Esercitazione

La prima esercitazione consiste nel dimensionamento di una trave, in legno, acciaio e cemento, soggetta a flessione.

Il telaio preso in considerazione ha una luce di 6 metri e due campate da 4 metri. C

 

Solaio in legno e cemento armato

Solaio in acciao

Come prima cosa individuo la trave più sollecitata: quella centrale, la quale ha un’ area di influenza maggiore, calcolata:

A=I x L (dove I è l’interasse e L la luce)  A=4 x 7=28 mq

DIMENSIONAMENTO TRAVE IN LEGNO

Elementi che compongono il solaio:

Travetti: 10 x 20 cm ; P: 6 KN/mc

Tavolato: 3,5 cm; P: 6 KN/mc

Massetto: 5 cm; P: 19 KN/mc

Pavimento: 2 cm; P: 20 KN/mc

Calcolo dei carichi strutturali qs ( escludendo il peso proprio)

Travetti : 2(0,1 x 0,2 x 1) mc/mq x 6 KN/mc= 0,24 KN/mq

Tavolato: (0,035 x 1 x 1) mc/mq x 6 KN/mc = 0,21 KN/mq

qs= 0,24 KN/mq + 0,21 KN/mq = 0,45 KN/mq

 

Calcolo dei  carichi portati qp

Massetto: (0,05 x 1 x1 ) mc/mq x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Pavimento: ( 0,02 x 1 x 1 )mc/mq x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impiant: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,85 KN/mq

 

Calcolo dei carichi accidentali qa

La struttura è per un ambiente ad uso residenziale, quindi da normativa:

qa= 2 KN/mq

Dopo aver calcolato i tre tipi di carico li inserisco nella tabella di excel e ottengo la densità di carico agente sulla trave qu che è dato dalla somma dei tre carichi, ognuno moltiplicato per un coefficiente di sicurezza dato dalla normativa, moltiplicata per l’interasse.  Aggiungendo l’interasse e la luce del solaio trovo il valore di Mmax.

Scelgo un legno massiccio di classe GL24C= 24 MPa; Kmod = 0,8; e un coefficiente parziale di sicurezza di 1,5. Dopo aver inserito i dati nella tabella si stabilisce la tensione di porgetto. Ipotizzando una base si calcolerà un h(min) e posso scegliere un H subito maggiore e definisco una trave con sezione 35 x 45 cm.

 

DIMENSIONAMENTO TRAVE IN ACCIAIO

Elementi che compongono il solaio:

Travi secondarie (IPE 200) : 0,23725 KN/mq

Getto di calcestruzzo: 3,5 cm; P: 25 KN/mc

Lamiera grecata: 7,5 cm; peso totale: 0,11 KN/ mc

Massetto: 5 cm; P: 19 KN/mc

Pavimento: 2 cm; P: 20 KN/mc

 

Calcolo dei carichi struturali qs

Travi secondarie : 0,23725 KN/mq

Getto di calcestruzzo : (0,035x1) mc/mq x 25 KN/mc = 0,875 KN/mq

Lamiera grecata : 0,11 KN/mq

qs: 0,23725 KN/mq + 0,875 KN/mq + 0,11 KN/mq= 1,22 KN/mq

Calcolo dei  carichi portati qp

Massetto: (0,05 x 1 x1 ) mc/mq x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Pavimento: ( 0,02 x 1 x 1 )mc/mq x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impiant: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,85 KN/mq

 

Calcolo dei carichi accidentali qa

La struttura è per un ambiente ad uso residenziale, quindi da normativa:

qa= 2 KN/mq

 

Dopo aver calcolato i tre tipi di carico li inserisco nella tabella di excel e ottengo la densità di carico agente sulla trave qu che è dato dalla somma dei tre carichi, ognuno moltiplicato per un coefficiente di sicurezza dato dalla normativa, moltiplicata per l’interasse.  Aggiungendo l’interasse e la luce del solaio trovo il valore di Mmax. Scelgo un IPE200 che ha come tensione caratteristica di snervamento (fy,k) pari a 200, inserisco i valori nella tabella excel e troverò il Wmin infine dalla tabella dei profilati delle travi IPE, scelgo un profilato che abbia un modulo di resistenza a flessione superiore a quello calcolato IPE:330.

 

DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE IN CLS ARMATO

 

Elementi che compongono il solaio:

Calcestruzzo armato: 6 cm; P: 25 KN/mq

Pignatte: 8x50x25 cm; Ptot: 1,328 KN/mq

Travetti (2): 20x10 cm; P: 24 KN/mc

Massetto: 5 cm; P: 19 KN/mc

Pavimento: 2 cm; P: 20 KN/mc

Calcolo dei carichi strutturali qs:

Calcestruzzo: 1,5 KN/mq      

Pignatte: 1,328 KN/mq

Travetti (2): 0,96 KN/mq

qs: 1,5 KN/mq + 1,328 KN/mq + 0,96 KN/mq= 3,788 KN/mq

Calcolo dei carichi portanti qp:

Massetto: (0,05 x 1 x1 ) mc/mq x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Pavimento: ( 0,02 x 1 x 1 )mc/mq x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impiant: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,85 KN/mq

 

Calcolo dei carichi accidentali qa

La struttura è per un ambiente ad uso residenziale, quindi da normativa:

qa= 2 KN/mq

Dopo aver calcolato i tre tipi di carico li inserisco nella tabella di excel e ottengo la densità di carico agente sulla trave qu che è dato dalla somma dei tre carichi, ognuno moltiplicato per un coefficiente di sicurezza dato dalla normativa, moltiplicata per l’interasse.  Aggiungendo l’interasse e la luce del solaio trovo il valore di Mmax. La trave in cemento armato ha due materiali differenti il cos (che resiste alla compressione) e l’acciaio (che resiste a trazione) per questo nel progetto devo considerare il modulo di resistenza dei due materiali, rapportandoli con i coefficienti di sicurezza ottengo la tensione dei progetto (fc,d e fy,d). per l’acciaio avremo una fy,k=450MPA e per il calcestruzzo un fc,k= 60 N/mmq. Inserisco i valori nella tabella e ottengo la b e la r. Inserisco la base minima di 35cm e il copriferro di 5cm, grazie a questi valore la tabella excel mi calcola l’altezza minima della mia struttura di 33,35. Infine ingegneizzo e fisso la mia altezza a 35 cm che risulta verificata.

 

 

Questa esercitazione consiste nel dimensionamento del pilastro più sollecitato in un telaio nelle tre diverse tecnologie: legno, acciaio e cemento armato.

L1 = 7m

L2 = 5m

Area di influenza = L1 x L2 = 35m²

Numero piani = 4

 

Il pilastro sottoposto a maggiore sforzo normale nella struttura presa in analisi è quello evidenziato in rosso: su di esso infatti grava il carico di travi e solaio per la maggiore area di influenza che dovrà essere moltiplicato per il numero dei piani sovrastanti.

LEGNO

 

Contributo delle travi

Si calcola moltiplicando il peso unitario di ciascuna trave (considero il peso unitario della trave calcolato nella prima esercitazione) per l’interasse, moltiplicando il valore ottenuto per il coefficiente di sicurezza per carichi strutturali pari a 1.3.

 

Qtravi = (Peso unitario trave1 x  L1 x 1.3) + (Peso unitario trave2 x L2 x 1.3)

 

Contributo del solaio

Si ottiene moltiplicando la somma dei carichi (strutturali, permanenti e accidentali calcolati nella prima esercitazione e maggiorati dei rispettivi coefficienti di sicurezza) per l’area di influenza.

 

Qsolaio = [(qs x1.3) + (qp x 1.5) + (qa x 1.5)] x area di influenza

 

È dunque possibile calcolare lo sforzo normale agente sul pilastro del piano terra

N = (Qtravi + Qsolaio) x 4 piani

 

Un pilastro sottoposto a compressione può essere soggetto a rottura per schiacciamento del materiale o soggetto all’innesco del fenomeno di instabilità.

 

Per evitare il fenomeno di rottura per schiacciamento la tensione massima nel pilastro (σmax) deve essere minore della resistenza a compressione di progetto del materiale (fcd).

 

σmax < fcd

 

Imponendo σmax = fcd possiamo ricavare l’area minima della sezione ovvero il valore minimo che deve avere l’area per non essere soggetta a rottura.

Infatti poiché

σmax = N/Amin

fcd = N/Amin

 

In fase progettuale si è scelto per il pilastro un legno lamellare GL24h con resistenza caratteristica fmk pari a 24 Mpa. La resistenza di progetto fd che viene calcolata dal foglio tiene conto della resistenza caratteristica corretta con alcuni parametri:

fd = (kmod x fmk)/γm

γm è un coefficiente di sicurezza del materiale: in questo caso per il legno lamellare γm = 1.45.

Kmod è un coefficiente correttivo che tiene conto della durata di carico (consideriamo una durata media) e dell’umidità della struttura (consideriamo una classe media).

 

dunque ora, conoscendo il valore di fcd, è possibile calcolare l’area minima con la formula inversa.

Amin =N/fcd

 

Affinché, invece, nel pilastro non si inneschi un fenomeno di instabilità lo sforzo nomale deve essere inferiore allo sforzo critico euleriano.

 

N<Ncrit

 

Sappiamo che

Ncrit= (π²EImin)/(βl)²

 

Poiché

βl = l0 (lunghezza libera di inflessione)

Imin=Aρmin²

 

Ncrit = (π²EAρmin²)/(l0)²

 

Poiché λ=l0/ρmin

Ncrit = π²EA/ λ²

 

Allo sforzo critico euleriano è possibile associale una tensione critica

σcrit = Ncrit/A = π²E/ λ²

 

Per evitare il fenomeno di instabilità la tensione massima nel pilastro (σmax) deve essere minore della tensione critica (σcrit)

σmax < σcrit

 

Poiché abbiamo imposto

σmax = fcd

allora

 

fcd < σcrit    (prima di inflettersi per instabilità, il pilastro si rompe. Questa soluzione è

                       ottimale poiché l’instabilità non è controllabile)

fcd < π²E/ λ²

λ² < π²E/fcd

λmax = π √(E/fcd)

Dunque una volta inseriti i valori del modulo di elasticità (E) proprio del materiale e la resistenza di progetto (fcd), il foglio di calcolo ricava la snellezza massima del pilastro (λmax).

Ma, poiché

λ = l0/ρmin

 

ρmin = l0/λ

 

Dunque una vola inseriti i valori di β e della lunghezza del pilastro (l), si ottiene il valore della lunghezza libera di inflessione (l0) che il foglio di calcolo dividerà per la snellezza massima appena ricavata: dunque si ottiene il raggio di inerzia minimo. Ricordando che nelle sezioni rettangolari

ρmin = √(1/12) b

possiamo ricavare la base tramite la formula inversa:

bmin = 2√3 ρmin

Una volta ingegnerizzata calcoliamo l’altezza minima

hmin= Amin/b

Una volta ingegnerizzata anche l’altezza il foglio ricalcola l’area e il momento d’inerzia di design. Dunque sarà necessario verificare che l’area di design sia maggiore dell’area minima precedentemente calcolata.

 

ACCIAIO

Per calcolare lo sforzo normale agente sul pilastro si sommano nuovamente i contributi di travi e solaio all’interno dell’area di influenza e si moltiplicano per il numero di piani.

Anche in questo caso, per ricavare il contributo delle travi, si sceglie il peso unitario delle travi della prima esercitazione e si moltiplica per l’interasse relativo e per il coefficiente si sicurezza strutturale.

Qtravi = (Peso unitario trave1 x  L1 x 1.3) + (Peso unitario trave2 x L2 x 1.3)

 

Poi per ricavare il contributo del solaio si scelgono i valori dei carichi strutturali, permanenti e accidentali della prima esercitazione, si maggiorano con i relativi coefficienti di sicurezza e la loro somma viene moltiplicata per l’area di influenza.

Qsolaio = [(qs x1.3) + (qp x 1.5) + (qa x 1.5)] x area di influenza

 

È dunque ora possibile calcolare lo sforzo normale agente sul pilastro del piano terra

N = (Qtravi + Qsolaio) x 4 piani

 

Avendo scelto per la trave un acciaio S275 con resistenza caratteristica fyk=275Mpa, si ricava la resistenza di progetto correggendo quella caratteristica con un coefficiente di sicurezza γm=1.05.

fyd = fyk/γm

Dunque imponendo σmax = fyd possiamo ricavare l’area minima della sezione come sopra:

 

Amin= N/fyd

 

Come per il legno inserendo i dati relativi al modulo di elasticità (E) relativo al materiale e la resistenza di progetto (fyd) appena calcolata, il foglio ricava il valore della snellezza massima

λmax = π √(E/fcd)

Inserendo poi i valori di β e della lunghezza del pilastro (l), si ottiene il valore della lunghezza libera di inflessione (l0) che il foglio di calcolo dividerà per la snellezza massima appena ricavata: dunque si ottiene il raggio di inerzia minimo.

ρmin = l0/λ

 

Ora, poiché la sezione di un pilastro in acciaio non è rettangolare, bensì sarà un profilo HEA possiamo calcolare il momento di inerzia minimo con la formula

Imin = A x ρmin²

Ora sarà possibile scegliere su un sagomario l’HEA che possiederà un momento inerzia, un raggio di inerzia e un area immediatamente superiori a quelle trovate. Il foglio ricalcolerà la snellezza con i nuovi valori e si dovrà verificare che non superi il valore 200.

 

CEMENTO ARMATO

Per calcolare lo sforzo normale agente sul pilastro si sommano nuovamente i contributi di travi e solaio all’interno dell’area di influenza e si moltiplicano per il numero di piani.

Anche in questo caso, per ricavare il contributo delle travi, si sceglie il peso unitario delle travi della prima esercitazione e si moltiplica per l’interasse relativo e per il coefficiente si sicurezza strutturale.

Qtravi = (Peso unitario trave1 x  L1 x 1.3) + (Peso unitario trave2 x L2 x 1.3)

 

Poi per ricavare il contributo del solaio si scelgono i valori dei carichi strutturali, permanenti e accidentali della prima esercitazione, si maggiorano con i relativi coefficienti di sicurezza e la loro somma viene moltiplicata per l’area di influenza.

Qsolaio = [(qs x1.3) + (qp x 1.5) + (qa x 1.5)] x area di influenza

 

È dunque ora possibile calcolare lo sforzo normale agente sul pilastro del piano terra

N = (Qtravi + Qsolaio) x 4 piani

 

Scelgo poi un calcestruzzo classe C60/75 con resistenza caratteristica fck = 60 Mpa.

Il foglio di calcolo ricava la resistenza di progetto con la formula

Fcd= (α x fck)/ γm

Dove γm è il coefficiente di sicurezza di 1.5

e α è un coefficiente che tiene conto del tempo pari a 0.85

 

Dunque imponendo σmax = fcd possiamo ricavare l’area minima della sezione come sopra:

 

Amin= N/fcd

 

Come per il caso di legno e acciaio inserendo i dati relativi al modulo di elasticità (E) relativo al materiale e la resistenza di progetto (fyd) appena calcolata, il foglio ricava il valore della snellezza massima

λmax = π √(E/fcd)

Inserendo poi i valori di β e della lunghezza del pilastro (l), si ottiene il valore della lunghezza libera di inflessione (l0) che il foglio di calcolo dividerà per la snellezza massima appena ricavata: dunque si ottiene il raggio di inerzia minimo.

ρmin = l0/λ

 

Come nel caso del legno possiamo ricavare la base tramite la formula:

bmin = 2√3 ρmin

Una volta ingegnerizzata calcoliamo l’altezza minima

hmin= Amin/b

Una volta ingegnerizzata anche l’altezza, il foglio ricalcola l’area e il momento d’inerzia di design.

 

Per il pilastro in calcestruzzo è necessario aggiungere un ulteriore verifica. Infatti il pilastro non sarà soggetto a sola compressione, ma anche a flessione derivante dall’incastro che avremo nel nodo trave pilastro. Dunque per verificare a presso-flessione dovremo controllare che la tensione massima dovuta sia allo sforzo normale che al momento flettente sia inferiore alla tensione di progetto.

σmax = N/A + Mt/Wmax < fcd

Dunque il foglio, avendo tutti i dati, calcola automaticamente il modulo di resistenza a flessione Wmax

Wmax= bh²/6

E il momento all’estremo della trave e quindi sulla testa del pilastro che viene calcolato come

Mt= (qt x Lp²)/12

Dove qt (calcolato da foglio) è il carico di solaio distribuito sulla trave principale: quindi si sommano i carichi strutturali, permanenti e accidentali maggiorati per l’interasse tra le travi principali ovvero qt = [(qs x 1.3) + (qp x 1.5) + (qa x 1.5)] x Ls.

Dunque il foglio di calcolo ricava il σmax e verifica se risulta minore di fcd. Se non risulta verificato sarà necessario aumentare gradualmente le dimensioni del pilastro fino alla verifica di questa condizione.

 

 

 

Lo scopo di questa esercitazione è il dimensionamento di un pilastro nelle tre diverse tecnologie: Legno, Acciio e Calcestruzzo armato.

Osservando le piante, appare subito evidente che il pilastro più sollecitato risulti essere quello centrale, perchè quello con area di influenza maggiore A = L₁ x L₂ = m 5,00 x 4,00 = 20 m².

Poichè il foglio di calcolo necessita di alcune informazioni relative ai carichi che gravano sui solai, faranno riferimento la prima e la terza esercitazione EXE1_Dimensionamento di una trave per un solaio in legno, acciaio e calcestruzzo armato e EXE3_Verifica a deformabilità di una trave a sbalzo.

 

LEGNO

La prima parte del foglio Excel è impostata sul calcolo dello sforzo normale di compressione N agente sul pilastro.

Per definire questo valore è necessario prima di tutto individuare il carico dovuto al peso proprio delle travi, moltiplicando l'area della sezione della trave per il peso specifico del materiale di cui quest'ultima è composta.

Area sezione = (0,30 x 0,55) m

Peso specifico = 8 KN/m³

Di conseguenza:

Trave_p = (0,30 x 0,55) m x 8 KN/m^{3 =} 1,32 KN/m

Trave_s = (0,30 x 0,55) m x 8 KN/m^{3 =} ​1,32 KN/m

Si inseriscono a questo punto i valori dei carichi gravanti sul solaio e il numero dei piani n = 4

Carico strutturale (Qs) = 0,265 KN/m²

Carico permanente (Qp) = 2,66 KN/m²

Carico accidentale (Qa) = 2,00 KN/m²

La successiva parte del foglio di calcolo prevede di definire l'area minima A_min che la sezione del pilastro deve avere per evitare che il materiale entri in crisi. Per ottenere ciò, devo essere inseriti alcuni parametri:

- La resistenza a flessione caratteristica con fibre di legno parallele f_c0,k = 21 MPa;

- Il coefficiente di durata del carico k_mod = 0,8;

- Il coefficiente parziale di sicurezza del materiale γ_m = 1,45

 La terza parte del foglio di calcolo è incentrata sulla definizione della base b e dell'altezza h.

Per fare ciò bisogna inserire ancora alcuni dati:

- Il modulo di elasticità del materiale E = 8.800 N/mm²;

- Il coefficiente adimensionale che riflette l’influenza dei vincoli β = 1;

- L'altezza del pilastro l = 3m.

Attraverso l'utilizzo di questi parametri si riesce a calcolare:

- Il valore massimo della snellezza λ_max;

- Il vaolre minimo del raggio d'inerzia ρ_min.

Ora è possibile calcolare una delle due dimensioni della sezione del pilastro, ossia la base minima b_min. Questo valore dovrà però essere ingegnerizzato, dovrà cioè essere scelto un valore della base b superiore ad b_min. A questo punto, nota una delle due dimensioni, potrà essere definita anche l'altra, l'altezza h_min, che andrà a sua volta ingegnerizzata, per ottenere un valore h_min < h.

L'ultima operazione consiste nella fase di verifica. 

Infatti, dopo aver definito i valori di base e altezza della sezione del pilastro, con b < h, il foglio Excel individuerà anche l'area di progetto A_design. La sezione risulterà verificata se, e solo se, A_design > A_min

700 cm² > 529 cm²

LA SEZIONE E' VERIFICATA!

 

ACCIAIO

 

Come nel caso del legno, anche per il dimensionamento di un pilastro in acciaio, la prima parte del foglio Excel è impostata sul calcolo dello sforzo normale di compressione N agente sul pilastro.

Per definire questo valore è necessario prima di tutto individuare il carico dovuto al peso proprio delle travi, quindi:

Trave_p (IPE 400) = 66,3 Kg/m = 0,66 KN/m

Trave_s (IPE 160) = 15,8 Kg/m = 0,16 KN/m

Si inseriscono a questo punto i valori dei carichi gravanti sul solaio e il numero dei piani n = 4

Carico strutturale (Qs) = 2,03 KN/m²

Carico permanente (Qp) = 2,95 KN/m²

Carico accidentale (Qa) = 2,00 KN/m²

La successiva parte del foglio di calcolo prevede di definire l'area minima A_min che la sezione del pilastro deve avere per evitare che il materiale entri in crisi. Per ottenere ciò, devo essere inseriti alcuni parametri:

- La tensione di snervamento f_yk = 275 MPa;

- Il coefficiente parziale di sicurezza del materiale γ_m = 1,05

 La terza parte del foglio di calcolo è incentrata sulla definizione del momento di inerzia minimo I_min.

Per fare ciò bisogna inserire ancora alcuni dati:

- Il modulo di elasticità del materiale E = 210.000 N/mm²;

- Il coefficiente adimensionale che riflette l’influenza dei vincoli β = 1;

- L'altezza del pilastro l = 3 m.

Attraverso l'utilizzo di questi parametri si riesce a calcolare:

- Il valore massimo della snellezza λ_max;

- Il vaolre minimo del raggio d'inerzia ρ_min.

Ora è possibile calcolare il momento d'inerzia minimo I_min = A x (ρ_min)²

Attraverso l'ingegnerizzazione dei valori di ρ_min e I_min sarà possibile scegliere il profilo HEA adatto. Bisognerà dunque vedere sulla Tabella Profilati metallici, qual è quello che riporta i valori di raggio minimo di inerzia e momento di inerzia minimo superiori rispetto a quelli del foglio di calcolo.

Il profilo scelto è un HEA 160. A questo punto, dopo aver inserito l'area di progetto A_design, il momento di inerzia minimo di progetto I_design e il raggio minimo d'inerzia ρ_min, il profilo risulterà verificato se, e solo se 

A_design > A_min

IL PROFILO E' VERIFICATO!

 

 

CALCESTRUZZO ARMATO

 

Come nel caso del legno e dell'acciaio, anche per il dimensionamento di un pilastro calcestruzzo armato, la prima parte del foglio Excel è impostata sul calcolo dello sforzo normale di compressione N agente sul pilastro.

Per definire questo valore è necessario prima di tutto individuare il carico dovuto al peso proprio delle travi, moltiplicando l'area della sezione della trave per il peso specifico del materiale di cui quest'ultima è composta.

Area sezione = (0,30 x 0,50) m

Peso specifico = 25 KN/m³

Di conseguenza:

Trave_p = (0,30 x 0,50) m x 25 KN/m^{3 =} 3,75 KN/m

Trave_s = (0,30 x 0,50) m x 25 KN/m^{3 =} ​3,75 KN/m

Si inseriscono a questo punto i valori dei carichi gravanti sul solaio e il numero dei piani n = 4

 

Carico strutturale (Qs) = 2,54 KN/m²

Carico permanente (Qp) = 2,35 KN/m²

Carico accidentale (Qa) = 3,00 KN/m²

La successiva parte del foglio di calcolo prevede di definire l'area minima A_min che la sezione del pilastro deve avere per evitare che il materiale entri in crisi, e di conseguenza anche la dimensione minima della base b_min. Per ottenere ciò, deve essere inserita la tensione di snervamento f_ck = 40 MPa;

La terza parte del foglio di calcolo è incentrata sulla definizione del momento di inerzia minimo I_min.

Per fare ciò bisogna inserire ancora alcuni dati:

- Il modulo di elasticità del materiale E = 21.000 N/mm²;

- Il coefficiente adimensionale che riflette l’influenza dei vincoli β = 1;

- L'altezza del pilastro l = 3 m.

Attraverso l'utilizzo di questi parametri si riesce a calcolare:

- Il valore massimo della snellezza λ_max;

- Il vaolre minimo del raggio d'inerzia ρ_min.

Dopo aver determinato una delle due dimensioni della sezione del pilastro, ossia la base minima b_min si potrà ingegnerizzare, dovrà cioè essere scelto un valore della base b superiore ad b_min. A questo punto, nota una delle due dimensioni, potrà essere definita anche l'altra, l'altezza h_min, che andrà a sua volta ingegnerizzata, per ottenere un valore h_min < h.

L'ultima operazione consiste nella fase di verifica. 

Infatti, dopo aver definito i valori di base e altezza della sezione del pilastro, con b < h, il foglio Excel individuerà anche l'area di progetto A_design. La sezione risulterà verificata se

                                                                                A_design > A_min    (1)

In questo caso però è necessaria un’ulteriore verifica della sezione, poiché nel cemento armato il nodo tra trave e pilastro, essendo realizzato con un incastro, trasmette momento, sottoponendo il pilastro a presso-flessione.

E' per questo motivo che oltre alla (1), bisogna imporre anche che

                                                                                  σ_max ≤ f_cd

Poichè tutte e due le condizioni risultano soddisfatte

LA SEZIONE E' VERIFICATA!

 

La quarta esercitazione consiste nel dimensionamento di un pilastro nelle tre varie tecnologie: legno, acciaio e calcestruzzo.

Per l’esercitazione ho preso in considerazione il pilastro maggiormente sollecitato a sforzo normale (N) di un edificio di 3 piani; uno di quelli presenti a piano terra sui quali scarica il peso dell'intera struttura sovrastante.

Ho ripreso la pianta di carpenteria utilizzata nella prima esercitazione in modo da poter riutilizzare i valori dei carichi dei solai.

L'area di influenza del pilastro è di 24 mq. (L1= 4 m ; L2= 6 m)

LEGNO

- Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave_p e della trave_s

trave= area della sezione (0,30 x 0,40) mq x peso specifico 6 KN/m3 = 0,72 KN/m

 

Posso calcolare il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 9,36 KN

 

- Per calcolare il valore complessivo del carico agente, inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio: carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali

q solaio= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 191,36 KN

 

- Per finire calcolo lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 602 KN

 

 

Posso così calcolare l’ area minima necessaria affinché il materiale non entri in crisi.

- Inserisco i dati relativi al materiale:

 

la resistenza a compressione (f_c0,k) 24MPa

 

il coefficiente della durata di carico k_mod  0,8

 

il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,45

 

e ricavo il valore della tensione ammissibile e dell'area minima:

f_c0d= f_c0,k x k_mod / γ_m. = 13,24 MPa

A min= 454,8 cm2

 

 

- Sapendo che Il modulo di elasticità E = 8800 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso calcolare:

valore massimo di snellezza λ_{max =} 80,95

valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,71 cm

la grandezza della base minima (b min) = 12,84 cm, che ingegnerizzo a b = 15 cm. 

l’altezza minima h_min =   A_min / b = 30,32 cm, che ingegnerizzo a h = 35 cm

                                                                    

- Calcolo  l’area di progetto della sezione

A_design = b x h = 525 cm²

 

- Verifico che A_design > A_min   

 

525 cm² >  454,8 cm²               

 

SEZIONE VERIFICATA

ACCIAIO

- Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave p e della trave s

 

trave p = IPE 270 = 36,1 Kg/m = 0,361 KN/m

 

trave s = IPE 120 = 10,4 Kg/m = 0,104 KN/m

 

Posso calcolarmi così il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= 2,69 KN

 

- Per calcolare il valore complessivo del carico agente, inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio: carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali 

q solaio= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 202,39 KN

 

- Per finire calcolo lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 615 KN

 

Posso così calcolare l’ area minima necessaria affinché il materiale non entri in crisi.

- Inserisco i dati relativi al materiale:

tensione di snervamento (f_,yk) 275MPa

                                          

il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,05

 

Ricavo così il valore della tensione ammissibile e dell’area minima

 

f_yd= f_yk / γ_m = 261,90 MPa

 

A min= 23,5 cm²

 

 

- Sapendo che Il modulo di elasticità E = 210000 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso calcolare:

valore massimo di snellezza λ_{max =} 88,96

valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,37 cm

calcolo il momento di inerzia minimo I_{min =}  267 cm⁴

 

- rispetto ai valori ricavati posso ingegnerizzare la sezione scegliendo un profilo HEA con valori maggiori rispetto a quelli minimi trovati. Scelgo un profilo HEA 140

 

- Verifico che A_design > A_min

 

31,4 cm² > 23,5 cm²           

 

- Verifico che  λ <  λ*

 

85,23 <  88,96

 

SEZIONE VERIFICATA

 

CALCESTRUZZO

- Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave_p e della trave_s

trave= area della sezione (0,30 x 0,55) mq x peso specifico 24 KN/m3 = 3,96KN/m

 

Posso calcolare il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 51,48 KN

 

- Per calcolare il valore complessivo del carico agente, inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio: carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali. 

q solaio= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 263,77 KN

 

- Per finire calcolo lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 946 KN

 

 

Posso così calcolare l’ area minima necessaria affinché il materiale non entri in crisi.

- Inserisco i dati relativi al materiale:

 

la tensione di snervamento fck = 40 MPA

 

 ricavo :

 f_cd =  22,7 MPa

 

Amin = 417,2 cm² 

 

bmin = 20,4 cm

 

- Sapendo che Il modulo di elasticità E = 210000 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso calcolare:

valore massimo di snellezza λ_{max =} 95,62

valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,14 cm

la grandezza della base minima (b min) = 10,87 cm, che ingegnerizzo a b = 40 cm

l’altezza minima (h min) = 10,43 cm, che ingegnerizzo a  h = 40 cm

 

- Verifico che A_design > A_min

 

1600 cm² > 417,2 cm²                 

 

- Per il calcestruzzo devo inoltre verificare che la tensione massima sia minore della resistenza di progetto: σmax <  fcd

 

14,15 MPA <  22,7 MPA           

 

SEZIONE VERIFICATA