SdC(b) (LM PA)

Travature reticolari

La travatura reticolare è formata da travi vincolate ai nodi attraverso cerniere in modo da costituire un elemento resistente e indeformabile. E' formata da due elementi continui chiamati correnti, aste verticali denominate montanti e inclinate chiamate diagonali. Attraverso i nodi vengono scambiate le forze assiali come uniche forze di contatto. A struttura completata le aste potranno risultare tese (forza assiale rivolta verso l'esterno dell'asta), compresse (forza assiale ricolta verso l'interno) o scariche.

Le travature reticolari sono strutture che possono essere risolte con il metodo delle sezioni o con il metodo dei nodi. Posterò qui di seguito i due esempi relativi alle prime due esercitazioni fatte.

Travatura reticolare simmetrica risolta con il metodo delle sezioni di Ritter

1) Il primo passo da eseguire in entrambi i casi è quello di verifcare l'isostaticità della struttura L=V

dove V=Ve+Vi e L=3(libertà)x11(numero delle aste)=33

la formula che permette di calcolare quanti gradi di libertà riesce a liberare una cerniera è 2(n-1) dove n è il nuemro dei corpi che la cerniera collega.

A e H: 2(2-1)=2

B e G: 2(3-1)=4

C, D ed E: 2(4-1)=6

Vi=2+2+4+4+6+6+6=30     Ve=3     V=Vi+Ve=33    V=L     La struttura è isostatica

2) Reazioni vincolari

Rva= 30 KN      Rvb=30 KN

3)Azioni di contatto

Applico delle sezioni che taglino tre aste non convergenti nello stesso nodo e vado cosi a determinare le azioni di contatto attraverso l'equilibrio alla traslazione orizzontale, verticale e l'equilibrio dei momenti rispetto ad un punto scelto.

   

Faccio per prima la sezione 1 che passa per l'asta AC, BC e BD

 

Faccio l'equilibrio dei momenti attorno al punto C e ricavo N1 di compressione che vale 40 Kn, l'asta BD è quindi compressa. Con l'equilibrio dei momenti attorno al punto B trovo N3=30KN e l'asta AC è quindi tesa. Con l'equilibrio alla traslazione verticale trovo N2=10radice di 2 Kn e l'asta BC è quindi tesa.

Sezione 2 che passa per le aste AB e AC

Avendo gia trovato N3 decido di fare l'equilibrio delle forze orizzontali. Scompongo la forza obliqua N4 nella componente orizzontale e verticale (N4 radice di 2/2). Trovo cosi la forza N4 di compressione che vale 30radice di 2.

Applico ora l'ultima sezione che passa per le aste BD, CD e CE.

Con l'equilibrio alla rotazione in D ricavo la forza N5 di trazione che vale 50KN e con l'equilibrio alle traslazione verticale ricavo N6, forza di compressione che vale 10 radice di 2.

Lo schema delle aste tese e compresse è quindi il seguente.

Essendo la struttura simmetrica sono succicienti tali sezioni. Il resto è identico.

Travatura reticolare asimmetrica risolta con il metodo dei nodi

In questo caso si isolano i nodi e si calcolano le azioni di contatto attraverso gli equilibri alle traslazioni verticali e orizzontali.

1) Verifica isostaticità              verificare che L=V

V=Ve+Vi    Ve=3 (la cerniera toglie due gradi di libertà e il carrello 1)

                 Vi=     A e G: (2-1)1=2

                           B, D e F: (3-1)2=4

                           C: (5-1)2=8

                           E: (4-1)2=6                 Vi=2+2+4+4+4+8+6=30      Ve+Vi=3+30=33

 L=3(libertà)x11(aste)=33                                                                  V=L=33

La struttura è isostatica. 

2)Reazioni vincolari:

Con l'equilibrio alla traslazione verticale mi ricavo Rvb=20Kn

Con l'equilibrio alla traslazione orizzontale ricavo che Rog è uguale a Rob e con l'equilibrio alla rotazione in A ricavo che le due forze orizzontali valgono 30 Kn e sono di compressione.

3) Azioni di contatto attraverso il metodo dei nodi

Iniziamo isolando il punto G.

Anche questa volta avendo aste inclinate è necessario scomporre la forza obliqua nelle due componenti orizzontale e verticale per poter procedere con gli equilibri alla traslazione.

Attraverso l'equilibrio alla traslazione verticale ricavo che la mia forza assiale lungo l'asta 11 (N11), essendo l'unica forza verticale del nodo, è uguale a zero. Con l'equilibrio alla trasl. orizzontale (utilizzando come gia detto la componente orizzontale di N11) ricavo che N rispetto al nodo ha un valore di compressione e vale 30 KN (si oppone infatti alla forza del carrello che spinge anchessa verso il nodo. 

Isoliamo ora il nodo F

Su di esso troviamo una forza concentrata di 10 KN e gia conosciamo N10 che è di compressione. Dobbiamo ricavare quindi N9 e e N7. Attraverso l'equilibrio alla traslazione verticale ci ricaviamo N9 forza di compressione che vale 10 KN e attraverso l'equilibrio alla traslazione orizzontale ricaviamo N7, anch'esso di compressione di valore 30 KN.

Passiamo ad isolare il nodo E

N9 già lo conosciamo e sappiamo che vale 10 Kn e che è una forza di compressione. Dobbiamo ricavare N8 ed N6. Con l'equilibrio alla traslazione verticale (scomponendo N8 nelle due componenti orizzontale e verticale) ricaviamo che la forza obliqua N8 è una forza di trazione e vale 10 radice di 2. Con l'equilibrio delle forze orizzontali ci ricaviamo N6 che è una forza di compressione e vale 10 KN.

Isoliamo ora il nodo D

N6 lo conosciamo e sappiamo che vale 10 Kn e che è forza di compressione. Facendo l'equilibrio delle forze orizzontali troviamo quindi che N4 è anch'esso forza di compressione e che vale 10 KN. Per ora non abbiamo abbastanza dati per calcolarci N5 quindi andiamo avanti.

Isoliamo il nodo B

Su questo nodo agiscono le forze del carrello, 30 Kn in orizzontale e 20 in verticale. Inoltre già conosciamo N4, forza di compressione di 10 Kn. Scomponiamo N3 obliqua nelle due componenti e con l'equilibrio alla traslazione verticale ricaviamo che N1 vale 0 (l'asta AB sarà quindi scarica). Con l'equilibrio alla traslazione orizzontale ricaviamo che N3 è una forza di compressione e che vale 20radice di 2 KN.

Isoliamo infine il nodo C

Su di esso agisce una forza esterna verticale verso il basso di valore 10 Kn, N3 N8 ed N7 sono noti. Con l'equilibrio alla traslazione orizzontale ricaviamo che N2 è uguale a 0 (l'asta AC è scarica). Con l'equilibrio alla traslazione verticale ricaviamo N5 che vale 0 (l'asta CD è scarica).

Dopo aver messo la struttura in SAP ho potuto osservare la deformata e i valori relativi allo sforzo normale, l'unico presente all'interno delle travature reticolari.

Deformata

Diagramma dello sforzo normale

 

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Dimensionamento trave (svolto con Manuel Lentini)

L’impalcato che abbiamo scelto  è frutto di un primo ragionamento sulla struttura del nostro albergo (Prof. Cordeschi). Il sistema distributivo delle stanze prevede un corridoio di 2,40 m di larghezza e le stanze di 4 metri di interasse in larghezza e 6 m in profondità. Abbiamo scelto di dimensionare la trave 2-7 che copre una luce di 6,00 m e un interasse di 4,00 m. La sua area d’influenza è quindi pari a 6,00 x 4,00 = 24,00 mq.

 

 

Per il dimensionamento corretto della trave è necessario calcolare Qs, Qp e Qa dove Qs (carico strutturale) indica il carico proprio della struttura; Qp (carico permanente) indica tutti quegli elementi non strutturali ma che permangono durante la vita della struttura e Qa indica il valore del carico accidentale dovuto ad esempio all’uso che si farà di quell’ambiente.

Trattandosi di stanze di un albergo abbiamo deciso di utilizzare come valore di carico accidentale quello relativo  ai locali ad uso civile: 2,00 KN/Mq.
Ciascuno carico a mq è frutto della somma dei pesi (calcolati a mq) degli elementi che lo costituiscono:
P= V x γ / A  dove V è il volume dell’elemento, γ è il peso specifico del materiale e A è l’area in questo caso relativa ad 1 mq di struttura.

Struttura in legno

 

 

a) Dimensionamento del travetto (interasse 1m, luce 4m):
Partiamo con il dimensionamento del travetto prendendo come carico strutturale iniziale quello del    tavolato.

Qs:
-Tavolato:  
spessore :  0,045 m
peso specifico: 700 Kg/mc
Volume: 0,045 x 1 x 1 = 0,045 mc
Peso: 0,045 x 700 = 31,5 Kg    0,315 Kn
Peso a mq:  0,315 Kn/1 mq

Qp:
-Isolante acustico  (Acustic system 7): http://www.termoisolanti.com/prodotti/isolanti-acustici/sistemi-fonoisolanti-e-antivibranti-per-solai-in-legno-laterocemento-e-c.a/acustic-system-7.php
Spessore : 0,007 m
Peso a mq:  3 Kg/mq   0,03 kn/mq   (fornito dalla casa produttrice)
-Massetto in cls:
Spessore:  0,08 m
Peso specifico: 2000Kg/mc
Volume: 0,08 x 1 x 1 =0,08 mc
Peso: 0,08 x 2000 = 160 Kg   1,6 KN
Peso a mq: 1,6 kn/mq
-Parquet in ciliegio:
Spessore: 0,02 m
Peso specifico: 850 Kg/mc
Volume: 0,02 x 1 x 1= 0,02 mc
Peso: 0,02 x 850= 17 Kg    0,17 KN
Peso a mq: 0,17 KN/mq
-Incidenza impianti:
Peso a mq: 0,5 KN/mq
-Incidenza tramezzi:
Peso a mq: 1 Kn/mq
Qp tot: 0,03+1,6+0,17+0,5+1= 3,3 KN/mq
 

Qa:
-Civile abitazione:    2 KN/mq
Inseriamo i dati nella tabella excel (la formula presente nella tabella excel relativa al momento Ql^2/8 è in questo caso valida trattandosi di una trave doppiamente appoggiata. Se si fosse trattato di una trave a sbalzo l'espressione sarebbe stata Ql^2/2)
 

Dalla tabella possiamo leggere che con i carichi inseriti e assumendo una base per il travetto di 0,12m l’altezza deve essere non inferiore a 0,2201 m.
Abbiamo cosi scelto un travetto della casa produttrice Canducci  GL24H  120x240 mm. (http//www.mmk-canducci.it/)

La classe di resistenza GL24H indica una resistenza a flessione 24N/mmq e dove Kmod è il coefficente moltiplicativo in funzione della durata del carico. Normalmente Kmod è compreso tra 0,5 e 1. In questo caso prendiamo un K mod ipotetico di 0,7 e lo inseriamo nella tabella excel.
Il passo successivo è stato quello di calcolare il peso a mq del travetto scelto e di inserirlo all’interno dei Qs nella nostra tabella excel.
Peso specifico: 550 Kg/mc
Volume: 0,12 x 0,24 x 1= 0,029 mc
Peso: 0,029 x 550= 15,95 Kg      0,1595 KN   
Peso a mq:  P x 1/ interasse     0,1595 x (1/1)= 0,1595 KN/mq
Qs tot:   Tavolato più travetti    0,315 + 0,159 =0,474 KNmq
 

Inserendo il peso del travetto dalla tabella ci compare che assumendo di nuovo una base di 0,12 m  l’altezza risulta essere di 0,2232 m. Il travetto da noi scelto era di 0,12 x 0,24 m. La sezione è quindi verificata.

b) Dimensionamento trave (luce 6 m, interasse 4m)
A questo punto possiamo inserire nella tabella la luce e l’interasse relativi alla trave (mantenendo gli stessi carichi).

 

Ne risulterà, assumendo come base 0,24 m, un’altezza di 0,4101 m.
Abbiamo proceduto con la scelta di una trave che soddisfacesse le misure richieste.
La trave scelta è una GL32H 240 x 440 mm.
Calcolo il peso della trave:
Volume: 0,24 x 0,44 x 1= 0,1056 mc
Peso specifico: 550 Kg
Peso: 0,1056 x 550= 50,08 Kg     0,5808 KN
Peso a mq:  0,5808 x 1/4= 0,1452 KN/mq   (4 m = interasse trave)
A questo punto possiamo sommare il peso della trave agli altri valori in Qs:
Qstot: 0,474 + 0,1452 = 0,619 KN/mq
Abbiamo inserito il nuovo valore del carico strutturale all’interno della tabella excel e ciò che ne risulta è una trave di 24 x 41,52 cm,    trave con dimensioni minori rispetto a quella scelta da noi.

 La scelta della trave è quindi verificata.

 Struttura in acciaio

 

 

 a) Dimensionamento del travetto (interasse 1m, luce 4m):
Partiamo con il dimensionamento del travetto prendendo come carico strutturale iniziale quello del    tavolato.
Qs:
- Lamiera grecata più getto in cls:
Spessore: 0,1 m   tipo: A55/P600  
 

 

Come tabellato il peso a mq è 1,90 KN/mq
Qp:
-Isolante acustico  (Acustic system 7):
Spessore : 0,007 m
Peso a mq:  3 Kg/mq   0,03 kn/mq   (fornito dalla casa produttrice)
-Massetto in cls:
Spessore:  0,08 m
Peso specifico: 2000Kg/mc
Volume: 0,08 x 1 x 1 =0,08 mc
Peso: 0,08 x 2000 = 160 Kg   1,6 KN
Peso a mq: 1,6 kn/mq
-Parquet in ciliegio:
Spessore: 0,02 m
Peso specifico: 850 Kg/mc
Volume: 0,02 x 1 x 1= 0,02 mc
Peso: 0,02 x 850= 17 Kg    0,17 KN
Peso a mq: 0,17 KN/mq
-Incidenza impianti:
Peso a mq: 0,5 KN/mq
-Incidenza tramezzi:
Peso a mq: 1 Kn/mq
Qp tot: 0,03+1,6+0,17+0,5+1= 3,3 KN/mq

Qa:
-Civile abitazione:    2 KN/mq
Inseriamo i dati nella tabella excel

Scelgo un profilo IPE 140 con Wx= 77,3 cm^3  h=140 mm b= 73mm  Area= 16,4 cmq
Peso specifico: 7800 kg/mc
Volume: 0,00164 x 1  =0,00164 mc
Peso: 0,00164 x 7800= 12,79 Kg    0,1279 KN
Peso mq: 0,1279x 1/1= 0,1279 KN/mq
Qstot: carico soletta più carico travetto   0,1279+1,9=2,027 KN/mq
A questo punto abbiamo inserito nella tabella il nuovo Qs comprendente anche il peso dei travetti.

Ne risulta una trave con Wx pari a 71,71 cm^3, valore inferiore a quello proprio del travetto da noi scelto.
Il travetto è quindi verificato.

b) Dimensionamento trave
A questo punto possiamo inserire nella tabella la luce e l’interasse relativi alla trave (mantenendo gli stessi carichi).

Abbiamo scelto una trave IPE 330 con Wx= 713cm^3  A=62,6 cmq
Peso specifico: 7800 Kg/mc
Volume: 0,00626 x 1= 0,00626 mc
Peso: 0,00626 x 7800 = 48,8 Kg    0,488 KN
Peso mq: 0,488 x 1/4 = 0,122 KN/mq
Abbiamo sommato il peso a Qs  e aggiunto il nuovo valore alla tabella
Qs tot= 2,027 + 0,122 =2,149 KN/mq

Una volta inserito il peso della trave il nuovo Wx richiesto è di 656,15 cm^3, valore inferiore a quello relativo alla trave da noi scelta. Anche questa sezione è verificata.

 

Struttura in cemento armato

 

 

 Qs:
-Pignatte:
Volume: 0,16 x 0,5 x 1= 0,08 mc
Peso specifico: 600 Kg/mc
Peso: 0,08 x 600= 48 Kg    0,48 KN
Peso mq: 0,48 KN/mq
-Travetti: 
Volume: 0,1 x 0,16 x 1 = 0,016 mc
Peso specifico: 2500 Kg/mc
Peso: 0,016 x 2500 = 40 Kg    0,4 KN
Peso mq: 0,4 KN/mq
-Soletta:
Volume: 0,04 x 1 x 1= 0,04 mc
Peso specifico: 2500 Kg/mc
Peso: 0,04 x 2500= 100 Kg    1 KN
Peso mq: 1 KN/mq
Qs tot: 0,48 + 0,4 + 1 = 1,88 KN/mq

Qp:
-Massetto in cls:
Spessore: 0,04 m
Peso specific0: 2000 Kg/mc
Volume: 0,04 x 1 x 1= 0,04 mc
Peso: 0,04 x 2000 = 80 Kg    0.8 KN
Peso mq: 0,8 KN/mq
-Isolante acustico  (Acustic system 7):
Spessore : 0,007 m
Peso a mq:  3 Kg/mq   0,03 kn/mq   (fornito dalla casa produttrice)
-Allettamento in cls:
Spessore:  0,03 m
Peso specifico: 2000 Kg/mc
Volume: 0,03 x 1 x 1 =0,03 mc
Peso: 0,03 x 2000 = 60 Kg   0,6 KN
Peso a mq: 0,6 kn/mq
-Parquet in ciliegio:
Spessore: 0,02 m
Peso specifico: 850 Kg/mc
Volume: 0,02 x 1 x 1= 0,02 mc
Peso: 0,02 x 850= 17 Kg    0,17 KN
Peso a mq: 0,17 KN/mq
-Intonaco:
Spessore: 0,01 m
Peso specifico: 1200 Kg/mc
Volume: 0,01 x 1 x 1= 0,01 mc
Peso: 0,01 x 1200= 12 Kg    0,12 KN
Peso a mq: 0,12 KN/mq
-Incidenza impianti:
Peso a mq: 0,5 KN/mq
-Incidenza tramezzi:
Peso a mq: 1 Kn/mq
Qp tot: 0,8+0,03+0,6+0,17+1+0,5+ 0,12= 3,22 KN/mq
 

Qa:
-Civile abitazione:    2 KN/mq
Inseriamo i dati nella tabella excel

 

Dalla tabella si ricava che, data una base di 25 cm, l’altezza minima deve essere di 38,68cm. Prendiamo una trave  25x45 con classe di resistenza C40/50 (e acciaio B450C per zona sismica).
Aggiungiamo ai carici strutturali a mq il peso a mq della trave P: 2,42 x 1/interasse = 0,605 KN/mq
Qs tot= 1.88 + 0,605= 2,48 KN/mq
Inserendo il nuovo dato nella tabella si ricava che l'altezza necessaria è pari a 40,08 cm, inferiore all’altezza della trave scelta. La nostra sezione è quindi verificata.

 

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 Travatura reticolare 3D
Per eseguire questa esercitazione abbiamo utilizzato Autocad e Sap 2000.
In Autocad ho disegnato la travatura reticolare composta da 4x6 moduli collegati da aste inclinate sempre nella stessa direzione.

 Ho successivamente importato il 3D in Sap.
Per prima cosa assegno le cerniere interne a tutto il corpo e applico i 4 vincoli (cerniere) alle estremità della base.

Ho in seguito definito il materiale e la sezione scegliendo una sezione tubolare in acciaio.
Definisco quindi un carico che chiamo “concentrato” di 40 KN verso il basso sull’asse Z e lo assegno ad ogni nodo della superficie superiore.

Dopo aver numerato le aste lascio analizzare la mia struttura dal sistema ottenendo così il diagramma dello sforzo normale.

 Esporto i dati nella tabella excel prendendo in considerazione solo quelli relativi alla lunghezza totale delle aste dritte (2m) e inclinate (2,8) essendo i dati relativi a sezioni eseguite in differenti punti della lunghezza totale.
Procedo riordinandomi i valori dello sforzo normale in ordine decrescente. Riesco così ad individuare immediatamente i valori massimi di trazione e di compressione.

PROGETTO E VERIFICA A COMPRESSIONE PER L'ASTA DI 2 M

L’asta sottoposta a maggior sforzo di compressione è l’asta n. 186 con sforzo normale pari a 296,438 Kn.

 So che σ=N/A ≤ Fd.  Per il progetto dell’asta ponendo  σ= Fd=N/A  ne risulta che, per trovare l’area della sezione, devo applicare la formula A=N/Fd dove Fd indica il valore di design che si calcola attraverso il rapporto tra Fy (valore della tensione di snervamento dell’acciaio) e γ (coefficiente di sicurezza che corrisponde a 1,05).

Scelgo un acciaio FE 510 S 355 che ha un Fy di 3550 Kg/cmq
Fd=3550/1,05=3380,96 Kg/cmq = 33,8096 Kn/cmq.
A= 296,438/33,8096= 8,8 cmq
Cerco sulla tabella dei profilati tubolari in acciaio (tratta dal sito www.oppo.it) la sezione subito maggiore che è quella di 9,650 cmq
Per eseguire la verifica della sezione scelta dovrà risultarmi una σ<Fd
σ= 296,438 Kn/9,65 cmq = 30,72 Kn/cmq    Essendo 30,72 Kn/cmq< 33,8096Kn/cmq la sezione è verificata.

E’ ora necessario verificare che la sezione sia stata opportunamente dimensionata per evitare sbandamenti (instabilità Euleriana) e che resista quindi al carico critico Euleriano.
La formula per calcolare il peso critico è (π^2 x E x Jmin)/lo^2 dove E è modulo di elasticità che per l’acciaio è 210000 N/mmq, Jmin è il momento d’inerzia della sezione scelta e lo è la lunghezza libera di inflessione che si calcola moltiplicando la lunghezza dell’asta per un coefficiente relativo ai tipi di vincoli applicati all’asta (nel nostro caso il coeff. è 1 trattandosi di un’asta doppiamente incernierata.

P crit= (3,14^2 x 210000 N/mm^2 x 87,90 cm^4)/ 40000 cm= 455014,35 N = 455,01435 KN
Essendo il peso critico maggiore dello sforzo normale, 455,01435 > 296,438, l’asta progettata non andrà in instabilità euleriana.
 

PROGETTO E VERIFICA A COMPRESSIONE PER L'ASTA DI 2,8 M

L’asta sottoposta a maggior sforzo di compressione è l’asta n.7 con sforzo normale pari a 307,351 KN.

 σ=N/A ≤ Fd    Per il progetto dell’asta ponendo  σ= Fd=N/A  ne risulta che, per trovare l’area della sezione, devo applicare la formula A=N/Fd.
A=307,351Kn/ (338096 Kn/mq)= 9,091 Cmq
Scelgo una trave tubolare a sezione circolare con sezione metallica pari a 10,70 cmq.
Per eseguire la verifica della sezione scelta dovrà risultarmi una σ<Fd
σ= 307,351 Kn/10,7 cmq= 28,73 Kn/cmq       28,73 < 33,80 quindi la sezione è verificata.

Ora verificherò che anche questa  sezione sia stata opportunamente dimensionata e che quindi non sia a rischio sbandamenti.
Ricordo che la formula per calcolare il peso critico è (π^2 x E x Jmin)/lo^2 e sostituisco i miei valori.
(9.86 x (210000 N/mm^2) x96,30cm^2)/78400cm = 254335,18N= 254,335Kn
Il peso critico risulta inferiore al nostro sforzo normale, la sezione non è quindi verificata.

Prendo una sezione più grande. La verifica a compressione non è necessaria perché essendo la sezione maggiore della precedente, verificata a compressione, sarà sicuramente verificata anch’essa.
Passo di nuovo a verificare che non sia sottoposta ad instabilità euleriana.
Peso critico= 9,86 x( 210000 N/mm^2) x 211 cm^4/78400cm= 557266,072 N= 557,267Kn
Questa volta il Peso critico è maggiore del nostro sforzo normale; La sezione è quindi verificata anche rispetto all’instabilità euleriana.
 

ORA PROCEDO CON IL PROGETTO E VERIFICA A TRAZIONE ma solamente sull’asta con valore di trazione maggiore, quella lunga 2,8 m.

La forza normale massima vale 256,572 Kn ed è applicata all'asta n.154

La verifica dell’instabilità euleriana non sarà effettuata perché riguarda solo le aste sottoposte a compressione.
 Come nei casi precedenti per il progetto dell’asta, e quindi per la scelta della mia sezione utilizzo la formula            σ=N/A ≤ Fd ;  quindi  ponendo  σ= Fd=N/A  ne risulta che, per trovare l’area della sezione, devo applicare la formula A=N/Fd.
A= 256,572 Kn/(338096 Kn/mq)= 0,00076 mq= 7,6 cmq
Scelgo quindi una trave tubolare con sezione metallica avente A=8,2 cmq e J=54cm^4

Ora verifico la mia sezione a trazione.  Per la verifica dovrò avere la σ=N/A ≤ Fd
σ = 256,572 Kn /8,2 cmq= 31,29 Kn/cmq < 33,88 Kn/cmq (che è il mio Fd)
La sezione è quindi verificata a trazione.

Verificando l’asta lunga 2,8 m che è sottoposta al maggior valore di trazione non c’è bisogno di verificare la trazione massima dell’asta lunga 2 m, poiché il progetto viene fatto per resistere al valore maggiore in assoluto.
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ESERCITAZIONI CORSO DI MECCANICA STRUTTURALE | FRANCESCO SCILLA

TRAVE IN ACCIAIO (6-7):

L: 5m
Interasse: 3,5m

CARICHI VARIABILI:
Luogo affollato Qa = 500 Kg/mq

CARICHI PERMANENTI STRUTTURALI:
Qs = 1.5KN/mq

CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI:
Intonaco, pavimentazione, massetto e travettature.

Ps intonaco = 2000Kg/mc
spessore = 0,02m
Qi = 2000·0,02 = 0,04KN/mq

Ps pavimentazione =4000Kg/mc
spessore = 0,01m
Qp = 4000·0,01 =0,4KN/mq

Ps massetto = 1800Kg/mc
spessore = 0,05m
Qm = 1800·0,05 = 0,9KN/mq

Tramezzi:

Forati: 600Kg/mc
spessore: 0,1m
Qf: 600·0,1 = 0,6KN/mq

Tamponatura: 2000Kg/mc
spessore: 0,01m
Qt: 2000·0,02 = 0,4KN/mq

TOTtrav. = (0.4+0.6)KN/mq·H/i =
               = 1KN/mq·2.7m/3.5m = 0,8 KN/mq

Qtot = 0.4+0.4+0.9+0.8 = 2.5KN/mq

 

 

 

TRAVE IN CALCESTRUZZO (3-4):

L:5
Interasse: 4,5m

CARICHI VARIABILI:
Luogo affollato Qa: 500Kg/mq

CARICHI PERMANENTI STRUTTURALI:
Pignatte:

Peso specifico 1 m3  di pignatte = 600 kg/m3, divido m3 per H pignatte(20cm)=600Kg/m3 · 0,2m= 120 Kg/mq
in 1m ci sono 80cm di pignatte
120·0,8 = 96Kg/mq
Qs pignatte: 0,96KN/mq

Travetti:

Ps travetti (1mc): 2500Kg/mc
h: 0,2m
moltiplico Ps·h = 2500Kg/mc·0,2m = 500Kg/mq
ci sono due travetti ogni metro larghi 0,2m
Qt: 500·0,2 = 100Kg/mq = 1KN/mq

Massetto:

Peso specifico = 2500 Kg/mc
h = 5cm
moltiplico sempre per l'altezza: 2500 Kg/mc·0,05 m = 125 Kg/mq, essendo uniformemente spalmato la sua percentuiale su un metro è 1 quindi abbiamo = 125 Kg/mq = 1,25 KN/mq

Qs tot: 0.96+1+1.25 = 3.21KN/mq

 

 

CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI:

Ps intonaco: 2000Kg/mc
spessore: 0,02m
Qi: 2000·0,02 = 0,4KN/mq

Ps massetto: 1800Kg/mc
spessore: 0,02m
Qms: 1800·0,02 = 0,36KN/mq

Ps mattonelle: 4000Kg/mc
spessore: 0,01m
Qmt: 4000·0,01 = 0,4KN/mq

Tramezzi:

Foratini: 700 Kg/mc  spess. 0,1m  Qtamp: 700·0,1m=0,7 KN/mq

Tamponatura intonaco  2000Kg/mc     spessore 0,01m·2  2000·0,02=0,4 KN/mq

Totale tramezzi: (0,4+0,7) KN/mq·H/i = 1KN/mq·2,7m/4,5m =0,5 KN/mq

Qp tot: 1,2+0.5 = 1.7KN/mq
 

TRAVE IN LEGNO (9-10):

L= 5m   
Interasse= 1,5m

CARICHI VARIABILI:

Luogo affollato: Qa=500 Kg/mq;  Qa=5 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI STRUTTURALI:

Qs=0,5 KN/mq (carico standard di un solaio ligneo)

 

CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI:

Considero: intonaco, pavimentazione, massetto di allettamento e tramezzature.

Pesoo specifico intonaco: 2000 Kg/mc  spessore: 0.02m  Qintonaco: 2000·0,02=0,4 KN/mq

Pesoo specifico pavimentazione: 4000 Kg/mc  spessore: 0,01m Qpav: 4000·0,01=0,4 KN/mq

Pesoo specifico massetto: 1800 Kg/mc  spess. :0,05m Qmassetto: 1800·0,05=0,9 KN/mq

Tramezzi:

    Foratini: 600 Kg/mc  spess. 0,1m  Qtamp: 600·0,1=0,6 KN/mq
    Tamponatura intonaco  2000Kg/mc     spess 0,01m·2  2000*0,02=0,4 KN/mq
    Totale tramezzi: (0,4+0,6) KN/mq·H/i = 1KN/mq·2,7m/1,5m = 1,8 KN/mq

Qp: 0,4+0,4+0,9+1,8= 3.5 KN/mq;   Qp= 3,5 KN/mq

 

Esercitazione 1

Un accenno sulle Travature Reticolari

Le travature reticolari sono strutture composte da un insieme di aste appartenenti allo stesso piano che generano un forma in grado di coprire ampie luci. La generica travatura reticolare è caratterizzata da correnti superiori e correnti inferiori, montanti e diagonali. Inoltre la struttura reticolare prevede nel suo sistema un insieme di cerniere, “nodi”, che sono gli unici punti che ricevono le forze e le ridistribuiscono sulle aste attraverso le azioni di contatto, in questo caso solo attraverso gli sforzi assiali N perché sono gli unici ad agire su questo tipo di strutture. Altra peculiarità è che le aste possono essere tese o compresse a seconda del tipo di forze che agiscono sulla struttura o scariche se queste hanno solamente la funzione di completamento geometrico della struttura.

Travatura reticolare simmetrica

Questo tipo di travatura reticolare presenta un struttura regolare con dei carichi concentrati nei nodi e la sua geometria presenta una simmetria rispetto all’asse centrale, quello passante per il nodo D. Per questo motivo, prima di eseguire l’esercizio, si deduce che al fine di calcolare le azioni di contatto sulla trave, sarà necessario sezionare solamente metà struttura perché questa è simmetrica.                                                                               

Prima di procedere con il calcolo delle reazioni vincolari, verifico che la struttura sia isostatica attraverso la formula: V = L (gradi di vincolo = gradi di libertà)                                                                                                                          

I gradi di vincolo a loro volta sono: V = Ve + Vi   (Gradi di vincolo  = vincoli esterni + vincoli interni)              

I vincoli esterni sono 3, 2 per la cerniera (traslazione orizzontale e verticale) e 1 per il carrello (traslazione verticale); quelli interni invece si calcolano con la formula: 2 (n-1)(n numero di aste che la cerniera collega).                                                                                                                                                                          

Nodi A-H: 2 (2-1)= 2 x 2= 4                                                                                                                                         

Nodi B-G: 2 (3-1)= 4 x 2= 8                                                                                                                                         

Nodi C-D-E: 2 (4-1)= 6 x 3= 18; quindi i gradi di vincolo interni sono: 30 Vi + 3 Ve = V.                                       

Essendo V = L (struttura isostatica); allora L = 33.                                                                 

Un’ altra formula ancora più rapida per verificare l’isostaticità è: Ve + a = 2n(vincoli esterni + numero di aste = 2 numero dei nodi). In questo caso abbiamo 3+11=2 (7).                              

A questo punto possiamo calcolare le reazioni vincolari attraverso gli equilibri alle traslazioni orizzontale e verticale. Da questi otteniamo che Ru1= 0 perché non deve equilibrare alcuna forza orizzontale; mentre le reazioni Rv1 e Rv2 equilibrano le tre forze concentrate F quindi saranno pari a: Rv1=Rv2=3/2F.                                                    

Ottenuti i valori delle reazioni vincolari si può procedere al calcolo delle azioni di contatto sulla travatura reticolare attraverso due metodi:                                                                                                                                              

1)METODO DELLE SEZIONI DI RITTER                                                                                                                    

2) METODO DEI NODI                                                                                                                                          

1)con questo metodo si opera una sezione che tagli 3 aste NON CONVERGENTI SULLO STESSO NODO e si determinano le azioni di contatto su ogni asta attraverso gli equilibri alle traslazioni verticali e orizzontali, e l’equilibrio dei momenti rispetto ad un polo scelto;                                                                                              

2)con questo metodo invece si isolano i nodi della struttura e si calcolano le azioni di contatto solo attraverso gli equilibri alle traslazioni verticali e orizzontali.                                                                                                             

In entrambi i casi le azioni di contatto, di compressione o di trazione, sono raffigurate con semplici frecce la cui punta può essere uscente dall’asta/nodo o entrante nell’asta/nodo; la differenza tra i due metodi è che nel primo, quello delle sezioni, la freccia uscente dall’asta indica per convenzione la trazione quindi uno sforzo positivo, nel caso opposto indica compressione quindi sforzo negativo; nel metodo dei nodi il ragionamento è lo stesso in quanto le frecce uscenti dai nodi indicano la trazione e quelle entranti la compressione.                                                        Scegliendo il metodo delle sezioni di Ritter, analizzo il nodo B e attraverso l’equilibrio dei momenti rispetto al nodo C ricavo lo sforzo assiale

N1= -2F (il meno indica che il verso della freccia precedentemente ipotizzato di trazione, è di compressione quindi lo cambio). Eseguendo invece l’equilibrio dei momenti rispetto al nodo B ottengo lo sforzo assiale N3= 3/2 F (essendo positiva la forza, il verso della freccia ipotizzato è corretto, quindi di trazione). Infine eseguendo l’equilibrio alla traslazione verticale ottengo il valore dello sforzo assiale N2= F/2dato dalla scomposizione dello sforzo N2 nelle sue due componenti orizzontale e verticale.

Avendo già determinato lo sforzo assiale N3, analizzo il nodo A eseguendo l’equilibrio alla traslazione orizzontale. Da questo ricavo il valore dello sforzo assiale N4= -3/2 F, dato dalla scomposizione nelle sue due componenti orizzontale e verticale.

Infine studio l’ultima sezione di Ritter, quella che fa riferimento al nodo D e determino attraverso il momento rispetto al polo D e l’equilibrio alla traslazione verticale, gli ultimi due sforzi assiali N5= 5/2 F e N6= -F/2.

Attraverso il grafico elaborato dal software SAP, è possibile ottenere una conferma su quali siano i carichi conferiti a ciascuna asta e quali di queste siano compresse o tese. Ciò è possibile perché questo software ci permette di disegnare interamente la struttura assegnando alle singole aste i vincoli predisposti (cerniere, carrelli o incastri) nonché i carichi (distribuiti o concentrati) su qualsiasi trave o nodo. 

Il compito più grande svolto da SAP è di determinare la deformata qualitativa della struttura in esame che per strutture così semplici è abbastanza palese mentre per altre più complesse no.

Travatura reticolare asimmetrica                                                                    

Lo scopo di questo esercizio è quello di risolvere una struttura reticolare asimmetrica attraverso il METODO DEI NODI, precedentemente enunciato.

Come per quella simmetrica, anche qui dobbiamo preventivamente verificare l’isostaticità della struttura.   

V = L(gradi di vincolo = gradi di libertà)                                                                                     

V = Ve + Vi   (Gradi di vincolo  = vincoli esterni + vincoli interni)                                                   

2 (n-1) (n numero di aste che la cerniera collega)                                                                      

Nodi A-G: 2 (2-1)= 2 x 2= 4                                                                                                 

Nodi B-D-F: 2 (3-1)= 4 x 3= 12                                                                                            

Nodo E: 2 (4-1)= 6 x 1= 6                                                                                                         

Nodo C: 2 (5-1)= 8 x 1= 8 quindi i gradi di vincolo interni sono: 30 Vi + 3 Ve = V     V=L=33

Ora possiamo procedere al calcolo delle reazioni vincolari attraverso gli equilibri alle traslazioni orizzontale e verticale e all’equilibrio dei momenti rispetto ad un polo prefissato. Dall’equilibrio alla traslazione orizzontale otteniamo che Rub=Rug quindi sappiamo che le due reazioni sono uguali e opposte; dalla traslazione verticale invece troviamo il valore di Rvb= 2F verso l’alto, quindi a bilanciare le due forze concentrate F, infine attraverso l’equilibrio dei momenti rispetto al polo in A stabiliamo il valore di Rub e Rug= 3F.                                                     

A questo punto, avendo calcolato tutte le reazioni vincolari, procediamo al calcolo delle azioni di contatto attraverso il METODO DEI NODI. Assegniamo a F il valore di 10KN e a L il valore di 1m.  Ricordo che essendo una travatura reticolare, le azioni di contatto che andremo a calcolare saranno tutti sforzi normali N.    

Partiamo dal nodo B perché sono note le reazioni vincolari Rub (30KN) e Rvb (20KN) e facciamo gli equilibri alle traslazioni orizzontale e verticale per determinare gli sforzi N1, N2 e N3. Eseguendo i calcoli ci rendiamo subito conto che non è possibile ottenere dei risultati perchè i due equilibri (traslazione orizzontale e verticale) prevedono due sistemi ognuno in due incognite quindi irrisolvibile.                                                                                                                   

Proviamo quindi con il nodo G, altro nodo dove insiste la reazione vincolare Rug (30KN) e qui notiamo che per l’equilibrio alla traslazione verticale abbiamo solo la componente verticale dello sforzo assiale N10 che non è bilanciata da alcuna forza quindi il suo contributo è 0 sia in direzione orizzontale che verticale, ovvero l’asta è SCARICA (N10= 0). A questo punto possiamo facilmente calcolare lo sforzo N11= 30KN.

Procedendo verso sinistra vi è il nodo F dove abbiamo le due traslazioni, verticale e orizzontale, espresse ognuna con un sistema ad una incognita quindi banalmente risolvibile. Da questo infatti ricaviamo N8= 30KN e N9= 10KN.

Nel nodo E invece, scompongo lo sforzo assiale N7 nelle sue due componenti (orizzontale e verticale) ottenendo il valore di N7= 10KN e di conseguenza sfrutto la sua componente orizzontale pari a 10KN per calcolare lo sforzo assiale N6= -10KN (il meno, come al solito, indica che bisogna cambiare il verso della freccia).                                                                                       

Il nodo D invece presenta nel suo equilibrio un’altra asta scarica, eseguendo infatti gli equilibri alle due traslazioni orizzontale e verticale, si ottengono N1= -10KN e N5= 0.                                                                                                                        

Infine dal nodo B otteniamo altri due sforzi assiali N2= -20KN e N3= 0 mentre dal nodo C, ultima cerniera rimasta, deduciamo dai calcoli che N4= 0.               

Una volta determinati i valori di N su ogni singola asta, ridisegno la struttura su SAP facendo uso della griglia alla quale abbiamo precedentemente assegnato le campate lungo l’asse x (ascissa) e lungo l’asse z (ordinata) e i loro valori in metri. Impongo, fissati gli appoggi della travatura (cerniera e carrello), che ogni asta sia incernierata all’altra ma che venga impedita la trasmissione del momento da un’ asta all’altra. Infine assegno i carichi concentrati sui nodi C ed F e faccio partire l’analisi della deformazione.      

Esercizi sugli archi a tre cerniere e vari

Esercizio n°1

In questo esercizio, è stata analizzata una “mensola” alla quale sono sovrapposti due carichi assiali: ql (carico concentrato all’estremo libero) e q (carico distribuito lungo la trave ma solo nel tratto che va dall’incastro fino a l). Come sappiamo i carichi concentrati e distribuiti danno risultati ben diversi che ora vedremo.                                                                                                                        

Per prima cosa notiamo che i gradi di vincolo e di libertà coincidono: v= l (3=3). Determiniamo quindi le reazioni vincolari che in questo caso sono molto semplici da calcolare in quanto, avendo solo forze assiali, non sono previsti l’equilibrio alla traslazione verticale e ai momenti perchè non gravano forze verticali o momenti concentrati sulla struttura.

 

Dalle reazioni vincolari infatti otteniamo che dall’equilibrio alla traslazione orizzontale (ΣFx = 0) Rua= 2ql reazione derivante dall’incastro e atta ad equilibrare le due forze mentre dall’equilibrio alla traslazione verticale (ΣFy = 0) Rva= 0 perché non deve equilibrare alcuna forza verticale e così anche (ΣMa = 0) Ma=0.

Analizzando le azioni di contatto sulla trave possiamo quindi dire che l’unica tensione che si sviluppa all’interno della trave è quella Normale ed è N=2ql.

Analizzando la struttura ai “bordi”, notiamo che all’incastro la N= 2ql data dalla sovrapposizione del carico concentrato ql, che dà un grafico di N costante, e del carico distribuito q, che invece dà un grafico di N lineare in quanto varia dalla mezzeria all’incastro. All’estremo libero invece, lo sforzo normale è equilibrato da una sola forza di trazione, il carico concentrato ql, che determina di conseguenza un grafico costante di N su tutta la lunghezza della trave.

Esercizio n°2

L’argomento di questo esercizio è una trave su 3 appoggi con due momenti concentrati sull’appoggio centrale che tuttavia funge da cerniera quindi non permette il passaggio del momento flettente (o “di continuità”) e di conseguenza nemmeno la rotazione relativa, rotazioni uguali a sinistra e a destra della cerniera (φs=φd). Anche per questa struttura, essendo isostatica, v= l.

Dagli equilibri alle traslazioni orizzontali, verticali e di momento, otteniamo che Rua= 0 in quanto non insistono forze assiali sulla struttura; Rva= Rvb e Rvb= Rvd in quanto coppie di forze che controbilanciano i due momenti esterni c. La coppia Rva-Rvb è antioraria per controbilanciare c orario mentre la coppia Rvb-Rvd è oraria perché deve controbilanciare l’altro momento antiorario c. In valore assoluto Rva, Rvb e Rvd hanno tutte lo stesso valore c/l.

Dal grafico del taglio si può notare come vi sia un salto nel punto in cui sono concentrati i due momenti pari proprio a c, il valore del momento. Questo comporta nel grafico del momento un punto angoloso (di spigolo o “cuspide”) che corrisponde ad un cambio di pendenza in quanto punto di incrocio dei due momenti lineari negativi perché tendono le fibre superiori della trave.

Esercizio n°3

Analizziamo ora un arco a 3 cerniere con una forza concentrata F in mezzeria, ovvero sulla cerniera. Prima di svolgere l’esercizio però è necessario fare alcuni ragionamenti di carattere qualitativo che permettono di risolvere più facilmente e velocemente l’equilibrio della struttura.

Come sappiamo, l’arco a tre cerniere è chiamato così perché presenta, oltre quelle alla base, anche una terza cerniera collocata sul tratto orizzontale che ci da 2 reazioni vincolari verticali e 2 orizzontali, tutte uguali e opposte. In questo caso però, essendo il portale simmetrico sia per geometria che per carico, la forza verticale F è equilibrata dalle sole 2 reazioni verticali date dalle 2 cerniere agli appoggi perché le reazioni della cerniera centrale essendo opposte causerebbero solo antisimmetria.

Spesso per le strutture come i portali, può risultare utile analizzare la struttura per porzioni più ridotte come in questo caso dove il portale, essendo simmetrico, è stato diviso a metà rendendo più semplice e rapido il calcolo delle reazioni vincolari. Dal primo corpo infatti troviamo che Rva= F/2, il risultato è giusto in quanto è l’unica reazione verticale che deve equilibrare la forza F/2 mentre dall’equilibrio dei momenti rispetto al polo A ricaviamo che Rub=Rua= Fl/2h. Questo ci fa capire che le reazioni orizzontali non sono nulle come invece si potrebbe pensare non essendoci carichi orizzontali; esse infatti servono ad equilibrare il momento orario generato dalla forza F per il braccio l/2. Allo stesso modo nel secondo corpo troviamo che Rub=Ruc= Fl/2h eRvc= F/2. Trovate le reazioni vincolari, analizziamo le azioni di contatto sul portale. Per fare ciò utilizziamo il metodo qualitativo dei “bordi”. Partendo infatti dalla cerniera in A troviamo che lo sforzo N è costante e di compressione in tutti i tratti ma assume il valore N= F/2 sui tratti verticali e N= Fl/2h sul tratto orizzontale. Anche il taglio presenta un grafico costante nei due tratti verticali pari a T=Fl/2h, positivo nel primo tratto verticale e negativo nel secondo; nel tratto orizzontale invece, vi è un grafico costante del taglio T=F/2, negativo nel primo tratto e positivo nel secondo mentre sulla cerniera, essendoci la forza concentrata F, vi sarà un salto pari alla forza F.

Infine nel grafico dei momenti vi sono andamenti lineari, dovuti ai grafici costanti del taglio, pari a M=Fl/2. I momenti sono tutti negativi in quanto tendono le fibre superiori e vi è un punto angoloso che coincide con la  cerniera orizzontale che è dovuto al salto del taglio.

Attraverso il software di calcolo SAP è stato possibile riscontrare gli stessi risultati  per le azioni di contatto e la deformata qualitativa. Questo infatti, essendo uno strumento immediato e semplice da utilizzare, spesso è stato utile anche come punto di partenza per risolvere strutture complesse che a mano avrebbero richiesto parecchio tempo. Non è il caso dei portali.

DEFORMATA QUALITATIVA                                                                               GRAFICO DEL TAGLIO

                            

GRAFICO DELLA NORMALE                                                                         GRAFICO DEL MOMENTO

                                             

 

Esercizio n°4

Svolto il portale con il carico concentrato in mezzeria, possiamo passare ad un portale più complesso per il quale assegneremo anche dei valori numerici al carico q e alle luci l e h.

q=100KN/m  h=10m  l=5m

In questo caso può essere utile analizzare il portale in due parti separate e farne l’equilibrio dei momenti rispetto ai poli A e B. Dai due equilibri ricaviamo che Ruc= 250KN e Rvc= 500KN.

A questo punto, una volte determinate Ruc e Rvc, con le equazioni di equilibrio alle traslazioni verticali e orizzontali dei due corpi, posso ricavare velocemente Rva, Rua, Rvb e Ruc.

Dall’equilibrio alla traslazione orizzontale del primo corpo ottengo infatti che:                                

Rua= 1000-Ruc (250KN)= 750KN mentre dall’equilibrio alla traslazione verticale ottengo che       

-Rva= Rvc (500KN) quindi anche Rva=500KN.

Dall’equilibrio alla traslazione orizzontale del secondo corpo ottengo che:                                   

Ruc (250KN)= -Rub quindi Rub= 250KN mentre dall’equilibrio alla traslazione verticale ottengo che –Rvc (500KN)= Rvb quindi anche Rvb= 500KN.                                                                  

Ultimo step sono le azioni di contatto dalle N,T e M. Dallo sforzo normale otteniamo un valore costante per i tratti ascendenti pari a N= 500KN positivo nel primo tratto e negativo nel secondo, mentre in quello orizzontale lo sforzo normale è costantemente positivo e pari a N= 250KN. Dal grafico del taglio invece otteniamo dei grafici più particolari, nel primo tratto verticale infatti il grafico ha un andamento lineare o “a farfalla”, effetto del carico distribuito che assume in A il valore T= 750KN e al nodo T= 250KN. Sul tratto orizzontale invece l’andamento è costante ed è pari a T=500KN mentre sul secondo tratto verticale il taglio assume un valore negativo pari a T=250KN.

Il momento invece presenta un andamento parabolico positivo (fibre tese sotto) nel primo tratto verticale e il valore massimo lo assume dove il taglio è nullo (perché il momento è la derivata del taglio) mentre al nodo termina con un valore di M= 2500KN che viene ribaltato sul tratto orizzontale dove invece l’andamento è a farfalla. Infine sul secondo tratto verticale vi è un andamento lineare negativo (fibre tese sopra) che mantiene al nodo il valore di M= 2500KN e che rappresenta la continuità tra tratto orizzontale e verticale.

DEFORMATA QUALITATIVA                                                                         GRAFICO DELLA NORMALE

     

GRAFICO DEL TAGLIO                                                                             GRAFICO DEL MOMENTO

 

Esercizio n°5

Come per il portale con un carico distribuito, analizziamo adesso il portale con due forze concentrate F.

       

Anche per questa struttura è vantaggioso analizzare le due parti che la compongono separatamente ma solo per le reazioni orizzontali Rua, Rub e Ruc. Infatti per le reazioni verticali Rva e Rvb, non dovendo controbilanciare alcuna forza, è possibile fare il solo equilibrio dei momenti rispetto ad un polo scelto (A in questo caso) e determinare i valori delle singole reazioni. Rva=Rvb= Fh/2l.

Dalla prima parte otteniamo che Rvc (reazione della cerniera interna)= Fh/2l ad equilibrare la reazione Rva. Invece dalla sommatoria dei momenti rispetto al polo C ricaviamo la reazione    Rua= -F quindi cambio il verso che è giustamente opposto a quello della forza F. Per il secondo tratto della struttura andrà fatto lo stesso ragionamento della prima parte ricavando l’ultima reazione incognita che è Rub= F.

Dai grafici delle azioni di contatto notiamo che i due tratti verticali sono sollecitati da uno sforzo N= Fh/2l pari alle reazioni vincolari Rva e Rvb. Il primo positivo perché di trazione, il secondo negativo di compressione. Sul tratto orizzontale non vi sono sforzi normali in quanto non vi sono forze che agiscono sull’asse della trave e le due forze F concentrate sono applicate ad h/2 creando così un salto nel grafico del taglio. Rua e Rub generano un grafico di T costante e negativo ma fino ad h/2 dove le forze concentrate F generano il salto. Sul tratto orizzontale invece il taglio è costantemente T= Fl/2h ed è generato dalla coppia Rva e Rvb.

Analizzando invece il grafico dei momenti riscontriamo sui tratti verticali un andamento lineare da 0 ad h/2 che corrisponde ad un grafico costante del taglio, ad h/2 avviene il salto nel taglio quindi un punto di spigolo nel grafico dei momenti che implica un cambio di pendenza della retta che diventa verticale assumendo un valore di M= Fh. Sul tratto orizzontale invece il momento si annulla nella cerniere interna e assume un andamento a farfalla del valore di M=Fh e tendendo le fibre inferiori nel primo tratto e superiori nel secondo.

DEFORMATA QUALITATIVA                                                                              GRAFICO DEL TAGLIO

GRAFICO DELLA NORMALE                                                                           GRAFICO DEL MOMENTO

                                                 

Esercizio n°6

Per terminare lo studio sui portali analizziamo invece un particolare arco a 3 cerniere chiamato “portale zoppo” (ovvero le cui altezze variano nei due tratti verticali).

             

Per determinare le reazioni vincolari sono stati eseguiti due equilibri ai momenti rispetto ai poli A e C che messi a sistema hanno reso più semplice il calcolo delle reazioni vincolari della cerniera centrale, Rub e Rvb. Una volte determinata Rvb, i corpi sono stati analizzati separatamente e quindi attraverso l’equilibrio alla traslazione verticale è stato possibile determinare i valori delle altre due reazioni Rva e Rvc entrambe di valore Fh/2l. Anche per le reazioni orizzontali i corpi sono stati studiati separatamente infatti dall’equilibrio alla traslazione orizzontale del primo corpo abbiamo ottenuto Rua= 2/3F; mentre dall’equilibrio alla traslazione orizzontale del secondo corpo la reazione Ruc è proprio uguale a Rub, Rub=Ruc= F/3.

Come si nota dal grafico delle azioni di contatto, nella struttura in esame si genera un sforzo Normale costante pari Fh/6l di trazione nel primo tratto e di compressione nel secondo. Sul tratto orizzontale invece il valore di N è negativo perché di compressione e pari a F/3.                                       

Nel grafico del Taglio invece è facilmente distinguibile il salto dovuto alla forza concentrata F applicata ad h/2 che da un T=  -2/3F e un T= F/3 mentre sul tratto orizzontale il grafico è costantemente positivo e pari a T= Fh/6l mentre sul secondo tratto verticale è pari a T= F/3.         

Nei portali in ultima analisi possiamo quindi dire che gli sforzi Normali verticali diventano di Taglio sui tratti orizzontali e viceversa per la continuità del nodo. Allo stesso modo i momenti assumono gli stessi valori nei nodi perché sono proprio questi i punti dove il momento flettente viene trasferito da un tratto orizzontale ad uno verticale.                                                

Il punto più interessante nel grafico dei Momenti coincide con il punto in cui avviene il salto nel Taglio che causa nel grafico dei momenti un punto angoloso o di cuspide e quindi un cambio di pendenza della retta o meglio di derivata nulla.

DEFORMATA QUALITATIVA                                                                            GRAFICO DEL TAGLIO

                         

          GRAFICO DELLA NORMALE                                                          GRAFICO DEL MOMENTO

              

 

                                       

Esercitazione 2

L’argomento di questa esercitazione è il progetto di una trave dimensionata con il sussidio del foglio elettronico excel da cui ho potuto ricavarne un dimensionamento adeguato. L’edificio scelto è il progetto di Laboratorio 1 di una casa unifamiliare a Fiumicino e ho stabilito di progettare la trave del solaio maggiormente sollecitata nei tre materiali: legno, acciaio e cls.    

SOLAIO IN LEGNO

Per questo tipo di solaio i passi da eseguire sono i seguenti:

1)calcolo di tutti i carichi che gravano sulla trave (Qs, Qp e Qa)

2)calcolo delle dimensioni del travetto in legno a partire da un dato ipotizzato, la base e relativa verifica.

3)calcolo delle dimensioni della trave in legno a partire da un dato ipotizzato, la base e relativa verifica.

Progetto della Trave sull’allineamento B2-B3

Progetto dei travetti di interasse 1m e luce 2.2m

Calcolo dei carichi per i travetti

Qs = 0,21 KN/mq Carico Strutturale

Assito in legno (s = 0.035) P = V x g = Volume x Peso specifico = (1m x 1m x 0,035m) calcolato per un’area di 1m x 1m) x 6KN/mc

Qa = 2KN/mq Sovraccarico accidentale per una civile abitazione

Qp = 1,73KN/mq Carico permanente non strutturale

Pavimento in gres porcellanato (s = 0,01)= 20KN/mc = 0,2KN/mq

Massetto (cls con calcarenite) (s =0,03) = 20KN/mc = 0,6KN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05) = 0,6KN/mc = 0,03 KN/mq

Caldana (s= 0,04) = 10KN/mc = 0,4KN/mc

Impianti 0,5KN/mq

Q tot= 0,21+2+1,73= 3,94KN/mq Carico totale al mq

A questo punto inserisco i valori dei 3 carichi nel foglio di calcolo excel e ottengo il valore del carico totale al metro lineare:

3,94KN/mq x 1m = 3,94KN/m

Con il carico al metro lineare e l’interasse, ottengo il momento massimo che per una trave doppiamente appoggiata è pari a ql^2/8; impostate poi la resistenza a snervamento fmk e il suo coefficiente moltiplicativo kmod, ottengo la tensione di progetto fd.

Adotto una base ragionevole pari a 8cm e ottengo l’altezza attraverso la formula:             

h = (6 x M x 1000/(bfd ))^0,5

Verifica del travetto

Ottenute le dimensioni del travetto, aggiungo al carico strutturale quello dei travetti

(0,08m x 0,15m x 6KN/mc)/1m = 0,072KN/mq e verifico che dal punto di vista dimensionale la sezione sia corretta.

Q’s = 0,21+0,072= 0,282KN/mq

Momento = ql^2/8= (4,012 x 2,2 x 2,2)/8= 2,427KNm

h’= (6M/bfd )^0,5 = (6 x 2,43 x 1000/8 x 9,66)^0,5= 13.7cm il dimensionamento precedentemente eseguito è corretto Trave GH28 8x15

Progetto della trave di interasse 2,2m e luce 4,075m

Calcolo dei carichi per la trave

Qs = 0,282KN/mq Carico Strutturale

Assito in legno (s = 0.035) P = V x g = Volume x Peso specifico = (1m x 1m x 0,035 m) calcolato per un’area di 1m x 1m) x 6KN/mc -> 0,21 KN/mq

Travetti in legno (0,08m x 0,15m x 6KN/mc)/ 1m = 0,072KN/mq

Qa = 2KN/mq Sovraccarico accidentale per una civile abitazione

Qp = 1,73KN/mq Carico permanente non strutturale

Pavimento in gres porcellanato (s = 0,01)= 20KN/mc = 0,2KN/mq

Massetto (cls con calcarenite) (s =0,03) = 20KN/mc = 0,6KN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05) = 0,6KN/mc = 0,03 KN/mq

Caldana (s= 0,04) = 10KN/mc = 0,4KN/mc

Impianti 0,5KN/mq

Q tot= 0,282+2+1,73= 4.012KN/mq

Come per i travetti, inserisco i valori dei 3 carichi nel foglio di calcolo excel e ottengo il valore del carico totale al metro lineare:

3,94KN/mq x 2,2m = 8,826KN/m

Con il carico al metro lineare e l’interasse, ottengo il momento massimo che per una trave doppiamente appoggiata è pari a ql^2/8; impostate poi la resistenza a snervamento fmk e il suo coefficiente moltiplicativo kmod, ottengo la tensione di progetto fd.

Adotto una base ragionevole pari a 15cm e ottengo l’altezza attraverso la formula:                            

h = (6 x M x 1000/(bfd ))^0,5

Verifica della trave

Ottenute le dimensioni della trave, aggiungo al carico strutturale quello della trave        

(0,15m x 0,30m x 6KN/mc)/2,2m = 0,123KN/mq e verifico che dal punto di vista dimensionale la sezione sia corretta.

Q’s = 0,282+0,123= 0,405KN/mq

Momento = ql^2/8= (9,097 x 4,075 x 4,075)/8= 18,88KNm

h’= (6M/bfd )^0,5 = (6 x 18,88 x 1000/15 x 9,66)^0,5= 27,97cm il dimensionamento precedentemente eseguito è corretto Trave GH28 15x30cm

SOLAIO IN ACCIAIO

Anche per questo tipo di solaio i passi da eseguire sono i seguenti:

1)calcolo di tutti i carichi che gravano sulla trave (Qs, Qp e Qa)

2)calcolo delle dimensioni del travetto in acciaio a partire da un dato ipotizzato, la base e relativa verifica.

3)calcolo delle dimensioni della trave in acciaio a partire da un dato ipotizzato, la base e relativa verifica.

Progetto della Trave sull’allineamento B2-B3

Progetto dei travetti di interasse 1m e luce 2.2m

Qs = 1,65KN/mqCarico Strutturale

Lamiera grecata in acciaio A55/P600 h = 0,055m e s = 0,02 cm

Getto di completamento in cls armato h = 0,045 m

Qa = 2KN/mqSovraccarico accidentale per una civile abitazione

Qp = 1,43KN/m Carico permanente non strutturale

Pavimento in gres porcellanato (s = 0,01)= 20KN/mc = 0,2KN/mq

Massetto (cls con calcarenite) (s =0,03) = 20KN/mc = 0,6KN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05) = 0,6KN/mc = 0,03 KN/mq

Pannello in cartongesso (s= 0,12) = 0,1KN/mq

Impianti 0,5KN/mq

Q tot= 1,65+2+0,2+0,6+0,03+0,1+0,5= 5,08KN/mq

A questo punto inserisco i valori dei 3 carichi nel foglio di calcolo excel e ottengo il valore del carico totale al metro lineare:

3,94KN/mq x 1m = 3,94KN/m

Con il carico al metro lineare e l’interasse, ottengo il momento massimo che per una trave doppiamente appoggiata è pari a ql^2/8.

Impostata la resistenza a snervamento fyk = 235N/mmq, ottengo la tensione di progetto

fd = 204,35N/mmqe il modulo di resistenza a flessione Wx = 15,04cm^3.

Scelgo un Wx = 20,03cm^3 a cui corrisponde una profilato

IPE80 b = 4,6cm h = 8cm P = 0,06KN/m.

Verifica del travetto

Ottenute le dimensioni del travetto, aggiungo al carico strutturale quello del travetto 0,06KN/m/1m = 0,06KN/mq e verifico che dal punto di vista dimensionale la sezione sia corretta.

Q’s = 0,06+1,65=1,71KN/mq

Momento = ql^2/8= (5,14 x 2,2 x 2,2)/8= 3,109KNm

Con il nuovo valore di momento ottengo un modulo di resistenza a flessione

Wx = 15,22cm^3 che è minore del modulo di resistenza scelto Wx = 20,03cm^3 quindi la sezione è verificata.

Progetto della trave di interasse 2,2m e luce 4,075m

Q’s = 1,71KN/mqCarico Strutturale

Lamiera grecata in acciaio A55/P600 h = 0,055m e s = 0,02 cm

Getto di completamento in cls armato h = 0,045 m

Trave IPE80 0,06KN/m2

Qa = 2KN/mqSovraccarico accidentale per una civile abitazione

Qp = 1,43KN/mCarico permanente non strutturale

Pavimento in gres porcellanato (s = 0,01)= 20KN/mc = 0,2KN/mq

Massetto (cls con calcarenite) (s =0,03) = 20KN/mc = 0,6KN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05) = 0,6KN/mc = 0,03 KN/mq

Pannello in cartongesso (s= 0,12) = 0,1KN/mq

Impianti 0,5KN/mq

Q tot= 1,71+2+0,2+0,6+0,03+0,1+0,5= 5,14KN/mq

A questo punto inserisco i valori dei 3 carichi nel foglio di calcolo excel e ottengo il valore del carico totale al metro lineare:

5,14KN/mq x 2,2m = 11,308KN/m.

Con il carico al metro lineare e l’interasse, ottengo il momento massimo che per una trave doppiamente appoggiata è pari a ql^2/8.

Impostata la resistenza a snervamento fyk = 235N/mmq, ottengo la tensione di progetto

fd = 204,35N/mmqe il modulo di resistenza a flessione Wx = 114,86cm^3. Scelgo un

Wx = 146,3cm^3 a cui corrisponde una profilato

IPE180 b = 9,1cm h = 18cm P = 0,188KN/m.

Verifica della trave

Ottenute le dimensioni della trave, aggiungo al carico strutturale quello della trave 0,188KN/m/2,2m = 0,085KN/mq e verifico che dal punto di vista dimensionale la sezione sia corretta.

Q’s = 0,085+1,71=1,795KN/mq

Momento = ql^2/8= (11,495 x 4,075 x 4,075)/8= 23,86KNm

Con il nuovo valore di momento ottengo un modulo di resistenza a flessione Wx = 116,76cm^3 che è minore del modulo di resistenza scelto

Wx = 146,3cm^3 quindi la sezione è verificata.

SOLAIO IN CLS

Per questo tipo di solaio i passi da eseguire sono i seguenti:

1)calcolo di tutti i carichi che gravano sulla trave (Qs, Qp e Qa)

2)calcolo delle dimensioni della trave in cls armato a partire dal solaio e relativa verifica.

Progetto della Trave sull’allineamento B2-B3

Imges impalcato e particolare

Progetto della trave di interasse 2,2m e luce 4,075m

Qs = 2,66KN/mq

Getto di completamento in cls armato h = 0,04 m

Pignatta h = 0,2 m l = 0.4 m

Travetti in acciaio l = 0.1 m

Qp = 1,43KN/mCarico permanente non strutturale

Pavimento in gres porcellanato (s = 0,01)= 20KN/mc = 0,2KN/mq

Massetto (cls con calcarenite) (s =0,03) = 20KN/mc = 0,6KN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05) = 0,6KN/mc = 0,03 KN/mq

Pannello in cartongesso (s= 0,12) = 0,1KN/mq

Impianti 0,5KN/mq

Q tot= 2,66+2+0,2+0,6+0,03+0,1+0,5= 6,09KN/mq

A questo punto inserisco i valori dei 3 carichi nel foglio di calcolo excel e ottengo il valore del carico totale al metro lineare:

6,09KN/mq x 2,2m = 13,398KN/m.

Con il carico al metro lineare e l’interasse, ottengo il momento massimo che per una trave doppiamente appoggiata è pari a ql^2/8.

Impostata la resistenza a snervamento fyk = 235N/mmq e la classe del cls C40/50, ottengo la tensione di progetto dell’acciaio fyd = 391,3N/mmq e del cls fcd = 22,86N/mmq.

Ipotizzata una base ragionevole b = 15cm, ottengo un h utile = 20,28cm dalla formula

h = r(Mx1000/(fcd xb))^0,5. Dall’altezza che mi occorre non è quella utile ma quella della trave che è la somma dell’altezza utile più il copriferro (non resiste alla flessione ma è importantissimo perché ci “avverte” attraverso la fessurazione, del raggiungimento da parte della trave del collasso): 

H = h utile + delta. Essendo il copriferro pari a 5cm e avendo ottenuto un H = 25,28cm, adotto un H = 30cm perché comunemente le altezze delle travi hanno valori interi che possono incrementare solo di un valore di 5 in 5cm.

Verifica della trave

Ottenute le dimensioni della trave, aggiungo al carico strutturale quello della trave (0,15m x 0,30m x 25KN/mc)/2,2m = 0,51KN/mq e verifico che dal punto di vista dimensionale la sezione sia corretta.

Q’s = 2,66+0,51= 3,17KN/mq

Momento = ql^2/8= (30,14 x 4,075 x 4,075)/8= 62,56KNm

h’ utile = r(Mx1000/(fcd xb))^0,5 = 2,25 (62,56 x 1000/(22,86 x15) = 21,12cm.

H’ = h utile + delta = 21,12 + 5= 26,12 cm quindi il dimensionamento precedentemente eseguito è corretto. Trave  in cls  C40/50 15x30cm

 

Esercitazione 3

Travatura reticolare spaziale

Disegno e analisi su SAP

L’argomento di questa esercitazione è il progetto di una travatura reticolare spaziale, di 4 moduli ripetuti per 6 file adottando un modulo di base di 2x2x2m, disegnata prima su Autocad e poi importata su SAP 2000. Prima di eseguire il disegno della struttura sono state impostate l’unità di misura in metri e le coordinate x,y,z nell’origine, per esportare con più facilità il file su SAP.

Con il comando polilinea disegniamo una trave a C con un’asta diagonale al suo interno, che rappresenta il modulo base da dover replicare per ottenere quello più complesso della travatura reticolare spaziale.

Tenendo premuti shift e la rotella del mouse passiamo alla vista 3D che ci mostra il nostro disegno “schiacciato” lungo la pianta, il piano xy. Volendo riprodurre la struttura in 3D, quindi disporre in verticale il nostro modulo, usiamo il comando ruota 3D e digitiamo l’asse x che corrisponde all’asse di rotazione e poi clicchiamo sull’asse y che corrisponde all’asse da ruotare.

Una volta ruotato il disegno, lo selezioniamo e adottando il comando serie lo riproduciamo 4 volte (righe = 1, colonne = 4, distanza 2m) lungo l’asse x che è l’asse lungo il quale ci interessa eseguire la serie. Quadruplicato il modulo, chiudiamo con una linea l’ultimo perché come detto prima, il modulo base è una C con un linea diagonale.

Adesso disegniamo la stessa struttura in direzione y ricordandoci di non duplicare le aste verticali già disegnate per la prima serie. Con il comando serie quadruplichiamo anche queste aste ottenendo una “parvenza” di travatura reticolare spaziale. Completiamo questa prima fila inserendo anche le diagonali per i correnti superiori e inferiori aiutandoci con il comando orbita (shift e tasto sinistro del mouse).

Ora che la prima fila è completata possiamo replicarla in serie ma dobbiamo ricordarci di cambiare l’UCS collocando l’asse x al posto dell’asse y così da facilitare il lavoro (UCS -> 3p e selezioniamo le direzioni che vogliamo assegnare agli assi x,y,z). Riproduciamo 7 volte la riga dei 4 moduli precedentemente creati con il comando serie (righe = 1, colonne = 7, distanza 2m) perché anche se la nostra struttura è composta da 4 moduli x 6 file è più semplice una volta eseguita la serie rimuovere linee aggiuntive piuttosto che aggiungerle.  

Disegnata la struttura, il modello è stato esportato nel formato .dxf  per poter esser letto dal software di calcolo SAP.

Una volta importato il modello, sono stati assegnati i vincoli agli estremi della struttura, 4 cerniere che costituiscono gli appoggi (seleziono il nodo -> assign -> joint -> restraints -> translation 1 e 2 che indicano l’impedimento delle traslazioni verticale e orizzontale), mentre per tutti gli altri nodi sono state selezionate le aste e sono state spuntate le caselle che indicano il rilascio dei momenti flettente e torcente quindi sono state inserite cerniere sferiche, perché operiamo in 3D (assign -> frame -> releases/partial fixity -> moment 22, moment 33 start e end che indicano l’inizio e la fine dell’asta).

A questo punto abbiamo definito il materiale di cui sono composte le aste, l’acciaio (define -> materials -> add new material ->acciaio) e dopo averle selezionate lo abbiamo assegnato (assign -> frame -> frame sections -> add new property -> pipe (profilo cavo circolare) -> materiale acciaio).

Infine attraverso la vista 2D dall’alto, piano xy, abbiamo selezionato i nodi ma solo dopo aver scrupolosamente spuntato la casella che rende invisibili le aste per poter assegnare facilmente i carichi che gravano sulla struttura (set display options -> frame/cables/tendons -> frames not in view).      

                                                                 

N.B.Non basta semplicemente selezionare i nodi dalla vista xy ma bisognare imporre a SAP che i carichi vengano assegnati sui nodi superiori quindi sempre con i nodi selezionati (view -> set 2D view -> plane xy -> z=2 perché 2 è l’altezza della travatura reticolare spaziale).

Definiamo quindi il carico con il nome di forza concentrata (define -> load patterns -> add new load pattern -> forza concentrata -> dead -> self weight multiplie = 0 perché non vogliamo che nell’analisi venga considerato il peso proprio).

Selezionati i nodi, assegniamo il carico F = -40KN sull’asse z, asse ortogonale alla travatura e negativo perché rivolto verso il basso come una forza gravitazionale (assign -> joint loads -> forces -> load pattern name = forza concentrata -> force global z = -40KN).

Ora che sono stati assegnati anche i carichi possiamo lanciare l’analisi ricordandoci però di limitarla alle sole forze concentrate che abbiamo collocato sulla struttura e non agli altri carichi che compaiono nella tabella (run analysis -> modal e dead -> do not run case -> forza concentrata -> run case -> run now).    

                                                         

Sempre su SAP è possibile ricavare la tabella formato Excel che raffigura gli sforzi assiali che gravano su ogni singola asta (display -> show tables -> analysis results -> element output -> file -> export current table -> to excel).

N.B.= questo è possibile farlo solo dopo aver lanciato l’analisi e aver spuntato il comando che permette di visualizzare gli sforzi assiali sulle aste.

Di questi sforzi prenderemo in considerazione solamente i due valori massimi di trazione e compressione per eseguire il dimensionamento delle aste e farne le opportune verifiche a resistenza, snellezza e stabilità.

Per dimensionare l’asta di una struttura reticolare, si adotta la formula σ= N/A perché si considera semplicemente la tensione derivante dallo sforzo normale N che agisce su un’area A.

Dimensionamento dell’asta tesa e relativa verifica a resistenza.

In questo caso, per dimensionare l’asta tesa, è necessario prima calcolare l’area minima, A min e poi farne la verifica a resistenza. Adottando infatti un acciaio da carpenteria S275 quindi con un fyk = 275MPa (N/mmq), un gm₁=1,05 e tenendo in considerazione lo sforzo normale massimo di trazione ricavato dalla tabella excel di SAP, N = 258,93KN, otteniamo che A min = 258,93KN x 1000 x 1,05/275 N/mmq = 988 mmq = 9,9 cm².

Consultando la tabella dei profili cavi a sezione circolare in acciaio, adottiamo quello la cui area è di poco maggiore al valore ottenuto dal calcolo per stare in sicurezza. Adotto un profilo con un dxs (diametro x spessore)= 88,9 x 4,0 mm   A = 10,7 cm²     Jx (momento d’inerzia) = 96,3 cm⁴    Wx (modulo di resistenza) = 21,7cm³    ρ (rho, raggio d’inerzia) = 3,0 cm.

A questo punto, dopo aver dimensionato l’asta tesa, ne eseguo la verifica a resistenza perché per l’acciaio teso l’unica verifica veramente significativa è quella a resistenza. Molto semplicemente si calcola la tensione di progetto fd e si verifica che questa sia minore/uguale alla tensione a snervamento dell’acciaio fyk. -> fd ≤fyk

fd = 258,93KN x 1000/10,7cm²x 100 = 241,99 MPa (N/mm²) -> 241,99MPa ≤ 275MPa -> asta verificata a resistenza.

Dimensionamento dell’asta compressa e relative verifiche a resistenza, snellezza e stabilità.

Per dimensionare correttamente l’asta compressa invece, non basta eseguire la verifica a resistenza perché essendo compressa è soggetta al carico di punta o meglio conosciuto come carico critico euleriano che provoca lo sbandamento dell’asta. Per ovviare allo sbandamento dovuto ad un valore elevato del rapporto h/l della trave, si stabilisce come è vincolata la trave e in base a quello si trova il P critico (carico critico).

Quindi oltre alla verifica a resistenza, vanno eseguite altre due verifiche, quella a snellezza e quella a stabilità. Per dimensionare l’asta compressa svolgiamo gli stessi passaggi di quella tesa perché se pur compressa, sempre di acciaio parliamo.

Adottiamo l’acciaio S275 quindi con un fyk = 275MPa (N/mmq), un gm₁=1,05 e teniamo in considerazione lo sforzo normale massimo di compressione ricavato dalla tabella excel di SAP, N = 307,25KN.

Dalla formula σ= N/A otteniamo che A min = 307,25KN x 1000 x 1,05/275 N/mmq = 1117 mmq = 11,17 cm².

Consultando la tabella dei profili cavi a sezione circolare in acciaio, adottiamo quello la cui area è di poco maggiore al valore ottenuto dal calcolo per stare in sicurezza. Adotto un profilo con un dxs (diametro x spessore)= 114,3 x 3,6 mm   A = 12,5 cm²     Jx (momento d’inerzia) = 192 cm⁴    Wx (modulo di resistenza) = 33,6cm³     ρ (rho, raggio d’inerzia) = 3,92 cm.

Verifica  a resistenza

fd ≤fyk

fd = 307,25KN x 1000/12,5cm²x 100 = 245,8 MPa (N/mm²) -> 245,8MPa ≤ 275MPa -> asta verificata a resistenza.

Verifica  a snellezza

λ<200

λ= l₀/ρconl₀= βx l e ρ= raggio d’inerzia della sezione in esame

β= numero di semionde visibili per il tipo di vincolo in esame

Nel nostro caso, l’asta della travatura reticolare, va considerata come una trave doppiamente incernierata quindi la β = 1 e di conseguenza l₀= l. Il raggio d’inerzia lo desumiamo dalle tabelle ed è ρ= 3,92 cm. λ = 283 cm x 1 /3,92 cm = 72,2<200 -> asta verificata a snellezza.

Verifica  a stabilità

Nd ≤Nbrd    dove Nd  è lo sforzo assiale che agisce sull’asta in esame mentre Nbrd   è la resistenza all’instabilità per l’asta compressa ed è pari a Nbrd = χA fyk/gm₁. A loro volta χ = 1/Φ+(Φ²-⁻λ²)^0,5≤1 ;

⁻λ= (Afyk / Pcritico)^0,5 ;

 Φ= 0,5[1+α (⁻λ– 0,2)+ ⁻λ²] e α è un coefficiente chiamato fattore di imperfezione ed è α=0,21

A sua volta, perché l’asta sia verificata,Nbrd<P critico  dove P critico = p² E Jmin/l₀².

Eseguendo i calcoli ottengo che:

P critico = (3,14²x 210000N/mm²x 192 cm⁴ x 10000 / 283²cm x 10)/1000 = 496,4KN

⁻λ² = 12,5cm²x 100 x 275MPa/496,4 x 1000 = 0,69

Φ = 0,5[1+0,21(√0,69-0,2)+0,69] = 0,9

χ = 1/ 0,9+(0,9²-0,69²)^0,5 =0,68≤1

Nbrd  = (0,68 x 12,5cm²x 100 x 275MPa/1,05)/1000 = 222,62KN

N.B. = il risultato ottenuto non è accettabile perchè Nd deve essere ≤Nbrd mentre invece in questo caso Nd = 307,25KN ≥222,62KN = Nbrd. Quindi bisogna adottare un’area maggiore, quindi un profilo più grande per garantire la verifica a stabilità.

Eseguiamo nuovamente i calcoli:

Consultando la tabella dei profili cavi a sezione circolare in acciaio, adottiamo quello la cui area è superiore al valore adottato precedentemente. Prendiamo quindi un profilo con un dxs (diametro x spessore)= 114,3 x 4,5 mm   A = 15,5 cm²     Jx (momento d’inerzia) = 234 cm⁴    Wx (modulo di resistenza) = 41cm³  ρ (rho, raggio d’inerzia) = 3,89 cm.

Verifica  a resistenza

fd ≤fyk

fd = 307,25KN x 1000/15,5cm²x 100 = 198,225 MPa (N/mm²) -> 198,225MPa ≤ 275MPa -> asta verificata a resistenza.

Verifica  a snellezza

λ<200

 λ= l₀/ρ con l₀= βxl e ρ= raggio d’inerzia della sezione in esame

β= numero di semionde visibili per il tipo di vincolo in esame

quindi la β = 1 e di conseguenza l₀= l. Il raggio d’inerzia lo desumiamo dalle tabelle ed è

ρ= 3,89 cm. λ = 283 cm x 1 /3,89 cm = 72,75<200 -> asta verificata a snellezza.

Verifica  a stabilità

Nd ≤Nbrd   

P critico = (3,14²x 210000N/mm²x 234 cm⁴ x 10000 / 283²cm x 10)/1000 = 606,24KN

⁻λ² = 15,5cm²x 100 x 275MPa/604,95 x 1000 = 0,703

Φ = 0,5[1+0,21(√0,7-0,2)+0,7] = 0,9186

χ = 1/ 0,9168+(0,9168²-0,69²)^0,5 =0,769≤1

Nbrd  = (0,769x 15,5cm²x 100 x 275MPa/1,05)/1000 = 312,2KN

Adesso anche la verifica a stabilità risulta corretta infatti Nd≤Nbrd ovvero 307,25KN≤312,2KN -> asta verificata a stabilità.

Esercitazione 4

Ripartizione delle forze sismiche (in collaborazione con Beatrice Nanni, Flavia Valdarnini, Sabrina Zhu)

(le travi in grigio corrispondono alle travi portanti, ovvero quelle che portano tutti i carichi gravanti sul solaio)

L'impalcato in esame è una struttura a forma di T composta da 5 telai shear type in direzione verticale e 3 telai shear type in direzione orizzontale. Di questi telai, 5 sono i controventi determinati in base all’orditura del solaio.

La struttura è 2 volte iperstatica quindi per risolvere il sistema è stato necessario definire il solaio come un corpo rigido piano (per il quale vale traslazione orizzontale, verticale e rotazione rigida attorno ad un punto) e introdurre vincoli elastici (molle) che si comportano secondo la legge di Hooke F= K δ. I pilastri sono stati posizionati in modo tale da avere il momento d’inerzia massimo nella direzione del momento flettente derivante dal carico del solaio.

Con il sussidio del foglio di calcolo excel, che permette un riscontro in termini numerici rapido e completo, è stato possibile analizzare lerigidezze dei controventi, il centro di massa, il centro delle rigidezze, l’analisi dei carichi sismici e la ripartizione del sisma lungo l’asse X e Y.

Rigidezze dei controventi

Primo Step                                                                                                                             

In questa tabella è stata calcolata la rigidezza di ogni singolo controvento attraverso la formula:

K = 12 EJ/H³dove E (modulo di Young, per l’acciaio 210000 MPa; per il cls  21000 MPa), J (momento d’inerzia, in direzione X = bh³/12 ; in direzione Y = hb³/12) e H (altezza del solaio interpiano pari a 4m).

Secondo Step                                                                                                                                    

Stabilite le rigidezze dei controventi sono state calcolate le distanze di questi da un punto fisso chiamato O (origine). Per il telaio verticale 4-9 e il telaio orizzontale 1-2-3 le distanze dall’origine sono pari a 0 in quanto i telai sono collocati sulla retta che congiunge con l’origine O.

Centro di massa

Terzo Step                                                                                                                               

Una volta stabilite le rigidezze dei telai e le loro distanze dall’origine O, l’impalcato è stato suddiviso in due aree A1= 36,6m² e A2 = 28,38m² delle quali sono stati calcolati i centri di massa. Per determinare i centri di massa è stato preso come punto di riferimento l’origine O e sono state determinate le distanze (x_G1,y_ G1) e le distanze (x_ G2,y_ G2). Infine è stato calcolato il centro di massa dell’intera struttura secondo le sue coordinate

X_G: (A1x_G1)+(A2x_G2)/A1+A2= 6,60m

Y_G: (A1y_G1)+(A2y_G2)/A1+A2= 4,28m

Calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Quarto Step                                                                                                                            

Determinate tutte le rigidezze dei controventi (vedi Step 1) orizzontali e verticali, è stata calcolata la rigidezza totale traslante verticale e quella totale traslante orizzontale : Kvtot e Kotot. Dalle due rigidezze totali si è ottenuto il centro delle rigidezze in base alla formula:

X_C=(kv1 dv1)+(kv2 dv2)+(kv3 dv3)+(kv4 dv4)+(kv5 dv5)/kvtot = 6,52m

Y_C=(ko1 do1)+(ko2 do2)+(ko3 do3)/kotot = 5,45m

Una volta determinata la posizione del centro delle rigidezze, sono state invece determinate le distanze dei controventi verticali (ddv) e quelli orizzontali (ddo) dal centro delle rigidezze.

Analisi dei carichi sismici

Quinto Step                                                                                                                             Attraverso questa tabella è stata determinata la forza sismica che corrisponde al prodotto tra la massa dell’edificio per l’accelerazione che il corpo subisce per effetto del trascinamento (dato dalla Normativa in riferimento alla tipologia strutturale): F= ma dove a= cg, c <1 (coeff. di intensità sismica, più è alto maggiore è il sisma) e g (accelerazione gravitazionale).

F= mcg= c(mg)= cPdove P o W (forza peso) = G (sovraccarico tot. permanente (qs+qp)Atot) x Ψ (coefficiente di contemporaneità = 0.80) x Q (sovraccarico accidentale dato dalla destinazioned’uso dell’edificio).

Ripartizione forza sismica lungo X e Y

Sesto e Settimo Step                                                                                                                       

Con questo step è stata studiata la ridistribuzione della forza sismica sui controventi orizzontali. Prima di stabilire la distribuzione della forza sui controventi, è stato necessario determinare il valore del momento torcente (rotazione dell’impalcato dovuta alla mancata coincidenza tra centro delle masse e centro delle rigidezze): Mt= Fxb dove F (Forza sismica) e b (distanza dal punto C (centro delle rigidezze) al punto G (centro delle masse)). Bisogna fare attenzione però perché essendo la forza sismica ripartita lungo X e Y, il braccio b cambia se si considera il Momento torcente lungo X o lungo Y. Infatti nel caso di X: b= (Y_C - Y_G); nel caso di Y: b= (X_C – X_G). Per determinare invece la traslazione orizzontale dell’impalcato la formula è: Uo= F/kotot mentre per quella verticale si ha: Vo= F/kvtot.

 

TRAVATURA RETICOLARE SIMMETRICA

 

 

Le strutture reticolari sono composte da aste, solitamente metalliche vincolate tra loro da cerniere. Le aste sono soggette a solo sforzo normale e si dividono in puntoni, nel caso la normale sia di compressione, e tiranti se è di trazione. Sono utilizzate soprattutto per le travature che coprono luci considerevoli, per il loro ottimo rapporto tra peso proprio e resistenza.

Seguono alcuni esempi che mettono in luce il comportamento di queste strutture soggette a carichi gravitazionali.

Ci troviamo di fronte ad una struttura doppiamente appoggiata dove l=2m, sottoposta a tre carichi di 20KN concentrati nei nodi B, D, F. Per geometria e anche per i carichi la struttura è simmetrica quindi bastera analizzare solo metà della struttura per risolverla interamente.

 

 

1_Verifica di isostaticità

Per prima cosa verifichiamo se la struttura è isostatica. Ricordiamo che una struttura è isostatica se il numero dei gradi di vincolo è uguale al numero dei gradi di libertà.

-Il numero dei gradi di vincolo è dato dalla somma dei vincoli esterni e dei vicoli interni: V = Ve + Vi                                                  -Il numero dei gradi di libertà è dato dal numero dei corpi moltiplicato per 3 (traslazione orizzonate, traslazione verticale, Rotazione) :  l = n x 3

gradi di vincolo:

La cerniera nel nodo A blocca 2 gradi di libertà, Il carrello nel nodo G blocca 1 grado di libertà: Ve = 3

I gradi di vincolo interni sono dati da 2(n-1), dove n è il numero di aste che arrivano a ciascun nodo. Quindi per ogni nodo:

A-G  2(2-1) = 2   ,  B-F  2(3-1) = 4   ,   C-D-E  2(4-1) = 6  --->   Vi = 2+2+4+4+6+6+6 = 30  

V = Ve+Vi = 3+30 = 33

gradi di liberà

La trave è composta da 11 aste quindi: l = 11 x 3 = 33

La struttura è isostatica se:                 V = l -->  33 = 33     VERIFICATO!    

 

 

2_ Calcolo delle reazioni vincolari

Adesso possiamo procedere con il calcolo delle reazioni vincolari dei nodi A e G.

Come prima considerazione diamo per certo che RuA=0, la reazione orizzontale della cerniera, sia uguale a zero in quanto non esistono nel sistema forze orizzontali da bilanciare.

Imponendo l'equilibrio alla traslazione Verticale Rv=0, troviamo invece i valori di RvA e RvG, alle quali viene ripartito simmetricamente il carico totale di 60 KN che devono bilanciare.

Quindi come nella trave appoggiata: RvA=RvG= Q/2 = 30 KN

 

3_ Calcolo delle reazioni di contatto.

La struttura è in equilibrio, ma noi vogliamo sapere come si distribuiscono gli sforzi al suo interno. In particolare essendo una travatura reticolare l'unica reazione di contatto agente sarà la Normale. Per determinarla su ogni asta ricorriamo al Metodo delle sezioni di Ritter.

Il metodo di Ritter consiste nel "sezionare" virtualemte la struttura tagliando, per ogni sezione, 3 aste che non convergono allo stesso nodo. In questo modo possiamo imporre per ogni parte, l'equilibrio alla traslazione e alla rotazione uguale a zero.

essendo la struttura simmetrica eseguiremo tre sezioni fino all'asse di simmetria della struttura in modo da sezionare almeno una volta tutte le aste:

 

Analizziamo singolarmente ogni sezione:

Da ogni asta sezionata parte una freccia che indica lo sforzo Normale, per iniziare ipotizziamo che questi siano di verso uscente, quindi che sia uno sforzo normale di trazione, dopo aver effettuato l'equilibrio assegneremo verso entrante alle aste compresse.

Adesso eseguiamo l'equilibrio di ogni singola sezione considerando che se la struttura è in equilibrio lo sarà anche una sua parte.

Iniziamo da dalla sezione_2 (perchè ho meno forze da prendere in considerazione). Le incognite da espicitare sono ovviamente le Nn nelle equazioni  dell'equilibrio alla traslazione verticale ΣFY=0, alla traslazione orizzontale ΣFX=0 e l'equilibro alla rotazione in un qualsiasi polo scelto x, ΣMx=0. si tratta quindi di impostare le equazioni più convenienti ed effettuare qualche sostituzione per le aste inclinate a 45°, dove se l'asta è Nn le sue componenti ortogonali sono (Nn)√2/2.                                                                                                    

n.b. (I vari passaggi non verranno svolti passo per passo data per scontata la conoscenza di base al lettore)  

sezione_2

ΣMC = 0  -->   (-30kN)2L + (20KN)L + (N4)L =0 -->  N4 = -40 KN  *compressa

ΣFY =0    -->   -20KN + 30KN + (N3)√2/2 =0 --> N3 = 10√2 KN *tesa

ΣMB =0   -->   (-30KN)L + (N2)L =0  --> N2 = 30 KN *tesa

sezione_1

ΣFX =0   -->   30 KN + (N1)√2/2 =0 --> N1 = -30√2 KN  *compressa

sezione_3

ΣMD =0  -->  (20KN)2L -(30KN)3L + (N5)L =0 -->  N5 = 50 KN *tesa   (asta maggiormente sollecitata) 

ΣFY =0   -->   30KN -20KN + (N6)√2/2 =0 -->  N6 = -10√2 KN  *compressa

A questo punto l'esercizio è terminato, per simmetria possiamo dedurre che il resto della struttura si comporterà in maniera speculare a quella analizzata.

Ecco il quadro di tutti gli sforzi normali con i versi corrispondenti (entrante=compresso  ;  uscente=teso ):

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 TRAVATURA RETICOLARE ASIMMETRICA

In questo caso ci troviamo sempre di fronte ad una travatura reticolare, ma al contrario della precedente questa non è simmetrica, quindi dovremo risolvere tutta la struttura per poter conoscere gli sforzi agenti su ogni asta. Procediamo per gradi.

 

1_Verifica di isostaticità 

Per verificare l'isosostacità della struttura ricorriamo alla formuna Ve + n°aste = 2(n°nodi)  da verificare, dove:

- Ve = 3   sono i vincoli esterni (2 della cerniere nel nodo B e 1 nel carrello nel nodo G)

- n°aste = 11  è il numero delle aste

- 2(n°nodi) = 14 sono il numero dei nodi moltiplicato per 2

     3 + 11 = 7 x 2  -->  14 = 14  

     verificato! la struttira è isostatica.

 

2_Calcolo delle reazioni vincolari

- Intuivamente deduciamo che la reazione verticale RvB è l'unica che puo bilanciare i carichi concentrati nei nodi C ed E, quini sarà        uguale alla loro somma con verso opposto:  RvB = 20 KN

- Le reazioni orizzontali RuB e RuG saranno uguali ed opposte e si bilanceranno a vicenda, per trovarne i valori impostiamo un              equilibrio alla rotazione nel polo B annullando l'effetto di RuB ed RvB:

   ΣMB =0   --> -(10KN)1 -(10KN)2 +(RuG)1 = 0 --> RuG = 30KN 

- di conseguenza RuB = 30KN

 

3_Calcolo delle reazioni di contatto

Per conoscere lo sforzo normale agente su ogni asta in questo esercizio utilizzeremo il metodo dei nodi, che consiste nell'equilibrare singolarmente ogni nodo individuando quali sono le reazioni di contatto con cui il nodo risponde alla sollecitazione proveniente da ogni asta. Procediamo metodicamente all'analisi di ogni nodo impostando le equazioni di equilibri alla traslazione verticale ed orizzontale:

Nodo A    

                      

ΣFx =0   -->  N1 = 0  [asta scarica]

ΣFy =0   -->  N2 = 0  [asta scarica]    

Nodo B

ΣFx =0   -->  N3 + 30KN + (N4)√2/2 = 0 -->  N3 = -10KN [asta scarica]

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DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE

 

 

 

 

L’impalcato preso in esame è uno stralcio dell’ipotesi di progetto per una abitazione a Fiumicino (RM). Il telaio di travi e pilastri è previsto in CLS ma in questa esercitazione lo utilizzeremo come base per dimensionare una trave in diverse tecnologie, Acciaio, Legno e CLS.

La trave che andremo a dimensionare è quella che in questo stralcio di pianta sopporta il carico maggiore, la trave A-B, 2 che ha un area di influenza pari a 28mq con un interasse 4,80m, e una luce di 6,00m.

 

 

Per le tre tecnologie procederemo per gradi:

 

1_Scelta del pacchetto del solaio, individuando i pesi di ogni mareriale in KN/mq

 

2_Dimensionamento dei travetti tramite foglio excel, determinando qs, qp e qa.

    qs = carico strutturale (porzione di solaio strutturale)

    qp = carico permanente non strutturale (porzione di solaio non strutturale, impianti e                     

            tramezzi)

    qa = carico accidentale (2KN/mq, dipende dalla funzione dell’edificio, in questo caso      

            una biblioteca)  

         

 

3_Dimensionamento della trave tramite foglio excel, aggiungendo il peso dei travetti al carico                         

    strutturale qs.

 

4_Verifica della trave tramite foglio excel, aggiungendo al carico strutturale qs il peso proprio della

trave.

 

 

                                

 

 

SOLAIO IN ACCIAIO

 

1_a) Scelta del pacchetto solaio.

 

1_ b) Peso dei materiali al mq.

 

• Pavimento in gres porcellanato                           0,4 KN/mq
• Massetto alleggerito Foacem  (per impianti)     1,4 KN/mq
• Soletta = cls(c25/30)+lamiera (sp8/10)               2,4 KN/mq
• Incidenza impianti                                                  0.5 KN/mq
• Incidenza tramezzi                                                     1 KN/mq

 

 

2_Dimensionamento dei travetti

 

qs_carico permanete strutturale:

       

 2,4 KN/mq (soletta+lamiera grecata)

 

- qp carico permanente non strutturale:

 

        3,36 KN/mq  = 0,4 KN/mq (pavimento) + 1,4 KN/mq (massetto) + 0,5 KN/mq (impianti) +

                                     1 KN/mq (tramezzi) + 0,06 (controsoffitto)

 

 

- qa carico accidentale

 

       2 KN/mq (abitazione)

 

 

- Qtot = qs + qp + qa = (2,4 + 3,36 + 2) KN/mq = 7,76 KN/mq

 

prendiamo come interasse approissimativo dei travetti 1m e calcoliamo il carico totale linearizzato:

 

-  Qtot linearizzato = Qtot x interasse = 7,76 KN/mq x 1m = 7,76 KN/m

 

 

 

- Scelgo la classe di resistenza dell’acciaio --> S275

 

Adesso disponendedo di tutti i valori necessari posso procedere  con il calcolo della dimensione del travetto attraverso un foglio di calcolo exel tenendo conto che:

M, momento massimo della trave è pari a ql²  /8 come il modello della trave appoggiata

fD, resistenza a flessione di progetto e pari a fy,K/1,05(coefficiente di sicurezza)

Wx, modulo di resistenza minimo della trave, che ci permettere di scegliere il nostro profilo da tabella.

 

 

- Wx = 65,33 cm^3 --> scelgo il travetto in modo che il Wx si maggiore di 65,33 cm^3

 

 

IL travetto scelto è un IPE140  S275 Wx= 77,3 cm^3

 

 

 

3_Dimensionamento della trave

 

Per dimensionare la trave procederemo come per i travetti cambiando la luce e l'interasse, logicamente differente da quello dei travetti e aggiungendo al qs il peso dei travetti, essendo questi parte strutturale del solaio.

 

 

 

qs_carico permanete strutturale:

       

 2,53 KN/mq =   2,4KN/mq (soletta+lamiera grecata) +  0,13 KN/mq (travetti)

 

 

- qp carico permanente non strutturale:

 

        3,36 KN/mq  = 0,4 KN/mq (pavimento) + 1,4 KN/mq (massetto) + 0,5 KN/mq (impianti) +

                                     1 KN/mq (tramezzi) + 0,06 (controsoffitto)

 

 

- qa carico accidentale

 

       2 KN/mq (abitazione)

 

 

- Qtot = qs + qp + qa = (2,53 + 3,36 + 2) KN/mq = 7,89 KN/mq

 

 

-  Qtot linearizzato = Qtot x interasse = 7,89 KN/mq x 4,8m =  37,9 KN/m

 

- Classe dell'acciaio--> S275

 

Calcoliamo la trave tramite il foglio excel:

 

 

Wx = 650,71 cm^3  --> scelgo il profilo con Wx maggiore di 650,71 cm^3

 

 

 

La trave scelta è un IPE 330 S275 con Wx = 713,0 cm^3

 

 

 

4_Verifica del dimensionamento della trave

 

Come gia anticipato, per la verifica della trave ci limiteremo ad aggiungere al qs(carico strutturale) il peso proprio della trave ed eseguiremo di nuovo il calcolo con il foglio excel por controllare che il Wx minimo non superi quello del profilo scelto:

 

-Peso della trave:

 

49,1 Kg/m = 0,48 KN/ m (peso della trave linearizzato) -->  0,48KN/m x 4,8m = 0,1 KN/mq  (peso della trave al mq)

 

-qs = 2,63 KN/mq

 

 

-qp = 3,36 KN/mq  

 

-qa = 2 KN/mq

 

Calcolo di verifaica:

 

 

Wx = 658,96cm^3 (Wx minimo) <   Wx = 713,0 cm^3 (Wx della IPE330 S275)

 

Il Wx minimo è minore di quello del profilo scelto -->  La trave è Verificata!

 

 

 

SOLAIO IN LEGNO

 

 

 

1_a) Scelta del pacchetto solaio.

 

Il solaio preso in considerazione è un solaio rustico in legno massello. Le dimensioni dell'impalcato non si prestano molto a questa tecnologia ma sarà comunque interessante eseguire l'esercizio anche per capire quali sono i litimi del materiale.

 

 

 

1_ b) Peso dei materiali al mq.

 

-Pavimento in cotto levigato                                    0,48 KN/mq

-Massetto tradizionale SA300T  (per impianti)    1,16 KN/m

-Tavolato 6KN/mc = 6KN/mc x (0.02x1x1) =        0,12 KN/mq 

-Incidenza impianti                                                     0.5 KN/mq

-Incidenza tramezzi                                                  0,06 KN/mq

 

 

2_Dimensionamento dei travetti

 

qs_carico permanete strutturale:

       

 0,12 KN/mq (tavolato)

 

- qp carico permanente non strutturale:

 

        3,14 KN/mq  = 0,48 KN/mq (pavimento) + 1,16 KN/mq (massetto) +

                                    0,5 KN/mq (impianti) +   1 KN/mq (tramezzi) 

                                 

 

 

- qa carico accidentale

 

       2 KN/mq (abitazione)

 

 

- Qtot = qs + qp + qa = (0,12 + 3,14 + 2) KN/mq = 5.26 KN/mq

 

   interasse da manuale del recupero del restauro di strutture orizzonatali: 0,55m

 

-  Qtot linearizzato = Qtot x interasse = 5.26 KN/mq x 0,55m = 2,89 KN/m

 

   Scelgo per la realizzazione dei travetti il legno lamellare BS14 con classe di resistenza GL28 

   

 

Andiamo ad eseguire il calcolo con il foglio excel, considerando che:

 

M,  momento massimo della trave è Ql^2/8

fm,k  è la resistenza del legno, valore tabellato dato dalle caratteristiche del materiale 28 N/mmq

K,mod,  coefficiente correttivo che tiene conto della permanenza del carico e dell'usura della struttura 0,5

ym, coefficiente di sicurezza 1,45

fD , resistenza di progetto data la fm,k*Kmod / ym = 28N/mmq x 0,5 / 1,45 = 9,66 N/mmq

b , è la base del travicello che prendiamo 10 cm

h , è l'altezza del travetto con la quale possiamo dimensionare il nostro elemento

 

 

h = 19,91 cm -->  il travicello scelto è il BS14 Gl28 10 x 22 cm

 

 

3_Dimensionamento della trave

 

 

qs_carico permanete strutturale:

 

peso travicelli -->  (0,1x0,22x1)m x 6 KN/mc = 0,13 KN/mq

       

 0,25 KN/mq (tavolato + travicelli)

 

 

 

- qp carico permanente non strutturale:

 

        3,14 KN/mq  = 0,48 KN/mq (pavimento) + 1,16 KN/mq (massetto) +

                                    0,5 KN/mq (impianti) +   1 KN/mq (tramezzi) 

                                 

 

 

- qa carico accidentale

 

       2 KN/mq (abitazione)

 

 

- Qtot = qs + qp + qa = (0,25 + 3,14 + 2) KN/mq = 5.39 KN/mq

 

   

-  Qtot linearizzato = Qtot x interasse = 5.39 KN/mq x 4,80m = 25,9 KN/m

 

-classe di resistenza del legno lamellare GL28

 

Calcoliamo la sezione della trave con il foglio excel:

 

 

h = 49,11 -->   la trave scelta è il BS14 Gl28 30 x 55 cm

 

 

 

 

4_Verifica del dimensionamento della trave

 

 

-Peso della trave:

 

  (0,3x0,55x1)m x 6 KN/mc = 0,99 KN/mq

 

-qs = 1,24 KN/mq

 

-qp = 3,14 KN/mq  

 

-qa = 2 KN/mq

 

Calcolo di verifica:

 

 

h = 53,43 <  55 (h della trave scelta)

 

h della sezione trovata aggiungendo il peso proprio della trave non supera quella della sezione scelta, la trave è Verificata!

 

 

 

 

 

SOLAIO IN CLS

 

 

1_a) Scelta del pacchetto solaio.

 

Il solaio preso in considerazione è un solaio tradizionale di pignatte e travetti in cemento precompresso, per l'analisi dei carici ci affidiamo ai valori tabellati forniti dal produttore in questo caso  EDILTACCONI s.p.a.

 

 

 

 

 

 

 

 

1_ b) Peso dei materiali al mq

 

-Pavimento in gress porcellanato            0,4 KN/mq

-Isolante acustico                                      0,62 KN/mq

-pacchetto : caldana

                      pignatte

                      travetti

                      getto di completamento        2,8 KN/mq  (valore tabellato) 

-Intonaco                                                       0,3 KN/mI

-Incidenza impianti                                      0.5 KN/mq

-Incidenza tramezzi                                        1 KN/mq

 

 

 

 

2_Dimensionamento della trave

 

qs_carico permanete strutturale:

       

  2,8 KN/mq  (valore tabellato)

 

 

- qp carico permanente non strutturale:

 

        2,82 KN/mq  = 0,4 KN/mq (pavimento) + 0,62 KN/mq (isolante) + 0,3 KN/mq (intonaco) +

                                    0,5 KN/mq (impianti) +   1 KN/mq (tramezzi) 

                                 

 

- qa carico accidentale

 

       2 KN/mq (abitazione)

 

 

- Qtot = qs + qp + qa = (2,8 + 2,82 + 2) KN/mq = 7,62 KN/mq

 

 

-  Qtot linearizzato = Qtot x interasse = 7,62 KN/mq x 4,8m = 36,5 KN/m

 

Adesso devo scegliere la classe di resistenza del materiale, nel calcestruzzo sia l'acciao che il cemento svolgono un importante ruolo 

strutturale quindi dobbiamo scegliere

 

-classe di resistenza delle barre d'acciaio B450A  fy,k = 450 MPa (utilizzata in zona sismica)

-classe di resistenza del calcestruzzo C40/50 (40=Fck resistenza cilindrica  -  50=Rck resistenza cubica)

 

Effettuiamo il dimensionamento della trave tenendo conto che:

 

M, è il momento massimo della trave Ql^2/8 dato dal modello della trave appoggiata

fy,  è la resistenza delle barre 450 MPa

fy,k è la resistenza diviso il coefficiente di sicurezza dell'accio per armature   450Mpa/ 1,15 = 391,30 N/mmq 

Rck è la resistenza cunica del cemento 50 N/mmq

Fcd è la tensione di progetto data Rck/1, 5 (coefficiente di sicurezza)

b è la base della sezione della trave 25cm 

delta sono i centimetri di cemento destinati al copriferro che non hanno funzione strutturale

H infine è l'altezza della sezione della trave

 

 

 

H = 34,43 --> scelgo una trave 25x40 cm

 

 

4_Verifica del dimensionamento della trave

 

 

-Peso della trave:  

il foglio excel mi fornisce il peso al metro lineare, dividendolo per l'interasse ottengo il peso al metro cuadro

 

 2,15 KN/m  /  4,8m =  0,45 KN/mq

 

-qs =  3,25 KN/mq 

 

-qp =   2,82 KN/mq  

 

-qa =   2 KN/mq

 

Calcolo di verifica:

 

 

H = 35,29 cm   <  H = 40 cm (altezza della sezione scelta)

 

L'altezza della sezione ricalcolata con il peso proprio della trave è minore dell'altezza scelta in precedenza

 

la trave è Verificata!

 

 

 

 

STRUTTURA RETICOLARE SPAZIALE

 

 

In questa esercitazione ci occuperemo del disegno l’analisi e il dimensionamento di una struttura reticolare spaziale con modulo cubico (2x2x2)m e dimensioni (8x12x2h)m. Disegneremo la nostra struttura utilizzando come base Autocad, importeremo poi il disegno su SAP2000 per eseguirne l’anasisi strutturale e il dimensionamento.

 

1_disegno della struttura

 

 

Apriamo un nuovo file di Autocad e creiamo un nuovo layer che rinomineremo “aste”.

 

Questa operazione ci permettera di assegnare al layer la funzione Frames su SAP.

 

Sul layer appena creato iniziamo a disegnare la struttura partendo dall’ origine degli assi (0,0,0) in modo da ritrovare facilmente il disegno una volta importato su SAP.

 

Il modulo di base della reticolare spaziale sarà un cubo di lato 2m. Disegnamo quindi con il comando “Plilinea” tre lati e una diagonale lasciando appositamente aperto un lato del quadrato.

 

 

 

 

 

Utilizzando il comando “Arrey” ripetiamo lungo l’asse X il disegno di base per quattro con distanza 2m in modo da definire i moduli del lato corto della nostra piastra pari a 8m ossia 4 moduli.

 

Da questa operazione possiamo renderci conto dell’importanza di aver lasciato aperto un lato del quadrato iniziale, così facendo non avremo sovrapposizioni di polilinee nel disegno.  

 

 

 

 

 

Passiamo ora al disegno in tre dimensioni utilizzando il comando “orbita” (o più facilemente Shift+Rotellina).

 

Utilizzando il comando “Ruota3d” ruotiamo intorno all’asse X di 90° in modo da avere l’intero disegno sul piano X,Z. 

 

Abbiamo definito lungo l’asse Z altezza della nostra piastra pari 2m ossia un modulo.

 

 

 

 

 

Cambiano il sistema di riferimendo UCS sul piano Y,Z  disegnamo le aste rimanenti per completare il modulo cubico lasciando aperto questa volta un intera faccia del cubo.

 

Ancora utilizzando il comando Arrey ripetiamo il disegno per 4 volte lungo X con distanza 2m.

 

Abbiamo disegnato un intera riga della nostra piastra.

 

 

 

 

Concludiamo il disegno ancora una volta con il comando “arrey” questa volta lungo Y sempre con distanza 2m ripetendo la riga per 6 volte.

 

Cancelliamo le linee aste in eccesso  con l’accortezza che ogni modulo della piastra sia completo su ogni faccia. 

 

Abbiamo disegnato la nostra piastra reticolare spaziale.

 

 

2_definizione della struttura su SAP2000

 

 

 

Per effettuare l'analisi della struttura ci affideremo come gia detto a SAP2000.

 

Salviamo il file di Autocad con estenzione .dxf 2007 in modo da poterlo importare su SAP.

 

Apriamo quindi SAP e scegliamo subito come unità di misura KN,m,C°

Una volta importato il file SAP ci chiede se qualche layer corrisponde ad eventuali elementi strutturali, assegneremo al nostro unico layer “Aste” la funzione di frames.

 

 

 

 

Per poter analizzare il comportamento strutturale della nostra piastra reticolare spaziale dobbiamo prima definirla come modello strutturale in modo che SAP possa riconoscerla.

Procediamo con ordine definendo :

• vincoli esterni
• vincoli interni
• materiale delle aste
• sezione delle aste
• eventuali carichi (per poter apprezzare la deformata della struttura)

 

-vincoli esterni

 

 

Selezioniamo i 4 vertici inferiori della piastra e assegnamo a questi come vincoli esterni le Cerniere.

 

 

 

-vincoli interni

 

Esssendo una Reticolare spaziale dobbiamo imporre che agli estremi delle aste siano rilasciati i momenti simulando in questo modo la presenza di una cerniera interna in prossimità dei nodi della struttura. 

 

Selezioniamo tutte le aste e imponiamo il rilascio dei momenti 2,2 e 3,3 in tutti i nodi della struttura.

 

 

 

 

 

 

 

-materiale delle aste

 

 

Per assegnare il materiale alle aste dobbiamo prima definirlo.

Creiamo un nuovo materiale “acciaio” assegnando come tipo di materiale “Steel”.

Una volta definito possiamo assegnarlo alle nostre aste.

 

 

-sezione delle aste

 

 

Allo stesso modo definiamo prima una sezione, in questo caso “tubolare”, alla quale possiamo assegnare il materiale “acciaio”.

Una volta definita la sezione possiamo assegnarla alle aste.

 

 

 

 

 

 

Una volta terminate queste operazioni la nostra struttura appare in questa maniera con tutte le aste definite con sezione e materiale.

 

 

 

-carichi

 

 

Anche i carichi prima di essere assegnati devono essere definiti.

Quindi definiamo un carico gravitazionale di -40kN (segno meno in modo da averla rivolta verso il basso),

che chiameremo “Forza Concentrata”.

 

 

 

 

Una volata definito il carico dobbiamo assegnarlo alla struttura, ovviamente essendo una struttura reticolare dobbiamo assegnarlo sui nodi superiori. Per selezionarli dobbiamo spegnere momentaneamente le aste attraverso il comando “set display options” --> “frame not in view” e “joints not invisible”.

 

 

 

 Selezionando la vista 2D del piano Z,X possiamo facilmente selezionare i nodi superiori della struttura.

 

 

 

Adesso possiamo assegnare ai seguenti nodi il carico “forza concentrata” gia definito in precedenza.

 

 

Dalla vista 3d possiamo osservare la distribuzione delle forze concentrate su tutti i nodi superiori della struttura.

 

 

 

La struttura è modellata in maniera corretta affinché SAP possa riconoscerla, quindi procediamo lanciando l’analisi.

 

3_analisi della struttura

 

Lanciamo l'analisi ricordando di far analizzare i carichi di default.

 

 

 

SAP ci chiederà di salvare il file, dopo di che sarà subito possibile osservare la deformata della struttura sotto l'azione delle

forze concentrate.

 

 

 

Seguono i diagrammi dello sforzo Normale, rosso se di compressione e giallo se di trazione.

 

 

 

 

 

 

 

 

In oltre SAP ci offre le tabelle dove vengono specificati gli sforzi normali agenti su ogni asta, individuiamo l’asta più compressa e quella più tesa, e procediamo con il loro dimensionamento.

 

   

 

4_predimensionamento

 

 

Nmax (trazione)=   263,469 KN

 

Nmax (compressione)=  -385,631 KN

 

 

-progetto dell’asta tesa

 

 

Per prima cosa definiamo la tensione di progetto      -->   fD = fy / γm

 

 

fD = tensione di design

fy = tensione di snervamento  = dipende dal tipo di acciano in questo caso scegliamo S275  

                                                    fy=275 MPa

γm = coefficiente di sicurezza = 1,05

 

 

fD =  275 MPA / 1,05 = 261,9 MPa

 

Definita la tensione di progetto possiamo definire anche l’area della sezione utilizzando la formula

 

fD = N / A   -->   A = N / fD

 

A =  area della sezione

N =  Sforzo normale massimo di trazione    -->       263,469 KN = 263469 N

fD = tensione di progetto                              -->       261,9 MPA = 261,9 N/mm^2

 

 

A = 263469 N / 261,9 N/mm^2 =  1005,99 mm^2 = 10,06 cm^2

 

Scelgo quindi dalle tabelle una sezione con un area maggiorne di quella calcolata:

 

 

IL profilo scelto ha :

 

diametro 114,3 mm

spessore 3,6 mm

 

Area della sezione 12,50 cm^2 

 

 

 

-progetto dell’asta compressa

 

Per il progetto dell’asta compressa eseguo lo stesso procedimento dell’asta tesa cambiando N, che questa volta sarà quello di compressione N = 385,631 KN, quindi:

 

A = 385631 N / 261,9 N/mm^2 =  1472,4 mm^2 = 14,72 cm^2

 

 

 

 

 

 IL profilo scelto ha :

 

diametro 139,7 mm

spessore 3,6 mm

 

Area della sezione 15,40 cm^2

 

Per il progetto dell'asta compressa ci preoccuperemo di esguire anche la verifica a stabilità o Verifica del carico critico Euleriano.

 

Dobbiamo quindi verificare che il carico di punta P ,ovvero il nostro sforzo massimo di compressione Nmax

sia inferiore al carico critico euleriano P_crit , per il quale l'asta tenderebbe a sbandare e risulterebbe quindi instabile. 

 

  P  <  P_{crit     -->}         P_crit = π² x E x Jmin / l0²

 

 dove:        E = modulo elastico a compressione

         Jmin = momento di inerzia minimo della sezione, in questo caso uguale in tutte e due le direzione in quando

                    la sezione è circolare.

              lo = luce libera di inflessione, ossia la distanza tra due flessi dell'onda di sbandamento, questo valore dipende 

                     dalla lunghezza dell'elemento e da i suoi vincoli esterni, in questo caso due cerniere quindi lo = l ,

                     l = √2 m = 2,8 m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                         

TRAVI RETICOLARI

Le travi reticolari sono strutture composte da aste che possono essere solo tese (tiranti) o solo compresse (puntoni), collegate tra di loro tramite cerniere interne. Trascurando il peso delle aste e in presenza di forze concentrate, la struttura è così soggetta ai soli sforzi assiali.

1.      Risolvere la travatura reticolare asimmetrica col metodo dei nodi

1.   Verifica dell’isostaticità della struttura

·         La struttura è isostatica se il numero dei gradi di vincolo è pari al numero dei gradi di libertà della struttura: n°gdv=n°gdl

n°gdl Si calcola moltiplicando il numero degli elementi per 3 che è il numero dei gradi di libertà nel piano di ciascun corpo.                     Quindi abbiamo:      n°gdl= 11 (n° delle aste)*3=33.

n°gdv Si calcola sommando i vincoli esterni ai vincoli interni. n°gdv=Ve+Vi

La struttura presenta 3 vincoli esterni : Ve=3  (2 gradi di libertà bloccati dalla cerniera e 1 grado di libertà bloccato dal carrello)

Il numero dei vincoli interni della struttura si calcola applicando, per ogni nodo,  Vi=2*(n-1) dove n rappresenta il numero di aste che convergono nel nodo.

Vi A-G           n=2       2*(2-1)=2

Vi B-D-E        n=3       2* (3-1)=4

Vi F                n=4        2*(4-1)=6

Vi C                n=5        2*(5-1)=8

Vi= 2*2 + 4*3 + 6 + 8= 30

n°gdv= Ve+Vi= 3+30=33= n°gdl  quindi l’isostaticità è verificata

·         Un altro metodo consiste nel verificare che Ve + a = 2*n°nodi         dove a è il numero delle aste.

Per cui abbiamo 3+11 = 2*7

         14=14       Anche in questo modo l’isostaticità è verificata

 

2.   Calcolo delle reazioni vincolari

Imponendo l’equazione di bilancio alla traslazione verticale ottengo che V(B)= 20kN.

Attraverso l’equazione di bilancio ai momenti M(B) ottengo che U(G)= 30kN

Imponendo l’equazione di bilancio alla traslazione orizzontale ottengo che U(G)= U(B) =30kN

 

 

3.   Calcolo delle azioni di contatto

A questo punto vado a calcolare le forze lungo le aste mediante il metodo dei nodi. Questo metodo si basa sull’assunto che il modello tramite cui studiamo le travature reticolari considera le forze concentrate sui nodi; sapendo questo, e sapendo che le aste sono soggette al solo forzo normale, possiamo andare a studiare il sistema in 2modi

·         Attraverso l’equilibrio al nodo, scomponendo le forze che agiscono su ogni nodo e applicando le equazioni di bilancio alla traslazione orizzontale e verticale (in quanto le cerniere sono soggette solo a sforzi assiali, per cui tutte le forze che vi convergono hanno braccio nullo producendo, quindi, azioni di momento nulle)

·         semplicemente secondo il metodo geometrico utilizzando la regola del parallelogramma per la scomposizione delle forze

Utilizzare entrambe le procedure può essere anche uno strumento di verifica.

NODO A

Poste le incognite N1 e N2 (decido arbitrariamente se  le aste sono soggette a trazione o compressione e cambio il verso se il risultato è negativo), osserviamo subito come le aste 1 e 2 siano scariche.

NODO B

Scomponendo N3 nelle sue componenti e imponendo l’equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale ottengo che le aste 3 e 4 sono compresse.

Andiamo a studiare lo stesso nodo tramite il metodo geometrico: questo metodo consiste nello scomporre tutte le forze che agiscono sul nodo tramite la regola del parallelogramma (sempre seguendo l’inclinazione delle aste della trave delle quali sto cercando i contributi), una alla volta, e sommare quelli che risulteranno essere i contributi di diverse forze agenti lungo la stessa retta d’azione. Scompongo così la forza verticale pari a 20 kN lungo la direzione delle aste 3 e 4 e trovo velocemente i contributi di queste aste verificando il risultato precedentemente trovato.

NODO D

Notiamo subito come l’asta 5 sia scarica e l’asta 6 debba dare un contributo opposto a quello imposto, ossia debba essere compressa.

NODO C

 

Scompongo i contributi delle aste 5 e 7. Ottengo che l’asta 7 è tesa, mentre l’asta 8 è compressa. Verifico i risultati mediante il metodo geometrico.

NODO F

Risolvo il nodo F applicando direttamente il metodo geometrico. Ottengo che l’asta 11 è scarica mentre l’asta 9 è compressa.

NODO G

Essendo scarica l’asta 11, l’unico contributo incognito nel nodo in questione è quello dell’asta 10 che risulta essere compressa.

A questo punto posso disegnare l’intera struttura e vederla nel suo complesso.

4.   Verifica della struttura con SAP2000

Disegno la struttura mediante una griglia. Annullati i momenti all’inizio e alla fine di ogni asta, assegno i vincoli esterni. Dopo aver assegnato una sezione tubolare alle aste e definito il materiale, in questo caso l’acciaio, creo un carico concentrato (in Load Patterns) e lo assegno ai nodi C ed E. Mando infine l’analisi.

 

2. Risolvere la travatura reticolare simmetrica col metodo delle sezioni

1.   Verifica dell’isostaticità della struttura

Come già visto al punto 1 dell’esercizio 1 verifichiamo l’isostaticità della struttura.

n°gdv=n°gdl

n°gdl = 11 (n° delle aste)*3=33

n°gdv=Ve+Vi

Vi B-G                       n=2   2*(2-1)=2

Vi A-F                        n=3   2*(3-1)=4

Vi C-D-E                    n=4      2*(4-1)=6

Vi= 2*2 + 4*2 + 6*3= 30

n°gdv= Ve+Vi= 3+30=33= n°gdl  quindi l’isostaticità è verificata

 

2.   Calcolo delle reazioni vincolari

In questo caso le reazioni vincolari in (B) ed in (G) dovute alla cerniera ed il carrello, si calcolano semplicemente imponendo l’equilibrio alla traslazione verticale (come nel caso di una trave appoggiata) e data la simmetria del sistema i vincoli si ripartiscono equamente la reazione ai carichi applicati (60kN).

RU(A) è nulla non dovendo bilanciare nessun’altra forza orizzontale.

 

 

3.   Calcolo delle azioni di contatto

Per mettere in evidenza le azioni di contatto (che in questo caso sono gli sforzi normali nelle aste) dobbiamo effettuare un taglio virtuale della struttura in due parti tramite una sezione di Ritter. Dicesi sezione di Ritter una sezione che divide in due la struttura tagliando tre aste non convergenti nello stesso nodo.

SEZIONE 1

Una volta effettuato il taglio virtuale, si mettono in evidenza gli sforzi normali agenti sulle sezioni delle aste tagliate. Disegnare le forze (N1), (N2) ed (N3) uscenti dalla sezione vuol dire considerare in prima ipotesi che le aste sezionate siano sottoposte a trazione (tiranti). Posso scegliere arbitrariamente il verso di queste forze, in quanto sarà il risultato delle equazioni di equilibrio che confermerà il verso delle azioni di contatto o deciderà che il verso è opposto: in tal caso l'asta risulterà in compressione (puntone). A questo punto, per determinare i valori di (N1), (N2) ed (N3), userò l'assioma di bilancio che sancisce - per una struttura deformabile - l'equilibrio di tutte le forze agenti sulla generica parte.

Le incognite sono tre e tre sono le equazioni di bilancio a nostra disposizione. Quindi il problema è risolvibile.

La regola che viene suggerita è quella di scrivere tre equazioni di equilibrio a rotazione, cambiando ogni volta il polo, che viene scelto nel punto di incontro di due delle tre aste tagliate.

Per esempio: nel nodo (C) convergono due delle tre aste sezionate; ciò implica che nell'equazione di equilibrio del momento rispetto a (C), rimarrebbe una sola forza incognita, ossia l'azione di contatto dell'asta che non converge in C. Otteniamo così che N4 = -40 kN , è un risultato negativo, per cui ne concludiamo che l’asta 4è un puntone. Allo stesso modo, mediante l’equilibrio dei momenti rispetto ad A, trovo il contributo dell’asta 2 pari a 30 kN, che risulta essere uno sforzo di trazione. Per calcolare (N3) potrei imporre l’equilibrio a momento intorno al nodo (B) o più comodamente l’equilibrio alla traslazione verticale dell’intera sezione (che si può anche interpretare come l’equilibrio a momento rispetto ad un punto che si trova all’infinito).

Scomponendo la forza nelle sue componenti orizzontale e verticale imponendo le equazioni di equilibrio alla traslazione otteniamo che N3 è una forza di trazione, quindi l’asta 3 è un tirante

SEZIONE 2

Della prima parte di trave che stiamo studiando l’unica asta di cui non conosciamo il comportamento è l’asta 1, che non era stata sezionata. Andiamo a fare una seconda sezione di Ritter:

Conoscendo il valore di (N2), possiamo scrivere sia l’equilibrio alla traslazione verticale che l’equilibrio alla traslazione orizzontale, i cui risultati non potranno differire tra di loro. Dall'equilibrio alla traslazione orizzontale, otterremo

che N1 è uno sforzo assiale di compressione.

SEZIONE3

Mediante l’equilibrio ai momenti rispetto a D, troviamo il contributo dell’asta 6, che risulta essere un tirante. Mediante l’equilibrio alla traslazione orizzontale troviamo invece la forza N7, che è una forza di compressione.

 

Ovviamente la struttura è simmetrica, nonché caricata simmetricamente, per cui tutti i valori finora trovati li possiamo riportare sulla parte di trave che per ora non abbiamo considerato, ottenendo

4.   Verifica della struttura con SAP2000

Come già visto nel punto 4 dell’es. 1, verifico la correttezza dell’esercizio svolto con SAP2000.

Parliamo, come nell’es.1 di strutture isostatiche e quindi teoricamente risolvibili medianti le condizioni di equilibrio (senza le informazioni riguardanti la geometria della sezione e il materiale); tuttavia occorre dare queste informazioni sulla travatura reticolare al SAP  in quanto  quest’ultimo utilizza il metodo degli spostamenti (la maggior parte delle strutture sono iperstatiche e questo metodo ne permette la risoluzione).

 

 

 

 

ESERCITAZIONE_DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE A FLESSIONE 

Prendo in analisi l’ impalcato di un solaio ad orditura semplice oggetto di un esercitazione all’interno del Laboratorio di Costruzione 1C.

La trave più sollecitata è quella AB lungo il filo 2 ed è soggetta a un carico la cui area di influenza (tratteggiata in rosso) è pari a

A= L x i = 4,70 x 3,375 = 15,86 mq

dove L= luce

         i= interasse

 

 

 

 

 

Prima di passare al dimensionamento della trave occorre calcolare il carico totale del solaio per unità di lunghezza gravante sulla trave, carico necessario per dimensionare la trave stessa. Esso è dato dalla somma dei 3 tipi di carico caratterizzanti l’area di influenza e misurati in KN/mq (carico esercitato da un’unità di superficie) moltiplicati per l’interasse dell’area di influenza.

 

• Il peso proprio (Qs) della struttura è ovviamene il carico che il peso della struttura stessa esercita su se stessa. Dipende quindi dal volume dell’elemento strutturale e dal materiale con cui è realizzata, in particolare dal suo peso specifico.

• Il carico permanente (Qp) è il carico esercitato sull’elemento strutturale dagli elementi costruttivi fissi che esso deve sorreggere. Esso quindi dipende dal numero di elementi fissi che la struttura deve reggere e dal materiale con cui essi sono realizzati.

• Il carico accidentale (Qa) è il carico relativo all’utilizzo a cui è sottoposta la struttura: essi possono essere o meno presenti ed attivi sulla struttura stessa ( ad esempio gli spettatori in una sala cinematografica, una colonna di tir su un viadotto) nonché i carichi di origine ambientale a cui essa potrebbe essere soggetta (come il carico da neve nel caso di una struttura a capriata portante di una copertura). Si tratta di un valore tabellato che varia in base alle varie categorie di edifici. Di seguito alcuni valori.

Ambienti ad uso residenziale                                                                                  2KN/mq

Uffici                                                                                                                        2÷3 KN/mq

Ambienti suscettibili di affollamento                                                                        3÷5 KN/mq

Ambienti ad uso commerciale                                                                                 4÷5 KN/mq

Biblioteche, archivi, magazzini, depositi, laboratori manifatturieri                          ≥6 KN/mq

 

Nel calcolo del carichi strutturali e permanenti (come già detto espressi in mq) sommeremo il carico di ogni elemento del nostro pacchetto di solaio (differente in base alla tecnologia scelta) , considerando che Q= ps (peso specifico del materiale espresso in kg/m3 ) x h (altezza elemento).

Ad esempio prendendo ad esempio in considerazione una lastra di calcestruzzo da 1m x 1m e sp. 0,05 m

Si ha che P = V x γ = volume x peso specifico (espresso in kg)  P= 1m x 1m x 0,05 m x 2500 kg/mc = 125  kg

Sappiamo che 1kg è circa uguale a 10 N per cui  Q= 1,25 kN

Vogliamo sapere il carico della lastra per unità di superficie = Q/A = 1,25 KN / 1 mq = 1,25 KN/mq

È per questo motivo che più rapidamente, per calcolare il carico  si moltiplica il peso specifico per l’altezza dell’elemento e si effettua la trasformazione da kg a kN.

Nel calcolare il volume dell'elemento strutturale si considera quindi lo spessore dell'elemento e l'area di 1 mq.

Se si dispone già del peso per unità di superficie, spesso fornito dalle ditte produttrici in quanto riferito ad altezze standard dei materiali si inserirà direttamente il valore nella sommatoria dei carichi.

Nel calcolo del carico totale di un solaio composto da travi principali e travi secondarie, occorre sapere, all’interno dei carichi strutturali, il peso proprio della trave secondaria.

Andremo quindi a progettare a flessione anche la trave secondaria, verificando la sezione aggiungendo alla sommatoria dei carichi il peso proprio della trave stessa.

Col carico totale ( comprensivo quindi del peso strutturale dei travetti) dimensiono in questo modo la sezione della trave principale, andando a verificare anche qui che la sezione sia in grado di portare il suo peso proprio.

 

 

 

 

 

 

DIMENSIONAMENTO TRAVE IN LEGNO

Supponiamo di prendere in considerazione il solaio in legno rappresentato.

1. Trave principale in legno lamellare di abete ps= 400 kg/mc

2. Controsoffitto in gesso rivestito accop
piato con micro lamina di alluminio (barriera al vapore) sp. 9,5 mm P= 8,2 Kg/mq

3. Tavole di supporto al controsoffitto in legno d’abete sp 20 mm ps 0,75 kg/dmc

4. trave secondaria in legno lamellare di abete ps= 400 kg/mc

5. Pannello per isolamento termico in lana di roccia sp.80 mm ps 90 kg/m3

6.Piano di masonite sp 1,9 cm 950 kg/mc

7. Massetto in calcestruzzo alleggerito 350kg/mc sp 5 cm

8. Strato isolante fono assorbente in polietilene espanso reticolato con interposta lamina di piombo(barriera al vapore) sp 6 mm 4,05 kg/mq

9. Sottofondo pavimento 1800kg/mc 3cm

10. Pavimento in cotto 13 mm 28 kg/mq

 

DIMENSIONAMENTO DEL TRAVETTO    (maggiormente sollecitato, di luce 4,25 m)                        

Analisi dei carichi

Peso strutturale:        6.  Piano di masonite:  P = 950 kg/mc x 0,019 m =  18,05 kg/mq ≈ 0,18 kN/mq

Peso permanente:

2.Controsoffitto in gesso rivestito accoppiato con micro lamina di alluminio (barriera al vapore): P= 8,2 Kg/mq ≈ 0,08 kN/mq

3.Tavole di supporto al controsoffitto in legno d’abete P= 0,02 m x 0,75 kg/0,001mc = 15 kg/mq ≈ 0,15 kN/mq

5.Pannello per isolamento termico in lana di roccia P = 0,08m x 90 kg/mc = 7,2 kg/mq ≈ 0,07 kN/mq

7.Massetto in calcestruzzo alleggerito P= 350kg/mc x 0,05 m =17,5 kg/mq ≈ 0,17 kN/mq

8.Strato isolante fono assorbente P= 4,05 kg/mq ≈ 0,04 kN/mq

            9. Sottofondo pavimento P= 1800kg/mc x 0,03m = 54 kg/mq ≈ 0,54 kN/mq

10. Pavimento in cotto P= 28 kg/mq ≈ 0,28 kN/mq

 

Incidenza impianti Q= 0,5 kN/mq

Incidenza tramezzi Q= 1 kN /mq

 

Carico accidentale:         2kN/mq (per ambiente ad uso residenziale)

Carico totale per unità di superficie: 5,01 kN/mq

A questo punto conosciamo anche il carico espresso in densità lineare:

 q= 5,01 kN/mq x 0,94m = 4,70 kN/m

Considerando che la trave è appoggiata siamo anche in grado di trovare il momento massimo che agisce sulla sezione, sapendo che si trova in mezzeria ed è pari a ql^2/8. Ora è quindi possibile dimensionare la sezione stessa. La nostra incognita è proprio l’altezza della sezione.

Dimensionamento della sezione del travetto

Sappiamo che Wx= Mx/fD dove Mx è il momento massimo appena trovato (fissate nel progetto la luce e il materiale) ed fD è la tensione di progetto ( dato che deriva dall’abbattimento del valore della resistenza del materiale) vogliamo trovare il più piccolo modulo di resistenza della sezione affinché la formula sia verificata e la sezione abbia dimensioni adeguate per mantenerci distanti dalla crisi.

Supponiamo che il travetto analizzato abbia una resistenza a flessione pari a 28 N/mmq.

Mentre per il legno ci interessa la distanza dal valore di rottura , così come per il calcestruzzo, per l’acciaio ci interessa la distanza dallo snervamento essendo un materiale duttile.

 

 

 

 

 

La resistenza del legno viene abbattuta due volte, in quanto oltre al coefficiente di sicurezza γm, influsce un altro fattore moltiplicativo molto basso (k mod) che tiene conto della durata del carico e di fattori  legati all’umidità ambientale. Complessivamente il legno ha quindi il fattore di sicurezza più alto rispetto agli altri materiali. 

 

fD= kmod x fk / γm = 0,6 x 28 N/mmq / 1,45 = 11,59 N/mmq

 

 

Trovata la tensione di design, sappiamo innanzitutto che la sezione rettangolare resiste meglio data la sua inerzia, la quale è una caratteristica geometrica della sezione che varia in base alla distanza dell’area dal centro. Dalla formula di Navier, infatti, σ= Mx/Ix x ymax (come ricordiamo esprime l’andamento della tensioni normale nella sezione della trave inflessa) vediamo che per abbattere la tensione del materiale ci vogliono grandi momenti di inerzia.  Di conseguenza il modulo di resistenza è un valore fondamentale essendo W=Ix/ymax. Osservando anche σ= Mx/Wx vediamo anche qui come grandi Wx abbattano la tensione.

Mettendo ora a sistema Wx= Mx/fd e Wx=bh^2/6 (il modulo di resistenza di una sezione rettangolare), otteniamo che Mx/fD = bh^2/6. Scrivendo l’equazione in funzione dell’altezza e fissando il valore alla base siamo così in grado di trovare la nostra incognita.

Il foglio elettronico ci permette molto rapidamente di effettuare questi calcoli.

 

 

Fissato il valore della base pari a 10 cm, otteniamo il valore minimo dell’altezza che ci consente di mantenerci distanti dalla crisi. Dalla tabella relativa alle sezioni standard per travature in legno lamellare scelgo la sezione del travetto affinché l’altezza sia almeno pari o superiore a quella trovata. In questo caso scelgo un TRAVETTO GL28 DI SEZIONE 10X24 CM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Verifico peso proprio travetto

A questo punto verifico che la sezione sia in grado di portare oltre i carichi del solaio sopra calcolati anche il suo peso proprio che andrà aggiunto ai carichi strutturali.

Carico per unità di lunghezza = ps x A sezione

Carico per unità di superficie= carico per unità di lunghezza x 1/interasse

P= 400 kg/mc x 0,10 x 0,24 m x 1/0,94m =  10,21 kg/mq ≈ 0,1 kN/mq    

 

 

Il dimensionamento è corretto.

È possibile osservare come cambiando la resistenza del materiale cambi la sezione, scegliendo infatti un legno GL24 e imponendo lo stesso valore della base imposto nei calcoli precedenti (10 cm) vediamo come l’altezza della sezione aumenti (h minima 25, 35cm contro i 23,47 cm trovati sopra).

DIMENSIONAMENTO DELLA SEZIONE DELLA TRAVE (maggiormente sollecitata di luce 4,70 m)

Ora, con lo stesso metodo, sono in grado di calcolare la sezione della trave.

Conosco l’interasse, i carichi che gravano su di essa (escluso il peso proprio che andrà poi verificato come fatto per il travetto), la luce e di conseguenza la massima sollecitazione a flessione (in mezzeria anche qui considerando la trave appoggiata).

 

 

Anche in questo caso abbatto la resistenza del materiale trovando la tensione di design e sono così in grado di definire l’altezza.

 

 

Scelgo una TRAVE GL 28 DI SEZIONE 20X40

Verifico peso proprio trave

A questo punto verifico che la sezione sia in grado di portare oltre i carichi del solaio sopra calcolati anche il suo peso proprio che andrà aggiunto ai carichi strutturali.

P= 400 kg/mc x 0,20m x 0,40 m x 1/3,375 m =  9,48 kg/mq ≈ 0,09 kN/mq

 

 

Il dimensionamento è corretto.

 

DIMENSIONAMENTO TRAVE IN CLS

Nel corso del laboratorio di costruzione si chiedeva di dimensionare le travi dell’impalcato in base a formule empiriche che mettevano in rapporto l’altezza della trave con la sua luce, ad esempio nel caso del calcestruzzo, secondo la relazione h= 1/10 L

Prendiamo in esempio la trave più sollecitata otteniamo che la sua altezza si aggira intorno ai 47 cm.

Questa relazione è data dal fatto che se possiamo esprimere l’altezza come

h= √6Mx/fD b       >         h= √6qL^2/8 fD b            >             h= L √3q/4 b fD                >             h= Χ L

Vediamo come L sia la grandezza importante che influisce sul dimensionamento.    

Voglio ora dimensionare la trave in maniera precisa utilizzando anche il foglio elettronico come strumento di verifica.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pacchetto del solaio analizzato:

 

 

 

 

 

 

 

DIMENSIONAMENTO TRAVETTO

Analisi dei carichi

Peso strutturale:

      2.       Pignatte                              P= 5 kN/mc x 0,15m x 0,36 m x 1/0,5 m =  0,54 kN/mq

      4.       Getto in calcestruzzo    P= 2500kg/mc x 0,06 m = 150 kg/mq ≈ 1,5 kN/mq

Peso permanente:

1.Intonaco P= 800 kg/mc    x 0,015 m = 12kg/mq≈ 0,12 kN/mq

5.Massetto in calcestruzzo alleggerito P= 350kg/mc x 0,05 m =17,5 kg/mq ≈ 0,17 kN/mq

      6. Strato isolante fono assorbente P= 4,05 kg/mq ≈ 0,04 kN/mq

      7.Sottofondo pavimento P= 1800kg/mc x 0,03m = 54 kg/mq ≈ 0,54 kN/mq

      8. Pavimento in cotto P= 28 kg/mq ≈ 0,28 kN/mq

 

Incidenza impianti Q= 0,5 kN/mq

Incidenza tramezzi Q= 1 kN /mq

 

Carico accidentale:  2kN/mq(per ambiente ad uso residenziale)

Carico totale: 6,69 kN/mq

A questo punto conosciamo anche il carico espresso in densità lineare:

 q= 6,69 kN/mq x 0,5m = 3,345 kN/m

Considerando che la trave è appoggiata siamo anche in grado di trovare il momento massimo che agisce sulla sezione, sapendo che si trova in mezzeria ed è pari a ql^2/8. Ora è quindi possibile dimensionare la sezione stessa. La nostra incognita è proprio l’altezza utile della sezione.

 

 

Dimensionamento della sezione del travetto

Anche nel caso del calcestruzzo il foglio elettronico mette in relazione formule in cui compaiono la luce dell’elemento strutturale, i carichi che vi gravano e il materiale da cui è costituito.

Si procede ora con la scelta del calcestruzzo, il quale sarà caratterizzato da una classe di resistenza. Le classi sono circa 15 e vanno dalle prime che riguardano il calcestruzzo non strutturale (non armato) utilizzato per magroni e fondazioni a quelli estremamente performanti.

Quelli più usati nei sistemi costruttivi vanno dalla C20/25 a C60/65.   In questo caso scelgo un cls C25/30 in cui  il primo dei valori rappresenta f_ck  (resistenza cilindrica) e il secondo R_ck   (resistenza cubica) ambedue espressi N/mm², che dipendono dalla geometria dell’elemento sottoposto alla prova di compressione.

Prendiamo così la distanza dal valore corrispondente alla rottura del materiale mediante i coefficienti di sicurezza.

fD= fckx α α    / γ                                           con y= 1,6 e α α = 0,85 (coefficiente correttivo che tiene conto delle imperfezioni del calcestruzzo)

Èimportante sapere inoltre anche la resistenza dell’acciaio delle armature, in quanto il cls non è un materiale omogeneo. Scelgo un acciaio B450C (unico ammesso in zona sismica) con fyk = 450 MPa

Nella formula legata all’altezza utile hu= r √M/b , sappiamo che nel fattore r compaiano sia la resistenza del calcestruzzo che la resistenza delle barre (fattore α)  , nonché il fattore n, che permette di omogeneizzare la sezione, ossia di dire che la tensione dell’acciaio è n volte quella del calcestruzzo (σf= n σc). Osserviamo come anche qui sia importante la resistenza del materiale,  e ben più importante la luce dell’elemento strutturale.

 

Una volta scelto il materiale siamo in grado di calcolare sia

n= Ef/Ec      >      210000MPa/21000MPa = 10

e di conseguenza α = fc/fc+ff/n                              >             20MPa/20MPa+450MPa/10 = 0,31

Il foglio elettronico ci consente così di calcolare r e di conseguenza la nostra altezza utile. Fissando la base, ad es. 14 cm, otteniamo che l’altezza totale è 23,54 cm comprensiva dell’altezza del copriferro.

 

Potrei scegliere un travetto di dimensioni 14 cm x 24 cm e ridimensionare la pignatta in base all’altezza del travetto trovata. In questo caso potrei utilizzare una pignatta di 36 cm x 24 cm, in modo tale che l’interasse tra i travetti rimanga di 50 cm. Verifico tuttavia il travetto al peso strutturale della nuova pignatta e al peso proprio del travetto stesso.

Pignatta                              P= 5 kN/mc x 0,24m x 0,36 m x 1/0,5 m =  0,8 kN/mq

Travetto                              P= 25 kN/mc x 0,14m x 0,24 m x 1/0,5 m =  0,16 kN/mq

Il dimensionamento del travetto risulta corretto

 

DIMENSIONAMENTO TRAVE

Con lo stesso procedimento calcolo la sezione della trave principale, tenendo conto che la luce e l’interasse dell’area di influenza cambia.

Fissata la base, ad esempio 30 cm, scelgo una trave di altezza totale pari a 45 cm.

A questo punto verifico la trave al suo peso proprio.

Trave                    P= 25 kN/mc x 0,30m x 0,45 m x 1/3,375 m =  1 kN/mq

Il dimensionamento risulta corretto

 

 

DIMENSIONAMENTO TRAVE IN ACCIAIO

Come fatto per il legno, considero un impalcato costituito da un’orditura primaria con area di influenza L=4,70 e i =3,375 e un’orditura secondaria con area di influenza di L=4,25 e i= 0,94.

 

 

 

 

 

 

 

Analisi dei carichi

·         Carico strutturale

Soletta (Lamiera grecata sp 1,5 mm + getto in calcestruzzo) P = 172 kg/mq ≈ 1,72 kN

 

 

 

 

 

·         Carico permanente

 Massetto in calcestruzzo alleggerito P= 350kg/mc x 0,05 m =17,5 kg/mq ≈ 0,17 kN/mq

       Strato isolante fono assorbente P= 4,05 kg/mq ≈ 0,04 kN/mq

       sottofondo pavimento P= 1800kg/mc x 0,03m = 54 kg/mq ≈ 0,54 kN/mq

       Pavimento in cotto P= 28 kg/mq ≈ 0,28 kN/mq

 Controsoffitto in gesso rivestito accoppiato con micro lamina di alluminio (barriera al vapore) sp. 9,5 mm  P= 8,2 Kg/mq ≈ 0,08 kN/mq

 

Incidenza impianti Q= 0,5 kN/mq

Incidenza tramezzi Q= 1 kN /mq

 

·         Carico accidentale  2 KN/mq

Dimensionamento del travetto

La nostra incognita è Wx, il modulo di resistenza flessionale della sezione. Sapendo che Wx= Mx/fD , avendo come dati del problema sia Mx che fD (dati dall’imposizione della luce e della scelta del materiale) siamo in grado di trovare il più piccolo modulo di resistenza affinché l’equazione sia verificata e la sezione sia così in grado di resistere alla sollecitazione massima. Ovviamente, per questioni di sicurezza è opportuno scegliere una trave che abbia un Wx superiore a quello trovato. È il sagomario che ci permette di trovare , dal modulo di resistenza scelto,  la trave corrispondente. Mentre nel caso del legno dal modulo di resistenza si otteneva facilmente l’altezza dell’elemento strutturale dato che W di una sezione rettangolare è uguale a bh^2/6, in questo caso è opportuno avere un sagomario che metta queste grandezze in relazione dato che i profili di acciaio non hanno una sezione rettangolare.

Scelgo un acciaio S275 in cui 275 rappresenta il valore da cui vogliamo prendere le distanze per progettare la sezione.

Nel caso dell’acciaio occorre prendere le distanza non dalla rottura del materiale ma dal suo snervamento, in quanto il materiale ha un comportamento meccanico molto diverso rispetto al legno e al calcestruzzo per cui prima di arrivare a rottura si crea strizione nel provino. Arrivato il punto di snervamento il materiale inizia a deformarsi irreversibilmente fino ad arrivare alla deformazione ultima di rottura. Questo intervallo può essere più o meno ampio a seconda della duttilità dell’acciaio scelto.  Anche qui fD= fyk/γ     con γ=1,05

 

IPE 120 con Wx = 53  e P=10,4 kg/m

Verifico al peso proprio

Dal sagomario abbiamo il peso espresso al metro lineare; voglio esprimerlo come densità superficiale per cui  P= 10,4 kg/m x i = 9,776 kg ≈ 0,09  kN                                                                i=0,94 m

Q/A= 0,09 KN / 1 mq = 0,09 KN/mq

 

Il dimensionamento risulta corretto.

Dimensionamento della sezione della trave principale

in questo caso

 

scelgo una IPE 220 con Wx= 252 cm3 e peso = 26,2 kg/m

Verificandola al peso proprio ottengo che il dimensionamento non risulta corretto

P=  26,2 kg/m x i = 88,425 kg/m ≈ 0,88 kN

Q/A= 0,88 KN / 1 mq = 0,88 KN/mq

 

Scelgo quindi una ipe con un modulo di resistenza maggiore, ossia una IPE 240 con Wx= 324cm3 e verifico facilmente che la sezione è correttamente dimensionata.

 

RIASSUMENDO

Acciaio =               trave secondaria                             IPE 120   

                 trave principale                               IPE 240

Legno =                GL28 DI SEZIONE                            10cm X 24cm

                             GL 28 DI SEZIONE                           20cmX  40cm

Cls=                      travetto                                          14 cm x 24 cm   

                             trave                                               30 cm x 45 cm

Abbiamo visto come a parità di luce la resistenza elevata dell’acciaio permette di ottenere un’altezza della trave contenuta rispetto a quelle in cls e legno, che risultano comparabili.          

 

 

 

COSTRUZIONE DI UNA PIASTRA RETICOLARE SPAZIALE

1.       Disegno in AUTOCAD

 

 

 

 

Vogliamo disegnare una piastra reticolare spaziale che abbia il seguente schema cubico di lati 2m x 2m x 2m e di dimensione totale pari a 6 moduli x 4 moduli.

 

 

 

Creo un nuovo layer che chiamerò ASTE.

 

Disegno una faccia del modulo nella vista in pianta, facendo attenzione a non chiuderlo. Per comodità disegno nel punto di origine del mio sistema di riferimento (Polilinea – 0,0,0) in modo che sarà più facile ritrovare il disegno nello spazio di autocad o di sap (una volta importato).

 

 

 

 

 

Mi sposto nella vista assonometrica

 

 

 

 

 

E ruoto il mio disegno di 90° intorno all’asta inferiore impostando il mio sistema di riferimento nel modo seguente verificando che l’asse x sia la direzione nella quale effettuerò la copia in serie del modulo col commando Array.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Chiamo il comando array, imposto a i valori della serie  (1 riga, 4 colonne e 2 la distanza tra le colonne) e seleziono gli oggetti.

Chiudo la serie disegnando l’ultima asta.

 

 

 

 

 

 

 

 

Disegno le altre aste con una polilinea 3d (oppure sposto l’ucs, come visibile nell’immagine ruotandolo di 90 intorno all’asse x, così sono sicura che con i comandi linea o polilinea 2D andrò a disegnare le altre aste su un piano perpendicolare a quello precedente).

 

 

 

 

 

 

Con l’ucs impostato nella direzione dell’array, chiamo nuovamente il comando per realizzare la serie, questa volta realizzando 5 colonne.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Disegno le diagonali superiore e inferiore (avendo cura di disegnare sul piano xy) del primo modulo e richiamo il comando Serie (4 colonne).

 

 

 

 

 

Cambio l’ucs, ruotando l’asse x intorno a z di 90° ed effettuo l’ultima Serie lungo x. Per evitare di chiudere a mano un disegno 3d, realizzo 7 colonne (poi cancellerò le aste che non mi servono).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prima di cancellare le aste, seleziono tutti gli oggetti e chiamo il comando Esplodi, in modo da avere aste separate nel caso in cui abbia disegnato delle polilinee.

Ora cancello le aste che non mi servono. Ottengo così la piastra reticolare.

 

Posso procedere ora con il salvataggio nel formato dxf 2000.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.       Analisi in SAP2000

Importo ora il file salvato precedentemente mediante Import/Autocad DxF File. Nelle informazioni d’importazione controllo che le unità di misura siano kN, m, C.

 

Nella finestra DXF Import devo invece dire che il layer ASTE utilizzato in Autocad deve diventare ora la struttura da analizzare in SAP, quindi in corrispondenza di Frames seleziono ASTE; tutto il layer diventa così Frames.

 

 

 

 

 

 

 

Innanzitutto si assegnano i vincoli; supponiamo che ci siano siano 4 pilastri alle estremità della piastra. Seleziono i 4 punti e vado su Assign/Joint/Restraints selezionando il vincolo d’appoggio.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Seleziono  tutte le aste e impongo il rilascio dei momenti (poiché le aste sono incernierate) con Assign/Frame/Releases Partial Fixity  mettendo il segno di spunta sul momento - all’inizio e alla fine di ogni asta – sia in 2 che 3 dimensioni.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per i sistemi più complicati SAP vuole conoscere le informazioni riguardo il materiale e le sezioni della struttura.

Definisco il materiale con Define/Materials/Add New Material e su Material name scrivo “acciaio”.

Definisco la sezione con Define/Section Properties/Frame Sections/Add New Property scelgo la sezione tubolare “Pipe” e su Section Name scrivo “tubolare” e su Material imposto “acciaio” (il materiale precedentemente creato).

A questo punto assegno la sezione tubolare in acciaio creata alla mia struttura, selezionando tutto e andando su  Assign/Frame/Frame Section e selezionando “tubolare”.

Ora devo definire e assegnare i carichi. Per assegnare più comodamente le forze sui nodi, tramite il comando Set Disply Options, rendo visibili soltanto i nodi nascondendo momentaneamente le aste.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ora voglio assegnare le forze solo ai nodi superiori. View/Set 2D view/ seleziono il piano xy e scrivo Z=2 (dico in questo modo che voglio lavorare su quel piano).

Dopo aver creato il carico in Define/Load Patterns – lo chiamo “concentrato” , do 0 al moltiplicatore e lo aggiungo alla lista dei carichi mediante Add New Load Pattern – lo vado ad assegnare: seleziono tutti i nodi che ho nella vista in pianta (verranno selezionati solo quelli corrispondenti al piano Z=2) e vado su Assign/Joint Loads/Forces e su Load Patterns Name seleziono il carico che avevo creato, in questo caso “concentrato” e in Force Global Z assegno un valore di – 40 kN (forza concentrata verso il basso).

A questo punto posso lanciare l’analisi ricordandomi di non far girare i carichi DEAD e MODAL (andranno impostati su Do Not Run).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Con Show Forces-Stresses/Frames-Cables-Tendons e selezionando Axial Forces posso osservare le azioni di contatto.

Su Set Display Options, nella sezione Frames, spunto Labels, in modo da visualizzare le aste numerate.

 

Ricordiamo che trascurando il peso proprio e in presenza di forze concentrate , le travature reticolari sono soggette ai soli sforzi assiali. Possiamo verificare che i valori di taglio e momento siano nulli selezionando Shear 3-3 o Moment 3-3. In questo modo sappiamo se la struttura è stata disegnata e analizzata correttamente.

Per trovare i massimi sforzi di trazione e compressione ed individuare le aste più sollecitate vado su Show Tables e nella sezione Analysis Results spunto Element Output. Esporto poi le tabelle in Excel :    Export current table-To excel.

A questo punto, utilizzando la funzione Max e Min individuo facilmente le sollecitazioni massime e le aste più sollecitate.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Abbiamo trovato il valore massimo di compressione pari a 307 kN sull'asta diagonale (n°244) e il valore massimo di trazione sull'asta diagonale (n°44) pari a 259 kN.

3.       Dimensionamento delle aste                

- progetto a trazione

Noto lo sforzo massimo di trazione, scelgo un materiale e trovo l'area minima che posso utilizzare mediante  σ=fD= N/A --> A=N/fD   

Scelgo un acciaio di tipo Fe 510, ottengo una tensione di progetto

fD = fyk/γ     con γ=1,05 --->    510/1,05 N/mm^2= 486 N/mm^2

A =259000N x mm^2/486N = 533 mm^2 = 5,33 cm^2

Ottengo così l'area minima che mi consente di rimanere distante dalla crisi del materiale (snervamento) per cui prenderò un'area superiore.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Scelgo un tubolare con sezione pari a 5,74 cm^2, di diametro 60,3 mm e spessore pari a 3,2 mm.

Nel progetto a trazione domina la verifica alla resistenza e la lunghezza delle aste non è importante.

 

-progetto a compressione

In questo caso il procedimento è lo stesso, ma il massimo sforzo di compressione è pari a 307 kN. Per cui avrò che

A =307000N x mm^2/486N = 632 mm^2 = 6,32 cm^2

Scelgo un tubolare di sezione pari a 7,33 cm^2, momento d'inerzia pari a 48,80 cm^4.

Oltre a tener conto dello sforzo massimo per il progetto della sezione, terrò in considerazione la lunghezza dell'asta. Nella compressione è insito, infatti, il rischio dell'instabilità euleriana dovuta all'eccesso di snellezza dell'elemento.  Un elemento strutturale, soggetto a compressione, può infatti inflettersi e sbandare non a causa della resistenza del materiale ma causa della sua snellezza, ossia a causa di un alto rapporto tra altezza e lunghezza dell'oggetto.  Domina la verifica al carico di punta, per cui devo verificare che  Nmax < Pcritico

          N_cr = π² x 210000 N/mm² x 1920000 mm⁴ / 7840000 mm² = 507065 N = 507 KN

          Nmax<Pcrit    la sezione risulta verificata

 

 

 

Analisi di una struttura reticolare simmetrica

Innanzitutto, per poter analizare una struttura come una struttura reticolare bisogna considerare le aste della trave puramente tese o compresse, quindi non bisogna considerare il peso proprio della struttura che causerebbe momenti e sforzi di taglio, ed inoltre ogni elemento è incernierato l'uno all'altro permettendo il momento ed i carichi esterni siano puntuali su una delle cerniere. 

Adesso prendiamo in esempio, una trave reticolare simmetrica, verificandola con il sistema delle sezioni di Ritter. Questa struttura si definisce simmetrica sotto due punti due vista, sia per la geometria, sia per la ripartizione dei carichi esterni.

Come si può vedere dalla struttura qui al lato quindi la struttura è perfettamente simmetrica, sia nella geometria che nella ripartizione dei carichi esterni.

 

 

 

Per prima cosa si verifica l'isostaticità della trave attraverso la verifica dei gradi di vincolo e di libertà.

Per definizione una struttura isostatica una struttura nel quale i gradi di vincolo sono pari ai gradi di libertà, nel caso fosseri minori la struttura si definisce labile, nel caso fossero maggiori la struttura si definisce iperstatica.

Quindi:

V = L  e  V = Vi + Ve     poichè i gradi di vincolo sono la somma dei vincoli interni ed esterni

Ve = 2 +1 = 3   2 sono i vincoli dati dalla cerniera, mentre uno è il contributo del carrello

 Vi  viene calcolato in ogni nodo attraverso la formula 2(n-1) dove n è il numero dei corpi che si incontrano nel nodo, quindi:

nei nodi A,H    = 2(2-1) = 2 x 2 = 4

nei nodi B,G    = 2(3-1) = 4 x 2 = 8

nei nodi D,C,E = 2(4-1) = 6 x 3 = 18

quindi, i vincoli interni sono 18+8+4 = 30, i vincoli esterni sono 3, quindi V= 33

I gradi di libertà si calcola moltiplicando il numero dei corpi per 3, quindi 11x3 = 33

Quindi, V = L   

La struttura è isostatica.

Data l'isostaticità della struttura allora si possono ricavare le reazioni vincolare:

Rua, è uguale a zero, visto che non esistono altre forze orizzontali, e data la simmetria della struttura, come detto prima, allora Rva e Rvb sono uguali, ripartendosi equamenti il carico 3F.

 

Le reazioni vincolari della struttura.

Per calcolare le azioni di contatto, si può utilizzare il metodo delle sezioni di Ritter. Questo metodo prevede un taglio virtuale di 3 aste che non convergono tutte nello stesso nodo. Quindi, data la simmetrica, come più volte detto, della struttura, si può analizzare solamente metà trave, data la specularità delle forze.

Come si vede dalla figura sono stati applicati 3 tagli, in modo da prendere 3 aste non convergenti sullo stesso nodo.

 

 

Analisi del primo taglio

Attraverso la risultante dei momenti in C, si può ricavare che N1= -2F, quindi l' asta è compressa.

Invece, grazie alla risultante dei momenti in B, si può ricavare che N3 = 3/2F, quindi l asta è tesa.

L'equilibrio alla traslazione verticale invece, fa ricavare che N2= F√2/2, quindi l'asta è  è tesa.

N1 e N3 erano facilmente prevedibili, dato che in una trave reticolare semplice, il corrente superiore è sempre compresso, mentre quello inferiore è sempre teso.

Analisi del secondo taglio

Facendo l'equilibrio alla traslazione verticale e avendo scomposto N4 nelle sue componenti orizzontali e verticali, si può ricavare quest'ultima, la quale è uguale a          -3/2F√2. Quindi l'asta è compressa.

 

 

Analisi del terzo taglio

Dall'equilibrio dei momenti in D si ricava che N5 è 3/2F, quindi l'asta è tesa.

Dall'equilibrio alla traslazine verticale, si ricava che N6 è uguale a 5F√2/2, anche quest'asta è tesa.

 

 

 

In questo schema si possono vedere gli sforzi normali presenti sulla trave, con i rispettivi valori espressi in kN. In giallo sono evidenziate la aste tese, mentre soon state lasciate a matita quelle compresse.

 

 

Analisi di una struttura reticolare asimmetrica

 Seguo i passaggi di verifica dell'esercizio precedente, ossia controllo per prima cosa che la struttura è isostatica.

Quindi V deve essere uguale a L ed in questo caso sono:

L = 3x11 =33

V_e = 3

V_i = 2(n-1), quindi:

nel nodo A = 2(3-1)=4

nel nodo B = 2(2-1)=2

nel nodo C = 2(3-1)=4

nel nodo D = 2(5-1)=8

nel nodo E = 2(4-1)=6

nel nodo G = 2(3-1)=4

nel nodo H = 2(3-1)=2

Quidni V_i  è uguale a 30 e V= 30 +3=33 = L

La struttura è isostatica.

Calcolo delle reazioni vincolari

Per calcolare Ruh, basta fare l'equilibrio dei momenti in A, trovato Ruh, basta fare l'equilibro alla traslazione orizzontale e verticale per trovarsi le reazioni vincolari in A.

 

 

Quindi, si ha che:

 

 

 

A questo, attraverso il metodo dei nodi vengono calcolate le azioni di contatto. Questo modo isola ogni nodo e le forze agenti su questi. 

Nodo H

Scomponendo la forza N2  nelle sue componenti orizzontali e verticali, si ricava facilmente attraverso gli equilibri alla traslazione verticale ed orizzontale che N2=0, e che l'asta due quindi è scarica, e che N1 = 3F , quindi l'asta è compressa.

Da notare che nel metodo dei nodi, le frecce che nei diagrammi rappresentanole forze che l' asta applica sul nodo, quindi si ha una rappresentazione grafica leggermente diversa rispetto al metodo di Ritter.

Nodo G

Da qui sono facilmente ricavabili N3 (F, l'asta è compressa) e N4 (-3F, anche quest'asta è compressa).

 

 

Nodo C

In questo caso è molto semplice dedurre che l'asta 7 sia scarica è che N8 sia uguale a -F, quindi compressa.

 

 

 

Nodo A

 Scomponendo la forza N9 nelle sue componenti orizzontali, anche qui è facile trovare gli sforzi assiali delle aste:

N9 = -2F√2 (l'asta è compressa)

N8 = -F (anche quest'asta è compressa)

 

Sforzo normale della trave:

In rosso sono evidenziate le aste compresse e blu quelle tese. Ben quattro aste sono scariche.

 

Qui invece vengono mostrati anche i valori (calcolati attraverso l'utilizzo di SAP2000)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Progetto di una trave inflessa

 

Dato l'impalcato rappresentato nell'immagine seguente, verrà studiata e progettata la trave maggiormente sollecitata (quella indicata) in tre diverse tecnologie per confrontarle e studiarle: legno, acciaio e calcestruzzo armato.

 

 

1 | Legno

 

 

 

 

 

 

 

Nel disegno a fianco si può vedere la stratigrafia della struttura orizzontale lignea con i suoi spessori ed i suoi diversi componenti.

 

La progettazione della trave si divide innanzitutto nella scelta delle tecnologie da usare (come si vede dall'immagine precedente) e nel calcolo della trave.

Per prima verrà prima dimensionato un travicello del solaio, verificato, ed in seguito verrà dimensionata la trave, ed anch' essa verificata.

 

Progetto a flessione di un travicello in legno

 

Analisi dei carichi agenti su una porzione di un mq del solaio 

 

Per il calcolo dei carichi, bisogna suddividere in carico strutturale, permanente e accidentale. Lo strutturale è tutto ciò che è portante, permanente è tutto ciò è non strutturale, e accidentale sono dei carichi legati alla funzione degli ambienti.

Il carico accidentale è un valore tabellato dato dalla normativa a seconda delle funzioni, mentre quello strutturale e quello permanente vanni ricavati attraverso lo studio delle tecnologie usate e dalla morfologia dell'edificio.

Per esempio nel carico permanente vanno calcolate le densità superificiali moltiplicando il peso specifico dei singoli materiali per i loro spessori.

 

Calcolo Carico Strutturale

 

Tavolato 0,03 m * 490 kg/mc = 14,7 kg/mq

 

Totale qs: 14,7 kg/mq = 0,15 kN/mq

 

Calcolo Carico Permanente

 

Massetto alleggerito 0,07 m * 480 kg/mc = 33,6 kg/mq

Malta allettamento 0,02 m * 1800 kg/mc = 36 kg/mq

Pavimento in cotto 0,02 m * 2300 kg/mc = 46 kg/mq

Impianti 50 kg/mq

Tramezzi 100 kg/mq

 

Totale qp: 265,6 kg/mq = 2,65 kN/mq

 

Calcolo Carico Accidentale

 

Costruzione per civile abitazione 2 kN/mq

 

Somma dei carichi agenti su un'area di 1mq 4,80 kN/mq

 

Calcolato il carico totale agente su un'area di solaio, converto il peso a metro quadro in densità lineare, la quale corrisponde al carico agente sul filo della trave. Quindi basta moltiplicare la densità superificiale per l'interasse (1m), quindi:

4,80 kN/mq * 1 m = 4,80 kN

 

Calcolo del momento sul travicello

 

Una volta trovato il carico totale, per poter procedere al calcolo del momento bisogna inserire la luce (in questo caso 3,30 m), poichè è il fattore che influisce maggiormente sull'azione di contatto. Considerando il travetto come una trave appoggiata, sappiamo che il momento massimo è pari a ql²/8 in mezzeria, quindi avendo impostato il foglio excel con questi parametri , possiamo ricavare agilmente il momento massimo,

 

vale a dire 6,53 kNm

 

Calcolo resistenza flessionale di design

 

Lo step successivo è di calcolare la resistenza flessionale di design, per il legno bisogna tenere conto di più fattori legati anche alla normativa.

 

Fmk è la resistenza caratteristica a flessione ( 28 Mpa per il castagno), Kmod è un coefficiente correttivo che tiene conto dell’effetto, sui parametri di resistenza, sia della durata del carico sia dell’umidità della struttura (0,6 per i carichi permanenti su solai in legno massello), ed un fattore γm che è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale (per il legno massello 1,5).

 

Inserendo i dati nella tabella excel si ha che la resistenza di design fd è pari a 11,20 Mpa.

 

 

Calcolo altezza travicello

 

L'ultimo step consiste nel calcolare l'altezza della trave, ponendo una base come dato.

Sfruttando le proprietà di una sezione rettangolare , sappiamo che il modulo di resistenza flessionale Wx è ugulae bh²/6 (ricavato dal momento d'inerzia ) , e che è anche uguale al rapporto fra il momento massimo e la resistenza di design ( Wx = Mmax/ fd) , quindi uguagliando le due equazioni si può ricavare che:

 

h = (6*Wx *b)^1/2

 

Compilando il foglio excel si ha che l'altezza è 16,79 cm e la base 12 cm

Quindi il travicello avrà dimensioni 12x18 cm 

 

 

Verifica a flessione della trave in legno 

Per verificare la resistenza della trave viene considerato anche il peso proprio del travicello stesso, quindi il carico strutturale sarà:

 

Calcolo Carico Strutturale

 

Tavolato 0,03 m x 490 kg/mc = 14,7 kg/mq

Peso proprio (0,12m x 0,18m x 490 kg/mc )/ 1 m= 8,82 kg/mq

 

Totale qs: 26,52 kg/mq = 0,26 kN/mq

 

Quindi il carico totale diventa 4,91 kN/mq, e ripetendo il procedimento precedente abbiamo che l'altezza richiesta sarebbe 16,98 cm, quindi il travicello è verificato.

 

 

 

Progetto a flessione della trave in legno

Analisi dei carichi agenti su una porzione di un mq del solaio

 

Il peso agente sulla porzione unitaria del solaio è uguale a quella a calcolata per la verifica del travicello, quindi 4,91 kN/mq. 

Analisi dei carichi agenti sulla trave

 

Per poter calcolare il carico agente sulla trave basta moltiplicare il peso al mq del solaio per l'interasse, che per la trave è 3,00 m, quindi 

4,91 kN/mq x 3,00 = 14,73 kN/m 

Calcolo del momento sulla trave

 

Il momento, grazie al foglio excel risulta come dettto precedentemente facilmente calcolabile, ponendo sempre la trave come doppiamente appoggiata, possiamo calcolare l'azione di contatto che equivale a ql²/8 ( e la luce è 5m). Quindi,

M = 46,03 kN/mq

 

Calcolo resistenza flessionale di design

 

La resistenza flessionale di design è la medesima visto che il materiale è lo stesso, quindi,

fd =11,20 Mpa.

 

Calcolo altezza trave

 

Con le stesse relazioni con cui si è trovata l'altezza utile del travicello, si calcola quella della trave, ponendo però la base non 12 cm ma 20 cm. L'altezza quindi risulta 34,52 cm, quindi la trave utilizzata sarà 20cm x 35cm.

 

Verifica a flessione della trave 

Per verificare la resistenza del travicello viene considerato anche il peso proprio del travicello stesso, quindi il carico strutturale sarà:

 

Calcolo Carico Strutturale

 

Peso solaio strutturale 0,26 kN/mq

Peso proprio (0,20m x 0,35m x 490 kg/mc )/ 3 m= 11,43 kg/mq = 0,11 kN/mq

 

Carico Totale Strutturale 0,37 kN/mq

 

Verifica altezza trave 

Utilizzando i nuovi carichi, l'altezza della trave risulta essere 34,91 cm, quindi minore della trave che è 35 cm. Dato il poco scarto tra le due altezze sarebbe auspicabile una trave più alta che possa far fronte in modo migliore a carichi imprevisti.

 

 

 

 

 

 

2| Acciaio

 Sempre analizzando lo stesso impalcato, però cambiando tecnologia calcolo l'altezza del solaio e della trave.

 

 

Nella figura si vede il solaio in lamiera grecata con getto in calcestruzzo. Il pavimento ed il massetto sono i medesimi del solaio in legno, però invece di essere a vista nell'intradosso ha un controsoffitto.

L'altezza della lamiera e del getto è stato calcolato con delle tabelle di dimensionamenti di massima in base alla luce della lamiera.

 

 

 

 

Con questa tabella è stato dimensionato e ricavato il peso del solaio con la lamiera grecata. In basso si vede la sezione della lamiera grecata e la tipologia.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Carico Strutturale

Lamiera grecata con getto di cls 1,5 kN/mq

 

Carico Permanente

 

Massetto alleggerito 0,07 m * 480 kg/mc = 33,6 kg/mq

Malta allettamento 0,02 m * 1800 kg/mc = 36 kg/mq

Pavimento in cotto 0,02 m * 2300 kg/mc = 46 kg/mq

Impianti 50 kg/mq

Tramezzi 100 kg/mq

Controsoffitto 10 kg/mq

 

Totale qp: 275,6 kg/mq = 2,75 kN/mq

 

Calcolo Carico Accidentale

 

Costruzione per civile abitazione 2 kN/mq

 

Somma dei carichi agenti su un'area di 1mq 6,25 kN/mq

 

Calcolato il carico totale agente su un'area di solaio, converto il peso a metro quadro in densità lineare, la quale corrisponde al carico agente sul filo della trave. Quindi basta moltiplicare la densità superificiale per l'interasse (3m), quindi:

6,25 kN/mq * 3 m = 18,75 kN

 

Calcolo del momento sulla trave

 

Una volta trovato il carico totale, per poter procedere al calcolo del momento bisogna inserire la luce (in questo caso 5 m), poichè è il fattore che influisce maggiormente sull'azione di contatto. Considerando il travetto come una trave appoggiata, sappiamo che il momento massimo è pari a ql²/8 in mezzeria, quindi avendo impostato il foglio excel con questi parametri , possiamo ricavare agilmente il momento massimo,

vale a dire 58,59 kNm

 

Calcolo resistenza flessionale di design

 

La resistenza flessionale di design nell'acciaio è semplicemente la resistenza caratteristica del materiale diviso per γm che è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale (per l'acciaio da carpenteria è 1,05).

La resistenza caratteristica, invece, avendo usato un acciaio Fe 360/S235 è pari a 235 Mpa, quindi:

fd = 223,81 Mpa

 

 

Calcolo altezza sezione della trave

 

Il calcolo della sezione della trave in acciaio è lievemente diverso rispetto a quello della trave in legno. Il modulo di resistenza Wx è sempre pari a Mmax/ fd, e non essendo la sezione quadrata il modulo d'inerzia sarà completamente differente, perciò Wx va verificato sul sagomario delle travi IPE, il quale riporta tutte le caratteristiche geometriche di ogni sezione. Quindi.

Wx = 261,80 cmc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quindi dato il valore di Wx scelgo una trave IPE 240, il quale modulo di resistenza è 324 cmc, ampiamente sopra il valore di progetto.

 

 

Verifica a flessione della trave in acciaio

 

Per verificare la resistenza della trave viene considerato anche il peso proprio della trave stessa, quindi il carico strutturale sarà:

 

Lamiera grecata con getto di cls 1,5 kN/mq

Peso proprio trave 30,7 kg/m x 1/3m = 10,23 kg/mq = 0,1 kN/mq

 

Totale qs: 1,6 kN/mq

 

 

Verifica sezione

 

Utilizzando i nuovi carichi, l'altezza Wx risulta essere 265,99 cmc, quindi ancora molto minore rispetto al valore della trave data, che è 324 cmc. La trave è verificata.

 

 

 

 

 

 

 

   3| Calcestruzzo

 

 

 In questa figura si può notare come il passo dei travetti sul solaio, ossia 50 cm, e la luce, 3,00m

 

 La stratigrafia è simile a quella dei casi precedenti, ossia, la parte strutturale è diversa, quindi un solaio in laterocemento, mentre tutta la parte superiore è identica ai casi sopracitati. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Progetto a flessione di un travetto in cls

 

Analisi dei carichi agenti su una porzione di un mq del solaio

 

Carico strutturale

Caldana 0,04 m x 2400 kg/mc = 96 kg/mq = 0,96 kN/mq

 

Carico Permanente

 

Massetto alleggerito 0,07 m x 480 kg/mc = 33,6 kg/mq

Malta allettamento 0,02 m x 1800 kg/mc = 36 kg/mq

Pavimento in cotto 0,02 m x 2300 kg/mc = 46 kg/mq

intonaco 0,03 m x 100 kg/mc = 3 kg/mq

Impianti 50 kg/mq

Tramezzi 100 kg/mq

Pignatte 66,4 Kg/mq

 

 

Totale qp: 332 kg/mq = 3,30 kN/mq

 

Calcolo Carico Accidentale

 

Costruzione per civile abitazione 2 kN/mq

 

Somma dei carichi agenti su un'area di 1mq 6,26 kN/mq

 

 

 

 

 

Calcolo resistenza di design del cls

 

La resistenza di design del calcestruzzo si trova mediante la riduzione della resistenza caratteristica. Infatti data la poca affidabilità del materiale vi sono coefficienti di riduzione molto alti, infatti

 

fcd = αα fcd/ɣ

dove αα = 0,85e ɣ è 1,6

 

 

Quindi usando un calcestruzzo di classe C 30/37 (dove 30 MPa è la resistenza caratteristica) si avrà che,

fcd = 17,14 Mpa

 

 

 

 

Calcolo resistenza di design dell'acciaio

 

Per l'armatura vale lo stesso discorso fatto per l'esercizione del solaio in acciaio, quindi si divide la resistenza caratteristica per un fattore riduttivo, che per l'acciaio d'armatura è di 1,15. Quindi usando un'acciaio B 450 C

(l'unico usabile in zona sismica) si avrà che

 

fyd = 391,30 Mpa

 

 

 

 

Calcolo altezza utile del travetto

 

Per calcolare l'altezza utile del travetto ho bisogno dei valori r e α, che dipendenti dalle resistenza dei materiali, rappresentaono dei fattori di omogeneizzazione della sezione, e vengono calcolati direttamente dal foglio excel.

 

α = fc/fc+ff/n (dove n= Ef/Ec )

hu= r √M/b

 

Inoltre bisogna impostare una base, che solitamente per un travetto è di 10 cm, quindi l'altezza utile del travetto sarà di 12,02 cm, sommando 5 cm di copriferro (delta) la sezione sarà alta 17,02cm, ossia 20 cm.

 

Verifica a flessione di un travetto in cls

 

La differenza rispetto alla fase di progetto è la considerazione del peso proprio nei carichi strutturali, quindi:

 

Carico strutturale

 

Caldana 0,04 m x 2400 kg/mc = 96 kg/mq = 0,96 kN/mq

P.proprio (0,10m x 0,20m x 2400 kg/mc )/ 0,5 m= 96 kg/mq = 0,96 kN/mq

 

Carico strutturale totale 1,92 kN/mq

 

Somma dei carichi agenti su un'area di 1mq 7,22 kN/mq

 

Verifica Travetto

 

Utilizzando i nuovi carichi, l'altezza del travetto (compresa di copriferro) risulta essere 17,64 cm, quindi minore di 20cm. Il travetto è verificato.

 

 

Progetto a flessione della trave in cls

 

Analisi dei carichi agenti su una porzione di un mq del solaio

 

I carichi agenti sulla trave sono i medesimi di quelli calcolati per la verifica del travetto.

Quindi il carico totale è di 7,22 kN/mq

 

Progetto trave

 

Cambiando la grandezza della luce e dell'interasse (rispetto al travetto) si calcola nell'esatta maniera la grandezza della trave, quindi si avrà che la trave ha altezza di 36,54cm , quindi per correttezza di mmisure si adotta una trave 20x40 cm.

 

 

Verifica a flessione della trave in cls

 

Carico strutturale

 

Caldana 0,04 m x 2400 kg/mc = 96 kg/mq = 0,96 kN/mq

Travetti (0,10m x 0,20m x 2400 kg/mc )/ 0,5 m= 96 kg/mq = 0,96 kN/mq

P.proprio(0,20m x 0,40m x 2400 kg/mc )/ 3m = 64 kg/mq = 0,64 kN/mq

 

Totale qs: 2,56 kN/mq

 

Verifica trave

 

Ricalcolando con il foglio excel l'altezza della trave, risulta che la verifica da 39,66 come altezzaa totale, quindi la trave è verificata, dato che in fase di progetto era stata decisa alta 40 cm. Tuttavia, dato lo scarso margine della verifica, sarebbe auspicabile una sezione con altezza maggiore.

   

 

 

 

 

Analisi di una struttura reticolare spaziale in acciaio

 

Disegno della struttura su rhino

 Per rappresentare la travatura reticolare spaziale, mi sono avvalso di rhinoscript, un editor di testo che permette di parametrizzare e matematicizzare curve e superfici.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per iniziare ho creato la griglia con le diagonali della parte inferiore della trave spaziale.In seguito ho disegnato la parte superiore della piastra

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Infine ho disegnato le aste centrali, creando un doppio ciclo for, è possibile far partire le aste (in questo caso linee, dato che dovranno essere importate su sap200) dai punti della grigla e congiungerli a quelli superiori. La sicurezza di questo metodo è che assicura il non ripetersi delle aste.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prima di salvare in dwf, per esportare su sap2000, conviene cambiare layer agli oggetti, in questo caso le aste faranno parte del layer1

 

Analisi della struttura su SAP2000

 

Importo il dxf su sap, e comincio a mettere i vincoli alla struttura. Applico 4 cerniere ai quattro angoli della trave , applico i nodi alle estremità delle aste, rilasciando i momenti all'inizio e alla fine di queste.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Definisco una sezione (tubolare), un materiale (acciaio) e la assegno a tutte quante le aste.

 

 

I passi successivi riguardano i carichi, quindi, si definisce un carino, privo di peso proprio ( del moltiplicatore), la direzione (quindi l'asse ed il verso), la quantita del carico (i kN), ed i punti a cui assegnarli ( in questo caso tutti i nodi superiori della trave).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A questo punto basta far partire l'analisi, facendo attenzione a far partire soltanto i carichi concentrati precedentemente assegnati.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A questo punto il programma mi restituisce la deformata, le azioni di contatto, e i valori di queste, in questo caso ci interessano i valori massimi di N, per progettare le aste tese e compresse.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 La seguente tabella racconta i valori dell'asta più tesa e di quella più compressa.

 

 

  

Progetto delle aste compresse

 

La sollecitazione massima di compressione delle aste della travatura è uguale a 385,631 Kn. Quindi avendo lo sforzo normale e la resistenza di design ( per le aste ho scelto un acciaio Fe 510 S 355, quindi dividendo la resistenza caratteristica, 355 Mpa, per il coefficiente di sicurezza, 1.15, ricavo che la resistenza di design è 308,7 Mpa), posso ricavare l'area della sezione. Quindi

 

A = N/σ = 385631 N / 335 N/mmq = 1151,13 mmq = 11,51 cmq

 

 

Controllando il sagomario dei profili tubolari cavi, adotto una sezione di area 12,9 cmq con diamentro interno di 139 mm e spessore di 3 mm.

 

Verifica a resistenza

Bisogna verificare se il rapporto tra lo sforzo normale e l’area del nuovo profilo risulti essere inferiore ad fd:

385631 N/1290 mmq = 298,93 N/mmq < 335 N/mmq

La resistenza dell'asta è verificata.

 

Verifica carico critico

 

Per concludere il progetto della trave bisognerà verificare se la sezione è in grado di sopportare lo sforzo di compressione, attraverso la formula del carico critico euleriano, fenomeno che avviene se un elemento strutturale, soggetto a compressione, si inflette e sbanda a causa della sua snellezza. Quindi sapendo che il

carico eureliano corrisponde a

 

Pcr= (π² x E x Jmin)/l0² dove

 

E= Modulo di elasticità

Jmin= momento di inerzia minimo della sezione risultante dal profilario

l0= lunghezza libera di inflessione, che dipende dal materiale, dai vincoli e dalla sezione, in questo caso essendo un'asta doppiamente incernierata la lunghezza libera di inflessione è uguale alla lunghezza stessa dell'asta.

Pcr= (3,14 x 3,14 x 210000N/mmq x 3010000 mm4)/ (2828 mm)² = 779266 N = 779 kN

 

Quindi visto che il carico critico è maggiore rispetto allo sforzo normale allora l'asta è verificata.

 

verifica a snellezza:

 

λ = l0 /ϱ < 200

dove l0= luce libera di inflessione

ϱ = raggio di inerzia che in fase di verifica ricavo dal profilario

λ = 282,8 cm / 4,83 cm = 58,55 < 200, quindi è verificato

Progetto delle aste tese

 

La sollecitazione massima di tensione delle aste della travatura è uguale a 385,631 Kn. Quindi avendo lo sforzo normale e la resistenza di design ( per le aste ho scelto un acciaio Fe 510 S 355, quindi dividendo la resistenza caratteristica, 355 Mpa, per il coefficiente di sicurezza, 1.15, ricavo che la resistenza di design è 308,7 Mpa), posso ricavare l'area della sezione. Quindi

 

A = N/σ = 225325 N / 335 N/mmq = 672,61 mmq = 6,72 cmq

 

Controllando il sagomario dei profili tubolari cavi, adotto una sezione di area 8,10 cmq con diamentro interno di 889 mm e spessore di 3 mm.

 

Verifica a resistenza

Per le aste tese, invece basta la verifica a resistenza quindi verificare se il rapporto tra lo sforzo normale e l’area del nuovo profilo risulti essere inferiore ad fd:

225325 N/ 810 mmq = 278,17 N/mmq < 335 N/mmq

La resistenza dell'asta è verificata.

 

 

 

 

Per travature reticolari, intendiamo una struttura formata da varie aste, tutte appartenenti ad un unico piano, vincolate tra di loro tramite cerniere interne.

1)VERIFICA ISOSTATICITA'                                                                                                         Per verificare l'isostaticità della travatura reticolare deve essere valida la condizione L=V, dove con L, intendiamo i gradi di libertà  delle aste, ogni asta ne ha tre, e con V, la sommatoria dei vincoli interni ed esterni.

                                                                                                                                                  

L=V      L=11X3=33                                                            

V=Ve+Vi    Ve=2+1H=3  Vi=2(n-1)                                   

V=3+30=33                                                                         

L=V

 

 

2) CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI

A questo punto si procede esaminando la reazione dei vincoli, in modo che la sommatoria delle forze orizzontali, verticali e la sommatoria dei momenti sia uguale a zero. Questa condizione deve essere soddisfatta affinchè la travatura si trovi in equilibrio.

3) SVOLGIMENTO

Per risolvere le travature reticolari, possiamo utilizzare due metodi:

- METODO DELLE SEZIONI DI RITTER

-METODO DI EQUILIBRIO AI NODI

 

METODO DELLE SEZIONI DI RITTER

Questo metodo ci permette facilmente di conoscere le reazioni di un'asta qualsiasi, in modo autonomo, così senza obbligatoriamente risolvere l'intera struttura.

Si risolve operando una sezione di Ritter, in modo che tagli contemporaneamente minimo tre aste, di cui due s'incontrino nello stesso punto; quest'ultimo può essere proprio o improprio.

SEZIONE A

SEZIONE B

SEZIONE C

SEZIONE D

SEZIONE E

 

Avendo risolto le reazioni di tutte le aste, abbiamo verificato che quest'ultime sono soggette solo a sforzo normale e quindi le possiamo distinguere in TIRANTI, quando lo sforzo normale è di trazione, l'asta è tesa, e PUNTONI, quando lo sforzo normale è di compressione quindi l'asta è compressa.

 

METODO DEI NODI

Si applica di solito su travature reticolari, dove si sia già verificato l'equilibrio, e per questo motivo deve risultare in equilibrio ogni suo nodo, cioè le equazioni R=0 e M=0, con il quale indichiamo le risultanti delle reazioni e dei momenti, devono essere verificate per ogni singolo nodo.

Verifica dei grafici con Saap

 

 

1) Verifica dell'isostaticità

Affinchè una struttura reticolare sia isostatica, la somma dei vincoli esterni e del numero delle aste (condizioni di vincolo) deve essere uguale al numero dei nodi moltiplicati per due (gradi di libertà).

Ve + a = 2 n

2A + 1H + 11 = 2 * 7

14 = 14   (isostatica)

 

2) Equilibrio per Vincoli Esterni

La risultante delle due forze applicate è pari a 20KN e la sua retta d'azione incontra quella della reazione del carrello e quella della reazione della cerniera esterna in un punto; ciò vuol dire che la struttura è in equilibrio. Con il poligono delle forze otteniamo il verso delle reazioni dei vincoli esterni. Inoltre la reazione della cerniera esterna (RA) avrà una componente orizzontale (RuA) ed una verticale (RvA).

Poligono delle Forze

 

Componenti di RA

 

Riepilogo sulla Struttura

Risolvendo le equazioni di equilibrio otteniamo i valori delle reazioni incognite.

∑Fx=0       RuA-RH=0        RuA=RH

∑Fy=0       RvA-10KN-10KN=0      RvA=20KN

∑MA=0     -10KN*1-10KN*2+RH*1=0       RH=30KN

 

3) Metodo dei Nodi

Per conoscere il comportamento delle aste si utilizza il metodo dei nodi: si isola un nodo della struttura alla volta e poi si calcola il valore dello sforzo assiale di ogni asta, risolvendo le equazioni di equilibrio alla traslazione verticale e orizzontale.

∑Fx=0      NBC=0   (asta scarica)

∑Fy=0      NAB=0   (asta scarica)

 

∑Fx=0      30KN+NAD+NAC√2/2=0      NAD=-10KN   (asta compressa)

∑Fy=0      20KN+NAC√2/2=0       NAC=-20KN√2       (asta compressa)

 

∑Fx=0      10KN+NDG=0       NDG=-10KN       (asta compressa)

∑Fy=0      NCD=0      (asta scarica)

 

∑Fx=0      NCE+NCG√2/2+20√2KN*√2/2=0      NCE=-30KN      (asta compressa)

∑Fy=0      -10KN+20KN-NCG√2/2=0       NCG=10KN√2       (asta tesa)

 

∑Fx=0      30KN+NEH=0     NEH=-30KN     (asta compressa)

∑Fy=0      -10KN-NEG=0     NEG=-10KN     (asta compressa)

 

∑Fx=0      -NGH√2/2=0       NGH=0       (asta scarica)

 

4) Diagramma dello Sforzo Normale

Quando le strutture reticolari sono caricate solo sui nodi, le aste sono sollecitate solo a sforzo normale. Dove lo sforzo normale è positivo, l'asta lavora a trazione e viene chiamata tirante, mentre dove è negativo l'asta lavora a compressione e viene denominata puntone.

 

5) SAP 2000

Per avere conferma dei risultati ottenuti, risolviamo l'intera struttura con il programma SAP 2000.

Grafico della Deformata

 

Diagramma dello Sforzo Normale

ex_1) CALCOLO DI UNA STRUTTURA RETICOLARE SIMMETRICA CON IL METODO DELLE SEZIONI DI RITTER

Ciao Ragazzi!

Oggi impareremo a verificare se una struttura è ISOSTATICA e a calcolarla con il metodo delle SEZIONI DI RITTER!

VERIFICA DELLA STRUTTURA ISOSTATICA

Considero la seguente struttura:

 

Per verificare che la struttura sia isostatica devo avere la seguente condizione:  V= l

 Il numero dei vincoli deve essere uguale al numero dei gradi di libertà della struttura.

Il numero di gradi di vincolo è dato dal numero di aste presenti nella struttura moltiplicato per il numero di gradi di libertà di ogni elemento.

l = 11 (aste)  x3 (gradi di libertà) =33

La struttura ha anche dei vincoli esterni che in questo caso sono 3: due sono i gradi di libertà che blocca la cerniera  a sinistra e uno è il grado di libertà che blocca il carrello a destra.

Per calcolare il numero di vincoli interni:    V_i = 2*(n -1)     n= numero di aste che arrivano alla cerniera interna.

La cerniera interna in A toglie 2 gradi di libertà : 2(2-1)=2

La cerniera interna in B e G toglie 4 gradi di libertà : 2(3-1)=4

La cerniera interna in C – D e E toglie 6 gradi di libertà : 2(4-1)=6

Quindi: V_i= 2+2+4+4+6+6+6=30

V=V_e+V_i

V= 3 V_e + 30 V_i = 33

V 33 = l 33

La struttura è ISOSTATICA!  

CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI

Adesso calcoliamo le reazioni vincolari esterne della struttura. Abbiamo una cerniera che porta una reazione verticale (R_va) e una orizzontale (R_ua) e un carrello che porta una reazione verticale (R_vb). Poi abbiamo 3 carichi puntuali da 20KN sui nodi B - D e G.

Possiamo notare che la struttura è simmetrica perché rispetto all’asse di simmetria:

• le reazioni vincolari a destra e sinistra sono simmetriche
• il diagramma del momento flettente M e dello sforzo normale N sono simmetrici
• il diagramma del taglio T è emisimmetrico
• le deformazioni sono simmetriche.

∑ Fx=0   U_A=0     si annulla perché non ci sono altre reazioni!

∑ Fy=0   V_A + V_B – 60 = 0                          V_A + V_B= 60KN

Per la simmetria possiamo dire che: V_A = V_B =60/2= 30KN

 

METODO DELLE SEZIONI DI RITTER

Arrivati a questo punto facciamo 3 tagli sulla nostra struttura in modo da avere dei punti in cui le aste non concorrano allo stesso nodo:

Ipotizzo i versi delle aste tagliate (le ipotizzo tese) e calcolo le reazioni vincolari, nel momento in cui otterrò dei risultati negativi, significa che avevo ipotizzato il verso sbagliato nella struttura! Quindi le mie aste potranno diventare dei puntoni o saranno dei tiranti.

Analizziamo la prima sezione

SEZIONE 1 :

Faccio l’equilibrio alla rotazione nel nodo C , in modo da avere solo una reazione da calcolare. Questo perché N₂  ed  N₃hanno braccio nullo in quanto la loro retta d’azione passa per C.

∑ Mc=0               -30*4+20*2-N₁*(2)=0     ->     -120+40-N₁*(2)=0   ->   N₁=-40KN

L’asta B-Dche avevo ipotizzato tesa, in realtà è compressa. Quindi è un puntone.

∑ M_B=0                -30*2+N₃*(2)=0           ->     N₃=30KN

L’asta A-Cè tesa, è un tirante.

 

Adesso faccio l’equilibrio lungo la componente verticale; posso osservare che N2 è disposta sulla diagonale di un quadrato, perciò la componente verticale e quella orizzontale saranno uguali: N_2x=N_2y=N₂*(√2/2).

∑ F_y=0                30-20-N₂ √2/2=0        ->      N₂= 10*2/√2=20/√2        ->   N₂= 10 KN   ho razionalizzato!

L’asta B-Cè tesa, è un tirante.

 

Svolgo lo stesso procedimento per le altre due sezioni

SEZIONE 2 :

L’asta N₄è disposta in diagonale, anche qui la reazione verticale e orizzontale, saranno uguali: N_4x=N_4y=N₄*(√2/2).

∑ F_x=0                30+N₄√2/2=0     ->   N₄= -30*2/√2= -60/√2*√2/√2=-30√2KN

L’asta A-Bè compressa, è un puntone devo cambiare il verso delle frecce.

  

SEZIONE 3 :

Imposto l’equilibrio alla rotazione nel nodo D :

∑ M_D=0                N₅*(2)+20*(4)- 30*(6)=0      ->    N₅*(2)+80-180=0     ->     N₅= 50KN

Equilibrio lungo la componente verticale, con N₆ posto in diagonale quindi uso la formula della diagonale del quadrato.

∑ F_y=0                30-20+N₆√2/2=0        ->      N₆= -10*2/√2= -20/√2           ->   N₆= - 10√2KN    ho razionalizzato!

 

Ho risolto tutte le incognite delle aste! I risultati sono i seguenti:

A questo punto ho tutti i dati che mi servono.

Adesso posso mettere in evidenza tutte le reazioni vincolari sia a destra che a sinistra dell’asse di simmetria.

 

Ho risolto in questo modo la mia struttura calcolandola con il metodo delle sezioni di Ritter!

Adesso analizziamo la struttura utilizzando il programma di calcolo SAP2000.

Si crea un nuovo modello e si imposta la struttura su una griglia, si impostano le unità di misura (in questo caso KN, m , C ) si danno le misure di riferimento sugli assi

• x=7 perché abbiamo 7 interassi
• y=1 perché lavoriamo in 2D  
• z=2 perché abbiamo due assi uno superione e uno inferiore

Si impostano anche gli spazi che vengono impostati sul metro sugli assi XZ.

Per i vincoli faccio click con il tasto destro, metto in evidenza il nodo interessato e tramite assign ->Joint ->Restaints assegno un carrello e una cerniera (indicate dai relativi simboli). I carichi puntuali vanno invece definiti prima da define ->load patterns  e vanno aggiunti agli altri carichi. A questo punto li metto in evidenza e li assegno tramite Assign ->Joint Loads ->Forces.  Per assegnare il verso della forza dobbiamo mettere il segno meno davanti al carico che assegniamo, ed avremo carichi gravitazionali verso il basso. Avendo una trave reticolare, dobbiamo impostare sforzi assiali puri!  Quindi selezioniamo tutta la nostra strtuttura e da Assign -> Frame ->Releases/partial fixityspuntiamo start e end con moment 33 (major).

Adesso la nostra struttura è impostata.

Per calcolarla dobbiamo fare click su Run Analysis e fare ilRun solo dei carichi concentrati che abbiamo impostato noi! I carichi Dead e Modal devono essere impostati su Do Not Run. A questo punto parte l’analisi che ci permetterà di verificare:

Le forze agenti sulla struttura:

 

La deformata:

Gli sforzi assiali agenti sulla struttura e i diagrammi.

 

Chi era Amelie Emmy Noether?

È stata una fra i più importanti matematici di tutti i tempi. Il topologo russo Pavel Alexandrov la definì tout-court «il più grande matematico donna di tutti i tempi» e lo stesso Albert Einstein ne pubblica un apprezzamento sul New York Times poche settimane dopo la sua morte.

Amalie Emmy Noether(Erlangen, 23 marzo1882– Pennsylvania, 14 aprile1935) è stata una matematica tedesca di origini ebree. Si è occupata di fisica matematica, teoria degli anelli ed algebra astratta, ed il suo nome è indissolubilmente legato al celebre teorema di Noether del 1915, che mette in luce nel campo della fisica teorica una profonda connessione tra simmetrie e leggi di conservazione.

Figlia del già noto matematico Max Noether, nasce nella città bavarese di Erlangen, e fin dalla giovane età mostra spiccate capacità. Dopo aver passato gli esami necessari all'insegnamento del francese e dell'inglese, sceglie di rivolgersi allo studio della matematica all'Università di Erlangen, dove già il padre insegnava. Completata la tesi sotto la supervisione di Paul Albert Gordan, lavora all'Istituto di Matematica per sette anni, senza essere pagata.

Nel 1915 viene invitata da David Hilbert e Felix Klein a far parte del Dipartimento di Matematica dell'Università Georg-August di Gottinga. Alcuni membri della Facoltà di Filosofia si opposero, sostenendo che il titolo Privatdozent non potesse essere attribuito alle donne, e lei trascorse quattro anni tenendo lezione a nome di Hilbert. Nel 1919 le venne comunque alfine concesso di sostenere l'esame per l'abilitazione, che ottenne nel maggio dello stesso anno, continuando però ad insegnare senza percepire alcuno stipendio fino al 1923. Durante gli anni trascorsi a Gottinga ottenne rispetto e stima a livello mondiale per i suoi innovativi lavori in matematica, venendo invitata a tenere una conferenza plenaria al Congresso Internazionale dei Matematici di Zurigo, in Svizzera, nel 1932. L'anno seguente il governo nazista della Germania le vieta l'attività di insegnamento. Emmy emigra negli Stati Uniti d'America, dove ottiene un posto al Bryn Mawr College in Pennsylvania. Nel 1935 si sottopone ad un intervento chirurgico per una cisti ovarica e, nonostante i segni iniziali di ripresa, muore dopo quattro giorni.

 

ex_2) CALCOLO DI UNA STRUTTURA RETICOLARE ASIMMETRICA CON IL METODO DEI NODI

Ciao Ragazzi!

Questa volta ci occuperemo di una struttura reticolare ASIMMETRICA che risolveremo con il METODO DEI NODI.

VERIFICA DELLA STRUTTURA ISOSTATICA

Considero la seguente struttura:

Per verificare che la struttura sia isostatica devo avere la seguente condizione: V= l

Il numero dei vincoli deve essere uguale al numero dei gradi di libertà della struttura.

Il numero di gradi di vincolo è dato dal numero di aste presenti nella struttura moltiplicato per il numero di gradi di libertà di ogni elemento.

l = 11 (aste) x3 (gradi di libertà) =33

La struttura ha dei vincoli esterni, in questo caso sono 3: due sono i gradi di libertà che blocca la cerniera a sinistra e uno è il grado di libertà che blocca il carrello ruotato a destra.

Per calcolare il numero di vincoli interni: V_i = 2*(n -1) n= numero di aste che arrivano alla cerniera interna.

La cerniera interna in A e H toglie 2 gradi di libertà : 2(2-1)=2

La cerniera interna in B – D ed E toglie 4 gradi di libertà : 2(3-1)=4

La cerniera interna in G toglie 6 gradi di libertà : 2(4-1)=6

La cerniera interna in C toglie 8 gradi di libertà : 2(5-1)=8

Quindi: V_i= 4+12+6+8=30

V=V_e+V_i

V= 3 V_e + 30 V_i = 33

V 33 = l 33

Oppure possiamo calcolare l’isostaticità della struttura con la seguente formula:

V_e+ N°aste = 2* N°nodi

3+11 = 2*7 è verificato!

La struttura è ISOSTATICA!

CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI

Adesso calcoliamo le reazioni vincolari esterne della struttura. Abbiamo una cerniera che porta una reazione verticale (R_vB) e una orizzontale (R_uB) e un carrello che porta una reazione orizzontale (R_uH). Poi abbiamo 2 carichi puntuali di 10KN sui nodi C ed E.

∑ Fx=0 U_B – U_H= 0 -> U_B = U_H

∑ Fy=0 V_B – F – F = 0 -> V_B= 20KN

Faccio l’equilibrio alla rotazione nel polo A:

∑ M_A=0 U_B*1 – 10KN*1 – 10KN *2 =0 -> U_B= U_H= 30KN

 

METODO DEI NODI

A questo punto consideriamo i singoli nodi della nostra struttura in modo da avere dei nodi con delle aste che hanno i versi ipotizzati da noi:

N.B:Vale la regola di prima! Nel momento in cui ho un risultato negativo, cambio il verso della freccia!

Adesso procedo analizzando tutti i nodi facendo l’equilibrio delle reazioni verticali e orizzontali :

∑ Fy=0 -> N₁₁*√2/2=0 Asta scarica! (Ricordandosi la regola della diagonale del quadrato!)

∑ Fx=0 -> N₁₀ +30KN=0 -> N₁₀ = -30KN Asta compressa!

∑ Fx=0 -> N₇ -30KN=0 -> N₇ = 30KN Asta compressa!

∑ Fy=0 -> N₉ -10KN=0 -> N₉ = 10KN Asta compressa!

∑ Fx=0 -> N₈ + N₆*√2/2=0 -> N₈ = -10KN Asta compressa!

∑ Fy=0 -> N₆*√2/2-10KN=0 -> N₆ = 10√2KN Asta tesa!

∑ Fy=0 -> N₅=0 Asta scarica!

∑ Fx=0 -> N₃ = 10KN Asta compressa!

∑ Fx=0 -> N₂*√2/2+30KN-10KN=0 -> N₂ = -20√2KN Asta compressa!

∑ Fy=0 -> N₁-20KN –20√2*√2/2=0 -> N₁=0 Asta scarica!

∑ Fx=0 -> N₄=0 Asta scarica!

∑ Fy=0 -> N₅ -10KN+10KN=0 -> N₅=0 Asta scarica!

∑ Fx=0 -> N₂*√2/2-30KN+10KN=0 -> N₂ = 20√2KN Asta compressa! (Riconfermiamo!)

 

Ho risolto tutte le incognite delle aste!

Adesso posso mettere in evidenza tutte le reazioni vincolari e vedere quali sono le aste compresse, quali quelle tese e quali risultano scariche.

 

Ho risolto in questo modo la mia struttura calcolandola con il metodo dei nodi!

Adesso analizziamo la struttura utilizzando il programma di calcolo SAP2000.

Si crea un nuovo modello e si imposta la struttura su una griglia, si impostano le unità di misura (in questo caso KN, m , C ) si danno le misure di riferimento sugli assi

• x=4 perché abbiamo 7 interassi
• y=1 perché lavoriamo in 2D
• z=2 perché abbiamo due assi uno superione e uno inferiore

Si impostano anche gli spazi che vengono impostati sul metro (x=y=Z=1) sugli assi XZ.

Per i vincoli faccio click con il tasto destro, metto in evidenza il nodo interessato e tramite assign ->Joint ->Restraints assegno un carrello e una cerniera (indicate dai relativi simboli).Questa volta al carrello dobbiamo bloccare la traslazione lungo l’asse X! Infatti al posto del solito carrello apparirà un asterisco! I carichi puntuali vanno invece definiti prima da define ->load patterns e vanno aggiunti agli altri carichi. A questo punto li metto in evidenza e li assegno tramite Assign ->Joint Loads ->Forces. Per assegnare il verso della forza dobbiamo mettere il segno meno davanti al carico che assegniamo, ed avremo carichi gravitazionali verso il basso; in questo caso -10KN. Avendo una trave reticolare, dobbiamo impostare sforzi assiali puri! Quindi selezioniamo tutta la nostra struttura e da Assign -> Frame ->Releases/partial fixityspuntiamo start e end con moment 33 (major).

Adesso la nostra struttura è impostata.

Per calcolarla dobbiamo fare click su Run Analysis e fare ilRun solo dei carichi concentrati che abbiamo impostato noi! I carichi Dead e Modal devono essere impostati su Do Not Run. A questo punto parte l’analisi che ci permetterà di verificare:

Le forze agenti sulla struttura:

La deformata:

Gli sforzi assiali agenti sulla struttura con il relativo diagramma.

 

ex_3) CALCOLO DI UN PORTALE A TRE CERNIERE CON CARICO DISTRIBUITO A SINISTRA

Eccomi con un altro intervento sulle strutture ISOSTATICHE. Questa volta analizzo un portale con una cerniera e un carico distribuito. La struttura di per sé è simmetrica….ma vedremo che con il carico distribuito a sinistra qualcosa cambierà!

Prima cosa da fare è:

VERIFICA DELLA STRUTTURA ISOSTATICA

Considero la seguente struttura:

Calcolo l’isostaticità della struttura con la seguente formula: V= l

Il numero dei vincoli deve essere uguale al numero dei gradi di libertà della struttura.

l = 3 (aste) x 4 (gradi di libertà) =12

La struttura ha anche dei vincoli esterni che in questo caso sono 4 per per ogni cerniera.

Per calcolare il numero di vincoli interni: V_i = 2*(n -1) n= numero di aste che arrivano alla cerniera interna.

Per la cerniera interna in A abbiamo: 2(1-1)=0

Per la cerniera interna in B abbiamo: 2(2-1)=2

Per la cerniera interna in C abbiamo: 2(1-1)=0

Quindi: V_i= 2

V=V_e+V_i

V= 4 V_e + 2 V_i = 6

V 6 < l 12

LA NOSTRA STRUTTURA NON E’ ISOSTATICA!

ABBIAMO UNA STRUTTURA IPERSTATICA!!!! Perché…. IL NUMERO DI GRADI DI VINCOLO E’ MAGGIORE DEL NUMERO DI GRADI DI LIBERTA’!

V 6 > g 4

Niente pauraaa! Possiamo ricondurre questa struttura iperstatica ad una isostatica facendo il calcolo delle reazioni verticali considerando la struttura come un corpo unico!

Facciamo polo in A e calcoliamo l’equilibrio alla rotazione.

∑M_A=0 -> -qh*h/2 + 2lc = 0 c=qh²/4l

Ora divido la struttura in due parti perché mi servono altre informazioni per risolvere la struttura. Possiamo subito trovare f e sostituire perché siamo sull’asta orizzontale. Ricordandoci che in base alla convenzione positiva:

Gli spigoli portano discontinuità delle azioni di contatto! Quello che nell’asta verticale è un reazione verticale, sull’asta orizzontale diventa sforzo normale. T=N

 

Ripeto l’equilibrio alla rotazione nel polo A:

∑M_A=0 -> -qh²/2 + qh²/4l*l-eh=0 -> e= -qh/4 cambio il verso nella struttura!

Adesso pongo tutte le reazioni nel sistema e mi assicuro che tutto sia in equilibrio! Possiamo notare però che la struttura risulta simmetrica se non per le reazioni orizzontali sulle aste verticali che devono bilanciare il carico distribuito laterale.

 

A questo punto posso disegnare con il metodo qualitativo i diagrammi di N, T e M.

Il diagramma della normale è costante poiché non vi sono carichi distribuiti che gravano assialmente sulle aste. Abbiamo valori positivi per la trazione e negativi per la compressione.

DIAGRAMMA N

Il diagramma del taglio risulta costante per tutta la struttura tranne nel tratto verticale di sinistra dove abbiamo il carico distribuito. In questo caso il taglio diventa lineare (una retta in parole povere! In questo caso porta un “salto” a 3/4 di h partendo dal basso.

DIAGRAMMA T

Per il diagramma del momento dobbiamo ricordare che il momento si disegna sempre dal lato delle fibre tese, e che quando:

TAGLIO COSTANTE = MOMENTO LINEARE

TAGLIO LINEARE = MOMENTO PARABOLICO

Il momento integra la funzione del taglio. (sale di un grado: x=x²). Dobbiamo inoltre ricordarci che quando il momento è massimo, il taglio è nullo e viceversa. In questo caso il momento massimo è M_max= -9/32qh²

DIAGRAMMA M

Adesso verifichiamo la struttura con SAP2000.

Ormai questa struttura si disegna in modo rapido! Dobbiamo ricordarci che questa volta il carico è distribuito e non puntuale. Dopo aver inserito il carico tramite define ->load patterns , assegno il carico distribuito tramite Assign ->Frame Loads -> Distribuited. Cosa importante! Come faccio a far riconoscere a Sap la cerniera???? Dopo aver inserito la cerniera, seleziono una volta l’asta orizzontale di sinistra e vado su Assign ->Frame Relases e spunto per il momento33 end; poi ripeto la stessa cosa per l’asta a destra della cerniera e questa volta però spunto start. Adesso posso far partire l’analisi.

Schema della deformata:

Questi sono i diagrammi:

 

ex_4) CALCOLO DI UN PORTALE A TRE CERNIERE CON CARICO PUNTULE VERTICALE

Analizziamo un portale con una cerniera e un carico puntuale. La struttura è simmetrica.

 

Anche in questo caso possiamo ricondurre questa struttura iperstatica ad una isostatica facendo il calcolo delle reazioni verticali considerando la struttura come un corpo unico! In questo caso poniamo una reazione verticale e una orizzontale sia per la cerniera a destra che per quella a sinistra, ed otteniamo le reazioni a,b,c,d. 

 

 

 

 

 

 

 

Notiamo in questo caso che la struttura essendo simmetrica mi permette di dividere la forza F verticale in due forze che si dividono quel carico in modo uguale e contrario! Quindi avremo la forza F ripartita tra a e c pari ad F/2.

 Per controllo facciamo polo in A e calcoliamo l’equilibrio alla rotazione.

∑M_A=0     ->    c*2l-Fl=0      c=F/2

 

 

 

 

 

Ora spezzo la struttura in due parti perché mi servono altre informazioni per risolvere la struttura. Possiamo fare il calcolo per bilanciare il nodo:

∑F_x(B)=0   ->     -e-g=0    -> -e= -g

∑F_y(B)=0   ->     -F-f-h=0 ->  f= -F-h  ->  h= -F+F/2

 

Ripeto l’equilibrio alla rotazione nel polo A per trovare le reazioni vincolari mancanti:

∑M_A=0     ->    -F/2*l -eh=0     ->  e= -Fl/2h   sostituisco   -e= -g   -> g=Fl/2h

 Adesso pongo tutte le reazioni nel sistema e mi assicuro che tutto sia in equilibrio! Dove ho ipotizzato verso negativo, cambio direzione alla freccia e rendo tutto positivo.

 

A questo punto posso disegnare con il metodo qualitativo i diagrammi di N, T e M.

Per studiare questi diagrammi possiamo utilizzare le equazioni di singolarità:

Fx = N negativo o di sinistra – N positivo o di destra

Fy= T negativo o di sinistra –  T positivo o di destra

C= M negativo o di sinistra – M positivo o di destra

Inoltre sappiamo che quando c’è una forza applicata, in quel punto ci sarà un “salto” con un punto di non derivabilità.

             

Ho svolto subito i calcoli con SAP2000 ricordando che per assegnare il carico puntuale vado su Assign ->Joint Loads ->Forces.  Per assegnare il verso della forza dobbiamo mettere il segno meno davanti al carico che assegniamo, ed avremo carichi gravitazionali verso il basso; in questo caso -100KN.

DIAGRAMMA N

 

Il diagramma della normale è costante poiché non vi sono carichi distribuiti che gravano assialmente sulle aste, e il valore sarà pari alle reazioni vincolari che stanno ai bordi.

DIAGRAMMA T

 

Il diagramma del taglio risulta costante per tutta la struttura tranne nel tratto orizzontale dove abbiamo la forza concentrata. In questo caso il taglio avrà un salto pari alla forza F applicata.

DIAGRAMMA M

 

Avendo un TAGLIO COSTANTE ilMOMENTO saràLINEARE su tutte e tre le aste e pari a zero nelle tre cerniere.Negli spigoli della struttura avremo un valore lineare (triangolare) pari a Fl/2.

Il diagramma della deformata risulterà questo:

 

Qual è il primo edificio in calcestruzzo armato a Roma?

Il primo edificio in cemento armato è l’ex Gil di Luigi Moretti, situato nel quartiere di Trastevere e datato 1933-37. L’edificio accorpava in origine ben tre organismi relativamente autonomi dove si svolgevano attività di rappresentanza, sportive e sanitariee Anch’esso presenta un telaio in cemento armato. L’inedita tipologia delle bianche palestre all’aperto era ottenuta sovrapponendo pilastri e solai: ecco appunto la sintesi tra l’immagine voluta e la funzione necessaria, concretizzata attraverso il disegno di una struttura pura. Nella torre l’ossatura in cemento armato è, invece, nascosta per ottenere un volume chiuso e astratto: i quattro pilastri sono collegati da una tamponatura a cassetta costituita da laterizi posati a due teste e da una fila di laterizi intonacata all’interno. Oltre che per rilevanza dal punto di vista strutturale, esso è considerato una delle più importanti opere architettoniche  moderne della capitale, in quanto manifesto esplicito del razionalismo romano e dunque monumento significativo di confine tra l'architettura tradizionale e l'innovazione moderna di matrice europea.

 

 ex_5) DIMENSIONAMENTO TRAVI E TRAVETTI IN LEGNO, ACCIAIO E CALCESTRUZZO

 Per questa esercitazione dimensioneremo una trave con tre diversi materiali da costruzione: LEGNO, ACCIAIO e CALCESTRUZZO. Ho preso come impalcato di riferimento l’abitazione unifamiliare progettata per il Laboratorio di Progettazione1. Abbiamo una parte dell’impalcato coperta da una terrazza corrispondente ai pilastri B2 –B3 e C2 –C3 e una parte che prevede il piano superiore del duplex. Calcolo quindi la trave B1-B2 che porta il carico del solaio del piano superiore.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La trave presa in esame ha una luce di 4,7m e un interasse di 4,84m. L’area di influenza (ovvero il carico che la trave dovrà sopportare) sarà pari a metà dell’interasse a destra della trave in esame e metà sinistra per tutta la luce. Quindi:     

 AREA DI INFLUENZA-> 4,7m x (2,1m+2,75m) =22,795 mq        LUCE:  4,7m      INTERASSE: 4,85m

Dobbiamo considerare che per ogni tipo di materiale, abbiamo diversi carichi che incidono sulla struttura.

Uguale per tutti risulta il carico Qa= sovraccarico accidentale 2KN/mq

 Questo dato è stato preso dalle NTC (d.m. 14.01.2008) dalla tabella 3.1.II in cui c’è scritto che il carico d’esercizio per gli “Ambienti ad uso residenziale” di categoria A, è legato alla funzione dell’edificio,e tiene conto del numero di persone che passano nell’edificio, del peso dei mobili….

Poi abbiamo dei carichi Qs= carichi strutturali dati dal peso proprio della struttura (travetti, soletta, pignatte…)

 e dei carichi Qp= carichi non strutturali o permanenti sono quegli elementi che compongono il solaio, dati da massetto, pavimento, intonaco e si considerano anche gli impianti, i tramezzi…

Per trovare il carico Q_TOTdobbiamo sommare i carichi Q_TOT= Qa+Qs+Qp

Nel nostro caso l’impalcato risulta una trave doppiamente appoggiata con un carico Q_TOT. Il momento massimo della struttura è ql²/8dove lè la luce del progetto.

                                                                      

Adesso andiamo a calcolare la nostra struttura con i tre materiali:

LEGNO

Per il legno dobbiamo calcolare sia i travetti che la trave principale (in legno lamellare) per capire quale sarà la dimensione della nostra trave. Progettiamo il nostro solaio:

    

Per calcolare il nostro travetto, consideriamo la luce con la campata maggiore. Abbiamo una luce di 5,5 m (campata maggiore, pilastri A1-B1) e un interasse dei travetti di 0,50 m. Facciamo l’analisi dei carichi su un metro quadro di solaio:

DIMENSIONAMENTO DEL TRAVETTO

Sovraccarico accidentale

Qa= 2 KN/mq per civile abitazione (uguale per tutti i materiali)

Carico strutturale

 P (peso)= V (volume) * γ (peso specifico)

 

Tavolato (0,035*1*1)mc * 5,25 KN/mc = 0,18 KN

Qs=P/A = 0,21KN/1mq = 0,18 KN/mq

Oppure Qs= peso specifico*spessore = 5,25KN/mc * 0,035 m= 0,18 KN/mq

Sovraccarico permanente

• Pavimento in legno spessore di 2cm    qp 6,3KN/mc*0,02 m= 0,12KN/mq
• Massetto spessore di 2cm                   qp 24 KN/m³*0,02m = 0,48 KN/mq
• Isolante acustico spessore di 4cm        qp 4 KN/m³ *0,04m = 0,16 KN/mq
• Caldana spessore di 4cm                    qp 10 KN/m³ * 0,04m = 0,4 KN/mq
• Incidenza impianti                              qp= 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi                                qp = 1 KN/mq

Qp= 0,12+0,48+0,16+0,4+0,5+1= 2,66 KN/mq

Adesso inserisco questi dati nel foglio Excel per trovare il carico totale e procedere con il dimensionamento dei travetti. Inserisco i valori dei tre carichi e quello dell’interasse. Per trovare il carico totale al metro lineare bisogna moltiplicare la somma dei carichi per l’interasse:

 

Interasse (m)	Qs (KN/mq)	Qp (KN/mq)	Qa (KN/mq)	Q (KN/m)
0,5	0,18	2,66	2,00	2,42

Q_TOT= interasse*(Qs+Qp+Qa) = 0,5*(0,18+2,66+2) = 2,42KN/m

A questo punto devo calcolare il momento massimo ricordandoci che stiamo calcolando una trave doppiamente appoggiata. Ricordiamoci che la luce dei travetti è pari a 5,5m.

 

q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)
2,42	5,5	9,150625

M_max= (Q*l^2)/8 = 9,15 KN*m

A questo punto devo progettare le dimensioni del mio travetto utilizzando la formula seguente:

                                                                                        

K_modè il coefficiente correttivo che tiene conto della durata del tempo e dell’umidità della struttura. I suoi valori possono esser scelti nella tabella presa dalla normativa; in questo caso vale 0,6 perché rispetta la classe di servizio 1 in cui l’umidità relativa non supera il 65% se non per poche settimane l’anno e la temperatura di equilibrio del materiale si mantiene tale intorno ai 20°C;

f_k  è il valore caratteristico della proprietà del materiale, detta anche tensione di snervamento del materiale, ed è quel valore che troviamo scritto vicino la classe di legno che scegliamo: in questo caso scegliamo una classe di resistenza intermedia GL 28h che corrisponde ad un valore di f_k= 28 N/mmq;

γ_m=1,45 è il coefficiente parziale di sicurezza che varia a seconda del materiale, qui sotto tabellato;

Ho scelto in questo modo laclasse di resistenza del legno lamellare.

Il nostro fD sarà pari a: (0,6*28)/1,45 =11,59 N/mmq

fm,k (N/mmq)	f_D (N/mmq)
28	11,59

Come possiamo vedere il valore della tensione di progetto, che di solito è dato dal valore di crisi diviso per un coefficiente di sicurezza, è ulteriormente dimezzato rispetto al valore di resistenza a flessione poiché, per un materiale viscoso come il legno, bisogna tener conto anche degli effetti del tempo e dell’umidità che incidono profondamente sulle prestazioni del materiale.

Ora, inserendo un valore di base (b=15cm), otteniamo il valore dell’altezza minima che dovrà avere il travetto h= ((6*M*1000)/(b*fd))^5= 13,77 cm.

Ipotizzo quindi un travetto con un’altezza maggiore rispetto al valore trovato per stare in sicurezza, quindi avrò un travetto di  h=20cm e b=15cm e procedo con la verifica.

Verifica

Qtra metro lineare= area sezione * peso specifico = 0,15m*0,2m*5,25KN/mc =0,157 KN/m

Qtr a mq= Qtr/interasse=0,157/0,5= 0,315KN/mq

Ripeto i calcoli sulla tabella Excel.

Aggiungo quindi al calcolo del carico strutturale anche il peso del travetto e ottengo che per la base scelta di 15cm avrei bisogno di un travetto alto minimo 18,02cm che è un valore comunque minore rispetto ai 20 cm del travetto ipotizzato,il dimensionamento del travetto è quindi corretto.->TRAVETTO IN LEGNO GL28h 15X20cm

DIMENSIONAMENTO TRAVE PRINCIPALE

Utilizzo lo stesso procedimento per calcolare la trave principale considerando che adesso il nostro interasse è di 4,85m e la luce è di 4,7m.

Sovraccarico accidentale

Qa= 2 KN/mq per civile abitazione (uguale per tutti i materiali)

Carico strutturale

• Tavolato (0,035*1*1)mc * 5,25 KN/mc = 0,18 KN
• Travetti                 0,02 m * 6 KN/mc  = 0,12 KN/mq

Qs=P/A = 0,18KN/1mq + 0,12KN/1mq = 0,30 KN/mq

Oppure Qs= peso specifico*spessore = 5,25KN/mc * 0,035 m= 0,18 KN/mq

Sovraccarico permanente

• Pavimento in legno spessore di 2cm      qp 6,3KN/mc*0,02 m= 0,12KN/mq
• Massetto spessore di 2cm                    qp 24 KN/m³*0,02m = 0,48 KN/mq
• Isolante acustico spessore di 4cm         qp 4 KN/m³ *0,04m = 0,16 KN/mq
• Caldana spessore di 4cm                      qp 10 KN/m³ * 0,04m = 0,4 KN/mq
• Incidenza impianti                               qp= 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi                              qp = 1 KN/mq

Qp= 0,12+0,48+0,16+0,4+0,5+1= 2,66 KN/mq

Q_TOT= interasse*(Qs+Qp+Qa) = 4,85*(0,30+2,66+2) = 24,056KN/m

M_max= (Q*l^2)/8 = 24,056*4,7^2/8= 66,42KN*m

fD =(0,6*28)/1,45 =11,59 N/mmq

Ipotizzando la base 30 cm avremo un’altezza pari a 33,86cm che quindi può essere approssimata a 35cm. Ora verifico il risultato ottenuto:

Qtr al metro lineare= A x γ = 0,30 m x 0,35 m x 6 KN/m³= 0,63 KN/m

Qtr al metro quadro= Qtr / interasse = 0,63 KN/m / 4,85 m = 0,129 KN/mq

Qs = 0,30 KN/mq + 0,129 KN/mq = 0,429 KN/mq

Ottengo un’altezza pari a 34,30 cm quindiil dimensionamento della trave è corretto.->TRAVE IN LEGNO GL28h 30X35cm.

 

ACCIAIO

Per l’acciaio dobbiamo calcolare la IPE secondaria e capire quale sarà la dimensione della trave principale. Progettiamo il nostro solaio: 

   

Per calcolare il nostro travetto, consideriamo la luce con la campata maggiore. Abbiamo una luce di 5,5 m e un interasse dei travetti di 1 m. Facciamo l’analisi dei carichi su un metro quadro di solaio:

DIMENSIONAMENTO DEL TRAVETTO

Sovraccarico accidentale

Qa= 2 KN/mq per civile abitazione (uguale per tutti i materiali)

Carico strutturale

Per il calcolo strutturale ci serviamo di una delle tabelle da normativa che ci illustrano che per una luce superiore ai 4,20m abbiamo una soletta di 15cm con  una lamiera grecata di 7,5cm.

Qs= 2,50 KN/mq

Sovraccarico permanente

• Pavimento spessore di 2cm                    qp 5 KN/mc*0,02 m= 0,10 KN/mq
• Allettamento spessore di 2cm                 qp 18 KN/m³*0,02m = 0,36 KN/mq
• Isolante acustico spessore di 3,2cm        qp 4 KN/m³ *0,032m = 0,128 KN/mq
• Incidenza impianti                                 qp= 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi                                qp = 1 KN/mq

Qp= 0,10+0,36+0,128+0,5+1= 2,088 KN/mq

Adesso inserisco questi dati nel foglio Excel per trovare il carico totale e procedere con il dimensionamento dei travetti. Inserisco i valori dei tre carichi e quello dell’interasse. Per trovare il carico totale al metro lineare bisogna moltiplicare la somma dei carichi per l’interasse:

interasse (m)	qs (KN/mq)	qp (KN/mq)	qa (KN/mq)	q (KN/m)
1	2,5	2,088	2,00	6,588

Q_TOT= interasse*(Qs+Qp+Qa) = 1 * (2,5+2,088+2) = 6,588 KN/m

A questo punto devo calcolare il momento massimo ricordandoci che stiamo calcolando una trave doppiamente appoggiata. La luce dei travetti è pari a 5,5m.

q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)
6,588	5,5	24,91088

 

M_max= (Q*l^2)/8 =  6,588*5,5^2/8= 24,91 KN*m

Classe di resistenza dell’acciaio

Per progettare le dimensioni del mio travetto utilizzo la seguente tabella con le classi di resistenza per l’acciaio appartenenti al primo gruppo che prevedono acciai non legati, cioè privi di altri metalli nella composizione della lega. Scelgo una classe di resistenza medio-bassa S275 con una tensione di snervamento pari a fyk=275 MPa.

Il nostro fD sarà pari a: fyk/coefficiente di sicurezza dell’acciaio= 275/1,05 = 261,9 N/mmq

Ora calcoliamo il modulo di resistenza Wx = M/fD = 24,91KNm / 261,9 N/mmq * 1000 = 95,11 cmc.

M (KN*m)	fy,k (N/mmq)	F_D (N/mmq)	Wx (cm^3)
24,91088	275	261,90	95,11

Ottenuto questo valore, vado sul profilario delle IPE e cerco nella colonna del modulo di resistenza Wx un valore uguale o superiore a quello che ho ottenuto. Il valore più vicino è quello di una IPE160 con Wx=109cmc, in questo modo mi pongo in sicurezza.

Adesso vado ad aggiungere nei miei calcoli il peso della trave e inserisco nuovamente i dati nella tabella Excel per fare la verifica.

Verifica

Il peso della IPE lo troviamo sempre sul profilario P=15,8 Kg/m

Qtra metro lineare=0,158 KN/m

Qtr a mq= Qtr/interasse= 0,158 KN/m / 1 m= 0,158 KN/mq

Qs= 2,5 KN/mq + 0,158 KN/mq = 2,658 KN/mq

Inserisco nuovamente i dati sulla tabella Excel:

Non si supera il valore di 109cmc, il nostro travetto è dimensionato correttamente! Si conferma un TRAVETTO IPE 160

DIMENSIONAMENTO TRAVE PRINCIPALE

Per calcolare la trave principale adesso ho un interasse è di 4,85m e una luce è di 4,7m.

Sovraccarico accidentale

Qa= 2 KN/mq per civile abitazione

Carico strutturale

Qs= carico soletta + carico travetto = 2,5 KN/mq + 0,158 KN/mq = 2,658 KN/mq

Sovraccarico permanente

Qp= 0,10+0,36+0,128+0,5+1= 2,088 KN/mq

Q_TOT= interasse*(Qs+Qp+Qa) = 4,85*(2,658+2,66+2) = 32,71 KN/m

M_max= (Q*l^2)/8 = 32,71*4,7^2/8= 90,34 KN*m

fD =fyk/coefficiente di sicurezza= 275/1,05 =261,9 N/mmq

Wx= M/fD= 90,34/261,9= 344,95 cmc

La trave IPE  più vicina al valore e che mi permette di progettare in sicurezza è una IPE 270 con Wx= 429cmc

Verifica

Dal profilario calcolo il peso della IPE 270 che è P=36,1 Kg/m

Qtra metro lineare=0,361 KN/m

Qtr a mq= Qtr/interasse= 0,361 KN/m / 1 m= 0,361 KN/mq

Qs= 2,658 KN/mq + 0,361 KN/mq = 3,019 KN/mq

Inserisco nuovamente i dati sulla tabella Excel:

Non si supera il valore di 429cmc, la trave è dimensionata correttamente! Si conferma un TRAVE  IPE 270

 

CALCESTRUZZO ARMATO

Per il calcestruzzo dobbiamo calcolare la trave principale. Abbiamoun interasse è di 4,85m e una luce è di 4,7m.

Sovraccarico accidentale

Qa= 2 KN/mq per civile abitazione (uguale per tutti i materiali)

Carico strutturale

Il carico è dato dalla somma delle Pignatte (16 cm) + Caldana (4cm) tenendo conto della luce del solaio. Dalla seguente tabella possiamo prendere i valori di riferimento in base alla nostra luce.

Qs= 2,66 KN/mq (per luci tra 3.60 e 48.0 m)

Sovraccarico permanente

• Pavimento spessore di 2cm               qp 5 KN/mc*0,02 m= 0,10 KN/mq
• Allettamento spessore di 3cm            qp 18 KN/m³*0,03m = 0,54 KN/mq
• Isolante acustico spessore di 4cm      qp 4 KN/m³ *0,04m = 0,16 KN/mq
• Intonaco spessore di 1,5cm               qp=0,3 KN/mq
• Incidenza impianti                            qp= 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi                           qp = 1 KN/mq

Qp=0,1+0,54+0,16+0,3+0,5+1=2,60 KN/mq

Q_TOT= interasse * (Qs+Qp+Qa) =4,85 * ( 2,66 + 2,60 + 2) = 35,211 KN/m

interasse (m)	qs (KN/mq)	qp (KN/mq)	qa (KN/mq)	q (KN/m)
4,85	2,66	2,6	2,00	35,211

Calcolo del momento massimo

M_max= (Q*l^2)/8 = 35,211*4,7^2/8= 97,22 KN*m

Scelgo la classe di resistenza dell’acciaio

Per l’acciaio da calcestruzzo armato sono previste solo due categorie B450A e B450C che hanno lo stesso valore di tensione di snervamentofy=450 N/mmq ma una differente duttilità cioè si rompono a seguito di due diverse deformazioni e perciò sono associate a due diversi coefficienti di sicurezza.

Scelgo l’acciaio B450C più duttile ammesso in zona sismica che ha un coefficiente di sicurezza più basso pari 1,15.

Tensione di progetto dell’acciaio

fd_f= fy/γ_s= 450/1,15 = 391,30 N/mmq

Tensione di progetto del calcestruzzo

Il calcestruzzo presenta anche delle classi di resistenza cilindrica (che si riferiscono ai test fatti in laboratorio sui provini cilindrici e cubici). Le classi più usate sono la C20/25, C60/75  e la C40/50 come nel nostro caso. Inserisco il valore di resistenza cilindrica del calcestruzzo armato fck=40N/mmq

fd_c = 40/1,75= 22,85 N/mmq

dove 1,75 è il coefficiente di sicurezza del calcestruzzo armato.

Altezza utile

A questo punto devo trovare l’altezza della mia trave ed ipotizzo un valore di base b =20 cm, otteniamo così il valore di altezza utile hu che corrisponde alla distanza tra il lembo compresso della sezione e l’asse dell’armatura tesa.

Tramite il foglio Excel trovo prima il valore α e il valore r per determinare l’altezza utile:

α =  fd_c/ (fd_c+fd_s/15)= 0.47 (numero puro)

r =  ( 2/( α ( 1- α/3)))^0.5= 2.25 (numero puro)

hu= r √(M/ fD_c x b) = 32,84 cm

L’altezza totale H=hu+δ = 32,84 +5 = 37,84 cm

alfa	r	b (cm)	hu (cm)	delta (cm)
0,47	2,25	20	32,84	5

dove δ è la misura del copriferro che di solito misura 5cm.

Quindi se inizialmente potevo ipotizzare una trave alta 35cm, con il copri ferro, devo ipotizzare una trave di 40 cm per stare in sicurezza. Adesso faccio la verifica.

Verifica

Per fare la verifica prendo il valore finale del foglio Excel che mi indica il peso,

Qtra metro lineare= A * peso specifico= 1,89KN/m

Qtr a mq= Qtr/interasse= 1,89/4,7= 0,40KN/mq

Aggiungo quindi al calcolo del carico strutturale anche il peso della trave e ottengo un’altezza totale H=38,74cm che è un valore minore rispetto a H= 40cm scelta, il dimensionamento della trave è quindi corretto ->TRAVE 20x40cm

 

Il processo di produzione del legno lamellare

Il processo di produzione del legno lamellare è l’insieme delle operazioni eseguite in appositi stabilimenti, che consistono essenzialmente nella riduzione del tronco in assi e nella loro ricomposizione, tramite incollaggio, fino a dare origine a elementi di forma e dimensione prestabilita.
                           
Il processo tecnologico consiste nelle seguenti fasi:

Scelta del legname

Le caratteristiche tecniche del prodotto finito dipendono dal materiale di base. E’ ovvio che per ottenere risultati attendibili, occorre partire da una materia prima avente caratteristiche il più omogenee e uniformi possibile.
Qualsiasi tipo di legname può essere potenzialmente utilizzato per tale tecnologia, anche se scelte tecnico-economiche indirizzano, di fatto, l’industria produttrice all’uso di legnami facilmente reperibili, incollabili e meno costosi, compatibilmente ai requisiti richiesti. In Europa si utilizza quindi quasi esclusivamente l’abete rosso, per lavorazioni speciali talvolta il pino silvestre, il larice e il rovere.
Le essenze legnose vengono suddivise, per il legno lamellare, in due categorie o classi, che ne individuano la qualità e le caratteristiche fisico-meccaniche e che condizionano i valori delle corrispondenti tensioni massime ammissibili.

Tali classi o categorie sono (secondo le DIN 1052):

categoria I: legno scelto senza traccia di putredine o danni di insetti, inclinazione massima della direzione delle fibre rispetto alla direzione della tavola non superiore al 10%, nodi sani, non raggruppati, con diametro massimo pari a 30 mm, peso specifico non superiore a 500 Kg/mc (al 20% di umidità) e spessore medio annuo di crescita del tronco non superiore a 3 mm.

categoria II: legno scelto con criteri meno rigidi, tuttavia senza traccia di putredine o danni di insetti, ma con tolleranze maggiori di diametro dei nodi (fino a 40 mm), inclinazione di fibre (fino al 12%), pesi specifici non inferiori a 400 Kg/mc (al 20% di umidità) e spessore medio annuo di crescita non superiore a 4 mm.

Dimensioni del materiale

La normativa DIN, mentre non fissa la lunghezza minima delle assi, ne limita invece lo spessore e la sezione trasversale e precisamente:a) l’area della sezione trasversale massima non deve superare 60 cm² (per legni di conifera), 50 cm² (per legni di latifoglia);
b) la massima larghezza consentita è pari a 25 cm per la singola lamella con uno spessore non superiore a 30 mm, anche se può essere aumentato fino a 40 mm in elementi costruttivi diritti, i quali non siano esposti a variazioni climatiche rilevanti.

Nella pratica costruttiva le lamelle hanno uno spessore finito intorno ai 33 mm e una larghezza pari a quella della sezione trasversale dell’elemento strutturale, normalmente variabile fra 10 e 22 cm, con variazioni modulari di 2 cm e lunghezza delle lamelle di 400-500 cm.

Essiccazione

L’essicazione è l’operazione tesa a ottenere quel grado di umidità del legno compatibile col tipo di colla e, soprattutto, confacente alla destinazione delle strutture. Generalmente essa deve essere compresa fra il 7 e il 16%. Fra due lamelle successive però la differenza di umidità non deve superare il 4%.

Gli impianti per la produzione del lamellare dispongono di essiccatoi. Il legname è messo nelle celle di essiccazione e portato al grado di umidità necessario alla lavorazione ed alla resistenza richiesta. Dopo l’essicazione, poiché il tasso di umidità non è regolare all’interno di una stessa lamella, essendo più basso in periferia che al centro, le lamelle vengono lasciate riposare per due, tre giorni all’interno dello stabilimento prima di essere portate alla linea di lavorazione.

Controllo della qualità delle tavole

Prima della giuntatura le tavole subiscono un controllo dell’umidità e della difettosità, più o meno automatizzato a seconda dell’azienda, il quale porta all’eliminazione dei difetti più gravi e delle eventuali sacche di umidità.

La verifica dell’umidità avviene sulle lamelle prima della loro intestazione per mezzo di test selezionatore tipo passa-non passa. Se l’umidità rilevata nelle lamelle è compresa fra i limiti prefissati, un segnale verde consente il proseguimento delle operazioni, altrimenti il segnale rosso lo arresta fino alla rimozione del pezzo fuori controllo. Le condizioni ambientali, invece, sono costantemente registrate su apposite carte che segnalano eventuali anomalie, evidenziando i valori che superano i limiti inferiori e superiori delle bande di controllo. Queste verifiche interessano tutto il reparto dove si svolgono le lavorazioni, che si succedono a cascata, dal deposito delle lamelle, alla loro intestazione, piallatura, incollaggio, sovrapposizione e pressaggio.
Contemporaneamente al controllo dell’umidità delle lamelle, viene effettuato quello visivo degli eventuali difetti del legno, come per esempio l’eccessivo numero di nodi, imbarcamenti, inclinazione delle fibre, cipollature, ecc. e vengono tagliate le estremità delle assi, eliminando screpolature e fessurazioni di testa. Questa fase deve essere affidata a maestranze qualificate e responsabili.

Giuntatura di testa

Per realizzare elementi strutturali di lunghezza maggiore della singola tavola o asse sono necessari giunzioni di testa. Di solito le giunzioni trasversali correnti fra le varie lamelle vengono effettuate con giunti detti a pettine o a dita, e vengono opportunamente sfalsate al fine di non indebolire una stessa sezione trasversale o una zona dell’elemento strutturale.Questo tipo di giunto è oramai nella prassi considerato come il più vantaggioso, in quanto   consente di ottenere un’ampia  superficie di incollaggio, una volta realizzata l’unione è auto serrante.
Successivamente alla fresatura si ha l’incollaggio di testa delle tavole, effettuato da apposite macchine che applicano forze di compressione variabili in relazione alla lunghezza dei denti dei giunti.

Piallatura e calibratura delle tavole

Le tavole così composte vengono piallate, in modo da offrire superfici piane in vista dell’incollaggio delle facce delle tavole per la successiva formazione della trave. Questo tipo di operazione, unitamente alla calibratura attraverso la quale si ottengono tavole di spessore costante, evita l’instaurarsi di tensioni che possono dare luogo alla formazione di cretti durante la pressatura. Inoltre la piallatura consente di ottenere superfici lisce, requisito molto importante in fase di incollaggio.

Incollaggio delle lamelle

Le colle e le operazioni di incollaggio costituiscono una fra le operazioni più importanti e delicate dal punto di vista operativo e tecnologico. Gli incollanti devono instaurare legami intermolecolari fra la colla stessa e le sostanze che costituiscono il legno, cioè le fibre di cellulosa e lignina, in modo da garantire, nel piano di incollaggio, lo stesso legame della corrispondente essenza legnosa. Le resistenze fisico-meccaniche del collante devono essere almeno eguali a quelle del legno, in modo che i piani di incollaggio non siano piani preferenziali di rottura.

Pressatura

Per realizzare l’incollaggio fra le lamelle bisogna sottoporre l’elemento strutturale a una pressione il più possibile uniforme; tale operazione viene effettuata in apposite presse. Le presse sono costituite da una struttura fissa sulla quale si fa agire un meccanismo di pressatura costituito normalmente da martinetti idraulici o pneumatici. L’operazione di posizionamento delle lamelle e di chiusura della pressa deve essere fatta il più rapidamente possibile, onde evitare che la colla cominci a indurire. Per la chiusura delle presse si procede dal centro verso le estremità. Le travi così realizzate rimangono in pressa per un periodo di 12 ore o più, secondo il tipo di colla, la temperatura e la forma della trave. La temperatura ambiente non deve comunque essere mai inferiore a 18° C. Il legname non deve variare il proprio contenuto idrometrico durante la produzione delle travi poiché il processo chimico che sta alla base della polimerizzazione delle colle è fortemente influenzato dalle condizioni termoigrometriche dell’ambiente in cui esso avviene.

Piallatura delle travi

Rimosse dalla pressa le travi sono lasciate 1-2 giorni a riposo all’interno dello stabilimento. Quindi fatte passare dentro una pialla fissa di forte capacità in modo da dare all’elemento lo spessore finito e rendere uniformi e lisce le superfici laterali.

 

 

 

Finitura e impregnazione

Nel reparto finitura la trave viene intestata realizzando le sagomature di progetto, i fori ed i tagli necessari per l’assemblaggio di elementi metallici.
L’ultima operazione in ordine di tempo consiste nell’applicazione di prodotti impregnanti tramite semplice spennellatura, sostanze cioè con funzione di preservare il legno da insetti, funghi, umidità e con un pigmento che conferisca alle travi il colore voluto. Tale operazione dovrebbe rientrare in seguito tra le operazioni di manutenzione ordinaria. L’applicazione della colla sulle lamelle avviene automaticamente e il sistema attualmente più utilizzato è quello della cosiddetta “incollatrice a fili” che consente di ottenere la realizzazione di un piano di incollaggio con distribuzione abbastanza uniforme della colla.

 

ex_6) ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI UNA STRUTTURA RETICOLARE GEOMETRICA CUBICA DA AUTOCAD A SAP

Quando da piccoli giocavamo con i Geomag a nostra insaputa creavamo delle strutture reticolari spaziali, più o meno complesse…

Era semplice creare un bel cubetto, con le aste tese e al cubo aggiungere delle aste diagonali per renderlo più saldo, oppure facevamo delle piramidi a base quadrata… una delle configurazioni che anche se cadeva a terra al 90% rimaneva intatta! Queste due geometrie sono alla base delle strutture reticolari.

             

Con questa esercitazione disegneremo su Autocad una struttura reticolare cubica spaziale detta anche “piastra” che parte da un modulo: un cubo spaziale di 2m x 2m x 2m.

Siamo nello spazio disegno di Autocad in 2D, impostiamo come unità di misura i metri.

Dobbiamo pensare che questo disegno dovrà essere riportato su SAP! Quindi ci sono dei punti fondamentali da rispettare:

• Disegnare tutto in metri
• Disegnare le aste tutte su un unico layer nuovo che chiameremo ASTE
• Disegnare tutta la struttura partendo dall’origine degli assi(0,0,0) per importarla facilmente su SAP
• Disegnare una struttura chiusain modo che ogni modulo sia chiuso
• Disegnare la struttura in modo che nessuna linea si sovrapponga o sia ripetuta

Da AUTOCAD

STEP 1

Disegniamo un quadrato mancante di un lato con una diagonale,con una polilinea.

Useremo questa figura come modulo per realizzare la nostra struttura.

Non disegneremo un quadrato completo altrimenti quando andremo a copiarlo in serie, avremo delle linee sovrapposte.

 

 

STEP 2

A questo punto passiamo dal 2D al 3D e utilizzando il comando ruota 3D, mettiamo la nostra figura in verticale: ruoto di 90° lungo l’asse x.

 

 

 

 

STEP 3

Con il comando UCS  punteremo la freccia prima in direzione di x (dove voglio vada x e faccio click), poi ripeto la stessa cosa per y e infine per z; in questo modo ruotiamo i tre assi di riferimento nelle direzioni che ci servono.

Per creare questa struttura ripeteremo diverse volte questo comando.

 

 

 

STEP 4

Orbitiamo la nostra figura e disegniamo le altre 3 aste che ci occorrono, ricordandoci sempre di non sovrapporle.

STEP 5

A questo punto abbiamo un primo modulo base in 3D, non ci resta che metterlo in serie! Seleziono le aste interessate e con il comando Array, facciamo una serie rettangolare che ci permette di ripetere il modulo quante volte vogliamo sia lungo l’asse x che y. In questo caso facciamo:

• 1 riga
• 4 colonne
• distanza tra un modulo e l’altro di 2m (dimensione del modulo)

 

 

A questa serie manca un’asta verticale, che adesso possiamo aggiungere con una linea singola.

STEP 6

Ripetiamo la stessa cosa nell’altro verso imposto:

A questo punto ripetiamo in serie:

• 6righe
• 5colonne
• distanza tra un modulo e l’altro di 2m

Ovviamente tutte le aste in più che non ci permettono di chiudere correttamente la figura, devono essere cancellate.Così è completata la nostra struttura reticolare spaziale! 

STEP 7

Ottenuta la figura, la dobbiamo esplodere. Seleziono tutta la figura e scrivo sulla barra di comando esplodi. 

STEP 8

Abbiamo la nostra struttura, dobbiamo ricordarci di salvarla in formato dxf che SAP riesce a leggere bene e in versione 2000 o 2004 per avere una maggiore compatibilità.

A SAP2000

Adesso riportiamo la nostra struttura su SAP per poterla calcolare. Abbiamo bisogno di far diventare tutte le nostre aste dei FRAMES. Questa è la prima cosa che ci viene chiesta su Sap quindi faccio diventare il layer ASTE -> FRAMES.

Definizione dei vincoli esterni

Aiutandoci con il comando ruota inseriamo i vincoli esterni. Poniamo quattro cerniere ai bordi della nostra struttura.Per i vincoli faccio click con il tasto destro, metto in evidenza i nodi interessati e tramite Assign ->Joint ->Restraints assegno le cerniere (indicate dal simbolo).

 

Definizione dei vincoli interni

Per definire i vincoli interni dobbiamo selezionare tutta la struttura e andare su assaign->frame->releases e assegnare il valore nullo all’inizio e alla fine del moment 22 e del moment 33. In questo modo Sap riconoscerà la struttura come reticolare.

Definizione del materiale e della sezione

Per il materiale andiamo su Define->material->add new materiale rinominiamo come “acciaio”, scegliamo dal material type “steel” e lasciamo le caratteristiche fisiche e meccaniche predefinite.

Per la sezione, andiamo su Define->sectione properties->frame sections->add new propertye scelgo la sezione “pipe” che rinominiamo come “tubolare” e diamo il materiale “acciaio”.

Selezioniamo tutta la struttura andiamo su ->assaign->frame->frame sections e scelgliamo la sezione definita.

Aggiunta dei carichi

Per definire i carichi andiamo su Define->load patterns->add new load patternche rinomino come “puntuale” e impostiamo il valore “0” nel self weight multiplier.

Adesso dobbiamo assegnare il carico, ma solo ai nodi superiori! Quindi dobbiamo cercare di visualizzare solo i nodi superiori. Per farlo entriamo nella tavola di visualizzazione del piano xy e tra le opzioni spuntiamo le opzioni che mi permettono di avere nodi visibili e aste nascoste.

Per visualizzare solo i nodi superiori su una vista bidimensionale, andiamo su view->set 2D view->selezioniamo il piano superiore (quello con la z=2). Selezioniamo tutti i nodi sul piano xy , andiamo su Assaign->joint loads->forces e inserisco un valore di -40 KN a “force global Z”.

Run -> Analisi

Torniamo al display per visualizzare tutti i nodi e le aste e facciamo partire l’analisi.

Dai diagramma dello sforzo normale, possiamo vedere quali sono le aste più sollecitate. Andiamo su display->show tables->analysis results. In questo modo possiamo visualizzare le tabelle che sintetizzano i dati delle analisi della struttura e soprattutto aprendo la tabella “element forces-frames”. In questa tabella abbiamo tutte le aste e possiamo facilmente individuare l’asta maggiormente tesa(N=258,934KN) e quella maggiormente compressa(N=-307,254KN).

Dimensionamento asta maggiormente tesa e compressa

Per progettare le aste devo scegliere dai profilari un tipo di sezione per le aste, in questo caso scegliamo dei tubi circolari presi dal sito della OPPO (http://www.oppo.it/tabelle/profilati-tubi-circ.htm) e li scegliamo di un acciaio resistente del tipo Fe 510 con S355 quindi il nostro fyk=355 MPa

Progetto asta tesa

Fd=N/A la nostra incognita è A! dobbiamo trovare l’area minima della sezione per scegliere il nostro profilato.

Sappiamo che: Fd=fyk/γ_m1   ->355/1.15=308.7 N/mmq e dalla nostra tabella prendiamo il valore trovato di N=258,934 KN.

A=N/fd= 258,934*1000/308.7=838,79mmq=8,39cmq

Sul nostro profilario scegliamo un tubolare con area maggiore di quella trovata, quella direttamente superiore è di A=965mmq=9,65cmq

Dobbiamo verificare che con questi dati la seguente disequazione sia vera:

N/A<fd

258934N/965mmq=268,32N/mmq >Fd    non è verificata!

Provo con una sezione con area maggiore A=1070mmq=10,70cmq

258934N/1070mmq=241,994N/mmq <Fd  -> L’ASTA TESA È VERIFICATA!

Progetto asta compressa

Ripetiamo gli stessi calcoli per l’asta maggiormente compressa:

Fd=308.7 N/mmq

Questa volta N=-307,524 KN

A=N/fd=307,524*1000/308.7=996,19mmq=9,96cmq

Scelgo un profilato con sezione tubolare maggiore A=1070mmq =10,70cmq

Facciamo la verifica: N/A<fd 307524N/1070mmq=287,40N/mmq <Fd   -> È VERIFICATA!

Ma per l’asta compressa oltre a questa verifica, dobbiamo procede con la verifica a snellezza e quella a stabilità.

Verifica a snellezza

Si definisce lunghezza d’inflessione la lunghezza l₀= β lda sostituire nel calcolo del carico critico elastico Ncr alla lunghezza l dell’asta quale risulta dallo schema strutturale. Il coefficiente β deve essere valutato tenendo conto delle effettive condizioni di vincolo dell’asta nel piano di inflessione considerato.

                 

La snellezza non ha dimensione fisica e misura il rapporto tra la lunghezza e la larghezza del profiloλ=l₀/ρ_min

l₀₌lunghezza dell’asta=2,82m

ρ_min=giratore d’inerzia=3cm

λ=282cm/3cm=94<200  -> OK! È VERIFICATO!

Verifica a stabilità

Adesso dobbiamo verificare che  ->  Nd≤ Nbrd che è la resistenza a instabilità.

                         

Da questa formula si susseguono delle formule che partendo dal carico critico Euleriano ci permettono di verificare che il carico di compressione di progetto, sia minore della resistenza a instabilità.

                      

E=modulo di elasticità 210.000Mpa

J_min=momento di inerzia minimo della sezione=96,30cm⁴=963000mm⁴ (valore tabellato)

l_o=lunghezza libera di inflessione che dipende dal tipo di vincolo, nel caso di cerniera e carrello

l= l_o=2√2=2,82m (poiché l’asta maggiormente compressa è una diagonale del quadrato)

N_cr= π²*210000N/mm²*963000mm⁴/7952400mm²=250730,2N~250,73KN

Trovato il carico critico Euleriano, devo trovare il valore:

               

Dove : Φ=0,5*[1+λ²+α(λ-0,2)]

α=0,21 valore tabellato dalle norme tecniche

                   

λ =1,52

quindi Φ=0,5*[1+λ²+α(λ-0,2)]=0,5*[1+2,29+(0,21*1,32)]=1,67

Χ=1/[1,67+√( 1,67²-1,52²)]=1/2,36=0,42

N_brd=0,42*1070*355/1,05=151940 N= 151,94 KN< N_d   LA SEZIONE NON È VERIFICATA!

Ripeto la verifica scegliendo una sezione con area maggiore! Abbiamo visto che il valore è nettamente inferiore! Quindi possiamo scegliere una sezione più grande di qualche centimetro. Proviamo con A=1540mmq =15,40cmq

Facciamo la verifica: N/A<fd 307524N/1540mmq=199,69N/mmq <Fd   -> È VERIFICATA!

λ=282cm/4,8cm=58,6<200  -> È VERIFICATO!

N_cr=π²*210000N/mm²*3570000mm⁴/7952400mm²=929498,2N~929,5KN

λ=√(A*fyk)/N_cr=0.77

Φ=0,5*[1+λ²+α(λ-0,2)]=0,5*[1+0,59+(0,21*0,57)]=0,85

Χ=1/[Φ+√( Φ²-λ²)]=1/[0,85+√( 0,85²-0,59²)]=0,68

N_brd=A*Χ*fyk/γ_m0=1540*0,68*355/1,05=354053,33 N= 354,05KN  N_d<N_brd-> LA SEZIONE È VERIFICATA!

 

ex_7) RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE

Con questo esercizio vedremo come si ripartiscono le forze sismiche su un telaio di un piano avendo di base dei telai shear-type che creano dei controventi per tutta la struttura. Grazie anche agli ultimi avvenimenti non possiamo sicuramente dimenticare il fatto che siamo un PAESE SISMICO! Quindi nella progettazione dobbiamo rispettare le norme antismiche ormai obbligatorie dal 2008. Dobbiamo verificare che le nostre strutture sopportino non solo le forze dei carichi verticali (quindi il peso della struttura stessa) ma anche le forze orizzontali date ad esempio dal vento e dai sismi che arrivano dirette sulla struttura.

Controventi: sono dei vincoli che impediscono alla struttura di effettuare uno spostamento o una rotazione dovuta da una forza orizzontale. Questi hanno un comportamento elastico e vengono rappresentati come delle molle dove la rigidezza di ognuna di esse rappresenta proprio la rigidezza di ogni telaio. Nel caso di una sollecitazione orizzontale (sisma, vento) la forza è applicata nel centro di massa (baricentro) della struttura. Quando si progetta una struttura bisogna pensare alla posizione di tutti i controventi (e alla rigidezza di ognuno) e a far coincidere il più possibile il centro di massa con il centro delle rigidezze (punto attorno al quale la struttura ruota) per diminuire il braccio della forza orizzontale e quindi il momento dovuto ad essa.

La struttura è IPERSTATICA, ma posso risolverla facilmente con il metodo delle rigidezze riconducendola ad una isostatica, considerando i nostri controventi come dei vincoli elastici (molle) che rispondono alle forze esterne applicate. Grazie alla presenza delle Shear Type si comporta come un corpo rigido e ha quindi solo  modi per muoversi: traslando verticalmente, traslando orizzontalmente o ruotando, i suoi vincoli sono proprio i controventi. Per il calcolo delle molle è valida la legge di Hooke che ci permette di comprendere come si distribuiscono le rigidezze in pianta: entrano in gioco le forze di sollecitazione orizzontale.

f=k*δ

 k= rigidezza della molla

δ=lo spostamento elastico

In base all’altezza dei pilastri, al modulo elastico del materiale con cui sono costruiti e al modulo di inerzia di ciascun pilastro che a sua volta dipende dalla forma e dalle dimensioni della sezione, abbiamo una rigidezza traslante diversa.

La nostra struttura è composta da 12 pilastri a sezione rettangolare in cemento armato quindi il loro un modulo elastico sarà pari a E=21000N/mm², con dimensioni 30x55cm e un interpiano di 3,50m. Le sezioni rettangolari dei pilastri hanno due diversi momenti di inerzia, uno rispetto all’asse x e uno rispetto all’asse y:

I_y=(hb³)/12=(55*30³)/12=123750cm⁴

I_x=(bh³)/12=(30*55³)/12=415937,5cm⁴

Dobbiamo ricordare che in base a dove abbiamo la campata con la luce maggiore, dobbiamo girare i pilastri nel verso opportuno affinché portino il momento flettente maggiore.

STEP 1 CALCOLO DELLE RIGIDEZZE TRASLANTI DEI CONTROVENTI DELL’EDIFICIO

Calcoliamo la rigidezza traslante per tutti i telai con la seguente formula: Kt=12E*(I₁+I₂+I₃...)/h².

STEP 2 TABELLA SINOTTICA RIGIDEZZE CONTROVENTI E DISTANZE

Ricopiamo in questa tabella le rigidezze dei telai e le distanze orizzontali e verticali di ciascun telaio dal punto di origine 0.

STEP 3 CALCOLO DEL CENTRO DI MASSA

Per calcolare le coordinate del centro di massa G utilizziamo le seguenti formule:

X_G=(Area₁*X_G1+Area₂+*X_G2)/(Area₁+Area₂)

Y_G=(Area₁*Y_G1+Area₂+*Y_G2)/(Area₁+Area₂)

A₁A₂ = aree in cui è diviso l’impalcato

X_G1 Y_G1  ; X_G2 Y_G2= coordinate del baricentro di ciascuna delle due aree.

Possiamo disegnare l’impalcato con le due aree individuate e le molle che rappresentano i controventi.

STEP 4 CALCOLO DEI CENTRO DELLE RIGIDEZZE E DELLE RIGIDEZZE GLOBALI

Adesso troviamo il centro delle rigidezze C con le formule:

X_c = [Σ_i (Kv_i*dv_i)]/Kv_tot

Y_c = [Σ_i (Ko_i*do_i)]/Ko_tot

e le distanze di ciascun controvento dal centro delle rigidezze e la rigidezza torsionale  K_φ=Σ_i(K_i*dd_i²).

 

STEP 5 ANALISI DEI CARICHI SISMICI

Partiamo dalla formula della forza sismica:

F=m*a = m*g*c = c(m*g) = c*P

 a=c*gfrazione dell’accelerazione di gravità con c<1->coefficiente di intensità sismica

m*g  è la formula del peso P della struttura quindi possiamo dire che la forza sismica è una “frazione del peso della struttura”.

Per calcolare il peso di una struttura:

P = G+ψ*Q

G= (qs+qp)*A_tot -> somma del carico strutturale e quello permanente per l’area dell’impalcato.

Q= qa*A_tot ->carico accidentale per l’area dell’impalcato

Ψ=o,80-> coefficiente di contemportaneità o di partecipazione che per normativa è <1

Quindi possiamo trovare la forza sismica  F=P*c.

STEP 6/7 RIPARTIZIONE FORZA SISMICA LUNGO x/y

Con questa tabella verifichiamo sia in direzione x che in direzione y quali potrebbero essere le conseguenze di un possibile sisma. Il momento torcente nelle due direzioni èM_x= F (XC - XG) e M_y= F (YC - YG)  con XC-XG e YC-YG che sono i bracci della forza sismica applicata lungo le due direzioni.

Una volta calcolati i momenti torcenti, la rotazione e le traslazioni orizzontali e verticali possiamo calcolare come la forza sismica si ripartisce su ogni controvento in entrambe le direzioni.

Lungo x:

per i controventi orizzontali Ri^o= Ki^o * (uo + ϕdi^o)

per i controventi verticali Ri^v= Ki^v * ϕdi^v

Lungo y:

per i controventi orizzontali Ri^o= Ki^o * ϕdi^o

per i controventi verticali Ri^v= Ki^v * (uv + ϕdi^v)

La nostra struttura non essendo simmetrica avrà il centro delle rigidezze che non coincide con il centro delle masse e quindi in caso di sisma si genererà un momento torsionale intorno al punto C con una rotazione minima ed una leggera traslazione.

 

 

Costruzioni antisismiche: la casa Sofie

SOFIE - Sistema Costruttivo Fiemme- è un progetto di ricerca sull'edilizia sostenibile condotto dall'Istituto IVALSA del Consiglio Nazionale delle Ricerche con il sostegno della Provincia Autonoma di Trento. SOFIE ha lo scopo di definire le prestazioni e le potenzialità di un sistema per la costruzione di edifici a più piani, realizzato con struttura portante di legno trentino di qualità certificata e caratterizzato da elevate prestazioni meccaniche e basso consumo energetico, ottimi livelli di sicurezza al fuoco e al sisma, comfort acustico e durabilità nel tempo: il sistema X-LAM (pannelli lamellari di legno massiccio a strati incrociati). Nata in Germania meno di dieci anni fa, questa tecnica costruttiva si basa sull'utilizzo di pannelli lamellari di legno massiccio di spessore variabile dai 5 ai 30 cm realizzati incollando strati incrociati di tavole di spessore medio di 2 cm. I pannelli vengono tagliati a seconda delle esigenze architettoniche completi di aperture per porte, finestre e vani scala e in seguito issati e collegati tra loro in opera con angolari metallici, chiodi a rilievi tronco-conici e viti autoforanti. I pannelli sono realizzati interamente con legno proveniente dalle foreste della Valle di Fiemme e delle altre valli del Trentino.

Statica

I pannelli a base di legno di tipo X-lam sono elementi di parete, di solaio e/o di copertura realizzati incollando fra loro, a pressione, strati sovrapposti di lamelle di legno. Ogni lamella è formata dalla giunzione a dita, testa contro testa, di tavole di legno strutturale (cioè individualmente classificate e selezionate secondo la resistenza meccanica). La direzione delle lamelle di uno strato del pannello è perpendicolare a quella delle lamelle degli strati adiacenti. Questa disposizione incrociata conferisce una notevole stabilità dimensionale e di forma al pannello stesso, nonché buone caratteristiche meccaniche in tutte le direzioni. Il tipo di incollaggio, l’esecuzione a regola d’arte dei giunti a dita e della pressatura del pannello nonché l’uso esclusivo di tavole classificate secondo la resistenza meccanica, rappresentano altrettante condizioni indispensabili affinché il pannello X-lam possa essere impiegato nelle costruzioni.

Sisma

Nel 1995 in Giappone si è verificato quello che sia per numero di vittime che per tipologia di danno è considerato il terremoto più distruttivo per le opere civili. La terrà tremò per quasi 30 secondi, sconquassando un’intera regione e provocando quasi 6 mila morti. Proprio a Kobe, dopo la tragedia, il Governo giapponese ha deciso di realizzare, con una spesa di 4 miliardi di dollari, il più importante centro di sperimentazione antisismico del mondo. Dal 2004 vengono testati i prototipi in scala reale di centinaia di abitazioni, ponti, palazzine e opere civili e industriali. La lista d’attesa per accedere all’E-Defence, così viene chiamato il laboratorio con la sua piattaforma di simulazione dove americani, inglesi, tedeschi e cinesi fanno la coda per ottenere la certificazione antisismica giapponese, l’unica riconosciuta in tutto il mondo. Proprio a Kobe nel 2007 durante una simulazione, una struttura interamente di legno ha resistito ad una simile forza d’urto. A riuscirci è stata una palazzina alta 23,5 metri realizzata e progettata in Italia.

Ivalsa ha effettuato una serie di prove sperimentali volte a caratterizzare il comportamento strutturale di edifici con struttura portante di pannello di legno di tipo X-lam con particolare riguardo al loro comportamento nei confronti delle azioni sismiche. A questo proposito è stato intrapreso un programma di ricerca in collaborazione con il Laboratorio prove materiali e strutture della Facoltà di Ingegneria di Trento, il National Institute for Earth Science and Disaster Prevention (NIED), il Building Research Institute (BRI), l'Università di Shizuoka e il Centre for Better Living in Giappone, che si è sviluppato attraverso alcune fasi principali:

• prove monotòne e cicliche su giunti;
• prove monotòne e cicliche su pannelli parete con diverse configurazioni di giunti, aperture, dimensioni dei pannelli e aliquota di carichi verticali applicati condotte presso i laboratori Ivalsa;
• prove pseudo-dinamiche su un provino di edificio a un piano in dimensioni reali con 3 differenti configurazioni delle aperture nelle pareti esterne parallele alla direzione di applicazione del terremoto condotte presso l'Università di Trento;
• prove su tavola vibrante su un edificio di tre piani con dimensioni in pianta di m 7x7 e 10 m di altezza totale con copertura a due falde in 3 differenti configurazioni delle aperture nelle pareti esterne parallele alla direzione di applicazione del terremoto e con tre diversi terremoti applicati in serie (Kobe, El Centro e Nocera Umbra) condotte presso il NIED di Tsukuba in Giappone;
• prove su tavola vibrante 3D full-scale su edificio di sette piani con dimensioni in pianta di m 15x7.7 e 23,5 m di altezza totale, copertura a singolo spiovente e masse aggiuntive su ciascun solaio pari al 30% del carico di esercizio, come previsto dai codici europeo e italiano per le combinazioni di carico sismiche (peso totale dell'edificio: 285 tonnellate circa), condotte presso l'E-Defense del NIED di Miki in Giappone, mediante l'applicazione in serie di due diversi terremoti (Niigata-Chuetsu-Oki e Kobe).

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=W4q_ytmwyzY