Questa esercitazione prevede il progetto di una trave reticolare spaziale.

La travatura reticolare ha tratto la propria origine dalla necessità di impiegare strutture sempre più leggere per superare luci sempre più grandi.

Per l’esercitazione utilizzo il software SAP 2000.

I passaggi da effettuare possono essere suddivisi in macro gruppi:

• Modellazione
• Definizione vincoli e carichi
• Analisi del modello
• Dimensionamento

1 MODELLAZIONE

Aprendo il software il primo passo da eseguire è la realizzazione di una griglia sulla quale eseguire il modello:

NEW MODEL - GRID ONLY - KN, m, C

Inserisco nelle caselle X, Y, Z i valori che comporranno la mia griglia

Realizzo il modulo cubico di 2 x 2 x 2 m.

Successivamente seleziono il modulo, e facendo attenzione a non duplicare le aste in comune, lo copio attraverso i comandi CTRL+C e CTRL+V lungo l’asse X e lungo l’asse Y.

2 DEFINIZIONE VINCOLI E CARICHI

Selezionando i punti più estremi della trave attraverso i comandi ASSIGN - JOINT- RESTRAINTS, posso definire la tipologia di vincolo (in questo caso cerniere).

Attraverso i comandi ASSIGN - FRAME - RELEASES  svincolo i nodi al momento poiché la trave reticolare lavora a sforzo normale di trazione e compressione

Procedo poi con la caratterizzazione della struttura attraverso la scelta del materiale e la denominazione di ogni asta.

Assegno poi dei carichi del valore negativo – 100 (per indicare la direzione della forza lungo il basso) attraverso i comandi ASSIGN - JOINT LOADS - FORCES ai nodi selezionati.

3 ANALISI DEL MODELLO

Successivamente analizzo la struttura prendendo in considerazione le forze precedentemente applicate, e assegno “NOT RUN” a DEAD e a MODEL, e “RUN” a “F”.

Si può notare come i diagrammi di taglio e momento non siano presenti, poiché stiamo analizzando una trave reticolare (come precedentemente detto).

Estraggo poi le tabelle con i valori di trazione e compressione riferite ad ogni asta su un foglio Excel per procedere con il dimensionamento.

4 DIMENSIONAMENTO

Dopo aver esportato i dati rimuovo i valori che si ripetono per ogni asta e assegno a ognuna di queste la sua lunghezza, facendo attenzione a quelle che sono aste orizzontali e verticali e aste diagonali.

Di conseguenza seleziono le aste rispetto allo sforzo alle quali sono soggette (trazione, compressione) e successivamente le dimensiono.

TRAZIONE

Per la trazione scelgo il profilato in base al valore di Area minima (Amin) calcolato dal foglio Excel. 

COMPRESSIONE

Per la compressione invece scelgo il profilato più adatto facendo attenzione ai valori di Amin, rhomin, Imin.

Un’ ulteriore verifica della quale devo tener conto e il valore di Lamba finale che deve risultare < 200.

Una struttura reticolare è costituita da un assemblaggio di elementi lineari disposti secondo un triangolo o una combinazione di triangoli vincolati attraverso cerniere interne. Essendo la figura del triangolo considerata come una forma strutturale rigida, è possibile attraverso l'aggregazione di unità triangolari, costruire una struttura rigida a sua volta, che può raggiungere luci elevate. I carichi esterni producono, all'interno degli elementi, uno stato di pura trazione o di pura compressione. Generalmente le forze di compressione si sviluppano negli elementi superiori (corrente superiore) mentre le forze di trazione in quelli inferiori (corrente inferiore); nelle aste di parete, invece, è possibile che si sviluppi una qualsiasi di queste forze, anche se si presenta spesso un'alternanza tra trazione e compressione.

In questa esercitazione verranno evidenziati questi concetti, attraverso la costruzione di una trave reticolare spaziale con il programma SAP 2000, ed infine verranno dimensionate le aste e verificata la stabilità.

1. Realizzazione della struttura reticolare attraverso il comando Grid Only e Draw Frame                                                                                                                                                             
2. Inserimento dei vincoli esterni attraverso il comando Assign-Joint-Restraint-cerniera                                                                                                                                                                                                                                                                       
3. Assegnazione del vincolo interno (cerniera interna) attraverso il comando Assign-Frame-Releases-Partial Fixity, con selezione di Moment 22 e 33.                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
4. Definizione ed assegnazione della sezione attraverso il comando Define-Materials-Add new material (steel) e Define-Section Properties-Frame Sections-Add new property (Pipe). Infine Assign-Frame Sections.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
5. Assegnazione del carico attraverso il comando Define-Load patterns considerando il peso proprio della trave nullo, e Add new load pattern. La definizione del carico, pari a 150 kN, viene eseguita una volta selezionati tutti i nodi superiori, attraverso il comando Assign-Joint Load forces e Load pattern name.                                                                                                                                    
6. Analisi della struttura, selezionando il carico precedentemente inserito, attraverso il comando Run analysis. In questo modo si ottiene la deformata della struttura.                                                                                                                                                                                                                                                                              
7. Osservazione degli sforzi assiali attraverso il comando Display-Show forces (Axiel force). E' possibile scegliere tra due modalità di visualizzazione: Fill diagram e Show values on diagram.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
8. Esportazione delle tabelle in Excel attraverso il comando Display-Show tables-Analysis results-Element forces frame. Una volta distinte le aste tese da quelle compresse, sono stati inseriti i valori di N (dati da SAP 2000) nelle tabelle di Excel di dimensionamento. Va ricordato che, nel caso delle aste tese, A_min = N / f_yd ; di conseguenza, una volta trovata l'area minima, è possibile dimensionare ogni asta tesa.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Per le aste compresse, bisogna far fronte al problema della stabilità. Di conseguenza il dimensionamento viene effettuato considerando N_{CRIT =} π² E I_min / λ₀² , dove λ₀  = β l. β in questo caso è pari ad 1, poichè le aste possono essere considerate come delle travi appoggiate, mentre l è pari a 2. Il materiale è acciaio S235 con modulo di resistenza pari a 21000 MPa.                                                                                                                                                                   

In entrambi i casi sono state dimensionate tutte le aste della trave reticolare spaziale, attraverso l'uso del profilario, pur sapendo che in un caso reale il dimensionamento viene ottimizzato scegliendo un numero limitato di profili, valutando il trade-off tra i costi dovuti alla differenziazione delle aste ed il peso di queste ultime.

L'esercitazione consiste nel dimensionare una mensola (nei tre sistemi costruttivi di legno, acciaio e c.a.) e di calcolarne l'abbassamento massimo.

Uso lo stesso solaio di carpenteria della prima esercitazione (dimensionamento di una trave) aggiungendogli uno sbalzo di 2m.

SOLAIO IN LEGNO

Dati i carichi calcolati nel precedente solaio li adatto alla porzione di solaio portato dalla mensola più sollecitata (quello evidenziato in rosso). Trovato il carico ultimo (qu) posso ricavare il momento massimo, che in una mensola è q_u*l²/2. Inseriti poi i valori caratteristici del legno (lamellare GL24H) per ricavare la tensione di progetto (fd)  ipotizzo una base per la sezione della mensola da cui ottengo un'altezza da ingegnerizzare.

Ne risulta che la mensola ha una sezione di 25cmX45cm.

Inseriti poi dati relativi all'elasticità del materiale ed all'inerzia della sezione ricalcolo il carico ultimo allo stato limite di esercizio (qe) poichè l'abbassamento che ci interessa calcolare non porta al collasso della struttura ma ad una sua perdita di funzionalità.

A questo punto posso calcolare l'avvassamento v_max=q_e*l⁴/8*E*I_x .

Per capire se è un abbassamento eccessivo faccio riferimento alla disequazione l/v_max >= 250 .

SOLAIO IN ACCIAIO

Allo stesso modo calcolo il carico ultimo ed il momento massimo anche nella mensola in acciaio; inseriti poi i dati relativi alla tensione dell'acciaio (S235) posso calcolare il modulo di resistenza W_x,min in base al quale scelgo la trave dalla tabella delle IPE.

Scelgo una IPE270 della quale inserisco in tabella peso e momento d'inerzia.

Calcolo il q_e e di conseguenza l'abbassamento massimo. Infine verifico che l/v_max >= 250 .

SOLAIO IN CEMENTO ARMATO

Calcolati anche per la mensola in c.a. il carico ultimo ed il momento massimo ed inseriti i dati tensionali sia dell'acciaio delle barre, sia del calcestruzzo, ricavo le tensioni di progetto di entrambi i materiali (fyd, fcd); imposto una base per la trave (scelgo 25cm + 5cm di copriferro) e ricavo un'altezza minima di 25,42cm che ingegnerizzo a 35cm. A questo punto ricavo il peso unitario della trave che andrò a sommare al carico strutturale qs per verificare l'altezza ottenuta.

Inseriti i dati relativi all'inerzia, al peso ed all'elasticità della trave calcolo il q_e e di conseguenza l'abbassamento massimo. Infine verifico che l/v_max >= 250 .

Questa terza esercitazione consiste nel dimensionare una trave a sbalzo in legno, in acciaio

e in c.a., in modo che alla fine il valore dello spostamento massimo v_max  soddisfi la

disequazione l / v_max > 250.

La prima differenza rispetto alla prima esercitazione è nel valore del momento massimo:

infatti lo schema statico di riferimento non è più quello della trave doppiamente appoggiata

(M_max = q_ul²/8) ma quello della mensola (M_max = q_ul²/2). Inoltre per questa esercitazione

bisogna prendere in considerazione il valore del modulo elastico E proprio di ogni materiale e

del momento di inerzia I_x, che servono a calcolare lo spostamento massimo.

Prendo in esame la trave maggiormente sollecitata, ovvero la trave B.

SOLAIO IN LEGNO

La sezione del solaio è la stessa di quella usata nella ESERCITAZIONE 1, per questo motivo

ho già i valori q_s = 0,33 KN/mq      q_p = 3, 22 KN/mq       q_a = 2 KN/mq, che mi

determinano  q_u = 33,036 KN/mq.

Scelgo un legno lamellare GL24H che ha f_m,k = 24,00 MPa, k_mod = 0,80  e y_m = 1,45.

Imposto come base 25 cm e, siccome viene determinata un'altezza minima di 43,26 cm,

scelgo un altezza di 45 cm. Inserisco poi il modulo elastico del materiale  E = 8000 N/mm²

e il momento di inerzia I_x = 189844 cm⁴.

A questo punto il sistema calcola lo spostamento massimo e siccome

 l / v_max = 427,25 > 250 la trave 25 cm x 45 cm risulta verificata. 

SOLAIO IN ACCIAIO

Anche per il solaio in acciaio ho già i valori q_s = 2,31 KN/mq      q_p = 2,672 KN/mq    

q_a = 2 KN/mq, che mi determinano q_u = 40,044 KN/mq.

Scelgo poi un acciaio S235 che ha f_y,k = 235 N/mm².

Siccome W_x,min = 559,13 cm³ , scelgo un profilato IPE 330 (W_x = 713, 1 cm³) e inserisco il

suo I_x = 11770 cm⁴ e il suo peso P = 0,49 KN/m. 

Inserendo poi il modulo elastico dell'acciaio E = 210000 N/mm², il sistema calcola lo

spostamento massimo e siccome l / v_max = 518,269 > 250 la trave scelta risulta verificata.

SOLAIO IN C.A.

Anche per il solaio in c.a. ho già i valori q_s = 2,46 KN/mq      q_p = 2,852 KN/mq       

q_a = 2 KN/mq, che mi determinano q_u = 41,90 KN/mq.

A seconda dell'acciaio e del cls che scelgo per la trave inserisco f_y,k e f_c,k, che nel mio caso

sono  f_y,k = 450 N/mm²  e  f_c,k  = 60 N/mm². 

Imposto una base di 20 cm e, siccome l'altezza minima viene di 33,96 cm, scelgo un'altezza

di 40 cm.

Il sistema, aggiungendo il peso proprio della trave, calcola un'altezza minima di 33,96 cm e

quindi la trave 20 cm x 40 cm risulta verificata. 

Inserendo poi il modulo elastico E = 21000 N/mm² , il sistema calcola I_x = 106667 cm⁴.

Ne deriva lo spostamento massimo e siccome il rapporto l / v_max = 420,90 > 250 la trave

scelta risulta verificata anche in relazione all'abbassamento. 

Appena si apre il programma controllare le unità di misura, poi in questo caso utilizziamo GRID ONLY per realizzare la nostra trave reticolare. Dare le dimensione delle aste della trave di progetto (2m di lunghezza) ed il numero di assi (dei cubi della trave) sugli assi x, y, z

Con il comando FRAME  ripassare tutti i lati del cubo più le controventature di tutte le facce stando attenti a non passare più volte sulla stessa asta! Per verificare che non ci siano più linee una sopra l'altra EDIT(dopo aver selezionato tutto il cubo)-MERGE DUPLICATES-OK

Per velocità non mi metto a ridisegnareuno per uno i cubi ma copio quello già disegnato. Lo seleziono esclusa la prima faccia -CTRL C - CTRL V e mi compare un PASTE COORDINATES. farò lo stesso passaggio per tutti e tre gli assi (nell'immagine qui sotto è stato ricopiato sull'asse x dandogli un valore 2 essendo ogni sta lunga 2m.

seleziono tutto - EDIT - EDIT POINTS - MERGE POINTS ti dovrebbe dare una tolleranza di 0,1

Ora poniamo i vincoli e facciamo l'analisi della trave. selezionare i 4 spigoli più esterni - ASSIGN- JOINT - RESTRAINS - scelgo la cerniera - OK

Essendo una struttura reticolare tra tutte le aste ci dovranno essere delle cerniere interne - evidenzio tutto - ASSIGN - FRAME - RELEASES e seleziono sia MOMENT 22 che MOMENT 33

Ora diamo una sezione a tutte le aste della struttura - seleziono tutto - ASSIGN - FRAME - FRAME SECTION - ADD NEW PROPERTY- STEEL - PIPE - cambio nome e dò OK - selezionare la nuova sezione - OK (a questo punto comparirà il nome assegnato alla sezione delle aste su ognuna di esse)​

per mettere il carico seleziono tutte le cerniere superiori - ASSIGN - JOINT LOADS - FORCES - seleziono la sezione fatta in precedenza e do una carico che in questo caso corrisponde a -100 Kn (negativa perchè rivolta verso il basso)

Facciamo partire l'analisi (in alto vi è un simbolo come il play) però modifichiamo lo stato e l'azione di DEAD e MODAL ponendogli DO NOT RUN

Facciamo partire l'analisi con RUN NOW e salvo il tutto in una cartella.

Per trasferire le tabelle di analisi su EXCEL - FILE - CURRENT TABLES - TO EXCEL

Una volta trasferito tutto su Excel eliminiamo tutte le colonne a destra della colonna di P

Rimuovo tutti i duplicati - DATI - RIMUOVI DUPLICATI

Riordino la tabella rispetto ai dati dello sforzo normale ( della colonna P) in modo tale da dividere le compressioni(valori negativi) dalle trazioni (valori positivi). Entrambi li riporto nelle opportune tabelle di trazione e compressione (sotto la colonna N) scaricabili dal portale di meccanica. 

Nel foglio dopo aver inserito N, fyk e il coefficente di sicurezza relativo al materiale viene calcolata la tensione di progetto e l'area minima necessaria affinchè il materiale resista alla sforzo. vado sul sagomario e miscelgo l'area subito più grande rispetto l'area minima ottengo così l'area ingenierizzata.

Dimensionamento di una trave a sbalzo

Per la seconda esercitazione abbiamo dimensionato una trave a sbalzo.

La trave a sbalzo apparterrà ad un solaio di nostra scelta. Quello preso in considerazione è costituito in modo tale che la trave a sbalzo più sollecitata è quella centrale, con le seguenti caratteristiche:

Interasse: 3,5 m

luce: 2 m

Da qui proseguiremo quindi con il dimensionamento della trave nei confronti delle tre tipologie costruttive: legno, calcestruzzo armato e acciaio

Solaio in legno

La prima tecnologia analizzata è quella di un solaio in legno, costiuito dai seguenti elementi:

Pavimento: 7,5 KN/Mc (2 cm)

sottofondo di allettamento: 18 KN/Mc (3 cm)

isolante: 0,2 KN/Mc (4 cm)

caldana: 25 KN/Mc (4 cm)

tavolato: 6 KN/Mc (3,5 cm)

travetti: 5,3 KN/Mc travetti 10x15

Calcolo ora il carico strutturale, il carico permanente e il carico accidentale.

pavimento:      7,5 x 1 x 1 x 0,02 = 0,15 KN/mq

sottofondo:     18 x 1 x 1 x 0,03 = 0,54 KN/mq

isolante:          0,2 x 1 x 1 x 0,04 = 0,008 KN/mq

caldana:          25 x 1 x 1 x 0,04 = 1 KN/mq

tavolato:          3,5 x 1 x 1 x 0,035 = 0,122 KN/mq

travetti:            3,5 x 10 x 10 x 2 = 0, 106 KN/mq

qs: 1 + 0,106 + 0,122= 1,22 KN/mq

qp: 0,36 + 0,54 + 0,008 + 0,5 + 1 = 2,19 KN/mq

qa: 2 KN/mq 

Prendendo quindi in considerazione la misura di interasse della trave, il valore dei carichi strutturali, permanenti e accidentali otterremo il carico qu= 1,3qs + 1,5qp + 1,5qa = 27,5 KN/m

Inserisco poi la luce della trave a sbalzo.

Calcolerò così il momento max Mmax: ql^2/2 = 55 KNm

Scegliamo di utilizzare un legno massiccio C24 con resistenza caratteristica fmk: 24 KN/mmq , coeff. di riduzione kmod:0,5 . Introduciamo poi un ulteriore fattore di riduzione ym= 1,5 da normativa.

Fissando una base di 30 cm otterremo una altezza min di hmin= ( 6 X Mmax x 1000/ b x fd,C)^0,5 = 38,56

La nostra sarà quindi una trave in legno C24 30 x 40.

Calcoleremo poi il carico di esercizio qe: (qs + qp + 0,5qa)x interasse= 15 KN/m e da questo sarà valutato l'abbassamento max Vmax= qe x 10 x ( l x 100)^4/8 x E x Ix = 0, 46 cm

Solaio in acciaio

Il solaio in acciaio sarà costiutito dai seguenti elementi:

pavimento: 7,5 KN/mc (2 cm)

sottofondo: 18 KN/mc ( 30 cm)

isolante: 0,2 KN/mc ( 40 cm)

soletta: 2,5 KN/mq ( 15 cm di cui lamiera grecata 7,5 cm)

travetti: 78,5 KN/mc  IPE 100

Calcolo quindi i carichi agenti

qs:  (2,5 x 1 x 1) + (78,5 x 0,001032 x 2) = 2,66 KN/mq

qp: (0,2 x 0,04 x 1 x 1) + (18 x 0,03 x 1 x 1) + (18 x 0,02 x 1 x 1) + 0,5 + 1 = 2,4 KN/mq

qa: 2 KN/mq

Calocleremo quindi, ugualmente a prima, il carico ultimo qu: 35,2 KN/m e il momento massimo Mmax: 70,40 KNm

Utilizzeremo un acciaio S235 con resistenza caratteristica fyk:235 N/mmq e fyd: fyk/1,05= 223,81 N/mmq

Otterremo quindi la resistenza elastica Wx: Mmax/fyd= 314,58 cm^3

Il profilato da noi scelto sarà quello corrispondente al valore di Wx subito maggiore ossia Wx=428,9 ossia una IPE 270

Possiamo ora inserire il peso e il momento d'inerzia corrispondenti

Calcoleremo il carico di esercizio qe: ( qs + qp + 0,5qa) x interasse + peso= 21, 57 KN/m

Infine prendendo in considerazione il modulo elastico E=210000 N/mmq calcoliamo l'abbassamento massimo

Vmax= qe x 10 x (l x 100)^4 / 8 x E x Ix

Solaio in laterocemento

Formato dai seguenti elementi:

pavimento: 40 kg/mq ( 2 cm)

massetto: 19 KN/mc ( 3 cm)

isolante: 20 kg/ mq ( 6 cm)

soletta cls: 24 KN/mc (16 cm) con pignatte 16 x 40 x 25 da 9,1 kg/mq

Calcoliamo quindi i carichi agenti

qs: (24 x 1 x 1 0,04) + (24 x 2 x 0,16 x 0,1 x 1) + (9,1 x 8)= 2, 46 KN/mq

qp: 0,4 + (19 x 0,003 x 1 x 1) + (0,2 x 0,06 x 1 x 1) + (18 x 0,01 x 1 x 1)= 1,162 KN/mq

qa: 2 KN/mq

Calcoliamo come le altre volte il carico ultimo e il momento max.

Utilizzeremo per la nostra sezione un acciaio S450 con resistenza caratteristica fyk=450 N/mmq e fyd= 391,3 N/mmq e calcestruzzo C30 con resistenza caratteristica fck: 30 N/mmq e fcd: 0,86 x fck/1,5= 17 N/mmq

scegliendo una base del nostro profilato b= 30 cm otterremo una altezza utile hu: 25,22 a cui sommeremo il copreiferro da noi scelto pari a 5 cm, ottenendo così una altezza minima Hmin=31,22 cm

Sceglieremo quindi di utilizzare una sezione 30 x 50

Inserendo quindi il modulo elastico E otterremo il suo abbassamento massimo ossia Vmax=0,06 cm