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Gruppo: Panella Giordana e Ilaria Quagliani

Il progetto è situato a Roma in un lotto trapezoidale delimitato su due lati da via Ostiense e via del Porto Fluviale, a nord dalla ferrovia e ad ovest da una preesistenza.

L'edificio si articola su 8 piani:

• 2 piani interrati, dove troviamo un piano di parcheggi e la prima parte di zona commerciale
• piano terra dedicato ad altri servizi per il pubblico
• primo piano adibito ai servizi per gli uffici (reception, mensa...)
• 4 piani di uffici

I primi quattro piani sono strutturalmente sorretti da un telaio in cemento armato e gli altri 4 da una reticolare spaziale in modo da creare una grande terrazza pensata per rendere più piacevole la pausa pranzo degli impiegati. Inoltre questo tipo di struttura ci ha permesso di svuotare l'angolo all'incrocio di Via Ostiense e Via del Porto Fluviale in modo da alleggerire il fronte stradale già saturo nel quartiere.

La reticolare è sorretta da tre vani in cemento armato posizionati appositamente in modo da bilanciare tutta la struttura. Essi sono giuntati dal telaio in modo da non compromettere la staticità dell'edificio.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per questa esercitazione abbiamo dimensionato un graticcio di travi inflesse partendo da un modello idealizzato di piastra, effettuando un infittimento delle travi. La piastra presenta un comportamento, fuori dal piano medio, soggetto prevalentemente a momento flettente M.

Momenti intorno a x e y.

Tagli che equilibrano la forza F.

Il graticcio è un oggetto tridimensioanle rappresentato da un modello bidimensionale dove i momenti abitano su due piani diversi per questo nell'equilibrio rotazionale si sommano i momenti Mx e My separatamente.

Rotazione e curvatura intorno a X

 

Rotazione e curvatura intorno a Y

GEOMETRIA

Abbiamo scelto una piastra di dimensioni 30 x 30 m con appoggi ogni 10 metri in modo da avere 4 appoggi per lato. a questo abbiamo diffrerenziato i pilastri per sezioni:

PILASTRI ANGOLARI: 100 x100 cm:

PILASTRI DI BORDO: 120 x 60 cm 

come prima cosa, avendo dimensionato sezioni rettangolari per i pilastri di bordo si dovrà tener conto dell’orientamentamento e quindi del valore del momento di inerzia che inciderà sulla rigidezza. Si è provveduto a ruotare i pilastri perimetrali posti lungo l’asse Y ( sistema globale ) andando a ruotare di 90° gli assi locali degli elementi. In questo modo il momento d’inerzia aumenta in quanto la base e l’altezza sono invertite e di conseguenza maggiore sarà la rigidezza.

Una volta assegnate le sezioni ai pilastri definiamo la sezione della piastra con shell-thick e imposto un’altezza di 100 cm. Per simulare il comportamento di un sistema discreto definisco un materiale C50/60 fittizio ponendo il coefficiente di poisson pari a 0 in quanto sappiamo che nel graticcio le deformazioni laterali delle travi sono trascurabili rispetto alle deformazioni principali.

Sistema continuo; Sistema discontinuo

ASSEGNAZIONE DEI CARICHI

Dopo aver discretizzato l’area suddivido i nodi dell piastra per l’assegnazione dei carichi verticali:

NODI CENTRALI

NODI PERIMETRALI

NODI ANGOLARI

L’edificio ipotizzato ha una struttura che regge 4 piani. Ogni piano occupa una superficie di 900 mq. Devo calcolare il carico di stato ultimo qu facendo l’analisi dei carichi del solaio. Scelgo un solaio in acciaio con qu di 12,45 KN/m2 . Per ogni nodo viene considerata l’area di influenza, dove per i perimetrali l’area di influenza è la metà e per gli angolari è 1/4 mentre per quelli centrali è massima.

P solaio= n x qu x A = 4 x 12,45 KN/m2 x 900 m2 = 44820 KN 

Nodi totali - nodi perimetrali - nodi angolari = Nodi centrali = 3600

Fc= 44820 KN / 3600 = 12,45 KN

Fp= 12,45 KN / 2 = 6,22 KN

Fa= 6,22 KN / 2= 3,11 KN

Assegno le forze ai nodi e mando l’analisi con il carico definito allo SLU e con il fattore moltiplicativo a 1 per considerare il peso proprio della struttura. Dai diagrammi del momento flettente i valori di m 1-1 e m 2-2 sono gli stessi valori, in quanto il sistema è simmetrico. Prendiamo il valore massimo in corrispondenza di un pilastro per dimensionare l’altezza della piastra.

 

 

 

 

 

 

DISEGNO RETICOLO GRATICCIO

Per dimensionare l’altezza delle travi del graticcio abbiamo calcolato il momento di inerzia di una porzione di piastra considerando l’interasse delle travi quindi in base a quante travi posiziono lungo i lati. Le travi dovranno avere lo stesso lo stesso momento di inerzia della porzione di piastra ma con base un base diversa e l’altezza mi dovrà garantire lo stesso valore di I e quindi l’incognita è h3.

h = (12 Ix / b) 1/3

La sezione della trave da assegnare nel modello di SAP è 40 cm x 190 cm. A questo punto modello il reticolo di travi inflesse andando a definire le sezioni ottenute. Per simulare un nodo rigido interno separo le travi modellate in modo che non siano continue.

 

Vado ad assegnare le forze concentrate in corrispondenza dei nodi centrali, perimetrali e angolari considerando le relative aree di influenza.

Fc= 44820 m2 / 144 = 311,25 KN

Fp= 155,63 KN

Fa= 77,81 KN

Definisco un nuovo carico Q con fattore moltiplicativo pari ad 1 sempre per considerare il peso effettivo della struttura e mando l’analisi per effettura la verifica di resistenza degli elementi e verificare allo SLE gli abbassamenti.

VERIFICA DI RESISTENZA TRAVI

Confrontando i valori dei momenti, in corrispondenza del nodo rigido tra trave e appoggio notiamo che sono molto simili.

Mmax (trave) = 11343,30KNm

Mmax (pilastro) = 11935,94 KNm

 

Diagrammi dei momenti M3 travi e pilastri

Per evitare che le travi si deformino troppo possiamo aumentare la rigidezza torsionale della trave di bordo, in questo modo, parte del momento flettente che arriva al nodo sarà assorbito dalla trave di bordo irrigidita aumentando la base. Assegnata la nuova sezione alla trave di bordo di 100 x 190 cm rimandiamo l’analisi per verificare i momenti sulle travi del graticcio. Dato che i contributi dei momenti delle travi, che appoggiano sulla trave di bordo e sugli appoggi scaricheranno sui pilastri, quest’ultimi risulteranno molto sollecitati. Dimensiono la sezione dei pilastri con il momento massimo 11351,11 KNm.

la sezione da assegnare ai pilastri è 60 x 190 cm. A questo punto per dimensionare la sezione della trave del graticcio rimando l’analisi prendendo il nuovo valore del momento massimo uguale 11247,83 KNm.

L’altezza minima risulta essere 219,78 cm quindi posso prendere una sezione di 40 cm x 230 cm e la assegno su SAP. Rimandando nuovamente l’analisi, il valore del momento massimo risulta 11562,35 KNm.

La sezione 40 x 230 cm risulta soddisfatta per la verifica a resistenza.

VERIFICA A PRESSOFLESSIONE PILASTRI

A questo punto abbiamo verificato la sezione dei pilastri soggetti a pressoflessione con il valore del momento ottenuto dopo aver assegnato la sezione della trave di bordo. Possiamo notare dal diagramma dello sforzo normale che il graticcio si comporta come una serie di portali.

Diagrammi Sforzo normale

 Dalla verifica risulta non verificata la sezione 60 x 190 cm e quindi andremo ad aumentare la sezione ottenendo dei piccoli setti.

VERIFICA DEFORMABILITA'

Devo verificare di quanto si abbassi e per essere soddisfatta l’abbassamento maggiore non deve superare un 1/200 della distanza maggiore tra gli appoggi. Per verificare la deformabilità devo assegnare il carico allo stato limite d’esercizio. Prendo lo spostamento maggiore e verifico che sia minore di L/200, dove L è la distanza massima. Dalla deformata risulta che il valore massimo di abbassamento è di 2,6 cm che soddisfa la verifica di deformabilità.

L’obiettivo di questa esercitazione è il dimensionamento e la verifica di un graticcio di travi inflesse e dei pilastri su cui poggia.
 Per l'esercitazione è stata ipotizzata una struttura di 50 m x 30 m in pianta, sostenuta da pilastri con un interasse di 10 m. Il progetto prevede che il graticcio, sostenuto da 4 pilastri angolari di dimensioni 1m x 1m e 12 pilastri perimetrali di dimensioni 1,2m x 0,6m, sorregga sopra di sé ulteriori 3 piani. 

Disegnamo quindi la struttura su Sap2000 definendo le sezioni dei pilastri utilizzando una classe di cemento ad alte prestazioni C50/60. Controlliamo poi l’orientamento dei pilastri in modo da ottenere l’inerzia maggiore lungo la direzione dove avremo le travi del graticcio; assegniamo il vincolo d’incastro ai pilastri e successivamente per iniziare il dimensionamento del graticcio studiamo il comportamento di una piastra (Shell) in calcestruzzo.

Discretizziamo la superficie in elementi più piccoli di 0.50 m x 0.50m e assegnamo i carichi. Si assegna un carico distribuito indicativo di progetto pari a Qu= 10KN/m, ripartendo il carico come carico puntuale F nei nodi centrali, F/2 in quelli di bordo e F/4 negli angoli. Si procede poi con l'avvio dell'analisi del modello grazie alla quale si osserva l’abbassamento max nettamente minore di 1/200 della luce massima e un Mmax di 3171,57 KNm.
Dopo aver effettuato l'analisi iniziale, proseguiamo con la modellazione del graticcio e assegnamo i carichi concentrati sui nodi:
Nodi centrali: 188,28KN
Nodi perimetrali: 94,14KN
Nodi angolari: 47,07KN

Avviando ora l'analisi otteniamo i seguenti schemi:

Grafico della deformata:

Grafico degli sforzi assiali:

Grafico dei momenti:

Dimensionamento:

Dall'analisi di sap2000 abbiamo estrapolato i valori massimi dei momenti e degli sforzi assiali con i quali abbiamo predimansionato le sezioni delle travi e dei pilastri. 
L' abbassamento risulta soddisfatto; vediamo però che travi di bordo e pilastri (non quelli angolari) sono sottodimensionati. Andiamo perciò ad irrigidire la struttura aumentando le sezioni.
Come prima cosa dimensioniamo la trave di bordo dove vediamo che il momento massimo è di 16000 KNxm:

Portando la base della trave di bordo da 0,4m a 1m vediamo come il valore scende a 10000 KNxm:

Vediamo che i pilastri arrivano ad avere un momento massimo di 16500 KNxm, inseriamo il valore in excel:

L'altezza della sezione del nostro pilastro dovrà essere di almeno 217cm per sopportare questo sfrozo.Le sezioni iniziali non risultavano quindi verificate a presso-flessione, per questo motivo abbiamo svolto diverse iterazioni fino ad arrivare alla soluzione finale, che prevede le travi di bordo di dimensioni 1,8m x 1m, i pilastri perimetrali (non angolari) 2,2m x 0,6m e il graticcio 1,8m x 0,4m.

Notiamo in ultimo che l'abbassamento risulta ridotto a seguito dell'irrigidimento della struttura. 0,06<30/200

 

 

Laboratorio di Progettazione Strutturale 1M – Prof. Ginevra Salerno

Esercitazione 5: Dimensionamento di un graticcio di travi inflesse

Studenti: Patryk Rynkowski, Luca Santilli

L’obiettivo di questa esercitazione è quello di dimensionare, partendo da una piastra, un graticcio di travi inflesse estrapolato dal caso di studio del nostro progetto.

Iniziamo con il disegno su Autocad della piastra di dimensioni 38x12. Questa sarà costituita in cls C50/60. I pilastri rettangolari al di sotto della piastra avranno una dimensione di 1,2x0,6, mentre il pilastro circolare in prossimità dell’angolo un diametro di 0,8.

Pianta:

Ora passiamo su SAP2000 e ridisegniamo la nostra struttura.

Qui cambiamo immediatamente l’asse locale di alcuni pilastri perché si ottenga l’inerzia maggiore verso la direzione dello sviluppo del graticcio. (Assign-Frame-Load Axes à ruotiamo di 90°)

Procediamo con l’assegnazione di un vincolo esterno, in questo caso l’incastro.

Dato che la piastra è un elemento pieno, il suo coefficiente di Poisson è diverso da 0. Si utilizza quindi una piastra per avere una simulazione del graticcio. Con quest’ultimo infatti si hanno dei vuoti dove la deformazione non dà effetti secondari.

Il coefficiente di Poisson ci dice che lo sforzo normale sulla faccia di un materiale produce deformazioni primarie nella direzione dello sforzo normale, una deformazione secondaria invece nella direzione perpendicolare, di segno opposto (deformazione laterale).

Definiamo quindi il materiale per la piastra cambiando il coefficiente di Poisson, ponendolo uguale a 0, per simulare il comportamento di un sistema discreto. In questo modo si annullano gli effetti delle deformazioni nelle altre direzioni del materiale.

A questo punto definiamo la sezione della piastra (Shell section data).

Ora definiamo il Load Pattern per assegnare dei carichi puntuali sui nodi, ponendo il moltiplicatore di Peso Proprio (Self Weight Multiplier) uguale a 1.

Procediamo nel disegno della struttura costruendo l’area (Draw Poly Area).

Discretizziamo successivamente l’area appena creata in moduli 0,4x04. (Divide select areas)

Suddividiamo i nodi per angolari, perimetrali e centrali.

Applichiamo i carichi:

Area 456m²

Qu = 12 kN/m²

Numero piani: 3      Q Piano 5472 kN/m²

Q Piano * 3 = 16416 kN/m²

Calcoliamo le aree d’influenza

Q angolo = ¼ q

Q perimetrale = ½ q

Q centrale = 1 q

Numero nodi totale = 2976

Centrali (2726) q      Perimetrali (246) q/2     Angolari (4) q/4

Totale = 3100 Nodi

16416/3100 è 5,29 kN su ogni nodo

N centrali = 5,29 kN

N perimetrali = 2,64 kN

N angolari = 1,32 kN

Ora assegniamo F sui nodi

Perimetrali:

Angolari:

Centrali:

Si passa ad avviare l’analisi.

Momento M11

Momento M22

M Max = 2419,48 kN m

A questo punto visualizziamo le tabelle su Excel per i risultati del dimensionamento.

B=100cm   hu = 63cm  H = 68cm    VERIFICATA

Dato che i pilastri non sono posizionati lungo il perimetro della struttura, non c’è stato bisogno di allargare la trave di bordo.

Inerzia della piastra:

bh³/12 = 0,833     Ix = bh³/12

Inerzia di un passo da 2 mt

Ix = 2/12 --> 0,16m⁴

H = ³√Ix-12/b --> ³√0,16-12/0,4 --> ³√4,8 à 1,69

Width = b=0,4m

Depth = h = 1,70m

Ora definiamo la sezione delle travi del graticcio.

Ora dobbiamo assegnare il nodo rigido al graticcio e quindi interrompere la trave nell’intersezione.

(Divide selected frames)

Definiamo un nuovo Load Pattern Q

Q Tot = 16416 kN/m²

N nodi centrali = 90   q --> 90

N nodi perimetrali = 46   q/2 --> 23

N nodi angolari = 4   q/4 --> 1

N nodi tot = 114

16416 kn/m² / 114  --> carico concentrato sui nodi = 144 kN

144 kN  --> nodi centrali

72 kN --> nodi perimetrali

36 kN --> nodi angolari

Visualizziamo tutte le forze

Avviamo nuovamente l’analisi e visualizziamo la verifica ad abbassamento:

Δz = 0,0099m --> 9,9mm                Verificato   0,009 < 1/200l 

M33 Max graticcio 3450 kN/m sulle travi (FRAME 92) verificata

M33 Max pilastri 1074 kN/m (FRAME 8) verificata

Sforzo normale sui pilastri:

Momento torcente sulla trave di bordo

Mτ = 96,54 kN/m --> 96,54*10⁶ N*mm

Τ = ἀ*Mτ/b*a²

ἀ = 3+1,8*(0,4/2) = 3,36

ἀ = 400m   ß = 200m

τ = 3,36*96,54*10⁶ / 2000*400² = 1,01 N/mm² = 1,01 Mpa < 8 Mpa   VERIFICATA A TORSIONE

 

Render

 

Per l'esercitazione del progetto di un graticcio di travi inflesse è stata ipotizzata una struttura di 40 m x 20 m in pianta, sostenuta da pilastri con un interasse di 10 m. Per prima cosa è stato modellato un modello di piastra equivalente dal quale si ricava il momento di inerzia necessario a dimesionare le travi del graticcio. Quinii, si disegna la struttura su Sap2000 definendo la sezione dei pilastri, con una classe di calcestruzzo ad alte prestazioni C50/60, di dimensioni 1 m x 1 m per gli angolari, e di 1,2 m x 0,6 m per quelli intermedi, direzionandi l’orientamento dei pilastri in modo da ottenere l’inerzia maggiore lungo la direzione di dove saranno le travi del graticcio. Assegniamo il vincolo d’incastro ai pilastri, per iniziare il dimensionamento del graticcio dobbiamo per prima cosa studiare il comportamento di una piastra (Shell) in calcestruzzo.

Discretiziamo la superficie in elementi più piccoli di 0.50 m x 0.50m e assegniamo i carichi. È stato assegnato un carico distribuito indicativo di progetto pari a Qu= 10KN/m, ripartendo il carico come carico puntuale F nei nodi centrali, F/2 in quelli di bordo e F/4 negli angoli. Dall’analisi si osserva l’abbassamento max, che è accettabile perché di 2 cm, nettamente minore di 1/200 della luce massima e un Mmax di 3450 KNm.

Si utilizza il foglio excel per dedurre l’altezza della piastra trovando la sezione di una trave con un momento di inerzia equivalente a quello di una porzione di piastra larga come l'interasse delle travi del graticcio. 

Si passa al dimensionamento del graticcio.
Prendendo in considerazione l’inerzia di una fascia di 1mq della piastra e decidendo, una base di 40 cm ed un passo di 2m per le travi. Calcoliamo l’altezza del graticcio con la formula inversa;
Ix= b x h^3 / 12 
H= ( (Ix x 12)/b ) ^1/3 = 1,7 m 
Possiamo tornare su Sap2000 e disegnare il graticcio, spezzando i frame per creare dei nodi rigidi e creando un nuovo load pattern per i nuovi carichi da assegnare ad ogni nodo. Avviamo una nuova analisi e verifichiamo l’abbassamento e le sollecitazioni delle travi centrali e dei pilastri. Al fine di aumentare la rigidezza torsionale della trave di bordo, questa è stata allargata fino ad arrivare a una sezione di 1 m x 1,7 m. È stato necessario anche allungare i pilastri che sono assimilabili a dei piccoli setti.

Verifica a flessione travi

Verifica a flessione pilastri

 

 

 

 

 

 

L’esercitazione, di cui allego lo svolgimento nel file PDF, si pone l’obbietivo di mostrare come sia possibile risolvere strutture discrete complesse, come un graticcio di travi, attraverso un modello continuo equivalente più semplice.

L’esercitazione prevede il dimensionamento e la verifica di un graticcio costituito da travi inflesse incastrate in ogni nodo. 
Ipotizziamo un telaio di 30x30 m con 5 piani fuori terra, sorretto da pilastri posti ad un interasse di 10 m. Ipotizziamo una sezione dei pilastri di primo tentativo, distinguendo tra pilastri angolari e pilastri perimetrali con un calcestruzzo di classe di resistenza C50/60.

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Cominciamo a modellare la struttura su Sap assicurandoci che i pilastri siano posti di coltello, quindi con l’inerzia maggiore nella direzione di sviluppo del graticcio.
Anziché modellare direttamente il graticcio ne simuliamo il comportamento attraverso l’uso di un modello continuo equivalente, una piastra discretizzata, per valutare le sollecitazioni agenti sulla struttura: con queste dimensioneremo i pilastri e le travi del graticcio. Scegliamo uno spessore iniziale della piastra di 1 m e un calcestruzzo C50/60 con coefficiente di Poisson pari a 0 per tenere conto della formazione di vuoti dovuta alla deformazione. Assegniamo poi ai pilastri le sezioni e i vincoli esterni. Applichiamo le forze agenti sulla struttura come carichi puntiformi considerando il carico allo SLU utilizzato nelle altre esercitazioni, pari a 10,31 kNm^-2, differenziando la forza agente sui nodi angolari, perimetrali e centrali in base all’area di influenza. 

A questo punto facciamo partire l’analisi con il carico applicato e il peso proprio degli elementi strutturali per ricavare il momento massimo agente sulla struttura con cui dimensionare le travi del graticcio e i pilastri. 
Visualizziamo la deformata e i valori del momento sulla piastra. 

 

Prima analisi
Pilastri angolari                     1x1m
Pilastri perimetrali                 0,6x1,2m
Piastra                                  spessore 1m
Carichi applicati                    F = 10,31 KN; F/2 = 5,15 KN; F/4 = 2,58 KN
M_max (pilastro)                     10117,68 KNm

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Con il momento massimo agente sulla piastra andiamo a dimensionare le travi del graticcio: 
​scegliamo un interasse delle travi del graticcio pari a 2,5 m e calcoliamo il momento di inerzia di una striscia di piastra alta 1 m e larga 2,5 m. 
I_x = (bh³)/12 = (2,5mx1³m³)/12 = 0,208 m⁴
Imponiamo che la piastra e il graticcio siano equivalenti in rigidezza e che quindi il momento di inerzia della piastra sia lo stesso del graticcio. Impostiamo una base arbitraria, pari a 0,4 m, e calcoliamo l’altezza utile delle travi del graticcio:
h_u = [(12I_x)/b]^1/3 = [(12x0,208 m⁴)/0,4m] ^1/3 = 1,84 m

Su Sap andiamo a modellare le travi del graticcio con una sezione di 0,4x1,8 m e poste ad un interasse di 2,5 m. Modelliamo le travi come incastrate in ogni nodo, in modo che si riduca l’inflessione delle singole travi. 

A questo punto applichiamo nuovamente i carichi in base all’area di influenza.
Facciamo partire l’analisi con il carico applicato e il peso proprio e visualizziamo la deformata e i diagrammi del momento.

Seconda analisi
Pilastri angolari                     1x1 m
Pilastri perimetrali                 0,6x1,2 m
Travi graticcio                       0,4x1,8 m
Carichi applicati                    F = 257,75 KN; F/2 = 128,87 KN; F/4 = 64,44 KN
M_max-pilastro                        10362,5 KNm
M_max-trave                            10971,2 KNm
M_{max-trave bordo}                   1793 KNm

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A questo punto andiamo a verificare cosa succede nel momento in cui aumentiamo la rigidezza della trave di bordo del graticcio: 

Terza analisi
Pilastri angolari                       1x1 m
Pilastri perimetrali                   0,6x1,2 m
Travi di bordo graticcio           1x1,8 m
Carichi applicati                      F = 257,75 KN; F/2 = 128,87 KN; F/4 = 64,44 KN
M_max-pilastro                           10595,58 KNm
M_max-trave                               7438,85 KNm
M_{max-trave bordo}                      3507 KNm

Notiamo quindi che all’aumentare della rigidezza torsionale della trave di bordo diminuisce sensibilmente il momento sulla trave in prossimità del pilastro mentre invece il momento sul pilastro risulta di poco minore rispetto a quello che si verificava con una trave di bordo meno rigida.

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A questo punto possiamo effettuare una verifica di resistenza dei pilastri: verifichiamo i pilastri a flessione retta poiché l’eccentricità, data dal rapporto tra il momento agente e lo sforzo normale, è di molto superiore a h/6. 

Risulta che i pilastri così dimensionati non sono verificati a flessione: andiamo quindi ad aumentarne la sezione e rifacciamo l’analisi. 

Quarta analisi
Pilastri angolari                     1x1 m
Pilastri perimetrali                 0,6x1,8 m
Travi di bordo graticcio         1x1,8 m
Carichi applicati                    F = 257,75 KN; F/2 = 128,87 KN; F/4 = 64,44 KN
M_max-pilastro                         14595,98 KNm
M_max-trave                             9527,34 KNm
M_{max-trave bordo}                    3050 KNm

Notiamo che aumentando la sezione del pilastro diminuiscono sia il momento sulla trave di bordo che su quella in prossimità del pilastro. 
Osserviamo anche che il momento massimo sulla trave in prossimità del pilastro ottenuto dall’ultima analisi si avvicina abbastanza a quello ricavato simulando il graticcio con il modello di piastra. 

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A questo punto verifichiamo che la trave di bordo resista a torsione. Il momento torcente massimo sulla trave che risulta dall’analisi è pari a 3973,16 KNm.

Verifichiamo che la tensione tangenziale massima sia minore della tensione ammissibile del calcestruzzo compresso: 
τ_max= (αxM_t)/ba²=(4,296x3973,16x10³Nm)/2,5x1,8²m²=2,19 MPa con α=3+1,8(a/b)=3+1,8(1,8m/2,5m)=4,296
τ_max < 8MPa

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Effettuiamo dunque una verifica di deformabilità per assicurarci che l’abbassamento della struttura sia minore di quello ammissibile. Gli abbassamenti maggiori si verificano verso il centro del graticcio, dove il valore massimo risulta -0,05278 m con applicata una combinazione di carico allo SLU (q_u=10,31kNm^-2).
L’abbassamento che si verifica sulla struttura risulta minore di l/200 anche con applicato il carico allo SLU quindi consideriamo superata la verifica di abbassamento poiché il carico applicato allo SLE sarebbe di molto minore (6,1 kNm^-2). 

Studentesse: Nicole Michelena e Marta Sacristán

 

Introduzione:

In questa esercitazione simuleremo il comportamento di un graticcio di travi inflesse in c.a., di dimensioni 30x30 metri, appoggiato su pilastri di h. 4 metri posizionati lungo il suo perimetro, ipotizzando che il questo sostenga 4 piani superiori (stimeremo un peso di 10 KN/ m2 per ogni piano.

Il graticcio di travi inflesse che dimensioneremo è composto da travi a-gerarchiche (con un nodo rigido tra loro) ordite secondo un passo costante e perpendicolari fra loro.

Al fine di semplificare la progettazione della sezione delle travi che lo compongono, ci serviremo della teoria della piastra intesa come un continuo bidimensionale, sollecitata al di fuori del suo piano medio (questo implica uno spostamento che inflette e torce.

Il graticcio e la piastra sono molto simili tra loro, infatti se infittissimo la trama di questo, il risultato è quello di un comportamento di piastra.

I passaggi che faremo sono i seguenti:

• Consideriamo una piastra in cls, altezza 100 cm. (soletta piena).
• Applichiamo i carichi agenti su di essa considerando anche il peso proprio, non trascurabile.
• Analizziamo il momento max e ci interessiamo di una striscia di essa di dimensioni 100 x 100 cm

Verifiche:

• Verifichiamo gli abbassamenti ( d Max < = 1/200 L)
• Verifichiamo la tensione normale Max

Se entrambe le verifiche sono soddisfatte, sapremo la altezza di una soletta piena in cls.

Ci interessiamo del momento di inerzia di una striscia, lo calcoliamo, e lo useremo quindi come strumento per ricavare l’area della sezione di una trave in c.a. del graticcio.

Sostituiremo infine la piastra in Sap con un graticcio di travi inflesse che abbiano il momento di inerzia equivalente a quello della piastra, avendo precedentemente deciso il passo strutturale che dovranno avere.

 

1. Modellazione di una piastra (soletta piena in cls):

Iniziamo col definire le dimensioni di una griglia > Grid Only> 30 x 30 metri h pilastri 4 mt.

  

Definizione dei pilastri:

Definiamo il materiale: Define > Materials> Add New Material> Concrete> C50/60

Definiamo le sezioni: Define> Frame Sections> Rectangular>Concrete>

• Pilastri Angolari 1x1m
• Pilastri :1,2 x 0,6 m

Ora vedremo i pilastri nella loro visualizzazione estrusa e capiremo quali sono i loro assi locali, in modo tale da posizionarli correttamente, cioè con la loro inerzia maggiore nella direzione dello sviluppo del graticcio.

Selezioniamo quali devono essere ruotati e effettuiamo questa operazione con il comando Assign>Frame>Local Axes.

 

• Ora che i pilastri sono disposti nella maniera corretta, gli assegniamo i vincoli di incastro a terra.

Assign>Joints>Restaints>Incastro.

Modellazione della piastra:

Prima di disegnarla come SHELL, definiamo un materiale cls 50/60 con la differenza che in questa esercitazione non considereremo il coefficiente di Poisson, pertanto lo imposteremo = 0

Ora definiamo la sezione >Define >Area Section>SHELL>Shell Thick >Materiale creato precedentemente>Dimensioni 1x1 m.

Chiaramente il PP della piastra va sempre considerato in quanto non è trascurabile, trattandosi di queste dimensioni e del cls.

Definiamo quindi un nuovo load pattern che chiameremo F con un self weight multiplier =1.

Disegniamo la piastra con il comando Draw Poly Area, la sezione sarà SHELL, precedentemente creata.

Facciamo ora l’operazione di discretizzare questa area, in modo tale che Sap consideri molte piccole aree al suo interno al fine di avere una maggiore precisione di calcolo.

Edit > Areas>Divide Areas> 0,50 x 0,50 m.

Seleziono l’area discretizzata e gli riassegno la sezione SHELL.

Ora dobbiamo assegnare i carichi agenti sulla piastra, ma per farlo bisogna distinguere i carichi che agiscono su i nodi posti in posizione perimetrale, centrale o angolare, in quanto porteranno una percentuale differente di carico concentrato.

Define>Groups>- NODI ANGOLARI e NODI PERIMETRALI (tutti gli altri rimarranno su ALL, gruppo di default di Sap). Selezioniamo i nodi e li assegno al gruppo corrispondente.

Consideriamo che la piastra modellata porti un peso di 10 KN/m2 per piano, e consideriamo 4 piani in totale.

30x30m = 900 m2 x 10 kN/m2 x 4 piani = 36000 kN .

Selezioniamo tutta la shell >Deselect Groups> togliamo i nodi angolari e perimetrali per assegnare il carico a quelli centrali. Faremo questa operazione ogni volta fino ad aver assegnato correttamente il carico puntuale sui tre gruppi di nodi.

Riassumendo:

• Nodi Centrali: carico di 10 KN
• Nodi Perimetrali: carico di 5 KN
• Nodi Angolari: carico di 2,5 KN

-Lanciamo l’analisi : per trovare il momento massimo .

Consultiamo i risultati dell’analisi e vediamo che il comportamento alle sollecitazioni di momento è piuttosto regolare e il momento M1-1, intorno all’asse 1 (x) ci aspettiamo che sia uguale al momento M2-2, essendo un sistema simmetrico.

Faremo attenzione al Valore del Momento flettente massimo perché è il valore che più ci interessa per la progettazione delle travi inflesse del graticcio.

Il Valore è = 9631,76 Kn m. (vicino ai pilastri).

Passiamo a Excel (foglio di dimensionamento di una trave soggetta a flessione)

Inseriamo il valore del momento massimo ottenuto, e altri valori noti che abbiamo utilizzato per la piastra, per poter verificare l’altezza della sezione che dovrà avere ogni trave del graticcio.

L’altezza utile a sostegno del Mmax ottenuto è circa di 130 cm.

Prendiamo questo valore accettabile, considerando che si discosta dall’altezza iniziale che avevamo dato alla piastra avendo una maggiorazione del 30 %.

Nella progettazione esecutiva però, bisognerebbe avvicinarsi già da questo primo dimensionamento ad un’altezza che non si discosti molto da quella impostata di partenza.

Calcoliamo ora l’inerzia di una striscia pari a 1 x 1 metro. Risulta essere Ix = 0,833333 cm^4.

Sappiamo che la formula del momento di inerzia è

Ix = bh^3/12 e la formula inversa per ricavare l’h = rad^3 Ix * 12/ b.

Possiamo utilizzare questa formula per ricavare il momento di inerzia che dovrà avere la sezione della trave del graticcio equivalente a quello della piastra.

Per fare questo però dobbiamo fissare il passo strutturale che vogliamo che abbia il graticcio e rifare il calcolo di Ix per una striscia di 1 m x la dimensione del passo.

Passo strutturale scelto: 2,5 m.

Da qui ricaviamo l’altezza che deve avere la trave: risulta essere pari a 1,85 m.

La trave avrà dimensioni h. 1,85 m x 0,40 m base.

 

MODELLAZIONE TRAVI DEL GRATICCIO IN SAP.

Cancelliamo ora la piastra e iniziamo a disegnare in Sap le travi del graticcio dimensionate precedentemente.

Creiamo ora la sezione delle travi a- gerarchiche del graticcio: Define >Section Properties> New Section > Trave GRATICCIO> C50/60 dimensioni 1,8 x 0,4 m.

Con CTRL+ R Replicate copio le travi nelle due direzioni per completare il disegno del graticcio.

Ora bisogna suddividere le travi affinchè abbiamo il comportamento di un graticcio, ovvero un nodo rigido tra loro. Edit> edit lines> divide frames.

Ora riassegniamo i carichi, dividendo il carico totale per il numero dei nodi, a seconda de sono Centrali, perimetrali o angolari.

Creiamo quindi un nuovo Load Pattern “Q”. E assegnamo i carichi ai nodi

• Nodi centrali : carico 250 kn
• Nodi perimetrali : carico 125 kn
• Nodi Angolari : carico 62,5 kn

Riavviamo l’analisi su Q, considerando anche il peso proprio .

Controlliamo l’abbassamento massimo (si verifica in uno dei punti centrali).

Risulta essere di circa 7 cm, è ammissibile in quanto rispettiamo il valore max di abbassamento consentito dalla normativa allo S.L.U. ( Max < = 1/200 L)

Inoltre, dalla visualizzazione deformata notiamo che i pilastri si incurvano in quanto il nodo tra trave e pilastro è rigido.

Vediamo i risultati del momento lineare in corrispondenza del pilastro e capiamo cosa succede alle travi di bordo, dobbiamo quindi lavorare sulla loro rigidezza torsionale.

Dimensioniamo la trave di bordo con il foglio di calcolo per assegnarle una sezione adatta a contrastare il più possibile la torsione alla quale è soggetta.

Vefica trave di bordo :

Seleziono le travi di bordo , per cambiare la loro sezione . Assign>Frame>Frame Sections>trave di bordo > 1,8 X 1 METRI

Rilanciamo l’analisi .

Controlliamo ora i pilastri, verifichiamo la loro sezione con la tabella di calcolo .

Verifica pilastri :

La sezione verificata è pari a 180x60 cm , creiamo quindi una nuova sezione e la riassegniamo in Sap.

Consultando nuovamente le sollecitazioni, si nota chiaramente che con questo processo di reiterazione i valori migliorano notevolmente, stressando sempre meno la struttura .

Notiamo però che questo processo necessita di criteri specifici e di una consapevolezza tale da non creare ulteriori problemi alla struttura (se si aumenta la sezione delle travi o dei pilastri, aumenterà anche il peso della stessa, e questo porta ad altre problematiche).

Per questo motivo, si potrebbe considerare un cambio di sezione e di materiale per la trave di bordo, ad esempio una sezione tubolare o scatolare cava, che possiede una elevata rigidezza torsionale. Risulta essere un esercizio complesso, volto a “trovare un equilibrio”.

Nella progettazione esecutiva si continua con questo modus operandi fino ad ottenere i risultati ottimali, considerando in maniera sempre più specifica ed attenta quelle sopra citate (e non solo).

Concludiamo l’esercitazione avendo compreso l’importanza e la precisione che richiede la progettazione di morfologie strutturali speciali come questa, anche ad uno stato di primo dimensionamento da noi studiato e simulato con il programma di calcolo.