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Dimensionamento approssimativo di un edificio multipiano in calcestruzzo armato soggetto a forza sismica

L’obiettivo dell’esercitazione è quello di calcolare la ripartizione della forza sismica sull’edificio precedentemente modellato e verificare gli effetti conseguenti sui pilastri.

1. Definizione dei telai che compongono la struttura                                                                                            

In pianta si possono individuare nove telai, cinque paralleli all’asse y e quattro paralleli all’asse x:

Telaio 1v composto da: pilastri 1-6-11-16
Telaio 2v composto da: pilastri 2-7-12-17
Telaio 3v composto da: pilastri 3-8-13-18
Telaio 4v composto da: pilastri 4-9-14-19
Telaio 5v composto da: pilastri 5-10-15-20

 

Telaio 1o composto da: pilastri 1-2-3-4-5
Telaio 2o composto da: pilastri 6-7-8-9-10
Telaio 3o composto da: pilastri 11-12-13-14-15
Telaio 4o composto da: pilastri 16-17-18-19-20

 

I controventi possono essere schematizzati nel piano come molle:

Date le dimensioni dei pilastri individuate nell’esercitazione precedente, si possono determinare le rigidezze traslanti di ogni controvento nello STEP 1 della tabella Excel “Ripartizione forze sismiche” nei fogli “Piano terra”, “Piano primo”, “Piano secondo” rispettivamente per i telai di ogni piano.

Nello STEP 2 vengono elencate le rigidezze dei telai e le relative distanze dall’origine degli assi O.

2. Definizione del centro di massa                                                                                                                        

Si determina il centro di massa dell’impalcato che, nonostante abbia la bucatura dal vano scale, questa può essere considerata trascurabile in quanto la pianta dell’edificio è quasi simmetrica. Infatti, se si effettuano i calcoli includendo la bucatura, la variazione dell’ascissa del centro d’area è minima rispetto all’ascissa del centro calcolato trascurandola, mentre l’ordinata è la stessa. Per tanto si considera la pianta dell’edificio senza bucatura e di conseguenza il centro di massa coincide con il centro d’area e viene indicato nello STEP 3 come G (12 ; 6).

Di conseguenza si definisce nel modello SAP il centro di massa di ogni impalcato assegnandogli il diaphragm a seconda della quota in cui è posizionato.

3. Definizione del centro delle rigidezze                                                                                                                

Nello STEP 4 si individua il centro delle rigidezze del piano terra tramite le rigidezze dei telai e le loro distanze dall’origine degli assi. Il centro viene indicato come C_PT (12,12 ; 6).

Il centro di massa e il centro delle rigidezze hanno la stessa ordinata ma non la stessa ascissa, quindi se l’impalcato è soggetto ad una forza lungo x trasla orizzontalmente, mentre se è soggetto ad una forza lungo y alla traslazione verticale si aggiunge la rotazione dovuta al momento della forza esterna che ha come braccio x_C - x_G = 0,12. Nonostante l’esigua differenza di ascissa tra i due centri, sono stati considerati non coincidenti studiando quindi anche la rotazione.

Si procede allo stesso modo per il piano primo e il piano secondo ricavando come centro delle rigidezze rispettivamente C_PP (12,14 ; 6) e C_PS (12,48 ; 6).

4. Definizione della forza sismica                                                                                                                          

Nello STEP 5 viene definita la forza sismica attraverso la combinazione di carichi permanenti e accidentali in base al piano analizzato, considerando come coefficiente di intensità sismica c quello relativo a Roma e quindi pari a 0,1.

La forza sismica si ripartisce diversamente sui controventi nelle due direzioni x e y. Si definiscono quindi Fx e Fy come load pattern e si applicano ai centri di massa di ogni impalcato con valori differenti in base ai piani:

PIANO TERRA Fx= Fy = 274,75 kN;

PIANO PRIMO Fx= Fy= 549,50 kN;

PIANO SECONDO Fx= Fy= 824,26 kN.

5. Definizione delle combinazioni di carico e analisi                                                                                             

Le forze Fx vengono combinate nella COMB1 e le forze Fy nella COMB2, insieme ai carichi Qs, Qp, Qa e PP, definiti nell’esercitazione precedente. Dopodiché si procede all’analisi prima per la COMB1 per ottenere gli effetti sui pilastri, successivamente lo stesso per la COMB2.

Tra le due combinazioni quella che produce una situazione maggiormente svantaggiata è la COMB1, come riportato dalla tabella Excel “Risultati analisi SAP”. Di conseguenza si osserva che rispetto alla precedente combinazione senza forza sismica (SLU) il momento sui pilastri è maggiore.

6. Verifica a pressoflessione                                                                                                                                 

Si procede a inserire i nuovi valori di N e M nella tabella Excel “Verifica pressoflessione”. Si osserva che, avendo i valori di M maggiori rispetto all’esercitazione precedente, anche l’eccentricità è maggiore. A seguito di questa verifica, in base al tipo di eccentricità ottenuta, sono state calcolate le nuove sezioni e sostituite nel modello.

Esercitazione 3: Dimensionamento di massima di un telaio in C.A. in zona sismica

Studenti: Patryk Rynkowski, Luca Santilli

Poiché nell’esercitazione precedente i pilastri a sezione quadrata risultavano non verificati, abbiamo iniziato sostituendo quest’ultimi con dei nuovi a sezione rettangolare di dimensioni:

• PT: 40x40 -> 55x35
• P1: 35x35 -> 50x30
• P2: 30x30 -> 45x25

Visualizziamo i valori dei nuovi pilastri sulla tabella Excel della scorsa esercitazione.

Autocad

Pianta P1:

Pianta controventi:

Prospetto:

Sezione corpo scala: 

Con i risultati ottenuti dal dimensionamento dei nuovi pilastri, calcoliamo le rigidezze traslanti dei controventi del nostro telaio e le inseriamo nella tabella:

Nella successiva tabella inseriamo i valori della rigidezza di ogni controvento e le relative distanze:

Vediamo la rigidezza orizzontale, verticale e a torsione del telaio.

Individuiamo il centro di massa.

A questo punto torniamo su SAP e delineiamo il centro di massa grazie all’intersezione delle due diagonali.

(Medesimo procedimento sarà applicato ai piani superiori)

Tramite il comando Diaphram assegniamo la condizione di impalcato ai punti appena creati.

Passiamo a definire i casi di carico (Load Patterns) per le due direzioni dove agiranno le forze sismiche:

X e Y, Fx e Fy

Calcoliamo adesso la Forza Sismica orizzontale, ricavando i seguenti valori:

• qs=3,5
• qp=3
• qa=2

P = Qs+Qp+(y*Qa)

• Qs = A tot x npiani x qs 
• Qp = A tot x npiani x qp 
• Qa= A tot x npiani x qa 

P = 7558,27 kN

Fs= P x c = 7558,27 x 0,2 = 1511,65 kN (c=coefficiente di intensità sismica di Roma)

La forza sismica va distribuita per i 3 piani (h3,5m).

Fi = ( hi x Fs )/åhi

• FP1 = (1511,65 x 3,5) / 21 = 251,94 kN
• FP2 = (1511,65 x 7) / 21 = 502,88 kN
• FP3 = (1511,65 x 10,5) / 21 = 755,82 kN

Ora assegniamo le forze ricavate su X e Y per tutti i piani:

Fx:

Fy:

Visualizziamo i dati di ogni punto tramite il comando Point Information:

P1

P2

P3

Avviamo una prima analisi che prenda in esame soltanto le deformazioni dovute allo sforzo sismico. 

Una seconda analisi prenderà invece in esame soltanto i carichi, senza considerare momentaneamente gli sforzi dovuti alla presenza della zona sismica.

Infine, avviamo l’analisi considerando tutti i carichi in zona sismica.

Visualizziamo la forza agente lungo l’asse x:

Gm = (12,00;6,00)Gc = (10,78;5,44)dc = -0,56m

Φ = (fx*dc/ko)     P1 -> -7,51*10^-5     P2 ->  -2,25*10^-5

Fo = Fx/Ko

P1 = 251,94 / 18771169,89 = 0,000013m

P3 = 755,82 / 18771169,89 = 0,000040m

 

Visualizziamo la forza agente lungo l’asse y:

Gm = (12,00;6,00)Gc = (10,78;5,44)dc = -1,22m

• = (fx*dc/ko)     P1 -> -1,64*10^-5        P3 -> -4,91*10^-5        

Fo = Fx/Ko =

P1 = 0,000013m

P3 = 0,000040m

Esportiamo i risultati dell’analisi relativi agli sforzi in direzione x sulla tabella Excel:

Tabella degli sforzi in direzione X (b55cmxh35cm)C28/35

FRAME 49

N = 3369,52 kNM3 = 199,46 kN

e = M:N = 0,06 -> 6cm 6>H/6

MODERATA ECCENTRICITÀ   h/6(5,8)<e <h/2(17,5)     

(Prima piccola eccentricità)

I = b*h³/12 = 196510,4cm⁴

Wx = b*h²/6 = 11229,16cm³

Fcd = 15,9 Mpa

U = h/2-e à 35/2 – 6 = 11,5

Σmax = (2*N*1000)/3*u*b*100 = 35,51 Mpa < fcdNON VERIFICATO

(dovremmo scegliere una sezione maggiore)

Vediamo i diagrammi su SAP.

Forza sismica in X:

Totale in X:

Esportiamo i risultati dell’analisi relativi agli sforzi in direzione y sulla tabella Excel:

Tabella degli sforzi in direzione X (b55cmxh35cm)C28/35

FRAME 49

N = 3830,11 kNM2 = 60,16 kN

e = M:N = 0,015 -> 1cme>H/6(PICCOLA ECCENTRICITÀ, come prima)

I = 196510,4 cm⁴

Wx = 11229,16 cm³

U = h/2 – e à 16,5

Fcd = 15,9 Mpa

σmax = 2*N*1000/3*u*b*100 = 28Mpa>fcd   NON VERIFICATO

Vediamo i diagrammi su SAP.

Forza sismica in Y:

Totale in Y:

Render:

Studentesse: Arianna Sofia Pace, Giulia Retacchi

1. Descrizione sintetica della struttura
2. Individuazione dei telai e delle rigidezze
3. Determinazione del centro di massa dell’edificio
4. Determinazione del centro delle rigidezze dell’edificio
5. Analisi dei carichi sismici e calcolo della forza sismica applicata ad ogni piano
6. Applicazione della forza sismica sul modello di SAP2000 e verifica
7. Conclusioni

1)DESCRIZIONE SINTETICA DELLA STRUTTURA:

L’edificio è lungo 24 m lungo l’asse x e 17 m lungo l’asse y e ha quattro campate in entrambe le direzioni ad eccezion fatta per le due mensole al lato destro e sinistro nella direzione x che rappresentano dei balconi. Le travi principali si sviluppano nella direzione x mentre quelle secondarie in direzione y. Abbiamo posizionato un blocco scale subito a destra della trave secondaria centrale dell’edificio.

 

2)INDIVIDUAZIONE DEI TELAI E DELLE RIGIDEZZE:

Come primo passaggio bisogna individuare e rappresentare i telai che compongono la struttura con i relativi controventi verticali e orizzontali, in accordo con il modello di telaio Shear-Type. Dalla vista in pianta dell’edificio è possibile dunque individuare dieci telai per piano, cinque verticali, paralleli all’asse y, e cinque orizzontali, paralleli all’asse x: (i numeri assegnati ad ogni telaio derivano dai labels del modello SAP)

 

Telaio 1v: 14-10-56-68-81

Telaio 2v: 13-11-57-69-82

Telaio 3v: 15-20-61-70-83

Telaio 4v: 17-50-67-72-85

Telaio 5v: 23-62-71-84

Telaio 1o: 19-17-15-13-14

Telaio 2o: 23-50-20-11-10

Telaio 3o: 62-67-61-57-56

Telaio 4o: 71-72-70-69-68

Telaio 5o: 84-85-83-82-81

I controventi dunque sono stati schematizzati graficamente con delle molle aventi ognuna una specifica rigidezza K, ricavata dallo Step 1 della tabella excel:

Poiché ogni controvento è composto da cinque pilastri, per calcolare la rigidezza totale dei telai verticali e orizzontali (K T) si applica la seguente formula:

 

Dunque K dipende dalla sezione dei pilastri dimensionati nella prima fase dell’esercitazione e dai rispettivi momenti d’inerzia:

 

Sezioni pilastri:

Piano terra: 45x45 cm

Piano primo:35x35 cm

Piano secondo:25x25 cm

Calcolo del momento d’inerzia di ogni pilastro:

Nello Step 2 della tabella excel, si riassumono le rigidezze dei controventi verticali e orizzontali (Kv_n, Ko_n) con le relative distanze (dv_n, do_n) di essi dall’origine O del sistema di riferimento cartesiano (x,y):

 

3)DETERMINAZIONE DEL CENTRO DI MASSA DELL’EDIFICIO:

Per calcolare il centro di massa dell’impalcato per prima cosa abbiamo individuato è stata l’area totale (A1) a cui abbiamo sottratto l’area del vano scala (A2):

A₁=17x24=408 m²

x_G1=24/2=17 m

y_G1=17/2=8,50 m

 

A₂=2,4x5=12 m²

x_G2=2+5+5+1,2=13,20 m

y_G2=5+2,5=7,50 m

Inserendo nella tabella excel Step 3 i dati geometrici individuati, otteniamo le coordinate del centro di massa dell’impalcato G=(XG;YG) che si ricavano tramite queste formule:

4)DETERMINAZIONE DEL CENTRO DELLE RIGIDEZZE DELL’EDIFICIO:

 

Al fine di analizzare la reazione dei controventi alle forze sismiche lungo entrambe le direzioni dell’impalcato, tramite lo Step 4 della tabella excel si determinano le coordinate le punto C, centro delle rigidezze dell’impalcato. Nel calcolo di X_C E Y_C si considerano le rigidezze totali dei controventi, orizzontali e verticali, per ogni impalcato e le relative distanze di essi rispetto a C:

Poiché nel nostro caso il centro di massa G e il centro delle rigidezze C non coincidono, l’impalcato soggetto all’azione della forza sismica applicata nel punto G, lungo x e lungo y, non solo trasla nelle due direzioni ma ruota a causa del momento generato dalla forza esterna rispetto a C:

Nel calcolo della rigidezza torsionale (Kϕ) entrano in gioco le rigidezze verticali e orizzontali dei controventi e le relative distanze dal centro delle rigidezze al quadrato (braccio del momento):

7)ANALISI DEI CARICHI SISMICI E CALCOLO DELLA FORZA SISMICA PER PIANO:

L’analisi dei carichi sismici serve a determinare la forza sismica (F) applicata al centro di massa G. Per determinarla ci si riferisce allo Step 5 della tabella excel:

G (KN)= carico totale permanente per unità di superficie

 

Q(KN)=carico totale accidentale per unità di superficie     

W(KN)= combinazione sismica dei carichi (pesi sismici)   

 

F(KN)=forza sismica (coefficiente di intensità sismica c= 0,10)

In questo caso l’edificio preso in esame è un edificio regolare in pianta e regolare in alzato, dunque la forza sismica F si distribuisce a seconda delle diverse altezze degli impalcati:

h impalcato piano terra=h₁=3,50 cm

h impalcato piano primo=h₂=7,00 cm

h impalcato piano secondo=h₃=10,50 cm

F_PT=F_h1=71,75 KN

F_P1=F_h2=143,49 KN    

F_P2=F_h3=215,25 KN

Nello Step 6 e Step 7 della tabella excel si mettono in evidenza gli spostamenti verticali (v) e orizzontali (u) provocate dalla forza sismica (lungo y e x) e le rotazioni (ϕ). L’impalcato quindi subisce delle traslazioni e rotazioni rigide:

 

 

Analizzando prima la forza lungo x (F_X):

Reazione controventi verticali:

Reazione controventi orizzontali: 

Analizzando prima la forza lungo y (F_Y):

Reazione controventi verticali: 

Reazione controventi orizzontali: 

6)APPLICAZIONE DELLA FORZA SISMICA SUL MODELLO SAP2000

Il primo passo da fare su SAP è quello di individuare il centro di massa e il centro delle rigidezze, successivamente si andrà ad assegnare la condizione di impalcato rigido tramite il comando DIAPHRAM che sarà diverso su ogni impalcato:

Successivamente, dopo aver creato due casi di carico F_X e F_Y, che rappresentano la forza sismica lungo i due assi dell’impalcato, si vanno ad assegnare nel centro di massa G dell’edificio. Tramite il comando Define_Load Combination_Add new combo si andranno a definire due combinazioni di carico, COMB_FX composta dalla forza sismica F_X e la combinazione allo stato limite ultimo SLU, e COMB_FY che comprende la forza sismica F_Y e la combinazione allo stato limite ultimo SLU. Dopo aver assegnato il giusto valore della forza sismica per ogni impalcato, si può effettuare l’analisi:

Successivamente si sono estratte le tabelle excel relative all’analisi di SAP e si sono verificate nuovamente le travi a flessione e i pilastri a presso-flessione, suddivisi per ogni piano:

Tabelle excel pilastri:

7)CONCLUSIONI:

A differenza della prima fase dell’esercitazione, nella quale i pilastri e le travi risultavano essere tutti verificati a flessione e a presso-flessione e i pilastri si trovavano tutti nella condizione di piccola eccentricità, una volta applicata la forza sismica la struttura inizia a non essere verificata per alcuni pilastri, soprattutto quelli del piano primo e secondo. Inoltre alcuni pilastri si trovano in una condizione di moderata e grande eccentricità. Per contrastare l’incidenza di queste forze sugli elementi in c.a. bisognerebbe dimensionare nuovamente gli elementi assegnando delle nuove sezioni, o modificare la classe di resistenza del materiale, che in precedenza era C28/35.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L'esercitazione ha l'obiettivo di calcolare, grazie al metodo delle rigidezze, la ripartizione sulla struttura di un carico orizzontale, identificato in questo caso con il carico sismico. La struttura presa in esame è quella dell'esercitazione precedente, composta da 4 piani fuori terra, 5 campate di 6X4 m, con degli sbalzi di 2,4 m. 

 

I telai che compongono la struttura:

1O_pilastri: 1,2,3,4,5,6

2O_pilastri: 7,8,9,10,11,12

1V_pilastri: 1,7

2V_pilastri: 2,8

3V_pilastri: 3,9

4V_pilastri: 4,10

5V_pilastri: 5,11

6V_pilastri: 6,12

Si determina la rigidezza dei telai considerando ogni singolo controvento, calcolando il centro delle rigidezze e il centro di massa. Infine si calcola la ripartizione delle forze sismiche distribuite per ogni piano e per ogni controvento, lungo l'asse delle x e l'asse delle y. Il calcolo delle forze sismiche è stato effettuato per ogni piano

 

 

Successivamente passando su SAP2000 sono stati individuati i centri di massa dei vari impalcati, ed è stato applicato il diaphram a tutti i solaii cosi da riprodurre le condizioni di un impalcato rigido. Sono stati individuati i due casi di carico della forza sismica lungo l'asse X e l'asse Y e sono stati applicati ai centri di massa.

 

Facciamo partire l'analisi da cui estraiamo le tabelle che importiamo su Excel, con le quali verifichiamo che i pilastri resistano ancora a pressoflessione. 

La struttura risulta verificata all'azione del sisma in entrambe le direzioni.

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Dovuto ad un errore di caricamento del portale del testo completo di immagini sul blog, proviamo a caricare il pdf e il file xls della terza esercitazione. 

Nicole Michelena e Marta Sacristan .

 

RIPARTIZIONE DI FORZE ORIZZONTALI AGENTI SU UNA STRUTTURA IN CLS

Per questa esercitazione è stato considerato un edificio in cls armato, precedentemente dimensionato e modellato su SAP, come un insieme di telai ''shear type'' con le relative rigidezze traslanti. Essendo un telaio di elementi verticali e orizzontali tra loro collegati da nodi rigidi, questi potranno avere doppia funzione se disposti adeguatamente; resistere al peso della costruzione e di resistere alle forze orizzontali, in questo caso si è considerata l'azione sismica. Per la ripartizione delle forze orizzontali è stato necessario applicare un diaphragm ad ogni piano, cioè un vincolo interno, che colleghi le teste dei pilastri ad un unico corpo rigido piano, l'impalcato. In questo modo si impone a tutti i punti del piano di ruotare attorno all’asse Z nel centro delle rigidezze C, e di non inflettersi fuori dal piano.

L'edificio è definito dal seguente impalcato:

                

I solai sono orditi come indicato in figura ed i pilastri hanno le seguenti sezioni con diversi momenti d'inerzia e conseguenti rigidezze:

• CALCOLO DELLE RIGIDEZZE DEI CONTROVENTI

Nella figura si possono individuare nove telai, cinque paralleli all’asse Y e quattro paralleli all’asse X :

Il solaio è ipotizzabile rigido nel suo piano, mentre i controventi sono cedevoli elasticamente e rappresentabili come molle. Nelle tabelle del foglio excel inseriamo il valore dei momenti d’inerzia per calcolare la rigidezza traslante con cui ogni telaio si oppone alle forze orizzontali.

• CALCOLO DEL CENTRO DI MASSA

Nel caso di un impalcato rigido con densità di massa uniforme su tutto l'impalcato il centro di massa coincide con il centro d'area. Calcoliamo il centro di massa dell'impalcato in quanto sarà il punto di applicazione della forza sismica.

• CALCOLO DEL CENTRO DELLE RIGIDEZZE

Trovate le rigidezze traslanti dei controventi verticali e orizzontali, si inseriscono nella tabella sinottica con le relative distanze dal centro di rotazione O. Il calcolo del centro delle rigidezze dipende dalle rigidezze globali dei controventi verticali Kv, tot e orizzontali Ko, tot tote dalle distanze rispetto ad O.

Il centro delle rigidezze C non coincide con il centro di massa G ma risultano avere stessa ordinata Y; quest’operazione ci consente di verificare se l’impalcato subisce una rotazione o sola traslazione. Considerando C come il centro di rotazione di tutti i punti dell'impalcato rigido attorno all'asse Z, la forza sismica Fs esterna applicata a G lungo Y, NON passa per il centro delle rigidezze e quindi avrà luogo una rotazione e una traslazione verticale. La forza sismica Fs applicata lungo X, PASSA per il centro e quindi ci sarà sola traslazione orizzontale.

• CALCOLO DELLA RIGIDEZZA TORSIONALE

Oltre a calcolare le coordinate del centro di rigidezza, ricaviamo anche il valore della rigidezza torsionale, calcolando tutte le distanze dei diversi controventi dal nuovo centro di rotazione C per trovare la rigidezza torsionale e in seguito calcolare la rotazione dell'impalcato.

• CALCOLO DEI CARICHI ORIZZONTALI

Per la ripartizione delle forze orizzontali, manca ora solo il carico orizzontale, essendo questo ipotizzabile come una forza sismica, si ricava tale carico dalla formula:

F s = W edificio • c

Vengono inseriti nella tabella i valori dei carichi che definiscono il tipo di solaio e calcoliamo la forza peso dell'edificio, uguale alla massa dell'edificio per l'accelerazione.

Insieme all’utilizzo dei coefficienti di contemporaneità e di intensità sisimica si ricava la forza sismica orizzontale da applicare sul centro di massa.

W edificio = P = Mg ( Forza Peso dell'edificio in KN )

P = QS + QP + 0,8 • QA ( 0,8 corrisponde al valore del coefficiente di contemporaneità)

QS = npiani • A tot • qs

Qp = npiani • A tot • qp

Qa= npiani • A tot • qa

Introduciamo un coefficiente di intesità sismica c per tenere conto della sismicità del luogo di progettazione dell’edificio.

• RIPARTIZIONE DELLE FORZE ORIZZONTALI

Si dovrà ora quantificare la ripartizione della forza sismica FS sui controventi con le relative reazioni elastiche, e gli effetti cinematici sull’impalcato in termini di traslazione e di rotazione rigida:

Quando la forza è parallela all’asse X, le reazioni elastiche dei controventi verticali e orizzontali sono uguali a:

Ri, v = ki, v ( delta,v • ddi, v ) = ki, v ( delta,v • 0 ) = 0

Ri, o = ki, o ( delta,o + phi • ddi, o ) = ki, o • delta,o

Quando la forza è parallela all’asse Y, le reazioni elastiche dei controventi verticali e orizzontali sono uguali a:

Ri, v = ki, v ( delta,v + phi • ddi, v )

Ri, o = ki, o ( phi • ddi, v )

La forza ripartita lungo X, controbilanciata dalle reazioni dei controventi orizzontali, è uguale alla traslazione orizzontale per la rigidezza traslante del controvento e non genera rotazione perché l'asse passa per il centro delle rigidezze dove si annulla il Momento Torcente avendo braccio nullo.

La forza ripartita lungo Y, controbilanciata dalle reazioni dei controventi verticali, genera una traslazione verticale e una rotazione attorno al centro delle rigidezza.

Fx = k,o • delta,o

Fy = k,v • delta,v

• ASSEGNAZIONE CARICHI ORIZZONTALI

Fi = FS • hi / ∑ hi

Fi corrisponde al valore della forza sismica da applicare nel centro di massa di ciascun piano. Fi risulta direttamente proporzionale alla quota, gli ultimi piani subiscnono maggiormente l’azione sismica, ed è per questo che la distribuzione della forza sismica ha un andamento triangolare.

• VERIFICA A PRESSOFLESSIONE DEI PILASTRI

Dopo aver mandato l'analisi con il carico SLU e la forza sismica F lungo Y, ricaviamo le nuove sollecitazioni di progetto che verranno inserite nella tabella excel ai fini della verifica a pressoflessione dei pilastri.

Dalla verifica risultano non verificate le sezioni 30 x 30 cm di due pilastri angolari dell'ultimo piano che ricevono maggiore flessione. Andando a cambiare le dimensioni della sezione con 40 x 40 cm la verifica risulta soddisfatta.

Sovrapposizione degli effetti: Traslazione orizzotale e rotazione, Piano XY

Sovrapposizione degli effetti: Traslazione orizzontale e rotazione, Piano ZY

 

Studentesse: Mariani Lucia, Maurelli Ilaria

Dopo aver precedentemente effettuato la progettazione di massima dell’edificio sottoposto alla combinazione di carico allo stato limite ultimo e all'azione del vento, ci siamo concentrate sull’analisi del comportamento del fabbricato sottoposto ad azione sismica orizzontale.

Definizione dei controventi e delle rigidezze

Come prima cosa, definita la geometria dell'impalcato, abbiamo numerato i pilastri e successivamente individuato i controventi orizzontali e verticali in corrispondenza dei telai.

Successivamente abbiamo svolto una breve analisi per capire quale fosse l'orientamento ottimale dei pilastri in presenza dell'azione sismica.

Nell'esercitazione precedente, i nostri pilastri erano stati orientati in base allo studio dell'azione del vento, con la dimensione maggiore lungo l'asse orizzontale.

I pilastri del piano terra (32x44) cm, possono essere orientati in due diverse direzioni.
In base all'orientamento del pilastro ciò che influisce sul calcolo delle rigidezze è il momento di inerzia I, che dipende dalla sezione e dal suo orientamento in pianta.

Abbiamo calcolato il momento di inerzia della sezione rettangolare in entrambi i casi di orientamento:

I₁ = bh³ / 12 = 32 cm x 44³ cm³ / 12 = 227157 cm⁴
I₂ = hb³ / 12 = 44 cm x 32³ cm³ / 12 = 120149 cm⁴

Abbiamo poi calcolato il rapporto tra i due momenti
di inerzia

I₁ / I₂  = 227157 cm⁴ / 120149 cm⁴ = 1,9 = 2 (circa)

Dal calcolo del rapporto vediamo come orientando il pilastro con la dimensione maggiore l'ungo l'asse orizzontale, otteniamo un momento di inerzia che è pari a circa il doppio rispetto all'orientamento con la dimensione maggiore lungo l'asse verticale.

Per quanto riguarda il nostro impalcato rigido, essendo i telai orizzontali individuati da 5 pilastri e i telai verticali individuati da 4 pilastri, e sapendo che la rigidezza totale è la somma delle rigidezze traslanti dei controventi lungo una direzione, abbiamo scelto di orientare il pilastro in modo tale da ottenere un maggiore momento di inerzia lungo la direzione verticale, cioè quella individuata da un minor numero di controventi.

In questo modo, otteniamo due valori di rigidezza traslante non troppo distanti tra loro, questo ci assicura una discreta rigidezza dell'impalcato in entrambe le direzioni, non potendo prevedere da quale delle due inciderà la forza del sisma.

Dopo aver definito l'orientamento e successivamente le rigidezze dei telai, abbiamo scelto di considerare un  punto O come centro provvisorio, in corrispondenza del pilastro 1.

In base al nostro centro abbiamo potuto così definire le diverse distanze dal punto O, sia per i controventi orizzontali che per i controventi verticali.

In fine abbiamo potuto completare la tabella sinottica dei controventi con le relative rigidezze traslanti nelle due direzioni, orizzontale e verticale e le distanze ottenute.

 

Calcolo del centro d’area e centro di massa

Successivamente abbiamo definito il centro d'area (centro di massa) del nostro impalcato.
Come prima cosa abbiamo calcolato le aree che caratterizzano la nostra pianta, l’area totale dell'impalcato (Area 1 = 264 m²) e l’area del blocco scale (Area 2 = 10 m²).
Per trovare l'area effettiva, abbiamo quindi sottratto l'area del blocco scale al valore dell'area totale, trovando il valore di 254 m².

Dopo aver ottenuto i valori delle due aree, abbiamo calcolato i rispettivi centri d'area C₁ (x₁;y₁) e C₂ (x₂;y₂).

A questo punto siamo state in grado di calcolare i valori effettivi delle coordinate del centro d'area G (X_G e Y_G) relativo all'area totale cioè la differenza delle due aree (Atot = A₁ - A₂ = 254 m²). 

A₁ = B x H 
A₂ = b x h 
C₁ = (x₁;y₁)
C₂ = (x₂;y₂) 

x_G =  (A₁ x₁ - A₂ x₂)  / (A₁ - A₂)
y_G =  (A₁ y₁ - A₂ y₂)  / (A₁ - A₂)

A₁ = 254,00 m²
A₂ = 10,00 m²
C₁ = (11,00 m ; 6,00 m)
C₂ = (11,25 m ; 6,00 m) 

x_G = (254,00 m² x 11,00 m) - (10,00 m² x 11,25 m) / (254,00 - 10,00) m² = 10,99 m 
y_G = (254,00 m² x 6,00 m) - (10,00 m² x 6,00 m) / (254,00 - 10,00) m² = 6,00 m 

Calcolare il centro di un sistema di forze significa poter controllare e saper individuare il punto geometrico attorno al quale la risultante dei momenti statici è uguale a zero.
Questo concetto di centro è fondamentale ai fini dell’analisi che stiamo effettuando perché ci permetterà di individuare il centro delle rigidezze.
Questo punto ci consente di avere coscienza di dove la forza sismica verrà applicata producendo così una traslazione e una rotazione rigida dell'impalcato.

 

Calcolo del centro delle rigidezze

Per il calcolo del centro delle rigidezze, abbiamo definito prima di tutto la rigidezza totale dei controventi in direzione orizzontale e quella dei controventi in direzione verticale
K_{o_tot}​ = 141236,38 KN/m
K_{v_tot} = 267025,37 KN/m

Successivamente abbiamo trovato i valori delle coordinate del centro delle rigidezze C (X_c ; Yc)

X_c = (Sommatoria delle rigidezze dei controventi verticali per le relative distanze y) / (Sommatoria delle rigidezze dei controventi verticali K_{v_tot})
X_c = (K_{v_1} x y₁ + K_{v_2} x y₂  + K_{v_3} x y₃  + K_{v_4} x y₄  + K_{v_5} x y₅) / K_{v_tot} 
X_c = 10,00 m

Y_c = (Sommatoria delle rigidezze dei controventi orizzontali per le relative distanze x) / (Sommatoria delle rigidezze dei controventi orizzontali K_{o_tot})
Y_c = (K_{o_6} x x₆ + K_{o_7} x x₇  + K_{o_8} x x₈  + K_{o_9} x x₉) / K_{o_tot} 
Y_c = 6,00 m

 

Considerazioni:

Abbiamo a questo punto ottenuto i valori delle coordinate del centro d'area (centro di massa) e del centro delle rigidezze.

Centro di massa
X_G = 10,99 m
Y_G = 6,00 m

Centro delle rigidezze
X_C = 10,00 m
Y_C = 6,00 m

Affinché l'edificio possa rispondere adeguatamente alla forza sismica agente, il centro di massa dell'impalcato e il centro delle rigidezze non devono essere troppo distanti tra loro.
In caso contrario, si verificherebbe la formazione di un braccio troppo grande tra i gli assi dei due centri che comporterebbe una rotazione eccessiva dell'impalcato rigido con conseguente collasso.

Calcolo della forza sismica 

Per prima cosa abbiamo definito la forza sismica come il prodotto della massa investita dal sisma per il valore dell'accelerazione sismica di trascinamento (F = m x a).

Queste accelerazioni sismiche sono indotte dal movimento del terreno che le trasferisce all’edificio: qui, incontrando le masse orizzontali (solai), si tramutano in forze.

Per questa ragione, nella formula stessa che descrive il valore della forza F_s, possiamo constatare come la forza sismica non è altro che una frazione della forza peso.
Più una struttura è pesante, e quindi più massa ha, più sarà sensibile all’azione del sisma.

F_s = m x a
F_s =​ m x g x C
F_s = P x C

C= 0,2 è il coefficiente di intensità sismica ricavato dalla normativa in base alla localizzazione dell’edificio che stiamo analizzando: tale coefficiente, sempre minore di 1, ci da un'idea di quanto la nostra struttura è vulnerabile al sisma.

P è la forza peso, descritta come prodotto tra il valore della massa m per l'accelerazione gravitazionale g.
 
P = Q_s + Q_p + 0,8 Q_a 

Q = (Numero di piani dell'edificio) x (Area di un piano al netto del vano scale) x (Valore del carico superficiale distribuito al metro quadrato)

Q_s = 3 x 254,00 m² x 4,73 KN/m² = 3604,26 KN 
Q_p = 3 x 254,00 m² x 2,52 KN/m² = 1920,24 KN 
Q_a = 3 x 254,00 m² x 2,00 KN/m² = 1524,00 KN 

P = 3604,26 KN + 1920,24 KN + 0,8 x 1524,00 KN = 6743,70 KN 

F_s = 6743,70 KN x 0,2 = 1348,74 KN

Osservando le precedenti formule possiamo notare come l’analisi del carico Q dipenda non soltanto dai carichi strutturali, dai sovraccarichi permanenti e da quelli accidentali, bensì anche dal numero dei piani che compongono l’edificio e dall’area della superficie di un piano al netto della scala.
Questo deriva dal fatto che la forza sismica dipende non solo dalla localizzazione geografica e topografica dell’edificio (coefficiente d’intensità sismica C) ma, come abbiamo già detto, dalla massa che essa investe e quindi, dal valore dei pesi sismici che compongono l’intero edificio.
 

 

Calcolo della ripartizione della forza sismica per piano

La forza sismica, approssimata come forza orizzontale concentrata, è in realtà descritta da un andamento lineare crescente in proporzione all'altezza dell edificio.
Per questa ragione il valore della forza sismica che colpisce ogni piano è differente.

Per calcolarla abbiamo utilizzato la seguente formula:
F_i = (Altezza interpiano considerato) / (Somma delle altezze relative ai piani) x (Forza sismica)

F₁ = (3,50 m / (3,50+7,00+10,50) m x 1348,74 KN = 224,79 KN 
F₂ = (7,00 m / (3,50+7,00+10,50) m x 1348,74 KN = 449,58 KN
F₃ = (10,50 m / (3,50+7,00+10,50) m x 1348,74 KN = 674,37 KN

Per verificare i valori ottenuti della forza sismica nei vari piani abbiamo usato un metodo proporzionale. Quando un edificio è regolare in pianta e in alzato la forza sismica si ripartisce secondo l'andamento lineare crescente precedentemente descritto.
Di conseguenza abbiamo considerato che la forza sismica totale F_s = 1348,74 KN si ripartisce di piano in piano secondo un unità crescente: il primo piano sarà investito da una forza sismica pari ad un unità di F_s, il secondo da una forza pari a due unità, il terzo piano da una forza pari a tre unità.

Abbiamo quindi suddiviso il valore totale di F_s in 6 unità ottenendo così il valore unitario di forza
U_F = 1348,74 KN / 6 = 224,79 KN

Questo valore equivale perciò al valore della forza agente sul primo piano:
F₁ = 224,79 x 1 = 224,79 KN
Per trovare il valore della forza agente sul secondo piano abbiamo moltiplicato questo valore per 2 unità:
F₂ = 224,79 x 2 = 449,58 KN
Abbiamo ripetuto lo stesso procedimento per il terzo piano moltiplicando per 3 unità ottenendo la forza agente su quel piano:
F₂ = 224,79 x 3 = 674,37 KN.

Abbiamo così constatato che i valori precedentemente ottenuti sono verificati.

 

Calcolo della ripartizione della forza sismica lungo le due direzioni X e Y

Per il calcolo della ripartizione della forza sismica, abbiamo innanzitutto calcolato il valore del momento torcente dell'impalcato nelle due direzioni come forza per braccio:

M_x = F_s x (X_C - X_G)
M_x = 1348,74 KN x (10,00 m - 10,99 m)
M_x = 1335,47 KNm

M_y = F_s x (Y_C - Y_G)
M_y = 1348,74 KN x (6,00 m - 6,00 m)
M_y = 0 KNm

Sapendo che la forza sismica è definita in funzione della rigidezza dalla seguente equazione lineare:
Forza sismica = Rigidezza x Spostamento
Spostamento = Forza sismica / Rigidezza

Abbiamo calcolato il valore della traslazione orizzontale e di quella verticale relative all'impalcato
u_orizzontale = F_s / K_{o_tot}​ 
u_orizzontale = 0,010 m

v_verticale = F_s /  K_{v_tot} 
v_verticale = 0,005 m

Successivamente abbiamo calcolato i valori di rotazione, sempre differenziando le due direzioni x e y su cui agisce il sisma, come rapporto tra il momento torcente e il valore della rigidezza torsionale totale trovato precedentemente:

ϕ_x = M_x / K_ϕ
ϕ_x = 1335,47 KNm / 16175996,08 KNm
ϕ_x = 0,00008

ϕ_y = M_y / K_ϕ
ϕ_y = 0 KNm / 16175996,08 KNm
ϕ_y = 0

Dopo aver calcolato questi valori siamo stati in grado di calcolare le singole forze agenti sui controventi orizzontali e verticali nel caso della forza sismica agente lungo la direzione X e nel caso della forza sismica agente lungo la direzione Y

F_{i_x} = K_i x (u_orizzontale + d_i x ϕ_x)

F_{i_y} = K_i x (v_verticale + d_i x ϕ_y)

Infine, per verificare i calcoli effettuati, abbiamo calcolato la forza sismica totale incidente su ogni controvento sia in direzione orizzontale che in direzione verticale e abbiamo verificato che la somma di tutte le forze relative ai controventi in una stessa direzione equivalesse al valore della forza sismica.

Modellazione su SAP2000

- ASSEGNAZIONE DEL CENTRO DI MASSA E DEL DIAPHRAM

Abbiamo iniziato la modellazione assegnando ad ogni impalcato il centro di massa calcolato precedentemente tramite lo strumento "Special Joint".
Successivamente abbiamo attribuito a tutti i punti appartenenti al piano orizzontale dell’edificio il vincolo "Diaphram", simulando così il comportamento di corpo rigido. 
Questo comportamento impone ad ogni punto appartenente al piano dell’impalcato di ruotare o traslare in maniera omogenea e non indipendente.
Prima dell’assegnazione abbiamo creato tre differenti "Constrains", uno per ogni quota z dell'edificio (z = 3,50 m; z = 7,00 m; z = 10,50 m), questo perché è necessario definire un impalcato rigido differente a seconda del piano orizzontale su cui i punti giacciono.
 

- DEFINIZIONE DEI LOAD PATTERNS

Dopodiché siamo andate a definire due load pattern differenti, "Sisma X" e "Sisma Y", assegnando come moltiplicatore di peso proprio un valore pari a zero in modo da non considerare il peso proprio dell'edificio, già presente nella combinazione lineare SLU.
Queste due forze rappresentano due azioni orizzontali che potrebbero verificarsi in un caso reale, lungo un’asse piuttosto che un altro: le nostra analisi, infatti, è orientata a metterci nella condizione di poter assicurare una risposta dei controventi adeguata in entrambe le direzioni.
 

- APPLICAZIONE DELLA FORZA SISMICA

Secondo piano
Abbiamo inserito il valore della forza F3 = 674,37 KN nelle due direzioni "Sisma X" e "Sisma Y"
Primo piano
Abbiamo inserito il valore della forza F2 = 449,58 KN nelle due direzioni "Sisma X" e "Sisma Y"
Piano terra
Abbiamo inserito il valore della forza F1 = 224,79 KN nelle due direzioni "Sisma X" e "Sisma Y"

- DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICO

Dopo aver assegnato il valore delle forze nei vari centri di massa abbiamo definito due combinazioni di carico “Load Combination” per il sisma lungo X e per il sisma lungo Y (oltre alla combinazione SLU già definita per la scorsa esercitazione), moltiplicando ogni singolo carico per il relativo coefficiente parziale di sicurezza:

- Combinazione allo stato limite ultimo: SLU

Qs (1,3)
Qp (1,5)
Qa (1,5)
PP (1,3)

- Combinazione: Sisma lungo la direzione X

SLU (1)
Sisma X (1)

- Combinazione: Sisma lungo la direzione Y

SLU (1)
Sisma Y (1)
 

- AVVIO DELL'ANALISI

A questo punto, dopo aver simulato la condizione di impalcato rigido per ogni piano, aver applicato le forze sismiche nel centro di massa differenziandole al crescere dei piani e aver definito le combinazioni di carico che ci interessa analizzare, abbiamo avviato l'analisi del modello "Run Analysis"

Considerando che difficilmente la forza sismica e l'azione del vento agiscono entrambe contemporaneamente con massima intensità, abbiamo deciso di considerare tutti i carichi definiti (Q_s, Q_P, Q_A, PP, Sisma X, Sisma Y) tranne i carichi relativi al vento.

A questo punto abbiamo osservato i diagrammi delle deformate e delle sollecitazioni agenti (N, T, M) nei due casi di combinazione lineare di carico e successivamente abbiamo estratto i valori delle forze nella tabella Excel per andare a verificare le dimensioni delle sezioni dei pilastri soggetti a presso flessione.

Combinazione Sisma Y
Deformata

Diagramma del momento flettente (intorno all'asse 3)

Combinazione Sisma X
Deformata

Diagramma del momento flettente (intorno all'asse 3)

Modello tridimensionale
L'orientamento del pilastri è stato invertito in base alle considerazioni riguardanti le rigidezze traslanti dei controventi lungo le due direzioni precedentemente illustrate.

Verifica a pressoflessione dei pilastri

Dopo aver estratto i valori delle sollecitazioni da SAP, le abbiamo suddivise secondo le due combinazioni di carico "Sisma X" e "Sisma Y" .
A questo punto abbiamo importato i valori nel file Excel relativo alla verifica dei pilastri a pressoflessione differenziando le tabelle relative all'azione del sisma lungo l'asse X e all'azione del sisma lungo l'asse Y.

Sisma lungo la direzione X - Verifica pilastri a pressoflessione

Sisma lungo la direzione Y - Verifica pilastri a pressoflessione

Le tabelle Excel evidenziano che il dimensionamento di massima delle sezioni di pilastri che era stato effettuato per l'esercitazione precedente è sufficiente a rispondere adeguatamente all'azione orizzontale della forza sismica in entrambe le direzioni.

 

Eccentricità

Sisma lungo la direzione X - Eccentricità dello sforzo normale

Sisma lungo la direzione Y - Eccentricità dello sforzo normale

In fine abbiamo verificato, con i nuovi valori dello sforzo normale e del momento flettente, i valori dell'eccentricità relativa allo sforzo assiale N di compressione sui pilastri.
Tale eccentricità di N è dovuta alla compresenza dello sforzo di compressione e della flessione.

Dal confronto con i precedenti calcoli risulta che alcuni pilastri, evidentemente soggetti ad una flessione più elevata, sono passati da un valore di piccola eccentricità ad un valore di eccentricità moderata; altri pilastri che risultavano invece in condizione di eccentricità moderata sono passati ad avere un valore di eccentricità grande.

 

 

Studentesse: Santacesaria Elena, Schettini Benedetta.

Sulla base dell’edificio precedentemente analizzato nella prima parte della consegna, abbiamo questa volta studiato il comportamento della struttura in zona sismica.

Abbiamo analizzato la pianta strutturale e abbiamo individuato i telai che la compongono, dividendoli in verticali e orizzontali.

I controventi possono essere schematizzati come molle, ognuno con la sua rigidezza, in quanto si comportano in modo elastico.

Calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell’edificio

Abbiamo calcolato la rigidezza di ogni controvento tramite la formula K = (12EI)/H^3

Tabella sinottica controventi e distanze

La tabella mostra le rigidezze di tutti i telai e le rispettive distanze dal punto di origine O del sistema di riferimento scelto.

Calcolo del centro di massa dell’impalcato

Il nostro impalcato ha una forma rettangolare e una densità di massa uniforme, quindi per individuare il centro di massa G è bastato tracciare le diagonali della figura e trovarne il centro geometrico.

Calcolo del centro delle rigidezze e delle rigidezze globali

Abbiamo calcolato le rigidezze totali (verticali e orizzontali) sommando le singole rigidezze dei controventi.

Tramite queste abbiamo ricavato le coordinate del centro delle rigidezze (Xc;Yc).

 

Abbiamo verificato che il centro delle rigidezze non coincide con il centro di massa.

Abbiamo ricalcolato le distanze dei controventi questa volta ponendo l’origine del nostro sistema di riferimento sul centro delle rigidezze.

Potendo così calcolare il valore della rigidezza torsionale totale Kφ.

Essendo il nostro impalcato nella casistica in cui il centro delle rigidezze non coincide con il centro di massa, andremo incontro ad una traslazione e ad una rotazione indotta dal momento prodotto dalla forza esterna rispetto al centro delle rigidezze (c’è quindi un braccio).

 

Analisi dei carichi sismici

Abbiamo calcolato il valore del carico totale permanente G e del carico totale accidentale Q tramite il valore dei carichi per unità di superficie (qp,qs,qa).

Abbiamo poi calcolato il peso sismico W tramite la formula W=G+Q*Ψ

Ψ rappresenta il coeff. Di contemporaneità.

Quindi abbiamo calcolato la forza sismica agente sul centro di massa dell’edificio tramite la formula F=W*c

C rappresenta il coeff. d’intensità sismica che varia in base alla localizzazione dell’edificio, nel nostro caso assume il valore 0,15.

Adesso che abbiamo calcolato la forza sismica, possiamo sapere in che modo essa si ripartisce sui vari piani del nostro edificio.

Fi=hi/(Σihi) *Fs

Verifichiamo che la forza sismica non si ripartisce equamente sui vari piani, ma che essa cresce in funzione dell’altezza.

Ripartizione della forza sismica lungo X e lungo Y

Lungo X

Nel nostro edificio, il centro di massa e il centro delle rigidezze hanno la stessa ordinata, dunque non si sviluppa un momento e quindi una rotazione, ma solo una leggera traslazione orizzontale.

Lungo Y

Diversamente, C e G, hanno diversa ascissa, dunque la forza agisce nel centro di massa G e si sviluppa un momento torcente in quanto c’è un braccio rappresentato dalla distanza tra i due centri (C e G) e una traslazione verticale.

Abbiamo calcolato le rotazioni e le traslazioni con le seguenti formule.

u= F/Ko_tot

v=F/Kv_tot

φ= M/Kφ

Quindi abbiamo ricavato le forze sui singoli controventi  nei 2 casi di carico tramite le formule.

Fo_n=Ko_n (u+ φ*ddo_n)

Fv_n=Kv_n* φ*ddv_n

 

Modello

Prima di procedere abbiamo assegnato un diafram diverso per ogni piano rendendo così ogni impalcato un corpo rigido.

Abbiamo quindi applicato su SAP2000 le forze sismiche agenti su ogni piano, lungo X e lungo Y.

Abbiamo creato una nuova combinazione considerando i carichi verticali precedentemente assegnati e l’azione delle forze sismiche.

Quindi abbiamo mandato l’analisi solamente con la combinazione SLU+FY in quanto lungo X non si sviluppa momento torcente.

 

Abbiamo estrapolato i nuovi valori delle sollecitazioni (N,M) agenti sui pilastri per poterli verificare nuovamente a pressoflessione e dividerli in base alla loro eccentricità.

I nostri pilastri risultano verificati in piccola e moderata eccentricità.