calcoliamo Nbdr

Nbdr=χ*A*fyk/g₁      dove:

χ = 1/Φ+√(Φ²-λ ²)≤1

λ=√ (A*fyk/Ncr)

 Φ= 0,5[1+α(λ – 0,2)+λ²]      α coeff. di imperfezione (0,21)

Nbdr=(0,68 x 12,5cm²x 100 x 275MPa/1,05)/1000 = 222,62KN

Nd=307,25KN > Nbdr    non verificato. 

Scegliamo un profilo con un'area maggiore: 

A 15,5cm²  J=234 cm⁴ 41cm³   ρ=3,89 cm

Verifica a resistenza

fd=N/A= (307.25*1000)/(15,5*100)=198,22MPa< 275MPa       Asta verificata a resistenza

Verifica a snellezza

l=283/3,89=72,75<200    Asta verificata a snellezza

Verifica a stabilità

Calcoliamo il carico critico euleriano

 N_cr = (3.14)² x 210000 N/mm² x 2340000 mm⁴ / (2830 mm)² = 604,95 KN 

λ=√ (A*fyk/Ncr)= √1550*275/604952= 0,83

Φ = 0.5[1 + 0.21 ( 0.83 - 0.2) + (0.83)²] = 0,91 

 X = 1 / 0.9106 + √(0.9106)² - (0.83)² = 0,77<1

 Nbrd = 0,77 x 1550 mm² x 275 N/mm² / 1.05 =  312,5KN < 545 KN

Nd=307,25< 312,5 KN         Asta verificata a stabilità

 

RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE

Studiamo la ripartizione delle forze sismiche (forze orizzontali) sui telai che compongono l'impalcato, calcolando anzitutto le diverse rigidezze K dei controventi. Possiamo considerare l'impalcato come un corpo rigido e i controventi come delle molle che reagiscono alle forze orizzontali secondo la legge di Hook    F= kd

Disegnamo l'orditura dei solai in base alla luce minore della maglia ed evidenziamo di conseguenza quali travi portano il solaio. Queste sono le travi che si inflettono di più, e per continuità del nodo, anche i pilastri si inflettono.  I pilastri vanno quindi disposti in modo da sfruttare il loro momento d'inerzia maggiore, nel caso in cui un pilastro appartenga a due telai ( come per i pilastri 5,6,7), si favorisce il telaio con luce maggiore. Scegliamo una struttura in cemento armato (E=21000) e dei pilastri rettangolari con sezione 30x50 cm. 

M_x=bh³/12=312500cm⁴          M_y=b³h/12=112500cm⁴

Calcolo delle rigidezze dei controventi

Ipotizziamo un centro O attorno al quale facciamo agire f ed effettuiamo il bilancio dei momenti. Inseriamo nel foglio Excel le distanze dei controventi da questo punto O

Tabella sinottica dei controventi e delle loro distanze dal centro di massa

Calcolo del centro di massa

Dividiamol'impalcato in due aree, calcoliamo i rispettivi baricentri ed infine troviamo la posizione del centro di massa G dell'impalcato, punto in cui sono applicate le forze (in questo caso forza sismica).

Xg = Area₁ X_g1 + Area₂ X_g2 / Area₁+Area₂

Yg = Area₁ Y_g1 + Area₂ Y_g2 / Area₁+Area₂

Calcolo del centro delle rigidezze e delle rigidezze globali

Il centro delle rigidezze è il punto di applicazione della risultante delle reazioni dei controventi. Per una buona progettazione in zona sismica è bene far coincidere il più possibile il centro delle masse con il centro delle rigidezze, in modo da non creare momenti e quindi rotazioni.

Xc = K_vi  dvi /K_vtot

Yc =  K_oi  doi /K_otot

Analisi dei carichi sismici

La forza sismica imprime un'accelerazione all'edificio F=ma, questa accelerazione dipende dalla classificazione della zona sismica a= cg   c <1 coeff. di intensità sismica. Possiamo quindi riscrivere allora il principio d'inerzia come:

F = mcg = c P  Questo peso viene chiamato peso sismico W ed è espresso come la somma dei carichi permanenti e strutturali e i carichi accidentali moltiplicati per un coefficiente di contemporaneità.

W= (G+Q)Ψ                  G= ( qs+qp)A _tot

                                     Q= qa A _tot

                                     Ψ = 0,8

Ripartizione della forza sismica lungo x

La forza orizzontale non viene assorbita solo dai controventi orizzontali e viceversa poichè questa spesso ha un braccio rispetto a C e fa ruotare il corpo ---> Momento torcente= Forza sismica*braccio

Traslazione orizzontale  μ₀ = F/ K_otot ;  Rotazione rigida dell'impalcato ψ = Fb/ K_ψtot

Ripartizione della forza sismica lungo y

Per sbaglio ho pubblicato l'esercitazione nei commenti, e non posso modificarlo. Inoltre devo caricare le immagini sul server, per cui non risultano nei commenti.

 

La seguente è l'esercitazione fatta in parallelo coi miei colleghi Vanetti e Pontrandolfi del laboratorio di progettazione 2M.

SOVRACCARICO PERMANENTE

Vorremmo avere nel caso di acciaio e legno un identico tipo di solaio, per cui dopo aver definito la stratigrafia, che segue, abbiamo calcolato il peso proprio per metro quadro del solaio e successivamente i carichi accidentali e permanenti.

 

 

• 15 mm – Parquet

• 40 mm - Isolante con listelli di legno

• 100 mm - Getto collaborante con rete elettrosaldata

• 57 mm – Tavole di Xlam a 5 strati incrociati

 

Per calcolare il peso unitario del solaio è necessario trovare le masse volumiche degli elementi che compongono i singoli strati. Per lo strato "isolante con listelli di legno" è sufficiente fare una media ponderata tra la massa volumica del legno e quella dell'isolante.

 

Masse volumiche:

• • Parquet chiaro : 720 kg/mc

  • Listelli di legno : 500 kg/mc - Isolante : 80 kg/mc

  • Getto collaborante : 1800 kg/mc

  • Rete elettrosaldata : 2.98 kg/mq

  • Xlam : 700 kg/mc

 

Per ottenere il valore unitario a metro quadro è sufficiente moltiplicare la massa volumica per lo spessore, in modo tale da ottenere la massa per ogni metro quadro.

Quindi avremo :

• • Parquet chiaro : 720 * 0.015 = 10.8 kg/mq

  • Listelli di legno : 500 * 0,04 = 20 kg/mq - Isolante : 80 *0.04 = 3.2 kg/mq

Supponendo i listelli ogni metro di pavimento avremo per ogni metro quadrato di pavimento il 96% di isolante e il 4% di listelli, quindi un totale di 20 * 0.04+3.2 * 0,96 = 3.872 kg/mq per l'intero strato.

• • Getto collaborante : 1800 *0.1 = 180 kg/mq

  • Rete elettrosaldata : 2.98 kg/mq

  • Xlam : 700 * 0.057 = 39.9 kg/mq

 

E' sufficiente fare la somma quindi per ottenere il peso del solaio per ogni metro quadrato, quindi:

 

q_p = 10.8 + 3.872 + 180 + 2.98 + 39.9 = 237.552 kg/mq = 2,33 kN/mq

 

Questo è il peso totale del solaio, senza distinzione tra carico permanente strutturale e non strutturale. Non considerandolo come unicum ma diviso tra i due campi, si scomporrebbe nel seguente modo:

Carico permanente strutturale q_s = Xlam + getto collaborante = 222,88 kg/mq = 2.186 kN/mq

Carico perm. non strutturale q_pSolaio =Parquet + isolante + listelli = 14.58 kg/mq= 0.143 kN/mq

Tuttavia è ancora necessario andare a definire l'orditura dei travetti che collegano una trave principale all'altra e che reggono i pannelli in Xlam. L'XLam di 5,7 cm regge bene fino a luci di anche 8 metri, ma vista la destinazione d'uso andiamo a definire una maglia orizzontale di 4 m.

 

ACCIAIO:

Quindi a gravare ulteriormente sul carico permanente della trave principale ci saranno due ulteriori travi perpendicolari ad essa.

 

 

Pensiamo di utilizzare degli scatolati quadrati.

E' corretto come criterio progettuale andare prima a calcolare le dimensioni degli scatolati perpendicolari piuttosto che ipotizzarne un paio generici che pesano sulla nostra trave, anche perchè il peso potrebbe variare notevolmente tra una scelta e l'altra.

Per cui scegliamo l'area di pertinenza più grossa, ovvero quella evidenziata in giallo. La luce sarà di 6.93 m, mentre l'interasse come visto è di 4m. L'area di influenza è quindi 27.72 mq, per un peso totale di 2.33 kN/mq * 27.72 mq = 64.68 kN che gravano sullo scatolato.

 

 

Da questi valori vediamo come sia necessaria una Wx di 787 cm^3 almeno per poter garantire il corretto funzionamento dell'orditura secondaria. Andiamo a cercare tra i vari tipi di trave d'acciaio forniti da Oppo.it.

HEA: 836 cm^3 è il valore superiore più vicino a quello da noi cercato, e corrisponde a una HEA 260, quindi alta 260 mm e larga 250 mm. Pesa 68.2 kg/m

HEB: 938 cm^3 per una HEB 240, larga e alta 240mm. Pesa 83.2 kg/m.

HEM: 967 cm^3 per una HEM200, alta 220mm e larga 206mm. Pesa 103 kg/m.

SCATOLATO QUADRO: 1085 cm^3 per una larghezza/altezza di 300mm e un peso di 91.1 kg/m

Lo scatolato a sezione rettangolare non raggiunge la resistenza da noi richiesta quindi è da escludere. Per vantaggio sia in termini di peso che in termini di dimensioni scegliamo l'HEA.

 

Ora è necessario andare a calcolare tra i carichi permanenti non strutturali il peso incidente dei tramezzi al piano superiore, ma prima bisogna scegliere la trave da analizzare e definire l'area di influenza di essa, in modo poi da porre considerazioni sull'incidenza dei tramezzi soprastanti.

Essendo che andrebbe considerato anche il peso stesso della trave, ma è proprio la cosa da valutare, per ora porremo solamente un tipo di trave come esempio per il calcolo delle sollecitazioni e andremo poi a sostituire in base al valore di Wx la trave adatta.

 

Scegliamo la trave con la campata più problematica, quella che affaccia sulla sala conferenze, con una campata di 11.7 m. L'area di pertinenza è quella che va dalla metà della porzione di solaio alla sua destra e alla sua sinistra, perchè in linea di massima andranno a pesare completamente sulla trave più vicina.

La distanza tra la trave in analisi e quella alla sua sinistra è di 5.81 m, con quella alla sua destra 6.93 m. L'interasse quindi è 5.81/2 + 6.93/2 = 6.37 m. L'area di influenza è di 74.63 mq.

Nel nostro caso abbiamo che al piano superiore non c'è incidenza di tramezzi, per cui non ci sarà un ulteriore carico permanente a gravare sulla trave.

Abbiamo quindi tutti gli elementi necessari per compilare la tabella per avere il valore di Wx necessario a capire quale trave in acciaio scegliere.

E' necessario aggiungere a quanto calcolato precedentemente il peso delle travi HEA perpendicolari. Sapendo che l'area di influenza è la seguente:

 

 

sappiamo che dovremo prendere in considerazione il peso dato da due travi HEA alte 260mm per una lunghezza totale pari alla larghezza dell'area di influenza. Quindi moltiplichiamo il peso lineare di 68.2 kg/m * 6.37m = 434.434 kg. Per avere il valore di peso unitario è sufficiente dividere per l'area di influenza, quindi 434.434/74.63= 5.81 kg/mq = 0.057kN/mq.

Andranno sommati quindi ai 2.186 dei carichi strutturali permanenti, per ottenere qp=2.243 KN/mq

 

Per i carichi variabili dobbiamo considerare l'area come luogo affollato (libreria): Qa=500 Kg/mq

---> Qa=5 KN/mq

 

 

Sostituendo come si vede nell'immagine i valori dell'interasse, dei carichi permanenti non strutturali, strutturali e accidentali, e il valore della luce otteniamo una Wx di 3597 cm^3, valore molto alto.
Abbiamo aggiunto al foglio excel delle pagine contenenti i valori di tutte le tipologie note di travi di acciaio fornite da Oppo.it, ovvero le HEA, HEB, IPE, HEM, in modo da avere un rapido raffronto con il valore ottenuto.

Il nostro Wx = 3597 cm^3 va confrontato con le tipologie sopracitate, e prendere ovviamente un valore superiore nel caso della trave scelta.

IPE : Nel caso di una IPE Wx si ferma a 3069 per una trave alta 600mm, quindi dobbiamo escludere questo tipo di trave.

HEA: Il valore più vicino è 4146 cm^3, per una HEA 550, quindi con h=540mm e b=300mm.

HEB: Il valore più vicino è 4287 cm^3, per una HEB 500, quindi con h=500mm e b=300mm.

HEM: Il valore più vicino è 3796 cm^3, per una HEM 320, quindi con h=359mm e b=309mm.

SCATOLATI: Sia gli scatolati rettangolari che quadrati che i tubolari non arrivano a garantire una resistenza Wx di 3569, quindi è da escludere a priori la categoria.

 

La HEM è quella più vantaggiosa come dimensioni totali, solamente che è la più vicina in assoluto come valore di resistenza a quella ottenuta dal nostro calcolo. Vogliamo avere un minimo di tolleranza in più, anche perchè non abbiamo ancora considerato il peso stesso della trave e l'orditura che regge il solaio. Scegliamo quindi la HEB500, che ha un peso di 270kg/m.

 

Il foglio excel ci è servito per il corretto dimensionamento della trave principale, ma non abbiamo calcolato il peso stesso della trave, che è molto importante. Per cui abbiamo preso l'iniziativa di modificare il file excel e aggiungere tre ulteriori colonne, una contenente il peso lineare della trave scelta, uno con il momento risultante aggiungendo il carico della trave stessa e soprattutto il Wx reale, tenendo conto del carico proprio della trave.

 

 

 

Come vedete il momento aumenta di circa 50 KN*m, ma soprattutto il Wx aumenta di 200 cm^3. Questo aumento potrebbe portare a un cambiamento di scelta per il tipo di trave; noi volutamente abbiamo scelto la trave che ci desse più margine di respiro in vista di un aumento del modulo di resistenza dovuto all'aggiunta del peso proprio, infatti possiamo mantenere la stessa HEB500, che resiste fino a 4287 cm^3!

 

LEGNO:

Essendo il tipo di stratigrafia equivalente per legno e acciaio senza alcun problema ( solamente nel caso del CLS sarà più una forzatura, ma è voluta al fine di effettuare un utile confronto tra le tipologie di travi), il carico permanente sarà lo stesso, eccezion fatta che per l'orditura secondaria. Sicuramente non siamo in grado di garantire all'Xlam una campata di 4 metri su un travetto di legno lungo 6.93 metri, per cui urge andare a ricalcolare il modulo di resistenza per le travi secondarie in legno, ipotizzando una maglia magari di 3 metri anzichè 4.

 

 

In questo caso quindi saranno uguali tutti i valori da applicare, carichi compresi, ma cambierà l'interasse, che in questo caso è di 3m.

 

 

Scegliamo quello di classe di resistenza GL36, il più resistente alla trazione generata dalla flessione. Kmod vale 0,5, perchè è un carico permanente, di classe di servizio 3. Come base ci imponiamo 30cm, e l'altezza risultante è di 46.11 cm.

 

 

Una volta definite le dimensioni dell'orditura secondaria è possibile calcolare il carico da aggiungere alla trave principale lungo la sua area di influenza, e sarà l'area della sezione della trave appena trovata moltiplicata per la larghezza dell'area di influenza per quattro volte.

Peso travi = 0,46*0,3*6,93*500 4* = 1738,4 kg = 17,38 KN.

Dobbiamo ottenere il peso unitario per mq di queste travi, che saranno quindi 17,38/74,63= 0,23 KN/mq.

Quindi andiamo ad aggiungere il carico dovuto alla presenza di travi secondarie al carico permanente, per ottenere il dimensionamento della trave principale.

 

 

Come si vede dal foglio excel, imponendo una base di 50 cm la risultante è un'altezza di 93,1 cm. Ora come nel caso precedente sarebbe possibile calcolare il momento massimo tenendo conto del peso proprio della trave, che ora è noto.

 

 

In questo caso abbiamo nuovamente aggiunto al calcolo 4 colonne, per l'inserimento della massa volumica del tipo di legno scelto, poi per il peso totale della trave, per il momento generato aggiungendo questo carico e infine l'altezza risultante aggiungento il carico proprio della trave principale. In questo caso è notevole la differenza, infatti a parità di base l'altezza passa da 93 a 115 cm, ovvero 22 cm più alta!

 

 

CLS:

 

Il seguente caso è quello che ha richiesto una "forzatura" nella concezione della nostra analisi dimensionale, perchè il tipo di solaio in esame non è solitamente utilizzato associato a una struttura in cemento armato; noi vogliamo mantenerlo anche sulla struttura in CLS per evidenziarne il differente comportamento a fronte di pari sollecitazioni. Inoltre il tipo di solaio solitamente associabile a una struttura in CLS è più pesante di quello in questione, per cui gli output relativi all'altezza della trave saranno persino maggiori nella realtà di quelli uscenti dal foglio di calcolo.

Non abbiamo travi secondarie a gravare sul peso stesso della trave, ma dobbiamo infittire la maglia dei pilastri, per garantire al solaio una luce fattibile in termini di resistenza.

 

 

In questo caso abbiamo un interasse di 3.5 m, con la stessa luce di 11.7 m. E' sufficiente calcolare l'altezza della trave senza aggiungere carichi aggiuntivi oltre a quello della trave stessa, ma solo in un secondo momento.

Tra gli input immettiamo gli stessi carichi, scegliamo un acciaio S235JR, con una tensione di snervamento di 235 N/mm² = fy. Classe di resistenza Rck = 40. Ci poniamo una larghezza desiderata per la trave di 40 cm, e un copriferro di 3 cm.

 

 

 

Il dato uscente è un'altezza di 46,12 cm al netto del ferro. Tuttavia manca il peso proprio della trave nel calcolo per il dimensionamento, per cui abbiamo aggiunto quattro colonne al foglio di calcolo, che vanno a modificare il carico permanente, il momento e di conseguenza l'altezza della trave.

 

 

Come si può vedere l'altezza finale risulta di 49,32 cm, a cui dobbiamo aggiungere 3 cm di copriferro, per l'ingombro totale, ovvero H = 52,32 cm. E' un valore dissimile da quello che la pratica insegna per luci superiori ai 10m, per cui dovremmo avere all'incirca una trave spessa 100 cm. Probabilmente il fattore solaio leggero incide notevolmente sul calcolo finale, oltre che il piccolo interasse che gli abbiamo concesso.

 

 

 

PER COSTRUIRE UN MODELLO DI STRUTTURA RETICOLARE NELLO SPAZIO 3D:

 

 

strumenti: autoCAD 3D; SAP2000

 

 

 

 

Il primo passo da fare è aprire autoCAD e creare un layer dove andremo a disegnare, tramite il comando linea, il modulo di partenza da cui andremo a creare la nostra struttura.

Passiamo poi alla vista in 3D:

  view > 3D view > scegliamo una delle viste assonometriche (preferendo l'asse z vesto l'alto)

Poi andiamo a ruotare il nostro modulo di base:

  3r > invio > seleziono l'elemento > quando compaiono gli assi di rotazione scelgo prima il punto e successivamente l'asse di rotazione

Utilizziamo il modulo di base per completare la struttura reticolare, per far ciò possiamo utilizzare o il comando array o più semplicemente il comando copia.

Salviamo il nostro file in formato .dxf 2000.

Apriamo SAP 2000 e importiamo il nostro file:

  file > import > autoCAD dxf file > frame > aste > ok

Impostiamo ora i vincoli di base, ovvero andiamo a posizionare delle cerniere nei 4 vertici della struttura.

Selezioniamo tutto e procediamo con l'imposizione delle cerniere interne nei nodi della trave reticolare:

  assign > frame relese > moment(2-2) e (3-3) spuntiamoli ed assegnamo il valore 0 sia all'inizio che alla fine

Fondamentale è la definizione del materiale e della sezione, andiamo quindi su define:

  define > section propieties > frame prop. > ne scegliamo una > add new

  assign > frame > frame section

Andiamo ad assegnare il nostro carico sui nodi superiori della nostra struttura, per far ciò andiamo su display option e nascondiamo le nostre aste.

  define > load pattern > forza concentrata

  Assign > joint loads > forces > carico concentrato > lungo z da -40kN

Andiamo a far riapparire le nostre aste (display option).

Ora non ci resta che avviare il RUN ricordandoci di deselezionare i carichi DEAD e MODAL.

Osserviamo i valori degli sforzi normali, e per verificare che la struttura sia corretta proviamo a vedere i grafici dei tagli e dei momenti, i quali dovranno risultare nulli.

(ho problemi col server, non mi si apre e non riesco dunque a caricare le immagini)